2014上海闵行区高考数学(文)三模试题(附答案)

2014年上海市高考数学模拟试卷（8）一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1. 若集合A ＝{x|1≤x ≤3}，集合B ＝{x|x <2}，则A ∩B ＝________．2. 函数y =log 2(x 2−9)的定义域是________．3. 抛物线y 2=−4x 的焦点坐标为________．4. 函数y =√3sinxcosx +cos 2x −12的最小正周期是________．5. 已知平面向量a →=(3, 1)，b →=(x, 3)，且a →⊥b →，则x 的值为________．6. 圆x 2+y 2=4上的点到直线4x −3y +25=0的距离的最大值是________．7. 如图，四边形ABCD ，ADEF 均为正方形，∠CDE =90∘，则异面直线BE 与CD 所成的角的大小为________8. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c =√2，b =√6，B =120∘，则a =________．9. 已知等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，则该数列前9项和S 9等于________．10. 从{1, 2, 3, 4, 5}中随机选取一个数为a ，从{1, 2, 3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是________．11. 已知函数f(x)={x 2−4x +6(x ≥0)x +6(x <0)，则满足f(x)>f(1)的x 取值范围是________． 12. 函数f(x)＝sinx +2|sinx|，x ∈[0, 2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是________．二．选择题（本大题满分30分）本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13. 已知函数f(x)=2x (x ∈R)的反函数为f −1(x)，则f −1(1)等于（ ）A 0B 1C 2D 414. 经过点P(2,√3)且与直线√3x −y +2=0平行的直线为（ ）A √3x −y +√3=0B √3x −y −√3=0C √3x +y +√3=0D √3x +y −√3=015. 若a >b >0，则下列不等式不成立的是（ ）A 1a <1bB |a|>|b|C a +b ≥2√abD (12)a >(12)b16. 函数y =cos2x 为减函数的单调区间为（ ）A [−π4，π4]B [−π4，3π4]C [0,π2]D [π2，π] 17. (1−2x)5的展开式中x 2的系数是（ ）A 10B −10C 40D −4018. 条件p:x ≥0，条件q:x 2≤x ，则p 是q 的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件19. 已知实数x ，y 满足方程(x −2)2+y 2=1，那么y x 的最大值为（ ） A 12 B √32 C √33D √3 20. 已知函数f(x)＝Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为（ ）A f(x)=2sin(12x +π6)B f(x)=2sin(12x −π6)C f(x)=2sin(2x −π6) D f(x)=2sin(2x +π6) 21. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为( )A 8√2πB 8πC 4√2πD 4π22. 在复平面内，复数z ＝i(1+2i)对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限三．解答题（本大题满分41分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．23. 已知复数w 满足w −4=(3−2w)i （i 为虚数单位），z =5w +|w −2|，求一个以z 为根的实系数一元二次方程．24. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2+a 4＝6，S 4＝10．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n ＝a n ⋅2n (n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和T n ．25. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2, 0)，右顶点为(√3, 0)（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l:y =kx +√2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →⋅OB →>2（其中O 为原点）．求k 的取值范围．26. 已知函数f(x)=−1a +2x (x >0)．（1）判断f(x)在(0, +∞)上的单调性，并证明；（2）解关于x 的不等式f(x)>0；（3）若f(x)+2x ≥0在(0, +∞)上恒成立，求a 的取值范围．2014年上海市高考数学模拟试卷（8）答案1. {x|1≤x <2}2. (−∞, −3)∪(3, +∞)3. (−1, 0)4. π5. −16. 77. arctan √28. √29. 3610. 15 11. (−3, 1)∪(3, +∞)12. (1, 3)13. A14. B15. D16. C17. C18. B19. C20. D21. B22. B23. 解：[解法一]∵ 复数w 满足w −4=(3−2w)i ，∴ w(1+2i)=4+3i ， ∴ w(1+2i)(1−2i)=(4+3i)(1−2i)，∴ 5w =10−5i ，∴ w =2−i ．∴ z =52−i +|2−i −2|=5(2+i)(2−i)(2+i)+1=2+i +1=3+i ．若实系数一元二次方程有虚根z =3+i ，则必有共轭虚根z ¯=3−i ．∵ z +z ¯=6，z ⋅z ¯=10，∴ 所求的一个一元二次方程可以是x 2−6x +10=0．[解法二]设w =a +b ，(a, b ∈Z)，∴ a +bi −4=3i −2ai +2b ，得{a −4=2b b =3−2a解得{a =2b =−1，∴ w =2−i ， 以下解法同[解法一]．24. 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2+a 4＝6，S 4＝10，可得{2a 1+4d =64a 1+4×32d =10 ，，即{a 1+2d =32a 1+3d =5， 解得{a 1=1d =1， ∴ a n ＝a 1+(n −1)d ＝1+(n −1)＝n ，故所求等差数列{a n }的通项公式为a n ＝n ．依题意，b n ＝a n ⋅2n ＝n ⋅2n ，∴ T n ＝b 1+b 2++b n ＝1×2+2×22+3×23++(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n ， 又2T n ＝1×22+2×23+3×24+...+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1，两式相减得−T n ＝(2+22+23++2n−1+2n )−n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，∴ T n ＝(n −1)⋅2n+1+2．25. 解：（1）设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)．由已知得a =√3，c =2，再由a 2+b 2=22，得b 2=1．故双曲线C 的方程为x 23−y 2=1．（2）将y =kx +√2代入x 23−y 2=1得(1−3k 2)x 2−6√2kx −9=0．由直线l 与双曲线交于不同的两点得{1−3k 2≠0△=(6√2k)2+36(1−3k 2)=36(1−k 2)>0.即k 2≠13且k 2<1．①设A(x A , y A )，B(x B , y B )，则x A +x B =6√2k 1−3k 2，x A x B =−91−3k 2，由OA →⋅OB →>2得x A x B +y A y B >2， 而x A x B +y A y B =x A x B +(kx A +√2)(kx B +√2)=(k 2+1)x A x B +√2k(x A +x B )+2=(k 2+1)−91−3k 2+√2k 6√2k1−3k 2+2=3k 2+73k 2−1．于是3k 2+73k 2−1>2，即−3k 2+93k 2−1>0，解此不等式得13<k 2<3．② 由①、②得13<k 2<1．故k 的取值范围为(−1,−√33)∪(√33,1)． 26. 解：（1）f(x)在(0, +∞)上为减函数，证明如下：∵ f ′(x)=−2x 2<0，∴ f(x)在(0, +∞)上为减函数．（2）由f(x)>0得−1a +2x >0，即x−2a ax <0．①当a>0时，不等式解集为{x|0<x<2a}．②当a<0时，原不等式为x−2ax>0．解集为{x|x>0}．（3）若f(x)+2x≥0在(0, +∞)上恒成立，即−1a +2x+2x≥0．∴ 1a≤2x+2x．∵ 2x +2x≥4，∴ 1a≤4．解得a<0或a≥14．。

2014年上海市青浦区高考三模数学文试卷考生注意：本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若复数为纯虚数，则实数的值为．2．已知全集，，则．3．已知为等差数列，若，则的值为．4．已知向量，且，则钝角等于．5. 若的展开式中的系数是80，则实数的值是．6．已知函数对任意都有，若的图像关于轴对称，且，则= ．7. △ABC中，角A、B、C的对边分别为，S是△ABC的面积，且，则_________．8. 某产品经过4次革新后，成本由原来的120元下降到70元。

若每次革新后，成本下降的百分率相同，那么，每次革新后成本下降的百分率为（精确到0.1%）．9. 平面直角坐标系中，O为原点，A、B、C三点满足，则= ．10.设地球半径为，北纬圈上有两地，它们的经度相差，则这两地间的纬度线的长为．11. （文）设O为坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点满足不等式，则的最大值为．12. （文）平面直角坐标系中，方程的曲线围成的封闭图形绕轴旋转一周所形成的几何体的体积为．13．（文）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 .14．（文）已知椭圆的两个焦点分别为．若椭圆上存在点，使得成立，则的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（文）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误．．的是………………………………………………………………………………………（）A.若d＜0，则数列{S n}有最大项；B.若数列{S n}有最大项，则d＜0；C.若数列{S n}是递增数列，则对任意的n N*，均有S n＞0；D.若对任意的n N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列．16．（文）已知为平面内两个定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为.若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是………………（）A.圆 B .椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线17. 若数列满足当（）成立时，总可以推出成立．研究下列四个命题：（1）若，则．（2）若，则．（3）若，则．（4）若，则．其中错误的命题有……………………………………………………………………（）A．1个 B．个 C.3个 D．4个18.（文）已知图1、图2分别表示A、B两城市某月1日至6日当天最低气温的数据折线图（其中横轴表示日期，纵轴表示气温），记A、B两城市这6天的最低气温平均数分别为和，标准差分别为，则它们的大小关系是………………………………（）A、 B、C、 D、三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分．已知，函数（1）求的最小正周期；（2）当时，求函数的值域．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图，直三棱柱中，已知，，，M、N分别是B1C1和AC的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求MN与底面ABC所成的角．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（文）在中，已知．（1）求证：；（2）若求A的值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.曲线.（1）若曲线表示双曲线，求的范围；（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的范围；（3）设，曲线与轴交点为，（在上方），与曲线交于不同两点，，与交于，求证：，，三点共线.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若对任意的，存在正常数，恒有成立，则叫做Γ数列．(1) 若公差为的等差数列是Γ数列，求的值；(2) 记数列的前n项和为，证明：若是Γ数列，则也是Γ数列；(3) 若首项为1，公比为的等比数列是Γ数列，当时，求实数的取值范围.参考答案：【仅供参考】一．填空题1．12．3． -1/2 4．5．-26．-37. -18. 12.6%9. 10.11.（理）（文）1212.（理）（文）13.（理）（文）14．（理）（文）二、选择题15．（理）A（文）C 16．（理） B （文） D 17．A 18. D三、解答题19、解：（1） (1)= (4)== (6)∴ (7)（2）∵∴ (9)当，即时，；当，即时，；∴当时，的值域为 (12)20、解：（1）∵= (4)=∴ (7)（2）取中点，连.∵分别是的中点，∴∵三棱柱直三棱柱∴∴∴∴为MN与底面ABC所成的角 (11)中，∴∴与底面ABC所成的角为 (14)【向量法参照给分】21、（理）（1） (2) (4) (6)（2）由条件及（1）得： (10)由余弦定理得：由代入上式解得： (13)又因此， (14)（文）（1）∵，∴， (2)即。

