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复变函数2

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复变函数02

复变函数02

en[ln z i(argz2kπ)]
z en inargz r nein
例 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 )
求a, b, c, d 使 f(z)在复平面内处处解析.
解 由于
u 2x ay , u ax 2by
x
y
v 2cx dy , v dx 2 y.
x
y
要 使 u v , u v x y y x
24
对数函数的性质 不难证明，复变数对数函数保持了实变
数对数函数的基本性质.
运算性质
Ln (z1z2 ) Ln z1 Ln z2
Ln
z1 z2
Ln
z1 Ln
z2
上面两个等式应理解为两端可能取的函
数值的全体是相同的，也就是说，对于
一端的任一值，另端必有一值和它相等. 25
对数函数的解析性 对数函数的主值lnz，包含两个部分 ln z = ln|z|+ i arg z ln|z|除原点外处处连续.
数连续且满足C－R方程，则f(z)可导.
11
函数解析的充要条件 根据函数在区域内解析的定义和函数可
导定理，可得判断函数在区域 D内解析 的一个充要条件.
定理 函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域 D内解析的充要条件是: u(x, y)与v(x, y) 在 D内可微，且满足C－R方程
(1) f (z) z (2) f (z) z Re(z)
(3) f (z) ez ex (cos y i sin y).
13
解 (1) f (z) z , 则u(x,y) = x, v(x,y) =－y

复变函数2章

复变函数2章

| z | x 2 y 2
为实数绝对值、长度概念的推广。 单位复数：模为1的复数。 0复数的等价条件：模为0。即： z=0|z|=0 两复数z1=x1 + iy1 、 z2=x2 + iy2的距离：
y
( x, y )
x
0
y
d z1 , z 2 z1 z2
z2 z z 1 2
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例 (P9例1.2) 求Arg(2-2i) 、 Arg(-3+4i) 解: 2-2i在第四象限 arg(2-2i)=arctan(-2/2)= -π /4 Arg(2-2i)=arg(2-2i)+2kπ (k=0, 1, 2, ...) = -π /4+2kπ -3+4i在第二象限 arg(-3+4i)=arctan(4/(-3))+π = - arctan(4/3)+π Arg(-3+4i)=arg(-3+4i)+2kπ = - arctan(4/3) +π+2kπ =- arctan(4/3)+(2k+1)π (k=0, 1, 2, ...)
1 2 1 2
模：
z1 z2 z1 z2
z1 / z2 z1 / z2
幅角：Arg(z1·2)= Arg z1+Arg z2 z Arg(z1/z2)= Arg z1-Arg z2 或 arg(z1·2)= Arg z1+Arg z2 + 2kπ z arg(z1/z2)= Arg z1-Arg z2 + 2kπ 乘(除)——模乘(除)、幅角加(减)
特别当z2 为单位复数时，z1·2 为z1 绕原点正向旋转 θ2 ，z2 为 z 旋转乘数。 如z2=i，θ2=π/2， z1·2为z1绕原点正向旋转π/2； z z2=-1，θ2=π， z1·2为z1绕原点正向旋转π。 z 与向量乘积不同！

复变函数第2章

复变函数第2章

By 宋朝红2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU第二章导数zz f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ−+→1 导数与微分定义：设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义，点z 0+⊿z ∈D. 如果极限存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z=→+−′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在Ｄ内可导.例1求f (z )=z 2的导数例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性函数可导一定连续，但连续却不一定可导例2问：函数f (z )=x +2yi 是否可导？求导公式与法则①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).③设函数f (z ),g (z ) 均可导，则[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z )，[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )----实函数中求导法则的推广)0)((,)()(')()()('')()(2≠−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z g z g z g z f z g z f z g z f④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z )，其中w=g (z )。

.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P nn =+++=⇒"⑤反函数的导数，其中: w=f (z )与z=ϕ(w )互为单值的反函数，且ϕ′(w )≠0。

