2019届高考数学(理科)一轮复习课件(人教版)第六篇第1节不等关系与不等式(30)

第1讲 不等关系与不等式板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .另外，若b >0，则有a b >1⇔a >b ；ab ＝1⇔a ＝b ；ab <1⇔a <b .考点2 不等式的性质 1.对称性：a >b ⇔b <a ； 2.传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；3.可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；4.可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；5.可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)；6.可开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． [必会结论] 1.a >b ，ab >0⇒1a <1b .2.a <0<b ⇒1a <1b . 3.a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .4.0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .5.若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．[考点自测]1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( )(2)若ab >1，则a >b .( )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( ) (6)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b .( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√2.[课本改编]设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关 答案 A解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N .故选A.3.[课本改编]若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a c >b dB.a c <b dC.a d >b cD.a d <b c答案 D解析 由c <d <0，得－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－ad >－b c >0，所以a d <bc .故选D.4.[课本改编]若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A.a ＋c >b －c B ．(a －b )c 2>0 C.a 3>b 3 D ．a 2>b 2答案 C解析 对于A ，由于不知道c 的正负，故无法判断a ＋c 与b －c 的大小关系，所以错误；对于B ，当c ＝0时，(a －b )c 2>0不成立，所以错误；对于D ，需要保证a >b >0，才能得到a 2>b 2，所以错误．故选C.5.[2018·浙江模拟]设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( ) A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立；反之，若a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立，因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分也不必要条件．故选D.6.已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18.板块二 典例探究·考向突破考向不等式的性质例1 (1)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是( ) A.若a >b ，c ≠0，则ac >bc B.若a >b ，则ac 2>bc 2 C.若ac 2>bc 2，则a >b D.若a >b ，则1a <1b 答案 C解析 对于选项A ，当c <0时，不正确； 对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确；对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．(2)已知四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0，能推出1a <1b 成立的是________．答案 ①②④解析 运用倒数法则，a >b ，ab >0⇒1a <1b ，②④正确．又正数大于负数，所以①正确.触类旁通利用不等式性质进行命题的判断(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．【变式训练1】 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( )A.ab >ac B ．c (b －a )<0 C.cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．故选A. (2)若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________．答案 ①④ 解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ， 因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.考向比较代数式的大小命题角度1 作差法 例2 (1)[2018·上海徐汇区模拟]若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A.p <q B ．p ≤q C ．p >q D ．p ≥q 答案 B解析 (作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·⎝⎛⎭⎪⎫1a－1b＝(b2－a2)(b－a)ab＝(b－a)2(b＋a)ab，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B.(2)已知a<0，－1<b<0，则a，ab，ab2的大小关系是________．答案a<ab2<ab解析∵a－ab＝a(1－b)<0，∴a<ab.∵ab－ab2＝ab(1－b)>0，∴ab>ab2.∵a－ab2＝a(1－b2)<0，∴a<ab2.综上，a<ab2<ab.故填a<ab2<ab.命题角度2作商法例3已知a>0，b>0，且a≠b，试比较a a b b与(ab) a＋b2的大小．命题角度3放缩法例4 (1)[2018·九江模拟]已知a ＝312 ，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A.a >b >c B ．b >c >a C.c >b >a D ．b >a >c答案 A 解析∵a ＝312 >1,0<b ＝log 1312＝log 32<1，c ＝log 213<0，∴a >b >c .故选A.(2)设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( ) A.P >Q B ．P <Q C ．P ≤Q D ．P ≥Q 答案 A解析 因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.触类旁通比较大小的常用方法 (1)作差法； (2)作商法；(3)放缩法：在代数式的比较大小问题中，一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式(或数)，其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等．有时，等号成立的条件是比较大小的关键所在.考向不等式性质的应用例5 已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析 解法一：设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，对应系数相等，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2，λ－μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，μ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )∈(3,8)．解法二：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，∴⎩⎨⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a －b 2.∴2x －3y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＝－a 2＋52b ∈(3,8)．解法三：由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3确定的平面区域如图阴影部分． 目标函数z ＝2x －3y 可化为y ＝23x －z3，由线性规划知识可求出2x －3y ∈(3,8). 触类旁通利用不等式性质求代数式的取值范围由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )(或其他形式)，通过恒等变形求得m ，n的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F (x ，y )的取值范围.【变式训练2】 若实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x3y 4的最大值是________．答案 27解析 解法一：由3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，可知x >0，y >0，且18≤1xy 2≤13，16≤x 4y 2≤81，由性质6，得2≤x 3y 4≤27，故x 3y 4的最大值是27.解法二：设x 3y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y m (xy 2)n，则x 3y －4＝x 2m ＋n y 2n －m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝3，2n －m ＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1.