2010届高考数学二阶矩阵与二元一次方程组

3.3.1二阶矩阵与二元一次方程组一、消元法二求解元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m cx ＋dy ＝n 当ad －bc≠0时，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝md －bn ad －bc y ＝an －cm ad －bc二、二阶行列式定义：det(A) ＝a bc d ＝ad －bc因此方程组的解为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝m b n d a b c d y ＝a m c n a b cd 记：D ＝a bc d ，D x ＝m b n d ，D y ＝a m c n ，所以，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝D x D y ＝D y D 例1 求下列行列式的值 ⑴ 21 43 ⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a dc 解：⑴21 43=1×4-2×3=-2 ⑵21 43-=1×4-2×（-3）=10 ⑶21 - 40=-1×4-2×0=-4 ⑷2b a dc =2（ad-bc ） 例2 若x=θθsin con θθcon sin （θ∈R ） 试求f(x)=x 2+2x-3 的最值。

解：∵x=θθsin con θθcon sin =con 2θ-sin 2θ=con2θ ∴-1≤x ≤1 ∵f(x)=x 2+2x-3=(x+1)2-4∴当x=-1时f(x) 取得最小值 -4； 当x=1时f(x)取得最大值0 例3 利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x例4 利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33⎥⎦⎤12-的逆矩阵 应用：一、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x 的解解：已知方程组可以写为：⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡74 令M=⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤12- 其行列式33 12-=3×1-3×（-2）=9≠0 ∴M -1 =⎢⎢⎢⎣⎡93-91 ⎥⎥⎥⎦⎤9392 = ⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎢⎢⎢⎣⎡31-91 ⎥⎥⎥⎦⎤3192⎥⎦⎤⎢⎣⎡74=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12 即方程组的解为：⎩⎨⎧==1y 2x 二、用几何变换的观点讨论方程的解（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3 y ＝2 （2）AX ＝B ，其中A ＝11⎡⎢⎣ 00⎤⎥⎦，B ＝22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

二元一次方程组
引言
二元一次方程组是高中数学中的重要内容，主要涉及到两个未知数的关系和方程组的解法。

本文将介绍二元一次方程组的基本概念、求解方法以及一些实际应用。

二元一次方程组的定义
二元一次方程组是由两个一次方程组成的方程组，它的一般形式可以表示为：
ax + by = c
dx + ey = f
其中，a、b、c、d、e、f是已知系数，x、y是未知数。

求解二元一次方程组的方法
1. 消元法：通过适当的运算，将方程组中的一个未知数消去，从而得到只含有另一个未知数的方程，然后再进行求解。

2. 代入法：将其中一个方程中的一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后代入另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程，再进行求解。

3. 矩阵法：将方程组的系数矩阵和常数矩阵组成增广矩阵，并
进行初等变换，最终将其化简为上三角形矩阵，从而求出未知数的值。

实际应用
二元一次方程组在实际生活中具有广泛的应用。

例如：
- 商业经济中，可以用方程组来描述成本、收入、利润等之间
的关系。

- 工程问题中，可以用方程组来描述物体的运动、力的平衡等
问题。

- 自然科学中，可以用方程组来描述物质的转化、反应速率等。

总结
二元一次方程组是数学中重要的内容，通过消元法、代入法和
矩阵法等方法，可以求解方程组的解。

同时，二元一次方程组在实
际生活中有广泛的应用，能够帮助我们解决各种问题。

课题：二阶矩阵与二元一次方程组【学习任务】1．了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解二元一次方程组．2．能用变换与映射的观点认识线性方程组解的意义．3．会用系数矩阵的逆矩阵求解二元一次方程组．4．会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性和惟一性．【课前预习】1．已知2 11,,3 22xA X By⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解方程AX B=2.已知方程组1 03,,,0 25xAX B A X By⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试从几何变换的角度研究方程组解的情况。

