2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式学案理

3-5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式练习 文[A 组·基础达标练]1．化简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为( ) A.12B.32 C ．－12D ．－32答案 A解析 cos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－sin15°·sin45°＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝12.2．[2015·某某中学二调]3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D 解析3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin 10°－30°12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4，故选D.3．[2016·某某四校联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( )A.12B.23 C ．－12D ．1答案 C解析 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 4．[2016·某某期末]tan π12－1tan π12等于( )A ．4B ．－4C ．23D ．－2 3 答案 D解析 ∵tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3·ta nπ4＝3－11＋3＝2－3，∴tan π12－1tan π12＝2－3－12－3＝－2 3.5．[2015·某某监测]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235C.45D ．－45 答案 D解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45.6．[2015·某某一模]已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12B.12C ．－13D.2327答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝223， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 7．[2016·某某检测]在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案 A解析 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.8．[2016·日照一模]函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝－π12D ．x ＝－π24答案 A解析 对函数进行化简可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3cos ⎝⎛x ＋π2⎭⎪⎫－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3· sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6， 则由4x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π12，k ∈Z . 当k ＝0时，x ＝π12.故选A.9．化简：sin50°(1＋3tan10°)＝________. 答案 1 解析sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin10°cos10°＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°·cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.10．[2015·某某摸底]已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－13，则tan β＝________.答案 17解析 依题意得tan α＝12，又tan(β－α)＝－13，∴tan β＝tan[(β－α)＋α]＝tan β－α＋tan α1－tan β－α·tan α＝17.11．[2014·某某高考]已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.12．[2015·某某模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值．解 (1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2. 由题意知函数f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin2x ＋2cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ( θ＋π4 )sin π4＝7210，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos2θ＝2(1－2sin 2θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825. [B 组·能力提升练]1．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°1＋tan 213°，c ＝1－cos50°2，则有() A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．a <c <b 答案 D 解析 a ＝12cos6°－32sin6°＝sin24°，b ＝2tan13°1＋tan 213°＝sin26°，c ＝1－cos50°2＝sin25°，所以b >c >a ，故选D. 2．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 答案17250解析 因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2425×22－725×22＝17250. 3．[2016·某某八校联考]如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2·cos α2－32的值为________．答案513解析 由题意得|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.4．[2015·某某二模]已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，函数f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (2B )的取值X 围．解 f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. (1)由f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1＝－12.(2)由余弦定理及a cos C ＋c2＝b ，可得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又∵△ABC 是锐角三角形，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2， ∴π3<B ＋π6<2π3，又f (2B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋12，∴1＋32<f (2B )≤32.∴f (2B )的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1＋32，32.。

2019年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标21两角和与差的正弦余弦和正切公式理[解密考纲]三角恒等变换是三角变换的工具．主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查．一、选择题1．(2016·河南洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( D )A ．－13B ．－23C ．13D ．23解析：∵cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23. 2．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( D )A ．118B ．－118C ．1718D ．－1718 解析：cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，代入原式，得 6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，－π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α<0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718，故选D ．3．(2017·河南八市质检)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，那么sin 2α＋cos 2α的值为( A )A ．－15B ．75C ．－75D ．34解析：由tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，知tan 2α＋11－tan 2α＝17，∴tan 2α＝－34.∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2α＝35，cos 2α＝－45， ∴sin 2α＋cos 2α＝－15，故选A ．4．(2017·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( A )A ．1＋358B ．1＋538C ．1－358D ．1－538解析：由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，又由α为锐角，可得cos α＝154， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12sin α＋32cos α＝1＋358，故选A ． 5．(2016·河南中原名校3月联考)函数f (x )＝12sin 2x ＋12tan π3cos 2x 的最小正周期为( B )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π解析：因为f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故选B ． 6．(2017·贵州贵阳检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( D )A ．－235B ．235C ．45D ．－45解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sinα＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cosαsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45.二、填空题7.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为______1.解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.8．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝π3.解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.9．(2017·山东济宁一模)已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan(α＋β)＝9tan β，则tan α的最大值为43.解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α>0，tan β>0，∴tan α＝tan(α＋β－β)＝α＋β－tan β1＋α＋ββ＝8tan β1＋9tan 2β＝81tan β＋9tan β≤82×3＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当1tan β＝9tan β时等号成立，即(tan α)max ＝43. 三、解答题10．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. 解析：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α.又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45＝10＋32－4620.11．已知，0<α<π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解析：(1)sin 2β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.12．(2017·湖南常德模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值．解析：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)，∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4·cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4·sin π4＝7210，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos 2θ＝2(1－2sin 2θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825.。

