第四讲 一元二次方程根与系数的关系

第四讲 一元二次方程根与系数的关系练习1． 设a ，b 是方程x 2+x-2013=0的两个实数根，求a 2+2a+b 的值。

2． 已知方程2x 2+kx-2k+1=0的两个实数根的平方和为429，求k 的值。

3． 如果a ，b 为质数，且a 2-13a+m=0，x 2-13b+m=0,求ba ab +的值。

4． 已知x ，y 是正整数，并且xy+x+y=23，x 2y+xy 2=120，求x 2+y 2的值。

5． 若实数满足：16353,1625235353535=+++=+++y x y x ，求x+y 的值。

6． 已知3m 2-2m-5=0，5n 2+2n-3=0，其中m ，n 为实数，求|m-n 1|的值。

7．已知x1，x2是方程x2-2006x+2008=0的两个实数根，实数a,b 满足ax12006+bx22006=2006，ax12007+bx22007=0,求ax12008+bx22008的值。

8．设x1,x2是x2+x-5=0的两根，求x13-6x22的值。

9．已知关于x的二次方程x2-2mx+m=0的两根均大于1，求实数m 的取值范围。

10．已知实数a,b,c满足a+b+c=0，abc=2，|a|+|b|+|c|的最小值。

11．已知m,n是方程x2-x-4=0的两根，且m＞n,利用根与系数的关系2+3n2的值.求m12、已知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根文2和4，乙由于看错了某一项的符号，误求得两根文-1和4，求ac b 32+的值。

13、已知关于一元二次方程(6-k)(9-k)x 2-(117-5k)x+54=0的两根均为整数，求所有满足条件的实数k 的值。

14、设a,b,c 为互不相等的实数，且满足关系式⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+54141622222a a bc b a c b 求a 的值取值范围。

作业1． 已知a,b,c,d 是四个不同的实数，且(a+c)(a+d)=1，(b+c)(b+d)=1.试求(a+c)(b+c)的值。

12.4一元二次方程的根与系数的关系中考考点1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。

2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。

3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。

考点讲解1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1·x2=。

2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0(a≠0)。

3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1·x2=q。

反之，以x1,x2为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。

4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。

（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。

可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。

（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。

如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。

[∵x1+x2=，x1·x2=，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2×=]（4）验根、求根、确定根的符号。

（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。

（6）已知两数和与积，求这两个数。

（7）解特殊的方程或方程组。

考题评析1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（）（A）3，2（B）-3，-2（C）3，-2（D）-3，2考点：一元二次方程的根与系数关系。

第四讲 一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用1.解方程：0)10553(4222=--+--y x y x2.解方程组： ⎩⎨⎧=---=-02222y xy x y x3.小明用下面的方法求出方程032=-x 的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程4.已知实数a ，b 分别满足a 2-6a+4=0，b 2-6b+4=0，且a≠b，则b a a b +的值是（ ） A ．7B ．-7C ．11D ．-115.已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a-1=0有两根为x 1和x 2，且x 12-x 1x 2=0，则a 的值是（ ）A ．a=1B ．a=1或a=-2C ．a=2D ．a=1或a=26.已知m 、n 是方程01222=++x x 的两根，则代数式mn n m 322++的值为（ ）A ．9B ．±3C ．3D ．57.已知关于x 的一元二次方程x 2-（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得x 1•x 2−x 12−x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．8.若x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx+c=0的两个实数根，且|x 1|+|x 2|=2|k|（k 是整数），则称方程x 2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x 2-6x-27=0，x 2-2x-8=0，x 2+3x −427＝0，x 2+6x-27=0，x 2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x 2+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b ，是否存在实数c ，使得关于x 的方程x 2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．9.已知x 1，x 2是一元二次方程（a-6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a ，使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x 1+1）（x 2+1）为负整数的实数a 的整数值．10.已知：▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程04122=-+-x m mx x 的两个实数根． （1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB 的长为2，那么▱ABCD 的周长是多少？11.（2013•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）12.（2013•绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A 型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B 型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A 型车不少于B 型车的2倍，但不超过B 型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？13.（2013•来宾）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？14.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式x 2-4＞0解：∵x 2-4=（x+2）（x-2）∴x 2-4＞0可化为（x+2）（x-2）＞0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①⎩⎨⎧>->+0202x x ② ⎩⎨⎧<-<+0202x x 解不等式组①，得x ＞2，解不等式组②，得x ＜-2，∴（x+2）（x-2）＞0的解集为x ＞2或x ＜-2，即一元二次不等式x 2-4＞0的解集为x ＞2或x ＜-2．（1）一元二次不等式x 2-16＞0的解集为 ;（2）分式不等式 031>--x x 的解集为 ； （3）解一元二次不等式2x 2-3x ＜0．15.（2012•宜昌）[背景资料]低碳生活的理念已逐步被人们接受．据相关资料统计：一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18kg ；一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6kg ．[问题解决]甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”、“少买衣服”的倡议．2009年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排二氧化碳总量为600kg ．（1）2009年两校响应本校倡议的人数分别是多少？（2）2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；乙校响应本校倡议的人数每年按相同的百分率增长．2010年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍；2011年两校响应本校倡议的总人数比2010年两校响应本校倡议的总人数多100人．求2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量．。