又∵16 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2≤81，18≤(xy 2)－1≤13，∴2≤x 3y 4≤27，故x 3y 4的最大值为27.核心规律1.用同向不等式求差的范围．⎩⎨⎧a <x <b ，c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，－d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c .这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．2.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．作差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑作商．3.求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．满分策略1.a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ，当c ≤0时不成立．2.a >b ⇒1a <1b 或a <b ⇒1a >1b ，当ab ≤0时不成立． 3.a >b ⇒a n >b n 对于正数a ，b 才成立． 4.ab >1⇔a >b ，对于正数a ，b 才成立．5.注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，b >c .板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 8——巧用特殊值判断不等式问题[2016·山东高考]已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.ln (x 2＋1)>ln (y 2＋1)B.sin x >sin yC.x 3>y 3D.1x 2＋1>1y 2＋1解题视点 (1)采用边选边排除的思想；(2)在选与排除的过程中采用特值法验证，简化了过程，提高了准确率．解析 解法一：因为实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，所以x >y . 对于A ，取x ＝1，y ＝－3，不成立； 对于B ，取x ＝π，y ＝－π，不成立；对于C ，由于f (x )＝x 3在R 上单调递增，故x 3>y 3成立； 对于D ，取x ＝2，y ＝－1，不成立．故选C.解法二：根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C 中的不等式成立．答案 C答题启示 (1)当选择题中包含不止一个结论时，宜采用边选边排除的方法.,(2)在判断多个不等式是否成立时，可采用特值法验证，若取值不能代表所有情况，可采用多次赋值法验证结论是否成立.跟踪训练[2018·烟台模拟]若1a <1b <0，则下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是( )A.①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 答案 C解析 解法一：因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2， 显然1a ＋b ＝－13，1ab ＝12，故①正确，排除B 、D ，对于③中，a －1a ＝－1－1－1＝0，又b －1b ＝－2－1－2＝－32，故a －1a >b －1b 成立，排除A.选C. 解法二：由1a <1b <0，可知b <a <0.①中，a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0，故有1a ＋b <1ab ，故①正确，排除B 、D ；③中，因为b <a <0，又因为1a <1b <0，所以a －1a >b －1b ，故③正确，排除A.选C.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1.[2018·金版创新]设c >0，则下列各式成立的是( ) A.c >2cB ．c >⎝ ⎛⎭⎪⎫12cC.2c<⎝ ⎛⎭⎪⎫12cD ．2c>⎝ ⎛⎭⎪⎫12c答案 D解析 c >0时，2c >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c <1，所以2c >⎝ ⎛⎭⎪⎫12c .故选D.2.[2018·宁波模拟]若a <b <0，则下列不等式错误的是( ) A.1a >1b B.1a －b >1a C.|a |>|b | D ．a 2>b 2答案 B解析 ∵a <b <0，∴1a >1b ，故A 对．∵a <b <0，∴0<－b ，a <a －b <0，∴1a >1a －b ，故B 错．∵a <b <0，∴－a >－b >0，即|－a |>|－b |，∴|a |>|b |，故C 对．∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2，故D 对．故选B.3.若x ，y 满足－π4<x <y <π4，则x －y 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 答案 A解析 由x <y ，得x －y <0.又∵－π2<x －y <π2，∴－π2<x －y <0.故选A.4.设a >b >0，下列各数小于1的是( ) A.2a －bB.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b D.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b 答案 D解析 解法一：(特殊值法) 取a ＝2，b ＝1，代入验证． 解法二：y ＝a x (a >0且a ≠1)．当a >1，x >0时，y >1；当0<a <1，x >0时，0<y <1. ∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,0<ba <1. 由指数函数性质知，D 成立．故选D.5.[2018·广西模拟]若a ，b 为实数，则1a <1b 成立的一个充分而不必要的条件是( )A.b <a <0 B ．a <b C.b (a －b )>0 D ．a >b答案 A解析 由a >b ⇒1a <1b 成立的条件是ab >0，即a ，b 同号时，若a >b ，则1a <1b ；a ，b 异号时，若a >b ，则1a >1b .故选A.6.设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A.ab <b 2<1 B ．log 12b <log 12a <0C.2b <2a <2 D ．a 2<ab <1答案 C解析 解法一：(特殊值法)取b ＝14，a ＝12. 解法二：(单调性法)0<b <a ⇒b 2<ab ，A 不对；y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 12b >log 12a ，B 不对；a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对．故选C.7.若a ＝20.6，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( ) A.a >b >c B ．b >a >c C.c >a >b D ．b >c >a答案 A解析 因为a ＝20.6>20＝1，又log π1<log π3<log ππ，所以0<b <1.c ＝log 2sin 2π5<log 21＝0，于是a >b >c .故选A.8.已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >bc ；③a 2>b 2，其中能成为a >b的充分条件的是________．答案 ①解析 由ac 2>bc 2，可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件.9.已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若1a <1b ，则c a <c b ；②若a c 2<bc 2，则a <b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c . 其中正确的是________(请把正确命题的序号都填上)． 答案 ②③解析 ①若c ≤0，则命题不成立．②由a c 2<b c 2得a －b c 2<0，于是a <b ，所以命题正确．③中由2c >0知命题正确.10.[2018·临沂模拟]若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx ，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④成立.[B 级 知能提升]1.已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A.M <N B ．M >N C.M ＝N D ．不确定答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .故选B.2.已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使ab >1成立的必要不充分条件是( )A.a >b －1 B ．a >b ＋1 C.|a |>|b | D ．ln a >ln b 答案 C解析 由a b >1⇔ab －1>0⇔a －b b >0⇔(a －b )b >0⇔a >b >0或a <b <0⇒|a |>|b |，但由|a |>|b |不能得到a >b >0或a <b <0，即得不到ab >1，故|a |>|b |是使ab >1成立的必要不充分条件．故选C.3.[2018·金版创新]设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos1cos α－sin1sin α)－(cos1cos α＋sin1sin α)＝－2sin1sin α<0.4.[2018·大连段考]若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e(b －d )2.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0，∴(a －c )2>(b －d )2>0，∴0<1(a －c )2<1(b －d )2.又∵e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2. 5.[2018·昆明模拟]设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解 解法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.。