高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解习题新人教A版必修1

3.1.2 用二分法求方程的近似解一、A组1.以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是()解析:根据二分法的思想,函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)·f(b)<0,即函数的零点是变号零点,才能将区间(a,b)一分为二,逐步得到零点的近似值,对各图象分析可知,A,B,D都符合条件,而选项C不符合,因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化,因此不能用二分法求函数零点.答案:C2.用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为()A.[-1,0]B.[0,1]C.[1,2]D.[2,3]解析:f(-1)=-<0,f(0)=-2<0,f(1)=-1<0,f(2)=1>0,f(3)=5>0,则f(1)·f(2)<0,即初始区间可选[1,2].答案:C3.(2016·山东淄博高一期末)根据表格内的数据,可以断定方程e x-x-2=0的一个根所在的区间是()x-1 0 1 2 3e x 0.3712.727.3920.08x+21 2 3 4 5A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:令f(x)=e x-x-2,由上表可知,f(-1)<0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0.则f(1)·f(2)<0,故选C.答案:C4.(2016·重庆高一期末)已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如表:x0 0.5 0.531 250.562 50.6250.751f(---0.060.20.51.0x) 1.307 0.0840.0096 15 12 99由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是()A.0.625B.-0.009C.0.562 5D.0.066解析:设近似解为x0,因为f(0.531 25)<0,f(0.562 5)>0,所以x0∈(0.531 25,0.562 5).因为0.562 5-0.531 25=0.031 25<0.05,所以方程的近似解可取为0.562 5,故选C.答案:C5.若函数f(x)=x2+ax+4有零点,但不能用二分法求出该零点,则a的值为.解析:由题意知Δ=a2-16=0,解得a=±4.答案:±46.在用二分法求方程f(x)=0在(0,1)内的近似解时,经计算f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,则可得出方程的一个近似解为(精确度0.1).解析:因为|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1,所以(0.687 5,0.75)内的任意一个值都可作为方程的近似解.答案:0.75(答案不唯一)7.若函数f(x)的图象是连续不断的,根据下面的表格,可以断定f(x)的零点所在的区间为.(只填序号)①(-∞,1]②[1,2]③[2,3]④[3,4]⑤[4,5]⑥[5,6]⑦[6,+∞)解析:根据零点存在定理,f(x)在[2,3],[3,4],[4,5]内都有零点.答案:③④⑤8.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个近似零点,其参考数据如下:f(1.6)≈0. 200 f(1.5875)≈0.133f(1.575)≈0.067f(1.562 5)≈0.003 f(1.55625)≈-0.029f(1.55)≈-0.060根据此数据,求方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度0.01).解:因为f(1.562 5)·f(1.556 25)<0,所以函数的零点在区间(1.556 25,1.562 5)内, 因为|1.562 5-1.556 25|=0.006 25<0.01,所以方程3x-x-4=0的一个近似解可取为1.562 5.9.导学号29900126求方程3x+=0的近似解(精确度0.1).解:原方程可化为3x-+1=0,即3x=-1.令g(x)=3x,h(x)=-1,在同一平面直角坐标系中,分别画出函数g(x)=3x与h(x)=-1的简图.g(x)与h(x)图象的交点的横坐标位于区间(-1,0),且只有一交点,∴原方程只有一个解x=x0.令f(x)=3x+=3x-+1,∵f(0)=1-1+1=1>0,f(-0.5)=-2+1=<0,∴x0∈(-0.5,0).用二分法求解列表如下:中点值中点(端点)函数值及符号选取区间f(-0.5)<0,f(0)>0 (-0.5,0)-0.25f(-0.25)≈0.4265>0(-0.5,-0.25)-0.375f(-0.375)≈0.0623>0(-0.5,-0.375)-0.4375f(-0.437 5)≈-0.159 3<0(-0.4375,-0.375)∵|-0.437 5-(-0.375)|=0.062 5<0.1,∴原方程的近似解可取为-0.4.二、B组1.已知f(x)=-ln x在区间(1,2)内有一个零点x0,若用二分法求x0的近似值(精确度0.2),则需要将区间等分的次数为()A.3B.4C.5D.6解析:f(1)=1>0,f(2)=-ln 2<0.由二分法求函数零点近似值的步骤可知:分第一次,因为f>0,所以x0∈,区间长度=0.5>0.2;分第二次,因为f>0,所以x0∈,区间长度=0.25>0.2;分第三次,因为f<0,所以x0∈,区间长度<0.2.故分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2.答案:A2.下列函数中,不能用二分法求其零点的是()A.y=3x+1B.y=x2-1C.y=log2(x-1)D.y=(x-1)2解析:结合函数y=(x-1)2的图象(图略)可知,该函数在x=1的左、右两侧的函数值的符号均为正,故不能用二分法求其零点.答案:D3.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间()A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定解析:由已知f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴f(1.25)·f(1.5)<0,因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内,故选B.答案:B4.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值),则a的值为.解析:令f(x)=2x-x2,由表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,∴根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,∴a=-1或a=-0.8.答案:-1或-0.85.导学号29900127如图,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测次.解析:第1次取中点把焊点数减半为=32,第2次取中点把焊点数减半为=16,第3次取中点把焊点数减半为=8,第4次取中点把焊点数减半为=4,第5次取中点把焊点数减半为=2,第6次取中点把焊点数减半为=1,所以至多需要检测的次数是6.答案:66.导学号29900128如图所示,有一块边长为15 cm的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为x cm 的正方形,然后折成一个无盖的盒子.