)('1)('w z f ϕ=例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ ）的导数。

复变函数2

复变函数2
df (z) f ′( z), 或者 . dz
2011-9-17 第一章 复变函数2 2
2、求导法则 形式上与实函数一样! 求导法则: 形式上与实函数一样! 求导法则
d dw1 dw2 ( w1 ± w2 ) = ± , dz dz dz d n z = nz n −1 , dz
d z e = ez , dz
7
4、可导的充要条件
复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点 在区域 内一点z=x+iy可导 复变函数 可导 的充分必要条件是
∂u ∂u ∂v ∂v (1) 偏导数 , , , 在( x, y )点处存在， 且连续； ∂x ∂y ∂x ∂y
（2） 复变函数在( x, y)点处满足C − R条件.
最后得到
z = x + iy =
π
2
+ 2kπ − i ln(2 ± 3 ).
2011-9-17
第一章 复变函数2
15
习题：推导极坐标下的C-R条件 习题：推导极坐标下的 极坐标下的 条件
令z = reiθ， ∆z = e iθ ∆r + ire iθ ∆θ . 若f ( z ) = u (r,θ ) 增量 + iv(r , θ )在点z处可导，其导数与∆z → 0的方式无关。
导数与∆z→0的方式无关，可沿复平面上任一曲线 导数与∆ 的方式无关， 的方式无关 逼近零。下面研究沿实轴和虚轴逼近的路径。 逼近零。下面研究沿实轴和虚轴逼近的路径。
2011-9-17 第一章 复变函数2 4
沿实轴：∆y=0, ∆z= ∆x→0, 式(A)可写为 沿实轴 可写为
∆v ∂u ∂v ∆u lim +i = + i = f ' ( z ). ∆x →0 ∆x ∆x ∂x ∂x

复变函数2 解析函数

复变函数2 解析函数

⎧ ⎪Δu = ux Δx + uy Δy + o ( ρ ) = ⎡ ⎣( aΔx − bΔy ) + o ( ρ ) ⎤ ⎦ ⇒⎨ ⎪ ⎣( bΔx + aΔy ) + o ( ρ ) ⎤ ⎦ ⎩ Δv = vx Δx + vy Δy + o ( ρ ) = ⎡
⎧ ux = vy = a , ⇒ f ′(z) = ux +ivx = vy −iuy . ⇒⎨ ⎩ v x = −u y = b .
当且仅当 x = y = 0时, u x = v y , u y = − v x , 因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例题3 f ( z ) = u + iv是区域D内的解析函数， 且 f ′( z ) ≠ 0
u ( x, y ) = C1 , v( x, y ) = C2 ( C1 , C2为任意常数 )
( ⇐ ) 设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y)∈ D 可微,
并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。 于是
Δu = u x Δx + u y Δy + ε1Δx + ε 2 Δy Δv = vx Δx + v y Δy + ε 3Δx + ε 4 Δy
（Δx,Δy→0时,εk→0, (k=1,2,3,4)）
u x = 1, u y = 0 , v x = 0 , v y = − 1 ⇒ u x ≠ v y u y ≠ − v x
故 w = z 在复平面内处处不可导, 处处不解析；
2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以

复变函数复变函数2

复变函数复变函数2

z0
)或
dw dz
z z0
.
应该注意：上述定义中z 0的方式是任意的。
容易证明： 可导
可微 ；可导
连续。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导.
例1 求 f (z) = z2 的导数。
[解] 因为 lim f (z Δ z) f (z) lim (z Δ z)2 z2
§2.2 解析函数和调和函数的关系
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数：
u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足u uxx uyy 0
(称为调和方程或Laplace方程)
定理1：f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数
u与v是区域D内的调和函数
f (z)在区域D内解析：f (z)在D内处处解析.
函数在一点解析 在该点可导。反之不一定成立。
在区域内： 解析 可导 .
例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；w f (z) z 2
仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；
f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。
例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.
是区域内的正交 曲线族。
(正交：两曲线在交点处的切线垂直 )
证：u ( x,
y)
C1在( x,
y)处切线的斜率ku
ux uy
，
v(x,
y)
C2在(x,
y)处切线的斜率kv
vx vy
ku kv
ux uy
vx vy
C
R
vy uy
uy vy
1,
得证。
例如 f z z2 x2 y2 i2xy, f z 2z 0z 0.

复变函数第二章1导数

复变函数第二章1导数

f
(z)

A.
几何意义:
y
z
z0
v f(z)
A
O
xO
u
A lim f (z) 意味着： z z0
当z从平面上任一方向、沿任何路径、以任意
方式趋近于z0时，f (z)均以A为极限。
1
例1：证明函数f (z) e z 在z 0时极限不存在。
证明 当z沿实轴从0的右方趋于0时，即z x 0, x 0
解： u(x, y) x3 3xy2 v(x, y) 3x2 y y3
u 3x2 3 y2 x v 6xy
x
u
6xy
v
y 3x2

3y2
y
都是初等函数，在复平面内处处连续；
u
针对柯西
黎曼方程
x u

v y 在复平面内处处成立 v
u
[2]
在区域D内处处满足柯西
黎曼方程
x u

v y v
y x
(4)实际应用：直接利用定理结论有一定难度。
若u(x, y), v(x, y)在区域D内具有一阶连续偏导数，
则在区域D内可微。
计算：判定f (z)在哪些点处可导？ a. 确定u(x, y), v(x, y);
让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有
lim u(x, y) lim x
x0 ( ykx)
x0 ( ykx)
x2 y2
lim
x
1 .
x0 (1 k 2 )x2
1 k2
故极限不存在.
2.2 复变函数的连续性
定义: 若若f (zlzim)z在0 f区(z域) D内f 处(z0处)则连称续函，数 则f称(z函)在数fz(0处 z)在连续。

