高三数学适应性考试试题(一)理

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的四川省南充市高2024届高考适应性考试（一诊）理科数学。

1．抛物线24x y =的准线方程为（）A ．1x =-B ．1x =C ．1y =-D ．1y =2．当12m <<时，复数1(2)m m i -+-在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC CA +-=（）A ．0BC．D ．44．已知直线m ，n 和平面α，n α⊂，m α⊂/，则“m n ∥”是“m α∥”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要5．已知全集U R =，集合{}3log (1)1A x x =->，2214x B x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，则能表示A ，B ，U 关系的图是（）A ．B．C．D ．6．某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y （万件）与时间x （月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y 与x 的回归直线方程为：0.480.56y x =+．则下列说法错误的是（）时间x （月）12345销售量y （万件）11.62.0a3A ．由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件B ．表中数据的样本中心点为()3,2.0C ． 2.4a =D ．由表中数据可知，y 和x 成正相关7．二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为（）A ．60-B ．60C ．210D ．210-8．已知：123a +=，3123b -=，则下列说法中错误的是（）A ．2a b +=B ．312b <<C ．1b a -<D ．1ab >9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点，则平面AEF 截正方体所得的截面面积为（）A ．32B ．92C ．9D ．1810．如图1是函数()cos 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中()g x 的部分图象，则（）图1图2A ．1()22g x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．202332g ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．方程14()log g x x =有4个不相等的实数解D ．1()2g x >的解集为152,266k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k Z ∈11．已知双曲线2213y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，左右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线在第一象限上的一点，若211cos 4PF F ∠=，则12PA PA ⋅= （）A ．2-B ．2C ．5D ．5-12．已知函数2()ln 2f x x m x=-+-（03m <<）有两个不同的零点1x ，2x （12x x <），下列关于1x ，2x 的说法正确的有（）个①221m x e x <②122x m >+③3233m e x m<<-④121x x >A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南充市高2023届高考适应性考试（一诊）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}1,3,5,7,9,29M N x x ==>，则M N ⋂=（）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,92．若复数z 满足i 1z ⋅=+，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．253．如图，在ABC ∆中，4BD DC =，则AD =（）A ．1455AB AC + B ．4155AB AC+uuur uuu r C ．1566AB AC + D ．5166AB AC+4．函数()21(21x x f x x -=+在33[,]22ππ-上的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．5．某建筑物如图所示，底部为A ，顶部为B ，点C ，D 与点A 在同一水平线上，且CD l =，用高为h 的测角工具在C ，D 位置测得建筑物顶部B 在1C 和1D 处的仰角分别为α，β.其中1C ，1D 和1A 在同一条水平线上，1A 在AB 上，则该建筑物的高AB =（）A ．()sin cos sin l h αββα+-B ．()cos cos sin l h αββα+-C ．()cos sin sin l hαββα+-D ．()sin sin sin l hαββα+-6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为258，则判断框内可填入的条件为（）A ．4?n ³B ．5?n ³C ．6?n ³D ．7?n ³7．在某次红蓝双方举行的联合军演的演练中，红方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；蓝方有2艘军舰，4架飞机．现从红、蓝两方中各选出2件装备（1架飞机或一艘军舰都作为一件装备，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同）先进行预演，则选出的四件装备中恰有一架飞机的不同选法共有（）A ．60种B ．120种C ．132种D ．168种8．已知直线20kx y -+=与椭圆2219x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围（）A.(]4,9 B.[)4,+∞ C.[)()4,99,+∞ D.()9,+∞9．已知数列满足212323n a a a na n ++++= ，设n n b na =，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2023项和为（）A ．20224045B ．40464047C ．40444045D ．2023404710．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩，给出下列五个命题：（1）该函数的值域是[1,1]-；（2）当且仅当222x k x k πππ=+=或(Z k ∈)时，该函数取得最大值1；（3）该函数的最小正周期为2π；（4）当且仅当222k x k ππππ-<<+(Z k ∈)时，()0f x >；（5）当且仅当[,]42x k k ππππ∈++(Z k ∈)时，函数()f x 单调递增；其中所有正确命题个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数3211()32f x x bx cx d =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程[]2()()0f x bf x c ++=的不同实根个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．512．已知13sin 3a =，1cos 3b =，1718c =，则（）A ．a b c>>B ．c b a>>C ．b a c>>D ．a c b>>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2610a a +=，则7S =_________.14．若4()(1)x t x -+的展开式中3x 的系数为10，则t =.15．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为2，2,30AB BC ABC ==∠=︒，则此球的表面积等于_________.16．已知向量a 与b夹角为锐角，且2a b == ，任意R λ∈，a b λ-⋅ 的最小值为c满足()()0c a c b -⋅-= ，则c r 的取值范围为_________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（本题满分12分）在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量)sin m A A =，，()11n =- ，，且//m n ．(1)求角A 的大小；(2)若a =，sin sin 0a B c A -=，求ABC ∆的面积．18．（本题满分12分）2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日-12月18日进行，共有32支球队获得比赛资格.赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分：“中国制造”的卢赛尔体育场将见证新的世界冠军产生，中国企业成为本届世界杯最大赞助商，世界杯周边商品七成“义乌造”.某企业还开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解世界杯的相关知识，并倡议大家做文明球迷.该企业为了解广大球迷对世界杯知识的知晓情况，在球迷中开展了网上问卷调查，球迷参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运球迷，他们得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：（1）若用样本来估计总体，根据频率分布直方图，求m 的值，并计算这200人得分的平均值x （同一组数据用该区间中点值作为代表）；（2）该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动：每人可获得3次抽奖机会，且每次抽中价值为100元纪念品的概率均为23，未抽中奖的概率为13，现有幸运球迷张先生参与了抽奖活动，记Y 为他获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望.19．（本题满分12分）在平面五边形ABCDE 中（如图1），ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB =，90ABC ∠=︒，ADE △是等边三角形．现将ADE △沿AD 折起，连接EB ，当3EC =时得（如图2）的几何体．（1）求证：EAD ABCD ⊥平面平面；（2）在棱EB 上有点F ，满足13EF EB =，求二面角E AD F --的余弦值．20．（本题满分12分）已知函数()()2ln 12ax f x x x x a =--+∈R ．（1）当1a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ．求证：1221x x a <．21．（本题满分12分）已知点()1,2Q 是焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上一点.（1）求抛物线C 方程；（2）设点P 是该抛物线上一动点，点M ，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN ∆的内切圆方程为221x y +=，求PMN ∆面积的最小值.（二）在选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 满足参数方程为=2cos =2sin x y αα⎧⎨⎩（α为参数，[],0απ∈-）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 0m ρθρθ+-=．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2OA OB ⋅=，求实数m 的值．23．（本题满分10分）已知函数()12f x x x =--+.（1）求不等式()2f x x <的解集；（2）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足143a b c M ++=，求证：11116a b c++≥.南充市高2023届高考适应性考试（一诊）理科数学参考答案一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．123456789101112BCAADCACDCBA二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.3514.1-15.52π16.⎤⎦三.解答题17..解：（1）因为)sin m A A =，，()11n =- ，，//m n.所以sin A A =，..........................................................................................................2分可得tan A =(0,)A π∈．..........................................................................................4分所以23A π=..............................................................................................................................6分（2）sin sin 0a B c A -=由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得ab ca =...................................................................................................................................8分则b c =，又a =23A π=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得b c ==分所以211sin 222ABC S bc A ∆==⨯⨯=.........................................................12分18.解：（1）由频率分布直方图表，10(0.00250.00500.01000.01500.0200.0250)1m ++++++=得0.0225m =.......................................................................................................................2分53040504520103545556575859565200200200200200200200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以这200人得分的平均值65x =....................................................................................5分(2)Y 的所有取值为0，100，200，300，............................................................................6分003311232233303211(0)()()3327216(100)()()33272112(200)()()3327218(300)()()3327P Y C P Y C P Y C P Y C ==⨯===⨯===⨯===⨯=....................................................................10分Y 0100200300P1272949827...............................................................................................................................................11分1241()0100200300200279932E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=............................................12分19.（1）取AD 中点O ,连接,OC OE ,易得OE AD ⊥,OC AD⊥.在COE ∆中，由已知3,2CE OC AB OE ====.222.OC OE CE OE OC +=∴⊥ 又OE AD ⊥，OC AD O ⋂=.................................................................................................................3分则OE ABCD ⊥平面........................................................................................................4分又OE ADE⊂平面故EAD ABCD ⊥平面平面得证 (6)分（2）以O为原点，分别以射线,,OC OAOE 为,,x y z 轴正半轴.建立如图所示空间直角坐标系.则(0,(0,0,A B DE则(0,(0,2EB AE AD ===-在棱EB 上的点F满足13EF EB=则13EF = ，(,)333AF AE EF =+=- .设平面ADF 的一个法向量为(,,)m x y z =则0,0,m AF m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 令1z =，得平面ADF的一个法向量(m =-..............................................10分又平面EAD 的一个法向量(1,0,0)n =整理得cos ,=3m n 故二面角E AD F --的余弦值为3.....................................................................12分20.(1)解：()()2ln 10,2ax f x x x x x a =--+>∈R 当1a =时，()()2ln 102x f x x x x x =--+>因为()()ln 0f x x x x '=->，()112f =-，()11f '=-..................................................2分所以()f x 在()(1,1)f 处的切线方程为：1(1)2y x +=--.即2210x y +-=......................................................................................................4分（2）由()()2ln 10,2ax f x x x x x a =--+>∈R 得()()ln 0f x x ax x '=->........................................................................................5分因为函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ．所以()ln 0f x x ax '=-=在(0,)+∞有两个不同的变号零点1x ，2x .不妨设120x x <<.由于1122ln 0ln 0x ax x ax -=⎧⎨-=⎩，得2211ln ()x a x x x =-，则2121()10ln x x x a x -=>...............................7分要证：1221x x a <只需证：2211221()ln x x x x x x -<2121ln x x x x -<只需证：21lnx x <=...............................................................................9分t =，则1t >，只需证：12ln t t t<-..................................................................10分构造函数1()2ln h t t t t=-+，(1)t >.因为22221(1)()10t h t t t t-'=--=-<，...........................................................................11分所以()h t 在(1,)+∞单调递减因为1t >，所以()(1)0h t h <=.故原不等式成立........................................................................................................12分21.解：（1）因为点()1,2Q 在焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上所以2221p =⨯.............................................................................................................................2分得2p =，所以抛物线的方程为24y x =.....................................................................................................4分（2）设()00,P x y ，()1,M m -，()1,N n -，则直线PM 的方程为00(1)1y m y m x x --=++，即0000()(1)0y m x x y mx y --+++=........................................................................................5分因为直线PM 与圆221x y +=相切1=所以2220000(1)2(1)(1)0x m y x m x --+++=.............................................................................6分同理直线PN 与圆221x y +=相切得：2220000(1)2(1)(1)0x n y x n x --+++=.构造方程:2220000(1)2(1)(1)0x t y x t x --+++=，则1t m =，2t n =.02000020020020(1)002(1)211(1)1011x y x y m n x x x x m n x x ⎧-≠⎪∆>⎪⎪+⎪+==⎨--⎪⎪++⋅==<⎪--⎪⎩.......................................................................................8分显然01x>0000 11122PMNS m n x x x x∆=-+=+=+=+ ....................................................................................................................................................10分令1xμ=-，则1xμ=+，0μ>PMNS∆==≥=.........................11分当且仅当42μμ==时，即03x=，取最小值.所以PMNS∆的最小值为分22.解：（1）因为曲线C满足参数方程为=2cos=2sinxyαα⎧⎨⎩（α为参数，[],0απ∈-）所以曲线C的直角坐标方程为：224x y+=(0)y≤...........................................................3分因为直线l的极坐标方程为cos sin0mρθρθ+-=．由cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l直角坐标方程为0x y m+-=......................................................................................5分(2)方法一：因为直线l与曲线C交于A，B两点，且2OA OB⋅=所以1cos2OA OBAOBOA OB⋅∠==⋅................................................................................................7分记O到l的距离为d.则2sin3dπ==.......................................................................................................................8分又0m<.所以m=分方法二：已知(0,0)O，设11(,)A x y，22(,)B x y.则2121212121212()()2()2OA OB x x y y x x m x m x x x m x x m⋅=+=+-⋅-=-++=....................6分2240x y x y m ⎧+=⎨+-=⎩得222240mx m x -+-=........................................................................................................7分122120042x x m m x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=<⎨⎪-⎪⋅=⎪⎩所以222(4)2OA OB m m m ⋅=--+= ......................................................................................8分所以m =m =..........................................................................................9分综上：m =分23.解：（1）()122f x x x x=--+<12123212232x x x x x x x ≥-<<≤-⎧⎧⎧⇔⎨⎨⎨-<--<<⎩⎩⎩或或................................................................................3分1(,)4x ⇔∈-+∞......................................................................................................................5分（2）()3112122132x f x x x x x x ⎧-≥⎪=--+=---<<⎨⎪≤-⎩............................................................6分所以函数()f x 的最大值为3M =.已知正实数a ，b ，c 满足1413a b c M ++==....................................................................8分由柯西不等式得2222222111(16a b c ⎡⎤⎡⎤++=++⋅++≥=⎢⎥⎣⎦⎣⎦...................................................................................................................................................9分==时，即2a b c ==时，又41a b c ++=.所以当且仅当14a =，14b =，18c =时，等号成立..............................................................10分。

高2023届第一次适应性训练理科数学一．选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知集合{}21A x x −<<，{}02Bx x =≤≤，则A B = （ ） A ．{}01x x ≤<B ．{}22x x −<≤C ．{}12x x <≤D ．{}01x x <<2．在复平面内，复数()2a ia R i+∈对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,+∞ B ．(),0−∞C ．()2,+∞D ．(),2−∞3. 已知()(){}1,|,,|20,0xy A x y Bx y x y x y ===+≥ >> ，则“P A ∈”是“P B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角α的终边经过点()1,3P ，则sin cos 2sin cos αααα=−（ ）．A. 65B. 45C. 65−D. 45−5．函数2sin 21x y x =+在[],ππ−的图象大致为（ ）A.B.C.D.6．已知O 是ABC ∆内一点，满足2132AO AB BC=+，则:ABC OBC S S ∆∆=（ ）A ．3:1B ．1:3C ．2:1D ．1:27．已知非零实数,m n 满足22,m m n n ⋅>⋅，则下列结论错误的是（ ） A. ln ln m n > B.11m n< C. 22m n > D. sin sin m m n n +<+ 8．已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为12,S S ，且122S S =，对应圆锥外接球体积分别为12,V V ，则12V V =（ ） A ．8 B ．C ．D ．29．在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中有一个“国际服务项目”截止 到2022年1月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且 各单位名额互不相同的方法种数是( ) A ．14 B ．12C ．10D ．810．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．B C ．1D ．1211．在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，2AB =，ABC △与PAB △的外接圆圆心分别为1O ，2O ，若三棱锥P ABC −的外接球的表面积为16π，设1O A a =，2O A b =，则a b +的最大值是（）A.B.C. D.12．已知函数()()1ln 20,x axf x x ax a e −=+−−>若函数()f x 在区间()0,+∞内存在零点,则实数a 的取值范围是（ ）A. (]0,1B. [)1,+∞C. (]0,eD. [),e +∞二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当10x −<<时，()3x f x =，则()3log 2f = . 14. ()()42121x x −+展开式中3x 的系数为 .15. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若,3,2,6π===B c a b 则ABC ∆的面积为_____.16. 已知实数1212,,,x x y y 满足2222112212121,1,0x y x y x x y y +++,最大值为________.三．解答题：（本题共6小题，共70分）17. (本题12分)已知数列}{n a 的前n 项和为,n S 满足.12,1313+==+n n S a S （Ⅰ）证明：数列}{n a 是等比数列； （Ⅱ）若13log1+=n n a b ,求数列}{1+n n b b 的前n 项和n T .18．(本题12分) 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功 着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2000名学生进行了航天知识竞赛并进行纪录（满分：100分）根据得分将数据分成7组：[)20,30，[)[]30,40,...,80,90，绘制出如下的频率分布直方图：（Ⅰ）用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求 其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率； （Ⅱ）从得分在[]60,90的学生中利用分层抽样选出8名 学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人竞赛得分不低于70分的人数X 的分布列及数学期望.19. (本题12分)如图，在四棱锥P ABCD −中，底面四边形ABCD 为菱形，E 为棱PD 的中点，O 为边AB 的中点. （Ⅰ）求证：AE ∥POC 平面；（Ⅱ）若侧面PAB ⊥底面ABCD ，且,3ABC PAB π∠=∠= 24AB PA ==,求PD 与平面POC 所成的角.20. (本题12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的长轴为双曲线22184x y −= 的实轴，且椭圆C 过点()2,1P . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;（Ⅱ）设点,A B 是椭圆C 上异于点P 的两个不同的点，直线PA 与PB 的斜率均存在，分别记为12,k k ，且1212k k =−，当坐标原点O 到直线AB 的距离最大时，求直线AB 的方程.21．(本题12分)已知函数()()cos 0,.f x ax x x a R π=+≤≤∈ （Ⅰ）当12a =时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为,M m ，求证：32.2M m −≥22. （本题10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x y αα= = ，（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为(4,)2π，直线l 的倾斜角为3π，直线l 过点M ．（Ⅰ）试写出直线l 的极坐标方程，并求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值；（Ⅱ）把曲线C 上点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标扩大到原来的2倍，得到曲线1C ，若过点()1.0E 作与直线l 平行的直线'l ，交曲线1C 于,A B 两点，试求EA EB ⋅的值．。

