2018年高考数学三轮冲刺之专题突破详解：专题17 创新数列(含解析)

热点6 数列【名师精讲指南篇】 【热点深度剖析】1. 数列在15-17年以填空题、解答题的形式进行考查，题目多为中高档题，涉及到函数与方程思想、分类讨论思想，着重考查学生分析探究及逻辑推理能力.数列常与其它章节知识（如不等式、函数）结合考查，也可单独设置题目.2. 对于数列的复习，一要明确等差数列与等比数列的基本性质及其求和公式，二要注意分类讨论思想、函数与方程思想的运用，数列属于重点考察知识，考查的难度较大，复习时应以难度中等或中等偏上题为主，加强对数列与其它章节知识（如不等式、函数）相结合题目的训练.3. 预计18年考查等差、等比数列通项及前n 项和及等差、等比数列的性质. 【最新考纲解读】【重点知识整合】一、n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．二、（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差（比）等于同一常数的数列叫等差（比）数列． （２）递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，． （３）通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ，，．（４）等差数列性质①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列．②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=③()()n m a a n m d m n *-=-∈N ，． ④232k k k k k S S S S S --，，，…成等差数列． 等比数列性质①单调性：当1001a q <⎧⎨<<⎩，或101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或1001a q >⎧⎨<<⎩时为递减数列；当0q <时为摆动数列；当1q =时为常数列．②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，特别地若2m n p +=则2m n p a a a =·③(0)n m nma q m n q a -*=∈≠N ，，．④232k k k k k S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，若k 为偶数，不是等比数列．若k 为奇数是公比为1-的等比数列．【应试技巧点拨】一、数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法， 若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。

2.与数列有关的压轴小题1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15，其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.6132.(2017·保定模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －6，x ≤10，a x －9，x ＞10，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2] C.(2，3) D.⎣⎡⎭⎫2411，33.在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.991004.(2017·安徽淮北一中四模)已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且a 2，a 5－1，a 10成等比数列，若a 1＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋n ＋32a n ＋1的最小值为( )A.3 3B.27C.203D.1735.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S n ＝f (n )，则S n －4aa n －1的最小值为( )A.276B.358C.143D.3786.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( ) A.310 B.212 C.180 D.1217.抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上的一点(a i ，2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于( ) A.21 B.32 C.42 D.648.(2017届天津六校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A.λ＞23 B.λ＞32 C.λ<32 D.λ<239.(2017届湖南省岳阳市质量检测)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( )A.1B.2 0182 019C.2 0182 017D.2 0162 01710.已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是( ) ①函数f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若x ∈(1，2 014)，则方程[)x －x ＝12有2 013个根.A.②④B.③④C.①③D.①④11.数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－6n ，则a 2＝________；数列{}||a n 的前10项和||a 1＋||a 2＋…＋||a 10＝________.12.(2016届长春外国语学校质量检测)已知数列{a n }为等比数列，且a 2 013＋a 2 015＝ʃ204－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为______.13.(2017·辽宁庄河月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和为T n ，若T n <M 对一切正整数n 都成立，则M 的最小值为__________.14.设S n ，T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝3n ＋24n ＋5.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且AP →＝a 1＋a 4b 3·AB →＋λ·AC →，则实数λ的值为________.2.与数列有关的压轴小题1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15，其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613 答案 D解析 由题意可得a m ＝S m －S m －1＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15，d ＝a m ＋1－a m ＝－2， 由S m ＝ma 1＋m (m －1)d 2＝0可得a 1－m ＝－1，又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝－13，可得a 1－2m ＝－15，a 1＝13，m ＝14，a n ＝15－2n ， 故T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝－12⎝⎛⎭⎫113－113－2n ＝－126＋12(13－2n )，可知当n ＝6时，T n 取得最大值613.2.(2017·保定模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －6，x ≤10，a x －9，x ＞10，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2] C.(2，3) D.⎣⎡⎭⎫2411，3 答案 C解析 因为{a n }是递增数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，(3－a )×10－6＜a 11－9，解得2＜a ＜3，故选C.3.在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.99100 答案 C解析 由题意，得a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n， 所以a 2n ＋1a 2n ＋2a n a n ＋1＋1＝4a 2n ＋1，(a n ＋1a n ＋1)2＝4a 2n ＋1，所以a n ＋1a n ＋1＝2a n ＋1，即a n ＋1＝12－a n ，由a 1＝12，得a 2＝23，a 3＝34，…，a n ＝n n ＋1，所以a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 1001002＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝100101. 4.(2017·安徽淮北一中四模)已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且a 2，a 5－1，a 10成等比数列，若a 1＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋n ＋32a n ＋1的最小值为( )A.3 3B.27C.203D.173答案 C解析 由于a 2，a 5－1，a 10成等比数列，所以(a 5－1)2＝a 2·a 10，(a 1＋4d －1)2＝(a 1＋d )·(a 1＋9d )，解得d ＝3，所以2S n ＋n ＋32a n ＋1＝3n 2＋8n ＋323n ＋3＝13⎣⎡⎦⎤3(n ＋1)＋27n ＋1＋2≥203，当且仅当n ＝2时“＝”成立.5.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S n ＝f (n )，则S n －4aa n －1的最小值为( )A.276B.358C.143D.378 答案 D解析 由题意可得a 2－4＝2a －8或a 2－4＋2a －8＝2×⎝⎛⎭⎫－a ＋82，解得a ＝1或a ＝－4.当a ＝1时，f (x )＝x 2＋9x －10，数列{a n }不是等差数列； 当a ＝－4时，f (x )＝x 2＋4x ，S n ＝f (n )＝n 2＋4n ， ∴a 1＝5，a 2＝7，a n ＝5＋(7－5)(n －1)＝2n ＋3，∴S n －4a a n －1＝n 2＋4n ＋162n ＋2＝12×(n ＋1)2＋2(n ＋1)＋13n ＋1＝12×⎣⎡⎦⎤(n ＋1)＋13n ＋1＋2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2(n ＋1)×13n ＋1＋2＝13＋1， 当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1时取等号，∵n 为正整数，故当n ＝3时原式取最小值378，故选D.6.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( ) A.310 B.212 C.180 D.121 答案 D解析 设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3， 因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12≤121. 7.抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上的一点(a i ，2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于( ) A.21 B.32 C.42 D.64 答案 C解析 抛物线x 2＝12y 可化为y ＝2x 2，y ′＝4x 在点(a i ，2a 2i 处的切线方程为y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，所以切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1＝12a i ，所以数列{a 2k }是以a 2＝32为首项，14为公比的等比数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42，故选C.8.(2017届天津六校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A.λ＞23 B.λ＞32 C.λ<32 D.λ<23答案 D解析 ∵a n ＋1＝a n a n ＋2⇒1a n ＋1＝2a n ＋1⇒1a n ＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1⇒1a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1·2n －1＝2n， ∴b n ＋1＝(n －2λ)·2n ，∵数列{b n }是单调递增数列，∴当n ≥2时，b n ＋1＞b n ⇒(n －2λ)·2n ＞(n －1－2λ)·2n －1⇒n ＞2λ－1⇒2＞2λ－1⇒λ＜32；当n ＝1时，b 2＞b 1⇒(1－2λ)·2＞－λ⇒λ＜23，因此λ＜23，故选D.9.(2017届湖南省岳阳市质量检测)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( )A.1B.2 0182 019C.2 0182 017D.2 0162 017答案 D解析 第一次循环， n ＝1，s ＝24×12－1，第二次循环， n ＝2，s ＝24×12－1＋24×22－1， 直至n ＝1 008， s ＝24×12－1＋24×22－1＋…＋24×1 0082－1，结束循环，输出s ＝24×12－1＋24×22－1＋…＋24×1 0082－1 ＝12×1－1－12×1＋1＋12×2－1－12×2＋1＋…＋12×1 008－1－12×1 008＋1＝11－13＋13＋15＋…＋12 015－12 017＝1－12 017＝2 0162 017，故选D. 10.已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是( ) ①函数f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若x ∈(1，2 014)，则方程[)x －x ＝12有2 013个根.A.②④B.③④C.①③D.①④答案 D解析 当x ∈Z 时， [)x ＝x ＋1，f (x )＝[)x －x ＝x ＋1－x ＝1; 当x ∉Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f (x )＝[)x －x ＝1－a ∈(0，1)，因此f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；0.9，1，1.1是等差数列，但[)0.9＝1，[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列； 0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时， f (x )＝1；当x ∉Z ，x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)时， f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x ＋1)＝f (x ) ，即f (x )＝[)x －x 是周期为1的函数，由于x ∈(1，2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝32，即一个周期内有一个根，所以若x ∈()1，2 014，则方程[)x －x ＝12有2 013个根. ①④正确，故选D.11.数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－6n ，则a 2＝________；数列{}||a n 的前10项和||a 1＋||a 2＋…＋||a 10＝________. 答案 －3 58解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7， ∴a 2＝2×2－7＝－3，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋1＋132×7＝9＋49＝58.12.(2016届长春外国语学校质量检测)已知数列{a n }为等比数列，且a 2 013＋a 2 015＝ʃ204－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为______. 答案 π2解析 因为ʃ204－x 2d x ＝π， 所以a 2 013＋a 2 015＝ʃ204－x 2d x ＝π，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝a 2 014a 2 012＋2a 22 014＋a 2 014a 2 016＝a 22 013＋2a 2 013a 2 015＋a 22 015＝(a 2 013＋a 2 015)2＝π2.13.(2017·辽宁庄河月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和为T n ，若T n <M 对一切正整数n 都成立，则M 的最小值为__________. 答案 10解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，2d ＝2q ，解得d ＝q ＝2，所以a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －1，则a n b n ＝2n ＋12n －1，故T n ＝3×120＋5×121＋7×122＋…＋(2n ＋1)×12n －1，由此可得12T n ＝3×121＋5×122＋7×123＋…＋(2n ＋1)×12n ，以上两式两边错位相减可得12T n ＝3＋2⎝⎛⎭⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－(2n ＋1)×12n ＝3＋2－12n －2－2n ＋12n ，即T n ＝10－12n －3－2n ＋12n －1，故当n →＋∞时， 12n －3→0，2n ＋12n －1→0，此时T n →10，所以M 的最小值为10.14.设S n ，T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝3n ＋24n ＋5.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且AP →＝a 1＋a 4b 3·AB →＋λ·AC →，则实数λ的值为________.答案 －325解析 不妨取S n ＝3n 2＋2n ，T n ＝4n 2＋5n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝6n －1，验证得n ＝1上式成立.综上，a n ＝6n －1， 同理可得b n ＝8n ＋1⇒a 1＋a 4b 3＝2825.AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →＝2825AB →＋λ·AC →⇒1－λ＝2825，λ＝－325.。

