吉林大学大一高数第四章第六节渐近线与图形的 描绘

大一高数渐近线知识点在大一的高等数学课程中，渐近线是一个重要的概念。

它是用来描述函数在无穷远处的行为趋势的，能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。

本文将介绍大一高数中与渐近线相关的知识点，包括渐近线的定义、分类和性质。

一、渐近线的定义渐近线是指函数图像在趋于无穷远处的行为趋势。

通常来说，我们关注的是当自变量趋于正无穷或负无穷时，函数值的趋势。

根据函数在无穷远处的趋势，我们可以将渐近线分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。

1. 水平渐近线：函数拥有水平渐近线意味着函数在无穷远处的函数值趋于一个常数L。

换句话说，当自变量趋于正无穷或负无穷时，函数的图像趋近于水平线y=L。

函数有水平渐近线的条件是lim(x→±∞) f(x) = L。

2. 垂直渐近线：函数拥有垂直渐近线意味着函数在某些点上的函数值趋于无穷大或无穷小。

具体来说，当自变量趋于一个常数a时，函数的图像趋近于一条垂直的直线x=a。

函数有垂直渐近线的条件是lim(x→a) f(x) = ±∞。

3. 斜渐近线：函数拥有斜渐近线意味着函数在无穷远处的函数值趋于一斜线。

具体来说，当x趋于正无穷或负无穷时，函数的图像趋近于一条直线y=kx+b。

函数有斜渐近线的条件是lim(x→±∞) [f(x) - (kx+b)] = 0。

二、渐近线的分类根据函数在无穷远处的趋势，渐近线可以分为以下几种情况：1. 函数有一条水平渐近线：当lim(x→±∞) f(x) = L时，函数的图像将趋近于水平线y=L。

这意味着函数在无穷远处的行为趋势呈现出水平的特征。

2. 函数有两条垂直渐近线：当lim(x→a) f(x) = ±∞时，函数的图像将趋近于垂直线x=a。

这意味着函数在某些点上的函数值趋近于无穷大或无穷小。

3. 函数有一条垂直渐近线和一条水平渐近线：当lim(x→±∞) f(x) = L且lim(x→a) f(x) = ±∞时，函数的图像将同时趋近于水平线y=L和垂直线x=a。

§4.6 函数的作图¾曲线的渐近线¾图形描绘的步骤¾作图举例¾小结, 思考题一、曲线的渐近线1-1-2241ln y x=21-1-22411y x=x =有垂直渐近线0x =有垂直渐近线0y =和水平渐近线1-221211y x =+0y =有水平渐近线21-1-2-4-224212x y x+=012x y x==有垂直渐近线和斜渐近线(),,().P y f x P L L y f x == 如果当动点沿曲线移向无穷远时动点到某定直线的距离趋向于零则称直线为曲线的一条渐近线定义: 1.垂直渐近线)(轴的渐近线垂直于x 00lim ()lim ()().x x x x f x f x y f x x x +−→→=∞=∞==如果或则曲线 有垂直渐近线 函数有垂直渐近线的充要条件是: 有无穷间断点!2-2-550111y x =−ln y x=1-1-2-2241x =有垂直渐近线又例如,)3)(2(1−+=x x y 有铅直渐近线两条:.3,2=−=x x (2)1lim (2)(3)x x x ±→−=∞+−m 31lim (2)(3)x x x ±→=±∞+−有间断点:2, 3.x x =−=2.水平渐近线)(轴的渐近线平行于x lim ()lim ()()().x x f x b f x b b y f x y b →+∞→−∞====如果或 为常数则曲线 有水平渐近线有水平渐近线两条:例如,arctan x y =.2,2π−=π=y y lim arctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→−∞=−011xyxy ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=21xy ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=310y =有水平渐近线1lim 02x x→+∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠3.斜渐近线(,,0),().a b a y f x y ax b ≠==+为常数则曲线有斜渐近线如果2.521.510.5-0.5-1-2-1123y ax b=+lim[()()]0lim[()()]0x x f x ax b f x ax b →+∞→−∞−+=−+=或 ()y f x =斜渐近线求法:,)(lima xx f x =∞→.])([lim b ax x f x =−∞→⇔lim[()()]0x f x ax b →∞−+=,)(lima xx f x =∞→.])([lim b ax x f x =−∞→⇔lim[()()]0x f x ax b →+∞−+=()lim ,x f x a x→+∞=lim [()]x f x ax b→+∞−=⇔lim[()()]0x f x ax b →−∞−+=()lim,x f x a x→−∞=lim[()]x f x ax b→−∞−=类似地,有⇒(2)lim[()()]0x f x ax b →∞−+=如果()(1)f x ax b ο−−=()(1)f x ax b ο=++⇒()lim x f x x→∞1lim[((1))]x a b x ο→∞=++1lim lim[((1))]x x a b xο→∞→∞=++a =⇒lim[()]x f x ax →∞−lim[(())]x f x ax b b →∞=−−+0b b =+=#()x →∞()x →∞证明()(1)limx f x a x→∞=如果 及lim[()]x f x ax b →∞−=⇒lim[()]x f x ax b →∞−−lim(())lim x x f x ax b →∞→∞=−−b b =−0=例1(1).1)3)(2(2)(的渐近线求−+−=x x x x f 解(,1)(1,)D =−∞+∞U =+→)(lim 1x f x Q ,∞−=−→)(lim 1x f x ,∞+1x =曲线有铅直渐近线 ①⇒.曲线无水平渐近线②2(2)(3)lim ()lim1x x x x f x x →±∞→±∞−+=−=∞⇒()limx f x x→∞=)1()3)(2(2lim−+−∞→x x x x x ,2=lim[()2]x f x x →∞−412lim1x x x →∞−=−,4=24y x =+曲线有斜渐近线 ③#的两条渐近线如图1)3)(2(2)(−+−=x x x x f 1x =24y x =+和求渐近线时的注意事项:1()y f x =.以下情况之一出现时,可以断定曲线不存在斜渐近线.,])([lim ,)(lim)2(不存在但存在ax x f a xx f x x −=∞→∞→()(1)lim;x f x x→∞不存在3.,,x →+∞斜渐时曲线如果有则没线有近水平渐近线,x →+∞水平渐时曲线如果有则近线斜没有渐近线.x →−∞时也有类似的结论!()2lim0.x f x x→∞=.如果，则曲线没有斜渐近线例1 求下列函数的渐近线21y x =+(2)1(2)xy x e=+(3)ln(1).x y x+=(4)arctan y x x=(5)解(3)(,0)(0,)D =−∞+∞U ①有间断点x=010lim (2)x x x e +→+=+∞10lim (2)0xx x e −→+=00x x +→=时有垂直渐近线 ②1lim (2)xx x e →±∞+=±∞——无水平渐近线③斜渐近线：1()(2)limlim xx x f x x ex x→±∞→±∞+=1lim (())lim [(2)]xx x f x x x e x →±∞→±∞−=+−11lim [(1)2]xxx x e e →±∞=−+11(1)limlim 21xx x x e e x →±∞→±∞−=+123=+=3x y x ⇒→±∞=+时有斜渐近线#1= 确定函数)(x f y =的定义域、奇偶性、周期性、及曲线与坐标轴交点等性态。