成都高2024届高考适应性考试（一）理科数学（答案在最后）（全卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,1,20A B xax =-=+=∣，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为（）A.{}2-B.{}2 C.{}2,2- D.{}2,0,2-2.复数2i1ia z -+=-在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数a 的值为（）A.1B.2C.-1D.-23.已知,a b 为实数，则使得“0a b >>”成立的一个必要不充分条件为（）A.11a b> B.()()ln 1ln 1a b +>+C.330a b >>>4.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（）A.33B.34C.35D.365.函数()()1ln 1f x x x =+-的大致图象是（）A. B.C. D.6.在区间[]2,4-上随机地取一个数x ，使2sin x x 恒成立的概率是（）A.13B.12C.23D.347.设抛物线24y x =的焦点为F ，过抛物线上一点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠= ，则PQ =（）A.23B.233C.438.变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩则目标函数3z x y =+-的取值范围是（）A.3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]1,69.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为()0146V h S S S =+'+，其中,S S '分别是上､下底面的面积，0S 是中截面的面积，h 为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米､宽10米，堆高1米，上底面的长､宽比下底面的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A.51车B.52车C.54车D.56车10.设锐角ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,2c B C ==，则a b +的取值范围为（）A.()2,10 B.()2+ C.(24++ D.()4+11.已知菱形ABCD 中，π3A =，现将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，当AC =时，三棱锥A BCD -的体积为92，则此时三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A.28πB.7πC.3D.40π12.在同一平面直角坐标系中，,M N 分别是函数()f x =()()e ln xg x ax ax =-图象上的动点，对任意0,a MN >的最小值为（）A.2B.12-1 D.1+第II 卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为__________.14.若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线π6x =-对称，则a =__________.15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为左支上一点，12122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为I ，直线PI 与x 轴交于点Q ，若双曲线的离心率为54，则PI IQ=__________.16.已知数列{}n a 满足1ln 1n n a a +=+，函数()ln 1xf x x =+在0x x =处取得最大值，若()420ln 1a a x =+，则12a a +=__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，4,5,3PA BC AC PB AB =====，异面直线PA 与BC 所成角为60 ，点,M N 分别是线段,PA BC 的中点.（1）求线段PC 的长度；（2）求直线PC 与平面BMN 所成角的余弦值.18.（本小题满分12分）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是12.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权.（1）求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率；（2）已知5个问题回答完后乙获胜，设在前三个问题中乙回答问题的个数为X ，求X 的分布列和期望.19.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足121,1a a ==，当3n 时，122,,21,.n n n n a a n a a n ---+⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）求4a 和6a ，并证明当n 为偶数时{}1n a +是等比数列；（2）求13529a a a a ++++ .20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(1)E x py p =>的焦点为F ，过点()1,1P -作抛物线E 的两条切线，切点分别为,,5M N FM FN +=.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点P 作两条倾斜角互补的直线12,l l ，直线1l 交抛物线E 于,A B 两点，直线2l 交抛物线E 于,C D 两点，连接,,,AD BC AC BD .①设,,AC AB BD 的斜率分别为,,AC AB BD k k k ，问：AC AB BD AB k k k k +是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由；②设DBC DAC ∠λ∠=，求λ的值.21.（本小题满分12分）设()()21e sin 3xf x a x =-+-.（1）当a =时，求函数()f x 的零点个数；（2）函数()()2sin 22h x f x x x ax =--++，若对任意0x ，恒有()0h x >，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线22:1C mx ny +=的渐近线方程为(),3,0y x D =±-，直线l 过点()1,0B ，且倾斜角为60 .以点D 为极点，以从点D 出发与x 轴正方向同方向的射线为极轴，建立极坐标系，点5π6,3A ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线C 上.（1）写出曲线C 在第二象限的一个参数方程和直线l 的极坐标方程；（2）曲线C 与直线l 相交于点,M N ，线段MN 的中点为Q ，求DBQ 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设()22123f x x x =---.（1）解不等式：()4f x >-；（2）设()f x 的最大值为M ，已知正数a 和b 满足a b M +=，令2222a bZ a b b a=+++，求Z 的最小值.答案及解析1.【答案】D 【解析】当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，2a =±.故选D.2.【答案】D【解析】因为()()()()()2i 1i 22i2i 1i 1i 1i 2a a a a z -++--+--+===--+在复平面上对应的点位于虚轴上，所以20,20,a a --=⎧⎨-≠⎩即2a =-.故选D.3.【答案】B【解析】对于A ，若11a b >，则不能推出0a b >>；若0a b >>，则必定有11a b<，所以既不是充分条件也不是必要条件，故A 错误.对于B ，若()()ln 1ln 1a b +>+，则根据对数函数的单调性可知1101a b a b +>+>⇒>>-，但不能推出0a b >>，但是01a b a b >>⇒>>-，故B 正确.对于C ，因为330a b >>等价于0a b >>，所以是充分必要条件，故C 错误.对于D>，则必有10a b >> ，所以是充分不必要条件，故D 错误.故选B.4.【答案】B【解析】据条件可得，符号为“”表示的二进制数为100010，则其表示的十进制数是01234502120202021234⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选B.5.【答案】B 【解析】因为()()1ln 1f x x x =+-，所以113ln 0222f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，故排除C ，D ；当2x >时，()()()1ln 10f x x x =+->恒成立，排除A.故选B.6.【答案】A 【解析】设函数()2sin f x x x =-，则()2cos 0f x x =->'，所以()f x 为递增函数，且()0f =0，所以当0x >时，()()00f x f >=；当0x 时，()()00f x f = ，所以不等式2sin x x 的解集为(],0∞-.又因为[]2,4x ∈-，所以不等式2sin x x 的解集为[]2,0-.由长度比的几何概型的概率计算可得，使2sin x x 恒成立的概率是()()021423P --==--.故选A.7.【答案】C 【解析】由题易知，PF 的倾斜角为120 ，从而2411cos120312p PQ PF ====-+ .故选C.8.【答案】B 【解析】不等式组22,24,41x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示，三个交点的坐标分别为()()10,1,,3,2,02⎛⎫⎪⎝⎭，目标函数33z x y x y =+-=-+，即3y x z =+-，当目标函数过点()2,0时z 取得最大值为5，过点1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭时z 取得最小值为12，所以目标函数3z x y =+-的取值范围是1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选B.9.【答案】B 【解析】由条件可知，上底面长18米､宽8米，中截面长19米､宽9米，则上底面面积188144S =⨯=（平方米），中截面面积0199171S =⨯=（平方米），下底面面积2010200S =⨯='（平方米），所以这堆建筑材料的体积()15141144417120063V =⨯⨯+⨯+=（立方米），所以这堆建筑材料约重5141.52573⨯=（吨），需要的卡车次为257551.4÷=，所以至少需要运52车.故选B.10.【答案】C【解析】在ABC 中，由2,ππ3,2B C A B C C c ==--=-=及正弦定理，得()()22sin3sin224cos 2cos 1sin C C a b C C C++==+-.又ABC 为锐角三角形，所以ππ0,022B A <<<<，即ππ02,0π322C C <<<-<，所以ππ64C <<，则(24a b +∈++.故选C.11.【答案】A 【解析】如图1，连接AC 交BD 于点E ，不妨设菱形ABCD 的边长为a ，则32AE CE a ==.将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，如图2所示，12,O O 分别为正,ABD CBD 的中心，过点12,O O 分别作平面ABD 和平面CBD 的垂线交于点O ，则121233,63O E O E a AO CO ====.在等腰AEC 中，,2AE CE a AC ===BD ⊥平面AEC ，则11193322A BCDAEC V S BD a -=⋅=⨯⨯= ，所以429360a a --=，即212a =（23a =-舍去），得a =.在AEC 中，由余弦定理，得2π3AEC ∠=，则在直角1OO E 中，1π6O OE ∠=，所以11OO E ==设三棱锥A BCD -外接球的半径为R ，则222117R OO AO =+=，故外接球的表面积为24π28πR =.故选A.12.【答案】B【解析】令()y f x ==，整理得()22(2)10x y y -+= ，即点M 在圆心为()2,0，半径为1的半圆上.()()()ln e1ln 11x ax g x x ax x x +⎡⎤=-+++++⎣⎦ ，当且仅当()ln 0x ax +=时等号成立，所以曲线()g x 的一条切线为1y x =+.通过数形结合可知，当,M N 分别为对应切点，且.MN 与两切线垂直时，MN 取得最小值，即MN 的最小值为圆心()2,0到直线1y x =+的距离减去半径，即MN112=-.过圆心()2,0与1y x =+垂直的直线方程为2y x =-+，与直线1y x =+平行的函数()f x的切线方程为2y x =-+.设()(),,,M M N N M x y N x y，所以当且仅当()2,2ln 021,M M M MN N N N N N y x y x x ax y x y x ⎧⎪⎪=-+⎪⎪=-+⎨⎪+=⎪⎪=-+⎪=+⎩即121,22,32,,2,22eN M N M x x y y a -⎧⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩时，MN 取到最小值.综上所述，12MN - .故选B.13.【答案】-160【解析】二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66621661C (2)2C (1)(06kk k k kk k k T x x k x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭且)k ∈N .令620k -=，解得3k =，故常数项为333462C (1)T =⨯⨯-=-160.14.【答案】3-【解析】因为()()sin cos f x a x x x ϕ=+=+的周期2πT =且直线π6x =-为对称轴，所以点π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，所以π310322f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得3a =-.15.【答案】2【解析】设PI IQλ=，则1212PF PF F QF Q λ==，所以1122PF F Q PF F Q λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又因为21122,2,PF PF a F Q F Q c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩所以12,.PF c a PF c a λλ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩在12PF F 中，由余弦定理，得2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F ∠=+-⋅⋅，即()2221()()(2)222c a c a c c a c λλλ⎛⎫+=-+--⋅⋅-⎪⎝⎭，所以()()24242e e λλ+=+，即()212e λλ+=+.又因为54e =，所以2λ=.16.【答案】-2【解析】因为()21ln (1)x x x f x x '+-=+，所以令()11ln 1ln x u x x x x x +=-=+-，则()u x 在()0,∞+上单调递减，且()()22312ln20,e 102eu u =->=-<.由零点存在定理可知，存在唯一的()202,e x ∈，使得()00u x =，即0001ln x x x +=，即()0000ln 11x f x x x ==+①，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减.由1ln 1n n a a +=+，得433221ln 1,ln 1,ln 1a a a a a a =+=+=+.又()420ln 1a a x =+，得()323043ln 11ln 1a a f a x a a +===+②.由①②可知，()()0301f x f a x ==，则30a x =，所以2301ln ln a a x +==，即2001ln 1a x x =-=，所以1201ln ln a a x +==-，所以()()2111a a +++=0，即122a a +=-.17.解：（1）如图1，过点A 作AD BC ∥，连接,PD CD .因为AD ∥BC ，异面直线PA 与BC 所成角为60 ，所以60PAD ∠= .又因为4AD BC PA ===，所以PAD 为正三角形，所以4PD =.因为在ABC 中，222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以AB AD ⊥.因为在ABP 中，222AB AP BP +=，所以AB AP ⊥.又因为,,AD AP A AD AP ⋂=⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .因为AD BC ∥，所以四边形ABCD 为平行四边形，所以3,CD AB AB ==∥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥，所以222222435PC PD CD =+=+=，所以5PC =.（2）如图2，将三棱锥P ABC -补形到长方体中，以点A 为坐标原点，,AB AD 所在直线为,x y 轴，以过点A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(()()(0,2,,3,0,0,3,4,0,P B C M ，所以(()(,0,4,0,3,2,BM BC PC =-==-.连接MC ，则平面BMN 即为平面BMC .设平面BMC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n BM n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得30,40,x y y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩取z =1,0x y ==，所以(n =.设直线PC 与平面BMN 所成角为θ，易得θ为锐角，所以3sin cos ,10PC n PC n PC n θ⋅=== ，所以直线PC 与平面BMN所成角的余弦值为10=.18.解：（1）设“甲回答问题且得分”为事件A ，“甲回答问题但对方得分”为事件A ，“乙回答问题且得分”为事件B ，“乙回答问题但对方得分”为事件B .记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件C ，则()()()()11178163232P C P AAA P AAAB P AAABB =++=++=，即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为732.（2）X 的所有可能取值为0,1,2.已知5个问题回答完后乙获胜，则由（1）可知，这5个问题回答的情况有六种：,,,,,AAABB AABBA AABAB ABBAA ABAAB ABABA ，其中()()()111,,323232P AAABB P AABBA P AABAB ===，()()()111,,323232P ABBAA P ABAAB P ABABA ===，所以()()()11646212163260,1,2661636323232P X P X P X =========，所以X 的分布列为：X012P 162316则()1210121636E X =⨯+⨯+⨯=.19.解：（1）由已知，得4264213,217a a a a =+==+=.当3n 且n 为偶数时，221n n a a -=+，即()2121n n a a -+=+.又212a +=，所以当n 为偶数时，数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，当n 为偶数时，12122n n a -+=⋅，即221nn a =-.当n 为奇数时，设()*21n k k =+∈N，则21221k k k a a a +-=+2121k k a -=-+222321k k k a a --=-++1232121k k k a --=-+-+=111212121k k a -=-+-++-+ ()121212kk a ⋅-=-+-121k k +=--所以当n 为奇数时，12122n n n a ++=-，所以()()()()1231513529212223215a a a a ++++=-+-+-++- ()()1521211515122⨯-+⨯=--162122.=-20.解：（1）设切点221212,,,22x x M x N x p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以M 为切点的切线方程为()21112x x y x x p p-=-.因为切线过点()1,1P -，所以211220x x p --=.同理，222220x x p --=，所以12122,2x x x x p +==-.又因为()2221212122522222x x x x x x p p FM FN p p p p +-+=+++=+=，所以2320p p -+=，即()()120p p --=.又因为1p >，所以2p =，所以抛物线E 的方程为24x y =.（2）①设直线1l 的方程为()11y k x +=-.联立直线1l 和抛物线E 的方程，得()21,4,y kx k x y ⎧=-+⎨=⎩所以()24410x kx k -++=.设()()()(),,,,,,,A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ，则4A B x x k +=.同理，4C D x x k +=-，所以C A D B AC BD C A D By y y y k k x x x x --+=+--22224444C A D B C A D Bx x x x x x x x --=+--44C AD B x x x x ++=+()()4A B C D x x x x +++=0=所以()0AC AB RD AB AC BD AB k k k k k k k +=+⋅=，所以AC AB BD AB k k k k +等于定值0.②由①可得，11A B PA PB x ⋅=-⋅-()1A B A B x x x =-++()141k k =+-+=同理，()141PC PD k k ⋅=-+++=，所以PA PB PC PD ⋅=⋅，所以点,,,A B C D 共圆，所以DBC DAC ∠∠=，所以1λ=.21.解：（1）当a =()()e sin 3,e cos x x f x x f x x =+-=+'.①当(),0x ∞∈-时，()[]e 0,1,sin 1,1x x ∈∈-，则()0f x <，所以()f x 在(),0∞-上无零点.②当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>，则()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增.又因为()πln 22π020,e 2e 202f f ⎛⎫=-<=->-= ⎪⎝⎭，所以()00π0,,02x f x ⎡⎤∃∈=⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有一个零点.③当π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()πln42e 13e 40f x >-->-=，所以()f x 在π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上无零点.综上所述，当a =()f x 在(),∞∞-+上只有一个零点.（2）对任意0x ，恒有()0h x >，即()221e 210x a x ax --+->恒成立，即22211ex x ax a -+<-恒成立，即()222110e x x ax a -+--<恒成立.设()()[)22211,0,e x x ax g x a x ∞-+=--∈+，则()()()()21212221e e x x x x a x a x a g x '⎡⎤---+-++--⎣⎦==.①当12a - 时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以只需()()2max 22()110e a g x g a -==--<，即()()e e 210,a a ++->解得()e 2,1,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭.又因为12a - ，所以e 2,e a ∞+⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.②当102a -<<时，()g x 在()0,21a +上单调递减，在()21,1a +上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以只需()()00,10.g g ⎧<⎪⎨<⎪⎩由()()()2222110,020e a g a g a -=--<=-<，解得)e 2,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭，这与102a -<<矛盾，舍去.③当0a =时，()g x 在()0,∞+上单调递减，所以只需()00g <，得22a >，这与0a =矛盾，舍去.④当0a >时，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,21a +上单调递增，在()21,a ∞++上单调递减，所以只需()()210,00.g a g ⎧+<⎪⎨<⎪⎩因为()()()()2222121(21)22112221110e e a a a a a a g a a a +++-++++=--=--<，且10a +>，所以2121e a a +->.又()2020,0g a a <=->，所以a >所以212110.4e a a +->->>，所以)a ∞∈+满足条件.综上所述，实数a的取值范围是)e 2,e ∞∞+⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.22.解：（1）设曲线C 的方程为221x y λλ-=.点5π6,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(0,-.将点A 的直角坐标代入曲线C的方程，得2201λλ-=，所以27λ=-，所以曲线C 的普通方程为2212727y x -=，所以曲线C在第二象限的一个参数方程为,33,cos x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩参数π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（参数方程不唯一）设在x 轴上方直线l 上任意一点E 的极坐标为(),ρθ，连接ED .在BED 中，4DB =，由正弦定理，得sin sin DB ED BED EBD∠∠=，即()()4sin 60sin 18060ρθ=-- ，所以()4sin60sin 60ρθ=-，所以()sin 60ρθ-= 经验证，在x 轴上及x 轴下方直线l 上的点也满足上式，所以直线l 的极坐标方程为()sin 60ρθ-=（2）设直线l的参数方程为11,22x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.联立直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程，得22560t t --=.设,BM BN 对应的参数为12,t t ，则1212t t +=.，所以1BQ =.在DBQ中，11sin 41sin12022DBQ S DB BQ DBQ ∠=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= .23.解：（1）因为()f x 是偶函数，所以只需针对0x 时()f x 的情况展开讨论.当[)0,1x ∈时，()()2221235f x x x x=---=-，此时不等式化为254x ->-，得21x >，舍去；当x ⎡∈⎣时，()()22212337f x x x x =---=-，此时不等式化为2374x ->-，，所以(;x ∈当)x ∞∈+时，()()2221235f x x x x =---=-+，此时不等式化为254x -+>-，得29x <，所以)x ∈.综上所述，所求不等式的解集为()()1,33,1⋃--.（2）由（1）可知，当[)0,1x ∈时，()f x 的值域为[)5,4--；当(),x f x ⎡∈⎣的值域为[)4,2-；当)(),x f x ∞∈+的值域为(],2∞-.因此，当x ∈R 时，()f x 的值域为(],2∞-，所以()f x 的最大值为2，则2a b +=，所以()()222233222221111()2222a b a b a b a b a b a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即22211()4222a b a b b a ++=⨯= ①，当且仅当1a b ==时等号成立.因为2a b =+ 1ab ，所以222()2422a b a b ab ab +=+-=- ，即222a b + ②，当且仅当1a b ==时等号成立.由①+②，得22224a b a b b a+++ ，当且仅当1a b ==时等号成立，所以Z 的最小值为4.。