【合作探究】例1：利用行列解方程组2310 4560x yx y+-=⎧⎨+-=⎩。

例2：利用行列式方法求解第2.4.1节例3.例3：利用逆矩阵的知识求解例1。

例4：试从几何变换的角度说明1322x yy⎧+=⎪⎨⎪=⎩解的存在性和惟一性。

例5：已知二元一次方程组1 02,,1 02AX B A B⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试从几何变换的角度研究方程组解的情况。

【自我检测】1.已知1 32 4M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦存在逆矩阵，求M的逆矩阵。

2.用解方程组的方法求矩阵M的逆矩阵。

（1）1 01 1M⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）2 31 6M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

3.从几何变换的角度说明方程组1112211122xy⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦解的情况。

4.利用逆矩阵解下列方程组：（1）2305x yx y+=⎧⎨-=⎩；（2）3872yx y=⎧⎪⎨-=⎪⎩5.已知在下列矩阵对应变换的作用下，△A B C'''的像是图中的△ABC，试求原像△A B C'''（1）1 00 1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）4 00 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）1 20 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.求使等式2 4 2 0 1 03 50 10 -1M⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦成立的矩阵M。

课题：二阶行列式与二元一次方程组教学目的：理解二阶行列式的定义；掌握用二阶行列式解二元一次方程组；用行列式判断二元一次方程组解的情况。

教学过程：一、设问：什么叫二阶行列式？（一）定义：1、我们用记号1122a b a b 表示算式1221,a b a b - 即1122a b a b = 1221,a b a b - 其中记号1122a b a b 叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。

2、 1221,a b a b -叫做行列式1122a b a b 的展开式，其计算结果叫做行列式的值。

3、 1221,,,,a b a b 叫做行列式1122a b a b 的元素。

（二）二阶行列式的展开满足：对角线法则 1122a b a b 实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。

二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．（三）例和练习：例1、判断以下几项中哪些是二阶行列式？是的，求出值。

（1）111222a b c a b c （2）sin cos cos sin αααα（3）123456（4）sin cos sin cos sin cos a a a a a a-+（5）1212343412242363--例2：将下列各式用行列式表示：——解唯一吗？（1）2214;(2)5;(3)422b ac x y x x ---+二、用二阶行列式解二元一次方程组(四)设有二元一次方程组111222,(1)().(2)a xb yc A a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 用加减消元法 得 1221122112211221();().a b a b x c b c b a b a b y a c a c -=--=- (1)当 12210a b a b -≠ 时，有（A ）有唯一解，(B) 122112211221122c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩求根公式。

第13课时 二阶矩阵与二元一次方程组（2）1．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=531A x 可逆，则x 的取值范围为___________ 2．已知在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2102A 对应的变换下的象为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡253，则其原象为___________ 3．已知方程组B AX =，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x X ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=94B ，试从几何变换的解度研究该方程的解的情况。

4．不解方程组，利用行列式的知识，讨论下列二元一次方程组是否有解？如果有解，有多少个解？（1）⎩⎨⎧=+=+7234y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+6332y x y x （3）⎩⎨⎧=-=-4221y x y x5．设A T 是旋转角为3π的旋转变换，B T 是切变角为4π的沿x O 轴方向切变的切变变换，点P 在A T 下的象为'P （2，4），点'P 在B T 下的象为''P ，求P 和''P 的坐标6．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡102110025342A ，求使等式成立的矩阵A7．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5110A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5431B ，计算AB ，并判断AB 是否可逆，如可逆，求逆矩阵8．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3221A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110B ，求满足下列条件的二阶矩阵X ： （1）B AX =（2）B XA =9．给定二阶矩阵A ，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11n m α，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22n m β，βα≠，试证明： （1）若矩阵A 是可逆矩阵，则必有βαA A ≠；（2）若βαA A =，则矩阵A 必是不可逆矩阵，并思考虑这一结论的几何意义。