复变函数2i求导

复变函数2i求导

复变函数复变函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个自变量和一个或多个复数之间的关系。

复变函数可以看作是将一个复数映射到另一个复数的规则，它在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、计算机科学等。

函数的定义复变函数是指从复数集合到复数集合的映射。

一般来说，如果z是一个复数，则可以将其表示为z = x + yi，其中x和y分别是实部和虚部。

而复变函数f(z)则可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u和v分别是实部和虚部。

用途复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：1.物理学：在电磁场理论中，使用复变函数可以方便地描述电磁场的行为。

例如，在求解电磁波传播问题时，可以使用复平面上的解析函数来表示电磁场分布。

2.工程学：在信号处理中，使用傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号。

傅里叶变换本质上就是对输入信号进行复变函数的变换，它可以方便地分析信号的频谱特性。

3.计算机科学：在计算机图形学中，复变函数可以用于生成各种图形效果。

例如，使用复变函数可以绘制出美丽的分形图形，如Mandelbrot集合和Julia集合。

复变函数2i求导对于给定的复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u和v分别是实部和虚部。

我们可以使用复数的极坐标表示来对其求导。

假设z = x + yi是自变量z的一个小增量，即dz = dx + idy。

而f(z)在z点处的导数为：f’(z) = lim (f(z+dz) - f(z)) / dz根据极限定义，我们可以将上式展开为：f’(z) = lim (u(x+dx, y+dy) + iv(x+dx, y+dy) - u(x, y) - iv(x, y)) / (dx + idy)将u和v展开并整理得到：f’(z) = lim [(u(x+dx, y+dy) - u(x, y)) / (dx + idy)] + i [(v(x+dx, y+dy) - v(x, y)) / (dx + idy)]由于dz = dx + idy，我们可以进一步将上式化简为：f’(z) = ∂u/∂x + i ∂v/∂x根据复数的性质，我们可以将上式再次化简为：f’(z) = ∂u/∂x - i ∂u/∂y这就是复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在点z处的导数。

2_复变函数

2_复变函数
Complex Analysis and Integral Transform
二、简单曲线与光滑曲线
1 、连续曲线——设z(t) = x(t) + iy(t) (a ≤ t ≤ b)，其中x(t), y(t) 是实变量的连续函数，则z(t)表示复平面上的连续曲线C。 t
2、 滑 线 若 ∀t ∈[a, b] 有 x′(t)]2 + [ y′(t)]2 ≠ 0 光 曲 － 对 ， [ ， 则 z(t)为 滑 线 称 (a)和 (b)为 线 的 点 终 。 称 光 曲 。 z z 曲 C 起 和 点
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2、存在判别法−−− 转化为实函数极限存在性判别
（2）同理知，z平面上0 <θ < ,0 < r < 2， v 4 4i 映为w平面上扇形域（见图b）， 0 即 < ϕ < ,0 < ρ < 4 2
张 长 华
π
图a
u
π
4
图b
u
(3) 自己解决。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
（4） 将直线 建立
1 1 例3 将 数 (z) = x(1+ 2 函 f ) + iy(1− 2 ) 2 2 x +y x +y 改 成 于的 析 . 写 关 z 解 式
1 1 解 一 (共 法 将 x = (z + z), y = (z − z) 法 轭 ) 2 2i 1 代 得 f (z) = z + 入 z
解法二 (拼凑法) 将f (z)的表达式凑成x + iy的因式. 1 1 1 f (z) = (x + iy) + 2 (x − iy) = z + z = z+ 2 x +y z⋅ z z

复变函数第二章(第三讲)

复变函数第二章(第三讲)