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷理 科 数 学（三）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}1,2,3A =，{}34xB x =>，则AB =（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{1，3}D ．{1，2，3}【答案】B【解析】{}1,2,3A =，{}34xB x =>()3log 4,=+∞，{}2,3AB ∴=，选B ．2．在ABC △中，“0AB BC ⋅>”是“ABC △是钝角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0AB BC ⋅>，则B ∠为钝角，故ABC △为钝角三角形；若ABC △为钝角三角形，则B ∠可能为锐角，此时0AB BC ⋅<，故选A ．3．已知实数a ，b 满足：122ab<<，则（ ）A ．11a b<B ．22log log a b <C>D ．cos cos a b >【答案】B【解析】函数2xy =为增函数，故0b a >>．而对数函数2log y x =为增函数，所以22log log a b <，故选B ． 4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<()y f x =y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭BC ．关于直线π12x =对称 D【答案】A【解析】由题意得π22T =，πT ∴=，22T ωπ==，因为函数()y f x =象关于yy2ϕπ<，6ϕπ∴=-A ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】∵675S S S >>，∴111657654675222a d a d a d ⨯⨯⨯+>+>+，∴70a <，670a a +>，∴()113137131302a a S a +==<，()()112126712602a a S a a +==+>，∴满足10n n S S +<⋅的正整数n 的值为12，故选C ． 6．将函数πsin 6y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为（ ） A ．5πsin 212y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．πsin 212x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．5πsin 212x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．5πsin 224x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】向右平移π4个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到5πsin 212x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选C ． 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABCD【答案】B【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成，根据图中所给数据得该几何体的体积为B ． 8．函数()()22cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <；当352x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >．所以选D ．9．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是（ ）（参考数据：sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈）A ．2.6B ．3C ．3.1D ．3.14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =，，不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24．故 3.1p =．故选C ．10．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 3C1 D1【答案】C【解析】由于A 在抛物线准线上，故2p =，故抛物线方程为24x y =，焦点坐标为()0,1．当直线PA 和抛物线相切时，m 取得最小值，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入抛物线方程得2440x kx -+=，判别式216160k ∆=-=，解得1k =±，不妨设1k =，由2440x x -+=，解得2x =，即()2,1P ．设双曲线方程为22221y x a b -=，将P 点坐标代入得22141a b-=，即222240b a a b --=，而双曲线1c =，故221a b =+，221b a =-，所以()22221410a a a a ----=，解得1a =，故离心率为1ca ==，故选C ． 11．在三棱锥S ABC -中，SB BC ⊥，SA AC ⊥，SB BC =，SA AC =，12AB SC =，且三棱锥S ABC-，则该三棱锥的外接球半径是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】取SC 中点O ，则OA OB OC OS ===，即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r，则3r ∴=，选C ． 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x =∈R ，()2eln h x x =，有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①()F x f =x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2120F x x x '∴=+>，()()()F x f x g x ∴=-，在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，故①正确；②，③设()(),f x g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 成立，即有10∆≤，240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <成立，则210kx bx +-≤，即20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，40k -≤≤，同理421664b k b ≤≤-，可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x 的图象在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，2e e 0x kx k -+-≥，当x ∈R恒成立，则2e e y x =-，下面证明()()2e ex G x x-'=，当时，()0G x '=；当0x <<时，()'0G x <；当x >()'0G x >；当x e =时，()G x '取到极小值，极小值是0()2e e h x x ≤-，∴函数()f x 和()h x 故选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018全国Ⅲ卷高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}()(){}0,150=A x B x x x A B =≥=+-<⋂，则 A ．[－1，4)B ．[0，5)C ．[1，4]D ．[－4，－1) ⋃ [4，5)2. 在ABC △中，60A =︒，4AC =，BC =，则ABC △的面积为（ ） A． B ．4 C． D．3. 边长为8的等边△ABC 所在平面内一点O ，满足23OA OB OC --=0，若M 为△ABC 边上的点，点P 满足||19OP =|MP|的最大值为A.B.C.D.4. 设实数x y ，满足20401x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩，，，≥≤≥则2x y -的最小值为A. －5B.－4C.－3D.－15. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8163π+ B ．1683π+C ．126π+D ．443π+6. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．7 7. 若直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直，则实数a = A ．3B ．0C ．3-D ．03-或8. 若双曲线C: 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆2240x y x +-=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为A ．239. 已知12a xdx =⎰，函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数4f x a π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是A ．,112π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,212π⎛⎫⎪⎝⎭C ．7,112π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,24π⎛⎫⎪⎝⎭10. 甲、乙、丙、丁四位同学参加朗读比赛，其中只有一位获奖，有同学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”。

