2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)期末数学试卷(理科)(J)

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是（）A．a∈A或b∉A B．若b∉A，则a∈AC．若a∉A，则b∈A D．若b∈A，则a∉A2．（3分）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A．=﹣10x+200B．=10x+200C．=﹣10x﹣200D．=10x﹣2003．（3分）设复数z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（3分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．06．（3分）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．7．（3分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内的极大值点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）设椭圆+=1和双曲线﹣x2=1的公共焦点分别为F1，F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A．3B．C．D．9．（3分）在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b810．（3分）若a，b，c均为正实数，则三个数（）A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于211．（3分）函数f（x）=﹣2x2+7x﹣6与函数g（x）=﹣x的图象所围成的封闭图形的面积为（）A．B．2C．D．312．（3分）若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3C．﹣2＜k＜2D．不存在这样的实数k13．（3分）假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是（）A．B．C．D．14．（3分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．5415．（3分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．14C．12D．10二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有．（用数字作答）17．（3分）在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．猜想在n边形中，不等式成立．18．（3分）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为．19．（3分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．20．（3分）已知函数，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n ﹣m的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.21．（8分）已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．22．（8分）设曲线在点（1，f（1））处的切线方程为（其中，a，b∈R，e是自然对数的底数）．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．23．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．24．（8分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，倾斜角为45°的直线l 过点F与抛物线C交于A，B两点，△OAB的面积为（O为坐标原点）．（1）求p；（2）设点E为直线与抛物线C在第一象限的交点，过点E作C的斜率分别为k1，k2的两条弦EM，EN，如果k1+k2=﹣1，证明直线MN过定点，并求出定点坐标．25．（8分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式（其中e为自然数对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是（）A．a∈A或b∉A B．若b∉A，则a∈AC．若a∉A，则b∈A D．若b∈A，则a∉A【解答】解：由于逆否命题是等价命题，则与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是若b∈A，则a∉A，故选：D．2．（3分）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A．=﹣10x+200B．=10x+200C．=﹣10x﹣200D．=10x﹣200【解答】解：由x与y负相关，可排除B、D两项，而C项中的=﹣10x﹣200＜0不符合题意．故选：A．3．（3分）设复数z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z1=1﹣3i，z2=3﹣2i∴===+（﹣）i∴在复平面内对应的点为（，﹣）且此点为第四象限故选：D．4．（3分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．5．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．0【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）∴=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）设异面直线A1E与GF所成角的为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=0，故选：D．6．（3分）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．【解答】解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，所以T r==，+1令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．7．（3分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内的极大值点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，可得：函数f（x）在（a，b）内的极大值点为A，C，共有2个．故选：B．8．（3分）设椭圆+=1和双曲线﹣x2=1的公共焦点分别为F1，F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A．3B．C．D．【解答】解：∵椭圆和双曲线的公共焦点分别为F1、F2，∴m﹣2=3+1∴m=6∴|PF1|+|PF2|=2，||PF1|﹣|PF2||=2两式平方相减可得，4|PF1|•|PF2|=12∴|PF1|•|PF2|=3故选：A．9．（3分）在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b8【解答】解：在等差数列{a n}中，a n＞0，公差为d＞0，所以{a n}为各项为正数的递增数列，由于4+6=3+7时有a4•a6＞a3•a7，而在等比数列{bn}中，b n＞0，q＞1，则{bn}为各项为正数的递增数列，由于4+8=5+7，所以应有b4+b8＞b5+b7，∴b4+b8＞b5+b7．故选：A．10．（3分）若a，b，c均为正实数，则三个数（）A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【解答】解：由题意，∵a，b均为正实数，∴当且仅当a=b时，取“=”号若，则结论不成立，∴，至少有一个不小于2∴至少有一个不小于2故选：D．11．（3分）函数f（x）=﹣2x2+7x﹣6与函数g（x）=﹣x的图象所围成的封闭图形的面积为（）A．B．2C．D．