(1)求盒子的容积y(以x为自变量)的函数解析式,并写出这个函数的定义域;(2)如果要做一个容积为150 cm3的无盖盒子,那么截去的小正方形的边长x是多少?(精确度0.005,最终结果精确到0.1 cm)解:(1)盒子的容积y是以x为自变量的函数,解析式为y=x(15-2x)2,x∈(0,7.5).(2)如果要做成一个容积是150 cm3的盒子,那么(15-2x)2·x=150.令f(x)=(15-2x)2·x-150,由f(0)·f(1)<0,f(4)·f(5)<0,可以确定f(x)在(0,1)和(4,5)内各有一个零点,即方程(15-2x)2·x=150在区间(0,1)和(4,5)内各有一个解.取区间(0,1)的中点x1=0.5,∵f(0.5)=-52,∴零点x0∈(0.5,1).再取中点x2=0.75,∵f(0.75)≈-13.31,∴零点x0∈(0.75,1).继续有x0∈(0.75,0.875),x0∈(0.812 5,0.875),x0∈(0.843 75,0.875),x0∈(0.843 75,0.859 375),x0∈(0.843 75,0.851 562 5),x0∈(0.843 75,0.847 656 25).∵|0.847 656 25-0.843 75|≈0.004<0.005,且区间(0.843 75,0.847 656 25)内的所有值精确到0.1都是0.8,∴方程在区间(0,1)内的近似解可取0.8.同理,可得方程在区间(4,5)内的近似解为4.7.所以要做成一个容积为150 cm3的无盖盒子,截去小正方形的边长约是0.8 cm或4.7 cm.。

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3.1。

2 用二分法求方程的近似解[课时作业]［A组基础巩固］1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( ）答案：B2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（）A．ε越大,零点的精确度越高B．ε越大,零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关答案：B3．用二分法求函数f（x）＝x3＋5的零点可以取的初始区间是（）A．[－2, 1] B．［－1,0］C．［0,1] D．［1,2]解析:f(－2)＝－3〈0，f(1）＝6〉0逐次验证得出初始区间为A。

答案：A4．定义在R上的函数f（x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f（x）在区间（a，b)上有一个零点x0，且f(a)·f（b)<0,用二分法求x0时,当f错误!＝0时，则函数f（x)的零点是（) A．(a，b）外的点B．x＝错误!C．区间错误!或错误!内的任意一个实数D．x＝a或x＝b答案:B5．设f（x）＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中，计算得到f(1）〈0，f(1.5)〉0，f(1.25）〈0，则方程的根落在区间( )A．(1,1.25) B．(1.25，1.5)C．（1。

高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课时作业含解析新人教A 版必修3.1.2 用二分法求方程的近似解一、选择题1．用二分法求如图所示函数f (x )的零点时，不可能求出的零点是( C )A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 4[解析] 用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧，函数值的符号不同，故选C ． 2．已知函数y ＝f (x )的图象如下图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( D )A ．4,4B ．3,4C ．5,4D ．4,3[解析] 题中图象与x 轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D ．3．函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( A )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(0，12)D ．(12，1)[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )单调递增， ∵f (1)＝log 21－1＝－1<0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0，∴在区间(1,2)内，函数f (x )存在零点，故选A ．4．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625 f (1.25)＝－0.984A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5[解析] 依据题意，∵f (1.437 5)＝0.162，且f (1.406 25)＝－0.054，∴方程的一个近似解为1.4，故选C ．5．设f (x )＝lg x ＋x －3，用二分法求方程lg x ＋x －3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f (2.25)<0，f (2.75)>0, f (2.5)<0，f (3)>0，则方程的根落在区间( C )A ．(2,2.25)B ．(2.25,2.5)C ．(2.5,2.75)D ．(2.75,3)[解析] 因为f (2.25)<0，f (2.75)>0，由零点存在性定理知，在区间(2.25,2.75)内必有根，利用二分法得f (2.5)<0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)内，选C ．6．已知函数y ＝f (x )的零点在区间[0,1]内，欲使零点的近似值的精确度达到0.01，则用二分法取中点的次数的最小值为( B )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] ∵(12)6＝0.015 625，(12)7＝0.007 812 5， ∴至少要取7次中点，区间的长度才能达到精确度要求． 二、填空题7．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算得f (0)<0，f (0.5)>0，第二次应计算f (x 1)，则x 1＝__0.25__.[解析] ∵f (0)<0，f (0.5)>0， ∴f (0)·f (0.5)<0，∴f (x )在(0,0.5)内必有零点，利用二分法，则第二次应计算f (0＋0.52)＝f (0.25)，∴x 1＝0.25.8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称__4__次就可以发现这枚假币．[解析] 将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在平天两端，若天平平衡，则假币一定是拿出那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．三、解答题9．求32的近似值(精确度0.01)．[解析] 设x ＝32，则x 3－2＝0，令f (x )＝x 3－2，则函数f (x )的零点的近似值就是32的近似值．以下用二分法求其零点的近似值．由于f (1)＝－1<0，f (2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：区间中点 中点函数值(1,2) 1.5 f (1.5)＝1.375 (1,1.5) 1.25 f (1.25)≈－0.046 9 (1.25,1.5) 1.375 f (1.375)≈0.599 6 (1.25,1.375) 1.312 5 f (1.312 5)≈0.261 0 (1.25,1.312 5) 1.281 25 f (1.281 25)≈0.103 3 (1.25,1.281 25) 1.265 625f (1.265 625)≈0.027 3(1.25,1.265 625) 1.257 812 5 f (1.257 812 5)≈－0.010 0(1.257 812 5,1.265 625)5<0.01，所以32的近似值可以取1.26.10．