第10课 二阶矩阵与二元一次方程组【学习目标】1.会用行列式的方法解二元一次方程组2.理解行列式的观点判定二元一次方程组是否有解【教材解读】一、二阶行列式与二元一次方程组关于,x y 的二元一次方程组ax by m cx dy n +=⎧⎨+=⎩①②将d b ⨯-⨯①②，得()ad bc x dm bn -=- 再将a c ⨯-⨯②①，得()ad bc y an cm -=-当0ad bc -≠时，方程组的解为dm nb x ad bc an cm y ad bc -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由行列式的定义：||a bA ad bc c d ==-可得m b nd x ab c d=，a m c n y abc d= 为研究方便起见，常将系数行列式a b c d 记为D ，将m b n d记为x D ，将a m c n 记为y D .于是，x y D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 例1. 利用行列式解方程组231456x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解：系数行列式为：2325342045D ==⨯-⨯=-≠.1315361365xD ==⨯-⨯=-， 212614846y D ==⨯-⨯=131322x D x D -∴===-,842y D y D ===-- 二、二元一次方程组的矩阵形式 一般地，二元一次方程组ax by mcx dy n+=⎧⎨+=⎩，都可写成矩阵形式：a b x m c d y n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦二元一次方程组的矩阵形式，严格按照二阶矩阵与平面列向量的乘法法则书写即可. 三、用逆矩阵求解二元一次方程组若将x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦看成原先的向量，而将m B n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦看成是经过系数矩阵(0)a b A ad bc c d ⎡⎤=-≠⎢⎥⎣⎦对应变换作用后得到的向量，则可将其记为矩阵方程AX B =.在它的左右两边同时左乘1A -，得到1X A B -=，其中，1db ad bc ad bc A c a ad bc ad bc --⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.例2. 利用逆矩阵求解方程组231456x y x y +=⎧⎨+=⎩解：设2345A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1,6x x B y ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则方程组可写为：AX B =. 矩阵2345A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的行列式23||25342045A ==⨯-⨯=-≠ A ∴可逆，即153||||2221||||d b A A A c a A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦1531312226214X A B -⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎣⎦⎣⎦. 13,42x y ==-小结：① 从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是已知变换矩阵2345⎡⎤⎢⎥⎣⎦和变换后的象16⎡⎤⎢⎥⎣⎦，去求在这个变换的作用下的原象xy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；② 如果关于,x y 的二元一次方程组ax by mcx dy n+=⎧⎨+=⎩的系数行列式||0a b A ad bc c d==-≠，则对应的系数矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是可逆的，则方程组有唯一解； ③ 如果关于,x y 的二元一次方程组ax by mcx dy n+=⎧⎨+=⎩的系数行列式||0a b A ad bc c d ==-=，则对应的系数矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不可逆，则方程组有非零解. ④ 用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情况并不比消元法优越，但当方程组中的未知数很多的时候，矩阵就变成了研究它的强有力工具. 【自我评价】1. 利用行列式解方程组520231x y x y +=⎧⎨+=⎩2. 利用逆矩阵解方程组20251x y x y +=⎧⎨+=⎩3. （09江苏模拟）利用逆矩阵求二元一次方程组25436x y x y -=⎧⎨+=⎩的解.4.已知1202,0112A B ⎡⎢⎡⎤⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，求圆221x y +=在()1AB -变换作用下的图形的方程.5. 当λ为何值时，二元一次方程组2213x x y y λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦有非零解？。