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(三)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，则U A B =ð（ ）A B C D 【答案】C(){UA B =ðC ．2．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x =π时，i e 10π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由已知有4i e cos 4isin 4=+，因为4在第三象限，所以cos 40<，sin 40<，故4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限，选C ． 3．在区间[]02，上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ） A ．18B ．14C ．78D ．34【答案】A 【解析】如图：不妨设两个数为x ，y ，故3x y +>，如图所示，故选A ．4．下列命题中：①“1x >”是“21x >”的充分不必要条件②定义在[],a b 上的偶函数()()25f x x a x b =+++最小值为5； ③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃≤，使得0012x x +<” ④已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =的定义域为[]0,1．正确命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①211x x >⇒>或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件；②因为()f x 为偶函数，所以5a =-，因为定义区间为[],a b ，所以5b =，因此()25f x x =+最小值为5； ③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃>，使得0012x x +<”； ④由条件得[]20,2 820xx ∈-≥⎧⎨⎩，[](]0,1,3x x ⎧∈⎪∴⎨∈-∞⎪⎩，[]0,1x ∴∈； 因此正确命题的个数为①②④，选C ．5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，74【答案】C【解析】执行程序：86x =，90y =，27s ≠；90x =，86y =，27s ≠；94x =，82y =，27s ≠；98x =，78y =，27s =，故输出的x ，y 分别为98，78．故选：C ．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）22正视图侧视图俯视图ABCD 【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，D ．7．在平面直角坐标系xOy中，则）． A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】B【解析】设a x y =+，b x y =-，，({,A x = ∴，即100a a b a b ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩． 作出不等式组对应的平面区域如图：可知B 的面积为等腰直角三角形AOB 的面积，由10a a b =+=⎧⎨⎩解得11a b ==-⎧⎨⎩，即()11B -，，由10a a b =-=⎧⎨⎩解得11a b ==⎧⎨⎩，即()11A ，，∴三角形的面积故选B ．8C )0ω>关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ）A ．17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．410,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,6626t ωωπ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，ππ3π2262ωπ∴<-≤，D ． 9．已知函数()()21202x f x x x =+-<与()()22log g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．(-∞C ．(,-∞D ．⎛- ⎝【答案】B【解析】()()21202x f x x x =+-<，当0x >时，0x -<，()()21202x f x x x --=+->，当()f x 关于y 轴对称的函数为()()21202x f x x x -=+->，0x >时有解，如图：当0x =时，21log 2a >，a <，则a 的取值范围是(-∞，故选B ． 10．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142n n S S n n n -++=≥∈，N ，若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．163⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．1653⎛⎫⎪⎝⎭，C ．1633⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()35，【答案】D【解析】∵214n n S S n -+=，()2141n n S S n ++=+，∴1184n n S S n +--=+，即184n n a a n ++=+，即21812n n a a n +++=+，故28n n a a +-=，由1a a =知22124216a a +=⨯=，∴21162162a a a =-=-，23224336a S +=⨯=，()323623621642a S a a ∴=-=--=+，4242a a =-；若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，只需使1234a a a a <<<， 即16242242a a a a <-<+<-，解得35a <<．本题选择D 选项．11．设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --HR=（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】取线段AB 中点D ，设P 在底面ABC 射影为O ，设AB a =，则PDC ∠为二面角P AB C --6PD OD ==7H R ∴=，故选C ． 12．若函数()y f x =，x M ∈对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M []0,4=内的任意实数，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的假周期，函数()y f x =是M 上的a 级假周期函数，若函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级假周期且2T =，当[)0,2x ∈，若[]16,8x ∃∈，()20x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],12-∞C ．(],39-∞D ．[)12,+∞【答案】B【解析】根据题意，对于函数()f x ，当[)02x ∈，分析可得：当01x ≤≤当12x <<时，()()2f x f x =-，函数()f x 的图象关于直线1x =又由函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级类周期函数，且2T =； 则在[)68x ∈，上，()()336f x f x ⋅=-则函数()f x 在区间[]68，上的最大值为272分析可得：在()01，上，()0g x '<，函数()g x 为减函数， 在()1+∞，上，()0g x '>，函数()g x 为增函数，则函数()g x 在()0+∞，上，得()g x 若[]168x ∃∈，，()20x ∃∈+∞，，使()()210g x f x ≤﹣成立，必有()()min max g x f x ≤m 范围为(],12-∞．故答案为：B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅等于________．【答案】232a【解析】∵菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，∴120BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，．∴3BD CD a ⋅= 故答案为：232a ．14．抛物线28y x =的焦点为F ，点()6,3A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为____________． 【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF 等于这点到准线的距离d ，即FP d =．所以周长513l PA PF AF PA d AF PA d =++=++=++≥，填13． 15．已知点O 是ABC △的内心，60BAC ∠=︒，1BC =，则BOC △面积的最大值为_______．，在OBC △中，2222cos120BC OB OC OB OC =+-⋅⋅︒，2213OB OC OB OC OB OC =++⋅≥⋅，即13OB OC ⋅≤当OB OC = 16．已知双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，点F 为双曲线C 的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P ，Q 点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交QF 于点M ，若2FM MQ =，则双曲线C 的离心率为__________． 【答案】5【解析】根据题意，如图作出双曲线的草图：PQ 过左焦点F 且垂直于x 轴，假设P 在Q 的上方，则P Q x x c ==-，将x c =-又由OE PM ∥，则EOB PFB △∽△，则EO c a =-，而EOA MFA △∽△整理可得：5c a =，则5e =，故双曲线的离心率为5．故答案为：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()121log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n a -=；（2【解析】（1）∵122n n S a +=-，11a =， ∴当1n =时，1222S a =-，得112111222S a a =-=-=；····1分 当2n ≥时，122n n S a -=-， ∴当2n ≥时，122n n n a a a +=-， 即112n n a a +=，····3分 又2112a a =，····4分 ∴{}n a 是以11a =为首项，12为公比的等比数列．····5分 ∴数列{}n a 的通项公式为112n n a -=．····6分 （2）由（1）知，()()11nn b n =--，····7分()()012311nn T n =-+-+-⋯+--，····8分当n 为偶数时，2n nT =；····10分 当n 为奇数时，()11122n n nT n --=--=，分 18．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为21．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n ∈N ）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）80243；（2）见解析． 【解析】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～153B （，）， 所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率分 （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n ．····5分()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221233P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()121133n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()23nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以ξ的分布列为：····8分ξ的数学期望为：()1n ++- ()2n ++-①－②得：()2311121212121221213333333333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦23⎛⎫++ ⎪⎝⎭2312222233333n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2223nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．····12分19．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ；（2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）14． 【解析】（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE BC ⊥．因为四边形ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，····2分 所以BC AD ⊥．····3分又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，····4分而AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCD ．····5分（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设AD a =，则2AB a =，所以()020A a -，，，()00C a -，，．····6分 由（1）知AD BD ⊥，又2ABAD=，所以30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒， ，32BE AB AE a =-=，分所以302D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，所以10AD ⎛= ，，()20AC a a =-，，．设平面ACD 的一个法向量为()x y z =m ,,，则00AD AC ⎧⎪⎨⎪=⋅⎩⋅=m m ，即取1y =，则2x =，z =分 因为平面ABC 的一个法向量为()001=n ，，，····11分所以二面角D AC B --的余弦值为14．····12分 20．已知点()1,0A 和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆22:4O x y +=． （1）求动点B 的轨迹方程；（2）已知点()2,0P ，()2,1Q -，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-．xyA OBC DA依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，O 为AA '的中点，C 为AB 中点，2A B OC ∴'=．····1分∴动点B 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，····3分设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-=，∴动点B 的轨迹方程为22143x y +=． (5)分（2）①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为2x =，此时直线l 与椭圆22143x y +=相切，与题意不符．····6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x +=-．y 整理得()()222243168161680kx k k x k k +-+++-=．····7分∵直线l 与椭圆交于M ，N 两点， ∴()()()2222168443161680k kk k k ∆=+-++->，解得12k <．····8分 设()11,M x y ，()22,Nx y 21221616843k k x x k +-=+，····9分()()()121212121244222224x x x x k k x x x x x x +-+-=-=----++2222221684432232316168168244343k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-=+-=⎛⎫+-+-+ ⎪++⎝⎭（定值）．····12分 21．已知函数()()21e x f x x ax =--（e 是自然对数的底数） （1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若x ∀∈R ，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],e 2-∞-． 【解析】（1）∵()()21e x f x x ax =--， ∴()()e 2e 2x x f x x ax x a '=-=-，····1分当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有1个极值点；····2分 当102a <<时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减， 在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；····3分 当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点；····4分 当12a >时，()f x 在(),0-∞上单调递增， 在()0,ln2a 上单调递减，在()ln2,a +∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点； 综上可得：当0a ≤时，()f x 有1个极值点； 当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点； 当12a =时，()f x 没有极值点．····5分 （2）由()3e x f x x x +≥+得32e 0*x x x ax x ---≥（）． ①当0x >时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≥，0x ∀>在0x >上恒成立．设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．0x >，()0h x '∴>，()h x ∴在()0,+∞上单调递增，()()00h x h ∴>=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=-，e 2a ∴≤-．····8分 ②当0x =时，不等式*（）恒成立，a ∈R ；····9分 ③当0x <时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≤． 设()2e 1x h x x ax =---，则()e 2x h x x a '=--．设()e 2x x x a ϕ=--，则()e 20x x ϕ'=-<，()h x '∴在(),0-∞上单调递减，()()01h x h a ''∴≥=-．若1a ≤，则()0h x '≥，()h x ∴在(),0-∞上单调递增， ()()00h x h ∴<=．若1a >，则有()010h a '=-<，00x ∴∃<，使得()0,0x x ∈时，()0h x '<，即()h x 在()0,0x 上单调递减，()()00h x h ∴>=，舍去．1a ∴≤．综上可得，a 的取值范围是(],e 2-∞-．····12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数，[]0,θ∈π），将曲线1C经过伸缩变换： x xy '⎧='=⎪⎨⎪⎩得到曲线2C ． （1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos : sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与1C ，2C 相交于A ，B 两点，且1AB =-，求α的值． 【答案】（1）[]()2230,π2cos 1ρθθ=∈+；（2）π3α=或2π3． 【解析】（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把x x ='，y y ='代入上述方程得，()22103y x y +=''≥'， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,π3cos sin 2cos 1ρθθθθ==∈++；····5分 （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，由1 ρθα==⎧⎨⎩，得1A ρ=，由223 2cos 1ρθθα=+=⎧⎪⎨⎪⎩，得1B ρ=>，11-=-，∴1cos 2α=±，而[]0,πα∈，∴π3α=或2π3．····10分 23．选修4-5：不等式选讲()1g x bx =+． （1）当1b =时，若()()12f xg x +的最小值为3，求实数a 的值； （2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4；（2）31,2⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）当1b =因为()()12f x g x +的最小值为3，所以132a+=，解得8a =-或4．····5分 （2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3a x a <<，因为不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a >且132a <，即312a <<，故实数a 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭．····10分。

