第18章勾股定理期末复习课件

4、已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边 长为 。
5、以线段a=0.6，b=1，C=0.8为边组成的三角形是不 是直角三角形？
八年级 数学
期末总复习
与勾股定理有关的计算问题
八年级 数学
期末总复习
勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系， 即两直角边的平方和等于斜边的平方。
2 2 2 a +b =c
C B
C1
八年级 数学
期末总复习
与展开图形有 关的计算问题
1、如图，所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪 开展成平面图，如图（2）所示．已知展开图中每个正 方形的边长为1． （1）求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的 线段可画几条？ （2）试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B/A/C/的 大小关系？
c a b
S小正方形＝（b-a）2 S大正方形＝4· S三角形＋S小正方形
1 即：c 2=4 ab+(b-a) 2 2 C2=2ab+a2-2ab+b2
赵爽弦图

2 2 a +b
=
2 c
八年级 数学
期末总复习
1、“所有的命题都有逆命题，所有的定理都有逆定理” 这种说法对吗？ 2、命题“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边 的一半”的逆命题是 。 3、在△ABC中，AC=6，BC=8，则AB的长为（ ） （A）10 （ B） 2 （C）4 （D）无法确定
C/
A/
B/
2、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿 长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所 示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D A 4 C1 1 B1 C 2 B

数学第18章勾股定理复习课件 人教版八年级下
欢迎来到数学第18章勾股定理的复习课件！本课件将带你回顾勾股定理的概 念、应用以及它在数学和实践中的重要性。让我们开始了解这一令人着迷的 数学原理吧！
勾股定理的概念
直角三角形、斜边、直角边
了解直角三角形的特点，斜边和直角边的定义。
勾股定理的证明
了解勾股定理的证明过程和历史背景。
勾股定理的表述
学习勾股定理的准确表述和公式。
勾股定理的应用
计算斜边、直角边、角度
掌握如何使用勾股定理计算直角三角形的不同 要素。
解决实际问题
了解如何将勾股定理应用于实际生活中的问题 解决。
勾股定理的推广
1 任意两条直线的关系
2 中线长定理、余弦定理、正弦
定理
发现和理解任意两条直线之间的关系。
学习勾股定理在二维平面中的推广和扩
展。
勾股定理的综合练习
1
练习题解析
通过解析练习题，加深对勾股定理的理练习题一起训练和巩固勾股定理的应用。
考点精练
等腰直角三角形
考察勾股定理在等腰直角三角形中的应用。
直角边问题
解决直角边问题时使用勾股定理的技巧。
应用题
应用勾股定理解决实际问题的综合练习。
勾股定理的拓展应用
三线定理
深入了解勾股定理与其它定 理之间的关系。
海伦公式
学习海伦公式的原理和应用 领域。
圆的切线问题
探索勾股定理在圆的切线问 题中的应用。
历史回顾
1 勾股定理的历史渊源
了解勾股定理的历史起源和发展。
2 数学家毕达哥拉斯
介绍古希腊数学家毕达哥拉斯及其对勾股定理的贡献。
3 勾股定理在实践中的应用
探索勾股定理在实际生活和科学中的广泛应用。

D 4a M x
8a-x E
C
X2+(4a)2=(8a-x)2
X=3a
G 8a-x=5a
8a-x
DE:DM:EM=3:4:5
F
A
B
已知:∠A=90°,AB=6,AC=8,以A为圆心, AC为半径,画弧交CB的延长线于D,求CD的长.
C
10
8
E
4.8
A
6B
8
x
D
X=2.8
• 谈谈你的收获
祝同学们学得更好!
D
OE=4cm OF=3cm
EF=OE-OF=4-3=1cm EF=OE+残的车轮如图所示,测得它所剩圆弧两端点间
综 合 应
的距离a=0.72m,弧中点到弧所对弦的距离h=0.25m, 如果需要加工与原来大小相同的车轮,那么这个车轮 的半径是多少?(结果精确到0.01m)
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2
在Rt△ACD中,AD2=AC2+CD2 =AB2+BC2+CD2
D
50cm
C
A
40cm
30cm
B
4。已知: ⊙ O的半径为5cm, AB、CD为⊙ O内的两条弦， AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,求AB、CD间的距离。
A
EB
A
EB
C
F
D
.O
.O
C
F
再见
个人观点供参考，欢迎讨论！
ICM2002
华罗庚
第24届国际数学大会会徽
识果边学授
.. , ,
, .
这 种 语 言 的
存 在 外 星 人
那 么 他 们 一 定 会