第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________. 2．公式变形(1)tan α±tan β＝________.(2)函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .答案1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．(1)tan(α±β)(1∓tan αtan β)1．sin75°的值为________．解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋242．已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是____. 解析：∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.答案：4－33103．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 答案： 3知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式 sin2α＝________.cos2α＝________＝________＝________. tan2α＝________. 2．有关公式的逆用、变形等(1)cos 2α＝________，sin 2α＝________. (2)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 答案1．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 2.(1)1＋cos2α2 1－cos2α24．计算：tan7.5°1－tan 27.5°＝________. 解析：tan7.5°1－tan 27.5°＝12×2tan7.5°1－tan 27.5° ＝12tan15°＝12tan(45°－30°) ＝12×tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝12×1－331＋33＝2－32. 答案：2－325．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin2x ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0)，则A ＝________，b ＝________. 解析：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1热点一 三角公式的正用与逆用【例1】 (1)化简：＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：sin50°(1＋3tan10°)．【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos 60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin 15°sin8°的值；(2)求tan20°＋4sin20°的值． 解：(1)原式 ＝－＋cos15°sin8°－－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3. (2)原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝－＋＋cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝332cos10°＋12sin10°cos20°＝3－cos20°＝ 3.热点二 三角函数式求值 考向1 给值求值【例2】 已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．【解】 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.1．在本例条件下，求sin(α－2β)的值． 解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.2．若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝35－131＋35×13＝29.考向2 给值求角【例3】 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【解】 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－725(2)已知cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值． 解析：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D. (2)解：∵π<α<3π2，3π2<α＋β<2π，∴0<β<π.又cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝17226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－22，且0<β<π，所以β＝3π4.答案：(1)D热点三 三角恒等变换的综合应用 【例4】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tanxsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性． 【解】 (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋k π，k ∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sinxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx ＋32sinx － 3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(Ⅱ)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z}，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x ∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解：(1)f(x)＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.因此2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)．三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心．本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升．策略1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半．【例1】 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α＝________. 【解析】 解法1：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝35，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①可得cos 2α＝13⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋652，代入②并整理得100sin 2α＋60sin α－39＝0， 解得sin α＝43－310，或sin α＝－43＋310(舍)．解法2：因为α为锐角，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43－310.【答案】43－310【点评】 不少同学习惯用解法1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法2抓住了α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷． 策略2 从函数名入手，化切为弦助解题在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为正弦(余弦)．【例2】 求1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.【解】 因为1tan5°－tan5°＝cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos 25°－sin 25°sin5°cos5°＝2cos10°sin10°， 所以原式＝2cos 210°4sin10°cos10°－sin10°·2co s10°sin10°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°2sin10°－－sin10° ＝cos10°2sin10°－cos10°－3sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32. 策略3 从结构入手，存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构．解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一．【例3】 (1)已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)已知cosxcosy ＝12，求sinxsiny 的取值范围． 【解】 (1)证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，整理可得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α. 因为α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)， 所以cos(α＋β)·cos α≠0，则有tan(α＋β)＝2tan α.(2)设p ＝sinxsiny ，则cos(x －y)＝cosxcosy ＋sinxsiny ＝12＋p ，cos(x ＋y)＝cosxcosy －sinxsiny ＝12－p. 因为|cos(x±y)|≤1， 所以－1≤12＋p≤1，且－1≤12－p≤1， 解得－12≤p≤12. 【点评】 题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题．这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法．策略4 “先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略．这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路．【例4】 已知0<x<π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，求 cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值． 【解】 解法1(先化简后求值)： 原式＝cos 2x －sin 2x22－＝2(cosx ＋sinx)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则原式＝21－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 解法2(先局部后整体)：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513. 下面从两个角度求cos2x ：角度1：cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； 角度2：cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cosx －sinx)·(cosx＋sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213， 故cos2x ＝2×513×1213＝120169. 所以cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169÷513＝2413. 【点评】 采用“先化简后求值”解题简捷流畅，采用“先局部后整体”解题思路简单，条理清晰．两种方法各有千秋，都是值得我们重视的好方法.。