∂u ∂v 1 ∂u ∂v iii) 求导数： f '(z) = ∂x + i ∂x = i ∂y + ∂y 求导数：
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函 数分别关于x, 求导简单拼凑成的 求导简单拼凑成的. 数分别关于 ,y求导简单拼凑成的.实可微与复可微 是完全不同的概念。 是完全不同的概念。
§2.2 解析函数的充要条件
Cauchy-Riemann定理 1. Cauchy-Riemann定理 2. 举例
Cauchy-Riemann定理 1. Cauchy-Riemann定理
定理 设f (z)= u + i v, z= x +i y, z0=x0+i y0, 则f (z)在 在
(1) u( x, y), v( x, y)在( x0 , y0 )可微, ∂u ∂v ∂u ∂v z0处可导⇔ . (2) = , = − 在( x0 , y0 )成立 ∂x ∂y ∂y ∂x 定义 方程
∂u ∂v = ∂x ∂y
∂v ∂u =− ∂x ∂y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
֠
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系. 的联系.
֠ 利用该定理可以判断那些函数是不可导的. 利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
基本步骤: 偏导数的连续性， 基本步骤 i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ， ii) 验证 验证C-R条件 条件. 条件
由以上讨论得 函数； P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 是整个复平面上的解析 函数； P(z) R( z ) = 是复平面上 ( 除分母为 0点外 )的解析函数 . Q( z)

复变函数第二章(第四讲)

复变函数第二章(第四讲)

对数的表达式
Lnz ln z iArgz ln z i(argz 2k ), k Z。
证明
令w u iv z re i e
u iv i
那么
re u ln r , v 2k , k Z。
w Lnz ln r i ( 2k )， k Z。
zi 例1 求 Im(e );
Im(e iz ) Im(e y ix ) e y sinx。
例2
求e
1 (1 i ) 4
1 1 i 4
;

e
24 e (cos i sin ) e 1 i 。 4 4 2
4
例3 解方程e 1。
z
z 2k i
幂函数的性质
单值性和多值性 ① 当 n(n为整数 时 )
w=zn 在整个复平面上或去掉原点的复平 面是单值解析函数. 1 ② 当 ( n为 正 整 数时 ) n
e
1 Lnz n
e
1 (ln n
z i arg z 2 ki )
e
1 ln n
z
e
i
a rgz 2 k n

正弦与余弦函数的性质
(1) sinz及 cos z是单值函数；
( 2) sinz及 cos z在复平面 上处处解析，且 C (sinz )' cos z , (cosz )' sinz; iz iz e e (sin z ) 2i
证明 :
1 iz e iz e iz ( ie ie iz ) cos z。 2i 2 (3) 三角恒等式 : sin(z z 2 ) sinz cos z2 sinz2 cos z1 , 1 1 cos(z z 2 ) cosz1 cos z2 sinz1 sinz2 ; 1

复变函数第二,三章4-1

复变函数第二,三章4-1

( 2 ) Ln
z1 z2
Ln z 1 Ln z 2 ,
( 包括原点 )的复平面内 , 处处可导 , 主值支
( 3 ) 在除去负实轴
和其它各分支处处连续
,且
(ln z )

1 z
,
( Ln z )

1 z
.
说明 由于对数函数的多值性, 对性质(1)和(2), 两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的 任一值, 右端必有值与它相对应．反之也成立．
D
与之相反的方向就是曲线的负方向.
25
2.复积分的定义:
设函数 D 内起点为 把曲线 w f ( z ) 定义在区域 A 终点为 D 内 , C 为区域 , B 的一条光滑的有向曲线 n 个弧段 , 设分点为
12
( 4 ) sin z 是奇函数， cos z 是偶函数；
sin( z ) sin z , cos( z ) cos z .
(5) 遵循通常的三角恒等式，如
cos( z 1 z 2 ) cos z 1 cos z 2 sin z 1 sin z 2 , sin( z 1 z 2 ) sin z 1 cos z 2 cos z 1 sin z 2 , 2 2 sin z cos z 1 .
1 i
的 模 、 辐 角.
9
2. 幂函数的解析性
( 1 ) 幂函数 z 在复平面内是单值解析
n
的,
n 1 ( z ) nz .
n
(2) 幂函数 w z 函数 ,

( 除去 n 情况外 ) 是一个多值
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面
1 ( z ) z .

复变函数论第二章总结

复变函数论第二章总结

复变函数论第二章总结一、思维导图二、分类1.与积分路径无关：定理1 如果函数f(z)在单连通域内处处解析，F(z)为f(z)的一个原函数，那么：其中为单连通域内的两个点。

2.与积分路径有关：①无奇点：定理2（柯西积分定理）设f(z)在单连通域E内解析，C为E 内任一简单闭曲线，则：例题：②有一个奇点：定理3（柯西积分公式）如果函数f(z)在区域D内处处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，为C 内任意一点，那么例题：定理4（高阶导数公式）解析函数的导数仍然为解析函数，它的n阶导数为：例题：③有两个及以上奇点：定理5（复合闭路定理）设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以为边界的区域全含于D，如果f(z)在D内解析，则： (1) ，例题：2.解析函数与调和函数的关系1.调和函数的定义：若u(x,y)在区域E内具有连续的二阶偏导数，且在E内满足，则称函数u(x,y)为区域E的调和函数。