2014年上海市闸北区高考数学三模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 函数f(x)=sin(2x +π3)的最小正周期为________．2. 函数y =log 2(x −1)的反函数是________．3. 已知集合A ={x||x −1|<1, x ∈R}，B ={x|x 2−4x +3<0}，则A ∩B =________．4. 已知cosx =35，x ∈(−π2, 0)，则|sinxcosx11|=________． 5. (x −1x )6的展开式中x 2的系数为________．（用数字作答）6. 设i 是虚数单位，复数1+i 为方程x 2−2x +m =0(m ∈R)的一个根，则m =________．7. 从4名男同学和3名女同学中随机选出3人参加演讲比赛，则女同学被抽到的数学期望为________．8. 某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是2π时，则该圆锥体的体积是________． 9. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c−b c−a =sinAsinC+sinB ，则B =________． 10. 极坐标系中，A ，B 分别是直线3ρcosθ−4ρsinθ+7=0和圆ρ=2cosθ上的动点，则A ，B 两点之间距离的最小值是________． 11. 对于正项数列{a n }，定义H n =na1+2a 2+3a 3+⋯+na n为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n =1n+2，则数列{a n }的通项公式为________．12. 过点(2−1n , 0)(n ∈N ∗)且方向向量为(2, 1)的直线交椭圆x 24+y 2=1于A n ，B n 两点，记原点为O ，△OA n B n 面积为S n ，则limn →∞S n=________．13. 将正整数1，2，3，4，…，n 2(n ≥2)任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a ，b(a >b)的比值ab ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．若a ij 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数(1≤i ≤n, 1≤j ≤n)，且满足a ij ={i +(j −i −1)n,i <j i +(n −i +j −1)n,i ≥j，当n =4时数表的“特征值”为________． 14. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ⊥BC ，AB =2，CD =1，BC =a(a >0)，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP →=xAD →，PB →⋅PC →=y ，对于函数y =f(x)，给出以下四个结论：①当a =2时，函数f(x)的值域为[1, 4]； ②对任意a >0，都有f(1)=1成立；③对任意a >0，函数f(x)的最大值都等于4；④存在实数a >0，使得函数f(x)最小值为0． 其中所有正确结论的序号是________．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分 15. 执行如图所示的程序框图．若输入x =3，则输出k 的值是（ ）A 3B 4C 5D 616. 某中学采用系统抽样方法，从该校800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k =80050=16，即每16人抽取一个人．在1∼16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33∼48这16个数中应取的数是( ) A 40 B 39 C 38 D 3717. 已知F 1、F 2为双曲线C:x 2−y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝（ ） A 14B 35C 34D 4518. 函数y =f(x)的定义域为[−2, 0)∪(0, 2]，其图象上任一点P(x, y)都位于椭圆C:x 24+y 2=1上，下列判断①函数y =f(x)一定是偶函数；②函数y =f(x)可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③函数y =f(x)可能是奇函数；④函数y =f(x)如果是偶函数，则值域是[−1, 0)或(0, 1]； ⑤函数y =f(x)值域是(−1, 1)，则一定是奇函数． 其中正确的命题个数有（ ）个． A 1 B 2 C 3 D 4三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90∘，AB =AA 1=2，AC =2，E 为A 1C !中点，求直线CC 1与平面BCE 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）20. 如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池ABCD 内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形APQ ，其中P 位于边CB 上，Q 位于边CD 上．已知AB =20米，∠PAQ =π6，设∠PAB =θ，记f(θ)=正方形ABCD 面积APAQ 面积，当f(θ)越大，则污水净化效果越好．（1）求f(θ)关于的函数解析式，并求定义域； （2）求f(θ)最大值，并指出等号成立条件？21. 数列{a n }的首项a 1=a ，a n +a n+1=3n −54，n ∈N ∗ (1)求数列{a n }的通项公式；(3)设{a n }的前n 项和为S n ，若S n 的最小值为−243，求a 的取值范围？22. 在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为x 2=4y ，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程和焦点坐标F ； （2）求OA →⋅OB →=−4，求证：直线AB 恒过定点；（3）当|AB|=8时，设圆D:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)，若存在且仅存在两条动弦AB ，满足直线AB 与圆D 相切，求半径r 的取值范围？23. 定义函数y =f(x)，x ∈D （D 为定义域）图象上的点到坐标原点的距离为函数的y =f(x)，x ∈D 的模．若模存在最大值，则称之为函数y =f(x)，x ∈D 的长距；若模存在最小值，则称之为函数y =f(x)，x ∈D 的短距．（1）分别判断函数f 1(x)=1x 与f 2(x)=√−x 2−4x +5是否存在长距与短距，若存在，请求出；（2）求证：指数函数y =a x (a >0, a ≠1)的短距小于1；（3）对于任意x ∈[1, 2]是否存在实数a ，使得函数f(x)=√2x|x −a|的短距不小于2且长距不大于4．若存在，请求出a 的取值范围；不存在，则说明理由？2014年上海市闸北区高考数学三模试卷（理科）答案1. π2. y =2x +1，x ∈R3. (1, 2)4. −75 5. 15 6. 2 7. 97 8.√33π 9. π3 10. 111. a n =2+1n ，n ∈N ∗ 12. 1 13. 54 14. ②③④ 15. C 16. B 17. C 18. C19. 解：如图建立空间直角坐标系，设平面BCE 的法向量n →=(u,v,ω)，直线CC 1与平面BCE 所成角为θ:B(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，E(0, 1, 2)，C 1(0, 2, 2)BC →=(−2,2,0)，n →⋅BC →=0∴ −2μ+2ν=0...CE →=(0,−1,2)，n →⋅CE →=0∴ -ν+2ω=0… 令v =2，则n →=(2,2,1)…CC 1→=(0,0,2) ∴ sin =|n →|⋅|CC 1→|˙=23×2=13… ∴ θ=arcsin 13直线CC 1与平面BCE 所成角大小为arcsin 13…20. 当θ=π6时，f(θ)的最大值为3．21. 解：(1)a 1=a ，a 2=−51−a ，又a n+1+a n+2=3n −51，a n +a n+1=3n −54， 则a n+2−a n =3，即奇数项成等差，偶数项成等差， ∴ a n ={32(n −1)+a ，n 为奇数32n −a −54，n 为偶数；(2)当n 为偶数，即n =2k 时：S n =−51k +k(k−1)2×6=3(k −9)2−243，∴ S n ≥S 18=−243；当n 为奇数，即n =2k −1时：S n =S 2k −a 2k =3(k −192)2+a −21634，∴ S n ≥S 17=S 19=a −216，∵ (S n )min =−243，∴ a −216≥−243，∴ a ≥−27． 22. （1）解：抛物线C 的方程为x 2=4y 中2p =4，p2=1，∴ 准线方程：y =−1，焦点坐标：F(0, 1)（2）证明：设直线AB 方程为y =kx +b ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2) 由{y =kx +b x 2=4y 得 x 2−4kx −4b =0，∴ x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4b ∴ OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+x 12x 2216=−4，∴ x 1x 2=−8， ∴ −4b =−8， ∴ b =2，∴ 直线 y =kx +2过定点(0, 2)（3）解：|AB|=√1+k 2√16k 2+16b =8√1+k 2√k 2+b =2 d =√1+k 2=r∴ r =|4k 2+1−k 2−1|√k 2+1，令t =√k 2+1≥1，则r =|4t 3−t|，当1≤t <√2时，r =4t 3−t 单调递减，0<r ≤3当t >√2时，r =t −4t 3单调递增，r >0 k 存在两解即t 一解，∴ r >3．23. 解（1）设u(x)=√x 2+1x 2≥√2（当且仅当x =±1取得等号） ∴ f 1(x)短距为√2，长距不存在．设v(x)=√x2+(−x2−4x+5)=√5−4x，x∈[−5,1]v(x)min=v(1)=1v(x)max=v(−5)=5f2(x)短距为1，长距为5．（2）设t(x)=√x2+(a x)2，t(0)=1，∴ y=a x(a>0, a≠1)的短距不大于1，√x2+(a x)2=1∴ a x=√1−x2，y=a x与单位圆存在两个交点当a>1时，存在−1<x0<0使得：a x0<√1−x02，∴ t(x0)<1，当0<a<1时，存在0<x0<1使得a x0<√1−x02，∴ t(x0)<1∴ 指数函数y=a x(a>0, a≠1)的短距小于1；（3）设ℎ(x)=√x2+2x|x−a|，x∈[1,2]，使得函数f(x)=√2x|x−a|的短距不小于2且长距不大于4，即4≤x2+2x|x−a|≤16对于x∈[1, 2]始终成立，x2+2x|x−a|≥4对于x∈[1, 2]始终成立：当a>2时：a≥12(x+4x)对于x∈[1, 2]始终成立，∴ a≥52，当1≤a≤2时：取x=a即可知显然不成立当a<1时：a≤12(3x−4x)对于x∈[1, 2]始终成立，∴ a≤−12，x2+2x|x−a|≤16对于x∈[1, 2]始终成立，即：12(3x−16x)≤a≤12(x+16x)对于x∈[1, 2]始终成立：∴ −1≤a≤5；综上a∈[−1,−12]∪[52,5]．。

上海市浦东新区2014年5月高考练习卷（三模）数学（文）2014.05注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 不等式211x -≤的解集是_________.2. 设集合U R =,{21,}x A y y x R ==-∈则U A ð=_______.3.三角形的三边之比为3:5:7,则此三角形的最大内角是_______4. 若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中是虚数单位，b R ∈），则b =____5.已知双曲线2221(0)y x b b -=>的两个焦点分别是1F 、2F ，点P 在双曲线上，且2PF 垂直于x 轴，1230PF F ∠=，则此双曲线的渐近线方程是________6.某产品经过4次革新后，成本由原来的105元下降到60元.如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是______（精确到0.1%）7. 双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=____ 8.已知复数2lg(1)i lg(1)z x x =-+-（其中是虚数单位）,若z 在复平面上对应的点位于第三象限,则实数x 的取值范围是_______ 9.已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则1()3f 的值为_______． 10.已知是虚数单位，集合{|,*}nA z z i n N ==∈，1212{|,}B z z z z A ωω==⋅∈、（12z z ≠)，从集合B 中任取一元素，则该元素为实数的概率为________11. 如图1所示的正方体的棱长为1,沿对角面(图中阴影部分)将其分割成两块,重新拼接成如图2所示的斜四棱柱,则所得的斜四棱柱的表面积是_______12.若实数,x y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为____.13.有20个形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，最少____次肯定能找到这粒最轻的珠子.14.已知椭圆2212x y +=，A 、B 、M 是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）.