绵阳中学2024届高三高考适应性考试（一）数学（理科）时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合ππ2π2π,Z 42A k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，ππππ,Z 42B k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A. A B ⊆B. BA ⊆C. A B =D. A B ⋂=∅2. 已知i 为虚数单位，则复数()21i 2i-+的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知命题()11:221x p f x =+-为奇函数；命题:0,,sin tan 2q x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是A. ()p p ∧⌝是真命题B. ()p q ⌝∨是真命题C. p q ∧是假命题D. p q ∨是假命题4. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为（ ）A.B.C.D.5. 若数列{}n a 的前n 项积217n b n =-，则n a 的最大值与最小值之和为（ ） A. 13-B.57 C. 2D.736. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.B.C.D.7. 已知函数()()sin 0f x x ωω=>在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度，得到函数()g x 且()g x 满足77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，则正数ϕ的最小值为（ ） A.π12B.π6 C.π3D.π28. 三棱柱111ABC A B C -，底面边长和侧棱长都相等．1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A.B.12C.D.9. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中，取出4张排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有（ ）种． A. 72B. 144C. 384D. 43210. 已知向量是单位向量a ，b ，若0a b ⋅= ，且2c a c b -+-=r r r r ，则2c a +r r的取值范围是（ ）A. []1,3B. ⎡⎤⎣⎦C. D. ⎤⎥⎦11. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为(参考数据：lg 20.3010=，lg 30.4771=)（ ） A 4B. 5C. 6D. 712. 已知定义在R 上的函数(),()f x f x '为其导函数，满足①()()2f x f x x =--，②当0x ≥时，()210f x x +'+>，若不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+有实数解，则其解集为（ ）A 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. (0,)+∞D. 2,(0,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13.若6的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中3x -的系数为__________．14. 已知公比为q 的等比数列{}n a 的单调性与函数()e xf x =的单调性相同，且满足463a a +=，372a a ⋅=．若[]0,πx ∈，则22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭的概率为__________15.ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()()25sin sin sin sin ,5,cos 31C A B B C A a A -=-==，则ABC 的周长为__________． 16. 已知抛物线()22(0),2,1y px x P =>为抛物线内一点，不经过P 点的直线:2l y x m =+与抛物线相交..于,A B 两点，连接,AP BP 分别交抛物线于,C D 两点，若对任意直线l ，总存在λ，使得,(0,1)AP PC BP PD λλλλ==>≠成立，则该抛物线方程为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且25214a a a =，设关于x 的不等式()222*3x n x nx n n n +-<--∈N 的解集中整数的个数为n c ．（1）求数列{}n a 前n 项和为n S ；（2）若数列满足1122332nn n n S c b c b c b c b c ++++-=，求数列{}n b 的通项公式． 18. 如图（1）在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD PC CD ===若沿AB 将三角形PAB 折起，使120PAD ∠=︒，构成四棱锥P ABCD -，如图（2）E 和F 分别是棱CD 和PC 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面PCD ；（2）求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值．19. 某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图（1）如下：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）．的（1）根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）（2）已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5组题，选手对其依次回答．累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲答题的个数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．20. 在直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，过点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，AB的最小值为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若与A ，B 不共线的点P 满足()2OP OA OB λλ=+-，求PAB 面积的取值范围．21. 现定义：()()213321f x f x x x --为函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率.已知函数()e axf x =，()22ln g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）若存在区间()12,x x ，使得()f x 的值域为()122,2x x ，且函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为大于0，求实数a 的取值范围；（2）若对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标是()0,1，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），0πθ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-，1C 与2C 交于A ，B 两点．（1）将曲线2C 极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？ （2）过点P 作垂直于1C 的直线l 交2C 于C ，D 两点，求11PA PB PC PD+的值．选修4-5：不等式选讲23 设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合ππ2π2π,Z 42A k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，ππππ,Z 42B k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A. A B ⊆ B. BA ⊆C. A B =D. A B ⋂=∅【答案】A 【解析】【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断. 【详解】当2,Z k n n =∈时，ππ2π2π,Z 42B n n k A αα⎧⎫=+≤≤+∈=⎨⎬⎩⎭， 的.当21,Z k n n =+∈时，ππ2ππ2ππ,Z 42B n n k αα⎧⎫=++≤≤++∈⎨⎬⎩⎭， 所以A B ⊆. 故选：A2. 已知i 为虚数单位，则复数()21i 2i-+的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得2(1i)2i 24i 2i 2i 55--==--++，得到共轭复数为24i 55-+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数()22i 2i (1i)2i 24i 2i 2i 555----===--++，可得共轭复数为24i 55-+，其在复平面内对应点为24,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选：B ．3. 已知命题()11:221x p f x =+-为奇函数；命题:0,,sin tan 2q x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是A. ()p p ∧⌝是真命题B. ()p q ⌝∨是真命题C. p q ∧是假命题D. p q ∨是假命题【答案】B 【解析】【分析】先判断命题,p q 都是真命题，故可得正确选项． 【详解】对于p ，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()1112221212--=+=+--xx xf x ，进一步化简得到()()121111212221x x x f x f x -+-=+=--=---，故()f x 为奇函数，故p 为真命题．对于q ，考虑单位圆中的正弦线、正切线和弧长的关系，如图所示，,sin ,DOB x CE x BCx ∠===，tan BD x =，因为OBC OBD OBC S S S ∆∆<<扇形， 故1111sin 1tan 222x x x x ⨯⨯<⨯⨯<⨯⨯，即sin tan <<x x x ．故q 真命题， 综上，p q ⌝∨为真命题，选B ．【点睛】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”．4. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据点()2,1--在抛物线的准线上则可得4p =，进而可得抛物线的焦点坐标，再求出a 的值，由点()2,1--在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b 的值，则可得c 的值，进而可得答案. 【详解】根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--， 即点()2,1--在抛物线的准线上，又由抛物线()220y px p =>的准线方程为22px =-=-，则4p =，则抛物线的焦点为()2,0，为则双曲线的左顶点为()2,0，即2a =点()2,1--在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±，由双曲线的性质，可得1b =，则c =，则焦距为2c =，故选：B5. 若数列{}n a 的前n 项积217n b n =-，则n a 的最大值与最小值之和为（ ） A. 13-B.57 C. 2D.73【答案】C 【解析】【分析】由题可得2129n a n +-=，利用数列的增减性可得最值，即求.【详解】∵数列{}n a 的前n 项积217n b n =-，当1n =时，157a =，当2n ≥时，()12117n b n -=--，()1212727122929117n nn nb n a b n n n ---===+----=， 1n =时也适合上式，∴2129n a n +-=，∴当4n ≤时，数列{}n a 单调递减，且n a 1<，当5n ≥时，数列{}n a 单调递减，且n a 1>， 故n a 的最大值为53a =，最小值为41a =-， ∴n a 的最大值与最小值之和为2. 故选：C.6. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =. 故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.7. 已知函数()()sin 0f x x ωω=>在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度，得到函数()g x 且()g x 满足77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，则正数ϕ的最小值为（ ） A.π12B.π6 C.π3D.π2【答案】C【解析】【分析】由函数的最大值求出ω的表达式，根据图像变换结合对称性求出ϕ的表达式，根据ϕ为正数求出最小值【详解】依题意，()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，11πππsin 2π122663k k ωωω⎛⎫∴=⇒=+⇒=+⎪⎝⎭，1k Z ∈时，把()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度，得到函数()()sin 2g x x ωϕ=-， 又77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得7π12x =是()g x 的一条对称轴， ()2222π7πππ7π2π,Z Z 1222424k k k k ωϕϕω∴⨯-=+∈⇒=--+∈ 即()()1222ππ7,Z 23k k k k ϕ=-+∈，当120k k ==时，正数ϕ取最小值π3故选：C ．8. 三棱柱111ABC A B C -，底面边长和侧棱长都相等．1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A.B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】由题意设1,,,1AB a AC b AA c a b c ======，11,,,60,,a b b c c a AB a c BC a b c ===︒=+=-++，由数量积的运算律、模的运算公式以及向量夹角的余弦的关系即可运算求解.【详解】设1,,,1AB a AC b AA c a b c ======，由题意11,,,60,,a b b c c a AB a c BC a b c ===︒=+=-++，1AB === ，1BC == ，又()()22111111122AB BC a c a b c b a b c c a ⋅=+⋅-++=⋅+⋅+-=++-=，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则1cos cos ,AB θ= . 故选：D ．9. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中，取出4张排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有（ ）种． A. 72 B. 144 C. 384 D. 432【答案】D 【解析】【分析】根据所取数字之和为10，分3类，再由分类加法计数原理求解即可. 【详解】分3类：①红1蓝1，红4蓝4，排成一排44A 24=； ②红2蓝2，红3蓝3，排成一排44A 24=；③2个1选1张，2个2选1张，2个3选1张，2个4选1张，排成一排1111422224C C C C A 384⋅=， 由分类加法计数原理，共2424384432++=种， 故选：D ．10. 已知向量是单位向量a ，b ，若0a b ⋅=，且2c a c b -+-=r r r r ，则2c a +r r的取值范围是（ ）A. []1,3B. ⎡⎤⎣⎦C.D. ⎤⎥⎦【答案】D 【解析】【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答本题．详解】由题设单位向量()()()1,0,0,1,,a b c x y ===，【()()1,2,2c a x y c b x y ∴-=--=-，，+=即(),x y 到()1,0A 和()0,2B ，而AB =故动点(),P x y 表示线段AB 上的动点.又2c a +=，该式表示()2,0-到线段AB 上点的距离，其最小值为点()2,0-到线段:220(01)AB x y x +-=≤≤的距离，而d =，故|2|min c a +==.最大值为()2,0-到()1,0A 的距离是3，所以2c a +r r的取值范围是⎤⎥⎦． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：根据向量关系可得动点的轨迹，再根据点到直线的距离可得点点距的最小值.2c a +=表示点到线段上的连线的范围，结合其几何关系不难解决问题．11. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为(参考数据：lg 20.3010=，lg 30.4771=)（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C 【解析】【分析】根据规律可总结出第n 次操作去掉区间的长度和为123n n -，利用等比数列求和公式可求得去掉区间的长度总和，由此构造不等式求得结果.【详解】第一次操作去掉的区间长度为13； 第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；以此类推，第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，∴进行了第n 次操作后，去掉区间长度和112133122212393313nn n nnS -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+==- ⎪⎝⎭-，由902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21310n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，22331lg101log log 10 5.68210lg 2lg 3lg 3n ∴≥=-=-=-≈-， 又n N *∈，n ∴的最小值为6. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据已知所给的规律总结出每次操作去掉的区间长度和成等比数列，并能得到等比数列通项公式.12. 已知定义在R 上的函数(),()f x f x '为其导函数，满足①()()2f x f x x =--，②当0x ≥时，()210f x x +'+>，若不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+有实数解，则其解集为（ ）A 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. (0,)+∞D. 2,(0,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令()2()=++F x f x x x ，由()210f x x +'+>得到其单调性，再由()()2f x f x x =--，得到其奇偶性求解.【详解】解：令()2()=++F x f x x x ，则()()210'=++>'F x f x x ，.所以()F x 在[0,)+∞上递增， 因为()()2f x f x x =--，所以()22()()-+--=++f x x x f x x x ，即()()F x F x -=，所以()F x 是偶函数，不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+等价于：()()()()22(21)2121(1)11+++++>+++++f x x x f x x x ，即()()211F x F x +>+，即()()211+>+F x F x ， 所以211x x +>+， 解得23x <或0x >， 故选：D第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13. 若6的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中3x -的系数为__________．【答案】1 【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求解.【详解】()()12566166C C 10,16rrrr rr r r T a xr --+⎛==-⋅= ⎝0,6r =时为有理项，06621a a a ∴+=⇒=，由3125366r r x --=-⇒=∴系数：()6666C 11a -=, 故答案为：1.14. 已知公比为q 的等比数列{}n a 的单调性与函数()e xf x =的单调性相同，且满足463a a +=，372a a ⋅=．若[]0,πx ∈，则22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭的概率为__________【答案】14##0.25 【解析】【分析】由等比数列性质可列关于46,a a 的方程组，结合{}n a 为单增等比数列，即可求得q ，进一步利用三角恒等变换化简表达式22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭得到πsin 24x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，结合[]0,πx ∈解三角不等式即可得解.【详解】37462a a a a == ，又46463,,a a a a +=∴是方程2320x x -+=的两根， 又{}n a 为单增等比数列，2461,22a a q ∴==⇒=又2ππcos 22cos sin2cos212124x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ212sin 244x x ⎛⎫⎛⎫++≥⇒+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， []ππ9πππ3ππ0,π,2,,204444444x x x x ⎡⎤∈∴+∈∴≤+≤⇒≤≤⎢⎥⎣⎦ ， ∴所求概率π014π04P -==-. 故答案为：14．15.ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()()25sin sin sin sin ,5,cos 31C A B B C A a A -=-==，则ABC 的周长为__________． 【答案】14 【解析】【分析】先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简得出：2222a b c =+；再结合255,cos 31a A ==和余弦定理得出b c +的值即可求解. 【详解】因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin C A B C A B B C A B C A -=-， 即sin sin cos sin cos sin 2sin sin cos C A B B C A B C A +=，.由正弦定理可得：cos cos 2cos ac B ab C bc A +=，由余弦定理可得：22222222222a cb a bc c b a +-+-+=+-，整理得：2222a b c =+.因为255,cos 31a A ==， 所以222225025cos 231b c b c a A bc ⎧+=⎪⎨+-==⎪⎩，整理得：2250231b c bc ⎧+=⎨=⎩，则9b c +===， 所以14a b c ++=， 故答案为：14.16. 已知抛物线()22(0),2,1y px x P =>为抛物线内一点，不经过P 点的直线:2l y x m =+与抛物线相交于,A B 两点，连接,AP BP 分别交抛物线于,C D 两点，若对任意直线l ，总存在λ，使得,(0,1)AP PC BP PD λλλλ==>≠成立，则该抛物线方程为______.【答案】24y x = 【解析】【分析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，根据,AP PC BP PD λλ==推出()()123421y y y y λλ+++=+，结合点在抛物线上可得12y y p +=，34y y p +=，即可求得p ，即得答案.【详解】由题意设()()()()112212334434,,,,(),,,,,()A x y B x y x x C x y D x y x x ≠≠，由AP PC λ=可得：()()11332,12,1x y x y λ--=--，可得：1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理可得：2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，则：()()()()123412344121x x x x y y y y λλλλ⎧+++=+⎪⎨+++=+⎪⎩（*）将,A B 两点代入抛物线方程得2211222,2y px y px ==，作差可得：()1212122y y y y p x x -+=-，而12122y y x x --=，即12y y p +=， 同理可得，34y y p +=，代入（*），可得2p =， 此时抛物线方程为24y x =， 故答案为：24y x =三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且25214a a a =，设关于x 的不等式()222*3x n x nx n n n +-<--∈N 的解集中整数的个数为n c ．（1）求数列{}n a 的前n 项和为n S ；（2）若数列满足1122332nn n n S c b c b c b c b c ++++-= ，求数列{}n b 的通项公式． 【答案】（1）2n S n =（2）112n b n=+ 【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程，求得2d =，得到21n a n =-，结合等差数列的求和公式，求得n S 的值，得到答案；（2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，求得21n x n <<+，得到n c n =，进而得到()212222n b b nb n n +++-= ，当2n ≥时，()21212211n b b n b n -⎡⎤+++-=-⎣⎦ ，两式相减得112n b n=+，进而得到数列{}n b 的通项公式．【小问1详解】由等差数列{}n a 的首项11a =，且25214a a a =，可得()()()2111134a d a d a d ++=+，整理得212a d d =，即22d d =，因为0d >，所以2d =，所以()21N n a n n *=-∈，可得()()2121135212n n n S n n +-=++++-== ．【小问2详解】由不等式2223x n x nx n n +-<--，即22(31)20x n x n n +++-<， 解得21n x n <<+，因为()2223Nx n x nx n n n *+-<--∈解集中整数的个数为nc，所以n c n =，又因为2112233122n n n n S c b c b c b c b c n ++++-== 可得()21232232n b b b nb n n ++++-= ， 即()21232232n b b b nb n n ++++=+ ，当2n ≥时，()()22121221(1)211n b b n b n n n -⎡⎤+++-=-+-=-⎣⎦ ，两式相减得()2212n nb n n =+≥，则()1122n b n n=+≥， 当1n =时，1221b -=，解得132b =，满足上式，所以112n b n =+， 所以数列{}n b 的通项公式为112n b n=+． 18. 如图（1）在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD PC CD ===若沿AB 将三角形PAB 折起，使120PAD ∠=︒，构成四棱锥P ABCD -，如图（2）E 和F 分别是棱CD 和PC 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面PCD；的（2）求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）先利用几何关系证明和线面垂直的判定定理BA ⊥平面PAD ，再利用线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面BEF ，最后可得平面BEF ⊥平面PCD ；（2）建系，然后分别求出平面PBC 和平面PAD 的法向量，代入二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】因为2BD PC =，所以90PDC ∠=︒，因为//,AB CD E 为CD 中点，2CD AB =，所以//AB BE 且AB DE =， 所以四边形ABED 为平行四边形， 所以//,BE AD BE AD =．而,BA PA BA AD ⊥⊥，又PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BA ⊥平面PAD ．因为//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ， 又因为PD ⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ， 所以CD PD ⊥且CD AD ⊥， 又因为在平面PCD 中，//EF PD ，于是CD FE ⊥．因为在平面ABCD 中，//BE AD ，于是CD BE ⊥． 因为,FE BE E EF =⊂ 平面,BEF BE ⊂平面BEF ， 所以CD ⊥平面BEF ，又因为CD ⊂平面PCD ， 所以平面BEF ⊥平面PCD ． 【小问2详解】以A 点为原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，面ABD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，由（1）知BA ⊥平面PAD ，所以z 轴位于平面PAD 内，所以30,PAz P ∠︒=到z 轴的距离为(1,0,P ∴-，同时知())()0,0,0,,2,0A BC ，),2,0PB BC ==，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z，所以()()),,000,020,,2,00x y z n PB y n BC y x y z ⎧⋅=⎧⋅=+=⎪⎪∴⇒⎨⎨⋅=+=⎪⋅=⎪⎩⎩， 令1y =，则n ⎛= ⎝；又)AB =为平面PAD 的一个法向量，所以cos ,n AB n AB n AB⋅===⋅，又因为平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的平面角为锐角， 所以平面PBC 与平面PAD19. 某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图（1）如下：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）．（1）根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）（2）已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5组题，选手对其依次回答．累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲答题的个数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望． 【答案】（1）高于 （2）分布列见解析，()2541625E X =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1求出a ，再分别根据频率分布直方图和茎叶图求平均数，比较即可；（2）先利用古典概型的概率公式求出甲答对每道题的概率，再利用二项分布求出X 所有可能取值的概率，得到分布列，根据分布列求数学期望即可. 【小问1详解】根据频率分布直方图各矩形面积和为1得()20.2500.3750.5000.6250.51a ++++⨯=，解得0.125a =，所以全部参赛人员的整体水平为7.07.57.58.08.08.58.59.09.09.59.510.00.50.1250.2500.6250.5000.3750.1258.531222222++++++⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈ ⎪⎝⎭， 根据茎叶图可知某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平为7.58.68.79.09.29.68.7676+++++≈，所以某工厂的参赛6名人员的演唱水平高于全部参赛人员的平均水平． 【小问2详解】从这6位抽取2位的基本事件总数为26C ，分差大于0.5的基本事件为除数据()8.6,8.7，()()()()()8.6,9.0,9.2,9.6,9.2,9.0,8.7,9.0,9.2,8.7外的9个基本事件，故概率为26993C 155P === 依题意X 的取值为3，4，5，则()333235355125P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()2222333232322344C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()222222443232322165C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以X 的分布列为X 34 5P35125 234625 216625所以()352342162541345125625625625E X =⨯+⨯+⨯=． 20. 在直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C ab a b+=>>的右焦点为()1,0F ，过点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，AB 的最小值为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若与A ，B 不共线的点P 满足()2OP OA OB λλ=+-，求PAB 面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）⎛ ⎝.【解析】【分析】(1)根据通径的性质即可求解；(2)取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，则点M 在直线AB 上，且点M 为线段OP 的中点．得PABOAB S S = ，设AB 方程，与椭圆方程联立，表示出OAB S 并求其范围即可.【小问1详解】由右焦点()1,0F 知，1c =，当AB 垂直于x 轴时，AB最小，其最小值为22b a=．又∵222a b c =+，解得a =1b =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．【小问2详解】解法一：取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，则点M 在直线AB 上，且点M 为线段OP 的中点． ∴PAB OAB S S = ．当AB 垂直于x 轴时，A ，B的坐标分别为⎛ ⎝，1,⎛ ⎝，OAB S =△； 当AB 不垂直于x 轴时，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠． 则点O 到直线AB的距离d =，联立方程()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2222124220k x k x k +-+-=， 则2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+，()2810k ∆=+>，2AB x =-==，∴1122OABS AB d =⋅==△， 令212t k =+，则()2112t k t -=>，此时OABS ⎛= ⎝△． 综上可得，PAB面积的取值范围为⎛ ⎝． 解法二：当AB 垂直于x 轴时，A ，B的坐标分别为⎛ ⎝，1,⎛⎝， 由()2OP OA OB λλ=+-，得点P的坐标为(-，则点P 到直线AB 的距离为1，又AB =PAB的面积为112=，当AB 不垂直于x 轴时，设其斜率为k ， 则直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠， 设P ，A ，B 的坐标分别为()00,x y ，()11,x y ，()22,x y ，则()111y k x =-，()221y k x =-，由()2OP OA OB λλ=+-，得()0122x x x λλ=+-，()()()()()0121212212122y y y k x k x k x x λλλλλλ=+-=-+--=+--⎡⎤⎣⎦，即()002y k x =-．故点P 在直线()2y k x =-上，且此直线平行于直线AB．则点P 到直线AB的距离d =，联立方程()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2222124220k x k x k +-+-=， 则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，2AB x =-==，∴1122PABS AB d =⋅==△， 令212t k =+，则()2112t k t -=>，此时PABS ⎛= ⎝△． 综上可得，PAB面积的取值范围为⎛ ⎝． 解法三：取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，则点M 在直线AB 上，且点M 为线段OP 的中点． ∴PAB OAB S S = ，设直线AB 的方程为1x ty =+，则点O 到直线AB 的距离d =联立方程22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()222210t y ty ++-=， 则12222t y y t +=-+，12212y y t =-+，()2810t ∆=+>，2AB y =-==，∴1122OABS AB d =⋅==△，∴OAB S ⎛=⎝△， 即PAB面积的取值范围为⎛ ⎝． 21. 现定义：()()213321f x f x x x--为函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率.已知函数()e axf x =，()22ln g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）若存在区间()12,x x ，使得()f x 的值域为()122,2x x ，且函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为大于0，求实数a 的取值范围；（2）若对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）[)e,+∞ 【解析】【分析】（1）由题意得到()f x 单调递增，即0a >，故1212e 2,e 2ax axx x ==，分离参数后得到()ln 2x a x=有两不等实根，构造()()ln 2x h x x=，得到其单调性，结合函数图象得到实数a 的取值范围；（2）由题意得到()()()()212133332121f x f xg x g x x xx x-->--，转化为对任意21x x >，有()()()()2211f x g x f x g x ->-，构造()()()22e ln ax r x f x g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求导得到()0r x '≥在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，解法一：考虑a<0与0a >两种情况，结合同构思想，得到()ln m x x x =+，求出其单调性，得到e 2ax a ax ≥+在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，变形为2e 0ax x a --≥，构造()2e axl x x a =--，求导后得到其单调性，求出e a ≥； 解法二：变形为212e ln axx a a a ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭，构造()()212e ,ln ax m x n x x a a a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，观察得到()m x 与()n x 互为反函数，从而证明出()m x x ≥恒成立即可，构造()2e ax l x x a=--，求导后得到其单调性，求出e a ≥；方法三：对()r x 二次求导，构造()22e 1axx a x a ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求导后分0a >与a<0两种情况，分析出0a >时，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一0x ，使得()00x ϕ=，求出()2e ln 20axr x a x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，转化为只需()00r x '≥即可，利用基本不等式证明出结论，且a<0时，不合题意，得到答案. 【小问1详解】()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为正，可得()f x 单调递增，即0a >.故若存在区间()12,x x ，使得()f x 的值域为()122,2x x ， 即存在不同的12,x x ，使得1212e2,e 2ax ax x x ==，故方程e 2ax x =有两不等实根，化简得()ln 2x a x=有两不等实根.即y a =与()()ln 2x h x x=有两个不同的交点. 由()()21ln 2x h x x -'=，可知()h x 在e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增，在e ,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 且当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()0h x →， 故要使y a =与()()ln 2x h x x=有两个不同的交点，e 202ea h ⎛⎫<<=⎪⎝⎭, 故实数a 的取值范围是20,e ⎛⎫⎪⎝⎭；【小问2详解】由对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率，可得()()()()212133332121f x f x g x g x x x x x -->--，由21x x >可得，()()()()2121f x f x g x g x ->-，即对任意21x x >，有()()()()2211f x g x f x g x ->-可得()()()22e ln axr x f x g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 即()2ln 20axr x ae x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立， 解法一：①当0a <时，当x →+∞时，()t x →-∞，显然不成立. ②当0a >时，()()e ln 2ln 20axr x a ax a +'=-+-≥在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立， 即()e ln ln 22axa ax a ax ax ++≥+++在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立， 令()()ln ,e ln ln 22axm x x x a ax a ax ax =+++≥+++在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即()()e 2ax m a m ax ≥+.显然()m x 在()0,∞+上单调递增，得e 2ax a ax ≥+在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立.即2e 0ax x a --≥恒成立令()()2e ,e 1axax l x x l x a a-='=--， 可得()l x 在ln ,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故ln ln 10a a l a a -⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，解得e a ≥ 解法二：①当0a <时，当x →+∞时，()t x →-∞，显然不成立. ②当0a >时，2e ln 20axa x a ⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭可转化为212e ln axx a a a ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭，令()()212e ,ln axm x n x x a a a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，可得()m x 与()n x 互为反函数， 故()()m x n x ≥恒成立，只需()m x x ≥恒成立即可，即2e 0axx a--≥恒成立. 令()()2e ,e 1axax l x x l x a a -='=--，可得()l x 在ln ,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故ln ln 10a a l a a -⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，解得e a ≥. 解法三：令()22e 1axx a x a ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得()()2e 3axx a ax ϕ'=+ ①当0a >时，32a a -<-，此时()x ϕ在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由210a ϕ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，故在2,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一0x ，使得()00x ϕ=，即0202e 1ax a x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即001e 2ax a a x a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，000221ln ln 2ln e ax x a ax a a ⎛⎫+==-- ⎪⎝⎭， 令()()2e ln 2axt x r x a x a ⎛⎫==- ⎝'+-⎪⎭，则()21e 2axt x a x a'=-+， 当02,x x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0t x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0t x '>， 此时()r x '在02,x a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 故()2e ln 20axr x a x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，只需()00r x '≥即可. 而()000021e ln 22ln 22ax r x a x ax a a a x a ⎛⎫=-+-=++- ⎪⎛⎫⎝⎭+' ⎪⎝⎭ 00122ln 4242ln 02a x a a a a x a ⎛⎫=+++-≥-+≥ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，解得e a ≥经检验，当e a =时等号成立，故e a ≥②当0a <时，当x →+∞时，()t x →-∞，显然不成立.故e a ≥.【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标是()0,1，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），0πθ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-，1C 与2C 交于A ，B 两点．（1）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？（2）过点P 作垂直于1C 的直线l 交2C 于C ，D 两点，求11PA PB PC PD +的值． 【答案】（1）244x y =+，抛物线；（2）18. 【解析】【分析】（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=，对2C 的极坐标方程进行化简即可求得其直角坐标方程，再根据方程判断曲线类型即可；（2）联立直线l 的参数方程与曲线2C 的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数的几何意义求得1PA PB=，再将θ替换为π2θ+，即可求得1PC PD ，相加即可求得最后结果.。

