下载文档原格式
机械设计与制造Machinery Design & Manufacture 267第1期2021年1月RV 减速器摆线轮齿廓曲线的曲率影响因素研究张跃明，王巍,纪姝婷（北京工业大学机械工程与应用电子技术学院，北京100124）摘 要：以工业机器人为例，对RV 减速器摆线轮齿廓曲线的曲率的影响因素进行了研究。
根据微分几何理论，建立摆线轮齿廓的数学模型,采用坐标变换方法推导出摆线齿廓方程，分析了摆线轮齿廓曲线的凹凸特性，求出拐点的数学解析式。
根据摆线齿廓方程计算出曲率和曲率半径的参数表达式，最后推导出可以概括摆线针轮传动的诱导法曲率公式。
以RV-20E 减速器为例，求解出凹凸区间曲率最大值和最小值,并利用Matlab 编制程序进行仿真,详细分析了机构的偏心距、针齿半径、针齿分布圆半径、针齿数对拐点所在位置、曲率变化快慢的影响规律。
通过对摆线齿廓的曲率的仿真分析，偏心距和针齿分布圆半径对摆线齿廓的曲率影响显著，同时也会影响拐点位置的变化,针齿半径对其有一定的影响，但影响较小，并且不会影响拐点所在的位置。
研究结果为科学地选择摆线轮最佳参数和摆线针轮传动的设计提供了 一种理 论依据,具有一定的实用价值。
关键词:RV 减速器;摆线齿廓;凹凸特性;曲率特性中图分类号:TH16;TP242.2文献标识码:A文章编号:1001-3997(2021 )01-0267-05Curvature of Cycloid Profile Curve of RV Reducer Influencing FactorsonZHANG Yue-ming, WANG Wei, JI Shu-ting(The College of Mechanical Engineering & Applied Electronics Technology , Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)Abstract ： paper takes the industrial robot as an example to study the influencing f actors of the curvature of the trochoidaltooth prefile curve of the RV reducer. A ccording to the theory of differential geometry, the mathematical model of the cycloidalgear tooth profile was established, and the cycloidal tooth prefile equation was deduced using the coordinate transformation method. The irregularity characteristics of the cycloid tooth profile curve were analyzed, and the mathematical analysis formula of the inflection point was obtained. The expressions of curvature and radius of curvature are calculated according tothe cycloidal tooth profile equation. Finally, the formula far the induced curvature of the cycloidal pin wheel drive can be summarized. Taking the RV-20E reducer as an example , the maximum and minimum values of the curvature of t he concave- coiwex interval were solved, and the program was programmed using Mailab. The eccentricity of the mechanism, the radius ofthe pin teeth, the radius of the distribution circle of the pin teeth, and the number of teeth on the inflection point were analyzed in detail , the influence of curvature. Through the simulation