2018届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】 第三篇主题17 数列的综合问题【主题考法】本主题考题形式为解答题，主要考查等差数列与等比数列定义、性质及通项公式，考查利用构造法、叠加法、叠乘法及第n 项与前n 项和公式法求数列通项公式方法，主要考查分组求和法、拆项法、错位相减法、并项法等求和方法，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为中档难度，分数为12分. 【主题考前回扣】1.求数列的通项公式的常见类型和解法：（1）观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.（2）累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+ =1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数（3）累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数（4）构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.（5）利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项：对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.2.数列求和的主要方法：（1）分组求和：若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n 和公式求前n 项和.（2）拆项相消法：若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n 项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.常用拆相公式: ①若{}n a 是各项都不为0公差为(0)d d ≠的等差数列，则11n n a a +=1111()n n d a a +=- ②n a（3）倒序相加法：如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n 项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想（4）错位相减法：若数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，{}n b 是公比为(1)q q ≠的等比数列，则在数列{}n n a b 的前项和n S =112233n n a b a b a b a b ++++= 211121311n n a b a b q a b q a b q -++++ ①，两边同乘以公比q 得n qS =231121311n n a b q a b q a b q a b q ++++② ，①式与②式错位相减得(1)n q S -=221111211131211111()()()n n n n n n a b a b q a b q a b q a b q a b q a b q a b q ---+-+-++-- =21111(1)n n n a b d q q q a b q -++++-，转化为等比数列211,,,,n q q q -，的前n 项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.（5）并项求和法：若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和． 【易错点提醒】1.已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，一注意分裂前后的值要相等，如1nn ＋≠1n －1n ＋2，而是1n n ＋＝12)111(+-n n ；二注意要注意消去了哪些项，保留了哪些项.8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式． 【主题考向】考向一 等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质、前n 项和公式【解决法宝】对等差数列、等比数列基本量问题，利用等差数列、等比数列通项公式、性质、前n 项和公式列出关于首项、公差（公比）的方程组，解出首项、公差（公比）即可解决问题.例1【河南省郑州市2018年二质检】各项均为正数的等比数列{}n a 中， 18a =,且1322,,3a a a 成等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)数列{}n b ，已知21log n nb n a =，求n b 的前n 项和n S .【分析】（1）根据题意得到22320q q --=解得： 2q =或12q =-舍去负值，故得到数列的通项；（2）根据第一问得到11122n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，裂项求和即可. 【解析】(Ⅰ）12a ， 3a ， 23a 成等差数列，∴23a =12a +23a 即： 2111223a q a a q =+∴ 22320q q --=解得： 2q =或12q =-（舍）∴ 12822n n n a -+=⋅=.(Ⅱ)由（Ⅰ）可得：()2211111log 2222n n b n n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭()()123......111111111......2324352111112212311142123234212n ns b b b b n n n n n n n n n =++++⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭+=-++ 考向二 已知递推公式求数列的通项公式【解决法宝】求数列的通项公式的常见类型和解法：（1）观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.（2）累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+ =1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数（3）累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数（4）构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.（5）利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项：对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.例2【北京市人大附中2018届十月考】已知数列{}n a 满足,*112211,2,,,.2n n n n n n a a a a a n N b a a ++++===∈=- （1）求12,b b 的值;（2）证明: {}n b 是等比数列; （3）求{}n a 的通项公式.【分析】(1)第(1)问,直接根据递推关系求出12,b b 的值.(2)第（2）问，一般利用等比数列的定义证明. (3)第（3）问， 先利用第（2）的结论求出n b ，再利用累加法求{}n a 的通项公式. 【解析】（1）解:由题意知: 121211,b a a =-=-= 1223221.22a ab a a a +=-=-=- （2）证明:由（Ⅰ）可知, 11,b = 当2n ≥时, ()111111,222n n n n n n n n n a a b a a a a a b -+--+=-=-=--=- 所以{}n b 是以1为首项, 12-为公比的等比数列. 综上所述,命题得证.（3）解:由（Ⅱ）知: 111,2n n n n b a a -+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当2n ≥时,()()()1221121321111121521211111,1223233212n n n n n n n a a a a a a a a -----⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-+-++-=++-++-=+=+--=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭当1n =时, 1115211,332a -⎛⎫--== ⎪⎝⎭所以()1*521332n n a n N -⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭.综上所述,{}n a 的通项公式为()1*521332n n a n N -⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭.考向三 数列求和【解决法宝】数列求和的主要方法：（1）分组求和：若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n 和公式求前n 项和.（2）拆项相消法：若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n 项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.常用拆相公式: ①若{}n a 是各项都不为0公差为(0)d d ≠的等差数列，则11n n a a +=1111()n n d a a +=-②n a （3）倒序相加法：如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n 项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想（4）错位相减法：若数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，{}n b 是公比为(1)q q ≠的等比数列，则在数列{}n n a b 的前项和n S =112233n n a b a b a b a b ++++= 211121311n n a b a b q a b q a b q -++++ ①，两边同乘以公比q 得n qS = 231121311n n a b q a b q a b q a b q ++++② ，①式与②式错位相减得(1)n q S -=221111211131211111()()()n n n n n n a b a b q a b q a b q a b q a b q a b q a b q ---+-+-++-- =21111(1)n n n a b d q q q a b q -++++-，转化为等比数列211,,,,n q q q -，的前n 项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.（5）并项求和法：若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和．例3【云南省昆明市2018届第二次统考】已知数列{}n a 中， 13a =， {}n a 的前n 项和n S 满足：21n n S a n +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足： ()12n nan b =-+，求{}n b 的前n 项和n T .【分析】（1）利用公式11,2{,1n n n S S n a S n --≥==可求的通项n a 的表达式。

绝密★启封前018江苏省高考压轴卷数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含非选择题（第1题~第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=．2.若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），z是z的共轭复数，则z=．3.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有人．4.如图，该程序运行后输出的结果为．5.将函数y=3sin （2x ﹣6π）的图象向左平移4π个单位后，所在图象对应的函数解析式为 ． 6.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则三棱锥A ﹣B 1D 1D 的体积为 cm 3．7.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为41，则阴影部分的面积为 ．8.已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右端点分别为A 、B 两点，点C （0， b ），若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ． 9.设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3=﹣81，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的前4项和为 ． 10.设定义在R 上的偶函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递减，若f （1﹣m ）＜f （m ），则实数m 的取值范围是 ．11.已知函数f （x ）=，若a 、b 、c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则a+b+c的取值范围是 ．12.如图，在△ABC 中，已知AN =21AC ，P 是BN 上一点，若=m +41AC ，则实数m 的值是 ．13.已知非零向量a ，b 满足|a |=|b |=|a +b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为 ． 14.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥++-<1x ,a x 25x 9x 1x ,x sin 23，若函数f （x ）的图象与直线y=x 有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．15.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB AC，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异 于端点），且∠ABE ∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； （2）BC // 平面AEF ．16.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos a b C c B -⋅=⋅. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，△ABC .17.已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．18.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点． （1）求EF 与DG 所成角的余弦值；（2）若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 20.（16分）已知f （x ）=x 2+mx+1（m ∈R ），g （x ）=e x ．（1）当x ∈[0，2]时，F （x ）=f （x ）﹣g （x ）为增函数，求实数m 的取值范围； （2）若m ∈（﹣1，0），设函数 G(x)=)x (g )x (f ，H(x)= ﹣41x+45，求证：对任意x 1，x 2∈[1，1﹣m]，G （x 1）＜H （x 2）恒成立．数学II （附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~第23题）。