若存在锐角θ，使cos sin OM OA OB θθ=⋅+⋅，则直线OA 、OB 的斜率乘积为 _______二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.下列命题中错误的是（ ）A ．正棱锥的所有侧棱长相等；B ．圆柱的母线垂直于底面；C ．直棱柱的侧面都是全等的矩形；D ．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．16．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则满足()(1)f m f <的实数m 的取值范围是( )A.10m -<<B. 01m <<C. 11m -<<D. 11m -≤≤17．曲线2sin()cos()44y x x ππ=+-与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 1P 、2P 、3P 、…，则24P P 等于 ( )A ． πB ． 2πC ． 3πD ． 4π18.若当(,)P m n 为圆22(1)1x y +-=上任意一点时，等式0m n c ++=恒成立，则c 的取值范围是（ ）A．11c -≤≤ B11c -≤≤C．1c ≤ D．1c ≥-三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知一个圆柱和一个圆锥等底等高,如图,点O 为底面的圆心，点P 为圆锥的顶点.若圆柱的高等于它的底面直径，（1）求证:圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等; （2）求圆柱的全面积和圆锥的全面积的比值.20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.已知函数22cos()sin 2()2cos()6x x f x x ππ-=+，()x R ∈（1）求()f x 的最小正周期及判断函数()f x 的奇偶性；（2）在ABC ∆中，()0f A =，[],2,4AC m m =∈.若对任意实数恒有AB t AC BC -≥,求ABC ∆面积的最大值.21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.已知5的展开式的第3项为10， （1）求()y f x =的解析式及定义域； （2）若不等式22()1(()1)f x m f x ->-对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围.22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分. 已知点(4,)P a （0a >）在抛物线2:2(0)C y px p =>上，P 点到抛物线C 的焦点F 的距离为5.(1)求抛物线C 的标准方程;(2)已知圆22:2E x y x +=，过圆心E 作直线与圆E 和抛物线C 自上到下依次交于A B C D 、、、，如果2AB CD BC +=,求直线的方程；（3）过点(4,2)Q 的任意一条直线（不过P 点）与抛物线C 交于G H 、两点，直线GH 与直线4y x =+交于点M ,记直线PG PH PM 、、的斜率分别为123k k k 、、，问是否存在实数λ，使得123k k k λ=+，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由。

2014年上海市嘉定区高考数学三模试卷（理科）一．填空题（每小题4分，满分56分） 1. 已知x ∈C ，且x 2=−4，则x =________． 2. 方程lg(x −3)+lgx =1的解x =________．3. 已知集合A ={x|x 2+2x −8<0, x ∈Z}，集合B ={x|x −2|<3, x ∈R}，则A ∩B =________．4. 函数y =cos(2x −π3)的单调递减区间是________．5. 若函数y =2x+1x−a的图象关于直线y =x 对称，则实数a 的值为________．6. 若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积为________．7. 已知α、β均为锐角，且cos(α+β)＝sin(α−β)，则tanα＝________．8. 已知向量a →=(cosθ, sinθ)(θ∈[0, π])，b →=(√3, −1)，则|2a →−b →|的取值范围是________． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =2+2cosθy =−√3+2sinθ（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 上两点A 、B 的极坐标分别为(2, 0)、(2√33, π2)，则直线l 与圆C 的位置关系是________． 10. 计算：lim n →∞1+2+4+⋯+2nC n 1+C n 2+⋯+C nn =________． 11. 若函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，且满足f(x)−g(x)=e x ，将f(2)、f(3)、g(0)按从小到大的顺序排列为________．12. 在等差数列{a n }中，a n ≠0，当n ≥2时，a n+1−a n 2+a n−1=0，若S 2k−1=46，则k 的值为________．13. 如图，F 为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(b >a >0)的右焦点，过F 作直线l 与圆x 2+y 2＝b 2切于点M ，与双曲线交于点P ，且M 恰为线段PF 的中点，则双曲线的渐近线方程是________．14. 函数f(x)=cos(πx)与函数g(x)=|log 2|x −1||的图象所有交点的横坐标之和为________．二．选择题（每小题5分，满分20分）15. 若a 、b 为实数，则“a 2+b 2<1”是“|a|<1，|b|<1”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 16. 已知随机变量ξ的分布律如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若ξ的均值E(ξ)=43，则ξ的方差D(ξ)等于（ ） A 19 B 13 C 59 D 7917. 已知平面上三条直线x −2y +1=0，x −1=0，x +ky =0，如果这三条直线将平面分为六部分，则实数k 的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 118. 若a >1，设函数f(x)=a x +x −4的零点为m ，g(x)=log a x +x −4的零点为n ，则1m+1n 的取值范围是( ) A (72,+∞) B (92,+∞) C (1, +∞) D (4, +∞)三．解答题（本大题共有5题，满分74分）19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． （1）求四棱锥P −ABCD 的体积；（2）求直线PC 与平面AMD 所成角的大小．20. 如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y =Asinωx(A >0, ω>0)x ∈[0, 4]的图象，且图象的最高点为S(3,2√3)；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP =120∘.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？21. 在等比数列{a n }中，公比q ≠1，等差数列{b n }满足b 1＝a 1＝3，b 4＝a 2，b 13＝a 3． （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）记c n ＝(−1)n ⋅b n +a n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．22. 已知点A(−2, 0)，B(2, 0)，动点C 、D 依次满足|AC →|=2，AD →=12(AB →+AC →)． （1）求动点D 的轨迹方程；（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，若线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l与圆x2+y2=1相切，求该椭圆的方程；（3）经过（2）中椭圆的上顶点G作直线m、n，使m⊥n，直线m、n分别交椭圆于点P、Q．求证：PQ必过y轴上一定点．23. 已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2, 3]上的最大值为4，最小值为1，记f(x)=g(|x|)．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式f(log2k)>f(2)成立，求实数k的取值范围；（3）对于任意满足p=x0<x1<x2<...<x n−1<x n=q(n∈N∗, n≥3)的自变量x0，x1，x2，…，x n，如果存在一个常数M>0，使得定义在区间[p, q]上的一个函数m(x)，|m(x1)−m(x0)|+|m(x2)−m(x1)|+...+|m(x n)−m(x n−1)|≤M恒成立，则称函数m(x)为区间[p, q]上的有界变差函数．试判断函数f(x)是否区间[1, 3]上的有界变差函数，若是，求出M的最小值；若不是，请说明理由．2014年上海市嘉定区高考数学三模试卷（理科）答案1. ±2i2. 53. {0, 1}4. [kπ+π6, kπ+2π3](k∈Z)5. 26. 4π或8π7. 18. [√6−√2, 4]9. 相交10. 211. g(0)<f(2)<f(3)12. 1213. y＝±2x14. 415. A16. C17. B18. C19. 解：（1）以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．…则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 1, 0)， …设PA =a ，则P(0, 0, a)，因为M 是PC 中点，所以M(12, 12, a2)，…所以AM →=(12, 12, a2)，BD →=(−1, 1, 0)，BP →=(−1, 0, a)．… 因为AM ⊥平面PBD ，所以AM →⊥BD →，AM →⊥BP →， 所以−12+a 22=0，解得a =1．…所以PA =1，四棱锥P −ABCD 的体积为13． … （2）AM →=(12, 12, 12)，AD →=(0, 1, 0)，设平面AMD 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{x +y +z =0y =0，可得n →=(−1, 0, 1)，…又CP →=(−1, −1, 1)，设CP →与n →的夹角为θ，则cosθ=√63．… 所以，直线PC 与平面AMD 所成角的大小为arcsin √63． … 20. 解：(1)因为图象的最高点为S(3,2√3)， 所以A =2√3，由图知y =Asinωx 的周期为T =12，又T =2πω，所以ω=π6， 所以y =2√3sin π6x ， 所以M(4, 3)，P(8, 0)，|MP|=√(8−4)2+32=5.(2)在△MNP 中，∠MNP =120∘， 故θ∈(0∘, 60∘) 由正弦定理得5sin120∘=NP sinθ=MNsin(60∘−θ)，所以NP =10√33sinθ，MN =10√33sin(60∘−θ)设使折线段赛道MNP 为L 则 L =10√33sin(60∘−θ)+10√33sinθ =10√33[sin(60∘−θ)+sinθ]=10√33sin(θ+60∘) 所以当角θ=30∘时L 的最大值是10√33．21. 设等比数列{a n }的公比为q(q ≠1)，等差数列{b n }的公差为d ． 由已知得：a 2=3q,a 3=3q 2，b 1＝3，b 4＝3+3d ，b 13＝3+12d ，所以{3q =3+3d 3q 2=3+12d ⇒{q =1+d q 2=1+4d⇒q =3或 q ＝1（舍去），所以，此时 d ＝2，所以，a n =3n ，b n ＝2n +1；由题意得：c n =(−1)n b n +a n =(−1)n (2n +1)+3n ，S n ＝c 1+c 2+...+c n ＝(−3+5)+(−7+9)+...+(−1)n−1(2n −1)+(−1)n (2n +1)+3+32+...+3n ，当n 为偶数时，S n =n +3n+12−32=3n+12+n −32，当n 为奇数时，S n =(n −1)−(2n +1)+3n+12−32=3n+12−n −72，所以，S n ={3n+12+n −32(n)3n+12−n −72(n)．22. （1）解：设C(x 0, y 0)，D(x, y)，则AC →=(x 0+2, y 0)，… 又AB →=(4, 0)，AD →=(x +2, y)=(x 02+3, y02)，则{x 0=2x −2y 0=2y，…代入|AC →|2=(x 0+2)2+y 02=4，得x 2+y 2=1，…即动点D 的轨迹方程为x 2+y 2=1． …（2）由题意，直线l 的斜率存在．设l 的方程为y =k(x +2)， 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2a 2−4=1(a >2)，… 由{y =kx +2x 2a 2+y 2a 2−4=1，得(a 2k 2+a 2−4)x 2+4a 2k 2−a 4+4a 2=0．…由l 与圆x 2+y 2=1相切，得√k 2+1=1，k 2=13，…得(a 2−3)x 2+a 2x +4a 2−34a 4=0．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−a 2a 2−3． … 又线段MN 中点到y 轴的距离|x 1+x 22|=a 22(a 2−3)=45，∴ a 2=8．…∴ 所求椭圆的方程为x 28+y 24=1． …（3）由（2）知G(0, 2)，设直线m:y =kx +2，代入椭圆方程得x 2+2(kx +2)2=8，即(2k 2+1)x 2+8kx =0，… 解得P(−8k1+2k 2,2−4k 21+2k 2)． …同理，直线n 的方程为y =−1k x +2，Q(8k k 2+2,2k 2−4k 2+2)． …故直线PQ 的方程为y −2−4k 21+2k 2=k 2−13k(x +8k1+2k 2)，…令x =0，得y =−23． …∴ 直线PQ 经过定点(0, −23)． …23. 解：（1）∵ g(x)=a(x −1)2+1+b −a ， 又a >0，∴ g(x)在区间[2, 3]上是增函数， 故{g(2)=1g(3)=4， 解得：a =1，b =0．（2）由（1）得：g(x)=x 2−2x +1， 故f(x)=x 2−2|x|+1是偶函数，∴ 不等式f(log 2k )>f(2)可化为|log 2k|>2， 解得：k ∈(0, 14)∪(4, +∞)．（3）∵ f(x)={x 2−2x +1，x ≥1x 2+2x +1，x <1，∴ f(x)为[1, 3]上的单调递增函数，则对于任意满足1=x 0<x 1<x 2<...<x n−1<x n =3(n ∈N ∗, n ≥3)的自变量x 0，x 1，x 2，…，x n ，有f(1)=f(x 0)<f(x 1)<f(x 2)<...<f(x n−1)<f(x n )=f(3)， ∴ |f(x 1)−f(x 0)|+|f(x 2)−f(x 1)|+...+|f(x n )−f(x n−1)| =f(x 1)−f(x 0)+f(x 2)−f(x 1)+...+f(x n )−f(x n−1) =f(x n )−f(x n−1) =f(3)−f(1) =4，∴ 存在常数M ≥4，使得|m(x 1)−m(x 0)|+|m(x 2)−m(x 1)|+...+|m(x n )−m(x n−1)|≤M ． 函数f(x)为区间[1, 3]上的有界变差函数．即M 的最小值为4．。