一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.例1 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例2：已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k 使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

练习1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_________， 1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______. 2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是 ．4．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）Ａ．3或1-Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或1 5．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．13 Ｄ．13- 6．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.7．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=． （1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+。

九年级数学一元二次方程的根与系数的关系嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个很有趣的话题——九年级数学一元二次方程的根与系数的关系。

你们知道吗，这个知识点可是让我们这些初中生头疼不已啊！不过别担心，我会让你们轻松愉快地掌握这个知识点的！我们来看看什么是一元二次方程。

简单来说，就是一个方程里有两个未知数，而且这两个未知数之间还有一个乘号。

比如说，我们要解这个方程：x^2 5x + 6 = 0。

这个方程里有两个未知数，分别是x和5。

而且，它们之间还有一个减号和一个乘号。

好了，现在我们要找出这个方程的根和系数。

那么，什么是根和系数呢？根就是方程里的未知数的值，而系数就是方程里每个未知数前面的数字。

比如说，在这个方程里，5就是系数，因为它前面有一个5。

那么，这个方程的根和系数分别是什么呢？我们先来看这个方程的两个根。

根据求根公式，我们可以得到：x1 = (5 + sqrt(25 48)) / 2 = (5 + sqrt(-3)) / 2 ≈ 1.96x2 = (5 sqrt(25 48)) / 2 = (5 sqrt(-3)) / 2 ≈ -0.96所以，这个方程的两个根分别是1.96和-0.96。

接下来，我们来看一下这个方程的系数。

在这个方程里，5就是系数，因为它前面有一个5。

那么，这个方程的系数就是5。

好了，现在我们已经知道了这个方程的根和系数。

那么，它们有什么关系呢？其实，根和系数之间的关系非常简单。

我们可以把系数看作是未知数前面的数字，而把根看作是未知数的值。

比如说，在这个方程里，5就是系数，而1.96和-0.96就是根。

我们可以用等式表示这种关系：5x1 = x1^2 5x1 + 65x2 = x2^2 5x2 + 6这就是一元二次方程的根与系数的关系。

希望你们能够理解并掌握这个知识点！学习数学就像是一场冒险，充满了未知和挑战。

但是，只要我们勇敢地面对这些挑战，就一定能够找到答案。

所以，伙计们，加油吧！让我们一起在数学的世界里畅游吧！。

一元二次方程根与系数的关系一、韦达定理（根与系数关系）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21,x x ，则=+21x x ，=21x x 。

二、应用1、求待定系数值；2、求关于根的代数式值；3、结合△，讨论根的符号特征；4、构造一元二次方程辅助解题。

三、以两个数21,x x 为根，构造一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 。

四、方程根的符号特征)0(02≠=++a c bx ax 有两根21,x x ：①若0021=⇔=+b x x ，21,x x 互为相反数； ②若c a x x =⇔=121，21,x x 互为倒数；⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ③方程两根同为正数； ⇔⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆0002121x x x x ④方程两根同为负数； ⇔⎩⎨⎧<>∆0021x x ⑤方程两根异号；⇔⎪⎩⎪⎨⎧<>+>∆0002121x x x x ⑥方程两根异号且正根绝对值大； ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<+>∆0002121x x x x ⑦方程两根异号且负根绝对值大。