用矩阵解二元一次方程组嘿，朋友们，今天咱们聊聊一个听起来有点儿高大上的话题——用矩阵解二元一次方程组。

别急，不要被“矩阵”这词吓到。

这就像在解一个小小的谜题，大家都喜欢猜谜对吧？我们先来个简单的引子，想象一下你有两个朋友，一个叫小明，一个叫小红。

他们各自有一些好吃的零食。

小明有2个苹果和3块巧克力，小红有4个苹果和1块巧克力。

现在，他们说：“嘿，我们想一起把零食分给大家，但我们要知道每个人到底有多少零食。

”这就是我们的目标了。

于是，咱们就得把他们的零食变成方程，数学上说的“方程组”就来了。

我们把小明和小红的零食情况用方程表达出来。

假设小明的零食用 (x) 表示，巧克力用 (y) 表示。

于是，小明的方程可以写成 (2x + 3y = 1)，而小红的方程则是 (4x + 1y = 1)。

哎呀，这些符号看起来挺复杂的，其实不然。

这就像把你朋友的零食分类，清楚明了。

接着咱们就要用矩阵来表示这些方程。

听起来好像很高级，但实际上就是把这些方程排成个整齐的队伍，像在排队等吃饭一样。

我们把它写成一个矩阵，就是把系数放进一个方阵里，比如说 (begin{bmatrix 2 & 3 4 & 1 end{bmatrix)，然后把右边的常数放在旁边。