2014年上海市青浦区高考数学三模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 若复数z =(x 2+2x −3)+(x +3)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．2. 已知全集U ={−1, 0, 1, 2}，A ={−1, 2}，B ={0, 2}，则∁U (A ∩B)=________．3. 已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9=8π，则cos(a 2+a 8)的值为________．4. 已知向量a →=(1−sinθ, 1)，b →=(12, 1+sinθ)，且a → // b →，则钝角θ等于________．5. 若(1−ax)5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是________．6. 已知函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x +5)−f(x)=0，若y =f(x)的图象关于y 轴对称，且f(−4)=−3，则f(2014)=________．7. △ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，S 是△ABC 的面积，且4S =a 2+b 2−c 2，则tan(π−C)=________．8. 某产品经过4次革新后，成本由原来的120元下降到70元．若每次革新后，成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率为________ （精确到0.1%）． 9. 平面直角坐标系中，O 为原点，A 、B 、C 三点满足OC →=23OA →+13OB →，则|AC →||CB →|=________．10. 设地球半径为R ，北纬30∘圈上有A ，B 两地，它们的经度相差120∘，则这两地间的纬度线的长为________．11. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 参数方程为{x =cosαy =1+sinα（α为参数），α∈[0, 2π)．点M 为曲线C 上任一点，点N 满足OM →=2ON →，若以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点N 所在曲线的极坐标方程为________．12. 平面直角坐标系中，方程|x −1|+|y −1|=1的曲线围成的封闭图形绕y 轴旋转一周所形成的几何体的体积为________．13. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2．若椭圆上存在点P ，使得|PF 1→+PF 2→|=|F 1F 2→|成立，则ba 的取值范围为________．14. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2，公和为5，那么a 18的值为________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列{1a n a n+1}的前100项和为( ) A100101B99101C99100D10110016. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，K 分别是棱A 1B 1、AB 、CD 的中点，动点P 在M ，N ，K 所确定的平面上．若动点P 到直线C 1D 1的距离等于到面ABCD 的距离，则点P 的轨迹为（ ）A 椭圆B 抛物线C 双曲线D 直线17. 若数列{a n }满足当a n >n 2(n ∈N ∗)成立时，总可以推出a n+1>(n +1)2成立，研究下列四个命题：①若a 3≤9，则a 4≤16； ②若a 3=10，则a 5>25； ③若a 5≤25，则a 4≤16；④a n ≥(n +1)2，则a n+1>n 2． 其中错误的命题有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个18. 甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若s 甲，s 乙，s 丙分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ）A s 甲<s 乙<s 丙B s 甲<s 丙<s 乙C s 乙<s 甲<s 丙D s 丙<s 甲<s 乙三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. 已知a →=(sinx,−cosx)，b →=(cosx,√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →+√32（1）求f(x)的最小正周期；（2）当0≤x ≤π2时，求函数f(x)的值域．20.如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知∠ABC =90∘，AB =BC =4，BB 1=3，M 、N 分别是B 1C 1和AC 的中点． （1）求三棱锥B 1−ABC 1的体积； （2）求MN 与底面ABC 所成的角． 21. 在△ABC 中，已知∠A 为锐角，f(A)=(cos2A+1)sinA2(cos 2A 2−sin 2A2)+cos2A+12．（1）将f(A)化简成f(A)=Msin(ωA +φ)+N(M >0, N ∈R)的形式； （2）若f(A −524π)≥√22+12恒成立，BC =2，求b +c 的取值范围？22. 曲线C ：(5−m)x 2+(m −2)y 2=8(m ∈R)． （1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围； （3）设m =4，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），y =kx +4与曲线C 交于不同两点M ，N ，y =1与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线．23. 若对任意的n ∈N ∗，存在正常数M ，恒有|b n −b n−1|+|b n−1−b n−2|+...+|b 2−b 1|≤M 成立，则{b n }叫做Γ数列．（1）若公差为d 的等差数列{a n }是Γ数列，求d 的值；（2）记数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：若{S n }是Γ数列，则{b n }也是Γ数列；（3）若首项为1，公比为q 的等比数列{b n }是Γ数列，当M ＝2时，求实数q 的取值范围．2014年上海市青浦区高考数学三模试卷（理科）答案1. 12. {−1, 0, 1}3. −124. 34π5. −26. −37. −18. 12.6%9. 12 10.√3πR3 11. ρ=sinθ 12. 4π 13. (0, √22]14. 3,当n 为偶数时，S n =52n ；当n 为奇数时，S n =52n −12 15. A 16. B17. A 18. D19. f(x)=sinxcosx −√3cos 2x +√32． =12sin2x −√32(cos2x +1)+√32=12sin2x −√32cos2x =sin(2x −π3)．所以f(x)的最小正周期为π． ∵ 0≤x ≤.π2．∴ −π3<2x −π3≤2π3∴ −√32≤sin(2x −π3)≤1，即f(x)的值域为[−√32,1] 20. 解：（1）V B 1−ABC 1=V C 1−ABC =13⋅12⋅4⋅4⋅3=8． （2）取BC 的中点P ，连接MP 、NP ，则MP // BB 1，∴ MP ⊥平面ABC ，又NP ⊂平面ABC ， ∴ MP ⊥NP ，MN 与底面所成的角为∠MNP ∵ PN =2，MP =3， ∴ MN =√4+9=√13． ∵ NP =2， ∴ tan∠MNP =32， ∴ ∠MNP =arctan 32．21. 解：（1）f(A)=(cos2A+1)sinA2(cos 2A 2−sin 2A2)+cos2A+12=sin2A 2+cos2A+12=√22sin(2A +π4)+12．（2）由条件及（1）得：sin(2A −π6)≥1， A =π3，由余弦定理得：4=b 2+c 2−bc =(b +c)2−3bc ， 由b +c ≥2√bc ， 所以：bc ≤(b+c)24，代入上式解得：b +c ≤4， 又因为：b +c >a =2， 因此，b +c ∈(2, 4]．22. 解：（1）若曲线C 表示双曲线， 则：(5−m)(m −2)<0，解得：m ∈(−∞, 2)∪(5, +∞)； （2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 则：m −2>5−m >0． 解得：m ∈(72, 5)…证明：（3）当m =4，曲线C 可化为：x 2+2y 2=8， 当x =0时，y =±2，故A 点坐标为：(0, 2)，B(0, −2)将直线y =kx +4代入椭圆方程x 2+2y 2=8得：(2k 2+1)x 2++16kx +24=0， 若y =kx +4与曲线C 交于不同两点M ，N ， 则△=32(2k 2−3)>0，解得：k 2>32，…由韦达定理得：x m +x n =−16k2k 2+1 ①， x m ⋅x n =242k 2+1 ②…设N(x N , kx N +4)，M(x M , kx M +4)，G(x G , 1)， MB 方程为：y =kx M +6x Mx −2，则G(3x M kx M +6, 1)，…∴ AG →=(3x MkxM +6, −1)，AN →=(x N , kx N +2)，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证AG →，AN →共线， 即3x M kx M +6(kx N +2)=−x N ，将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．23. 由题意|b n −b n−1|+|b n−1−b n−2|+...+|b 2−b 1|＝(n −1)d ≤M ， 由n 的任意性，得d ＝0，由{S n }是Γ数列得，存在正常数M ，恒有|S n −S n−1|+|S n−1−S n−2|+...+|S 2−S 1|≤M 成立， 即|b n |+|b n−1|+...+|b 2|≤M ，所以|b n −b n−1|+|b n−1−b n−2|+...+|b 2−b 1| ≤|b n |+2|b n−1|+2|b n−2|+...+2|b 2|+|b 1| ≤2|b n |+2|b n−1|+2|b n−2|+...+2|b 2|+|b 1| ＝2M +|b 1|，因为2M +|b 1|是正常数，所以{b n }是Γ数列． 由（1）知当q ＝1时{b n }是Γ数列， 显然当q ＝−1时{b n }不是Γ数列．|b n −b n−1|+|b n−1−b n−2|+...+|b 2−b 1|＝|q|n−2⋅|q −1|+|q|n−3⋅|q −1|+...+|q −1| ＝|q −1|1−|q|n−11−|q|，若对任意的n∈N∗，|q−1|1−|q|n−11−|q|≤2成立，则必有|q|<1，所以|q−1|1−|q|n−11−|q|<|q−1|1−|q|≤2，当0<q<1时，上式恒成立；当−1<q<0时，上式化为1−q1+q ≤2，解得−13≤q<0．所以，q的取值范围是[−13, 0)∪(0, 1]．。