重庆市第一中学2024-2025学年高三上学期适应性月考（一）数学试题一、单选题1．已知集合(){}22log 13A x x =<−≤，{}5,6,7,8B =，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．16B ．8C ．4D ．22．已知m ∈R ，n ∈R ，则“228m n +>”是“4mn >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()()22,2,1,2,x x x f x f x x −⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩则()2log 3f =（ ）A ．83B ．103C ．356D ．3764．已知角α，β都是锐角，且tan α，tan β是方程2430x x −+=的两个不等实根则()cos αβ+=（ ）A ．5−B ．5−C D ．55．我校田径队有十名队员，分别记为,,,,,,,,,A B C D E F G H J K ，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将,,,,A B C D E 五人排成一行形成甲队，要求A 与B 相邻，C 在D 的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求F 与G 不相邻，则不同的排列方法种数为（ ） A ．432B ．864C ．1728D ．25926．在ABC V 中，若sin :sin :sin 2:5:6A B C =，且AC =ABC V 的外接圆的面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．16πD ．64π7．若()*n n ∈N 次多项式()()1212100n n n n n n P t a t a t a t a t a a −−=++⋅⋅⋅+++≠满足()cos cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式．如，由2cos 22cos 1θθ=−可得切比雪夫多项式()2221P x x =−，同理可得()3343P x x x =−．利用上述信息计算sin 54︒=（ ）A B C D ．488．若eln1.5a =，0.15e 4b −=，98c =（其中e 为自然对数的底数），则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>二、多选题9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ） A ．数据1−，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1 B ．已知随机变量(),XB n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C ．若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立D ．若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =−+上，则这组样本数据的相关系数为12−10．若0x >，0y >，且22x y +=，则下列结论正确的是（ ）A ．224x y +的最小值为2B ．24x y +的最小值为C ．()sin 123x y ++>D ．若实数1z >，则2232121x x y z xy z ⎛⎫++−⋅+ ⎪−⎝⎭的最小值为811．已知函数()2cos sin sin 21f x x x x =−++，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的一个周期为πB ．函数()f x 的一个对称中心为π,4⎛− ⎝C ．函数()f x 在区间π,04⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．方程()f x =3π11π,44⎛⎤⎥⎝⎦上共有6个不同实根三、填空题12．已知函数()()3f x x ax a =+∈R 在1x =处取得极值，则函数()f x 的极大值为 ．13．已知函数()()ππcos 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>−<< ⎪⎝⎭，直线π9x =和点5π,018⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一组相邻的称轴和对称中心，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ϕ= ．14．函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，()()2f x f x x −=+，且()()1T x f x ='+为奇函数，()2512n f n ='=∑ ．四、解答题15．锐角ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos 2b a B c +=，且a =3b =. (1)求边c 的值；(2)求内角A 的角平分线AD 的长．16．已知函数()2ππsin sin 12cos 442x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)若123x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求πsin 26x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值；(2)若先将()f x 的图象上每个点的横坐标变为原来12倍，再将函数图象向右平移π4个单位，将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的2数()g x 图象，求()g x 在ππ,86x ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭上的值域和单调递减区间．17．某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的22⨯列联表：(1)根据表中数据，依据0.01α=的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y ，求使事件“Y k =”的概率最大时k 的取值.参考公式及数据：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++.18．在平面直角坐标系中，若点(),T x y 绕着原点O 逆时针旋转θ角后得到点(),T x y '''，则cos sin x x y θθ=−'，sin cos y x y θθ=+'．已知曲线1C 绕原点顺时针旋转π4后得到曲线2C ：2xy =．(1)求曲线1C 的方程；(2)已知1F ，2F 分别是曲线1C 的上、下焦点，M ，N 是曲线1C 上两动点且它们分布在y 轴同侧、x 轴异侧，12MF NF ∥，若1212MF NF MF NF λ+=⋅，求实数λ的值；(3)在（2）问中，若2MF 与1NF 的交点为P ，则是否存在两个定点1T ，2T ，使得12PT PT +为定值？若存在，求1T ，2T 的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知曲线()2e cos mxf x x mx =⋅+（m ∈R ，e 为自然对数的底数）在0x =处的切线的倾斜角为π4，函数()2sin 1g x x x =++．(1)若函数()()2x f x x ϕ=−在区间[],t t −上单调递增，求实数t 的最大值；(2)证明：函数()f x 的图象与函数()g x 的图象在[]0,5πx ∈内有5个不同的交点； (3)记（2）中的5个交点分别为A ，B ，C ，D ，E ，横坐标依次为0x ，1x ，2x ，3x ，4x （01234x x x x x <<<<），求证：01324x x x x x +−>−．。

2021-2022学年四川省南充市高三（上）适应性数学试卷（理科）（一诊）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合S={s|s=3n+2,n∈Z}，T={t|t=6n+2,n∈Z}，则S∪T=()A. ⌀B. SC. TD. Z2.若复数z满足(1−i)z=2(3+i)，则z的虚部等于()A. 4iB. 2iC. 2D. 43.设m∈R，则“m≤2”是“函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.人口普查是当今世界各国广泛采用的搜集人口资料的一种最基本的科学方法，根据人口普查的基本情况制定社会、经济、科教等各项发展政策．截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是()A. 乡村人口数逐次增加B. 历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C. 城镇人口数逐次增加D. 城镇人口比重逐次增加5. 农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N 0只，则大约经过( )天能达到最初的1800倍．(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1800≈7.4955，ln8000≈8.9872.)A. 129B. 150C. 197D. 1996. 函数f(x)=(e x +e −x )ln|x|的图象大致是( )A.B.C.D.7. 设数列{b n }前n 项的乘积T n =b 1⋅b 2⋅…⋅b n ，若数列{b n }的通项公式为b n =4010−n ，则下面的等式中正确的是( )A. T 1=T 19B. T 8=T 11C. T 5=T 12D. T 3=T 178. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√5，抛物线y 2=2px(p >0)的准线与双曲线C 的渐近线交于A ，B 点，若△OAB(O 为坐标原点)的面积为2，则抛物线的方程为( )A. y 2=4xB. y 2=6xC. y 2=8xD. y 2=16x9. 已知函数f(x)=acos(x −π3)+√3sin(x −π3)(a ∈R)是偶函数．g(x)=f(2x +π6)+1，若关于x 的方程g(x)=m 在[0,7π12]有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是( )A. [0,3]B. [0,3)C. [2,3)D. [√2+1,3)10. 若A ，B 是⊙O ：x 2+y 2=4上两个动点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，A ，B 到直线l ：√3x +y −4=0的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2的最大值是( )A. 3B. 4C. 5D. 611. 如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若AB =15cm ，AC =25cm ，∠BCM =45°，则tanθ的最大值是( ).(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角)A. 259B. 53C. 45D. 3512. 设函数f(x)的定义域为R ，f(x −1)为奇函数，f(x +1)为偶函数，当x ∈[1,3]时，f(x)=kx +m ，若f(0)−f(3)=−2，则f(2022)=( )A. −2B. 0C. 2D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若直线y =2x +t 与曲线y =2lnx 相切，则实数t 的值为______．14. 已知平面向量a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(−1,2)，若向量c ⃗ =a ⃗ +(a ⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ，则c⃗ =______.(其中c⃗ 用坐标形式表示) 15. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c.若A =π3，c =4，若△ABC 的面积为2√3，则△ABC 的外接圆的半径为______．16. 已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px(p >0)上一点A 到焦点F 的距离为4，设点M为抛物线C 准线l 上的动点，给出以下命题：①若△MAF 为正三角形时，则抛物线C 方程为y 2=4x ； ②若AM ⊥l 于M ，则抛物线在A 点处的切线平分∠MAF ； ③若MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则抛物线C 方程为y 2=6x ； ④若|OM|+|MA|的最小值为2√13，则抛物线C 方程为y 2=8x ． 其中所有正确的命题序号是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n+1=S n +a n +1，______．请在①a 4+a 7=13；②a 1，a 3，a 7成等比数列；③S 10=65，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{an2n }的前n 项和T n ，求证：1≤T n <3．18.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应．某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到如下频率分布直方图．(Ⅰ)规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为X，求X的分布列及数学期望E(X)；(Ⅱ)在2021年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动，甲，乙两人分别在A、B两店参加一次抢购活动．假定甲、乙两人在A、B两店抢购成功的概率分别为P1，P2，记甲、乙两人抢购成功的总次数为Y，求Y的分布列及数学期望E(Y)．19.如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1−ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．(Ⅰ)设F为CD1的中点，在AB上是否存在一点M，使得MF//平面D1AE.若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)求直线BD1与平面CD1E所成角的正弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，椭圆C的下顶点和上顶点分别为B1，B2且|B1B2|=2，过点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当k=2时，求△OMN的面积；(3)求证：直线B1M与直线B2N的交点T恒在一条定直线上．21.已知函数f(x)=12x2−ax+x−a+1e x，其中a∈R．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a∈(0,1)，设g(x)=f(x)−f(0)，(ⅰ)证明：函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点；(ⅱ)记(ⅰ)中的零点为x 0，求证：e x 0<x1−a+1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =a +acosϕy =asinϕ(φ为参数，实数a >0)，曲线C 2：{x =bcosϕy =b +bsinϕ(φ为参数，实数b >0)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线1：θ=α(ρ≥0,0≤α≤π2)与C 1交于O ，A 两点，与C 2交于O ，B 两点，当α=0时，|OA|=1；当α=π2时，|OB|=2． (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)求2|OA|2+√3|OA|⋅|OB|的最大值．23. 记函数f(x)=|x +1|+|2x −1|的最小值为m ．(Ⅰ)求m 的值：(Ⅱ)若正数a ，b ，c 满足abc =2m 3，证明：(ab +bc +ca)(a +b +c)≥9．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合S={s|s=3n+2,n∈Z}，T={t|t=6n+2,n∈Z}，∴T⫋S，∴S∪T=S．故选：B．推导出T⫋S，从而S∪T=S．本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D=(3+i)(1+i)=2+4i，【解析】解：由题意，可知z=2(3+i)1− i所以复数z的虚部为4，故选：D．利用复数的运算性质，直接求解即可．本题考查了复数的运算性质，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：若函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增，≤1，∴m≤2，则m2∴m≤2是函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增的充要条件，故选：C．先求出函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增的等价条件，再利用充要条件的定义判断即可．本题考查二次函数的单调性，充要条件的判断，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：乡村人口第6次，比第5次少，人口不是逐渐递增的，故A 错误， 历次人口普查中第七次普查城镇人口为63.89(万人)，为最多，故B 正确， 城镇人口数从第1次到第7次，人口数逐次增加，故C 正确， 城镇人口比重函数图象为递增图象，故D 正确， 故选：A ．根据函数图象直接进行判断即可．本题主要考查简单的合情推理，根据函数图象直接进行判断是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】A【解析】解：设经过n 天后蝗虫数量达到原来的1800倍， 则N 0(1+6%)nN 0=1800，即1.06n =1800，所以n =log 1.061800=ln1800ln1.06≈129．故选：A ．根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：函数的定义域为{x|x ≠0}，排除A ，D ，f(−x)=(e −x +e x )ln|−x|=(e x +e −x )ln|x|=f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，当0<x <1时，f(x)<0，排除B ， 故选：C ．判断函数的奇偶性和对称性，利用当0<x <1时，f(x)<0进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及排除法是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】B【解析】解：∵数列{b n}的通项公式为b n=4010−n，∴T n=b1⋅b2⋅…⋅b n，=409⋅408⋅407⋅......⋅4010−n=409+8+....+(10−n)，∵9+8+.....+(10−n)=n(9+10−n)2=−12n2+192n，开口向下，对称轴为n=192，∴四个选项中只有B成立，故选：B．根据条件求出T n的表达式，结合二次函数的性质即可求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用以及二次函数的性质，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，可得e=ca =√1+b2a2=√5，可得2a=b，渐近线方程为y=±12x，抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2，求得A(−p2,−p4)，B(−p2,p4)，△OAB(O为坐标原点)的面积为2，可得12×p2×p2=2，解得p=4，即有抛物线的方程为y2=8x．故选：C．由双曲线的离心率，可得2a=b，求得渐近线方程和抛物线的准线方程，联立解得A，B，再由三角形的面积公式，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查抛物线的方程和性质，以及运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：函数f(x)=acos(x−π3)+√3sin(x−π3)=(a2cosx+√32asinx)+√3(12sinx−√32cosx)=(a 2−32)cosx +(√32a +√32)sinx 是偶函数(a ∈R)，∵f(x)=f(−x)，∴√32a +√32=0，∴a =−1，故f(x)=−2cosx ，∴g(x)=−2cos(2x +π6)+1， 若关于x 的方程g(x)=m 在[0,7π12]有两个不相等实根， 则cos(2x +π6)=1−m 2在[0,7π12]有两个不相等实根，∵x ∈[0,7π12]，∴2x +π6∈[π6,4π3]，∵cos4π3=−12，∴−1<1−m 2≤−12，∴2≤m <3，∴实数m 的取值范围是[−2,3)． 故选：C ．由利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，根据函数的奇偶性求得a ，可得f(x)的解析式，再得g(x)的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，求得实数m 的取值范围． 本题主要考查三角恒等变换，函数的奇偶性，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：因为A ，B 是⊙O ：x 2+y 2=4上两个动点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， 所以2×2×cos∠AOB =−2， 故cos∠AOB =−12， 所以∠AOB =120°， 设AB 中点为P ，在等腰三角形AOB 中，OP =1， 所以P 在以O 为圆心，以1为半径的圆上， 设P 到直线l 的距离为d ，由梯形的中位线定理可知2d =d 1+d 2， 因为O 到直线l ：√3x +y −4=0的距离为42=2， 所以P 到直线l 的距离的最大值为2+1=3， 所以d 1+d 2的最大值为6， 故选：D ．根据条件可得∠AOB=120°，设AB中点为P，由等腰三角形的性质可知P在以O为圆心，以1为半径的圆上，而由梯形的中位线定理可知P到直线l的距离为d1+d2的一半，故求出P点到直线l的距离的最大值即可．本题考查了平面向量数量积的性质，动点轨迹的问题，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：过点P作PP′⊥BC交BC于点P′，连接AP′，则tanθ=PP′AP′，设BP′=x，则CP′=20−x，由∠BCM=45°，PP′=CP′tan45°=20−x，在RtΔABP中，AP′=√225+x2，∴tanθ=√225+x2，令y=√225+x2，则y′=−√225+x 2−(20−x)⋅2√225+x2225+x2=√225+x2，当0≤x≤20时，y′<0，所以函数在[0,20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为2015=43，当P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan45°=20+x，在RtΔABP中，AP′=√225+x2，∴tanθ=√225+x2，令y=(20+x)2225+x2，则y′=0可得x=454，此时函数的最大值为53，综上可知，函数的最大值为53，故选：B．过点P作PP′⊥BC交BC于点P′，连接AP′，设BP′=x，可得tanθ=PP′AP′=√225+x2，分P′在BC之间和P′在CB的延长线上两种情况求最值，比较可得结果．本题考查了三角形中的几何计算及三角函数的最值问题，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：∵f(x−1)为奇函数，∴f(−x−1)=−f(x−1)，当x=0时，f(−1)=−f(−1)，即f(−1)=0，∵f(x+1)为偶函数，∴f(−x+1)=f(x+1)，则f(−x−2)=−f(x)，f(−x+2)=f(x)，即f(−x−2)=−f(−x+2)，则f(x−2)=−f(x+2)，即f(x)=−f(x+4)，则f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即f(x)的周期是8，f(0)=f(2)，∵当x∈[1,3]时，f(x)=kx+m，若f(0)−f(3)=−2，∴f(2)−f(3)=−2，即2k+m−3k−m=−k=−2，得k=2，此时f(x)=2x+m，又f(3)=f(2+1)=f(−2+1)=f(−1)=0，即6+m=0，得m=−6，即f(x)=2x−6，则f(2022)=f(252×8+6)=f(6)=f(2+4)=−f(4−2)=−f(2)=−(4−6)=2，故选：C．根据函数奇偶性建立方程求出函数f(x)是周期为8的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的关系求出函数的周期是解决本题的关键，是中档题．13.【答案】−2【解析】解：∵y=2lnx，∴y′=2x ，设切点为(m,2lnm)，得切线的斜率为2m，∴曲线在点(m,2lnm)处的切线方程为：y−2lnm=2m×(x−m)．即y=2mx−2+2lnm，由2m=2，得m=1，∴t=−2+2ln1=−2．故答案为：−2．欲求t的值，只须求出切线的方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，进一步求解t值．本题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14.【答案】(4,−4)【解析】解：因为a⃗=(2,0)，b⃗ =(−1,2)，所以c⃗=a⃗+(a⃗⋅b⃗ )b⃗ =(2,0)+(2,−4)=(4,−4)．故答案为：(4,−4)．根据向量的运算性质计算即可．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：根据题意得12bcsinA=2√3，把A=π3，c=4代入得b=2，由余弦定理得a=√b2+c2−2bccosA=√22+42−2×2×4×12=2√3，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理得asinA =2R，∴R=√32×√32=2．故答案为：2．由△ABC的面积为2√3可求得b值，然后由余弦定理求得a值，再由正弦定理求得△ABC的外接圆的半径．本题考查正、余弦定理及三角形面积公式，考查数学运算能力，属于基础题．16.【答案】①②③④【解析】解：对于①，当△MAF 为正三角形时，|AF|=|AM|，故A M 与x 轴平行，∵|AF|=|AM|=4，∴F 到准线的距离等于12|AM|=2，即p =2，故①正确； 对于②，设A(x 0,y 0)，不妨设点A 在第一象限，则y 0=√2px 0， 由y =√2px.得y′=√2p 2√x，所以抛物线在A 的切线的斜率k =√2p 2√x 0，所以抛物线在A 处的切线方程为y −√2px 0=√2p 2√x 0(x −x 0)，∵F(p2,0)，M(−p 2,√2px 0)，所以MF 的中点为H(0,√2px 02) 显然点H 在直线y −√2px 0=√2p 2√x 0(x −x 0)上，即AH 为△AFM 的一条中线，又由抛物线的定义，知|AF|=|AM|，所以△AFM 为等腰三角形， 所以AH 平分∠MAF ；故②正确；对于③，若MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A ，M ，F 三点共线，且|MF|=12，由三角形的相似比可得1216=p4，得p=3，故③正确；对于④，设B(−p,0)，则O，B关于准线对称，故|MO|=|MB|，∵|AF|=4，∴A点横坐标为4−p2，不妨设A在第一象限，则A点纵坐标为√8p−p2，故|OM|+|MA|的最小值为|AB|=√(4+p2)2+8p−p2=2√13，解得p=4或p=12，由4−p2≥0，p≤8，故p=4，故④正确．故答案为：①②③④．根据等边三角形性质判断①，根据三线合一判断②，利用相似三角形判断③，根据最短距离列方程计算p，判断④．本题考查抛物线的几何性质，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1=S n+a n+1，整理得a n+1−a n=1(常数)，故数列{a n}是以1为公差的等差数列；选条件①时，(Ⅰ)由于①a4+a7=13；2a1+9=13，解得a1=2，故a n=2+(n−1)=n+1；证明：(Ⅱ)设b n=n+12n，所以T n=221+322+423+...+n+12n①，1 2T n=222+323+424+...+n+12n+1②，①−②得：12T n=12+122+....+12n−n+12n+1+12，整理得T n=3−n+32n．所以T n<3，由于设f(n)=f(n)=3−n+32n，满足f(n)−f(n−1)>0，故函数f(x)为单调递增函数，由于T1=1，所以1≤T n<3．选条件②a1，a3，a7成等比数列所以a32=a1⋅a7，解得a1=2，故a n=2+(n−1)=n+1；证明：(Ⅱ)设b n=n+12n，所以T n=221+322+423+...+n+12n①，1 2T n=222+323+424+...+n+12n+1②，①−②得：12T n=12+122+....+12n−n+12n+1+12，整理得T n=3−n+32n．所以T n<3，由于设f(n)=f(n)=3−n+32n，满足f(n)−f(n−1)>0，故函数f(x)为单调递增函数，由于T1=1，所以1≤T n<3．选条件③S10=65时，10a1+10×92=65，解得a1=2，故a n=2+(n−1)=n+1；证明：(Ⅱ)设b n=n+12n，所以T n=221+322+423+...+n+12n①，1 2T n=222+323+424+...+n+12n+1②，①−②得：12T n =12+122+....+12n −n+12n+1+12， 整理得T n =3−n+32n．所以T n <3，由于设f(n)=f(n)=3−n+32n，满足f(n)−f(n −1)>0，故函数f(x)为单调递增函数，由于T 1=1， 所以1≤T n <3．【解析】首先确定数列{a n }为等差数列，进一步选条件①②③时， (Ⅰ)直接求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用乘公比错位相减法和放缩法及函数的单调性的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，数列的单调性，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】(I)解：按分层抽样的方法抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩的个数分别为6个和2个，所以随机变量X 的可能取值为0，1，2， 则P(X =0)=C 63C 83=514,P(X =1)=C 62C 21C 83=1528,P(X =2)=C 61C 22C 83=328，所以随机变量X 的分布列为：所以期望为E(X)=0×514+1×1528+2×328=34． (II)解：由题意，随机变量Y 的可能取值为0，1，2， 则P(Y =0)=(1−p 1)(1−p 2)=1−(p 1+p 2)+p 1p 2， P(Y =1)=p 1(1−p 2)+(1−p 1)p 2=p 1+p 2−2p 1p 2， P(Y =2)=p 1p 2，所以随机变量Y 的分布列为：E(Y)=p1+p2−2p1p2+2×p1p2=1+p2p1+p2．【解析】(I)按分层抽样得到二级、一级口罩的个数分别为6个和2个，得出X的可能取值为0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；(II)根据题意得到随机变量Y的可能取值为0，1，2，结合相互对立事件的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解．本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)存在，且AM=14AB，取D1E的中点L，连接AL，FL，∵FL//EC，EC//AB，∴FL//AB且FL=14AB，∴FL//AM，FL=AM∴AMFL为平行四边形，∴MF//AL，因为MF⊄平面AD1E，AL⊂平面AD1E，所以MF//平面AD1E.故线段AB上存在满足题意的点M，且AMAB =14．(Ⅱ)取AB的中点K，AE的中点O，连接OK，D1O⊥AE，OK⊥AK，因为平面D1AE⊥平面ABCE，则D1O⊥平面ABCE，故以O为坐标原点，OA，OK，OD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得B(−√2,2√2,0)，C(−2√2,√2,0)，E(−√2,0,0)，D 1(0,0,√2)， EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,√2,0),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,√2),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−2√2,√2) 设平面CD 1E 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√2x +√2y =0√2x +√2z =0， 令x =1，解得y =1，z =−1，所以m ⃗⃗⃗ =(1,1,−1)， 设直线BD 1与平面CD 1E 所成角为θ，sinθ=|cos〈m ⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|m ⃗⃗⃗ ⋅BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√3×√12=√23， 所以直线BD 1与平面CD 1E 所成角的正弦值为√23．【解析】(Ⅰ)先分析确定点M 位置，再取D 1E 的中点L ，根据平面几何知识得AMFL 为平行四边形，最后根据线面平行判定定理得结果．(Ⅱ)取AB 的中点K ，AE 的中点O ，连接OK ，以O 为坐标原点，OA ，OK ，OD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可求解．本题主要考查线面平行的证明，空间向量及其应用，线面角的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)由题意可得{e =ca =√222b =2c 2=a 2−b 2，解得：a 2=2，b 2=1， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2=1；(2)由题意可得直线MN 的方程为：y =2x +2，设M(x 1,y 2)，N(x 2,y 2)， 联立{x 22+y 2=1y =2x +2，整理可得：9x 2+16x +6=0，x 1+x 2=−169，x 1x 2=69=23，所以弦长|MN|=√1+22⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√16281−4×23=√5⋅2√109，O 到直线MN 的距离d =√5， 所以S △MON =12×|MN|⋅d =12×√5⋅2√109√5=2√109； (3)证明：设直线MN 的方程为：y =kx +2，设M(x 1,y 2)，N(x 2,y 2)， 联立{y =kx +2x 22+y 2=1，整理可得：(1+2k 2)x 2+8kx +6=0，所以△=64k 2−4×6×(1+2k 2)>0，可得：k 2>32， 且x 1+x 2=−8k1+2k 2，x 1x 2=61+2k 2， 由(1)可得B 1(0,−1)，B 2(0,1)，设T(m,n)， 由T ，M ，B 1三点共线，所以n+1m=y 1+1x 1=kx 1+3x 1=k +3x 1，①由T ，M ，B 2三点共线：n−1m=y 2−1x 2=kx 2+1x 2=k +1x 2，②由①+②×3可得：n+1m +3n−3m=4k +3(x 1+x 2)x 1x 2=4k +3⋅−8k 1+2k 261+2k 2=0，所以可得4n −2=0，解得：n =12， 所以点T 恒在直线y =12上．【解析】(1)由离心率和短轴的值即a ，b ，c 的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程； (2)由题意设直线MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|MN|的值，再求O 到直线MN 的距离，代入面积公式求出三角形的面积；(3)由(1)可得B 1，B 2的坐标，设T 的坐标，由直线B 1M 与直线B 2N 的交点T 可得T 与B 1，B 2的坐标的关系，将直线MN 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而可得T 的纵坐标为定值，即可证得结论．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，三角形面积的求法，及直线恒过定点的证明，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)求导f′(x)=(x −a)−x−a e x=(x −a)e x −1e x，令f′(x)=0，解得x =a 或x =0，当a >0时，由f′(x)>0，解得x >a 或x <0，由f′(x)<0，解得0<x <a ， 所以f(x)在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减，当a=0时，由f′(x)=x(e x−1)e x>0，得x>0，f′(x)<0，x>0，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；当a<0时，由f′(x)>0，解得x<a或x>0，f′(x)<0，解得a<x<0，f(x)在(−∞,a)和(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，综上所述，当a>0时，f(x)在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减，当a=0时，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，当a<0时，f(x)在(−∞,a)和(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减；(Ⅱ)(ⅰ)证明：由(Ⅰ)可知，当a∈(0,1)时，g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，所以g(a)<g(0)=f(0)−f(0)=0，解法一：g(a+√a2+2(1−a))>12[a+√a2+2(1−a)]2−a[a+√a2+2(1−a)]−(1−a)=0，存在唯一的x0∈(a,a+√a2−2a+2)，使得g(x0)=0，故函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点．解法二：g(x)=f(x)−f(0)=12x2−ax+x−a+1e x−(1−a)>12x2−ax−(1−a)>1 2x2−ax−1=12x(x−2a)−1，g(2a+2)>12(2a+2)×2−1=2a+1>0，存在唯一的x0∈(a,2a+2)，使得g(x0)=0，故函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点．解法三：g(x)=f(x)−f(0)=12x2−ax+x−a+1e x−(1−a)>12x2−ax+a−1，g(2)>12×22−2a+a−1=1−a>0，存在唯一的x0∈(a,2)，使得g(x0)=0，故函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点．说明：若给出解法当a∈(0,1)时，g(x)=f(x)−f(0)=f(x)+a−1，g(x)与f(x)的单调性相同，由(Ⅰ)可知，当a∈(0,1)时，g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，所以g(a)<g(0)=f(0)−f(0)=0，当x>a时，x→+∞，g(x)→∞.(扣2分)(ⅱ)证明：e x0<x01−a+1，只需证：x0+1−ae x0>1−a，由于g(x0)=0，得f(x0)=f(0)，故12x02−ax0+x0+1−ae x0=1−a，只需证12x02−ax0+x0+1−ae x0<x0+1−ae x0，只需证x0<2a，因为f(x)在(a,+∞)上单调递增，所以f(x0)<f(2a)，因为f(x0)=f(0)，所以只需证明f(2a)>f(0)，解法一：由f(2a)−f(0)=a+1e2a −(1−a)=a+1e2a+a−1，设ℎ(a)=a+1e2a+a−1,a∈(0,1)，则ℎ′(a)=e2a−2a−1e2a，设2a=t，则t∈(0,2)，设k(t)=e t−t−1，则k′(t)=e t−1>0，所以k(t)=e t−t−1在(0,2)单调递增，所以k(t)>k(0)=0，则ℎ′(a)=e2a−2a−1e2a>0，所以ℎ(a)=a+1e2a+a−1在(0,1)上单调递增，所以ℎ(a)>ℎ(0)=0，所以f(2a)>f(0)，故原不等式得证．解法二：由f(2a)−f(0)=a+1e2a −(1−a)=(1−a)[a+1(1−a)e2a−1]，φ(a)=a+1(1−a)e2a−1,a∈(0,1)，φ′(a)=(1−a)e2a−(a+1)[−e2a+2(1−a)e2a](1−a)2e2a =2a2(1−a)2e2a>0，所以φ(a)在(0,1)上单调递增，所以φ(a)>φ(0)=0，所以f(2a)>f(0)，原不等式得证．解法三：由f(2a)−f(0)=a+1e2a −(1−a)=1−ae2a⋅(1+a1−a−e2a)=1−ae2a(e ln1+a1−a−e2a)，设p(a)=ln1+a1−a−2a=ln(1+a)−ln(1−a)−2a,a∈(0,1)，则p′(a)=11+a +11−a−2=2−2(1−a2)(1+a)(1−a)2a2(1+a)(1−a)>0，因此p(a)=ln1+a1−a−2a在(0,1)单调递增，因为1>a>0，所以p(a)>p(0)=0，所以f(2a)>f(0)，故原不等式得证．【解析】(Ⅰ)求导，根据导数与函数单调性的关系，即可判断f(x)的单调性；(Ⅱ)当a∈(0,1)，求得g(x)的单调性，解法一：由g(a)<0，及g(a+√a2+2(1−a))>0，利用函数的零点存在定理可得：函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点； 解法二：利用放缩法，可得g(2a +2)>12(2a +2)×2−1=2a +1>0，结合g(a)<0，因此存在唯一的x 0∈(a,2a +2)，使得g(x 0)=0，函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点；解法三：利用放缩可得g(x)=f(x)−f(0)=12x 2−ax +x−a+1e x−(1−a)>12x 2−ax +a −1，因此g(2)>0，同理可得函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点． (ⅱ)原不等式可转化为x 0<2a ，由f(x)在(a,+∞)上单调递增，因此f(x 0)<f(2a)，进而f(2a)>f(0)． 解法一：构造函数ℎ(a)=a+1e 2a+a −1,a ∈(0,1)，求导根据导数与函数单调性的关系，求得最小值，即可证明f(2a)>f(0)；解法二：设φ(a)=a+1(1−a)e 2a −1,a ∈(0,1)，求导可得，φ(a)在(0,1)上单调递增，所以φ(a)>φ(0)=0，因此可得f(2a)>f(0)；解法三：设p(a)=ln 1+a 1−a −2a =ln(1+a)−ln(1−a)−2a,a ∈(0,1)，求得，可得p(a)=ln 1+a1−a −2a 在(0,1)单调递增，因为p(a)>p(0)=0，即可得到f(2a)>f(0)． 本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性的关系，函数的零点问题，函数的隐零点，放缩法的应用，考查转化思想，分类讨论思想，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =a +acosϕy =asinϕ(φ为参数，实数a >0)，转换为直角坐标方程为(x −a)2+y 2=a 2，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ=2acosθ；当α=0时，|OA|=1；故a =12．曲线C 2：{x =bcosϕy =b +bsinϕ(φ为参数，实数b >0)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −b)2=b 2，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ=2bsinθ；当α=π2时，|OB|=2.故b =1． 故a =12，b =1．(Ⅱ)由于曲线C 1和曲线C 2的方程为ρ=cosθ和ρ=2sinθ；所以2|OA|2+√3|OA|⋅|OB =1+cos2θ+√3sin2θ=2sin(2θ+π6)+1；由于0≤θ≤π2， 所以2θ+π6∈[π6,7π6]，故2|OA|2+√3|OA|⋅|OB 的最大值为3，当2θ+π6=π2，即θ=π6时取得最大值．【解析】(Ⅰ)直接利用参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换进一步求出a 和b 的值；(Ⅱ)利用极径的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出最大值．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】(Ⅰ)解：由题意得，f(x)={−3x,x ≤−1−x +2,−1<x <123x,x ≥12，作出函数f(x)图像如图所示，由图可知，当x =12时，函数f(x)取最小值，f(x)min =−12+2=32，故m =32． (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得abc =1，故ab +bc +ca =1c +1a +1b ，因为a ，b ，c 均为正数，所以要证明不等式(ab +bc +ca)(a +b +c)≥9， 只需证明(1a +1b +1c )(a +b +c)≥9，由柯西不等式得：(1a +1b +1c )(a +b +c)≥(√a √a √b √b √c √c )2=9，当且仅当a=b=c=1时，取等号，所以原不等式成立．【解析】(Ⅰ)将函数f(x)化简为分段函数形式，并作出函数图像，由图像判断并计算最小值；(Ⅱ)由(Ⅰ)得abc=1，可得ab+bc+ca=1c +1a+1b，将证明不等式(ab+bc+ca)(a+b+c)≥9转化为证明(1a +1b+1c)(a+b+c)≥9成立，利用柯西不等式证明即可．本题主要考查绝对值函数的最值，柯西不等式的应用等知识，属于基础题．。