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(七)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合102x A x x ⎧⎫+=⎨⎬-⎩⎭≥，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,2【答案】A【解析】由题意得{}110=01222x x A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫++==-<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭≥≤≤，∴{}1,0,1A B =-．选A ．2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）A ．30B ．31C ．32D ．33【答案】B【解析】阅读茎叶图可知乙组的中位数为：3234332+=，结合题意可知：甲组的中位数为33，即3m =，则甲组数据的平均数为：243336313++=．本题选择B 选项．3．设x ，y 满足约束条件010 30y x y x y -++⎧⎪⎨⎪-⎩≥≥≤，则43z x y =-的最大值为（ ）A ．3B ．9C ．12D ．15【答案】C【解析】所以，过()3,0时，43z x y =-取得最大值为12．故选C ．4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．1【答案】B【解析】根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为：B ． 5．已知各项都为正数的等比数列{}n a ，满足3122a a a =+，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．13D ．1【答案】B【解析】正项等比数列{}n a 满足：3122a a a =+，可得21112a q a a q =+，即220q q --=，2q ∴=，m n a a =，2116m n a a a ∴=，()()1121112216m n a a a --∴⋅⋅⋅=，22211216m n a a +-∴⋅=，6m n ∴+=，()141146m n m n m n ⎛∴+=++ ⎝当且仅当4n m m n =时，等号成立，故14m n +的最小值为32，故选B ． 6．函数()22111222x x f x +-⎛⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】()()2222111111222222x x x x f x f x -+---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除A 、D ，当2x =时，()92016f =>，排除B ，故选C ．7．已知函数()()sin 2(0,0)f x A x A ϕϕ=+><<π的图象经过点方程()2f x a =a 的取值范围是（ ）A ．2⎤⎦B ．12⎡⎢⎣C ．[]1,2D ．⎣ 【答案】D【解析】0ϕ<<π，6ϕπ∴=，3A =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，当方程()2f x a =有两个不等的实根时，已知函数()y f x =的图象与直线()2f x a =a <，故选D ．8．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ）A ．44B ．68C ．100D ．140【答案】C【解析】第1次运行，1n =，2102n a -==，000S =+=，不符合n m ≥，继续运行； 第2次运行，22,2,0222n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第3次运行，213,4,4262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第4次运行，24,8,86142n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第5次运行，215,12,1412262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第6次运行，26,18,2618442n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第7次运行，217,24,2444682n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第8次运行，28,32,68321002n n a S ====+=，符合n m ≥，退出运行，输出100S =； 故选C ．9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =．若22a <，则n 的最大值为（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．54【答案】A【解析】若n 为偶数，则()()()12341n n n S a a a a a a -=++++++()()12112312112n n n +=⨯++⨯++-+=，5012751350S =<，5217381350S =>，所以这样的偶数不存在，若n 为奇数， 则()()()123451n n n S a a a a a a a -=+++++++()1221241211a n =+⨯++⨯++-+()()()()122121322n n n n a a+-+-=+=-+，若5121301.51350S a =-=，则当248.52a =-<时成立，若5321405.51350S a =-=，则当255.52a =>不成立，故选A ．10．若自然数n 使得作竖式加法()()12n n n ++++均不产生进位现象，则称n 为“开心数”．例如：32是“开心数”．因323334++不产生进位现象；23不是“开心数”，因232425++产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】根据题意个位数需要满足要求：∵()()1210n n n ++++<，即23n <．，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：310n <，∴33n <．，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4=12个．故选：D ．11．已知函数2ln y a x =+P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q关于原点对称，则a 的取值范围是（ ）A ．)2e ,⎡+∞⎣B C D ．23,e ⎡⎤⎣⎦【答案】D【解析】函数22y x =--的图象与函数22y x =+的图象关于原点对称，若函数2ln y a x =+的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则函数2ln y a x=+（1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的图象与函数22y x =+的图象有交点，即方程22ln 2a x x +=+（1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）有解，即222ln a x x =+-（1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）有解，令()222ln f x x x =+-()0f x '＜，当(]1e x ∈，时，()0f x '＞，故当1x =时，()f x 取最小值3，由2114e ef ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2e e f =，故当e x =时，()f x 取最大值2e ，故23e a ⎡⎤∈⎣⎦，，故选：D ．12．如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，若点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，点O 为MN 中点，则O 点的轨迹的长度是（ ）A B C ．1 D【答案】B 【解析】由题意，点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，则MN ∥平面11ACC A ，过M 作1MQ AA ∥交AB 于Q ，过Q 作QH AC ∥，连结NH ，得1NH BB ∥，11BB AA ∥，NH MQ ∥，则平面MQHN ∥平面11ACC A ，则MN∥平面11ACC A ，因为M 为线段1A B 上的动点，所以这样的MN 有无数条，其中MN 中点O 的轨迹的长度等于底面正ABC △的高B ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为_________． 【答案】32-z 的实部为32-．14．已知圆Ω过点()5,1A ，()5,3B ，()1,1C -，则圆Ω的圆心到直线l ：210x y -+=的距离为__________． 5【解析】由题知，圆心坐标为()2,2，则55d == 15．在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2C B=，则cb的取值范围是________． 【答案】【解析】因为2C B =，所以sin sin22sin cos C B B B ==，2cos c b B ∴=，2cos cB b=，因为锐角ABC △，所以02B π<<，022C B π<=<，032A C B B π<=π--=π-<，64B ππ∴<<，cos 22B ⎛∴∈⎝⎭，cb∈．16．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(0M x 0()2px>是抛物线C 上一点，以M 为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =MA ，若2MA AF=，则AF =_______． 【答案】1【解析】将M 点坐标代入抛物线方程得082px =，解得04x p =，即4,M p ⎛ ⎝，MF =，由于MA 为圆的半径，而DE MA =，所以2π3DME ∠=，π6BDM ∠=，故411223p MB MA MF p -===，即42p p -=412pp -=，解得2p =，故3MF =，113AF MF ==．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知cos m ⎛= ，23sin cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，设函数()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】（1，k ∈Z ；（2）11,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦． 【解析】（1cos m n ⎛⎫=⋅= ⎪⎭3sin 4⎛ ⎝·····3分 k ππ+，则43x π-≤≤，k ∈Z ，所以函数()f x ，k ∈Z ．·······6分（2）由2b ac =a c =时取等号）， (8)分所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，()1f B <综上()f B 的取值范围为⎛ ⎝⎦．·······12分 18．过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，利用该正态分布，求Z 落在()14.55,38.45内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于()10,30内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为11.95σ=≈； ②若()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<+=≤，(22)0.9544P Z μσμσ-<+=≤． 【答案】（1）26.5x =（2）0.6826（3）X 的分布列为∴()2E X =．【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为 50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．·······3分 （2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26.5μ=，11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826．·······3分②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．·······11分 ∴X 的分布列为∴()1422E X =⨯=．·······12分 19．如图，矩形ABCD 中，6AB =，3AD =点F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD 沿着对角线AC 折成二面角D AC B '--，使得30D B '=（1）求证：当AF =D F BC '⊥；（2）试求CF 的长，使得二面角A D F B -'-【答案】（1）见解析；（2）CF =． 【解析】解:（1）连结DF ，BF ．在矩形ABCD 6CD =，,60DAC ∠=︒．在ADF △中，∵AF =2222cos 9DF DA AF DA AF DAC ∴=+-⋅⋅∠=， ∵22293DF AF DA +=+=，DF AC ∴⊥，即D F AC '⊥．·······2分 又在ABF △中，2222cos 21BF AB AF AB AF CAB =+-⋅⋅∠=， ∴在D FB '△中，22222321D F FB D B +='+=',BF D F ∴⊥',·······4分 又AC FB F =,∴D F '⊥平面ABC ．·······5分 ∴D F BC '⊥．·······6分（2）解：在矩形ABCD 中，过D 作DE AC ⊥于O ，并延长交AB 于E ．沿着对角线AC 翻折后， 由（1）可知，OE ，OC ，OD '两两垂直，以O 为原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0O ，()1,0,0E ，()0,0,3D '，()3,B ，EO ⊥平面AD F ',()1,0,0OE ∴=为平面AD F '的一个法向量．·······7分 设平面BD F '的法向量为(),,n x y z =，()0,,0F t (3,BD∴=-'()3,BF t =--，由0, 0,n BD n BF ⋅=⋅=⎧'⎨⎩得30x --⎧⎪，取3,y =则x t =z t =，()n t t ∴=-．·······9分,OEOE⋅即2=, t ∴=·······11分 ∴当CF =时，二面角A D F B -'-·······12分 20．对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有如下性质：若点()00,x y 是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为00221x x y y a b +=．利用此结论解答下列问题．点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆2222C :1(0)x y a b a b +=>>上的点，并且椭圆在点Q 处的切线斜率为12-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P 在直线3x y +=上，经过点P 的直线m ，n 与椭圆C 相切，切点分别为M ，N ．求证：直线MN 必经过一定点．【答案】（1）22143x y +=（2）直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）∵椭圆C 在点Q 处的切线方程为22312x ya b+=， 其斜率为222132b a -=-，∴2234a b =．·······1分 又点Q 在椭圆上， ∴221914a b +=．·······2分 解得24a =，23b =．∴椭圆C 的方程为22143x y +=；·······4分（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ， 则切线11:143x x y y m +=，切线22:143x x y yn +=．·······6分 ∵,m n 都经过点P ，∴1010143x x y y +=，2020143x x y y +=． 即直线MN 的方程为00143x x y y+=．·······7分又003x y +=，·······8分 ∴()003143x yx x -+=， 即()03412120x y x y -+-=．·······10分令340, 12120,x y y =-=⎧⎨⎩-得4, 31.x y ⎧==⎪⎨⎪⎩∴直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫⎪⎝⎭．·······12分21．已知函数()ln f x x ax =+． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当1a =时，函数()()12g x f x x m x=-+-有两个零点12x x 、，且12x x <． 求证：121x x +>．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1······1分①当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；·······2分②当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减····4分（2）当1a =时，()1ln 2g x x m x=+-，由已知得：111ln 2x m x +=，221ln 2x m x +=，·······5分 两式相减得：112121212211ln0222ln x x x x x x x x x x -+-=⇒⋅=，1211212ln x x x x x -∴=，2121212ln x x x x x -=，122112122lnx x x x x x x x -∴+=，·······8分令()120,1x t x =∈，设()12ln h t t t t=--，' ()h t ∴在()0,1上单调递增，()()10h t h ∴<=，即12ln t t t -<，又ln 0t <，112ln t t t-∴>，121x x ∴+>·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x a y a =+=⎧⎨⎩（a 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6θρπ=∈R ． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值． 【答案】（1）24cos 120ρρθ--=；（2）6AB =．【解析】（1）将方程4cos 24sin x a y a =+=⎧⎨⎩消去参数a 得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，·······12分 将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入上式可得24cos 12ρρθ-=，∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 120ρρθ--=．·······5分（2）设,A B 两点的极坐标方程分别为1,6ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由24cos 126ρρθθ-=π=⎧⎪⎨⎪⎩消去θ得2120ρ--=，·······7分 根据题意可得1ρ，2ρ是方程2120ρ--=的两根，∴12ρρ+=1212ρρ=-， ∴126AB ρρ=-==．·······10分23．选修4—5:不等式选讲已知(0)x y z ∈+∞，，，，3x y z ++＝． （1）求111x y z++的最小值（2）证明：2223x y z ≤＋＋． 【答案】（1）3；（2）证明见解析．【解析】（1）因为0x y z ++>≥，1110x y z ++>， 所以()1119x y z x y z ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥,即1113x y z ++≥，当且仅当1x y z ===时等号成立，此时111x y z++取得最小值3．·······5分（2）222x y z ++()()()2222222223x y z x y y z z x ++++++++=()22223x y z xy yz zx +++++≥()233x y z ++==．·······10分。