咱们得进行一些变换。

这就像把一个麻烦的题目化繁为简。

我们可以通过“初等行变换”来简化这个矩阵。

想象一下，你把排队的朋友们重新安排，让他们更有秩序。

通过这种方式，我们的矩阵就会变得越来越简单，直到能很容易地解出 (x) 和 (y)。

这就像你找到了一个通往美食的捷径，瞬间就到了目的地。

操作起来可能有点小麻烦，但没关系，慢慢来。

我们可以通过消元法，把其中一个变量消掉。

像是在厨房里做菜，先把多余的材料剔除，留下最重要的部分。

比如说，我们可以用第一行去消掉第二行的某个元素，最终得到一个简单的方程。

哇，感觉就像是从一堆杂乱无章的东西中找到了明亮的方向。

然后，我们可以一步一步求解，最后得到(x) 和 (y) 的值，像打开了一个神秘的宝箱，里面装满了惊喜。

2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组1．把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n写成矩阵形式为AZ ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，称为系数矩阵，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，当A 可逆时，方程组有唯一解，当A 不可逆时，方程组无解或有无数组解．3．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝m zx ＋dy ＝n，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b nd ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪am cn ，当D ≠0时，方程组有唯一组解，为x ＝D x D ，y ＝D yD .4．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0cx ＋dy ＝0，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，当D ＝0时，此方程组有非零解．5．二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆的充要条件是det(A )≠0且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dA－bA －cAa A.[对应学生用书P34][例1] 求⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值(其中λ∈R )．[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值． [精解详析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5) ＝－λ2－6λ－6＝－(λ＋3)2＋3≤3，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值为3.(1)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与它的行列式det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的意义是不同的．矩阵A 不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A )是由矩阵A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．1．计算下列行列式的值： (1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪6 2－5 －3＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ＝cos 2 θ－(－sin 2 θ)＝1. 2．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x 2 y 2－1 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x y －y ，求x ＋y 的值．解：x 2＋y 2＝－2xy ⇒x ＋y ＝0.[例2] 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1，判断AB 是否可逆，若可逆求出逆矩阵．[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解． [精解详析]AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3－3 1. 因det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－31＝－1＋9＝8≠0，故AB 可逆，∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤18 －3838 －18.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，利用行列式求矩阵A 的逆矩阵的步骤如下：(1)首先计算det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，当det(A )≠0时，逆矩阵存在．(2)利用A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dA－bA －cAa A，求出逆矩阵A －1.3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 01；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a001.解：(1)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－11 11＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 1212 12.(2)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 a 01＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －a 0 1. (3)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 00 1＝a ，当a ＝0时，矩阵不可逆，当a ≠0时，矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 0 0 1. 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 96 x 2存在逆矩阵，求x 的取值范围． 解：据题意det(A )≠0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 96 x 2≠0.∴3x 2－54≠0. ∴x ≠±3 2.故x 的取值范围是{x |x ∈R 且x ≠±32}.[例3] 分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，－x ＋4y ＝3.[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用x ＝D xD ，y ＝D y D求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．[精解详析] 法一：(行列式解法)D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 －2－1 4＝12－2＝10，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 4＝4＋6＝10，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－1 3＝9＋1＝10， 故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD ＝1010＝1y ＝D yD ＝1010＝1.法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13. 令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －2－1 4，则其行列式det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵M 存在逆矩阵M －1，且 M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310， 这样⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2515110 310 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为：(1)将二元一次方程组化成标准形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f .并写成矩阵形式．(2)判定系数矩阵是否可逆，即看⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 是否为零．若可逆则二元一次方程组有唯一解，若不可逆，方程组无解或解不唯一．(3)若可逆，求逆矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 1－(4)利用矩阵乘法求解：即计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .5．利用行列式解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.解：(1)因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－1 3＝3×3－1×(－1)＝10. 所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109. 故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.(2)先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝－2≠0，此方程组存在唯一解． 又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4， 所以x ＝D x D＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.[例4] m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？[思路点拨] 先求出方程组对应行列式，利用行列式值为0时方程组有非零解求解．[精解详析] 二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －21 －4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －2y x －4y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx my ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝mx ，x －4y ＝my ，即⎩⎪⎨⎪⎧－m x －2y ＝0，x －＋m y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－m －2 1 －＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.∴当⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－m －2 1 －＋m ＝0，即－(3－m )(4＋m )＋2＝0时，方程组有非零解． ∴当m ＝－1±412时，方程有非零解．齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成比例，即a c ＝b d，此时，该齐次线性方程组的一组非零解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－b a 1.6．齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＝0x －2y ＝0存在非零解吗？如果存在，求出一组非零解．解：因D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －41 －2＝－4＋4＝0，所以存在非零解．其中一组非零解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.7．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋my ＝0，4x －11y ＝0有非零解，求m 的值．解：D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 m4 －11＝－33－4m ，令D ＝0，则得m ＝－334.[对应学生用书P36]1．求下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 2－1 5；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4.解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－15＝3×5－(－1)×2＝15＋2＝17. (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －98 4＝28－(－72)＝28＋72＝100. 2．已知矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆，求函数f (x )＝ax 2－7x ＋4的最小值．解：∵矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax 13 1x ＝ax ·1x －3×1＝a －3＝0，即a ＝3，∴f (x )＝3x 2－7x ＋4 ＝3(x 2－73x ＋4936)＋4－4936×3＝3(x －76)2－112.∴当x ＝76时，函数f (x )有最小值－112.3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，解方程AX ＝B . 解：因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 02 1＝1≠0，所以A 的逆矩阵存在，且A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－2 1，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－21⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3. 4．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.证明：因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因为A －1是唯一存在的，所以Z＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组唯一的解． 5．分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝03x ＋4y －6＝0.解：法一：方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝53x ＋4y ＝6，D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝4－6＝－2， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 26 4＝20－12＝8， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 536＝6－15＝－9，故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝DxD＝－4，y ＝D yD ＝92.法二：方程组用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤56. 故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2341－⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －2－3 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 926．试写出齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝0，4x ＋6y ＝0，的矩阵形式及该方程组的一组非零解． 解：齐次线性方程组改写成矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2346 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 346＝2×6－3×4＝0，∴此齐次线性方程组有非零解如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－23就是它的一组非零解．7．当λ为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤2213 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解？ 解：由题意知二元一次方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝λx ，x ＋3y ＝λy ，即⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＋2y ＝0，x ＋－λy ＝0.D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ 21 3－λ＝(2－λ)(3－λ)－2＝λ2－5λ＋4， 当D ＝0即λ＝1或4时，二元一次方程组⎣⎢⎡⎦⎥⎤221 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 有非零解． 8．如果建立如下字母与数字的对应关系 a b c … y z ↔ ↔ ↔ … ↔ ↔ 1 2 3 … 25 26并且发送方按可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321进行加密．(1)若要发出信息work hard ，试写出所要发送的密码； (2)将密码93,36,60,21,159,60,110,43恢复成原来的信息．解：(1)若要发出信息work hard ，则其编码为23,15,18,11,8,1,18,4.把上述编码按顺序分成四组并写成列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811，⎣⎢⎡⎦⎥⎤81，⎣⎢⎡⎦⎥⎤184，计算它们在矩阵A 对应的变换下的象，可得A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤160 61， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1811＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 47，A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4317， A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤184＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 321 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102 40， 于是，得到所要发送的密码为160,61,123,47,43,17,102,40.(2)因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5321＝5×1－2×3＝－1，所以A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5.把接受到的密码按顺序分成四组并写成列向量，计算它们在矩阵A －1对应的变换作用下的象， 可得A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9336＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤15 6， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6021＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤315，A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤15960＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15960＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2118， A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11043＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11043＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤195. 于是密码恢复成编码15,6,3,15,21,18,19,5，再根据已知的对应关系，即得到原来的信息of course.。