（参考）2019年高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad ．(2)公式：3．任意角的三角函数[小题体验]1．若θ满足sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边所在的象限为( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D2．已知角α的终边经过点(－4，－3)，则cos α＝( )A．B．－45C．D．－35答案：B3．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1．21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝，cos α ＝，tan α＝．[小题纠偏]1．若角α终边上有一点P(x,5)，且cos α＝(x≠0)，则sin α＝( )A．B．1213C．D．－513答案：A2．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．答案：四一[题组练透]1．给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C －是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( )A．sin>0 B．cos>0C．tan>0 D．sincos<0解析：选C ∵＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ<<＋kπ．当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角，即tan >0一定成立，故选C．3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°．答案：－675°或－315°4．已知角β的终边在直线x－y＝0上，则角β的集合S＝____________________．解析：如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．答案：{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，(k∈N*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置．[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为( )A．40π cm2B．80π cm2C ．40 cm2D ．80 cm2解析：选B ∵72°＝，∴S 扇形＝|α|r2＝××202＝80π(cm2)．2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4解析：选C 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则解得或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝＝＝4或α＝＝＝1．3．扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2．解析：由弧长公式l ＝|α|r，得r ＝＝，∴S 扇形＝lr ＝×20×＝．答案：360π[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r，扇形的面积公式是S ＝lr ＝|α|r2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第3题．考点三三角函数的定义题点多变型考点——多角探明[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有：(1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定；(3)三角函数线的应用．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝________．解析：∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，∴cos α＝＝－，即x＝或x＝－(舍去)，∴P，∴sin α＝－，∴tan α＝＝，则＋＝－＋＝－．答案：－23角度二：三角函数值的符号判定2．若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选C 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．角度三：三角函数线的应用3．函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．解析：∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，∴－<sin x<．利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈(k∈Z)．答案：(k∈Z)[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α的值为( )A．B．－45C．D．－35解析：选D 因为点A的纵坐标yA＝，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－．2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )A．－B．－35C．D．45解析：选B 设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝．当t>0时，cos θ＝；当t<0时，cos θ＝－．因此cos 2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－．1．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B 因为点P在第三象限，所以所以α的终边在第二象限，故选B．2．设角α终边上一点P(－4a,3a)(a<0)，则sin α的值为( ) A．B．－C．D．－45解析：选B 设点P与原点间的距离为r，∵P(－4a,3a)，a<0，∴r＝＝|5a|＝－5a．∴sin α＝＝－．3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A．B．π2C．D．2解析：选C 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝αr，所以α＝．4．在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝，即B(－1，)．答案：(－1，)5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________．解析：因为sin θ＝＝－，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8．答案：－81．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A．B．π6C．－D．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的，即为－×2π＝－．2．(2016·福州一模)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝( )A．B．34C．－D．－43解析：选D 因为α是第二象限角，所以cos α＝x＜0，即x＜0．又cos α＝x＝．解得x＝－3，所以tan α＝＝－．3．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A．sin 2 B．－sin 2C．cos 2 D．－cos 2解析：选D 因为r＝＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝＝－cos 2．4．设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，∵＝－cos ，∴cos <0，综上知为第二象限角．5．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选 C 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．6．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析：∵2 017°＝217°＋5×360°，∴在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°．答案：217°7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则＝，∴α＝．∴扇形的弧长与圆周长之比为＝＝． 答案：5189．在(0,2π)内，使sin x>cos x 成立的x 的取值范围为____________________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin ＝cos ＝，sin ＝cos ＝－．根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈．答案：⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 10．已知扇形AOB 的周长为8．(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ． 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝＝或α＝＝6． (2)法一：∵2r＋l ＝8，∴S 扇＝lr ＝l ·2r ≤2＝×2＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4． ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1． 法二：∵2r＋l ＝8，∴S 扇＝lr ＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4．∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1．1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A．sin α＋cos α＜0 B．tan α－sin α＜0C．cos α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0解析：选B ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A、C、D．2．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝＋＋的值为( )A．1 B．－1C．3 D．－3解析：选B 由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0．所以y＝－1＋1－1＝－1．3．已知sin α＜0，tan α＞0．(1)求α角的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断 tansin cos的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为．