五、典例讲解例1、（1）以3、2为根作一元二次方程是 。

（2）以313-，212为根作一元二次方程式 。

（3）解方程组⎩⎨⎧=+-=67y x xy（4）求作一元二次方程使它的根是方程0132=++x x 的各根的平方。

（5）不解方程0262=+-x x ，求作一元二次方程是它的一根为原方程两根和的倒数，另一根是原方程两根差的平方。

④两根立方和。

练习2、设方程03742=--x x 两根是21,x x ，求：①)3)(3(21--x x ；②；③21x x -；2112x x x x +④；⑤||21x x -；⑥3231x x +；⑦222111x x -；⑧2112x x x x -+-例3、（1）关于x 的方程2)12(22=+++k x k x 两根的平方和为11，求k 的值。

第四册一元二次方程根与系数的关系第四册一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。

教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、2= 得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。

然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。

例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。

根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家）。

韦达定理是初中代数中的一个重要定理。

这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。

通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。

出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。

通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

（二）重点、难点一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。

（三）教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。

2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

一元二次方程根与系数关系一、知识梳理：1、根与系数的关系一元二次方程，如果有实数根（即），设两实数根为x 1，x 2，则， 2、常见的含两根的对称式：（1） （2） （3） ； 21221214)(x x x x x x -+=-（4）； 3、利用根与系数的关系判定一元二次方程的两根符号：由可判断两根符号之间的关系： 若，则x 1，x 2同号； 若，则x 1，x 2异号，即一正一负再由可判断两根大小的关系。

4、由x 1，x 2两根可构造的一元二次方程 以x 1，x 2为根的一个一元二次方程为；强调：应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： ①根的判别式042≥-ac b ②二次项系数0≠a ，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.二、典例精析：（一）、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根。

例1、已知方程052622=+-+-m m x x 的一个根为2，求另一个根及的值。

（二）、不解方程，判断两根的情况。

例2、不解方程，试判断方程0632=-+x x 两根的符号；（三）、求作新的方程；例3、作一个一元二次方程，使它的两个根为一元二次方程0132=--x x 的两根的平方．（四）不解方程，求方程两根所组成的某些代数式的值，这种应用与根的判别结合在一起。

例4 （1）已知关于x 的方程3x 2+6x-2=0的两根为x 1 ，x 2，求2111x x +的值. （2） 已知关于x 的方程3x 2-mx-2=0的两根为x 1 ，x 2，且31121=+x x ，求 ①m 的值； ②求x 12+x 22的值.例5：已知、是方程的两个实数根，求的值。

例6：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？例7：已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

（2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。

一元二次方程的根与系数的关系解一元二次方程的根可以通过求根公式得到，即 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

根据这个公式，我们可以看到根与系数之间有以下几个关系。

1.一元二次方程的根与a的关系：系数a出现在求根公式的分母位置，因此当a为0时，求根公式中将出现分母为零的情况，方程则不再是二次方程。

而当a不为0时，方程为一元二次方程，并且a的绝对值越大，求根公式的分母则越大，从而根的倒数也越大，因此a的变化会影响根的大小。

2.一元二次方程的根与b的关系：系数b出现在求根公式的分子位置，因此b的变化将直接影响根的值。

当b为正数时，根的值有两种可能：一种是两个实数根都为正数，另一种是两个实数根中一个为正数，另一个为负数。

当b为负数时，根的值也有两种可能：一种是两个实数根都为负数，另一种是两个实数根中一个为负数，另一个为正数。

3.一元二次方程的根与c的关系：系数 c 出现在求根公式中的平方根部分，从而 c 的变化对根的值起到重要的影响。

当 c 为正数时，根的值可能为两个实数，也可能为两个虚数。

当 c 为负数时，根的值为两个虚数。

而当 c 为零时，即方程为ax^2 + bx = 0，其中 a 和 b 不同时为零，方程则简化为 bx = 0，解为x = 0。

根据以上的分析，我们可以得出一些结论：-当a和b的值都相同时，方程的根的形态也相同。

例如，方程x^2+x+1=0和2x^2+2x+2=0都是只有虚根的方程。

-当a的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当a的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。

-当b的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当b的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。

-当c的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当c的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。

综上所述，一元二次方程的根与系数之间存在着一定的关系，系数的变化会对根的大小、正负以及虚实等性质产生影响。

第四册一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。

教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、2= 得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。

然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。

例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。

根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家）。

韦达定理是初中代数中的一个重要定理。

这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。

通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。

出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。

通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

（二）重点、难点一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。

（三）教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。

2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。