analysis of the curvature of the cycloid tooth profile ,the eccentricity and the radius of the needle tooth distribution circle have a significant influence on the curvature of the cycloidal tooth prefile , and at the same time it also effects the change of the inflection point position. The tooth radius has a certain influence on it, but The impact is small and does not effect the location of the inflection point. The research resultsprovide a theoretical basis for the scientific selection of the best parameters of the cycloid wheel and the design of the cycloidal pin wheel drive , which has a certain practical value.Key Words :RV Reducer ； Cycloid Profile ； Convexity Characteristics ； Curvature Characteristics1引言RV 减速器（Rotary Vector Reducer ）是工业机器人的核心部件，而摆线轮是RV 减速器的关键零部件日。
一、简述谐波齿轮的原理及特点。
1、谐波齿轮的原理谐波齿轮传动的运动转换，是依靠挠性构件的弹性变形来实现的，这种运动转换原理为变形原理。
主要由波发生器、柔性齿轮和刚性齿轮三个基本构件组成，是一种靠波发生器使柔性齿轮产生可控弹性变形，并与刚性齿轮相啮合来传递运动和动力的齿轮传动。
柔轮是一个薄壁外齿圈，刚轮有内齿圈，刚轮比柔轮多2~4个齿（这又因波形发生器上触轮的多少而异，双波型的为2），波发生器的一对滚子将柔轮撑成椭圆形，当波发生器为主动轮时，柔轮和刚轮为从动轮，柔轮上的外轮齿与刚轮上的内轮齿在椭圆形柔轮的长轴方向完全啮合，则柔轮的短轴方向完全脱开，而中间区域为过渡状态。
波发生器在柔轮内转动时，迫使柔轮产生连续的弹性变形，此时波发生器的连续转动，就使柔轮齿的啮入—啮合—啮出—脱开这四种状态循环往复不断地改变各自原来的啮合状态。
这种现象称之错齿运动，正是这一错齿运动，作为减速器就可将输入的高速转动变为输出的低速转动。
当波发生器顺时针旋转一周时，柔轮相对固定的刚轮逆时针旋转2个齿，这样就把波发生器的快速转动变为刚轮的慢速转动，这时在柔轮的节圆的任一点，随着波发生器角位移的过程，形成一个上下左右相对称的和谐波，故称之为：“谐波”。
(1)谐波发生器（简称波发生器）(2)柔性齿轮（简称柔轮）(3)刚性齿轮（简称刚轮）图一谐波齿轮2、谐波齿轮特点(一)优点(1)结构简单，体积小，重量轻。
主要构件只有三个，与传动比相当的普通减速器比较，其零件减少50%，体积和重量均减少1/3左右或更多。
(2)传动比范围大。
一般单级传动比可在50~500范围内变化；当采用行星式波发生器时为150~4000；若采用双级传动或复式传动则可达2×106。
(3)同时啮合齿数多。
在承载情况下，双波传动的啮合齿数一般可达总齿数的30~40%左右，三波传动则更多。
而普通渐开线圆柱齿轮同时啮合的齿数一般为两对左右，即重叠系数小于2。
(4)运动精度高。
09 摆线与短幅外摆线的等距曲线9.1机构的运动规律与动点的轨迹在图9.1(a)中，设主动件1的角位移为φ1，行星轮2的角位移为φ2，当行星轮2与齿轮3形成外啮合时，行星轮系的传动比为(a) 行星轮小于固定轮 (b) 行星轮大于固定轮图9.1 行星轮上的摆线轨迹与等距曲线)19(0002323112112112123−−=−=−−=−−=−−= r r Z Z t t t i ϕϕϕωωωωωω于是，行星轮2与主动件1之间的转角关系为φ2＝(r 3＋r 2) φ1/ r 2＝(r 3/r 2＋1)φ1。
设主动件1的角位移为φ1，行星轮2的角位移为φ2，当行星轮2与齿轮3形成内啮合时，行星轮系的传动比为)29(0002323112112112123−==−−=−−=−−= r r Z Z t t t i ϕϕϕωωωωωω于是，行星轮2与主动件1之间的转角关系为φ2＝(－r 3＋r 2) φ1 / r 2＝(－r 3/r 2＋1)φ1。