1.(2017·苏州月考)数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为________. 答案 2解析 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7，得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为________.答案100101解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝1－1101＝100101. 3.(2016·南通、淮安模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝1，公比q ≠±1.若a 1，4a 3，7a 5成等差数列，则a 6的值是________. 答案149解析 因为{a n }为等比数列，且a 2＝1，所以a 1＝1q ，a 3＝q ，a 5＝q 3，由a 1，4a 3，7a 5成等差数列得8q ＝1q ＋7q 3，解得q 2＝1(舍去)或q 2＝17，故a 6＝a 2q 4＝149.4.(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________.答案 －1n解析 由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，因为S n ≠0，所以S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n. 5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1<S k <9 (k ∈N *)，则k 的值为________. 答案 4解析 由题意，S n ＝23a n －13，当n ≥2时，S n －1＝23a n －1－13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴a n ＝－2a n －1， 又a 1＝－1，∴{a n }是以－1为首项，以－2为公比的等比数列， ∴a n ＝－(－2)n －1，∴S k ＝(－2)k －13，由1<S k <9，得4<(－2)k <28， 又k ∈N *，∴k ＝4.题型一 等差数列、等比数列的综合问题例1 (2016·苏州暑假测试)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *. (1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n .求证： 数列{T n ＋16}为等比数列.(1)解 S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)＝n 2＋(a 1－1)n ，又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *，所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，所以q ＝3. 所以b n ＝b 3q n －3＝3×3n －3＝3n －2，所以b 1＝13.所以T n ＝13(1－3n )1－3＝3n －16，所以T n ＋16＝3n6.又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3 (n ≥2)，所以数列{T n ＋16}是以12为首项，3为公比的等比数列.思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝102-n a ，证明：数列{b n }为等比数列；(3)求数列{nb n }的前n 项和T n .(1)解 设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.(2)证明 由(1)，得b n ＝2a n －10＝22n ＋10－10＝22n ＝4n ，所以b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4.所以{b n }是首项为4，公比为4的等比数列.(3)解 由nb n ＝n ×4n ，得T n ＝1×4＋2×42＋…＋n ×4n ，①4T n ＝1×42＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1，②①－②，得－3T n ＝4＋42＋…＋4n －n ×4n ＋1 ＝4(1－4n )－3－n ×4n ＋1.所以T n ＝(3n －1)×4n ＋1＋49.题型二 数列的通项与求和例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，在数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式. (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①，得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， ∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1. ∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12.又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列.(2)解 由(1)可知c n ＝(－12)·(12)n －1＝－(12)n ，∴a n ＝c n ＋1＝1－(12)n .∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 ＝1－(12)n －[1－(12)n －1]＝(12)n －1－(12)n ＝(12)n . 又b 1＝a 1＝12，代入上式也符合，∴b n ＝(12)n .思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等.已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d . 由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3d ＋2q 3＝21，8＋6d ＋2q 3＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N *. (2)由题意知c n ＝(n ＋1)×2n . 记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n .则T n ＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n －1＋(n ＋1)×2n ，2T n ＝2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ＋(n ＋1)2n ＋1，所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋1，即T n ＝n ·2n ＋1，n ∈N *.题型三 数列与其他知识的交汇 命题点1 数列与函数的交汇例3 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝⎛⎭⎫1a n，且a 1＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)f ′(x )＝2ax ＋b ，由题意知b ＝2n ， 16n 2a －4nb ＝0， ∴a ＝12，则f (x )＝12x 2＋2nx ，n ∈N *.数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝⎛⎭⎫1a n ，又f ′(x )＝x ＋2n ， ∴1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n ＝2n ， 由叠加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2－n ，化简可得a n ＝4(2n －1)2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝4也符合， ∴a n ＝4(2n －1)2(n ∈N *). (2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝4n2n ＋1. 命题点2 数列与不等式的交汇例4 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)<13.(1)解 令n ＝1代入得a 1＝2(负值舍去).(2)解 由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋3)＝0.又已知数列{a n }各项均为正数，故S n ＝n 2＋n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ， 当n ＝1时，a 1＝2也满足上式， ∴a n ＝2n ，n ∈N *.(3)证明 ∵k ∈N *，4k 2＋2k －(3k 2＋3k ) ＝k 2－k ＝k (k －1)≥0， ∴4k 2＋2k ≥3k 2＋3k ， ∴1a k (a k ＋1)＝12k (2k ＋1)＝14k 2＋2k ≤13k 2＋3k＝13(1k －1k ＋1). ∴1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)≤13(11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝13(1－1n ＋1)<13. ∴不等式成立. 命题点3 数列应用题例5 (2016·南京模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元. (1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示). 解 (1)由题意，得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ， a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d ，…a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)，得a n ＝32a n －1－d ＝32(32a n －2－d )－d＝(32)2a n －2－32d －d ＝…＝(32)n －1a 1－d [1＋32＋(32)2＋…＋(32)n －2]整理，得a n ＝(32)n －1(3 000－d )－2d [(32)n －1－1]＝(32)n －1(3 000－3d )＋2d . 由题意，得a m ＝4 000， 即(32)m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000. 解得d ＝[(32)m －2]×1 000(32)m －1＝1 000(3m －2m ＋1)3m －2m .故该企业每年上缴资金d 的值为1 000(3m －2m ＋1)3m －2m时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.思维升华 数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 (1)数列与函数的交汇问题①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.(2)数列与不等式的交汇问题①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③比较方法：作差或者作商比较. (3)数列应用题①根据题意，确定数列模型； ②准确求解模型；③问题作答，不要忽视问题的实际意义.设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *).(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，得b 7＝72a，b 8＝82a＝4b 7，有87722422.+⨯a aa ＝＝解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)f ′(x )＝2x ln 2，f ′(a 2)＝2a 2ln 2，故函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝2a 2ln 2(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意，得a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1. 从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n 1－n 2n＝2－12n －1－n2n＝2n ＋1－n －22n.所以T n ＝2n ＋1－n －22n.1.(2016·全国甲卷)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎡⎦⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.2.(2016·山东)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知，c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2].两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n)1－2－(n ＋1)×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.3.设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：{a n ＋1－12a n }为等比数列； (3)求数列{a n }的通项公式.(1)解 当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4(1＋32＋54＋a 4)＋5(1＋32) ＝8(1＋32＋54)＋1， 解得：a 4＝78. (2)证明 因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1 (n ≥2)，当n ＝1时，4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2， 所以n ＝1也满足此式，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1 (n ∈N *)，因为a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n ＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝12， 所以数列{a n ＋1－12a n }是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列. (3)解 由(2)知：数列{a n ＋1－12a n }是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列， 所以a n ＋1－12a n ＝(12)n －1. 即a n ＋1(12)n ＋1－a n (12)n ＝4， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n (12)n 是以a 112＝2为首项，公差为4的等差数列，所以a n (12)n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2， 即a n ＝(4n －2)×(12)n ＝(2n －1)×(12)n －1， 所以数列{a n }的通项公式是a n ＝(2n －1)×(12)n －1.4.(2016·常州期末)已知等差数列{a n }的公差d 为整数，且a k ＝k 2＋2，a 2k ＝(k ＋2)2，其中k 为常数且k ∈N *.(1)求k 及a n ；(2)设a 1>1，{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的首项为1，公比为q (q >0)，前n 项和为T n .若存在正整数m ，使得S 2S m＝T 3，求q . 解 (1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧dk ＋a 1－d ＝k 2＋2， ①2dk ＋a 1－d ＝(k ＋2)2， ② ②－①，得d ＝4＋2k. 因为k ∈N *且d 为整数，所以k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，d ＝6，代入①，解得a 1＝3，所以a n ＝6n －3.当k ＝2时，d ＝5，代入①，解得a 1＝1，所以a n ＝5n －4.(2)因为a 1>1，所以a n ＝6n －3，从而S n ＝3n 2.由S 2S m ＝T 3，得123m 2＝1＋q ＋q 2， 整理得q 2＋q ＋1－4m 2＝0. 因为Δ＝1－4(1－4m 2)≥0，所以m 2≤163. 因为m ∈N *，所以m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，q ＝－13－12(舍去)或q ＝13－12. 当m ＝2时，q ＝0或q ＝－1(均舍去).综上所述，q ＝13－12. 5.在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n<k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由.解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2，∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16， ∴a n ＝16×(12)n －1＝25－n . (2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1，b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴S n ＝n (9－n )2. (3)由(2)知S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n 2. 当n ≤8时，S n n >0；当n ＝9时，S n n＝0； 当n >9时，S n n<0. ∴当n ＝8或n ＝9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n n＝18最大. 故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n<k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19.。