已知函数f (x )＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．[解析] (1)当m ＋6＝0时，函数为f (x )＝－14x －5，显然有零点，当m ＋6≠0时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)·(m ＋1)＝－36m －20≥0，得m ≤－59，∴m ≤－59且m ≠－6时，二次函数有零点．综上可知，m ≤－59.(2)设x 1，x 2是函数的两个零点， 则有x 1＋x 2＝－2m －1m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6，∵1x1＋1x2＝－4，即x1＋x2x1x2＝－4，∴－2m－1m＋1＝－4，解得m＝－3，且当m＝－3时，m≠－6，Δ>0符合题意，∴m＝－3.。

第三章 3.1 3.1.2 用二分法求方程的近似解1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．答案：A2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]解析：∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．答案：A3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：) A．1.55 B．1.56C．1.57 D．1.58解析：由参考数据知，f(1.562 5)＝0.003＞0，f(1.556 2)＝－0.029＜0，即f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01为1.56)．答案：B4．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.解析：由题意x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝0.625.答案：0.6255．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；⑥[5,6]；⑦[6，＋∞).6．求32的近似值(精确度0.01)．解：设x＝32，则x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是32的近似值．以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：由于区间＜0.01，所以这个区间内的点1.26可以作为函数f(x)零点的近似值，即32的近似值是1.26.。

3.1.2 用二分法求方程的近似解【选题明细表】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )(A)x1(B)x2(C)x3(D)x4解析:观察图象可知,零点x3的附近两边的函数值都为负值,所以零点x3不能用二分法求.2.用二分法找函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为( B )(A)(0,1) (B)(0,2)(C)(2,3) (D)(2,4)解析:因为f(0)=20+0-7=-6<0,f(4)=24+12-7>0,f(2)=22+6-7>0,所以f(0)f(2)<0,所以零点在区间(0,2).3.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为(0,),(0,),(0,),则下列说法中正确的是( B )(A)函数f(x)在区间(0,)内一定有零点(B)函数f(x)在区间(0,)或(,)内有零点,或零点是(C)函数f(x)在(,a)内无零点(D)函数f(x)在区间（0,）或（,）内有零点解析:根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在（0,）或（,）中或f（）=0.故选B.4.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.故选B.5.用二分法求方程x2-5=0在区间(2,3)内的近似解,经过次二分后精确度能达到0.01.解析:因为初始区间的长度为1,精确度要求是0.01,所以≤0.01,化为2n≥100,解得n≥7.答案:76.用二分法研究函数f(x)=x3+ln（x+）的零点时,第一次经计算f(0)<0,f（）>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.解析:由于f(0)<0,f（）>0,故f(x)在（0,）上存在零点,所以x0∈（0,）,第二次计算应计算0和在数轴上对应的中点x1==.答案:（0,）f（）7.(2018·安徽省江南名校高一联考)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,15),(0,7),(0,4),(1,3)内,那么下列说法中正确的是( C )(A)函数f(x)在区间(1,2)内有零点(B)函数f(x)在区间(1,2)或(2,3)内有零点(C)函数f(x)在区间[3,15)内无零点(D)函数f(x)在区间(2,15)内无零点解析:根据二分法的实施步骤即可判断.故选C.8.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( A )(A)至少5个 (B)5个(C)至多5个 (D)4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(1.25)f(1.375)<0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解. 9.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值),则a的值为.解析:令f(x)=2x-x2,由表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,所以a=-1或a=-0.8.答案:-1或-0.810.利用计算器,求方程x2-6x+7=0的近似解(精确度0.1). 解:设f(x)=x2-6x+7,通过观察函数的草图得,f(1)=2>0,f(2)=-1<0,所以方程x2-6x+7=0有一根在(1,2)内,设为x1,因为f(1.5)=0.25>0,所以1.5<x1<2,又因为f()=f(1.75)=-0.437 5<0,所以1.5<x1<1.75,如此继续下去,得f(1)>0,f(2)<0⇒x1∈(1,2),f(1.5)>0,f(2)<0⇒x1∈(1.5,2),f(1.5)>0,f(1.75)<0⇒x1∈(1.5,1.75),f(1.5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.5,1.625),f(1.562 5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.562 5,1.625),由于|1.562 5-1.625|=0.062 5<0.1,所以方程x2-6x+7=0的一个近似解可取为 1.625,用同样的方法,可求得方程的另一个近似解可取为4.437 5.11.如果在一个风雨交加的夜里查找线路,从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10 km长,大约有200多根电线杆子.假如你是维修线路的工人师傅,你应该怎样工作?想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?解:如图.他首先从中点C查.用随身带的话机向两端测试时,如果发现AC段正常,则断定故障在BC段,再到BC段中点D,这次若发现BD段正常,则故障在CD段,再到CD中点E来查,……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右,即两根电线杆附近,设需要排查n 次,则有50<<100,即100<2n<200.因此只要7次就够了.。