方程称为调和方程。

定理1 任何一个在区域E上解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部与虚部都是该区域上的调和函数。

（该定理的逆定理不成立！要使u+iv解析，还需要满足C-R条件才可以）2.对于给定的调和函数u(x,y)，把使u+iv构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。

3.求共轭调和函数的两种方法：①偏积分法（最常用，且不容易出错）如果已知一个调和函数u，那么就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi。

这种方法称为偏积分法。

例题：②偏积分法：例题：（这里的积分路径一般从原点(0,0)开始选取，选任意的也可以）。

复变函数ⅱ

复变函数ⅱ

复变函数ⅱ
复变函数ⅱ是数学分析学科中的一个重要分支，是复变函数论的深入研究，主要研究复数域上的函数性质和变化规律。

复变函数ⅱ的研究内容包括：复变函数的导数、积分、级数、解析函数、调和函数、全纯函数、亚纯函数、奇点和留数等。

其中，全纯函数和亚纯函数是复变函数中的两个重要概念。

全纯函数是指在复平面上处处可导且导数连续的函数，也称为解析函数。

全纯函数具有良好的性质，如：导数也是全纯函数；全纯函数的幂级数展开式是收敛的；全纯函数具有唯一性等。

亚纯函数是指在复平面上除有限个孤立奇点外处处可导的函数。

亚纯函数具有奇点和留数的概念，在解析函数无法定义的点上，亚纯函数具有留数的概念，留数是计算亚纯函数在奇点处的积分值的一种方法。

复变函数ⅱ的研究有着广泛的应用，如在物理学中，复变函数ⅱ可以用于描述电子在磁场中的运动；在工程学中，复变函数ⅱ可以用于信号处理、控制系统等方面；在金融学中，复变函数ⅱ可以用于金融市场的分析和预测等方面。

复变函数ⅱ的研究对于推动数学学科的发展和促进科技进步具有重要作用。

未来，复变函数ⅱ的研究将会更加深入，为人类的发展和
进步做出更多的贡献。

复变函数2

复变函数2
所以得到
e e . iazibsin z
ay b c os xshy
2020/1/24
第一章 复变函数2
13
例6. 求解方程 sinz＝2 [参看梁书P9,习题3]
解： sin z sinxchy i cosxshy

1 2
sin x(ey
ey ) i cosx(ey
第一章 复变函数2
5
说明
柯西－黎曼条件是复变函数可导的必要条件:
不满足柯西－黎曼条件的复变函数必定 不可导。例如连续的函数w=Rez=x.
满足柯西－黎曼条件的复变函数不一定可导。例 如函数
f (z)
Re z Im z


i
xy , | xy |,
第I、III象限 （xy 0） 第II、IV象限（xy 0）
第一章 复变函数2
10
例题与习题
例1：求Lni=?
解: 因为i＝ei/2，所以 Lni=ln1+ (/2+2k)i= (/2+2k)i , k为整数.
例2：求i i=? 解: ii=eiLni=ei(/2+2k)i=e-(/2+2k), k为整数.
同理可求 i i i1/i ii eiLni e /22k .
复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导 的充分必要条件是
(1) 偏导数 u , u , v , v 在(x, y)点处存在，且连续； x y x y
（2）复变函数在 (x, y)点处满足C R条件.
证明：由于二元函数的偏导数存在且连续，则有
u
f '(z) u i v v i u . x x y y

复变函数-第二章-解析函数

复变函数-第二章-解析函数

23
(3.4)当为无理数或 Im 0时：
z e

Lnz
e
(ln z i arg z 2 k i )
e
ln z
e
i arg z
e
2 k i
---- 无穷多值函数
(3.5)当 0, z 0 e0Lnz e0 1
在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且 1 Ln z Ln z z e e z 1 z
e e
1 z
1 x yi
1 z
1 z
e
x y i x2 y2 x2 y2
,
Re(e ) e
x x2 y2
y cos 2 . 2 x y
16
2、 对数函数 定义 指数函数的反函数称为对数函数.即
把满 足 e w z( z 0)的函 数 w f (z) 称为 对数 函数 , 记作w Lnz.
10
推论1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y),如果u(x, y)
和 v(x, y)的四个偏导数 :
u u v v , , , x y x y
在点(x,y)处连续 且满足 方程，则 f(z)在点 u , v v C-R u
x y z=x+iy处可导。 , x y .
给定一复数 z，如何计算 Lnz ？
令w u iv , z re i , 那 么 e u iv re i u ln r , v 2k ( k为 整 数).
w Lnz ln r i ( 2k ) ( k 0,1,) 每个确 定的k 或 Lnz ln z iArg z ln z i (arg z 2k ) 对应一