核心考点解读——数列考纲解读里的I，II的含义如下：I：对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用，即了解和认识.II：对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用，即理解和应用.(以下同)1．（2017高考新课标I，理4）记错误！未找到引用源。

为等差数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和．若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的公差为A．1 B．2C．4 D．82．（2017高考新课标Ⅲ，理9）等差数列错误！未找到引用源。

的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则错误！未找到引用源。

前6项的和为A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．3 D．83．（2017高考新课标II，理15）等差数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

____________．4．(2016高考新课标I，理3)已知等差数列错误！未找到引用源。

前9项的和为27，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

A．100 B．99 C．98 D．975．(2016高考新课标II，理17)错误！未找到引用源。

为等差数列错误！未找到引用源。

的前n项和，且错误！未找到引用源。

记错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

表示不超过x的最大整数，如错误！未找到引用源。

.（Ⅰ）求错误！未找到引用源。

；（Ⅱ）求数列错误！未找到引用源。

的前1000项和.6．(2016高考新课标III，理17)已知数列错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

的前n项和错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

其中错误！未找到引用源。

．（I）证明错误！未找到引用源。

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普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(三)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{}11A x x =-<，2511x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬-⎩⎭，则U A B =ð（ ）A B ．{}12x x <≤ C ．{}12x x ≤<D ．{}14x x ≤<【答案】C【解析】由题意得{}{}{}1111102A x x x x x x =-<=-<-<=<<，，∴(){}12UA B x x =≤<ð．选C ．2．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x =π时，i e 10π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，4i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由已知有4i e cos 4isin 4=+，因为3ππ42<<，所以4在第三象限，所以cos 40<，sin 40<，故4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限，选C ．3．在区间[]02，上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ）A ．18B ．14C ．78D ．34【答案】A 【解析】如图：不妨设两个数为x ，y ，故3x y +>，如图所示，其概率为11112228p ⨯⨯==⨯，故选A ．4．下列命题中：①“1x >”是“21x >”的充分不必要条件②定义在[],a b 上的偶函数()()25f x x a x b =+++最小值为5； ③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃≤，使得0012x x +<” ④已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =-的定义域为[]0,1． 正确命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①211x x >⇒>或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件；②因为()f x 为偶函数，所以5a =-，因为定义区间为[],a b ，所以5b =，因此()25f x x =+最小值为5；③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃>，使得0012x x +<”； ④由条件得[]20,2 820xx ∈-≥⎧⎨⎩，[](]0,1,3x x ⎧∈⎪∴⎨∈-∞⎪⎩，[]0,1x ∴∈； 因此正确命题的个数为①②④，选C ．5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（）A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，74【答案】C【解析】执行程序：86x =，90y =，27s ≠；90x =，86y =，27s ≠；94x =，82y =，27s ≠；98x =，78y =，27s =，故输出的x ，y 分别为98，78．故选：C ． 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）22222正视图侧视图俯视图A B ．16+16π3C ．8+8π3D ．16+8π3【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，∴该几何体的体积是311416+8π242+π2=3433⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域(){},1,0,0A x y x y x y =+≤≥≥且，则平面区域）． A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】B【解析】设a x y =+，b x y =-，则2 2a b x a b y ⎧⎪⎪⎨+===⎪⎪⎩，(){},1,0,0A x y x y x y =+≤≥≥且，∴等价于10202a a ba b⎧⎪≤⎪+⎪≥⎨⎪-⎪≥⎪⎩，即100a a b a b ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩． 作出不等式组对应的平面区域如图：可知B 的面积为等腰直角三角形AOB 的面积，由10a a b =+=⎧⎨⎩解得11a b ==-⎧⎨⎩，即()11B -，，由10a a b =-=⎧⎨⎩解得11a b ==⎧⎨⎩，即()11A ，，∴三角形的面积()111112122S ⎡⎤=⨯⨯--=⨯=⎣⎦ 故选B ．8．若仅存在一个实数π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得曲线C ：πsin 6y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭)0ω>关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ）A ．17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．410,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,6626t ωωπ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，ππ3π2262ωπ∴<-≤，D ． 9．已知函数()()21202x f x x x =+-<与()()22log g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2-∞- B ．(2-∞C ．(,2-∞D ．222,⎛- ⎝ 【答案】B【解析】()()21202x f x x x =+-<，当0x >时，0x -<，()()21202x f x x x --=+->， 当()f x 关于y 轴对称的函数为()()21202x f x x x -=+->，由题意得：()22212log 2x x x x a -+-=++，在0x >时有解，如图：当0x =时，21log 2a >，2a <，则a 的取值范围是(2-∞，，故选B ． 10．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142n n S S n n n -++=≥∈，N ，若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．163⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．1653⎛⎫⎪⎝⎭，C ．1633⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()35，【答案】D【解析】∵214n n S S n -+=，()2141n n S S n ++=+，∴1184n n S S n +--=+，即184n n a a n ++=+，即21812n n a a n +++=+，故28n n a a +-=，由1a a =知22124216a a +=⨯=，∴21162162a a a =-=-，23224336a S +=⨯=，()323623621642a S a a ∴=-=--=+，4242a a =-；若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，只需使1234a a a a <<<， 即16242242a a a a <-<+<-，解得35a <<．本题选择D 选项．11．设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --的正HR=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】C【解析】取线段AB 中点D ，设P 在底面ABC 射影为O ，设AB a =PDC ∠为二面角P AB C --的平面角，tan 35PDC ∠=，63PD OD a ==，7H R ∴=，故选C ．12．若函数()y f x =，x M ∈对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M []0,4=内的任意实数，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的假周期，函数()y f x =是M 上的a 级假周期函数，若函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级假周期且2T =，当[)0,2x ∈，，函数()212ln 2g x x x x m =-+++，若[]16,8x ∃∈，()20x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],12-∞C ．(],39-∞D ．[)12,+∞【答案】B【解析】根据题意，对于函数()f x ，当[)02x ∈，时，()()()21201 22(12)x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩，当12x <<时，()()2f x f x =-，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则此时有()3122f x -<<， 又由函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级类周期函数，且2T =；则在[)68x ∈，上，()()336f x f x ⋅=-，则有()812722f x -≤≤， 则函数()f x 在区间[]68，上的最大值为272，最小值为812-； 对于函数()212ln 2g x x x x m =-+++，有()()()12x x g x x -+'=， 分析可得：在()01，上，()0g x '<，函数()g x 为减函数， 在()1+∞，上，()0g x '>，函数()g x 为增函数， 则函数()g x 在()0+∞，上，得()g x 的最小值()312g m =+， 若[]168x ∃∈，，()20x ∃∈+∞，，使()()210g x f x ≤﹣成立， 必有()()min max g x f x ≤，即32722m +≤，得到m 范围为(],12-∞．故答案为：B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅等于________．【答案】232a【解析】∵菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，∴120BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，．∴233cos302BD CD a a a ⋅=⋅⋅︒=． 故答案为：232a ．14．抛物线28y x =的焦点为F ，点()6,3A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF△周长的最小值为____________． 【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF 等于这点到准线的距离d ，即FP d =．所以周长513l PA PF AF PA d AF PA d =++=++=++≥，填13．15．已知点O 是ABC △的内心，60BAC ∠=︒，1BC =，则BOC △面积的最大值为_______． 3【解析】由题意得180601801202BOC ︒-︒∠-=︒=︒，在OBC △中，2222cos120BC OB OC OB OC =+-⋅⋅︒，2213OB OC OB OC OB OC =++⋅≥⋅，即13OB OC ⋅≤，所以13sin120212OBC S OB OC =⋅︒≤△， 当OB OC =316．已知双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，点F 为双曲线C 的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P ，Q 点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交QF 于点M ，若2FM MQ =，则双曲线C 的离心率为__________． 【答案】5【解析】根据题意，如图作出双曲线的草图：PQ 过左焦点F 且垂直于x 轴，假设P 在Q 的上方，则P Q x x c ==-，将x c =-代入双曲线的方程可得：2P b y a =，2Q b y a =-，则2b PF FQ a==，又由OE PM ∥，则EOB PFB △∽△，则有EO BO PFBF=，则EO c a =-，而EOA MFA △∽△，则有MF EO FA AO =，即223b c aa c a a-=-， 整理可得：5c a =，则5e =，故双曲线的离心率为5．故答案为：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()121log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n a -=；（2）1,2,2n nn T n n -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数．【解析】（1）∵122n n S a +=-，11a =， ∴当1n =时，1222S a =-，得112111222S a a =-=-=；····1分 当2n ≥时，122n n S a -=-， ∴当2n ≥时，122n n n a a a +=-， 即112n n a a +=，····3分 又2112a a =，····4分 ∴{}n a 是以11a =为首项，12为公比的等比数列．····5分∴数列{}n a 的通项公式为112n n a -=．····6分（2）由（1）知，()()11nn b n =--，····7分()()012311nn T n =-+-+-⋯+--，····8分当n 为偶数时，2n nT =；····10分当n 为奇数时，()11122n n nT n --=--=，····12分 18．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2:1．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同． （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n ∈N ）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）80243；（2）见解析． 【解析】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～153B （，）， 所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率32252180C 33243P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝．····4分 （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n ．····5分()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221233P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()121133n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()23nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以ξ的分布列为：····8分ξ的数学期望为：()1n ++- ()2n ++-①－②得：()2311121212121221213333333333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦23⎛⎫++ ⎪⎝⎭2312222233333n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221332212313nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-．所以2223nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．····12分19．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ；（2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）14．【解析】（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE BC ⊥．因为四边形ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，····2分所以BC AD ⊥．····3分又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，····4分而AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCD ．····5分（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设AD a =，则2AB a =，所以()020A a -，，，()00C a -，，．····6分由（1）知AD BD ⊥，又2ABAD =，所以30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒，，32BE AB AE a =-=，····8分 所以3302D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，所以13022AD a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，()20AC a a =-，，． 设平面ACD 的一个法向量为()x y z =m ,,，则00AD AC ⎧⎪⎨⎪=⋅⎩⋅=m m ，即1302220ay az ax ay ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩． 取1y =，则2x =，3z =，所以321,3⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭m ,．····10分 因为平面ABC 的一个法向量为()001=n ，，，····11分所以二面角D AC B --的余弦值为4．····12分20．已知点()1,0A 和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆22:4O x y +=． （1）求动点B 的轨迹方程；（2）已知点()2,0P ，()2,1Q -，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析．【解析】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-．xyA OBC DA依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，O 为AA '的中点，C 为AB 中点，2A B OC ∴'=．····1分 ∴动点B 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，····3分设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-=，∴动点B 的轨迹方程为22143x y +=．····5分（2）①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为2x =，此时直线l 与椭圆22143x y +=相切，与题意不符．····6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12yk x +=-．y 整理得()()222243168161680k x k k x k k +-+++-=．····7分 ∵直线l 与椭圆交于M ，N 两点， ∴()()()2222168443161680k kk k k ∆=+-++->，解得12k <．····8分 设()11,M x y ，()22,N x y ，则212216843k k x x k ++=+，21221616843k k x x k +-=+，····9分()()()121212121244222224x x x x k k x x x x x x +-+-=-=----++2222221684432232316168168244343k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-=+-=⎛⎫+-+-+ ⎪++⎝⎭（定值）．····12分 21．已知函数()()21e x f x x ax =--（e 是自然对数的底数） （1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若x ∀∈R ，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],e 2-∞-． 【解析】（1）∵()()21e x f x x ax =--， ∴()()e 2e 2x xf x x ax x a '=-=-，····1分当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有1个极值点；····2分 当102a <<时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减， 在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；····3分当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点；····4分 当12a >时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,ln2a 上单调递减，在()ln2,a +∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点； 综上可得：当0a ≤时，()f x 有1个极值点； 当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点； 当12a =时，()f x 没有极值点．····5分 （2）由()3e x f x x x +≥+得32e 0*x x x ax x ---≥（）．①当0x >时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≥，0x ∀>在0x >上恒成立．，则()()()21e 1xx x g x x---'=． 设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．0x >，()0h x '∴>，()h x ∴在()0,+∞上单调递增，()()00h x h ∴>=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=-，e 2a ∴≤-．····8分②当0x =时，不等式*（）恒成立，a ∈R ；····9分 ③当0x <时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≤． 设()2e 1x h x x ax =---，则()e 2x h x x a '=--．设()e 2x x x a ϕ=--，则()e 20x x ϕ'=-<，()h x '∴在(),0-∞上单调递减，()()01h x h a ''∴≥=-．若1a ≤，则()0h x '≥，()h x ∴在(),0-∞上单调递增， ()()00h x h ∴<=．若1a >，则有()010h a '=-<，00x ∴∃<，使得()0,0x x ∈时，()0h x '<，即()h x 在()0,0x 上单调递减，()()00h x h ∴>=，舍去．1a ∴≤．综上可得，a 的取值范围是(],e 2-∞-．····12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数，[]0,θ∈π），将曲线1C 经过伸缩变换： 3x xy '⎧='=⎪⎨⎪⎩得到曲线2C ． （1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos : sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与1C ，2C 相交于A ，B 两点，且21AB =-，求α的值．【答案】（1）[]()2230,π2cos 1ρθθ=∈+；（2）π3α=或2π3． 【解析】（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把x x ='，3y y ='代入上述方程得，()22103y x y +=''≥'， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥，令cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,π3cos sin 2cos 1ρθθθθ==∈++；····5分 （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，由1ρθα==⎧⎨⎩，得1A ρ=，由223 2cos 1ρθθα=+=⎧⎪⎨⎪⎩，得2312cos 1B ρα=>+，121-=，∴1cos 2α=±，而[]0,πα∈，∴π3α=或2π3．····10分 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a =-，()1g x bx =+． （1）当1b =时，若()()12f xg x +的最小值为3，求实数a 的值； （2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4；（2）31,2⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）当1b =时，()()11112222a a af xg x x x x x +=-++≥---=+， 因为()()12f x g x +的最小值为3，所以132a+=，解得8a =-或4．····5分 （2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3a x a <<，因为不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a >且132a <，即312a <<，故实数a 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭．····10分。