一、单选题二、多选题1. 将三角函数向左平移个单位后，得到的函数解析式为A．B．C．D．2. 已知全集，集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为A．B．C．D．3. 已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ）A．B．C ．0D ．24.复数的虚部为（ ）A ．3B．C ．2D．5. 已知集合，，则为（ ）A．B．C．D．6. 小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB ，AC 和优弧BC 围成，其中BC 连线竖直，AB ，AC 与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则（）．A．B．C．D．7. 蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有五个点、、、、恰好构成一正四棱锥，若该棱锥的高为8，底面边长为，则该鞠的表面积为（ ）A．B．C．D．8.已知，将函数的图象向右平移个单位得到，则使得函数是偶函数的的最小值是（ ）A．B．C．D．9. 已知直线与函数的图象相交，A ，B ，C 是从左到右的三个相邻交点，设，四川省南充市2023届高三上学期高考适应性考试（一诊）理科数学试题四川省南充市2023届高三上学期高考适应性考试（一诊）理科数学试题三、填空题四、解答题，则下列结论正确的是（ ）．A．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称B．若，则C ．若在上无最值，则的最大值为D．10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）A．对于任意的，存在偶函数，使得为奇函数B．若只有一个零点，则C ．当时，关于的方程有3个不同的实数根的充要条件为D ．对于任意的，一定存在极值11. 已知向量满足，则可能成立的结果为（ ）A．B．C．D．12. 已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足，则下列关系一定正确的是（ ）A．B．C．D．13. 定义在R 上的奇函数f （x ）以2为周期，则f （1）=________．14. 已知函数则________；方程的解为________．15. 已知，若，则_____．16. 已知函数，其中a 为实数．(1)讨论函数的单调性；(2)令，若恒成立，求实数a 的取值范围．17. 安庆某农场主拥有两个面积都是220亩的农场——加盟“生态农场”与“智慧农场”，种植的都是西瓜，西瓜根据品相和质量大小分为优级西瓜､一级西瓜､残次西瓜三个等级.农场主随机抽取了两个农场的西瓜各100千克，得到如下数据：“生态农场”优级西瓜和一级西瓜共95千克，两个农场的残次西瓜一共20千克，优级西瓜数目如下：“生态农场”20千克，“智慧农场”25千克.(1)根据所提供的数据，完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为残次西瓜率与农场有关？农场非残次西瓜残次西瓜总计生态农场智慧农场总计(2)种植西瓜的成本为0.5元/千克，且西瓜价格如下表：等级优级西瓜一级西瓜残次西瓜价格（元/千克） 2.5 1.5（无害化处理费用）①以样本的频率作为概率，请分别计算两个农场每千克西瓜的平均利润；②由于农场主精力有限，决定售卖其中的一个农场，请你根据以上数据帮他做出决策.（假设两个农场的产量相同）参考公式：，其中.附表：0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.82818. 如图，直三棱柱的所有棱长都是2，D、E分别是AC、的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．19.已知圆：，定点，如图所示，圆上某一点恰好与点关于直线对称，设直线与直线的交点为.(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）.直线，的斜率分别记为，，且.求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.20. 某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格：分段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数510a30a+510(1)①求表中a的值，并估算该门学科这次考试的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；②在[40，50)， [50，60)， [60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自[60，70)的概率；(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求的取值范围.21. 已知，是椭圆的左，右顶点，，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于点，，交直线于点，且直线，，的斜率成等差数列，和是椭圆上的两动点，和的横坐标之和为2，的中垂线交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）求的面积的最大值．。