B时 A时
完全平方 公式与 “知二求 二”
图2
9、等腰三角形底边上的高为8，周长为32， 则三角形的面积为（ B ） A、56 B、48 C、40 D、32 A
x2+82=(16-x)2 x=6 BC=2x=12 16-x 8 C
S ABC
1 x 12 8 48 2
B
D x
10. 如图3所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距 离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子 的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端 B下降到B′，那么BB′也等于1m吗? B

如图，已知：等腰直角△ABC中，P为斜边BC 上的任一点. 求证：PB2＋PC2＝2PA2 . A 用于证明题中
B
P
D
C
【学习体会】 1.本节课你又那些收获？ 2.复习时的疑难问题解决了吗？你还有那些困惑？

【当堂达标】
1. 在直角三角形中，满足条件的三边长可以 是 ．(写出一组即可) 2. 如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小 正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A．90° B．60° C．45° D．30°
如图，为修铁路需凿通隧道AC， 测得∠A=50°，∠B=40°，AB=5 km,BC=4 km，若每天凿隧道0.3 km， 问几天才能把隧道凿通？
5.第5题图Fra bibliotek【知识应用】
1.若直角三角形三边长是整数，其中一边
长为6，那么另外两边长为（ ） A.3，5 B.5，8 C.8，10 D.9， 12 2.若三角形三边为6,8,10,则这个三角形是 （ ）三角形
3. 观察下列几组数据: (1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的三边长的有( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

1、已知：在△ABC中， AC＝10cm ，
BC＝24cm，AB＝26cm
求证：△ABC是直角三角形。
26 A 24 C B
10
3、若三角形的三边分别是： a2+b2,
提 示：
2ab,
a2-b2 ( a > b > 0 ),
判断这个三角形的形状。 把 a2+b2, 2ab, a2-b2 看成一个整体，
是否满足勾股定理的逆定理，
从而判断三角形的形状。
1.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm, c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ A ） A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2
c=10 a2+b2=102=100
a+b=14
(a+b)2=142=196 2ab=(a+b)2-(a2+b2) =196-100 =96
西北 东北 东 西
E
A
60° 30°
西南
南
东南
B
12
D
C
AB=15，AD=12，AC=13， 求：△ABC的周长和面积。
A 15 B 9 12 13 C
D 5
5、已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠1=∠2，CD=1.5, BD=2.5, 求AC的长. 3
提示：作辅助线DE⊥AB，利用平分线的性质和勾股定理。
C D 1 2 B
A
8.如图所示：某机械零件的平面图, 求：两孔中心A, B之间的距离.
在边CD上取一点E，将△ADE折叠使
点D恰好落在BC边上的点F，
求：CE 的长.
解：由折叠得AFE ADE

