专题04 一元二次不等式及其解法(PPT)-2020年新高考数学一轮复习之考点题型深度剖析

第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系[小题体验]1．(2019·温州模拟)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．∅解析：选A 由题意知，A ＝{x |1＜x ＜2}，故A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 2．(教材习题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________． 答案：∅3．不等式ax 2＋abx ＋b ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＝________，b ＝________. 解析：由题意知2,3是ax 2＋abx ＋b ＝0的两根，则⎩⎨⎧2＋3＝－aba＝－b ，2×3＝ba ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，a ＝－56. 答案：－56－51．对于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ＜0时，ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． [小题纠偏]1．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x ＜1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)≤0，x －1≠0，解得1＜x ≤3.2．若不等式mx 2＋2mx ＋1＞0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1＞0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝4m 2－4m ＜0.得0＜m ＜1. 由①②知0≤m ＜1. 答案：[0,1)考点一 一元二次不等式的解法(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x ＞0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x ＞0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x ＞0.综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥－12. 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥－122．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x ＞5. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x ＞5 3．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)x ＋5(x －1)2≥2. 解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x ＋5≥2(x －1)2， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，2x 2－5x －3≤0， 解得－12≤x ＜1或1＜x ≤3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ＜1或1＜x ≤3. [谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤考点二 含参数的一元二次不等式的解法(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0， 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∅.当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1. [由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0，即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．若不等式ax 2＋5x －2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜x ＜2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集．解：(1)由题意知a ＜0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3＞0， 即2x 2＋5x －3＜0，解得－3＜x ＜12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－3，12. 考点三 一元二次不等式恒成立问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数的范围；(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数的范围2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围为________．解析：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立， 解得b ＜－1或b ＞2.所以b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．若不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a ＞0在|a |≤1时恒成立，则x 的取值范围是________． 解析：将原不等式整理成关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9＞0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9. 因为f (a )＞0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12＞0，x 2－5x ＋6＞0，解得x ＜2或x ＞4. 故x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)． 答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)[通法在握]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法[演练冲关]1．(2018·台州模拟)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4]2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·浙江名校联考)已知集合A ＝{y |y ＝x ＋1}，B ＝{x |x 2－x －6＞0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．[1,2]B ．[1,3]C ．[1,2)D ．[1,3)解析：选B 由题意知A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故∁R B ＝[－2,3]，A ∩∁R B ＝[1,3]．2．(2018·台州模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.3．(2018·镇海中学月考)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为________．解析：令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，其图象如下图所示，再画出f (－x )的图象即可，所以不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}． 答案：{x |－3＜x ＜－2}4．(2018·金华十校联考)若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围为___________．解析：原不等式化为(x 2－1)m －(2x －1)＜0. 令f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)(－2≤m ≤2)．则⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝－2(x 2－1)－(2x －1)＜0，f (2)＝2(x 2－1)－(2x －1)＜0. 解得－1＋72＜x ＜1＋32，故x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋325．(2018·湖州五校联考)已知实数x ，y 满足x 2＋2y 2＋12≤x (2y ＋1)，则x ＝________，y＝________，2x ＋log 2y ＝________.解析：法一：由已知得2x 2＋4y 2－4xy －2x ＋1≤0，即(x －1)2＋(x －2y )2≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x －2y ＝0，解得x ＝1，y ＝12，2x ＋log 2y ＝2＋log 212＝2－1＝1.法二：由已知得，关于x 的不等式x 2－(2y ＋1)x ＋2y 2＋12≤0(*)有解，所以Δ＝[－(2y＋1)]2－4⎝⎛⎭⎫2y 2＋12≥0，即Δ＝－(2y －1)2≥0，所以2y －1＝0，即y ＝12，此时不等式(*)可化为x 2－2x ＋1≤0，即(x －1)2≤0，所以x ＝1,2x ＋log 2y ＝2＋log 212＝2－1＝1.答案：1121 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.2．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解集是( ) A ．(－∞，－a )∪(5a ，＋∞) B ．(－∞，5a )∪(－a ，＋∞) C ．(5a ，－a ) D ．(a ，－5a )解析：选B 由x 2－4ax －5a 2＞0，得(x －5a )(x ＋a )＞0， ∵a ＜0，∴x ＜5a 或x ＞－a .3．(2018·丽水五校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析：选C 因为f (－4)＝f (0)，所以当x ≤0时，f (x )的对称轴为x ＝－2，又f (－2)＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＞0，(x ＋2)2，x ≤0，不等式f (x )≤1的解为[－3，－1]∪(0，＋∞)，故选C. 4．(2018·宁波四校联考)设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a ＞0)，若f (m )＜0，则f (m －1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能解析：选A 设f (x )＝x 2－x ＋a ＝0的两个根为α，β，由f (m )＜0，则α＜m ＜β， 由于二次函数f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，且f (0)＝a ＞0，则|α－β|＜1，f (m －1)＞0，故选A.5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1＜a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.6．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4＞0，即a 2＞16. ∴a ＞4或a ＜－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，45 8．(2018·萧山月考)不等式x 2＋ax ＋b ＞0(a ，b ∈R )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－12a ，x ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋b ＞0(a ，b ∈R )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－12a ，x ∈R ， 所以x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋12a 2＝0， 那么不等式x 2＋ax ＋b ＜c ，即⎝⎛⎭⎫x ＋12a 2＜c ，所以c ≥0， 所以－c －12a ＜x ＜c －12a， 又m ＜x ＜m ＋6，c －12a－⎝⎛⎭⎫－c －12a ＝m ＋6－m ， 即2c ＝6，所以c ＝9.答案：99．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)f (x )＞b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3. 10．关于x 的不等式⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．解：由x 2－x －2＞0可得x ＜－1或x ＞2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0，的整数解为x ＝－2， 又∵方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 和－52. ①若－k ＜－52，则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}；②若－52＜－k ，则应有－2＜－k ≤3.∴－3≤k ＜2. 综上，所求k 的取值范围为[－3,2)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解等价于a ＜(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )＜g (4)＝－2，∴a ＜－2.2．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝72，问是否存在a ，b ，c ∈R ，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切实数x 都成立，证明你的结论． 解：由f (1)＝72，得a ＋b ＋c ＝72. 令x 2＋12＝2x 2＋2x ＋32，解得x ＝－1. 由f (x )≤2x 2＋2x ＋32推得f (－1)≤32， 由f (x )≥x 2＋12推得f (－1)≥32， ∴f (－1)＝32.∴a －b ＋c ＝32.故a ＋c ＝52且b ＝1. ∴f (x )＝ax 2＋x ＋52－a . 依题意ax 2＋x ＋52－a ≥x 2＋12对一切x ∈R 都成立， 即(a －1)x 2＋x ＋2－a ≥0对一切x ∈R 都成立．∴a ≠1且Δ＝1－4(a －1)(2－a )≤0.即(2a －3)2≤0，∴(2a －3)2＝0，由a －1＞0得a ＝32.∴f (x )＝ 32x 2＋x ＋1. 证明如下：32x 2＋x ＋1－2x 2－2x －32＝－12x 2－x －12＝－12(x ＋1)2≤0. ∴32x 2＋x ＋1≤2x 2＋2x ＋32对x ∈R 都成立． 32x 2＋x ＋1－x 2－12＝12x 2＋x ＋12＝12(x ＋1)2≥0， ∴x 2＋12≤32x 2＋x ＋1对x ∈R 都成立．∴存在实数a＝32，b＝1，c＝1，使得不等式x2＋12≤f(x)≤2x2＋2x＋32对一切x∈R都成立．。