(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，故终边在第二、四象限．(3)当在第二象限时，tan ＜0，sin ＞0, cos ＜0，所以tan sin cos取正号；当在第四象限时， tan＜0，sin＜0, cos＞0，所以 tansincos也取正号．因此，tansin cos 取正号．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_ 1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝．2．诱导公式[小题体验]1．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝______．答案：－452．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值为________．答案：21．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝________．答案：－12132．(1)sin＝________，(2)tan＝________．答案：(1) (2) 3[题组练透]1．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：选C 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0．2．已知A ＝＋(k∈Z)，则A 的值构成的集合是( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1} C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析：选C 当k 为偶数时，A ＝＋＝2；k 为奇数时，A ＝－＝－2．3．已知tan ＝，则tan ＝________．解析：tan ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ＝－． 答案：－334．(易错题)设f(α)＝，则f ＝________． 解析：∵f(α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin2α＋sin α－cos2α＝＝cos α＋2sin αsin α＋2sin α＝，∴f＝＝＝＝．答案： 3[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．[典例引领]1．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值为( )A．－B．－25C．D．25解析：选D 依题意得：＝5，∴tan α＝2．∴sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝＝＝．2．若α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________．解析：由tan α＝－，得sin α＝－cos α，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α<0，∴cos α＝－，sin α＝，故sin α＋cos α＝－．答案：－105[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧[即时应用]1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A．B．－125C．D．－512解析：选D 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝＝＝，所以tan α＝＝＝－．法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan α＝＝－．故选D．2．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为( )A．B．－23C．D．－13解析：选 B 因为(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝．又因为θ∈，所以sin θ<cos θ，即sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－．1．若α∈，sin α＝－，则cos(－α)＝( )A．－B．45C．D．－35解析：选B 因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，即cos(－α)＝．2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于( )A．－B．－π33解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝．∵|θ|＜，∴θ＝．3．(2017·赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为( )A．B．－45C．2 D．－12解析：选A 由题意可得tan α＝2，所以cos＝sin 2α＝＝＝．故选A．4．已知α∈，sin α＝，则tan α＝________．解析：∵α∈，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－．答案：－435．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．解析：∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝．∴cos＝－sin A＝．答案：121．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝( )A．B．－455解析：选B 因为tan(α－π)＝，所以tan α＝． 又因为α∈，所以α为第三象限的角， sin ＝cos α＝－．2．已知sin ＝，则cos ＝( ) A ． B ．－223 C ．D ．－13解析：选D ∵cos＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ＝－sin ＝－．3．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，若f(2 016)＝5，则f(2 017)的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B ∵f(2 016)＝5，∴asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)＋4＝5， 即asin α＋bcos β＝1．∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝－1＋4＝3．4．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin ＝时，的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析：选B ∵sin＝，∴cos＝，∴在第一象限，且cos <sin，∴＝＝－1．5．计算：＝( )A．－B．－32C．D． 3解析：选D 原式＝－－－－＋＝cos 10°－－－－＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝．6．已知sin(3π－α)＝－2sin，则sin αcos α＝________．解析：∵sin(3π－α)＝－2sin，∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，∴sin αcos α＝sin αcos αsin2α＋cos2α＝＝－2－＋1＝－．答案：－257．已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈，则cos θ＝________．解析：∵a⊥b，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ．又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝， 又∵θ∈，∴cos θ＝． 答案：558．sin·cos·tan 的值是________．解析：原式＝sin·cos·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝··⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝××(－)＝－． 答案：－3349．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°．解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝×＋×＋1＝2．10．已知sin(3π＋α)＝2sin ，求下列各式的值： (1)；(2)sin2α＋sin 2α．解：由已知得sin α＝2cos α．(1)原式＝＝－．(2)原式＝sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝＝．1．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________．解析：sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝．答案：9122．已知f(x)＝(n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求f＋f的值．解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝π＋π－＋π－x]＝＝＝sin2x；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝＋π＋＋π－x]＋＋1]π－x}＝cos2[2kπ＋π＋π＋π－＋π＋π－＝π＋π－π－＝－－＝sin2x ，综上得f(x)＝sin2x ．(2)由(1)得f ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009 ＝sin2＋sin21 008π2 018 ＝sin2＋sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 018＝sin2＋cos2＝1．第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)．[小题体验]1．函数y ＝2－cos (x∈R)的最小正周期为________． 答案：6π2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ＋2的定义域为________________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠k π＋π3，k∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x)，x∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B ．在上是增函数，在和上是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数。