§2。

4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学目标:知识与技能:1。

掌握二阶行列式的定义及运算方法, 了解行列式与矩阵的异同.2。

掌握运用行列式解方程组的方法。

3.能利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程, 掌握从几何变换的角度判断方程组的解的情况过程与方法：情感、态度与价值观：教学重点：二阶行列式的定义及运算方法教学难点：运用行列式解方程组教学过程:一、问题情境:关于x , y 的二元一次方程组ax by m cx dy n+=⎧⎨+=⎩当ab －bc ≠0时， 方程的解为md bn x ad bc an cmy ad bc -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩, 观察方程组的解的结果, 与矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, m b n d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， a m c n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有何联系?二、建构数学:1.二阶行列式及运算公式；2。

二元一次方程组的行列式解法;3。

利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程及从几何变换的角度判断方程组的解的情况.三、教学运用:例1、利用行列式解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩.思考: 如何用逆矩阵的知识解这个方程组?例2、利用行列式方法求矩阵A=5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵。

例3、试从几何变换的角度说明方程组1322x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解的存在性和唯一性。

例4、已知二元一次方程组Ax=B, A=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=22⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.四、课堂小结：五、课堂练习：1.设A=2132⎡⎤⎢⎥⎣⎦， x=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 用两种方法解方程组Ax=B ； 2。

已知方程组Ax=B ， A=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, x=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=35⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.六、回顾反思：七、课外作业：1.已知M=11λ-⎡⎢⎣ 42⎤⎥⎦, 且det(M)=0 ， 求λ.2.设A=12⎡⎢-⎣ 23⎤⎥⎦， B=12⎡⎢⎣ 24⎤⎥⎦。