2014上海虹口区高考数学（文）三模试题及答案解析（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、θ是第二象限角，则2θ是第 象限角． 分析： 一或三2、复数z 满足1z z i -=-，则此复数z 所对应的点的轨迹方程是 . 分析：0x y -=．3、已知全集U R =，集合{}2230,A x x x x R =-->∈,{}22B x m x m =-≤≤+,若(){}03U C A B x x ⋂=≤≤，则实数m 的值为 .分析：[]1,3U C A =-，则2m =．4、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球 的体积之比为 .分析： 设底面半径为r ，则它们的高2h r =23122V r r r ππ=⋅=，23212233V r r r ππ=⋅=，3343V r π=，则123::3:1:2V V V =. 5、已知1tan 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 分析：设6t πα=-，即6t πα=-，1tan 3t = 则()222tan 3cos 2cos 2cos 231tan 5t t t t παπ⎛⎫+=-=-=-=- ⎪+⎝⎭. 6、定义在R 上的奇函数()f x ，()12f -=，且当0x ≥时， ()()22xf x a x b =+++（,a b为常数），则()10f -的值为 .分析：()010f b =+=，b a f f +++=-=--=222)1()1(，则1-=b ,5-=a ，当0x ≥时，132)(--=x x f x，993)10()10(-=-=-f f .7、公差不为零的等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，则1213b b b ⋅等于 .分析：等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，则27720a a -=，70,2a =取772b a ==，13131213728192b b b b ⋅===.8、设x 、y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是 ．分析：6-9、已知等差数列{}n a 的通项公式为35n a n =-，则5671)1)1)x x x +++++（（（的展开式中4x 项的系数是数列{}n a 中的第 项． 分析： 2010、已知θ为实数，若复数)sin 211z iθθ=-+-是纯虚数，则z 的虚部为分析：sin 21sin 210410cos 2,244k k k πθθπθππθθθππ⎧=⎧=+⎪-=⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨-≠≠⎪⎪≠+-⎩⎪⎩ 则()524k k Z πθπ=+∈12θ-=-.z 的虚部为2-. 11、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 . 分析：设取红球x 个，白球y 个，则5(04)27(06)x y x x y y +=≤≤⎧⎨+≥≤≤⎩234,,321x x x y y y ===⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎩，取法为233241464646186C C C C C C ++=.12、棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -及其内部一动点P ，集合{}1Q P PA =≤,则集合Q 构成的几何体表面积为 .分析： 221151341484S πππ=⋅⋅+⋅⋅= . 13、P 是双曲线221916x y －＝的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于 .分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，21max +=PF PM ，22max -=PF PN ，再根据双曲线的定义得 PM PN -的最大值等于9.14、设,x y 为实数，且满足：()()32014201320142013x x -+-=-，()()32014201320142013y y -+-=，则x y += .分析：()()()()332014201320142014201320142013x x y y -+-=-+-=-，令()()32013f t t t t R =+∈，则()f t 是递增函数，且()()20142014f x f y -=- 则20142014x y -=-，即4028x y +=.二、选择题（每小题5分，满分20分） 15、已知(2,1)a =，(1,)b k =-,如果a ∥b ，则实数k 的值等于（ ）.A 2 .B 2- .C12 .D 12- 分析：D16、已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，且满足0222=ac b c b a，则ABC ∆一定是（ ）．A 、等腰非等边三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形分析： 方程化为0222222222=---++ca bc ab c b a ，选B .17、“1=a ”是“函数()||f x x a b =-+（,a b R ∈）在区间[)1,+∞上为增函数”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件分析：1=a 时，()|1|f x x b =-+在[)1,+∞上为增函数；反之，()||f x x a b =-+在区间[)1,+∞上为增函数，则1a ≤，故选A .18、如果函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值分别为M 、m ，那么()()()bam b a f x M b a -≤∆≤-.根据这一结论求出2212x --∆的取值范围（ ）.A 、[0,3]B 、3[,3]16 C 、33[,]162 D 、3[,3]2分析：求22x -在[]2,1-上的最值，选B .三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =，AD =13AA =，3CP =，1PD =.）PC 21PC PB =1B B ⊥平面20、（本题满分14分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()11,0F -、()21,0F 是椭圆的左右1焦点，且椭圆经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求该椭圆方程；（2）过点1F 且倾斜角等于34π的直线l ，交椭圆于M 、N 两点，求2MF N ∆的面积. 解（1）2224222214499019134a b a b b b a b⎧=+⎧=⎪⎪⇒--=⇒⎨⎨+==⎪⎩⎪⎩，则椭圆方程为22143x y +=. …………………………6分 （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线:1(1)l y x =-⋅+.……………………8分由22217880143y x x x x y =--⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩， (10)128x x +=-，128x x ⋅=-21、（本题满分14分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.ABC DQPDC BA解：（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-.……………………3分 由tan tan αβ=，得126x x=-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处.…………6分（2）设PA x =，CQA α∠=，DQB β∠=. 依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-， 21266tan tan[()]tan()126216x x x CQD x x x x παβαβ++-∠=-+=-+=-=-+-⋅-…………10分 令6t x =+，由06x <<，得612t <<，2261tan 62187418x t CQD x x t t t t+∠===-+-++-， ………………12分747455274663tt ≤+<+=，74118183t t ∴≤+-<， 当7418180tt -≤+-<，所张的角为钝角，最大角当即6x=时取得，故点Q 应选在距A 6km 处.………………14分 22、（本题满分16分）阅读：应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值； （2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x=+-的最小值；（3）已知正数1a 、2a 、3,,n a a ，1231n a a a a ++++=，求证：2222312122334112n n a a a a S a a a a a a a a =++++≥++++. 解（1）()1111113b a c a c b y a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫=++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………………………………2分而6b a c a c ba b a c b c+++++≥， 当且仅当13a b c ===时取到等号，则9y ≥，即111y a b c=++的最小值为9.………………………………5分（2）()28281222121028212212212x x y x x x x x x x x-⎛⎫=+=+⋅+-=+⋅+⋅ ⎪---⎝⎭，………………………………7分而10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，122288212x xx x-⋅+⋅≥=-， 当且仅当12228212x x x x -⋅=⋅-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取到等号，则18y ≥， 所以函数1812y x x=+-的最小值为18.……………………10分 （3）()()()2221212231122312nn n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭()()()()()22222221211223121211223112n nn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤=++++⋅++⋅+++⋅++⋅+⎢⎥++++⎣⎦()()()22221212231122221n n n a a a a a a a a a a a a ≥+++++++=+++=当且仅当121n a a a n ====时取到等号，则12S ≥.………………………16分 23、（本题满分18分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：()()112,4,13213nn n n n a a a n b a n λ+==+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数.（1）对任意实数λ，求证：123,,a a a 不成等比数列； （2）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有12n S >-?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.解（1）证明：假设存在一个实数λ，使123,,a a a 是等比数列，则有2213a a a =,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以123,,a a a 不成等比数列.…………………………4分（2）因为()()()111121312112143n n n n n b a n a n ++++⎛⎫=--++=--+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭22(1)(321)33n n n a n b =--+=-……………………6分 又1(18)b λ=-+,所以当18λ=-，10n b b ==，(n 为正整数)，此时{}n b 不是等比数列.……8分 当18λ≠-时，10b ≠，由上式可知0n b ≠，∴123n n b b +=-(n 为正整数) ， 故当18λ≠-时，数列{}n b 是以()18λ-+为首项，－32为公比的等比数列. ………………………………10分（3）由（2）知，当18λ=-时，0n b =, 则0n S =，所以12n S >-恒成立.当18λ≠-，得12(18)()3n n b λ-=-+-，于是n S =-.321·)18(53⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n ）－（－　λ ……………………………………13分要使对任意正整数n ，都有12n S >-成立，即32(18)[1()]1253nλ-+-->-2018213nλ<-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，令2()13nf n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则当n 为正奇数时，()51;3f n <≤当n 为正偶数时，5()1,9f n ≤< ∴()f n 的最大值为()513f =, 于是可得320186,5λ<⨯-=-综上所述，存在实数(,6)λ∈-∞-，使得对任意正整数n ，都有12n S >- ………………………………………………18分。