第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos__β±cos_αsin__β； cos(α∓β)＝cos_αcos__β±sin_αsin__β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛⎭⎪⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos__α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z . 3．三角公式关系1．两角差余弦公式的推导过程如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B .则OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)．由向量数量积的坐标表示，有OA →·OB →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.设OA →与OB →的夹角为θ，则 OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos θ＝cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β.另一方面，由图(1)可知，α＝2k π＋β＋θ； 由图(2)可知，α＝2k π＋β－θ. 于是α－β＝2k π±θ，k ∈Z . 所以cos(α－β)＝cos θ.即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 2．辨明两个易误点(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． (2)在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．有关公式的逆用及变形用(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．角的变换技巧 α＝(α＋β)－β； α＝β－(β－α)； α＝12；β＝12；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.1.教材习题改编已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α为( ) A.210 B ．－210C.7210D ．－7210A 因为cos α＝－35，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝210. 2.教材习题改编化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为( ) A.32B.12 C ．－12D ．－32B 法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°·sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12. 法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941 B.129C.141D ．1Dtan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝________．因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以22cos x －22sin x ＝35，所以cos x －sin x ＝325，则1－sin 2x ＝1825，所以sin 2x ＝725.7255．sin 15°＋sin 75°的值是________．sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62.62三角函数公式的直接应用(1)(2017·贵阳市监测考试)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝513，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－717B.177C.717D ．－177(2)(2017·广州市综合测试(一))已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝( )A ．－7210B ．－210C.210D.7210【解析】 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1213，所以tan α＝－512，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－512＋11＋512＝717.(2)因为sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，所以cos α＝－45，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－210.【答案】 (1)C(2)B两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．1．(2017·湖南省东部六校联考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为( )A.1225B.2425 C ．－2425D ．－1225B 因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45>0，所以α＋π6为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，故选B.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4C 因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝1－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－4.故选C. 三角函数公式的活用(高频考点)三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，解答题中研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．高考对三角函数公式的考查主要有以下两个命题角度： (1)两角和与差公式的逆用及变形应用； (2)二倍角公式的活用．(1)(2015·高考重庆卷)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)求值：3tan 12°－3sin 12°（4cos 212°－2）＝________． 【解析】 (1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5，所以原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tanπ5tan α－tanπ5.又因为 tan α＝2tan π5，所以原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.(2)原式＝3×sin 12°cos 12°－3sin 12°（4cos 212°－2） ＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°（2cos 212°－1）＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24°＝23sin （12°－60°）12sin 48°＝－4 3.【答案】 (1)C (2)－43三角函数公式的应用技巧运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．角度一 两角和与差公式的逆用及变形应用1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________． 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. －452．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以tan αtan β－1＝tan α＋tan β. 所以1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 2角度二 二倍角公式的活用3．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1tan α·12sin 2α－2cos 2α＝( ) A ．cos 2α B ．sin 2α C ．cos 2α D ．－cos 2αD 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin αcos α＋cos αsin α·sin αcos α－2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)－2cos 2α＝1－2cos 2α＝－cos 2α.角的变换(1)(2017·深圳一模)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β＝( )A.22B.210C.22或－210D.22或210(2)(2017·六盘水质检)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12B.12 C ．－13D.2327【解析】 (1)因为α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，所以sin α＝255，cos(α－β)＝31010，从而cos β＝cos ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22，故选A. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)．因为cos α＝13，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin 2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝223，所以cos(α－β)＝cos＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 【答案】 (1)A (2)D若本例(2)条件不变，求cos 2β的值．因为cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin α＝223，sin(α＋β)＝223，cos β＝cos＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－13×13＋223×223＝79.所以cos 2β＝2cos 2β－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫792－1＝1781.角的变换技巧(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3的值为( ) A.23 B.12 C.34D.45Btan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝tan （α＋β）－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π31＋tan （α＋β）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12. 2．已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )A.3365B.6365 C ．－3365D ．－6365A 因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin β＝－513， 所以cos β＝1213.又因为α－β∈(0，π)，cos(α－β)＝35，所以sin(α－β)＝45，所以sin α＝sin＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.1．(2017·陕西西安质检)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1B.12C.32D ．－12Bsin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.13 B ．－13C.23D ．－23Ccos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝1＋132＝23，故选C.3．(2017·武汉市武昌区调研)已知cos(π－α)＝45，且α为第三象限角，则tan 2α的值等于( )A.34 B ．－34C.247D ．－247C 因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－35，tan α＝34，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝321－916＝247，故选C. 4．(2017·兰州市实战考试)sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A ．－15B.15 C ．－75D.75D 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α＋22sin α＝sin α＋cos α，又因为(sin α＋cosα)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝4925，0<α<π2，所以sin α＋cos α＝75，故选D.5．(2017·东北四市联考(二))已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．0D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α，所以tan α＝sin αcos α＝－1，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝1－2 sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，所以cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79.7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α＝________．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3， 所以cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3，所以tan α＝1. 18．已知sin(α－45°)＝－210，0°＜α＜90°，则cos α＝________． 因为0°＜α＜90°，所以－45°＜α－45°＜45°，所以cos(α－45°)＝1－sin 2（α－45°）＝7210， 所以cos α＝cos＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45° ＝45. 459．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝________．依题意可将已知条件变形为 sin ＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，因此有cos β＝－45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin(β＋π4)＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210. 721010．(2017·河北衡水中学二调)若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为________．因为tan α＋1tan α＝103， 所以(tan α－3)(3tan α－1)＝0，所以tan α＝3或13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α>1，所以tan α＝3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝22sin 2α＋22cos 2α＋2（1＋cos 2α）2＝22(sin 2α＋2cos 2α＋1)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α1＋tan 2α＋21－tan 2α1＋tan 2α＋1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫610－1610＋1＝0. 011．(2015·高考广东卷)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝ 2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 12．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos θ的值．(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝22A ＝322，所以A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝3⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π3＋cos θsin π3－⎝ ⎛－sin θcosπ3 ⎦⎥⎤⎭⎪⎫＋cos θsin π3 ＝6sin θcos π3＝3sin θ＝3，所以sin θ＝33.又因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63.13．(2017·山西省晋中名校高三联合测试)对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( )A.12 B.13C.14D ．与a 0有关的一个值A 集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”ω＝13⎣⎢⎡sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－a 0⎦⎥⎤＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－a 0＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－a 0 ＝13⎣⎢⎡cos 2a 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0＋32sin a 02＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0－32sin a 02＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2a 0＋12cos 2a 0＋32sin 2a 0＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤32（sin 2a 0＋cos 2a 0）＝12. 14．(2017·郑州第一次质量预测)△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，若3cos A ＋sin A 3sin A －cos A＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，则tan A ＝___________________________. 3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π32sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－A －π3 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝3π12＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.115．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，所以sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos 2α＝1－sin 22α＝35，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，所以cos 2β＝－2425， 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin 2β＝725，又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos α＝255，sin α＝55.所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.16．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值．(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． (1)因为y ＝a ＋2cos 2x 是偶函数，所以g (x )＝cos(2x ＋θ)为奇函数，而θ∈(0，π)，故θ＝π2，所以f (x )＝－(a ＋2cos 2x )sin 2x ，代入⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得a ＝－1.所以a ＝－1，θ＝π2.(2)f (x )＝－(－1＋2cos 2x )sin 2x ＝－cos 2x sin 2x ＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，故sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.。