四川省南充市高中2021届高三数学第一次适应性考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|10A x x =-≥，{}2|1B x x =≤，则AB =（ ）A. {}|1x x ≥B. {}1|x x ≥-C. {}|1x x ≤D.{}|1x x ≤-【答案】B 【解析】 【分析】化简集合B ，按照并集定义，即可得出答案. 【详解】{}{}2|1|11B x x x x =≤=-≤≤，A B ={}1|x x ≥-.故选:B【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2.12i=-（ ） A. 2155i -+ B. 2155i -- C.2551i + D.2155i - 【答案】C 【解析】 【分析】分母实数化，即可求得结果. 【详解】12212(2)(2)55i i i i i +==+--+. 故选:C【点睛】本题考查复数的除法，属于基础题. 3.“60A =︒”是“1cos 2A =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件判断方法，即可得出结论. 【详解】若060A =，则1cos 2A =成立； 若1cos 2A =，则00006036060360()A k k k Z =+⋅-+⋅∈或， 故60A =︒不成立， 所以“60A =︒”是“1cos 2A =”的充分不必要条件. 故选:A【点睛】本题考查充分必要条件的判断，要注意三角函数值与角之间的关系，属于基础题. 4.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（ ）A. B. 8πC.D. 4π【答案】B 【解析】试题分析：设球的半径为R ，截面小圆半径为r 21r r ππ∴=∴=R ∴=248S R ππ==考点：圆的截面小圆性质及球的表面积点评：球的半径为R ，截面小圆半径为r ，球心到截面的距离为d,则有222R r d =+，球的表面积24S R π= 5.函数1()sin cos 2f x x x =的最小值是（ ） A.14B. 12C. 12-D. 14-【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角化简1()sin cos 2f x x x =，即可得答案. 【详解】111()sin cos sin 2244f x x x x ==≥-.故选:D【点睛】本题考查二倍角公式的应用以及三角函数的有界性，属于基础题.6.10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式定理写出通项，即可求出结果.【详解】10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为1010101101011()(),0,1,2,,1022k k k k kk T C x C x k ---+===，3x 的系数是733101011()1528C C =⨯= 故选:C【点睛】本题考查展开式的系数，掌握通项公式是解题的关键，属于基础题.7.若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A. ⎡⎣B. (C. 33⎡-⎢⎣⎦D.⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k kdk-=≤+，得222141,3k k k≤+≤，选择C另外，数形结合画出图形也可以判断C正确．8.函数()21,1,1x xf xx x⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有且只有一个实数根，则实数a满足（）A. 1a= B. 1a> C. 01a≤< D. 0a<【答案】A【解析】【分析】作出函数()f x图像，数形结合，即可求出答案.【详解】做出函数()f x图像，如下图所示：()1f x=有且只有一个实数根.故选:A【点睛】本题考查函数零点的个数，考查数形结合思想，属于基础题.9.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若2BC=，AB AC AB AC+=-，则AM =（ ）A.12B. 1C. 2D. 4【答案】B 【解析】 【分析】||||AB AC AB AC +=-两边平方，可得0AB AC ⋅=，即AB AC ⊥，利用直角三角形斜边中线与斜边长度的关系，即可求出||AM . 【详解】||||AB AC AB AC +=-，两边平方得，222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+，0,AB AC AB AC ∴⋅=∴⊥，M 是线段BC的中点，1||||12AM BC ∴==. 故选:B【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，属于基础题. 10.ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若tan tan a ba b A B+=+，则角C =（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，化切为弦，整理求出A B +值，即可求出结果.【详解】tan tan a b a b A B+=+，sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos A BA B A BA B A B+=+=+， sin cos sin cos A A B B -=-+，平方得2sin cos 2sin cos ,sin 22sin 2A A B B A B -=-∴=， 22(0,2),22A B A B π∈∴=、或22A B π+=，,A B ∴=或2A B π+=，若,A B =则sin cos ,tan 1,(0,)A A A A π∴=∴=∈,42A B C ππ∴==∴=，若2A B π+=，则2C π=.故选:D【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查同角间的平方关系和三角函数值与角的关系，属于中档题. 11.设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为（ ） A. 0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C. 1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 2e ⎛⎝ 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数F （x ）=()2xf x e，求出导数，判断F （x ）在R 上递增．原不等式等价为F （lnx ）＜F（12），运用单调性，可得lnx ＜12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集． 【详解】可构造函数F （x ）=()2xf x e，F′（x ）=()()22222()x xx f x e f x e e -=()()2'2xf x f x e -，由f′（x ）＞2f （x ），可得F′（x ）＞0，即有F （x ）在R 上递增． 不等式f （lnx ）＜x 2即为()2f lnx x＜1，（x ＞0），即()2lnxf lnx e＜1，x ＞0．即有F （12）=12f e⎛⎫⎪⎝⎭=1，即为F （lnx ）＜F （12），由F （x ）在R 上递增，可得lnx ＜12，解得0＜x． 故不等式的解集为（0）， 故选B ．【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =， ()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等12.已知14m <<，1F ，2F 为曲线22:144x y C m +=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线22:11E y x m -=-在第一象限的交点，直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若三角形12F PF 的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则点M ，N 横坐标之差为（ ） A. 1- B. 2-C. 3-D. 随m 的变化而变化 【答案】A 【解析】 【分析】先求出P 点坐标，得出切线方程，求出三角形12F PF 的内切圆的半径、直线1F M 的方程，联立求出N 的横坐标，即可得出结论.【详解】联立222214411x y m y x m ⎧+=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩消去y，得24,0,x x x m =>∴= 设00(,)P x y ，直线l 方程为00144x xy y m①设三角形12F PF 内切圆半径为r ，则由等面积可得002(42),2M my my m r r y m=+∴==+ ②直线1F M 的方程为()1My x m m=++ ③联立①②③，化简可得36,2N mx m x =∴=，在12F PF ∆中，内切圆圆心M ，各边的切点分别为,,A D E ， 由圆的切线性质可得1122||||,||||,||||F A F D EF AF PD PE ===，121212||||||||||||2F P F P F D F E F A F A ∴-=-=-=，. 121||||2,||1M F A F A m F A m x m +=∴=+=+， 1,1M M N x x x =∴-=-.故选:A【点睛】本题考查双曲线方程的性质以及焦点三角形的内切圆，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于综合题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -，且//AB AC ，则x =__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求解, 【详解】()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -(1,5),(1,10)AB AC x =-=--， //,5(1)100,3AB AC x x ∴--+==.故答案为:3【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.14.函数()sin f x x x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】化简函数()f x ，根据自变量的范围，即可求出结论.【详解】()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，50,2336x x ππππ≤≤∴≤+≤， ()f x ∴的最大值为2.故答案为:2【点睛】本题考查三角函数的化简，以及三角函数最值，属于基础题.15.已知函数()2sin 1x xxe x f x x e ++=++，则()()()()()()()()()()()54321012345f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++的值是________. 【答案】11 【解析】 【分析】根据所求值的自变量的关系，先求()()f x f x +-的值，即可求出结果.【详解】()()f x f x +-=22sin sin()11x x x xxe x xe x x x e e --++-++++-+-+22211x x x x x xe x x xe e e e ++-+-+=+=+，(5)(5)(4)(4)(1)(1)2f f f f f f ∴-+=-+==-+=，(0)1f =，()()()()()()()()()()()54321012345f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++=11故答案为:11【点睛】本题考查函数的对称性的应用，关键要转化为研究()()f x f x +-的值，属于中档题. 16.过抛物线()220x py p =>的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ,B 两点，又过A ,B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为D ,C .若梯形ABCD的面积为p =__________.【解析】 【分析】设1122(,),(,),A x y B x y ,联立直线与抛物线方程求出121,2,,x x y y ，代入12121||()2ABCD S x x y y =-+梯形，即可求出p 的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，抛物线的焦点(0,)2p F ， 直线AB 方程为2p y x =+， 联立222x py p y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得2220x px p --=，解得121233,,,,22x p x p y p y p -+==+==，212121||()2ABCD S x x y y =-+==梯形p ∴=.故答案为【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及梯形的面积公式，考查计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。

四川省绵阳中学2025届高考适应性月考卷（一）数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.若正实数a ，b 满足，则ab 的最小值为（ ）A.1B.2C.4D.83.已知，，，则（ ）A. B. C. D.4.已知为锐角，且，则（ ）B.D.或5.已知的部分图象如图，则可能的解析式为（ ）A. B. C. D.6.在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.{}3log 2A x x =<{B y y ==()R A B = ð(0,9)[9,)+∞{0}[9,)+∞ [0,9)24a b ab +=-1334a -⎛⎫=⎪⎝⎭lg 4b =3log 2c =a b c>>a c b>>c a b>>c b a>>απ2cos 43α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos 2α=1919-2cos ()()x xf xg x +=()g x ()22x xg x -=+()22x xg x -=-2()g x x=()ln g x x=321()813f x x ax ax =--+(3,0)-a 90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,+∞(),3-∞-93,2⎛⎫- ⎪⎝⎭7.已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）A. B.为递增数列 C.为递减数列D.8.已知函数与的定义域均为，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不正确的有（ ）A.关于对称B.关于点对称C.的周期D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.某类汽车在今年1至5月的销量y （单位：千辆）如下表所示（其中2月份销量未知）：月份x 12345月销量y2.4m455.5若变量y 与x 之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）A. B.残差绝对值最大为0.2C.样本相关系数D.当解释变量每增加1，响应变量增加0.8510.函数满足，，有，下列说法正确的有（ ）A. B.C.为奇函数D.记，则在上单调递减11.对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，数列的前项和为，则D.若，，则三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数的图象关于点对称，则在上的最小值为{}n a q n n S 6220S S =≠2q ={}n a {}n a 42S S =(1)y f x =+()y g x =R 1x =()g x ()(2)g x g x =-()f x ()f x 2x =()f x (4,0)()f x 4T =(2027)0f =ˆ0.85 1.45yx =+3.1m =0r <x y ()f x x ∀y ∈R ()()()f xy yf x xf y =+(0)0f =(1)0f =()f x ()()f x g x x=()g x (0,)+∞{}n a 1n n n a a a +∆=-21n n n a a a +∆=∆-∆*n ∈N n a n =20n a ∆=2n a n =1n na a +∆>∆3n a n ={}nb n n a ∆6n b n=(2)2n n a n ∆=+⋅12a =22n n na a a ∆=+∆π()3sin(2)()2f x x ϕϕ=+<π(,0)6()f x ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦________.13.已知数列满足，且，则________.14.，则在处的切线方程为________.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）为了了解某校学生每天课后自主学习数学的时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，学校数学组老师进行了一些调研，得到以下数据.学习时间x 2030405060数学成绩y59728297110（1）已知y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y 关于x 的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为85分钟时的数学成绩（结果精确到整数）；（参考数据：，）（2）由于新高考改革，对于同学们自主学习提出了更高的要求，所以某校提倡学生周日下午学生返校自习，实施一段时间后，抽样调查了200位学生.按照是否参与周日自习以及成绩是否有进步，统计得到列联表.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周日自习与成绩进步”是否有关（结果精确到0.01）.没有进步有进步合计参与周日自习30130160未参与周日自习202040合计50150200附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.（本小题满分15分）已知.（1）讨论的单调性；{}n a 134n n a a +=+10a =n a =cos 2()sin xf x x =()f x ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭118070ni ii x y==∑219000ni i x ==∑22⨯0.001α=ˆˆˆybx a =+()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑ˆˆay bx =-22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++αx α()ln f x x a x =+()f x（2）若的零点个数大于2，求a 的取值范围.17.（本小题满分15分）在锐角中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，.（1）求证：；（2），求的取值范围.18.（本小题满分17分）有个正数，排成行列的数表：其中表示位于第行，第列的数，数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有列公比相等，已知，，.（1）求；（2）若n 为偶数，求.19.（本小题满分17分）已知函数.（1）当时，求证：；（2）求证：；（3）记集合，若集合的子集至少有4个，求的取值范围.()f x ABC △22b c ab =-2C B =2b =a 2(4)n n ≥n n ij a i j 141a =333a =355a =1112131412122232423132333434142434441234n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⎛⎫⎪⋯ ⎪ ⎪⋯ ⎪⋯ ⎪ ⎪⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪⎪⋯⎝⎭in a 224466nn a a a a ++++ ()(1)ln(1)(2)f x x x k x =----1k =()0f x ≥()1111*234enn n +++≤∈N 22eln e 10e kx k x A x x kx k +⋅=--⋅-⎭≥⎧⎫⎨⎬⎩+A k四川省绵阳中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案CCBBDAAB【解析】1.，，，故选C.2.，，，当且仅当时取“”，，故选C.3.，，，又，，，故选B.4.，，，又，.又，，，，，故选B.5.由图象对称性：为偶函数，又为偶函数，则为偶函数，排除B ；从定义域看，排除A ；当时，，，排除C ，故选D.6.在上有下穿变号零点，无上穿变号零点，，故选A.7.，，，，是公比为的等比数列，，即：，，，，，，，故A 对；{09}A x x =<<{0}B y y =≥()R {0}[9,)A B ∴=+∞ ða b +≥ 24ab ∴-≥20ab ∴≥1≤-2≥4ab ∴≥2a b ===min ()4ab ∴=0314a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭ lg101b <=3log 31c <=32lg 22lg 22lg 3lg 9lg101lg 2log 2lg 3b c ====<= b c ∴<a c b ∴>>2sin )3αα-=-14(1sin 2)29α∴-=1sin 29α∴=cos 2α∴==π02α<< ππ3π444α∴<+<π2cos 43α⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ π2∴<π3π44α+<ππ42α∴<<π2π2α∴<<cos 2α∴=()f x 2cos y x x =+()g x 2()g x x =0x →()f x →+∞2()28f x x ax a '=-- (3,0)-(3)0,(0)0f f '->⎧∴⇒⎨'<⎩902a <<6220S S =≠ 1q ∴≠±2S ∴42S S -64S S -2q ()242S S ∴-=()264S S S -2242420S S S S -⋅-=()244220S S S S ∴--=()22222220S S q S q S ∴+⋅⋅-=422222220q S q S S ∴⋅+⋅-=4210q q ∴+-=2q ∴=2q ∴=q =，不为单调数列，故B ，C错；又D 错，故选A.8.与关于对称①，为奇函数②，又③，由①②③消去，得到：④关于点对称，⑤关于对称，，的对称轴有，，所以，正确；对称中心为，，所以B 错误；，所以D 正确，故选B.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABABCABD【解析】9.由题意知：，又，则，，故A 对；各月份对应残差为0.1，，0，0.15，.残差绝对值最大为0.2，故B 对；变量与呈正线性相关，则，故C错；当解释变量增加1，响应变量不一定增加0.85，故D 错，故选AB.10.令；令；令，令为奇函数.由，可得，可用对数函数换底，如：，当时，可利用导数求得在上单调递减，在上单调递增，故选ABC.11.A.，；B.，，；C.，，又时，，D .，，，…，，{}n a ∴2421S q S =+=(1)y f x =+()y g x =1x =()(3)g x f x ⇒=-()g x ()()0g x g x ⇒-+=()(2)g x g x =-()g x (3)(3)0f x f x -++=()f x ⇒(3,0)(3)(1)f x f x -=+()f x ⇒2x =()y f x ∴=4()T f x =⇒2x k =k ∈Z A C (32,0)k +k ∈Z (2027)(3)0f f =⇒ˆ0.85 1.45yx =+3x =4y = 3.1m ∴=0.05-0.2-∴y x 0r >x y 0(0)0x y f ==⇒=1(1)2(1)(1)0x y f f f ==⇒=⇒=1(1)x y f ==-⇒=2(1)(1)0f f --⇒-=1()()(1)()()()y f x f x xf f x f x f x =-⇒-=-+-⇒-=-⇒()()()f xy f x f y xy x y =+()()()g xy g x g y =+()g x ()ln f x x x =0x >()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭111n n n a a a n n +∆=-=+-= 21110n n n a a a +∴∆=∆-∆=-=22(1)21n a n n n ∆=+-=+ 123n a n +∴∆=+1n n a a +∆>∆332(1)331n a n n n n ∆=+-=++ 117b a ∴=∆= 2n ≥16n n n b a a n -=∆-∆=7,1,6, 2.n n b n n =⎧∴=⎨≥⎩1(2)2nn n n a a a n +=∆=-+⋅ 12132a a ∴-=⋅23242a a -=⋅11(1)2n n n a a n ---=+⋅，，，，，，.又时也成立，，.又，，综上，故选ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12.，，，，，，，时，，.13.设，解得：，所以.又，则，故是以2为首项，3为公比的等比数列，所以，故.14..又，在处的切线方程为：，即.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）由表计算可得，，所以，所以，2n ≥12113242(1)2n n a a n -∴-=⋅+⋅+++⋅ ()2112322(1)2n n n a a n n -∴-=⋅++⋅++⋅ ()()2212112123222(1)26(1)262412n n nnn n a a n n --⋅-∴--=⋅+++-+⋅=+-+⋅=+--- (1)2n n +⋅122n n a a n ∴-+=-⋅+2n n a n ∴=⋅2n ≥1n =2n n a n ∴=⋅*n ∈N 211(3)2(2)2(4)2n n n n n n a a a n n n ++∆=Λ-∆=+⋅-+⋅=+⋅ 22(4)2(24)22(2)22n n n n n n n a a n n n n a ∴+∆=⋅++⋅=+⋅=⋅+⋅=∆π2π6k ϕ⨯+= k ∈Z ππ3k ϕ∴=-+k ∈Z π3ϕ∴=-π()3sin 23f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ππ,122x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦∴ππ2π2,363x ⎡⎤⎢⎥⎣-∈⎦-min 3()2f x ∴=-()13n n a r a r ++=+2r =()1232n n a a ++=+10a =122a +={}2n a +1223n n a -+=⋅1232n n a -=⋅-22sin 2sin cos cos 2π()(sin )4x x x x f x f x --⎛⎫''=⇒=- ⎪⎝⎭π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π04y x ⎫-=--⎪⎭y =-+40x =84y =12211807054084ˆ 1.27900054040ni ii nii x y nxybxnx ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑ˆˆ84 1.274033.2ay bx =-=-⨯=故.当时，，由此预测每天课后自主学习数学时间为85分钟时的数学成绩为141分.（2），所以小概率值的独立性检验，周日自习与成绩进步有关.16.（本小题满分15分）解：（1）定义域为，又为偶函数，由对称性只需研究的单调性及零点个数即可.当时：.讨论：（i ）当时，在上単调递增.又为偶函数，在上单调递减时：在上单调递增，在上单调递减.（ii ）当时，，，，在上单调递增，在上单调递减.又由为偶函数在上单调递减，在上单调递增当时，在和上单调递增，在和上单调递减.（2）由（1）知为偶函数当时：的零点个数大于1个，由（1）知：必有，此时：在上单调递增，上单调递减又时，，时，，.17.（本小题满分15分）（1），，，ˆ 1.2733.2yx =+85x =ˆ141y ≈22200(130203020)16.6710.8285015016040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯0.001α={0}x x ≠()()()f x f x f x -=⇒()(0)y f x x =>0x >11()ln ()ax f x x ax f x a x x+'=+⇒=+=0a ≥()0()f x f x '>⇒(0,)+∞()f x (,0)-∞0a ⇒≥()f x (0,)+∞(,0)-∞0a <11()00,f x x x a a ⎛⎫'=⇒=-⇒∈- ⎪⎝⎭()0f x '>1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭()0()f x f x '<⇒10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x ()f x ⇒1,0a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭⇒0a <()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,0a ⎛⎫⎪⎝⎭()f x ⇒0x >()f x 0a <()f x 10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭⇒0x →()0f x <x →+∞()0f x <1100e f a a ⎛⎫∴->⇒-<< ⎪⎝⎭2222cos b a c ac B =+-⋅ 2cos c B a b ∴⋅=+2sin cos sin sin C B A B ∴=+2sin cos sin()sin C B B C B∴=++，，（舍），（2），，，.又，，.18.（本小题满分17分）解：（1）每一行成等差数列，，即：第3行公差为1，.设每列公比为，又，，，，（2）由（1）知：，设，，①，②，由①②得：，，.19.（本小题满分17分）（1）证明：当时，，sin()sin C B B ∴-=C B B ∴-=πC B B -+=2.C B ∴=sin sin a bA B=2sin(π2)sin a B B B ∴=--2sin 32(sin cos 2cos sin2)sin sin B BB B B a B B+∴==222cos 24cos 8cos 2a B B B ∴=+=-π0,2πππ02,,264π0π22B C B B A B B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⇒<<⎨⎪⎪<=--<⎪⎩ cos B ∴∈213cos ,24B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭24a ∴<< 344a ∴=3n a n ∴=q 141a =344a =24q ∴=2q ∴=32i in a n -∴=⋅32n nn a n -=⋅224466n nn S a a a a =++++ 11332242622n n S n --∴=⋅+⋅+⋅++⋅ 024*********n n nS -∴=⋅+⋅+⋅++⋅ 2462412223212222n n n n n S -⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪⎝⎭-024231212121222n n n nS --=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅ 2142142nn n -=-⋅-()121232n n n =--⋅112323n n ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭1322918n n n S -∴=+⋅2244661322918nnn n a a a a -∴++++=+⋅ 1k =()(1)ln(1)(2)(1)f x x x x x =---->2(1)ln(1)1x x x x -⎡⎤=---⎢⎥-⎣⎦要证，只需证：即可.令上式等价于证，在上单调递减，在上单调递增，证毕.（2）要证：等价于证：，由（1）知：，令，分别令再相加.（3）解：中元素不止一个，说明至少存在2个，使得成立.，即：.令.由（1），令，令恒成立，现在又有时，，中元素不止一个说明：的解不止一个.令.讨论：①当时：在上単调递增，此时的零点最多一个，舍去；②当时，令在上单调递增，在上单调递减.又注意到：时，，当时：，要的零点不止一个，令；∴()0f x ≥2()ln(1)0(1)1x g x x x x -=--≥>-1x t -=⇒1()ln 10(0)h t t t t=-+≥>21()()t h t h t t-'=⇒ (0,1)(1,)+∞()(1)0h t h ⇒≥=11123e nn ++≤ 11123ln eln nn +++≤ 1ln 1(0)t t t≥->()1nt n n *=∈-Z 1ln1n n n ⇒≥-2,3,4,,n n = 231111ln ln ln 121234n n n⇒+++≥++++- 1111ln 234n n⇒≥++++ A 0x >22e ln e 10ekx k x x kx k +⋅--⋅-+≥22ln 22e e e ln e 1ln e 1eex k k kx k xx kx k x kx k +⋅+⋅--⋅-+=--⋅-+ 22ln e ln e e10x k k x kx k --⋅--⋅-+≥2ln e e 10tx kx k t t --⋅=⇒-+≥1ln 1t t≥-ln 1ee 1xx t x x x --=⇒≥-⇒≥-e 1t x t t -=⇒≥+e 1e 1ttt t ≤+⇒=+0t =A ∴2ln e 0x kx k --⋅=211()ln e ()(0)kx T x x kx k T x k x x x-'=--⋅⇒=-=>0k ≤()0()T x T x '>⇒(0,)+∞()T x 0k >1()0()T x x T x k '=⇒=⇒10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭x →+∞()0T x <0x →()0T x <()T x 2()ln 1e M k k k =++⋅易知在上单调递增，又当时，有此时中元素不止一个.()M k (0,)+∞212110e M ⎛⎫=-++=⇒⎪⎝⎭210ek <<()0M k <⇒A 210e k ⇒<<。