3【解答】解：由得和∴函数f（x）=﹣2x2+7x﹣6与函数g（x）=﹣x的图象所围成的封闭图形的面积S=∫13（f（x）﹣g（x））dx=∫13（﹣2x2+8x﹣6）dx=（﹣x3+4x2﹣6x）|13=（﹣18+36﹣18）﹣（﹣+4﹣6）=故选：C．12．（3分）若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3C．﹣2＜k＜2D．不存在这样的实数k【解答】解：由题意得，f′（x）=3x2﹣12 在区间（k﹣1，k+1）上至少有一个实数根，而f′（x）=3x2﹣12=0的根为±2，区间（k﹣1，k+1）的长度为2，故区间（k﹣1，k+1）内必须含有2或﹣2．∴k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，∴1＜k＜3 或﹣3＜k＜﹣1，故选：B．13．（3分）假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件A；以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系，小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P（A）=，故选：C．14．（3分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．54【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选：B．15．（3分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．14C．12D．10【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有34．（用数字作答）【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故答案为34．17．（3分）在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．猜想在n边形中，不等式成立．【解答】解：在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．…归纳可得：在n边形A1A2A3…A n中，；故答案为：；18．（3分）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为．【解答】解：由条件，知，．所以=+2+2+2=62+42+82+2×6×8cos120°=68所以CD=2．故答案为：2．19．（3分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．20．（3分）已知函数，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n ﹣m的最小值为ln2．【解答】解：根据题意，g（m）=f （n）即e m﹣2=ln+，∴m=2+ln（ln+），∴n﹣m=n﹣2﹣ln（ln+），=lne n﹣2﹣ln（ln+），=ln，设h（x）=，则h′（x）=，令h′（x）=0，得ln+﹣=0，由x＞0，可得ln+﹣递增，当x=2时，h′（x）=0，x＞2时，h′（x）＞0，h（x）递增；0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得x=2处取得极小值且为最小值h（2）=2，则n﹣m的最小值为ln2．故答案为：ln2．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.21．（8分）已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．【解答】解：（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（0，4），则b=4，椭圆离心率为e===，则a=5，∴C的方程为+=1；（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y=（x﹣3），设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入C的方程，得x2﹣3x﹣8=0，解得：x1=，x2=，∴AB的中点M（x 0，y0）坐标x0==，y0==（x1+x1﹣6）=﹣，即中点为（，﹣）．22．（8分）设曲线在点（1，f（1））处的切线方程为（其中，a，b∈R，e是自然对数的底数）．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．【解答】解：（1），依题可得：，∴a=3．又，∴b=0．∴a=3，b=0．（2），，令f′（x）=0，解得x=0或2．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．故f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值为max{f（﹣3），f（2）}=f（﹣3）=27e3，最小值为min{f（0），f（3）}=f（0）=0．23．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．24．（8分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，倾斜角为45°的直线l 过点F与抛物线C交于A，B两点，△OAB的面积为（O为坐标原点）．（1）求p；（2）设点E为直线与抛物线C在第一象限的交点，过点E作C的斜率分别为k1，k2的两条弦EM，EN，如果k1+k2=﹣1，证明直线MN过定点，并求出定点坐标．【解答】解：（1）y2=2px（p＞0）的焦点为，则直线l的方程为，代入抛物线方程得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，根据抛物线定义，，所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4p．坐标原点O到直线l的距离，所以△OAB的面积为，解得p=2；（2）证明：抛物线方程为y2=4x，直线，即x=1，解得E（1，2）．设M（x3，y3），N（x4，y4）．根据题意，显然k1，k2都不等于零，直线EM：y﹣2=k1（x﹣1），即，代入抛物线方程得．由于点E（1，2）在抛物线上，依据根与系数的关系得，所以．同理．而直线MN的方程为，因为M，N也在抛物线上，所以，，代入上述方程并整理得，，．令，则y3+y4=﹣4t﹣4，y3y4=4（6t+1），代入MN的方程得，整理得t（y+6）+（x+y+1）=0，若上式对任意变化的t恒成立，则，解得．故直线MN经过定点（5，﹣6）．25．（8分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式（其中e为自然数对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，依题意：在（0，+∞）上恒成立．即：在（0，+∞）上恒成立．∴．∴实数a的取值范围是（﹣∞，]；（2）依题意：对任意的a∈（﹣2，0]，不等式都成立，即对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）﹣a2﹣4a﹣2＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2﹣4a﹣2，由h（0）＞0⇒2m＞2⇒m＞1，且．∴对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）﹣a2﹣4a﹣2＞0都成立的必要条件为m∈（1，e2]．又h'（a）=2me a（a+1）+2me a﹣2a﹣4=2（a+2）（me a﹣1），由h'（a）=0，得a=﹣2或a=﹣lnm．∵a∈（﹣2，0]，∴2（a+2）＞0，①当1＜m＜e2时，﹣lnm∈（﹣2，0），且a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0，a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，∴h（a）min=h（﹣lnm）=lnm•（2﹣lnm）＞0，∴a∈（﹣2，0]时，h（a）＞0恒成立；②当m=e2时，h'（a）=2（a+2）（e a+2﹣1），∵a∈（﹣2，0]，∴h'（a）＞0，此时h（a）单调递增，且h（﹣2）=2e2e﹣2（﹣1）﹣4+8﹣2=0，∴a∈（﹣2，0]时，h（a）＞h（﹣2）=0成立．综上，m的取值范围是（1，e2]．。