设行星轮2上的一点P 到行星轮2的几何中心的距离为b ，若b ＜r 2，则P 点的轨迹为短幅摆线；若b ＝r 2，则P 点的轨迹为摆线；若b ＞r 2，则P 点的轨迹为长幅摆线。
若定义N 为符号函数，当N ＝1时，对应外摆线；当N ＝－1时，对应内摆线；则摆线的统一方程为 )39(]/)sin[(sin )(]/)cos[(cos )(2123123P 2123123P −⎭⎬⎫+⋅⋅−⋅+=+⋅⋅−⋅+= r r r N N b r N r y r r r N N b r N r x ϕϕϕϕ 9.2 短幅外摆线与内等距曲线在图9.1(b)中，行星轮2为内齿轮，固定轮3为外齿轮，中心距a ＝O 3O 2＝m (Z 2－Z 3)/2，行星轮2上P 点的轨迹为外摆线，行星轮2外侧M 点的轨迹为长幅外摆线。
当式(9－3)中的N 取－1时，得到外摆线与长幅外摆线的方程。
短幅内摆线方程
短幅内摆线（也称为内摆线或短幅摆线）是一种特殊的曲线，它描述了一个固定点在一个圆内部沿着另一个圆滚动时形成的轨迹。
这个固定点通常位于内部圆上，并且与内部圆的圆心有一定的距离。
假设内部圆的半径为(a)，外部圆的半径为(b)，且(b > a)。
固定点位于内部圆上，距离圆心(a) 的位置。
当内部圆围绕外部圆滚动时，固定点形成的轨迹就是短幅内摆线。
短幅内摆线的参数方程可以表示为：
[
\begin{align*}
x &= (b - a)\cos\theta + a\cos\left(\frac{b}{a}\theta\right) \
y &= (b - a)\sin\theta - a\sin\left(\frac{b}{a}\theta\right)
\end{align*}
]
其中，(\theta) 是参数，表示内部圆相对于外部圆转过的角度。
这个方程描述了短幅内摆线的形状。
当(\theta) 从(0) 变化到(2\pi) 时，固定点会沿着短幅内摆线移动一圈。
如果你想要得到普通方程（即消去参数(\theta)），这将是一个复杂的代数问题，通常涉及到三角函数的和差化积公式和三角恒等式。
然而，这样的方程通常不会有一个简单的形式，因此在实际应用中，参数方程通常更常用。
请注意，这里给出的方程是基于常见的定义和约定。
根据具体的定义和上下文，方程的形式可能会有所不同。
凸轮从动件的摆线运动规律一、前言凸轮从动件是机械传动中常用的一种机构，它能够将旋转运动转化为直线运动或其他特定的运动形式。
而凸轮从动件的摆线运动规律则是研究凸轮从动件运动特性的重要内容之一。
本文将对凸轮从动件摆线运动规律进行详细介绍。
二、凸轮从动件的定义和分类1. 定义凸轮从动件是由一个固定在主轴上的凸轮和一个与之啮合并进行相对运动的摆线副组成的机构。
其中，凸轮为主要构件，它可以实现不同形式的曲线运动，而摆线副则负责将其转化为直线或其他特定形式的运动。
2. 分类根据不同的工作原理和结构形式，凸轮从动件可以分为以下四类：（1）滚柱式凸轮从动件：由一个圆柱体（即滚柱）和一个与之啮合并进行相对运动的摆杆组成。
该结构简单、制造容易，但受力不均衡。
（2）滚环式凸轮从动件：由一个内表面有齿或突起的环形轮和一个与之啮合并进行相对运动的摆杆组成。
该结构受力均衡，但制造较为复杂。
（3）滑块式凸轮从动件：由一个凸轮和一个与之啮合并进行相对运动的滑块组成。
该结构简单、制造容易，但摩擦大、磨损快。
（4）滚子式凸轮从动件：由一个内表面有齿或突起的圆柱体和一个与之啮合并进行相对运动的滚子组成。
该结构受力均衡，摩擦小、磨损慢，但制造较为复杂。
三、凸轮从动件的摆线运动规律1. 摆线曲线的定义摆线是一种特殊的曲线，它是由一个固定在圆周上的点沿着另一条直线（即基准直线）作匀速直线运动而形成的轨迹。
在凸轮从动件中，摆线副上的摆杆就是沿着一条基准直线作匀速直线运动，并通过啮合与凸轮上特定位置处的点相接触而形成摆线。
2. 摆线曲线方程摆线曲线的方程可以表示为：x = r(θ - sinθ)y = r(1 - cosθ)其中，r为摆线圆的半径，θ为圆周上的角度。
根据这个方程，我们可以通过给定的半径和角度计算出摆线上的任意一点坐标。
3. 摆线曲线特性（1）对称性：摆线曲线具有对称性，即以圆心为中心旋转180度后，得到的图形与原图形完全重合。
09 摆线与短幅外摆线的等距曲线
9.1机构的运动规律与动点的轨迹
在图9.1(a)中，设主动件1的角位移为φ1，行星轮2的角位移为φ2，当行星轮2与齿轮3形成外啮合时，行星轮系的传动比为
(a) 行星轮小于固定轮 (b) 行星轮大于固定轮
图9.1 行星轮上的摆线轨迹与等距曲线
)19(0002
32311
2112112123−−=−=−−=−−=−−=