复变函数第2章解析函数

复变函数第2章解析函数
dw zz0 f (z0 )z
当 f (z) z时，dw= dz ，z 所以 f 在(z)点
z 0处的微分又可记为
dw zz0 f (z0 ) d z
亦即
dw
dz zz0
f (z0 )
由此可知，函数 w f (z)在点 z处0 可导与可微 是等价的.
复变函数的求导法则与高数完全类似：
则称 gx, y为 D内的调和函数
定理2.3 设 f z u i，v 若 f 在z 区域 内D 解
析，则 与u 均v 为 内D的调和函数.
定义2.4 若在区域 D内， u与 v均为调和函数
且满足C-R条件
ux vy , uy vx 则称 u 为 v的共轭调和函数
定理2.4 设 ux, y在区域 D内为调和函数，则
z0
)
lim
zz0
f (z) f (z0) z z0
0 f (z0 ) 0
知
lim
zz0
f (z)
f (z0 )，故
f在(z)点 处z 0连续.
同高数一样，称函数 f (z) 的改变量 w的线性部 分 f (z0 )z为函数 f (z在) 点 z处0 的微分，记作 dw 或 zz0 df(z) z，z0 即
2.1 复变函数的导数
定义2.1 设函数 w f z定义在区域 D
内，z0 D ，（z0 z） D ，若极限
lim f z0 z f z0
z0
z
存在，则称此极限为函数 f z在点 z0处的导数，
记作 f z0 或
df ，即
dz zz0
f
z0
df dz
z z0
lim
z0
f
z0

复变函数2解析

复变函数2解析

以上各式证明略.
11
例3 将下列复数表示为 x iy 的形式.
(1)
1 1
i i
7
;
(2) i 1 i . 1i i
解 (1) 1 i (1 i)2 (1 i)2 i, 1 i (1 i)(1 i) 2
1 1
i i
7
(i )7
i.
(2) i 1 i i2 (1 i)2 1 2i
32
2
1 2
2
5. 2
15
例7 设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 证明 z1 z2 z1 z2 2 Re(z1 z2 ).
证 z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ).
2 i 6i (2)2
i2
3i 2
1
i.
13
例5
设
z1
5 5i,
z2
3
4i,
求 z1 z2
与
z1 z2
.
解 z1 5 5i (5 5i)(3 4i) z2 3 4i (3 4i)(3 4i)
(15 20) (15 20)i 7 1 i.
25
55
z1 7 1 i. z2 5 5
《复变函数》课程
第一章复数与复变函数
1
第一节 复数
复数域 复平面 复数的模与辐角 复数的乘幂与方根 复数的应用举例
1、复数域
1.1 虚单位: 实例: 方程 x2 1在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数i,

复变函数2

复变函数2
n
1 (12) [tan z ] 2 ； cos z (13) [sh z] ch z ； (14) [ch z ] sh z .
1.4 解析函数
解析函数是本章的重点内容，有着广泛 的应用基础。本节着重讲解解析函数的概 念及判断方法；然后介绍一些常用的初等 解析函数，说明它们的解析性；
0 0
2．函数解析与可导、连续、极限的关系
由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在 区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和 在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说，函数 在一点处可导，不一定在该点处解析. 但函数在一 点解析，则一定在该点可导（而且在该点及其邻 域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可导的 要求要严格得多. 区域解析区域可导 在某点解析该点可导该点连续该点 极限存在，反之均不一定成立。
（2）沿平行于虚轴的方向趋于零 ( x 0, z iy 0 )
f ( z ) lim f ( z z ) f ( z ) z 0 z u ( x, y y ) u ( x, y ) i[v ( x, y y ) v ( x, y)] lim y 0 iy 1 u v u v = i i y y y y
复变函数在某点解析
某点可导
某点极限存在
某点连续
3. 解析函数的法则 （1） 、定理 在区域 D 内解析的两 个函数 f ( z ) 与 g ( z ) 的和、 积、 （除 差、 商 去分母为零的点）在 D 内解析.
(2).几个常用结论 如果函数 f ( z ) 在区域 D 内解析，证明：若满足下列条 件之一， f ( z ) 在 D 内必为一常数. 其中 c1 为实常数，c 2 则 （ 为非负实常数） ① f ( z ) 0 ; ② Re f ( z) c1 ; ③ | f ( z ) | c2 .