核心考点解读——数列考纲解读里的I，II的含义如下：I：对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用，即了解和认识.II：对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用，即理解和应用.(以下同)1．（2017高考新课标I，理4）记错误！未找到引用源。

为等差数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和．若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的公差为A．1 B．2C．4 D．82．（2017高考新课标Ⅲ，理9）等差数列错误！未找到引用源。

的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则错误！未找到引用源。

前6项的和为A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．3 D．83．（2017高考新课标II，理15）等差数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

____________．4．(2016高考新课标I，理3)已知等差数列错误！未找到引用源。

前9项的和为27，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

A．100 B．99 C．98 D．975．(2016高考新课标II，理17)错误！未找到引用源。

为等差数列错误！未找到引用源。

的前n项和，且错误！未找到引用源。

记错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

表示不超过x的最大整数，如错误！未找到引用源。

.（Ⅰ）求错误！未找到引用源。

；（Ⅱ）求数列错误！未找到引用源。

的前1000项和.6．(2016高考新课标III，理17)已知数列错误！未找到引用源。

的前n项和错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

．（I）证明错误！未找到引用源。

是等比数列，并求其通项公式；（II）若错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

2018全国Ⅲ卷高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}()(){}0,150=A x B x x x A B =≥=+-<⋂，则 A ．[－1，4)B ．[0，5)C ．[1，4]D ．[－4，－1) ⋃ [4，5)2. 在ABC △中，60A =︒，4AC =，23BC =ABC △的面积为（ ） A． B ．4 C ．23 D ．223. 边长为8的等边△ABC 所在平面内一点O ，满足23OA OB OC --=0，若M 为△ABC 边上的点，点P 满足||19OP =|MP|的最大值为A.B. 63C. 219D. 3194. 设实数x y ，满足20401x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩，，，≥≤≥则2x y -的最小值为A. －5B.－4C.－3D.－15.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8163π+ B ．1683π+C ．126π+D ．443π+6. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．7 7. 若直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直，则实数a = A ．3B ．0C ．3-D ．03-或8. 若双曲线C: 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆2240x y x +-=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为A ．32239. 已知12a xdx =⎰，函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数4f x a π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是A ．,112π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,212π⎛⎫⎪⎝⎭C ．7,112π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,24π⎛⎫⎪⎝⎭10. 甲、乙、丙、丁四位同学参加朗读比赛，其中只有一位获奖，有同学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”。