15
x
X+1
a
8
折叠中的计算问题
１、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在
BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,
求: (1)CF (2)EC.
10
D
A
8-X
8 10
E
8-X X
B
6
F4 C
a
9
有一个圆柱,它的
B
高等于12厘米,底 面半径等于3厘米,
我怎 么走
在圆柱下底面上的 A点有一只蚂蚁,它
a
3
题组1
（1三角形 的有几组？
6，8，10；5，12，13；8，40，41；
3（ａ－1），4（ａ－1），5（ａ－1） （ａ>1）
a
4
题组2
（1）已知⊿ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ＝20， ＢＣ＝24求⊿ＡＢＣ的面积。
（2）已知⊿ＡＢＣ中，∠Ｃ＝90°，ＡＣ
第十八章 勾股定理 (复习课)
a
1
一、 本章知识结构
实际问题 (直角三角形边长计算)
实际问题 (判定直角三角形)
勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
a
2
回顾与思考
1.直角三角形三边的长有什么关系?找 一个实际问题并用勾股定理解决.
2.已知一个三角形的三边,你能判断它 是否直角三角形吗?
3.如果一个命题成立,它的逆命题一定 成立吗?请举例说明.
＝4，ＢＣ＝3，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，求ＡＤ，
ＢＤ长。Ａ
Ａ
Ｄ
Ｂ
ＣＣ
Ｂ
a
5
5、分别以直角三角形三边为半径作半圆则 这三个半圆的面积A,B,C之间的关系（A=）B+C

2. ABC 中 角三角形 ( )
a2+b2=c2 则不是直
二填空题 1.在 ABC中, ∠ C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则 a=____,b=___. 6 8
41 (2)若a=9,b=40,则c=______. 2.在 ABC中, ∠ B=90°,若 AC=8,CB=6,则ABC面积为__, 斜边为上的高为______.
例10.假期中，王强和同学到某海岛上去
玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后 先往东走8千米，又往北走2千米，遇到 障碍后又往西走3千米，在折向北走到6 千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏， 问登陆点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少 1 B 千米？
6
3
A
8
2
如图，在△ABC中， AB=AC，D点在CB延长 2 线上，求证：AD 2 AB =BD· CD A
A
B
D
C
例8.如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为10cm，宽为4cm，将 你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、 D重合），在AD上适当移动三角板 顶点P：①能否使你的三角板两直 角边分别通过点B与点C？若能， 请你求出这时 AP 的长；若不能， 请说明理由.
P
勾股定理复习
1勾股定理：
2勾股定理的使用格式：
在直角三角形中，由 勾股定理得： 2 2 2 a +c =b
c
a
b
1勾股定理逆定理： 2勾股定理逆定理的使用 格式：
2 2 2 因为：a =c +b 所以：三角形是直角 三角形，
b
a
c
课堂练习： 一判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12, 则BC=13 ( )

(2)EC.
10
D
A
8-X
8
10
E
8-X X
B
6
F4 C
第九页，编辑于星期五：六点 十分。
有一个圆柱,它的
B
高等于12厘米,底面
半径等于 近呢?
点有一只蚂蚁,它想
从点A爬到点B , 蚂
蚁沿着圆柱侧面爬
A
行的最短路程是多
少?
第十页，编辑于星期五：六点 十分。
三、正方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体 的外表爬到对角顶点C1处〔三条棱长如以下图〕，问怎样走 路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
A
4
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三
C1
种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得
B1
1 C
图1中AC1爬行的路线最短.
2
B
D1
C1
①
1
A1
B1
第十三页，编辑于星期五：六点 十分。
拓展与应用
2、△ABC的三条边长分别为a、b、 c，且满足关系： (a+b)2 + c2 = 3ab + c(a+b), 试判断△ABC的形状，并说明理由.
第十四页，编辑于星期五：六点 十分。
3.如果一个命题成立,它的逆命题一定成
立吗?请举例说明.
第三页，编辑于星期五：六点 十分。
题组1
• 〔1〕求出图形中的ｘ
• 〔3〕在以下几组数中，能组成直角三角形 的有几组？
• 6，8，10；5，12，13；8，40，41； • 3〔ａ－1〕，4〔ａ－1〕，5〔ａ－1〕〔
ａ>1〕
第四页，编辑于星期五：六点 十分。

谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
第18章 勾股定理
期末复习
知识回顾
10
11 3 3或 5
10
(1)（2）（3）
到线段两短点距离相等的点在线段的平分线上
知识回顾 B
D
（1）a= 7
（ 2 ） a= 6 ， b = 8
（1）a= 7 （ 2 ） a= 6 ， b = 8
本章你学到了些什勾股定理
勾
• 勾股定理的应用 b
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
股
定 理
• 互逆命题、互逆定理
勾股定理的 • 勾股数 逆定理 • 勾股定理的逆定理的应用
例题
1、小红折叠长方形纸片ABCD的一 边AD,点D落在BC边上的点F处,已知 AB=8CM,BC=10CM,求EC的长.
10
D
A
8-X
8 10
E
8-X X
B
6
F4 C
例题
例题
当堂达标
B
B D
当堂达标
C 504 CD=6

❖ 2.若直角三角形三边长是整数，其中一边长为6， 那么另外两边长为（ ）
A.3，5 B.5，8 C.8，10 D.9，12 ❖ 3.若三角形三边为6,8,10,则这个三角形是（ ）
三角形
课件在线
3
❖ 4. 观察下列几组数据:
(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15;
(3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25.
课件在线
6
❖ 【变式练习】
❖ 1. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长 的平方是（ ）
A.25
B.14
C.7 D.7或25
❖ 2. 如图1阴影部分是一个正方形，则此正方形的面 积为 .
❖ 3. 如图2，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又
测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，
课件在线
5
❖ 2. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能 求出CD的长吗？
❖ 分析：因两直角边AC=6cm，BC=8cm，所以由 勾股定理求得AB= cm，设CD=x，由题意知 则DE=x，AE=AC=6，BE=10-6=4，BD= ．在 Rt△BDE由勾股定理得 ，解得 ，故能求 CD的长.
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教育教学优选
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教师：teacther
课件在线
1
ห้องสมุดไป่ตู้
18章 勾股定理
（小结与复习）
课件在线
2
❖ 【知识回顾】
❖ 1. 判断下列命题： ①等腰三角形是轴对称图形；②若a>1且b>1， 则a+b>2；③全等三角形对应角的平分线相等； ④直角三角形的两锐角互余,其中逆命题正确的 有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个

D
OE=4cm OF=3cm
EF=OE-OF=4-3=1cm EF=OE+OF=4+3=7cm
•
一个破残的车轮如图所示,测得它所剩圆弧两端点间
综 合 应
的距离a=0.72m,弧中点到弧所对弦的距离h=0.25m, 如果需要加工与原来大小相同的车轮,那么这个车轮 的半径是多少?(结果精确到0.01m)
ICM2002
识果边学授
这存长图建我
种在为形议国
华罗庚
第24届国际数学大会会徽
.. , ,
, .
语 言 的
外 星 人
那 么 他 们 一 定 会 认
3
4
5
的 直 角 三 角 形
如
飞 到 宇 宙 空 间
其 中 一 个 是
让 宇 宙 飞 船 带 着 两 三 个 数
已 故 著 名 数 学 家 华 罗 庚 教
知识回顾:
1、已知Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）a=8，b=15，求c （2）c=13，b=5，求a
（3）a:b=3:4,c=10，则a= 6 ,b= 8 . （4）∠A=30°，BC=2cm,则AB= 4cm，AC= cm
2、若等边三角形边长为a，则等边三角形的高为 。
3、有一根70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是40cm、30cm、 50cm的木箱中，能放进去吗？
D 4a M x
8a-x E
C
X2+(4a)2=(8a-x)2
X=3a
G 8a-x=5a
8a-x
DE:DM:EM=3:4:5
F
A
B
已知:∠A=90°,AB=6,AC=8,以A为圆心, AC为半径,画弧交CB的延长线于D,求CD的长.