3.1.2 用二分法求方程的近似解1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．谈重点对二分法的理解(1)二分法就是不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．(2)二分法的理论基础是根的存在性定理．【例1－1】下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )A．y＝x＋7 B．y＝5x－1C．y＝log3x D．y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－x对于A，解方程x＋7＝0，得x＝－7，因此函数y＝x＋7不一定非得用二分法求零点；对于B，解方程5x－1＝0，得x＝0，因此函数y＝5x－1不一定必须用二分法求零点；对于C，解方程log3x＝1，得x＝1，因此函数y＝log3x不是必须用二分法求零点；对于D，无法通过方程12x⎛⎫⎪⎝⎭－x＝0得到零点．故选D.答案：D【例1－2】下列函数中，不能用二分法求零点的是( )解析：能否用二分法求函数的零点，关键是在零点附近是否存在x1，x2使f(x1)·f(x2)＜0，从直观上看，就是图象是否穿过x轴．答案：C点技巧判断能否用二分法求函数零点的依据判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点是变号零点(即零点两侧某区域内函数值异号)．因此用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用．2．二分法的步骤(1)使用二分法的前提条件是：如果函数y＝f(x)在选定的区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，才能用二分法去求函数的零点．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；a．若f(c)＝0，则c就是函数的零点；b．若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；c．若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε；即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④．谈重点用二分法求函数零点近似值的注意点(1)在第一步中要使：①区间[a，b]的长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a)·f(b)＜0．(2)二分法仅对函数变号零点(即零点两侧某区域内函数值异号)适用．(3)利用二分法求函数的零点时，要随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．【例2－1】用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________．以上横线上应填的内容为( )A．(0,0.5)，f(0.25)B．(0,1)，f(0.25)C．(0.5,1)，f(0.75)D．(0,0.5)，f(0.125)解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由f(0)＜0，f(0.5)＞0知x0∈(0,0.5)，再计算0与0.5的中点0.25处相应的函数值，以判断x0的更准确位置．答案：A【例xf(1.6000)≈0.200f(1.587 5)≈0.133f(1.575 0)≈0.067f(1.562 5)≈0.003f(1.556 25)≈－0.029f(1.550 0)≈－0.060x．解析：∵由参考数据知f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.556 25)≈－0.029＜0，即f(1.562 5)·f(1.556 25)＜0，且1.562 5－1.556 25＝0.006 25＜0.01，∴函数f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.562 5．答案：1.562 5(答案不唯一)3．利用二分法求方程的近似解应用二分法求函数零点近似值的方法可以求某些方程的近似解或某些无理数的近似值，其方法是构造函数，转化为求函数零点近似值的问题．利用二分法求方程近似解的步骤是：(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．用二分法求方程的近似解要注意的问题：(1)要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束．(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大．(3)在二分法的第四步，由|a－b|＜ε，便可判断零点近似值为a或b，即只需进行有限次运算即可．(4)用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值．例如，求方程lg x＝3－x的近似解(精确到0.1)．解析：使用计算器或计算机，最好使用几何画板软件，画出函数y＝lg x的图象，利用数形结合的方法估算出方程的解所在的一个区间．如图所示，由函数y＝lg x与y＝3－x的图象，可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内，设f(x)＝lg x＋x－3，用计算器计算，得f(2)＜0，f(3)＞0⇒x1∈(2,3)，f(2.5)＜0，f(3)＞0⇒x2∈(2.5,3)，f(2.5)＜0，f(2.75)＞0⇒x3∈(2.5,2.75)，f(2.5)＜0，f(2.625)＞0⇒x4∈(2.5,2.625)，f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0⇒x5∈(2.562 5,2.625)．因为2.625与2.562 5精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x5≈2.6．本题关键是应用数形结合，直观地寻求方程的近似解所在的区间(2,3)，并借助计算器等辅助工具．【例3－1】求方程lg x＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－1的近似解(精确度0.1)．解析：可先作出函数y＝lg x和y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－1的图象，估算出方程的解所在的一个区间，再用二分法求解．解：如图所示，由函数y＝lg x与y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－1的图象可知，方程lg x＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－1有唯一实数解，且在区间(0,1)内．设f (x )＝lg x －12x⎛⎫ ⎪⎝⎭＋1，f (1)＝12＞0，用计算器计算，列表如下： 取值区间 中点值 中点函数近似值 区间长度(0,1) 0.5 －0.008 1 1(0.5,1) 0.75 0.280 5 0.5(0.5,0.75) 0.625 0.147 5 0.25(0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125由于区间差不超过0.1，所以函数f (x )的零点近似值为0.562 5，即方程lg x ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭－1的近似解为x ≈0.562 5．