2014年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数Z=（i为虚数单位），则其共轭复数在复数平面上对应的点位于象限．2．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1（4）．3．（4分）如果一个圆锥的高不变，要使它的体积扩大为原来的9倍，那么他的底面半径应该扩大为原来的倍．4．（4分）二项式（x+y）5的展开式中，含x3y2的项的系数是．（用数字作答）5．（4分）函数y=sin2x+2sin2x最小正周期T为．6．（4分）已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），那么k=．7．（4分）（如图）已知△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，AD是BC边上的高，则•=．8．（4分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2+2x，那么不等式f（x+1）＜3的解集是．9．（4分）在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n个圆的面积之和，则s n=．10．（4分）掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为．11．（4分）函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于．12．（4分）设、分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是．13．（4分）（文）已知函数f（x）=||x﹣1|﹣1|，若关于x的方程f（x）=t（t∈R）恰有四个互不相等的实数根x1、x2、x3、x4（x1＜x2＜x3＜x4），则x1+x2+x3•x4的取值范围是．14．（4分）已知函数．则f（x）的最大值与最小值的乘积为．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面16．（5分）测试上海样本中有42所一般普通高中和32所中等职业技术学校，为了某项问题的研究，用分层抽样的方法需要从这两类学校中在抽取一个容量为37的样本，则应该抽取一般普通高中学校数为（）A．37B．5C．16D．2117．（5分）如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤418．（5分）（文）若数列{a n}的前n项和为S n，有下列命题：（1）若数列{a n}是递增数列，则数列{S n}也是递增数列；（2）无穷数列{a n}是递增数列，则至少存在一项a k使得a k＞0；（3）若{a n}是等差数列（公差d≠0），则S1•S2•…•S k=O的充要条件是a1•a2•…•a k=O；（4）若{a n}是等比数列，则S1•S2•…•S k=O（k≥2）的充要条件是a n+a n+1=0．其中，正确命题的个数（）A．0B．1C．2D．3三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．20．（14分）已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的焦距为2，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，直线l：y=2x+b（b∈R）与椭圆Γ相交于A、B两点，且∠AOB为钝角．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求b的取值范围．21．（14分）设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射门，对球门所张的角最大？（保留两位小数）22．（16分）已知f（x）=x+．（1）指出的f（x）值域；（2）求函数g（x）=f（x）﹣p（p∈R）的零点的个数．（3）若函数f（x）对任意x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．23．（18分）已知非零数列{a n}的递推公式为a1=1，a n=a n•a n+1+2a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{1+}是等比数列；（2）若关于n的不等式++…+＜m﹣有解，求整数m的最小值．（3）在数列{+1﹣（﹣1）n}（1≤n≤11）中，是否一定存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤11），使得这三项依次成等差数列？若存在，请指出r、s 所满足的条件；若不存在，请说明理由．2014年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数Z=（i为虚数单位），则其共轭复数在复数平面上对应的点位于四象限．【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则化简z，即可得到，根据复数的几何意义即可得出．【解答】解：∵复数Z====1+2i．则其共轭复数=1﹣2i在复数平面上对应的点（1，﹣2）位于第四象限．故答案为：四．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义，属于基础题．2．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1（4）1．【考点】4R：反函数；O1：二阶矩阵．【专题】17：选作题；5R：矩阵和变换．【分析】先求出函数，令3x+1=4，可得x．【解答】解：函数f（x）==3x+1，令3x+1=4，可得x=1故答案为：1．【点评】本题考查二阶矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．3．（4分）如果一个圆锥的高不变，要使它的体积扩大为原来的9倍，那么他的底面半径应该扩大为原来的3倍．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的高为h，底面半径为r，根据圆锥的高不变，其体积扩大为原来的9倍，可得底面半径应该扩大为原来的3倍．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，则9×πr2h=π（3r）2×h，∴底面半径应该扩大为原来的3倍．故答案为：3．【点评】本题考查了圆锥的体积公式，熟练掌握圆锥的体积公式是关键．4．（4分）二项式（x+y）5的展开式中，含x3y2的项的系数是10．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令r=2，可得含x3y2的项的系数．【解答】解：二项式（x+y）5的展开式的通项为T r+1=C5r x5﹣r y r，令r=2，可得含x3y2的项的系数是C52=10故答案为：10．【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．5．（4分）函数y=sin2x+2sin2x最小正周期T为π．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数；H1：三角函数的周期性．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期．【解答】解：y=sin2x+2×=sin2x﹣cos2x+=2（sin2x﹣cos2x）+=2sin（2x﹣）+，∵ω=2，∴T=π．【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．6．（4分）已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），那么k=．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】已知双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），可求出渐近线的斜率，由此求出k的值即可．【解答】解：由题意双曲线k2x2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），可得渐近线的斜率为﹣，由于双曲线的渐近线方程为y=±kx故k=，故答案为：【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线的法向量是（1，2），由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．7．（4分）（如图）已知△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，AD是BC边上的高，则•=3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用直角三角形的边角关系可得BD，再利用数量积定义即可得出．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，AD是BC边上的高，∴BD=ABcos30°==．∴•===3．【点评】本题考查了直角三角形的边角关系、数量积定义，属于基础题．8．（4分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2+2x，那么不等式f（x+1）＜3的解集是（﹣4，2）．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】首先，求解当x＞0时，函数的解析式，然后，求解不等式即可．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）=x2﹣2x，∴，∵函数f（x）为偶函数，∴f（|x|）=f（x），∴f（x+1）=f（|x+1|）＜3，∴f（|x+1|）=（x+1）2﹣2|x+1|＜3，∴，解得﹣4＜x＜2，故答案为（﹣4，2）．【点评】本题重点考查函数的奇偶性、分段函数、不等式的解法等知识，考查比较综合，属于中档题．9．（4分）在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n个圆的面积之和，则s n=4πr2．【考点】8J：数列的极限．【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列．【分析】先确定内切圆半径组成以r为首项，为公比的等比数列，从而圆的面积组成以πr2为首项，为公比的等比数列，进而可求极限的值．【解答】解：依题意可知，图形中内切圆半径分别为：r，r•cos30°，（r•cos30°）cos30°，（r•cos30°cos30°）cos30°，…，即内切圆半径组成以r为首项，为公比的等比数列∴圆的面积组成以πr2为首项，为公比的等比数列∴S n==4πr2故答案为：4πr2．【点评】本题考查数列的极限，解题时要认真审题，仔细计算，避免出错．解题的关键是熟练掌握正六边形的性质10．（4分）掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题．【分析】根据掷两颗骰子得两数a和b，所有的（a，b）共有36个，不满足“两数之和大于4”的（a，b）有共有6个，故满足“两数之和大于4”的共有30个，由此求得事件“两数之和大于4”的概率．【解答】解：掷两颗骰子得两数a和b，所有的（a，b）共有6×6=36个，其中不满足“两数之和大于4”的有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）共有6个，故满足“两数之和大于4”的共有30个，故事件“两数之和大于4”的概率为=．故答案为：．【点评】本题主要考查等可能事件的概率，得到不满足“两数之和大于4”的（a，b）有共有6个，是解题的关键．11．（4分）函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】根据函数f（x）=2sinωx在上单调递增，可得0＜ω≤2，结合在上的最大值是，可得sin（ω）=，进而求出ω值．【解答】解：∵函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，∴0＜ω≤2且sin（ω×）=解得ω=故答案为：【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的单调性，三角函数的值，其中根据已知分析出ω的范围是解答的关键．12．（4分）设、分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的取值范围是．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】设==（x，y）．B（1，0），C（0，2），D（2，0）．由于|BC|=，|﹣|+|﹣2|=，可知：点A在线段BC上，得到，（x∈[0，1]）．于是|+2|==，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：设==（x，y）．B（1，0），C（0，2），D（2，0）．∵|BC|=，|﹣|+|﹣2|=，∴点A在线段BC上，∴，化为2x+y=2（x∈[0，1]）．∴|+2|====，令f（x）=，∵x∈[0，1]，∴当x=时，f（x）取得最小值，即|+2|取得最小值．又f（0）=，f（1）=3，．∴|+2|的最大值为3．∴|+2|的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了向量的运算法则、模的几何意义、二次函数的单调性，考查了转化思想方法，属于难题．13．（4分）（文）已知函数f（x）=||x﹣1|﹣1|，若关于x的方程f（x）=t（t∈R）恰有四个互不相等的实数根x1、x2、x3、x4（x1＜x2＜x3＜x4），则x1+x2+x3•x4的取值范围是（3，4）．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】作出函数f（x）的图象，根据方程f（x）=t（t∈R）恰有四个互不相等的实数根，用t表示出四个根，然后计算即可得到结论．【解答】解：由||x﹣1|﹣1|=t，则t≥0，即|x﹣1|﹣1=±t，|x﹣1|=1±t；∴1+t≥0且1﹣t≥0，解得0≤t≤1；∵关于x的方程f（x）=t（t为实数）恰有四个不相等的实数根x1、x2、x3、x4，∴0＜t＜1，这四个根是x1=﹣t，x2=t，x3=2﹣t，x4=2+t，则x1+x2+x3•x4=﹣t+t+（2﹣t）（2+t）=4﹣t2，∵0＜t＜1，∴3＜4﹣t2＜4，即x1+x2+x3•x4的取值范围是（3，4），故答案为：（3，4）【点评】本题主要考查函数交点个数的应用，利用数形结合，确定四个根之间的关系是解决本题的关键．14．（4分）已知函数．则f（x）的最大值与最小值的乘积为．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】利用分子常数法，将函数转化为分数函数，利用分式函数的单调性和基本不等式的性质求函数的最大值和最小值．【解答】解：，当x=0时，f（x）=1，当k=1时，f（x）=1当x≠0时，f（x）=1+，∵，∴，若k＞1，则，∴，∴此时．当k＜1时，，∴，此时．即当k≥1时，；当k＜1时，．因此f max（x）•f min（x）=．故答案为：．【点评】本题主要考查函数的最值的求法，利用分数函数的性质是解决本题的关键，对应对k要进行分类讨论．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【考点】LJ：平面的基本性质及推论；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】14：证明题．【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选：B．【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．16．（5分）测试上海样本中有42所一般普通高中和32所中等职业技术学校，为了某项问题的研究，用分层抽样的方法需要从这两类学校中在抽取一个容量为37的样本，则应该抽取一般普通高中学校数为（）A．37B．5C．16D．21【考点】B3：分层抽样方法．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义，按照比例即可得到结论．