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年度高二第一学期期末考试化学试题可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 S 32一、选择题(本题包括16个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项的序号填入相应的答题栏内，每小题3分，共48分)1. 用甘氨酸和丙氨酸缩合，最多可以形成二肽A. 1种B. 2种C. 3 种D. 4种【答案】D【解析】氨基酸生成二肽，就是两个氨基酸分子脱去一个水分子。

当同种氨基酸脱水，生成2种二肽；当是异种氨基酸脱水：可以是甘氨酸脱去羟基，丙氨酸脱氢；也可以丙氨酸脱羟基，甘氨酸脱去氢，生成2种二肽。

所以共有4种。

答案选D。

2. 下列化合物在水中的溶解度，排列次序正确的是a.HOCH2CH2CH2OHb.CH3CH2CH2OHc.CH2CH2COOCH3d.HOCH2CH(OH)CH2OHA. d>b>c>aB. c>d>a>bC. d>a>b> cD. c>d>b>a【答案】C...............考点：考查有机物的溶解性。

3. 可以证明可逆反应N 2(g)+3H2(g)2NH3(g)已达到平衡状态的是①1个N N键断裂的同时，有3 个H-H键断裂②1个N N键断裂的同时，有6 个N-H 键断裂③其他条件不变时，混合气体平均相对分子质量不再改变④恒温恒容时，体系压强不再改变⑤NH3、N2、H2 的体积分数都不再改变⑥恒温恒容时，混合气体的密度保持不变⑦正反应速率v(H2)=0.6mol/(L·min)，逆反应速率v(NH3)=0.4 mol/( L·min)A. 全部B. ②③④⑤C. ②③④⑤⑦D. ③⑤⑥⑦【答案】C【解析】①无论是否达到平衡状态，只要一个N≡N断裂的同时，就有3个H-H键断裂，所以不能证明该反应达到平衡状态，故错误；②反应达到平衡状态时，只要一个N≡N键断裂的同时，就有有6个N-H键断裂，所以能证明该反应达到平衡状态，故正确；③该反应达到平衡状态时，气体总物质的量不变，气体混合物的质量不变，所以其他条件不变时，混合气体平均相对分子质量不再改变，能说明该反应达到平衡状态，故正确；④该反应是一个气体体积改变的反应，当反应达到平衡状态时，各物质的浓度不变，则其压强也不变，所以保持其他条件不变时，体系压强不再改变，能说明该反应达到平衡状态，故正确；⑤反应达到平衡状态时，各物质的百分含量不变，所以NH3%、N2%、H2%都不再改变能证明说明该反应达到平衡状态，故正确；⑥恒温恒容时，密度始终保持不变，所以不能证明该反应达到平衡状态，故错误；⑦v正（H2）表示消耗H2的速率，v逆（NH3）表示消耗NH3的速率，且v正（H2）：v逆（NH3）=3：2，充分说明向两个相反方向进行的程度相当，说明到达平衡状态，故正确；答案选C。