析规律 利用二分法求方程的近似解的方法 (1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)对于求形如f (x )＝g (x )的方程的近似解，可以通过移项转化为求形如F (x )＝f (x )－g (x )＝0的方程的近似解，即转化为求函数F (x )的零点近似值，利用二分法求解即可． 【例3－2】求方程3x＋1x x +＝0的近似解(精确度0.1)． 解：原方程可化为3x －1x x +＋1＝0，即3x ＝1x x +－1． 在同一坐标系中，分别画出函数g (x )＝3x 与h (x )＝1x x +－1的简图，如图所示：∵g (x )与h (x )的图象交点的横坐标位于区间(－1,0)且只有一个交点，∴原方程只有一解x ＝x 0．令f (x )＝3x ＋1x x +＝3x －1x x +＋1， ∵f (0)＝1－1＋1＝1＞0，f (－0.5)32＋1133-＜0， ∴x 0∈(－0.5,0)．用二分法求解，列表如下∵|－0.375－(－0.437 5)|＝0.062 5＜0.1，∴原方程的近似解可取为－0.375．4．二分法在生活中的应用我们知道，二分法是一种体现了现代信息技术与数学课程的结合，将数学学习与信息技术紧密结合在一起，渗透了算法思想和合理运用科学型计算器、各种数学教育技术平台的方法．二分法不仅仅可以用来求解函数的零点和方程的根，还在现实生活中也有许多重要的应用，可以用来处理一些实际应用问题．如在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用．例如，中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了．选手紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取区间[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例4－1】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很大．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？解析：先检查中间一根电线杆，则将故障的范围缩小一半，再用同样方法依次检查下去．解：如图，维修工人首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点去查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50 m至100 m，即一、两根电线杆附近．【例4－2】某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2008年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2009年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2012年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2008年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．(1)求2012年每台电脑的生产成本；(2)以2008年的生产成本为基数，用二分法求2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率(精确到0.01)．解：(1)设2012年每台电脑的生产成本为P元，根据题意，得P(1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，解得P＝3 200(元)．故2012年每台电脑的生产成本为3 200元．(2)设2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得5 000(1－x)4＝3 200(0＜x＜1)，令f(x)＝5 000(1－x)4－3 200，作出x，f(x)的对应值表：x 00.10.150.20.30.45f(x) 1 80080.5－590－1 152－2 000－2 742x0．取区间(0.1,0.15)的中点x1＝0.125，可得f(0.125)≈－269．因为f(0.125)·f(0.1)＜0，所以x0∈(0.1,0.125)．再取区间(0.1,0.125)的中点x2＝0.112 5，可得f(0.112 5)≈－98．因为f(0.1)·f(0.112 5)＜0，所以x0∈(0.1,0.112 5)．同理可得，x0∈(0.1,0.106 25)，x0∈(0.103 125,0.106 25)，x0∈(0.104 687 5，0.106 25)，x0∈(0.105 468 75,0.106 25)，由于|0.105 468 75－0.106 25|＜0.01，此时区间的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程的近似解为0.11．故2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率为11%．。

2021年高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似值练习 新人教A 版必修1基础梳理1．对于在区间[a ，b ]上连续不断，且满足f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做________．例如：指出下列函数中哪些能用二分法求其近似零点，哪些不能． ①y ＝2x ＋3；②y ＝x 2＋2x ＋1；③y ＝－3＋lg x .2．图象在闭区间[a ，b ]上连续不断的单调函数f (x )，在(a ，b )上至多有________．例如：判断下列函数在(－2，2)上的零点个数． ①y ＝－2x ；②y ＝3x－10.3．函数零点的性质．(1)从“数”的角度看：即是使f (x )＝____的实数；(2)从“形”的角度看：即是函数f (x )的图象与____交点的横坐标；(3)若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与________，则零点x 0通常称为不变号零点； (4)若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与________，则零点x 0通常称为变号零点． 4．用二分法求函数的变号零点．二分法的条件f (a )·f (b )＜0表明用________求函数的近似零点都是指________． 5．给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤： (1)确定初始区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )____，给定精确度ε. (2)求区间(a ，b )的________(将a ＋b2称为区间[a ，b ]的中点)．(3)计算f (x 1)：①若f (x 1)＝0，则x 1是函数的零点；②若f (a )·f (x 1)<0，则令b ＝x 1[此时零点x 0∈(a ，x 1)]；③若f (x 1)·f (b )<0，则令a ＝x 1[此时零点x 0∈(x 1，b )]．(4)判断是否达到精确度ε，即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复(2)～(4)步骤．基础梳理1．一分为二 二分法 ①③可以，②不行 2．一个零点 ①一个 ②0个3．(1)0 (2)x 轴 (3)x 轴相切 (4)x 轴相交 4．二分法 变号零点 5．(1)＜0 (2)中点x 1思考应用1．用二分法求函数的零点近似值时应注意的问题有哪些？