【解答】解：∵样本中有42所一般普通高中和32所中等职业技术学校，∴抽取一个容量为37的样本，则应该抽取一般普通高中学校数为，【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据分层抽样的定义是解决本题的关键，比较基础．17．（5分）如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤4【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．【解答】解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，由x+y=xy得：，解得：x+y≥4．再由x+y=xy得：（x≠1）．设x1＞x2＞1，则=．因为x1＞x2＞1，所以x2﹣x10，x2﹣1＞0．则，即f（x1）＜f（x2）．所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．【点评】本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．18．（5分）（文）若数列{a n}的前n项和为S n，有下列命题：（1）若数列{a n}是递增数列，则数列{S n}也是递增数列；（2）无穷数列{a n}是递增数列，则至少存在一项a k使得a k＞0；（3）若{a n}是等差数列（公差d≠0），则S1•S2•…•S k=O的充要条件是a1•a2•…•a k=O；（4）若{a n}是等比数列，则S1•S2•…•S k=O（k≥2）的充要条件是a n+a n+1=0．其中，正确命题的个数（）A．0B．1C．2D．3【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质．【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n项和的意义，通过举反例可得（1）（2）（3）不正确．经过检验，只有（4）正确，从而得出结论．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，故S n =a1+a2+a3+…+a n，若数列{a n}是递增数列，则数列{S n}不一定是递增数列，如a n=n﹣60，当a n＜0 时，数列{S n}是递减数列，故（1）不正确．（2）无穷数列{a n}是递增数列，则不一定存在一项a k使得a k＞0，不正确；（3）若{a n}是等差数列（公差d≠0），则由S1•S2…S k=0不能推出a1•a2…a k=0，例如数列：﹣3，﹣1，1，3，满足S4=0，但a1•a2•a3•a4≠0，故（3）不正确．（4）一方面：若{a n}是等比数列，则由S1•S2…S k=0（k≥2，k∈N），从而当k=2时，有S1•S2=0⇒S2=0⇒a1+a2=0，∴a2=﹣a1，从而数列的{a n}公比为﹣1，故有a k+a k+1=a k﹣a k=0．另一方面，由a k+a k+1=0可得a k=﹣a k+1，∴a2=﹣a1，可得S2=0，∴S1•S2…S k=0（k≥2，k∈N），故（4）正确．故选：B．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n项和的意义，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．【考点】18：集合的包含关系判断及应用；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）分式不等式的解法，可转化为整式不等式（x﹣a）（x+1）＜0来解；对于（II）中条件Q⊆P，应结合数轴来解决．【解答】解：（I）由，得P={x|﹣1＜x＜3}．（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．【点评】对于条件Q⊆P的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解．20．（14分）已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的焦距为2，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，直线l：y=2x+b（b∈R）与椭圆Γ相交于A、B两点，且∠AOB为钝角．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求b的取值范围．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的焦距为2，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，求出a，b，即可求椭圆Γ的方程；（2）直线l：y=2x+b（b∈R）代入椭圆Γ，利用韦达定理，结合∠AOB为钝角，即可求b的取值范围．【解答】解：（1）由已知，解得a=2，b=1，∴椭圆Γ的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l：y=2x+b（b∈R）代入椭圆Γ，可得17x2+16bx+4b2﹣4=0，∴△=256b2﹣16×17（b2﹣1）＞0，即b2＜17，且x1+x2=﹣，x1x2=∴y1y2=4x1x2+2b（x1+x2）+b2=．∵∠AOB为钝角，∴x1x2+y1y2=＜0，∴﹣2＜b＜2，∵b=0时，∠AOB为平角，∴b的取值范围为（﹣2，0）∪（0，2）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（14分）设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射门，对球门所张的角最大？（保留两位小数）【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】先设∠AMB=α，∠AMC=β，MC=x得到，再结合两角差的正切公式求出tanα，最后结合基本不等式即可求出结论．【解答】解：如图设∠AMB=α，∠AMC=β，MC=x则，=当且仅当最大，因为α是锐角，所以此时α最大，即对球门的张角最大．【点评】本题主要考查三角知识在解三角形中的实际应用．解决这类问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．22．（16分）已知f（x）=x+．（1）指出的f（x）值域；（2）求函数g（x）=f（x）﹣p（p∈R）的零点的个数．（3）若函数f（x）对任意x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】34：函数的值域；3R：函数恒成立问题；53：函数的零点与方程根的关系．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）分当x＞0和当x＜0时两种情况，分别根据函数的解析式求得函数的值域，综合可得结论．（2）函数g（x）=f（x）﹣p（p∈R）的零点的个数，即函数f（x）的图象和直线y=p的交点个数．结合（1）的结论，分类讨论求得结果．（3）由题意可得，对于任意x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（mx）+mf（x）=2mx﹣＜0恒成立，再分m＞0和m＜0两种情况，分别求得m的范围，再取并集，即得所求．【解答】解：（1）当x＞0时，≥2，当x＜0时，，所以，f（x）值域为R．（2）函数g（x）=f（x）﹣p（p∈R）的零点的个数，即函数f（x）的图象和直线y=p的交点个数．由（1）可得，当x＞0时f（x）=x+≥2．当x＜0时f（x）=x﹣，由＞0，可得f（x）在（﹣∞，0）上是增函数．故当p＞2时，函数g（x）=f（x）﹣p（p∈R）的零点的个数是3．当p=2时，函数g（x）=f（x）﹣p（p∈R）的零点的个数是2，当p＜2时，函数g（x）=f（x）﹣p（p∈R）的零点的个数是1．（3）显然，m≠0，函数f（x）=x﹣在[﹣2，﹣1]上是增函数，再由不等式f（mx）+mf（x）=2mx﹣＜0恒成立，可得①当m＞0时，2m2x2﹣m2﹣1＞0恒成立，即m2＞恒成立，而在[﹣2，﹣1]上的最大值为1，∴m＞1．②当m＜0时，，即2m2x2﹣m2+1＜0．由于x∈[﹣2，﹣1]时，2x2﹣1＞0，不等式左边恒正，该式不成立．综上可得，m的范围为m＞1．【点评】本题主要考查函数零点与方程根的关系，函数的恒成立问题，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．23．（18分）已知非零数列{a n}的递推公式为a1=1，a n=a n•a n+1+2a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{1+}是等比数列；（2）若关于n的不等式++…+＜m﹣有解，求整数m的最小值．（3）在数列{+1﹣（﹣1）n}（1≤n≤11）中，是否一定存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤11），使得这三项依次成等差数列？若存在，请指出r、s 所满足的条件；若不存在，请说明理由．【考点】8K：数列与不等式的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知条件推导了=1，从而得到，由此能证明{1+}是等比数列．（2）由（1）知1+=2n，由题设条件得到＜m﹣，令f（n）=，由f（n）是增函数，能求出整数m的最小值．（3）由已知条件推导出=2n+（﹣1）n=b n，要使b1，b r，b s成等差数列，只需b1+b s=2b r，由此求出存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤11），使得这三项依次成等差数列．【解答】（1）证明：∵非零数列{a n}的递推公式为a1=1，a n=a n•a n+1+2a n+1（n∈N*），∴=1，∴，∴{1+}是首项为2，公比为2的等比数列．（2）解：∵{1+}是首项为2，公比为2的等比数列，∴1+=2n，∵++…+＜m﹣，∴++…+=＜m﹣，令f（n）=，则f（n+1）﹣f（n）==＞0，∴f（n）是增函数，∴f（n）min=f（1）=，∴．解得m＞3，∴整数m的最小值为4．（3）∵1+=2n，∴，∴=2n+（﹣1）n=b n，要使b1，b r，b s成等差数列，只需b1+b s=2b r，即2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3，∵s≥r+1，∴2s﹣2r+1≥0，∵（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3≤0，∴当且仅当s=r+1，且s为不小于的偶数时，存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤11），使得这三项依次成等差数列．【点评】本题考查等比数列的证明，考查最小值的求法，考查数列中存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤11），使得这三项依次成等差数列的证明，解题时要注意等价转化思想的合理运用．。

上海市嘉定区2014届高考第三次质量调研数学试卷（理）一．填空题（每小题4分，满分56分）1．已知C ∈x ，且42-=x ，则=x ____________． 2．方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________．3．已知集合},082{2Z ∈<-+=x x x x A ，集合},3|2|{R ∈<-=x x x B ，则=B A __________．4．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32cos 2πx y 的单调递减区间是__________________________．5．若函数ax x y -+=12的图像关于直线x y =对称，则实数a 的值为_____________．6．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积为_________________．7．已知α、β均为锐角，且)sin()cos(βαβα-=+，则=αtan ___________．8．已知向量)sin ,(cos θθ=a （],0[πθ∈），)1,3(-=b ，则|2|b a-的取值范围是________．9．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 22y x （θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 上两点A 、B 的极坐标分别为)0,2(、)2,332(π，则直线l 与圆C 的位置关系是____________．10．计算：=+++++++∞→nn n nn C C C 2421lim ____________． 11．若函数)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，且满足x e x g x f =-)()(，将)2(f 、)3(f 、)0(g 按从小到大的顺序排列为___________________．12．在等差数列}{n a 中，0≠n a ，当2≥n 时，0121=+-+-n nn a a a ，n S 为}{n a的前n 项和，若4612=-k S ，则=k __________．13．如图，F 为双曲线12222=-by a x （0>>a b ）的右焦点，过F 作直线l 与圆222b y x =+切于点M ，与双曲线交于点P ，且M 恰为线段PF 的中点，则双曲线的渐近线方程是________________________． 14．函数)cos()(x x f π=与函数||1|log |)(2-=x x g 的图像所有交点的横坐标之和为___________．二．选择题（每小题5分，满分20分）15．“122<+b a ”是“1||<a ，1||<b ”的……………………………………………………………（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 16．已知随机变量ξ的分布律如下：x)(x P =ξ其中a ，b ，c 成等差数列，若ξ的均值34)(=ξE ，则ξ的方差)(ξD 等于……………………（ ） A ．91 B ．31 C ． 95 D ． 9717．