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课堂达标（十八) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式[A 基础巩固练]1．（2018·福建师大附中检测）若sin 错误!＝错误!，则cos 错误!＝( )A ．－错误!B ．－错误!C 。

错误!D 。

错误![解析] cos 错误!＝cos 错误!＝－cos 错误!＝－错误!＝－错误!.［答案］ A2．(2018·兰州实战考试）若sin 2α＝错误!，0＜α＜错误!，则错误!cos 错误!的值为( ) A ．－错误! B 。

错误!C ．－错误! D.错误!［解析］ 错误!cos 错误!＝错误!错误!＝sin α＋cos α，又∵（sin α＋cos α）2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝4925，0＜α＜错误!，∴sin α＋cos α＝错误!,故选D 。

［答案] D3．（2018·东北师大附中三模）已知α是第二象限角,且sin （π＋α)＝－35，则tan2α的值为( ） A 。

错误!B ．－错误!C ．－错误!D ．－错误!［解析] 由sin(π＋α）＝－sin α＝－错误!，得到sin α＝错误!，又α是第二象限角，所以cos α＝－错误!＝－错误!，tan α＝－错误!,则tan2α＝2tan α1－tan 2α＝错误!＝－错误!. [答案］ C4．(2018·河南新乡三模）已知错误!<α<π，且sin 错误!＝错误!，则cos错误!等于（）A。