解析：首先要找到零点所在的一个区间[]a ，b ，即满足f (a )·f (b )＜0；其次是区间[]a ，b 的长度尽量小；再次是函数值f (a )、f (b )比较容易计算．2．根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的．若要求方程f (x )＝g (x )的实根，可研究哪个函数的零点？解析：可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，研究函数F (x )的零点， 函数F (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实根．3．如何理解“精确度ε”的含义？ 解析： 精确度ε是事先给定的任意一个正数．若函数零点的存在区间[]a ，b 满足：||b －a <ε，则区间[]a ，b 内的任意一个实数都是满足要求的零点近似值．自测自评1．设f ()x ＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在区间(1，2)内近似解的过程中得到f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根所在的区间是( )A ．(1.25，1.5) B. (1，1.25) C ．(1.5，2) D ．不能确定2．根据下表，能判断方程f (x )＝g (x )有实数解的区间是( )C．(1，2) D．(2，3)3．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)(b－a＝0.1)上有唯一零点．如果用“二分法”求这个零点(精确到0.000 1)的近似值，求至少将区间(a，b)等分的次数．自测自评1．A2．解析：f(x)与g(x)的函数值大小发生转换的区间(0，1)．答案：B3．解析：将区间(a，b)等分n次后，区间长度变为(b－a)·12n ＝0.1×12n，即可精确到0.1×12n .令0.1×12n≤0.000 1，即2n≥1 000，∴n＞9.将区间(a，b)等分的次数至少是10.►基础达标1．下列函数图象中，不能用二分法求函数零点近似值的是( )1．解析：B图中函数无零点，故不能用二分法求其零点近似值．答案：B2．求方程f(x)＝0在[0，1]内的近似根，用二分法计算到x10＝0.445达到精度要求．那么所取误差限ε是( )A．0.05 B．0.005C．0.000 5 D．0.000 052．C3．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．3．解析：记f(x)＝x3－2x－5，∵f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，f (2)＝8－4－5＝－1＜0，∴f (2.5)f (2)＜0，∴有根区间为(2，2.5)． 答案：(2，2.5)4．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )A ．(0，0.5)，f (0.25)B ．(0，1)，f (0.25)C ．(0.5，1)，f (0.25)D ．(0.5，1)，f (0.125)4．解析：函数f (x )连续，且f (0)f (0.5)＜0，∴x 0∈(0，0.5)，第二次计算应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．故选A.答案：A5．利用计算器，方程x 2－2x －1＝0在(1，3)内的近似解(精确到0.1)是( )A ．2.2B ．2.4C ．2.6D ．2.85．B6．在用二分法求方程f (x )＝0在[1，1.5]上的近似解时，经计算，f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，f (1.375)＜0，f (1.437 5)＞0，f (1.406 25)＜0，那么方程f (x )＝0的一个近似解为( )A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.56．解析：∵f (1.406 25)f (1.437 5)＜0，∴方程f (x )＝0的根位于区间(1.406 25，1.437 5)内，精确到0.1的一个近似根是1.4.故选C.答案：C ►巩固提高7．方程x 3－2x 2＋3x －6＝0在区间[－2，4]上的根必属于区间( )A ．[－2，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，52 7．解析：令f (x )＝x 3－2x 2＋3x －6，则f (－2)＝－28＜0，f (4)＝38＞0，f (1)＝－4＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝378＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74＝－9764.故选D. 答案：D8．已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：则函数f(x)至少有____个零点．8．解析：∵f(x)的图象是连续不断的由表知在(2，3)，(3，4)，(4，5)各至少有1个零点，故至少有3个零点．答案：39．利用计算器，求方程x3＋x＋4＝0的近似解(精确到0.1)．9．解析：令f(x)＝x3＋x＋4 ，因为函数f(x)＝x3＋x＋4 在R上是增函数，所以函数f(x)＝x3＋x＋4 至多有1个零点．因为f(－2)f(－1)<0，所以函数f(x)＝x3＋x＋4 的零点在(－2，－1)内，用二分法逐次计算，列表如下：取区间中点值中点函数值(－2，－1)－1.5－0.875(－1.5，－1)－1.250.797(－1.5，－1.25)－1.3750.025(－1.5，－1.375)－1.437 5－0.408(－1.437 5，－1.375)∵|－∴函数f(x)的零点近似值为－1.437 5.∴方程x3＋x＋4＝0的近似解为－1.4.10．利用计算器，用二分法求函数f(x)＝lg x＋x－3在(2, 3)内的零点近似值(精确到0.1)．10．解析：∵f(x)＝lg x＋x－3在(2，3)上是连续不断的且在(2，3)上是单调增函数．取区间中点值中点函数值(2, 3) 2.5－0.102(负数)(2.5, 3) 2.750.189(正数)(2.5, 2，75) 2.6250.044(正数)(2.5，2.625) 2.562 5－0.029(负数)(2，562 5, 2.625)∴函数f(x)的零点近似值为2.6.1．用二分法求函数零点时，先要判断函数是否可用二分法求零点，注意数形结合，充分利用函数的图象，把近似计算与直观判断相结合．2．用二分法求零点时要根据函数性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少运算量．3．注意“精确度”要求对结果的影响，不同的“精确度”要求，对结果有影响．g26513 6791 枑40354 9DA2 鶢S28745 7049 灉4 35081 8909 褉 37229 916D 酭_25089 6201 戁31786 7C2A 簪34912 8860 衠。