2．4.2 二阶矩阵与二元一次方程组1．把⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc . 2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝mcx ＋dy ＝n 写成矩阵形式为AZ ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d ，称为系数矩阵，Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n ，当A 可逆时，方程组有唯一解，当A 不可逆时，方程组无解或有无数组解．3．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m zx ＋dy ＝n ，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪mb n d ，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n ，当D ≠0时，方程组有唯一组解，为x ＝D x D ，y ＝D yD.4．对于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0cx ＋dy ＝0，令D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ，当D ＝0时，此方程组有非零解．5．二阶矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b cd 可逆的充要条件是det(A )≠0且A －1＝错误!.[对应学生用书P34]求行列式的值[例1]求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值(其中λ∈R )．[思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值． [精解详析]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8 ＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5) ＝－λ2－6λ－6＝－(λ＋3)2＋3≤3，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值为3.(1)矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd 与它的行列式det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 的意义是不同的．矩阵A 不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A )是由矩阵A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差．1．计算下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 6 2－5 －3；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θcos θ 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 62－5－3＝6×(－3)－(－5)×2＝－8；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ －sin θsin θ cos θ＝cos 2 θ－(－sin 2 θ)＝1.2．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x 2 y 2 －1 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪xx y－y ，求x ＋y 的值． 解：x 2＋y 2＝－2xy ⇒x ＋y ＝0.利用行列式求可逆矩阵的逆矩阵[例2]已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1，判断AB 是否可逆，若可逆求出逆矩阵．[思路点拨] 利用矩阵可逆的充要条件求解． [精解详析]AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 2－12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 1－11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－31. 因det(AB )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－31＝－1＋9＝8≠0，故AB 可逆， ∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤18 －3838－18. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b cd ，利用行列式求矩阵A 的逆矩阵的步骤如下：(1)首先计算det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，当det(A )≠0时，逆矩阵存在．(2)利用A －1＝错误!，求出逆矩阵A －1.3．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵．(1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 1 1；(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 0 1；(3)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a00 1. 解：(1)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－11 11＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 1212 12. (2)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 01＝1≠0，所以矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －a 0 1. (3)二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a001＝a ，当a ＝0时，矩阵不可逆，当a ≠0时，矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a0 0 1.4．若矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤396x 2存在逆矩阵，求x 的取值范围．解：据题意det(A )≠0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 96x 2≠0.∴3x 2－54≠0. ∴x ≠±3 2.故x 的取值范围是{x |x ∈R 且x ≠±32}.二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，－x ＋4y ＝3.[思路点拨] 求出相应行列式的值，利用x ＝D x D ，y ＝D yD求解，或求出方程组对应的逆矩阵，利用逆矩阵法求解．[精解详析] 法一：(行列式解法)D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3－2－14＝12－2＝10， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －234＝4＋6＝10， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 31－13＝9＋1＝10， 故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D x D ＝1010＝1y ＝D yD ＝1010＝1.法二：(逆矩阵解法)已知方程组可以写成矩阵形式⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－2－1 4 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13. 令M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 －2－14，则其行列式 det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3－2－14＝3×4－(－1)×(－2)＝10≠0， 所以矩阵M 存在逆矩阵M －1，且M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110310， 这样⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110310 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11.即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.利用逆矩阵解二元一次方程组的步骤为：(1)将二元一次方程组化成标准形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f .并写成矩阵形式．(2)判定系数矩阵是否可逆，即看⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 是否为零．若可逆则二元一次方程组有唯一解，若不可逆，方程组无解或解不唯一．(3)若可逆，求逆矩阵：⎣⎢⎢⎡⎦ab cd (4)利用矩阵乘法求解：即计算⎣⎢⎢⎡⎦ab cd ⎣⎦⎥⎥⎤e f . 5．利用行列式解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝0，3x ＋4y －1＝0.解：(1)因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3－3－14＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组存在唯一解．又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－334＝1×4－(－3)×3＝13， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3 1－13＝3×3－1×(－1)＝10. 所以x ＝D x D ＝139，y ＝D y D ＝109.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.(2)先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪123 4＝－2≠0，此方程组存在唯一解． 又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4， 所以x ＝D x D ＝3，y ＝D yD＝－2.故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.含参的齐次线性方程组解的讨论[例4] m 为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－4 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤y ＝m ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 有非零解？[思路点拨] 先求出方程组对应行列式，利用行列式值为0时方程组有非零解求解．[精解详析]二元一次方程组⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－21－4 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝m ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 即为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x －2y x －4y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤mx my ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝mx ，x －4y ＝my ，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m x －2y ＝0，x －4＋m y ＝0，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－m －2 1 －4＋m ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00. ∴当⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－m －21 －4＋m＝0， 即－(3－m )(4＋m )＋2＝0时，方程组有非零解． ∴当m ＝－1±412时，方程有非零解．