一、单选题二、多选题1. 已知，则（ ）A．B．C．D．2.设，则（ ）A．B．C．D．3. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．454石4. 在中，，BC 边上的高为AD ，D 为垂足，且BD ＝2CD ，则cos ∠BAC ＝（ ）A．B．C．D．5. 已知函数，则函数在上的最小值为（ ）A．B．C．D．不可能6.设双曲线（，）的左、右顶点分别为、，点在双曲线上，的三内角分别用、、表示，若，则双曲线的渐近线的方程是A．B．C．D．7. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线与平面DAA 1D 1的位置关系是（）A ．直线与平面平行B ．直线与平面垂直C ．直线与平面相交但不垂直D ．直线在平面8. 某校高三学生有3000名，在一次模拟考试中数学成绩服从正态分布，已知，若学校按分层抽样的方式从中抽取份试卷进行分析研究，则应从成绩不低于分的试卷中抽A ．10份B ．20份C ．30份D ．40份9. 已知，满足，则（ ）A．B．C．D．10. 过抛物线C ：的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列判断正确的是（ ）贵州省2024届高三适应性联考（一）数学试题(高频考点版)贵州省2024届高三适应性联考（一）数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A ．可能为锐角三角形B．过点且与抛物线C 仅有一个公共点的直线有2条C ．若，则的面积为D．最小值为11. 如图，摩天轮的半径为40米，点O 距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（）A ．经过15分钟，点P 首次到达最高点B ．从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P 距离地面的高度一直在升高C．若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍D ．在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P 距离地面超过7012. 对于函数，下列说法正确的是（ ）A．B ．在处取得极大值C．有两个不同的零点D ．若在上恒成立，则13. 已知双曲线，当双曲线的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线（p >0）的焦点，若，是抛物线上的两点，且，则中点的横坐标为______．14. 设函数，则 __________，若，则实数的取值范围是__________．15. 已知圆上存在两点关于直线对称，经过点作圆的切线，切点为，则_____________.16.已知数列的前项和为，且满足，．(1)求；(2)求数列的前项和．17. 2017年3月18日，国务院办公厅发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的100人的得分（满分按100分计）数据，统计结果如下表．组别女24415219男141010128（1）环保部门规定：问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”．请列出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．附表及公式：，．18. 设为奇函数.（1）求实数的值；（2）设，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.19. 已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．20. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，为的中点，.（1）求证：；（2）若与平面所成的角为，，求四棱锥的的体积.21. 如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，且为棱的中点.(1)证明：；(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.。

2024届南充一诊理科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．题号123456789101112选项CDCABABDBDCD二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．1 14．3 -15．87 π16．21 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17―21题必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答.(一)必考题17．解：(1) 数列{}n a 是等比数列且4a 是26a 和3a 的等差中项21131 3246262q a q a q a a a a +=+=∴即0622=--q q 整理得：解得：2=q 或23-=q .2211n n n q a a q =⋅==-时，当.)23(2231-11n n n q a a q -⋅=⋅=-=-时，当*).( 23(221-N n a a n n n n ∈-⋅==∴或（2）:由(1)得，若0>q ，nn a 2=111)1(12log 2log 1log log 1122122+-=+=⋅=⋅=++n n n n a a b n n n n n .20242023202411 2024120231()2023120221()3121()211( 20232022212023=-=-+-++-+-=++++= b b b b T 18解：(1).由题意得60140100100)40802060(200))()()(()(222⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K 879.7524.921200>≈=分4 分6 分8 分12 分4故有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关.(2).现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，则6人中有慢性疾病4人，无有慢性疾病2人.再从6人中随机抽出4人，则抽出的4人中可能有以下3种组合：①有慢性疾病4人；此时8=ξ万元②有慢性疾病3人，无有慢性疾病1人；此时7=ξ万元③有慢性疾病2人，无有慢性疾病2人；此时6=ξ万元所以ξ的可能取值为6 7 8，，故151)8(4644===C C P ξ；158)7(461234===C C C P ξ；156)6(462224===C C C P ξ故ξ的分布列为：ξ876P15115852则ξ的数学期望32052615871518)(=⨯+⨯+⨯=ξE (万元)19(1).方法一：证明：取BD 的中点F ,连结AF22 232 422=-==∴==⊥∴=DF AD AF DF AD BD BDAF AB AD DEAF DE AF DE BD DE BCD DE =∴=⊥∴⊥，平面//22 FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ 分5 分6 分8 分11 分12 分6 分2 分4方法二：证明：取BD 的中点F ,连结AF22 4 3222=-=∴⊥∴===DF AD AF BD AF BD AB AD ， BCD AF BDBCD ABDE ABDE AF BCDABDE ABDE DE BCD DE 平面平面平面，平面平面平面平面，平面⊥∴=⊂⊥∴⊂⊥ DEAF DE AF =∴，//FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ (2)取BC 的中点M ，连结FM AM ,.90=∠BCD 2==∴FB CF ，BCD DE DE AF 平面，⊥// BCD AF 平面⊥∴CFAF ⊥∴222==AF CF ，又3222=+=∴CF AF AC AB AC =∴的平面角为二面角的中点为D BC A AMF AMBC MF BC BC M --∠∴⊥⊥∴, 22tan ==∠∆∴MFAFAMF AFM Rt 中，3221==∴=∴BC CD FM ，分2 分5 分6 分4 分8方法一：以轴，为轴，为为坐标原点，y CB x CD C 建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，()() 0,0,2 0,0,0，，D C ∴ )22,3,1( )22,0,2(，，A E ).0,32,0(B )0,32,0( )22,3,1( )22,0,2(===∴CB CA CE ，，设平面ABC 的法向量),,( z y x n =, 0 0⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅CB n CA n 由 0320223⎩⎨⎧==++y z y x 得1-=z 取得：)1,0,22( -=n 设直线CE 与平面ABC 所成角为θ,9633222222 , cos sin =⨯-⨯=⋅⋅=><=CEn CE n CE n θ则∴直线CE 与平面ABC 所成角的正弦值为96.方法二：过C 作BD 的垂线交BD 于HBDCH ⊥∴BCD CH BCD DE 平面，平面⊂⊥ CH DE ⊥∴D DE BD = 又ABDECH 平面⊥∴在BCD ∆中，3 , 2121=⨯=⨯=∆CH CH BD CD BC S BCD 得由又2221=⨯==∆∆DE AE S S DAE BAE 3623223131=⨯⨯=⨯=∴∆-CH S V BAE BAE C 32===CA BC AB 又ABC ∆∴为等边三角形，33=∆ABC S 设点E 到平面ABC 的距离为h ，由BAE C ABC E V V --=得：322=h .故点E 到平面ABC 的距离为322.222==∆CD DE CDE Rt ，中，又分12 分10 分10 分11分12 分2 分6 分1 分4 32=∴CE 所以直线CE 与平面ABC 所成角的正弦值为96=CE h 注：以下方法酌情给分的距离相等到平面、知，平面由ABC F E ABC EF //，如右图，取，中点M BC .,FN ABC E ABC FN N AM FN F 的距离等于到平面，即平面则可证于作过⊥⊥20题：(1).由2sin )( 2)(≥≥x x mf x h 得：恒成立时xexm x sin 2 ),0(≥∈∴π)0( sin 2)(πϕ<<=x exx x令xe x x x )sin (cos 2)(-='∴ϕππϕπϕ<<<'<<>'x x x x 4:0)(40:0)(得；由得由上单调递减，上单调递增；在，在)4()4 0()(πππϕx 4 max )4()(ππϕϕ-==∴e x 所以),[ 4+∞-πem 的取值范围为(2).由已知)(x f 与)(x g 的图像关于直线x y =对称x x g ln )(=∴设公切线与),()(s x e s e x f 相切于点=，)ln ,(ln )(t t x x g 相切于点与=：知公切线可分别表示为，由xx g e x f x 1)()(='=')1()(s e x e y s x e e y ssss-+=-=-，即或1ln 1)(1ln -+=-=-t x ty t x t t y ，即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴②①1ln )1( 1t s e te s s 1)1(s s e t s --=-得：由①②消去01)1( =---s s e s 即则令 ,1)1()(---=x e x x F x1)(，-='x xe x F 显然0)(0<'≤x F x 时，时，当0>x ，令1)()(-='=x xe x F x μ上单调递增，在故)0()(,0)1()(∞+>+='∴x e x x x μμ分5 (*)8 分分11 分10 分5 分12 分1 分6 又01)1(01)0(>-='<-='e F F ，01)( )1 0(0000=-='∈∃∴x e x x F x 使得，单调递减，时，当)(0)(0x F x F x x <'<∴；单调递增，时，当)(0)(0x F x F x x >'>02)1(013)2(2<-=->+-=-eF e F ，又；03)2(02)1(2>-=<-=e F F ，所以)(x F 有且仅有两个零点 ,21x x ，且).2,1( ),1,2(21∈--∈x x 知：由01)1()(1111=---=x e x x F x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x ex x F 111)1,2(x x x -≠--∈知由02121=+=-∴x x x x 即)(x f ∴与)(x g 有且仅有两条公切线，且)(x f 图像上两切点横坐标互为相反数.处理的解法，评分标准酌情题过程可参照文科再构造函数证明，具体或得：或由①②消去或得：处由①②消去注：)2(20 011ln 01ln )1( 11011 (*) =-+-=----+==-+-t t t t t t s s s e s s e t s s 21解：(1).显然四边形ABCD 为菱形,故其内切圆以O 为圆心，半径为r 的距离到直线AD O )1,0()05(D A ，又由-055=+-y x AD 的方程为：得直线r d AD ==+=65515的距离故原点到直线6522=+y x ABCD 内切圆的标准方程为：故四边形(2).方法一：由题意可知，， )0 2(1-F 故MN 方程为：)2(+=x k y ),(),(2211y x N y x M ，设则直线MP 的方程为：)1(111--=x x y y )(05105510])1(5[ )1(1 151212121221211122*=-+-+--+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+ x x y x y x x y x x yy y x 得：联立分4 分3分7 分8 分6 又上，故在椭圆E y x M ),(11152121=+y x ，即212155x y -=代入)(*式整理得：0355)3(2112121=-+--x x x y x x 0031>∆≠-，显然x33512111x x x x x P --=⋅∴3)2(232)1(1 35311111111-+=-=--=--=∴x x k x y x x y y x x x P P P ，3)2(2,3531111⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x P 故同理： 3)2(2,3532222；⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x Q 2544)55(2 )3)(53()3)(53()]3)(2()3)(2[(23533533)2(23)2(212121221122122112211kx x x x k x x x x x x x x k x x x x x x k x x k k =--=------+--+=------+--+='∴故25k k ='，即k k '=52所以：存在常数52=λ满足题意.方法二：由题意可知，， )0 2(1-F 故MN 方程为：)2(+=x k y ),( ),( ),( ),(44332211y x Q y x P y x N y x M ，，，设),1( ),1(3311y x t y x RPt MR -=--∴=设)( 01 )1(131313131*⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=--=- ty y t tx x ty y x t x 得：23131313122322123*********1211))((5))((151515t ty y ty y tx x tx x t y t y x t x t y x y x -=-++-+∴-=-+-⨯-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+得：②由①②① 分9 分12 分11分9 分10 分11 分12 分5 分7 分8 分9 分10 ttx x t tx x t 55 105))(1()(31231-=--=+-+*即：带入上式得：将tx t x t tx x 23 2313131-=-=∴+=+，又 )52()2(11113t k x k t y t y -=+-=-=∴)52( 23 44μμμ-=-==k y x RQ NR ，，同理可得：设kt t k t k t k x x y y k 25)11(211(5)23()23()52(52(4343=--=------=--='∴μμμμ故25k k ='，即k k '=52所以：存在常数52=λ满足题意.22.解：(1).显然1C 是过原点且倾斜角为α的直线∴1C 的极坐标方程为αθ=)20(R ∈<<ρπα2C 的极坐标方程为2παθ+=)20(R ∈<<ρπα.(2).由⎩⎨⎧== sin 8αθθρ得A 的极坐标为()αα，sin 8由⎪⎩⎪⎨⎧+==2sin 8παθθρ得B 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++2 cos 82 )2sin(8πααπαπα，，即，.ααcos 8 sin 8==∴OB OA ，AOB ∆∴的面积为：ααα2sin 16cos sin 3221==⋅=OB OA S 又20(πα，∈AOB ∆=∴ 4时，πα面积的最大值为16.分3 分1分2 分3 分5 分6 分8 分9 分10 分8 分9 分10 23.解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-+--<=+--=4 642 222 624)(x x x x x x x f 6)(4min -=≥∴x f x 时，当05)(2≥+-a a x f 恒成立0562≥+--∴a a 即0652≤+-a a 32≤≤∴a 故a 的取值范围为[]32，.(2)由(1)知：6 .6=++=c b a M 即法1：3618)(3)3()2()3()1()2()1(6 )3)(2(2)3)(1(2)2)(1(23213212=+++=+++++++++++++++≤++++++++++++++=+++++∴c b a c b c a b a c b a c b c a b a c b a c b a （当且仅当⎩⎨⎧=+++=+=+ 6321c b a c b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.法2：（柯西不等式）[]363)6()111()3()2()1()131211(00 02222222=⨯+++=++⋅+++++≤⋅++⋅++⋅+∴>>>c b a c b a c b a c b a 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=+6131211c b a c b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.。

广西南宁2022高三第一次适应性测试-数学（理）数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清晰，并贴好条形码。