3.1.2 用二分法求方程的近似解【选题明细表】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )(A)x1(B)x2(C)x3(D)x4解析:观察图象可知,零点x3的附近两边的函数值都为负值,所以零点x3不能用二分法求.2.用二分法找函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为( B )(A)(0,1) (B)(0,2)(C)(2,3) (D)(2,4)解析:因为f(0)=20+0-7=-6<0,f(4)=24+12-7>0,f(2)=22+6-7>0,所以f(0)f(2)<0,所以零点在区间(0,2).3.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为(0,),(0,),(0,),则下列说法中正确的是( B )(A)函数f(x)在区间(0,)内一定有零点(B)函数f(x)在区间(0,)或(,)内有零点,或零点是(C)函数f(x)在(,a)内无零点(D)函数f(x)在区间（0,）或（,）内有零点解析:根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在（0,）或（,）中或f（）=0.故选B.4.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.故选B.5.用二分法求方程x2-5=0在区间(2,3)内的近似解,经过次二分后精确度能达到0.01.解析:因为初始区间的长度为1,精确度要求是0.01,所以≤0.01,化为2n≥100,解得n≥7.答案:76.用二分法研究函数f(x)=x3+ln（x+）的零点时,第一次经计算f(0)<0,f（）>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.解析:由于f(0)<0,f（）>0,故f(x)在（0,）上存在零点,所以x0∈（0,）,第二次计算应计算0和在数轴上对应的中点x1==.答案:（0,）f（）7.(2018·安徽省江南名校高一联考)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,15),(0,7),(0,4),(1,3)内,那么下列说法中正确的是( C )(A)函数f(x)在区间(1,2)内有零点(B)函数f(x)在区间(1,2)或(2,3)内有零点(C)函数f(x)在区间[3,15)内无零点(D)函数f(x)在区间(2,15)内无零点解析:根据二分法的实施步骤即可判断.故选C.8.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( A )(A)至少5个 (B)5个(C)至多5个 (D)4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(1.25)f(1.375)<0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解.为.解析:令f(x)=2x-x2,由表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,所以a=-1或a=-0.8.答案:-1或-0.810.利用计算器,求方程x2-6x+7=0的近似解(精确度0.1).解:设f(x)=x2-6x+7,通过观察函数的草图得,f(1)=2>0,f(2)=-1<0,所以方程x2-6x+7=0有一根在(1,2)内,设为x1,因为f(1.5)=0.25>0,所以1.5<x1<2,又因为f()=f(1.75)=-0.437 5<0,所以1.5<x1<1.75,如此继续下去,得f(1)>0,f(2)<0⇒x1∈(1,2),f(1.5)>0,f(2)<0⇒x1∈(1.5,2),f(1.5)>0,f(1.75)<0⇒x1∈(1.5,1.75),f(1.5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.5,1.625),f(1.562 5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.562 5,1.625),由于|1.562 5-1.625|=0.062 5<0.1,所以方程x2-6x+7=0的一个近似解可取为1.625,用同样的方法,可求得方程的另一个近似解可取为4.437 5.11.如果在一个风雨交加的夜里查找线路,从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10 km长,大约有200多根电线杆子.假如你是维修线路的工人师傅,你应该怎样工作?想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?解:如图.他首先从中点C查.用随身带的话机向两端测试时,如果发现AC段正常,则断定故障在BC段,再到BC段中点D,这次若发现BD段正常,则故障在CD段,再到CD中点E来查,……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右,即两根电线杆附近,设需要排查n次,则有50<<100,即100<2n<200.因此只要7次就够了.。

3.1.2 用二分法求方程的近似解(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下面关于二分法的叙述中，正确的是 ( )A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.【答案】B2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间( )A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定【解析】∵f(1.5)·f(1.25)＜0，由零点存在性定理知方程的根落在区间(1.25,1.5)内．故选B.【答案】 B3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程A．1.25 B．1.375C．1.42 D．1.5【解析】由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.437 5,1.406 25)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.【答案】 C4．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是( )①y ＝3x 2－2x ＋5；②y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x <0；③y ＝2x ＋1；④y ＝x 3－2x ＋3；⑤y ＝12x2＋4x ＋8.A ．①②③B ．⑤C ．①⑤D ．①④【解析】 ⑤中y ＝12x 2＋4x ＋8，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B .【答案】 B5．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )A ．[1,4]B ．[－2,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1【解析】 ∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52，⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4.【答案】 D 二、填空题6．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是________．【解析】 设函数f (x )＝x 3－2x －5.∵f (2)＝－1＜0，f (3)＝16＞0，f (4)＝51＞0，∴下一个有根区间是(2,3)．【答案】 (2,3)7．用二分法研究函数f (x )＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经过计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________.【导学号：02962022】【解析】 ∵f (0)·f (0.5)<0，∴x 0∈(0,0.5)，取该区间的中点0.52＝0.25.∴第二次应计算f (0.25)． 【答案】 (0,0.5) f (0.25)8．某同学在借助计算器求“方程lg x ＝2－x 的近似解(精确度为0.1)”时，设f (x )＝lg x ＋x －2，算得f (1)<0，f (2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x ≈1.8.那么他再取的x 的4个值依次是________．【解析】 第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．