r r Z Z t t t i ϕϕϕωωωωωω
于是，行星轮2与主动件1之间的转角关系为φ2＝(r 3＋r 2) φ1/ r 2＝(r 3/r 2＋1)φ1。
设主动件1的角位移为φ1，行星轮2的角位移为φ2，当行星轮2与齿轮3形成内啮合时，行星轮系的传动比为
)29(0002
3
231121121121
23−==−−=−−=−−=
r r Z Z t t t i ϕϕϕωωωωωω
于是，行星轮2与主动件1之间的转角关系为φ2＝(－r 3＋r 2) φ1 / r 2＝(－r 3/r 2＋1)φ1。
设行星轮2上的一点P 到行星轮2的几何中心的距离为b ，若b ＜r 2，则P 点的轨迹为短幅摆线；若b ＝r 2，则P 点的轨迹为摆线；若b ＞r 2，则P 点的轨迹为长幅摆线。
若定义N 为符号函数，当N ＝1时，对应外摆线；当N ＝－1时，对应内摆线；则摆线的统一方程为 )39(]/)sin[(sin )(]/)cos[(cos )(2123123P 2123123P −⎭⎬⎫
+⋅⋅−⋅+=+⋅⋅−⋅+=
r r r N N b r N r y r r r N N b r N r x ϕϕϕϕ 9.2 短幅外摆线与内等距曲线
在图9.1(b)中，行星轮2为内齿轮，固定轮3为外齿轮，中心距a ＝O 3O 2＝m (Z 2－Z 3)/2，行星轮2上P 点的轨迹为外摆线，行星轮2外侧M 点的轨迹为长幅外摆线。
当式(9－3)中的N 取－1时，得到外摆线与长幅外摆线的方程。
为了得到完整的摆线与长幅外摆线，令r 3/(r 2－r 3)＝k ，k 为正整数，则r 2＝(1＋k ) r 3/ k 。
在图9.1(b)中，k ＝5，r 2＝6 r 3/5，当行星轮2转一圈时，φ1＝φ2/(－r 3/r 2＋1)＝2π/(－5/6＋1)＝12π，即，主动件1转6圈后得到完整的摆线与长幅外摆线。
设短幅外摆线在任意一点的法线与x 轴之间的夹角为θ，则得到sin θ与cos θ分别为
)49(]/)cos[(]/)([cos )(d /d ]/)sin[(]/)([sin )(d /d 21322321231P 21322321231P −⎭
⎬⎫
−−+−=−−−−−=
r r r r r r b r r y r r r r r r b r r x ϕϕϕϕϕϕ )59(cos /sin )d /d /()d /d (d /d tan 11−=−=−= θθϕϕθy x y x
)69()d /d ()d /d (/)d /d (sin 21211−+−= ϕϕϕθy x x )79()d /d ()d /d (/)d /d (cos 21211−+= ϕϕϕθy x y
设在M 点安装一个滚子，滚子半径为r g ，于是，得长幅外摆线的内等距曲线为
)88(sin cos g M MN g M MN −⎭
⎬⎫
−=−=
θθr y y r x x 长幅外摆线的内等距曲线（x MN ，y MN ）就是摆线针轮传动中摆线齿轮的齿廓曲线，该滚子就是针轮中的一个。
长幅外摆线的外等距曲线为
)98(sin cos g M MW g M MW −⎭
⎬⎫
+=+=
θθr y y r x x 9.3 研究内容与报告
在图9.1(a)中，令r 3＝250 mm ，r 2＝r 3/3，r 2＝r 3/4，r 2＝r 3/5，当r 2取其中一个数值时，让b 同时取b 1＝r 2，b 2＝r 2/2，b 3＝1.5r 2，在b 取三个值时，N 取＋1获得外摆线、N 取－1获得内摆线。
(1) 在图9.1(a)中，生成3条外摆线（x Pw1，y Pw1；x Pw2，y Pw2；x Pw3，y Pw3）与3条内摆线（x Pn1，y Pn1；x Pn2，y Pn2；x Pn3，y Pn3）的Excel 数据表文件，主动件1角位移φ1的变化区间为［0，2π］。
(2) 在图9.1(a)中，同时生成外摆线（x P ，y P ）
、长幅外摆线（x PM ，y PM ）、长幅外摆线的内等距曲线（x MN ，y MN ）与长幅外摆线的外等距曲线（x MW ，y MW ），主动件1角位移φ1的变化区间为［0，2π］。
(3) 在图9.1 (b)中，令r 3＝250 mm ，r 2＝(1＋k ) r 3/ k ，r g ＝r 2/10，让b 同时取b 1＝r 2，b ＝b 2＝1.5r 2，当k 分别取4，5，6，7，8时，同时生成外摆线（x P ，y P ）、长幅外摆线（x PM ，y PM ）、长幅外摆线的内等距曲线（x MN ，y MN ）与长幅外摆线的外等距曲线（x MW ，y MW ），主动件1角位移φ1的变化区间为［0，2π(1＋k )］。
(4) 研究变幅摆线出现近似直线段的几何条件。