课02-第一章(复变函数2)

课02-第一章(复变函数2)
它把 z 平面上的两族分别以直 线 y = ± x 和坐 标轴为渐近线的等轴双 曲线 x 2 − y 2 = c1 , 2 xy = c2 ,
分别映射成 w 平面上的两族平行直线 u = c1 , v = c2 . (如下页图 如下页图) 如下页图
10
( 2) 函数 w = z 2 构成的映射 .
它们确定了自变量为 x 和 y 的两个二元实变函数 .
例如, 例如, 函数 w = z 2 , 令 z = x + iy , w = u + iv ,
则 u + iv = ( x + iy )2 = x 2 − y 2 + 2 xyi ,
于是函数 w = z 2 对应于两个二元实变函 数 : u= x − y ,
1
2.单(多)值函数的定义 单 多 值函数的定义 值函数的定义:
如果 z 的一个值对应着一个 w 的值, 那末 我们称函数 f ( z ) 是单值的. 如果 z 的一个值对应着两个或 两个以上 w 的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
3.定义集合和函数值集合 定义集合和函数值集合: 定义集合和函数值集合
19
1.5 初等函数
复函的初等函数有： 复函的初等函数有： e z , Lnz , z α , sin z 等.
一、指数函数
1.指数函数的定义 指数函数的定义: 指数函数的定义
w = f (z) = e = e
z
x + yi
定义
= e (cos y + i sin y )
x
2.指数函数的性质 指数函数的性质: 指数函数的性质
15
三、典型例题
1 例1 对于映射 w = z + , 求圆周 z = 2 的象. z 解 令 z = x + iy , w = u + iv ,
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复变函数对解析函数的计算简化及
其理论的实际应用
【摘要】在复变函数的分析理论中，复变函数的积分理论是复变函数理论的重要组成部分，应用复变函数的积分理论是研究解析函数的重要工具之一。

解析函数的许多重要性质不用复积分是很难证明的。

如，不借助复积分或等价工具，要证明一个解析函数的导数是连续的，或证明高阶导数存在非常复杂，。

因此，了解复变函数积分，以及能灵活运用这种计算方法进行积分计算简化就显得极其重要，也为工程上解决实际问题提供了一条便捷之路。

以下重点介绍了利用级数法、拉普拉斯变换法及对数留数与辐角原理进行积分计算的方法。

【关键词】复变函数论柯西定理留数定理实际意义
【正文】：
提出问题：复变函数的发展史可以看出复变函数的重要性，尤其是解决一些实际问题，例如，与空气动力学、流体力学、弹性力学、电磁学和热力学等学科有关的一些重要实际问题，更体现了复变函数中复积分的重要性。

解析函数的许多重要性质不用复积分是很难证明的。

众所周知，应用复变函数的积分理论是研究解折函数的重要工具之一,但对于复变函数如何对积分进行计算的简化，以及理论的实际应用，我们还要做进一步探讨。

【分析问题】：
复积分中的柯西积分定理在理论上处于关键的地位，由它派生出的柯西公式、留数定理、辐角原理等都涉及到积分的计算问题。

而解析函数在孤立奇点的留数原本是一个积分，而实际计算却需要柯西展式。

把积分与级数这两个工具结合起来的留数定理在积分计算的理论与实际更有着重要意义。

下面通过列举一些不常用有技巧性的例子来证明复变函数解析函数的计算简化和实际应用。

一、复变函数积分计算的常见方法
常见的复变函数积分计算方法有： ①把复变函数积分化为实变量的实函数曲线积分；②用牛顿一莱布尼茨公式计算复积分；③用柯西定理及其推论计算复积分；④用柯西积分公式计算复积分；⑤用解析函数的高阶导数公式计算复积分；⑦用留数定理计算复积分。

二、级数法
连续性逐项积分定理：设f n (z)在曲线Ｃ上连续（ｚ＝１，２，３，......)，
∑+∞
∞
-)(z f n 在C 上一致收敛于f(z),则f(z)在曲线C
上连续，并且沿C 可逐项积分：
dz
z f dz z f c
c
n n ⎰⎰∑=+∞
=)()(1
[1]。

例一、计算积分 2/1:,)(1
=⎰∑∞
-=z C dz z c n n
i i dz z z dz z z z z z c c n n
n n
ππ202)11
1()(111211
1=+=-+=-+=<⎰⎰∑∑∞
-=∞
-=所以
内，在
三、拉普拉斯变换法
定义１设f(t)是定义在［０，+∞］上的实值函或复值函数，如果含复变量Ｐ=σ＋is （σ，Ｓ为实数）的积分dt e t f pt -+∞
⎰0
)(在Ｐ
的某个区域内存在，则由此积分定义的复函数dt
e t
f p F pt -+∞
⎰=0
)()(称为函数f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），简记为F(p)=L[f(t)][2]。