请认真核对条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷，共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1．设复数3,2i Z Z Z i +=-+为的共轭复数，则Z 为 （ ） A ．1+i B ．2+i C ．2-iD ．-1+i 2．函数2log (1)(1)a y x x =++>-的反函数为（ ） A ．2(2)x y a x -=-> B ．21()x y ax R -=-∈ C ．21(2)x y a x +=-> D ．21()x y a x R +=-∈ 3．设x ，y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（ ）A ．2x y +=B ．2x y +>C ．222x y +>D ．1xy > 4．等比数列{}n a 中，2380a a +=，则62S s =（ ） A ．-10 B ．10 C ．20 D ．21 5．设函数()2cos(2)4f x x π=-，将()y f x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位，使得到的图像关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．8π B ．38π C ．4π D ．34π 6．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上一点，且A 1G (01)λλ=≤≤，则点G 到平面D 1EF 的距离为（ ）A B ．2C ．3λD 7．从6个运动员中选出4人参加4×100米的接力赛，假如甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方法的种数为 （ ）A ．360B ．240C ．180D ．1208．函数()x f x eax -=+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范畴是（ ） A ．(],2-∞ B ．(),2-∞ C ．(2,)+∞ D ．[)2,+∞9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称，若函数()1)f x x =<≤，则( 5.5)f -（ ）A ．2B ．1.5C ．2-D ． 1.5- 10．已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，若||||3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．34 B ．1 C ．74 D ．5411．正三棱锥A —BCD 内接于球O ，侧棱长为2，则球O 的表面积为（ ）A ．643πB ．323πC ．163πD ．83π 12．已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最大值是（ ）A B ．2 C ．1 D ．2第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年四川省成都市高三适应性考试（理科）数学模拟试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【正确答案】A【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.若集合{}2560A x x x =--≤，{}7B x x =>，则()R A B ⋂=ð（）A.(]1,7- B.(]1,6- C.()7,+∞ D.()6,+∞【正确答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由2560x x --≤，即()()610x x -+≤，解得16x -≤≤，所以{}{}256016A x x x x x =--≤=-≤≤，()()R ,16,A ∴=-∞-+∞ ð，又{}7B x x =>，()()R 7,A B +∞∴= ð．故选：C ．3.构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A.高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B.除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C.高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D.各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大【正确答案】C【分析】利用极差的概念，平均数的概念以及根据统计图表的相关知识判断选项即可.【详解】对于A，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为9.58.51-=，A错误；对于B，两班的德育分相等，B错误；对于C，高三（1）班的平均数为9.59.259.599.59.355++++=，（2）班的平均数为9.58.599.599.15++++=，故C正确；对于D，两班的体育分相差9.590.5-=，而两班的劳育得分相差9.258.50.75-=，D错误，故选：C．4.某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为（）A.B. C.5 D.4【正确答案】A【分析】根据三视图还原四面体，该四面体的四个面都是直角三角形，确定最长的棱，利用勾股定理可以计算其长度.【详解】：四面体如图所示，其中SB ⊥平面ABC ，且ABC 中，90ACB ∠=︒.由SB ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC 得到SB AB ⊥，同理SB BC ⊥，所以棱长最大为SA ，则SA ===故选：A5.设π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（）A.-2B.2C.-4D.4【正确答案】C【分析】先用两角差的正切公式可求出tan α的值，再用两角和的正切公式即可求解【详解】因为πtan 11tan 41tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以5tan 3α=，故πtan 1tan 441tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，故选：C ．6.函数22sin 3()cos x xf x x x+=+在[,]-ππ的图像大致为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】先利用定义判断出函数是奇函数，可排除A ，再求出()f π判断正负，可排除BD.【详解】()()()()()222sin 32sin 3()cos cos x x x xf x f x x xx x -+-+-==-=-+-+- ，()f x \是奇函数，故A 错误；222sin 33()0cos 1f πππππππ+==>+- ，故BD 错误.故选：C.思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7.从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a ，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b = 与向量(2,1)n =-垂直的概率为（）A.19B.29C.13D.23【正确答案】B【分析】求出组成向量(,)m a b = 的个数和与向量(2,1)n =-垂直的向量个数，计算所求的概率值．【详解】解：从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a ，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b ，可以组成向量(,)m a b =的个数是339⨯=（个)；其中与向量(2,1)n =- 垂直的向量是(1,2)m = 和(2,4)m = ，共2个；故所求的概率为29P =．故选：B ．8.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为31.2mg /cm ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg 20.3≈，lg 30.477)≈（）A.8B.9C.10D.11【正确答案】A【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为 1.2(10.2)n y =-，在根据题意列出不等式解出即可．【详解】过滤第一次污染物的含量减少20%，则为1.2(10.2)-；过滤第两次污染物的含量减少20%，则为21.2(10.2)-；过滤第三次污染物的含量减少20%，则为31.2(10.2)-；过滤第n 次污染物的含量减少20%，则为1.2(10.2)-n ；要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，则1.2(10.2)0.2-≤n ，即5(64≥n，两边取以10为底的对数可得5lg(lg 64≥n，即52lg()lg 2lg 38⨯≥+n ，所以lg 2lg 313lg 2n +≥-，因为lg 20.3,lg 30.477≈≈，所以lg 2lg30.30.4777.7713lg 2130.3++≈=--⨯，所以7.77n ≥，又*n ∈N ，所以min 8n =，故排放前需要过滤的次数至少为8次．故选：A ．9.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为（）A.y 2＝9xB.y 2＝6xC.y 2＝3x D.y 2【正确答案】C【分析】过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解．【详解】如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由抛物线定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1，|FC |＝3a ＝3，所以p ＝|FG |＝12|FC |＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x ，故选：C.10.已知5log 2a =，0.7log 0.1b =，0.40.7c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b<<【正确答案】A【分析】由55log 1log 2log <<，0.70.7log 0.1log 0.71>=，10.400.70.70.7<<即可判断出大小．【详解】55log 1log 2log <<，即102a <<，0.70.7log 0.1log 0.7>，即1b >，10.400.70.70.7<<，即0.71c <<，所以a c b <<，故选：A ．11.当π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()πcos 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是31,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（）A.π7π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.2π7π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.π5π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2π5π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】解法一：画出函数的图象，由x 的范围求出π33x +的范围，根据()f x 的值域可得答案；解法二：由x 的范围求出π33x +的范围，根据cos y x =的图象性质和()f x 的值域可得答案．【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可知5πππ33633x m ≤+≤+，因为π5πcos 662f ⎛⎫==-⎪⎝⎭且2π19f cos π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，要使()f x 的值域是1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，只要2π5π918m ≤≤，即2π5π,918m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；解法二：由题π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可知5πππ33633x m ≤+≤+，由cos y x =的图象性质知，要使()f x 的值域是1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则π7ππ336m ≤+≤，解之得2π5π,918m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：D .12.如图，圆台12O O 的上、下底面圆半径分别为1、2，高12O O =S 、A 分别为其上、下底面圆周上一点，则下列说法中错误的是（）A.该圆台的体积为1423B.直线SA 与直线12O O 所成角最大值为π3C.该圆台有内切球，且半径为D.直线1AO 与平面12SO O 所成角正切值的最大值为2【正确答案】B【分析】对于A ，根据圆台的体积公式，可得答案；对于B ，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案；对于C ，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案；对于D ，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案.【详解】对于A 选项，()π124π33V =++⋅=，则A 选项正确．对于B 选项，如图（1），过S 作SD 垂直于下底面于点D ，则12//O O SD ，所以直线SA 与直线12O O 所成角即为直线SA 与直线SD 所成角，即ASD ∠为所求，而tanAD ASD SD ∠==，由圆的性质得，13AD ≤≤，所以232tan ,44AD ASD SD ∠==⎣⎦，因为πtan 43<=，则B 选项错误．对于C 选，设上底面半径为1R ，下底面半径为2R ，若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为22221(22)3+=，假设等腰梯形有内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为123R R +=，所以圆台存在内切球，2，则C选项正确；对于D 选项，如图（3），平面12SO O 即平面12SO O C ，过点A 做AH BC ⊥交BC 于点H ，因为SD 垂直于下底面，而AH 含于下底面，所以SD AH ⊥，又SD BC D = ，且,BC SD ⊂平面12SO O C ，所以AH ⊥平面12SO O C ，所以直线1AO 与平面12SO O C 所成角即为1AO H ∠，且11tan AH AO H O H∠=．设AH x =，则222224O H R AH x =-=-，所以222211228412O H O O O H x x =+=+-=-，其中[]0,2AH x =∈，所以121tan 12AH xAO H O H x∠==-当0x =时，1tan 0AO H ∠=，当(]0,2x ∈时，21221tan 12121x AO H x x ∠==--可知函数y =(]0,2上单调递增，所以当2x =时，1tan AO H ∠有最大值，最大值为2，所以D选项正确．故选：B .本题考查立体几何的内切球问题，线面角的最值求解，异面直线所成角的求解，圆台的体积的求解.对于D 选项这样的动点问题求最值，如果不能从图形中找到最值对应的点的位置，那么可以通过求函数最值的方法求解.第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某高中在校学生有2000人．为了响应“光体育运动”号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级跑步a b c 登山xyz其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________．【正确答案】36人【详解】根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×3235＋＋＝36.14.二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的系数为______．【正确答案】7【分析】利用二项式定理直接求解.【详解】因为4(1)x -的二项展开式的通项公式为()14C rr r T x +=-，所以二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的项为()()424224441C C 7x x x x ⨯-+⨯-=，故二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的系数为7.故7.15.已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且3b =，2a c -=，23A π=.则ABC 的面积为______.【正确答案】4【分析】由余弦定理结合已知条件可求出5c =，即可由面积公式求出面积.【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 3b =，2a c -=，23A π=，()222123232c c c ⎛⎫∴+=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得5c =，则ABC 的面积为11sin 352224S bc A ==⨯⨯⨯=.故答案为.153416.已知点()4,0F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若2AF FB =，则双曲线C 的方程为______．【正确答案】221124x y -=【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令点A 在直线0bx ay -=上，2216a b +=，如图，因为AF OA ⊥，则4||4bAF b ===，而2AF FB =，即有||2||2,||3FB AF b AB b ===，||OA a ===，sin 4bAOF ∠=，由2AF FB =知，点,A B 在y 轴同侧，于是π2(0,2AOB AOF ∠=∠∈，22cos 12sin 108b AOB AOF ∠=-∠=->，28b <，在Rt AOB △中，||OB ===由cos OA OB AOB =∠得：2(18ba =-，整理得：22228(16)(2)(8)b b b -=+-，化简得4214400b b -+=，解得24b =或210b =（舍去），所以24b =，212a =，所以双曲线方程为221124x y -=．故答案为.221124x y -=三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列{}n a 的公差为正数，且11a =，若26114,2,a a a a -分别是等比数列{}n b 的前三项．（1）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求数列11{}n n a a +的前n 项之和n S ．【正确答案】（1）21,3nn n a n b =-=（2）21n n S n =+【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，然后由已知可得()()()2111513d a a d a d -=++，解方程组可求出d 的值，从而可求得数列{}n a 的通项公式，进而根据题意可求出{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得11111()22121n n a a n n +=--+，再利用裂项相消法求出n S .【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，因为2a ，612a a -，14a 是等比数列{}n b 的前三项，所以()2612142a a a a -=，即()()()2111513d a a d a d -=++，化简得12d a =，又11a =，所以2d =．得()12121n a n n =+-=-．由（1），可得数列{}n b 的前三项分别为13b =，29b =，327b =，显然该等比数列{}n b 的公比为3，首项为3．所以3nn b =．综上，两数列的通项公式分别为21,3nn n a n b =-=．【小问2详解】111111((21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+．则11111111(1...)(1)2335212122121n n S n n n n =-+-++-=-=-+++18.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷．现从使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图，如图所示．（1）试估计使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：①能否认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．【正确答案】（1）40（分钟）（2）①可以认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%；②选B 款订餐软件，理由见解析【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算即可求得平均数；（2）①计算出使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分的频率，比较即可得解；②计算出使用B 款订餐软件商家的“平均送达时间”的平均数，与使用A 款订餐软件商家的“平均送达时间”的平均数进行比较即可得解.【小问1详解】依题意可得：使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为：15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40（分钟）．【小问2详解】①使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%＞75%．故可以认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%．②使用B 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40．所以选B 款订餐软件．19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，120ABC ∠=︒，1PB =，PB AB ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小．【正确答案】（1）证明见解析（2）60︒【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证AC PB ⊥，再根据题意，结合面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）根据题意可建立以点B 为原点，以直线BA BP BE 、、为x y z 、、轴的空间直角坐标系，再利用空间向量法，即可求出二面角的大小．【小问1详解】证明：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，且PB AB ⊥，PB ⊂面PAB ，∴PB ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂面ABCD ，∴AC PB ⊥，由菱形性质知AC BD ⊥，∵PB BD B ⋂=，∴AC ⊥平面PBD ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PBD ⊥平面PAC ．【小问2详解】解：如图，设CD 的中点为E ，∵112CE CD ==，60BCE ∠=︒，2BC =，BE CE ∴⊥∴BE AB ⊥，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，且BE AB ⊥，BE ⊂平面ABCD ∴BE ⊥面PAB ，又PB AB ⊥，所以,,BE PB AB 两两互相垂直，所以以点B 为原点，以直线BA BP BE 、、为x y z 、、轴，如图所示建立空间直角坐标系，可得()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,1,0P，(C -，(D ，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，而(AD =- ，()2,1,0AP =-，由00m AD m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020x x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取x =得)=m ，设平面PBC 的一个法向量为(),,n a b c = ，且()0,1,0BP =，(BC =- ，由0n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00b a =⎧⎪⎨-=⎪⎩，取a =)n = ，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，则1cos cos ,2m n m n m nθ⋅===⋅，所以60θ=︒，故平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为60︒．20.如图．已知圆22:(2)81M x y -+=，圆22:(2)1N x y ++=．动圆S 与这两个圆均内切．（1）求圆心S 的轨迹C 的方程；（2）若()2,3P 、()2,3Q -是曲线C 上的两点，A B 、是曲线C 上位于直线PQ 两侧的动点．若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值．【正确答案】（1）2211612x y +=（2）123【分析】（1）设动圆S 与两个已知圆的切点分别为12,T T ，根据椭圆的定义可得点S 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，求出,a b 可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为12yx t =+，代入椭圆方程，由0∆>得t 的范围，利用韦达定理得四边形APBQ 的面积()2121234S x x x x =+-【小问1详解】如图，设动圆S 与两个已知圆的切点分别为12,T T ，由12ST ST =，91,8224SM SN SM SN ∴-=+∴+=>+=，所以点S 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，所以22228,4,24,2,16412a a c c b a c =====-=-=，所以点S 的轨迹方程为：2211612x y +=；【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为12y x t =+，代入2211612x y+=中，整理得22120x tx t ++-=，()224120t t ∆=-->，解得44t -<<，12x x t +=-，21212x x t =-，四边形APBQ 的面积121632S x x =⨯⨯-==当0=t 时，max S =APBQ面积的最大值为关键点点睛：第二问关键点是利用韦达定理表示四边形APBQ 的面积再求最值，能较好的考查学生思维能力、分析问题及解决问题的能力.21.若函数()()211ln 022f x a x x a x =-++>有两个零点12,x x ，且12x x <.（1）求a 的取值范围；（2）若()f x 在()1,0x 和()2,0x 处的切线交于点()33,x y ，求证.()312221x x x a <+<+【正确答案】（1）()0,∞+（2）证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求函数单调性，根据单调性及函数图象的变化趋势结合零点个数求解；（2）构造函数()()ln 1g x x x =--，利用单调性证明ln 1≤-x x 证明右边，再利用导数求切线方程得出()22121212ln ln x x a x x -=-，左边可转化为()11ln 12t t t t ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，利用导数证明即可.【小问1详解】()2a x af x x x x-+'=-=当0a ≤，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减，不可能两个零点；当0a >时，令()0f x '=得x =(0,x ∈，()0f x ¢>，()fx 单调递增，)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，∵0x →，()f x →-∞；()10f f a ≥=>；x →+∞，()f x →-∞∴(x ∈有唯一零点且)x ∈+∞有唯一零点，满足题意，综上：()0,a ∈+∞；【小问2详解】先证右边：令()()ln 1g x x x =--则()1xg x x-'=，∴()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()g x 的最大值为()10f =，∴()0g x ≤，即ln 1≤-x x ，∴()()()()22111121ln 212122102222f a a a a a a a a a a +=+-+++≤⋅-+++=-<且21a +>∴221x a <+，又∵()10f >，∴11<x ，∴()1221121x x a a +<++=+；再证左边：曲线()y f x =在()1,0x 和()2,0x 处的切线分别是()1111:a l y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2222:a l y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭联立两条切线得123121x x x ax x +=+，∴123121x x ax x x +=+，由题意得()222111221222111ln 022211ln ln ln 022a x x a x x a x x a x x a ⎧-++=-⎪⎪⇒=⎨-⎪-++=⎪⎩，要证3122x x x <+，即证1232x x x +>，即证121a x x >，即证122112121ln x x x x xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭>，令121x t x =<，即证()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭，令()11ln 2h t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()22102t h t t -'=-<，∴()h t 在()0,1单调递减，∴()()10h t h >=，∴()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭得证.综上.()312221x x x a <+<+关键点点睛：导数题目中的证明题，主要观察所证不等式，直接构造函数，或者将不等式转化变形后，利用导数判断函数的单调性及最值，利用函数的单调性或有界性求证，对观察、运算能力要求较高，属于难题.（二）选考题[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知直线l的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），曲线C 是以点(0,2)C 为圆心，且过坐标原点的圆．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若M ，直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求||||||||MB MA MA MB +的值．【正确答案】（1）:4sin C ρθ=，()π:R 3l θρ=∈（2）3312-【分析】（1）根据直角坐标方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==即可化成极坐标方程，由参数方程消参即可得普通方程，再由普通方程化为极坐标.（2）联立直线与曲线的方程，由韦达定理，结合直线的参数方程中参数的几何意义即可求解，或者由两点坐标公式求解.【小问1详解】由曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=，由cos ,sin x y ρθρθ==得其极坐标方程为4sin ρθ=．又由直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得直线y =，所以直线l 的极坐标方程为()πR 3θρ=∈．【小问2详解】解法一：将直线l的参数方程代入曲线可得，22133140222t t ⎫⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭，整理可得，()2440t +--=．设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,t t 是方程的两个根．由韦达定理可得，121244t t t t ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩．所以，1221||||||||t t MB MA MA MB t t +=+()22212121212122t t t t t t t t t t +-+==242412----=解法二：联立直线l 与曲线C 的方程2240y x y y⎧=⎪⎨+-=⎪⎩可得，20x -=，解得10x =，2x =．代入y =可得，10y =，23y =．不妨设()0,0A ，)B，则2MA ==，)21MB ==．所以，)21||||331||||22MB MA MA MB -+==．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()12f x x x a =--+.（1）当12a =时，求不等式()0f x 的解集；（2）当1a - 时，若函数()12g x xb =+的图象恒在()f x 图象的上方，证明.232b a ->【正确答案】（1）{2xx -∣ 或0}x（2）证明见解析【分析】（1）分类讨论x 的范围得到()f x 的解析式，然后列不等式求解即可；（2）根据()f x 的单调性得到max ()1f x a =+，然后根据函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方得到()112g a a b a -=-+>+，即可证明232b a ->.【小问1详解】当12a =时，()12,211123,1222,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩，所以当12x <-时，20x +≤，解得2x ≤-；当112x -≤≤时，30x -≤，解得01x ≤≤；当1x >时，20x --≤，解得1x >.综上，不等式()0f x ≤的解集为{2xx ≤-∣或0}x ≥.【小问2详解】证明：当1a ≥-时，()21,12321,121,1x a x a f x x x a x a a x x a x ++<-⎧⎪=--+=--+-≤≤⎨⎪--->⎩，所以当x a =-时，()f x 取得最大值，且max ()1f x a =+.要使函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方，由数形结合可知，必须满足()112g a a b a -=-+>+，即232b a ->，原不等式得证.。

2022年高三适应性考试理科数学（贵州省贵阳市）解答题医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标和．现有三种不同配方的药剂，根据分析，三种药剂能控制指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，能否控制指标与能否控制指标之间相互没有影响．（Ⅰ）求三种药剂中恰有一种能控制指标的概率；（Ⅱ）某种药剂能使两项指标和都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数的分布列．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）三种药剂中恰有一种能控制指标有三种情形，由相互独立事件和互斥事件的概率求解；（Ⅱ）计算可得三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成是独立重复试验，即，由二项分布的概率计算公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）三种药剂中恰有一种能控制指标的概率为；（Ⅱ）∵有治疗效果的概率为，有治疗效果的概率为，有治疗效果的概率为，∴三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成是独立重复试验，即，∵的可能取得为，∴，即，，，故的分布列为1230.3430.4410.1890.027填空题定积分的值为__________．【答案】【解析】，故答案为.解答题已知椭圆的焦点在轴上，且椭圆的焦距为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，为椭圆的右焦点，求证：三点在同一条直线上．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由焦距为2可得，解方程得的值，即可得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线的方程为，点，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，直线方程为，结合点在上，用，代替，，化简整理直线方程为，令，整理得，得证.试题解析：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在轴上，∴，即，∵椭圆的焦距为2，且，∴，解得，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）由题知直线的斜率存在，设的方程为，点，则得，即，，，，由题可得直线方程为，又∵，，∴直线方程为，令，整理得，即直线过点，又∵椭圆的右焦点坐标为，∴三点在同一条直线上．选择题已知椭圆与两条平行直线与分别相交于四点，且四边形的面积为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】联立直线与椭圆方程可得：，则弦长，两平行线之间的距离：，四边形的面积：，结合：可得：.本题选择A选项.选择题为两个非空集合，定义集合，若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，由的定义可知：，故选C.选择题某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A. 0B. -1C. -2D. -8【答案】B【解析】根据流程图可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第4次循环：；此时程序跳出循环，输出.本题选择B选项.填空题从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，则向量与向量垂直的概率为__________．【答案】【解析】集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，共有种不同取法，向量与向量垂直即，故可取，，3种情形，则向量与向量垂直的概率为，故答案为.选择题已知实数满足，则的最大值为（）A. 3B. 5C. 10D. 12【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最小，此时最大，由，即，此时，故选C.选择题已知函数，则是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数【答案】D【解析】要使函数有意义，需满足，即函数的定义域为，∵函数的定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故选D.选择题空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱（其中圆柱的底面半径为2，高为4）中挖去一个四棱锥（其中四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为2），故该几何体的体积为，故选D.解答题已知函数，．（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；（Ⅱ）若且函数有且仅有一个零点，求实数的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数在处的导数值，计算出，利用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）令，解出，令，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，根据，，，可得结果；（Ⅲ）将题意转化为，利用导数判断函数的单调性,可得其最大值.试题解析：（Ⅰ）当时，定义域，∴，又在处的切线方程（Ⅱ）令，则即令，则令，则，∵，∴，∴在上是减函数，又∵，所以当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，又因为，，∴当函数有且仅有一个零点时，（Ⅲ）当，，若，，只需证明，令得或，又∵，∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，即是的极大值点，又，∵，∴，∴填空题已知等腰直角的斜边，沿斜边的高线将折起，使二面角为，则四面体的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】如图所示，等腰直角图形翻折后得面，故是二面角的平面角，即，故是边长为1的等边三角形，其外接圆半径满足，即，又因为，故四面体的外接球半径满足，则其表面积为，故答案为.填空题在中，的对边分别是，若，，则的周长为__________．【答案】7【解析】∵，∴，化简整理得：，即，则的周长为，故答案为7.解答题设是数列的前项和，，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求证：．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用化简可得，结合等差数列通项公式可得的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得的通项公式，利用裂项相消法可求得，故而可得证.试题解析：（Ⅰ）解∵，①当时得，即，当时有②由①-②得，即，又∵，∴，∴．（Ⅱ）证明：∵，∴．选择题若的展示式中的系数为30，则实数（）A. -6B. 6C. -5D. 5【答案】A【解析】的展示式的通项为，令，得，依题意知，得，故选A.选择题已知向量，若，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴，而，则向量与的夹角为，故选B.选择题富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（）A. 曹雪芹、莎士比亚、雨果B. 雨果、莎士比亚、曹雪芹C. 莎士比亚、雨果、曹雪芹D. 曹雪芹、雨果、莎士比亚【答案】A【解析】假设“张博源研究的是莎士比亚”正确，那么“高家铭自然不会研究莎士比亚”也是正确的，这不符合“刘老师只猜对了一个”这一条件，所以假设错误；假设“高家铭自然不会研究莎士比亚”正确，故①不正确即张博源研究的不是莎士比亚，②不正确即刘雨恒研究的肯定是曹雪芹．这样的话莎士比亚没人研究了，所以此假设错误；前两次假设都是错误的，那么“刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹”就是老师猜对了的那个，那么其他两句话是猜错的，即高家铭自然研究莎士比亚，那么张博源只能研究曹雪芹，刘雨恒研究雨果；故顺序为曹雪芹、莎士比亚、雨果，故选A.此题利用排除法，对于A对于B，一个不满足，故排除B；对于C，满足①③，故排除C；解答题选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若正实数满足，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1)求解绝对值不等式可得；(2)由题意结合柯西不等式即可证得结论，注意等号成立的条件.试题解析：解：（Ⅰ）因为，所以等价于，由，得解集为又由的解集为，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵是正实数，∴．当且仅当时等号成立，所以．解答题如图，已知棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由勾股定理先证得，再由线面垂直底面得到线线垂直，由线面垂直判定定理可得证；（Ⅱ）)过点作于，连接，结合（Ⅰ）可得为二面角的平面角，在求余弦值即可.试题解析：（Ⅰ）证明：∵在底面中，，，，即，∴，∵侧棱底面，平面，∴，又∵，平面，∴平面；(Ⅱ)过点作于，连接，由（Ⅰ）可知，平面，为二面角的平面角，由于，，求得，故，求得，即二面角的平面角的余弦值为．选择题在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上的一点，则的值为（）A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】∵是角终边上的一点，∴，∴，故选D.。

一、单选题二、多选题1. 在中，，则的最小值（ ）A ．-4B．C ．2D．2. 已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．3.已知函数，关于有下面说法：①函数的最小正周期为.②函数在单调递减.③函数的图像关于点对称.④函数的最小值是.则正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 已知点P 在棱长为2的正方体的表面上运动，且，则点P 所形成的轨迹为多边形，以下结论中正确命题的个数为（ ）（1）多边形是共面的正六边形；（2）垂直多边形所在的平面；（3）平行多边形所在的平面；（4）多边形的周长为．A ．1B ．2C ．3D ．45. 有3本不同的科技类书，2本不同的文艺类书，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一类别的书都不相邻的概率是（ ）A．B．C．D．6. 是双曲线右支上一点, 直线是双曲线的一条渐近线.在上的射影为,是双曲线的左焦点,则的最小值为A ．1B．C．D．7. 已知圆台形水泥花盆的盆口与盆底的直径分别为、（边缘忽略不计），母线长为，则该花盆的高为（ ）A．B．C．D．8. 函数在上的图像大致为（ ）A．B．C．D．9. 下列结论正确的是（ ）A ．若复数满足，则为纯虚数贵州省2024届高三适应性联考（一）数学试题贵州省2024届高三适应性联考（一）数学试题三、填空题四、解答题B ．若复数满足，则C ．若复数满足，则D．若复数，满足，则10. 若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ）A．B．C．D．11.已知正方体，动点P 在线段BD 上，则下述正确的是（ ）A．B．C ．平面D．平面12. 如图，棱长为4的正方体的内切球为球，、分别是棱和棱的中点，在棱上移动，则下列结论成立的有（）A ．存在点，使B．对于任意点，平面C ．直线被球截得的弦长为D．过直线的平面截球所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为13.已知曲线在处切线的斜率为1，则______．14. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且．若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为________．15. 为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人．16. 已知函数．(1)若对时，，求正实数a 的最大值；(2)证明：；(3)若函数的最小值为m ，证明：方程有唯一的实数根，（其中是自然对数的底数）17. 在中，角所对的边分别为已知.（1）求A 的大小；（2）如果，求的面积.18. 冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．19.（1）求角A的大小；（2）若，D是BC的中点，求AD的长.20. 某机构为调查研究A湖泊水域覆盖面积x（单位：万平方米）和鱼群数量y（单位：千尾）的关系，用简单随机抽样的方法抽取该湖泊10个区域进行调查，得到样本数据分别为（，2，…，10），经计算得：，，，．(1)经研究，y与x具有较强的线性相关性，请计算y关于x的回归直线方程；(2)随着退田还湖政策的实施，A湖泊又增加了10万平方米，在保持A湖泊生态平衡的前提下，为增加经济效益，试估计该湖泊的管理者最多还能投放的鱼苗数量是多少？参考公式：其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．21.已知函数，且．(1)求a的值和函数在区间上的最大值及取得最大值时x的值．(2)若，，求的值．。