（2）设a=13k，b=12k，c=5k（k＞0） ∵最长边是a=13k ∴a2=(13k)2 =169k2
∵b2+c2=(12k)2+(5k)2 =169k2
∴a2=b2+c2 ∴△ABC是直角三角形.
典例突破4
如图，A、B、C、D是四个小城镇，除 BC外，它们之间都有笔直的公路连接，公 共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成 正比.已知各城镇间的公共汽车票价如下： A—B：10元；A—C：12.5元；A—D：8元； B—D：6元；C—D：4.5元.
3.熟记常见的勾股数.
达标检测
1.已知一个直角三角形的面积为6cm2，一
条直角边长为3cm，则它的斜边长为（A）
A.5cm B.6cm C.8cm D.12cm 2.等腰三角形底边上的高是8，周长是32，
则此三角形的面积是（C）
A.32 B.40 C.48 D.56
3.已知︱x-12︱+(y-13)2与z2-10z+25互为相 反数，则以x、y、z为三边的三角形是
∴AB=9cm，BC=12cm，CA=15cm， ∵AB2+BC2=AC2, ∴△ABC是直角三角形，
∴经过3s时，BP=9-3×1=6(cm)，
BQ=2×3=6（cm）
1 ∴S△BPQ = 2 BP×BQ
1
= ×6×6
2
=18（cm2） 答：△BPQ的面积为18cm2.
课堂小结 什么是勾股定理？
（2）a︰b︰c=13︰12︰5.
分析：要先找出最长边，并算出它的平分， 再算出两条较短边的平方和，然后判断最长 边的平方是否等于两条较短边的平方和.
解（1）最长边为c= 6 ，
则c2=6.

3
A 7
2.如图，如果大正方形的面积
是13，小正方形的面积是1，
直角三角形的较短直角边为a，
较长直角边为b，那么 (a b)2
a
b
的值为（ C ）
A．13 B．19 C．25 D．169
面积问题
3 、如图，在直线AB上依次放七个正方形， 若斜放的正方形的边长分别为2、3、5，正 放的正方形的面积分别为S1、S2、S3、S4， 则S1＋S2＋S3＋S4的值为( B )
如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上， 这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿 墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（ ）
A
4
A1
25
24 20
C 7 B B1 15 8
名题欣赏
.如图，△OPQ是边长为2的等边三角形，若
反比例函数的图象过点P，则它的解析式是
___y____.3
x
yP
2
3
O1
Qx
A的面积+B的面积=C的面积 C A
B
CD B
A
勾股定理: 直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
a2+ b2=c2
逆定理:
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角 形是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7
2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求BC的长度。
A
10
17
8
B
6
D
15
C
BC=BD+CD
A
17
8

现旗杆上的绳子垂到地面还多2米； 又向西走了3km，再向北走9km，最后向东一拐，仅走1km就找到了出口B．你能帮他们计算出出口点B与入口点A的直线距离有多远吗？
(如直图角所三示角，形圆边柱长形计玻算璃) 容器的高为18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点A处有一小蚂蚁，它在与自己相对的圆柱形容器的上 如口图外是 侧一距个开机口器1c零m的件点示B意处图发，现∠一AC点D点=9食0°物是碎这屑种．零请件问合：格蚂的蚁一爬项到指食标物．处现的测最得近A路B＝线4是cm多，长B？C＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm， ∠一A长B方C=形90水°．池根的据长这、些宽条、件高，分能别否为知12道dm∠、AC4Ddm等、于39d0m°？，池中有一满池水．小亮把长度为14dm的金属棒放入水中，能否被完全淹没？说说
5.一长方形水池的长、宽、高分别 你的理由．
小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米； 如果一个命题成立,它的逆命题一定成立吗?请举例说明.
为12dm、4dm、3dm，池中有一满池 如图是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标．现测得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，
第十八章 勾股定理 (复习课)
一、 本章知识结构
实际问题 (直角三角形边长ห้องสมุดไป่ตู้算)
实际问题 (判定直角三角形)
勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
回顾与思考
1.直角三角形三边的长有什么关系?找一 个实际问题并用勾股定理解决.
2.已知一个三角形的三边,你能判断它 是否直角三角形吗?
3.如果一个命题成立,它的逆命题一定成 立吗?请举例说明.
2.小亮想知道学校旗杆的高度．他发 如直图角是 三一角个形机三器边零的件长示有意什图么，关系∠A?C找D一=9个0°实是际这问种题零并件用合勾格股的定一理项解指决标.．现测得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，