齐次线性方程组有非零解的充要条件为对应系数成比例，即ac ＝bd ，此时，该齐次线性方程组的一组非零解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－b a 1.6．齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＝0x －2y ＝0存在非零解吗？如果存在，求出一组非零解．解：因D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－41－2＝－4＋4＝0， 所以存在非零解．其中一组非零解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21.7．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋my ＝0，4x －11y ＝0有非零解，求m 的值．解：D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3m 4－11＝－33－4m ， 令D ＝0，则得m ＝－334.[对应学生用书P36]1．求下列行列式的值：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 32－15；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪7－98 4. 解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 32－15＝3×5－(－1)×2＝15＋2＝17. (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪7 －984＝28－(－72)＝28＋72＝100. 2．已知矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆，求函数f (x )＝ax 2－7x ＋4的最小值．解：∵矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 13 1x 不可逆，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax 13 1x ＝ax ·1x －3×1＝a －3＝0，即a ＝3，∴f (x )＝3x 2－7x ＋4＝3(x 2－73x ＋4936)＋4－4936×3＝3(x －76)2－112.∴当x ＝76时，函数f (x )有最小值－112.3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1021，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21，解方程AX ＝B . 解：因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1021＝1≠0，所以A 的逆矩阵存在，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－2 1，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－3. 4．已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00.证明：因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00，因为A－1是唯一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00是原方程组唯一的解．5．分别利用行列式法及逆矩阵法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝03x ＋4y －6＝0.解：法一：方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝53x ＋4y ＝6，D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪123 4＝4－6＝－2， D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 264＝20－12＝8， D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 536＝6－15＝－9， 故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD ＝－4，y ＝D yD ＝92.法二：方程组用矩阵表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤56. 故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦1 23 4⎣⎦⎥⎥⎤56＝－12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4 －2－31 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤56＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－492 6．试写出齐次线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝0，4x ＋6y ＝0，的矩阵形式及该方程组的一组非零解．解：齐次线性方程组改写成矩阵形式为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2346 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 34 6＝2×6－3×4＝0， ∴此齐次线性方程组有非零解如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－23就是它的一组非零解．7．当λ为何值时，二元一次方程组⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤221 3 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 有非零解？解：由题意知二元一次方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝λx ，x ＋3y ＝λy ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－λx ＋2y ＝0，x ＋3－λy ＝0.D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ 21 3－λ＝(2－λ)(3－λ)－2＝λ2－5λ＋4， 当D ＝0即λ＝1或4时，二元一次方程组⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2213 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 有非零解． 8．如果建立如下字母与数字的对应关系 a b c … y z ↔ ↔ ↔ … ↔ ↔ 1 2 3 … 25 26并且发送方按可逆矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 321进行加密． (1)若要发出信息work hard ，试写出所要发送的密码； (2)将密码93,36,60,21,159,60,110,43恢复成原来的信息． 解：(1)若要发出信息work hard ，则其编码为23,15,18,11,8,1,18,4.把上述编码按顺序分成四组并写成列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2315，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1811，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤81，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤184，计算它们在矩阵A 对应的变换下的象，可得A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2315＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2315＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤160 61， A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1811＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1811＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤123 47， A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤81＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤81＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4317， A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤184＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 32 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤18 4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤102 40， 于是，得到所要发送的密码为160,61,123,47,43,17,102,40.(2)因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5321＝5×1－2×3＝－1，所以A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 3 2 －5.把接受到的密码按顺序分成四组并写成列向量，计算它们在矩阵A －1对应的变换作用下的象， 可得A－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9336＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9336＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 6，A－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6021＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 3 2 －5 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6021＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤315， A－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15960＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2 －5 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15960＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2118， A－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11043＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2 －5 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11043＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤195. 于是密码恢复成编码15,6,3,15,21,18,19,5，再根据已知的对应关系，即得到原来的信息of course.。