已知平面上三条直线012=+-y x ，01=-x ，0=+ky x ，如果这三条直线将平面分为六部分，则实数k 的个数是……………………………………………………………………………………（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111第13题的取值范围是……………………………………………………………………………………………（ ） A ．)3,1( B ．)5,3( C ．),2(∞+ D ．),1(∞+ 三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，⊥PA 底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，⊥AM 平面PBD ．（1）求四棱锥ABCD P -的体积；（2）求直线PC 与平面AMD 所成角的大小．20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，某市拟在长为8千米的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数x A y ωsin =（0>A ，0>ω），]4,0[∈x 的图像，且图像的最高点为)32,3(S ；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定2π=∠MNP （1）求A ，ω的值和线段MP 的长；（2）设θ=∠PMN ，问θ为何值时，才能使折线段赛道MNP 最长？ PA B D M21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）在等比数列}{n a 中，公比1≠q ，等差数列}{n b 满足311==a b ，24a b =，313a b =． （1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（2）记n n n n a b c +⋅-=)1(，求数列}{n c 的前n 项和n S ． 22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知点)0,2(-A ，)0,2(B ，动点C 、D 依次满足2||=AC ，)(21AC AB AD +=． （1）求动点D 的轨迹方程；（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，若线段MN 的中点到y 轴的距离为54，且直线l 与圆122=+y x 相切，求该椭圆的方程；（3）经过（2）中椭圆的上顶点G 作直线m 、n ，使n m ⊥，直线m 、n 分别交椭圆于点P 、Q ．求证：PQ 必过y 轴上一定点．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上的最大值为4，最小值为1，记|)(|)(x g x f =．（1）求实数a ，b 的值；（2）若不等式)2()(log 2f k f >成立，求实数k 的取值范围；（3）对于任意满足q x x x x x p n n =<<<<<=-1210 （*N ∈n ，3≥n ）的自变量0x ，1x ，2x ，…，n x ，如果存在一个常数0>M ，使得定义在区间],[q p 上的一个函数)(x m ，M x m x m x m x m x m x m n n ≤-++-+--|)()(||)()(||)()(|11201 恒成立，则称函数)(x m 为区间],[q p 上的有界变差函数．试判断函数)(x f 是否区间]3,1[上的有界变差函数，若是，求出M 的最小值；若不是，请说明理由．上海市嘉定区2014届高考第三次质量调研数学试卷（理）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分） 1．i 2±； 2． 5； 3。

2014年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 若复数Z =3+i 1−i（i 为虚数单位），则其共轭复数在复数平面上对应的点位于________象限． 2. 已知函数f(x)=|1−113x |，则f −1(4)________． 3. 如果一个圆锥的高不变，要使它的体积扩大为原来的9倍，那么他的底面半径应该扩大为原来的________倍．4. 二项式(x +y)5的展开式中，含x 3y 2的项的系数是________．（用数字作答）5. 函数y ＝sin2x +2√3sin 2x 最小正周期T 为________．6. 已知双曲线k 2x 2−y 2=1(k >0)的一条渐近线的法向量是(1, 2)，那么k =________．7. （如图）已知△ABC 中，∠ABC =30∘，AB =2，AD 是BC 边上的高，则BD →⋅BA →=________．8. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f(x)=x 2+2x ，那么不等式f(x +1)<3的解集是________．9. 在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n 为前n 个圆的面积之和，则limn →∞s n=________． 10. 掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为________． 11. 若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[0, π4]上单调递增，则ω=________．12. 设i →、j →分别表示平面直角坐标系x 、y 轴上的单位向量，且|a →−i →|+|a →−2j →|=√5，则|a →+2i →|的取值范围是________． 13. 已知f(x)={|log 3x|，0<x ≤3，13x 2−103x +8，x >3，a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则a ⋅ b ⋅c ⋅d 的取值范围是（ ）A (18,28)B (18,25)C (20,25)D (21,24)14. A k={x|x=kt+1kt , 1k2≤t≤1}，其中k=2，3，…，2014，则所有A k的交集为________．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1 // l3B l1⊥l2，l2 // l3⇒l1⊥l3C l1 // l2 // l3⇒l1，l2，l3共面 D l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面16. 测试上海样本中有42所一般普通高中和32所中等职业技术学校，为了某项问题的研究，用分层抽样的方法需要从这两类学校中在抽取一个容量为37的样本，则应该抽取一般普通高中学校数为（）A 37B 5C 16D 2117. 如果函数y＝f(x)图象上任意一点的坐标(x, y)都满足方程lg(x+y)＝lgx+lgy，那么正确的选项是（）A y＝f(x)是区间(0, +∞)上的减函数，且x+y≤4B y＝f(x)是区间(1, +∞)上的增函数，且x+y≥4C y＝f(x)是区间(1, +∞)上的减函数，且x+y≥4D y＝f(x)是区间(1, +∞)上的减函数，且x+y≤418. 若数列{a n}的前n项和为S n，有下列命题：(1)若数列{a n}的极限存在但不为零，则数列{S n}的极限一定不存在；(2)无穷数列{S2n}、{S2n−1}的极限均存在，则数列{S n}的极限一定存在；(3)若{a n}是等差数列（公差d≠0），则S1⋅S2•…•S k=O的充要条件是a1⋅a2•…•a k=O；(4)若{a n}是等比数列，则S1⋅S2•…•S k=O(k≥2)的充要条件是a n+a n+1=0．其中，错误命题的序号是（）A (1)(2)B (2)(3)C (3)(4)D (1)(4)三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. 记关于x的不等式x−ax+1<0的解集为P，不等式|x−1|≤1的解集为Q．(1)若a=3，求P；(2)若Q⊆P，求正数a的取值范围．20. 已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√3，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，直线l:y=2x+b(b∈R)与椭圆Γ相交于A、B两点，且∠AOB为钝角．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求b的取值范围．21. 设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射门，对球门所张的角最大？（保留两位小数）22. 已知非零数列{a n}的递推公式为a1=1，a n=a n⋅a n+1+2a n+1(n∈N∗)（1）求证：数列{1+1a n}是等比数列；（2）若关于n的不等式1n+log2(1+1a1)+1n+log2(1+1a2)+...+1n+log2(1+1a n)<m−52有解，求整数m的最小值．（3）在数列{1a n+1−(−1)n}(1≤n≤11)中，是否一定存在首项、第r项、第s项(1<r< s≤11)，使得这三项依次成等差数列？若存在，请指出r、s所满足的条件；若不存在，请说明理由．23. 已知f(x)=x+1|x|．（1）指出的f(x)值域；（2）求函数f(x)对任意x∈[−2, −1]，不等式f(mx)+mf(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．（3）若对任意正数a，在区间[1, a+2014a]内存在k+1个实数a1，a2，…，a k+1使得不等式f(a1)+f(a2)+...+f(a k)<f(a k+1)成立，求k的最大值．2014年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）答案1. 四2. 13. 34. 105. π6. 127. 38. (−4, 2)9. 4πr210. 5611. (0, 2]12. [6√55，3]13. D14. [2, 52]15. B16. D17. C18. B19. 解：(1)由x−3x+1<0，得P={x|−1<x<3}．(2)∵ Q={x||x−1|≤1}={x|0≤x≤2}．由a>0，得P={x|−1<x<a}，又Q⊆P，再结合图形，∴ a>2，即a的取值范围是(2, +∞)．20. 解：（1）由已知{a2−b2=3a=2b，解得a=2，b=1，∴ 椭圆Γ的方程为x24+y2=1；（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则直线l:y=2x+b(b∈R)代入椭圆Γ，可得17x2+16bx+4b2−4=0，∴ △=256b2−16×17(b2−1)>0，即b2<17，且x1+x2=−16b17，x1x2=4b2−417∴ y1y2=4x1x2+2b(x1+x2)+b2=b2−1617．∵ ∠AOB为钝角，∴ x1x2+y1y2=5b2−2017<0，∴ −2<b<2，∵ b=0时，∠AOB为平角，∴ b的取值范围为(−2, 0)∪(0, 2)．21. 解：如图设∠AMB=α，∠AMC=β，MC=x则tanβ=29x ，tan(α+β)=36x，tanα=tan[(α+β)−β]=tan(α+β)−tanβ1+tan(α+β)tanβ=36x−29x⋅=7xx2+36×29=7x+36×29x≤712√29当且仅当x=36×29x，即x=6√29≈32.31时，tanα最大，因为α是锐角，所以此时α最大，即对球门的张角最大．22. （1）证明：∵ 非零数列{a n}的递推公式为a1=1，a n=a n⋅a n+1+2a n+1(n∈N∗)，∴ 1a n+1−2a n=1，∴ 1a n+1+1=2(1a n+1)，∴ {1+1a n}是首项为2，公比为2的等比数列．（2）解：∵ {1+1a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴ 1+1a n=2n，∵ 1n+log2(1+1a1)+1n+log2(1+1a2)+...+1n+log2(1+1a n)<m−52，∴ 1n+log2(1+1a1)+1n+log2(1+1a2)+...+1n+log2(1+1a n)=1n+1+1n+2+⋯+1n+n<m−52，令f(n)=1n+1+1n+2+⋯+1n+n，则f(n+1)−f(n)=12n+1+12n+2−1n+1=12n+1−12n+2>0，∴ f(n)是增函数，∴ f(n)min=f(1)=12，∴ 12<m−52．解得m>3，∴ 整数m的最小值为4．（3）∵ 1+1a n=2n，∴ a n=12n−1，∴ 1a n+1+(−1)n=2n+(−1)n=b n，要使b1，b r，b s成等差数列，只需b1+b s=2b r，即2s−2r+1=(−1)s−2(−1)r−3，∵ s≥r+1，∴ 2s−2r+1≥0，∵ (−1)s−2(−1)r−3≤0，∴ 当且仅当s=r+1，且s为不小于的偶数时，存在首项、第r项、第s项(1<r<s≤11)，使得这三项依次成等差数列．23. 解：（1）当x>0时，f(x)=x+1|x|=x+1x≥2；当x<0时，f(x)=x+1|x|=x−1x∈R．∴ 函数f(x)的值域为R；（2）由题意知，m≠0，当x∈[−2, −1]，函数f(x)=x−1x ，f′(x)=1+1x2>0，∴ f(x)=x−1x在[−2, −1]上为增函数，①当m>0时，由x∈[−2, −1]，得f(mx)+mf(x)=mx−1mx +mx−mx=2mx−m2+1mx<0恒成立，即2m2x2−m2−1>0恒成立，由于x∈[−2, −1]时，2x2−1>0，也就是m2>12x2−1恒成立，而12x2−1在[−2, −1]上的最大值为1，因此，m>1．②当m<0时，mx+1mx +mx−mx=2mx+1−m2mx<0，即2m2x2−m2+1<0．由于x∈[−2, −1]时，2x2−1>0，不等式左边恒正，该式不成立．综上所述，m>1；（3）取a=√2014，则在区间[1,2√2014]内存在k+1个符合要求的实数．注意到[1,2√2014]⊆[1, a+2014a]．故只需考虑在[1,2√2014]上存在符合要求的k+1个实数a1，a2，…，a k+1，函数f(x)=x+1x在[1,2√2014]上为增函数，∴ f(1)≤f(a i)(i=1, 2,…,k)，f(a k+1)≤f(2√2014)，将前k个不等式相加得，kf(1)≤f(a1)+f(a2)+⋯+f(a k)< f(a k+1)≤f(2√2014)，得k<√20144√2014<45，∴ k≤44．当k=44时，取a1=a2=...=a44=1，a45=2√2014，则题中不等式成立．故k的最大值为44．。