计算该类复积分时，可先运用拉普拉斯变换的基本运算法则（线性关系、相似定理、位移定理、像函数微分法、本函数微分法、本函数积分 法、延迟定理、卷积定理等），将该类复积分化为F （ｐ）的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的复积分结果。

例二：dz e az z
a pz
-∞
⎰
21cos 10
π计算积分
a
p e a
p a a P F a dz e az z a a p e a
p a p F a
p
F a az f L dz
e az z
a az f L az z
a az f a
p pz a p pz
cos 1)(121cos 1cos 1)()
(1)]([21cos 1)]([21
cos
1)(00-
-∞--∞======⎰⎰πππ所以由拉普拉斯变换得由相似定理有：
则
解：令
复变函数对解析函数的计算简化及
其理论的实际应用
【摘要】在复变函数的分析理论中，复变函数的积分理论是复变函数理论的重要组成部分，应用复变函数的积分理论是研究解析函数的重要工具之一。

解析函数的许多重要性质不用复积分是很难证明的。

如，不借助复积分或等价工具，要证明一个解析函数的导数是连续的，或证明高阶导数存在非常复杂，。

因此，了解复变函数积分，以及能灵活运用这种计算方法进行积分计算简化就显得极其重要，也
为工程上解决实际问题提供了一条便捷之路。

以下重点介绍了利用级数法、拉普拉斯变换法及对数留数与辐角原理进行积分计算的方法。

【关键词】复变函数论柯西定理留数定理实际意义
【正文】：
提出问题：复变函数的发展史可以看出复变函数的重要性，尤其是解决一些实际问题，例如，与空气动力学、流体力学、弹性力学、电磁学和热力学等学科有关的一些重要实际问题，更体现了复变函数中复积分的重要性。

解析函数的许多重要性质不用复积分是很难证明的。

众所周知，应用复变函数的积分理论是研究解折函数的重要工具之一,但对于复变函数如何对积分进行计算的简化，以及理论的实际应用，我们还要做进一步探讨。

【分析问题】：
复积分中的柯西积分定理在理论上处于关键的地位，由它派生出的柯西公式、留数定理、辐角原理等都涉及到积分的计算问题。

而解析函数在孤立奇点的留数原本是一个积分，而实际计算却需要柯西展式。

把积分与级数这两个工具结合起来的留数定理在积分计算的理论与实际更有着重要意义。

下面通过列举一些不常用有技巧性的例子来证明复变函数解析函数的计算简化和实际应用。

一、复变函数积分计算的常见方法
常见的复变函数积分计算方法有：①把复变函数积分化为实变量的实函数曲线积分；②用牛顿一莱布尼茨公式计算复积分；③用柯
西定理及其推论计算复积分；④用柯西积分公式计算复积分；⑤用解析函数的高阶导数公式计算复积分；⑦用留数定理计算复积分。

四、级数法
连续性逐项积分定理：设f n (z)在曲线Ｃ上连续（ｚ＝１，２，３，......)，
∑+∞
∞
-)(z f n 在C 上一致收敛于f(z),则f(z)在曲线C
上连续，并且沿C 可逐项积分：
dz
z f dz z f c
c
n n ⎰⎰∑=+∞
=)()(1
[1]。

例一、计算积分 2/1:,)(1
=⎰∑∞
-=z C dz z c n n
i i dz z z dz z z z z z c c n n
n n
ππ202)11
1()(111211
1=+=-+=-+=<⎰⎰∑∑∞
-=∞
-=所以
内，在
五、拉普拉斯变换法
定义１设f(t)是定义在［０，+∞］上的实值函或复值函数，如果含复变量Ｐ=σ＋is （σ，Ｓ为实数）的积分dt e t f pt -+∞
⎰0
)(在Ｐ
的某个区域内存在，则由此积分定义的复函数dt
e t
f p F pt -+∞⎰
=0
)()(称为函数f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），简记为F(p)=L[f(t)][2]。

计算该类复积分时，可先运用拉普拉斯变换的基本运算法则（线性关系、相似定理、位移定理、像函数微分法、本函数微分法、本函数积分 法、延迟定理、卷积定理等），将该类复积分化为F （ｐ）的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的复积分结果。

例二：dz e az z
a pz
-∞
⎰
21cos 10
π计算积分
a
p e a
p a a P F a dz e az z a a p e a
p a p F a
p
F a az f L dz
e az z
a az f L az z
a az f a
p pz a p pz
cos 1)(121cos 1cos 1)()
(1)]([21cos 1)]([21
cos
1)(00-
-∞--∞======⎰⎰πππ所以由拉普拉斯变换得由相似定理有：
则
解：令。