【答案】 1.5,1.75,1.875,1.812 5 三、解答题9．用二分法求函数f (x )＝x 3－3的一个正零点．(精确度为0.01)【解】 由于f (1)＝－2<0，f (2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：个正零点．10．用二分法求方程x 2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)【解】 令f (x )＝x 2－5，因为f (2.2)＝－0.16<0，f (2.4)＝0.76>0，所以f (2.2)·f (2.4)<0，即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x 0，取区间(2.2,2.4)的中点x 1＝2.3，f (2.3)＝0.29，因为f (2.2)·f (2.3)<0，所以x 0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x 2＝2.25，f (2.25)＝0.062 5，因为f (2.2)·f (2.25)<0， 所以x 0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1， 所以原方程的近似正解可取为2.25.[能力提升]1．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6【解析】 已知f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f (0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．【答案】 C2．用二分法求函数f (x )＝3x－x －4的一个零点，其参考数据如下：【解析】 f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)＝－0.029<0，方程3x－x －4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.【答案】 1.562 53．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________. 【解析】 ∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法，∴函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴相切，∴Δ＝a 2－4b ＝0，∴a 2＝4b .【答案】 a 2＝4b4．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0,1]内有两个实根．【证明】 ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0， 即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0. ∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0， 则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在区间[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上各有一个零点． 又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。

3.1.2 用二分法求方程的近似解课后训练1．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，已知函数f (x )在区间(a ，b )上有一个零点x 0，且f (a )·f (b )＜0，用二分法求x 0时，当f 2a b +⎛⎫⎪⎝⎭＝0时，则函数f (x )的零点是( )．A ．(a ，b )外的点B ．x ＝2a b+ C ．区间,2a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭或,2a b b +⎛⎫⎪⎝⎭内的任意一个实数 D ．x ＝a 或x ＝b 2．已知函数＝()的图象是连续不断的，有如下的，()的对应值：则方程()＝0存在实数解的端点处为整数的区间有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．用二分法求函数f (x )＝2x－3的零点时，初始区间可选为( )．A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 4．函数y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x与函数y ＝lg x 的图象的交点的横坐标(精确到0.1)约是( )． A ．1.5 B ．1.6 C ．1.7 D ．1.85．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次算得f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈__________，第二次应计算__________．6．已知函数f (x )的图象是连续不断的，f (1)·f (2)＜0，用二分法求f (x )在(1,2)内的零点时，第一步是__________．7．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)＜0，f (0.75)＞0，f (0.687 5)＜0，即得出方程的一个近似解为__________．(精确度为0.1)8．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为__________．9．求函数f (x )＝x 3－x －1在(1,1.5)内的零点(精确度为0.1)．10．(能力拔高题)的值．(精确度为0.01)参考答案1.答案：B2.答案：D 由于f(2)f(3)＜0，f(3)f(4)＜0，f(4)f(5)＜0，f(6)f(7)＜0，则方程f(x)＝0在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)，(6,7)上存在实数解．3.答案：C f(－1)＝52-＜0，f(0)＝－2＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，f(3)＝5＞0，则f(1)f(2)＜0，即初始区间可选(1,2)．4.答案：D 设f(x)＝lg x12x⎛⎫- ⎪⎝⎭，经计算f(1)＝12-＜0，f(2)＝lg124-＞0，所以方程lg x12x⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求．5.答案：(0,0.5) f(0.25)6.答案：计算区间(1,2)的中点c＝123 22 +=7.答案：0.75或0.687 5 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以0.75或0.687 5都可以作为方程的近似解．8.答案：4 设等分的最少次数为n，则由0.12n＜0.01，得2n＞10，∴n的最小值为4.9.由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1，所以函数的一个近似零点为x＝1.312 5.10.答案：分析：设x，转化为求函数f(x)＝x3－2的零点．解：设x，则x3＝2，即x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值的近似值，以下用二分法求其零点．由f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5＜0.01,1.265 625是函数的零点的近似值，的近似值是1.265 625.。