炎德·英才大联考长郡中学2018届高三期末试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数12z i =-，2()z m i m R =+∈，若动12z z ⋅为纯虚数，则12z z ⋅=（ ） A ．52i B ． 52C ． 2i -D ．-2 2. 下列判断正确的是（ ）A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p 且q ”为真命题B ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =.则0x ≠”C ．“1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件 D ．命题“对任意x R ∈，20x >成立”的否定是“存在0x R ∈.使020x ≤成立”3. 等差数列{}n a 有两项m a 和()k a m k ≠，满足1m a k =，1k a m=，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mk C ． 12mk + D ． 12mk +4. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．403 B ．803C. 40 D ．80 5. 在OAB ∆中，OA a =，OB b =,OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等于（ ） A ．2()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅-- C.()a b a a b ⋅-- D ．()a ab a b⋅--6. 若152a -=,125b -=，1cos 220c xdx π=⎰,则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c << C. c b a << D ．b c a << 7. 已知函数()sin 2cos 2(,)f x a x b x a b R =+∈的图象过点(,2)12π，且点(,)6π-０是其对称中心，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin 2g x x = B ．()2cos 2g x x = C.()2sin(2)6g x x π=+D ．()2sin(2)6g x x π=-8. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ） A ．1939 B ．2143C. 2245 D ．20419. 已知以原点为中心，实轴在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为34y x =，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为（ ）A ．221169x y -=B ． 221916x y -= C. 2216436x y -= D ．2213664x y -= 10. 求形如()()g x y f x =的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：ln ()ln ()y g x f x =，再两边同时求导得11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x '''=+，于是得到：()1()()ln ()()()()g x y f x g x f x g x f x f x ⎡⎤'''=+⎢⎥⎣⎦，运用此方法求得函数1x y x =的一个单调递增区间是（ ）A ．(,4)eB ．(36)， C. (0)e ， D ．(2)，311. 已知递减的等比数列{}n a ，各项均为正数，且满足123123269111132a a a a a a ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，则数列{}n a 的公比q 的值为（ ）A ．12 B ．13 C. 23 D ．3412. 设点P 在曲线112x y e =⋅+上，点Q 在曲线ln(22)y x =-上，则PQ 的最小值为（ ）A ．2ln 2- Bln 2)- C. 2+ln2 Dln 2)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号的横线上.13.)(0)n a a x>展开式中，若第三项中228x ，则此展开式中的第六项为 ． 14. 使关于x 的不等式1x k x ++<；有解的实数k 的取值范围是 ．15. 已如1F ，2F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共集点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点，若121F F F A =，则2C 的离心率是 ．16. 已知两个正数a ，b ，可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ，在,,a b c 三数中取两个较大的数，按上规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个数称为一次操作.若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnq p ++-（m ，n 为正整数），则m n +的值为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c 且sin cos 0a B b A -=. （Ⅰ）求角A 的大小：（Ⅱ）若a =2b =.求ABC ∆的面积.18. 为振兴旅游业，香港计划向内陆地区发行总量为2000万张的紫荆卡，其中向内陆人士（广东户籍除外）发行的是紫荆金卡（简称金卡），向广东籍人士发行的是紫荆银卡（简称银卡）.某旅游公司组织了一个有36名内陆游客的旅游团到香港名胜旅游，其中34是非广东籍内陆游客，其余是广东籍游客.在非广东新游客中有13持金卡，在广东籍游客中有23持银卡. （Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的广东籍游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD CB ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =（Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ； （Ⅱ）若异面直线AP 与BMPMPC的值.20. 已知椭圆：22210259tan 2(tan 1)2x y a a a π⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭+，当椭圆形状最圆时为椭圆C.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过椭圆C 左焦点的两条弦MN 、PQ 斜率分别为1k 、2k ，当121k k =时，是否存在1t ≥使11t MN PQ+=成立，若存在，求出满足条件的t ；若不存在，请说明理由.21. 关于x 的函数2()ln af x x ax x=+-. （Ⅰ）若()f x 为单调函数，试求实数a 的取值范围； （Ⅱ）讨论()f x 的零点个数.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （Ⅰ）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程：（Ⅱ）过点M 平行于直线l 的直线与曲线C 交于A 、B 两点，若3MA MB ⋅=，求点M 轨迹的直角坐标方程.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()223f x x a x =-++，()12g x x =-+. （Ⅰ）解不等式()5g x <；（Ⅱ）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ADCAB 6-10: DADCC 11、12：BB 二、填空题 13.356x 14. (,1)-∞- 15. 23 16.21 三、解答题17. （Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=. 即sin (sin cos )0B A A -=， 又角B 为三角形内角，sin 0B ≠所以sin cos 0A A -=04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为(0,)A π∈，所以4A π=.（Ⅱ）方法一：在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则220442c c ⎛⎫=+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.即2160c -=.解得c =-c =又1sin 2S bc A =，所以12422S =⨯⨯=.方法二：∵a =2b =，由（Ⅰ）知4A π=，∴由sin sin a bA B=得2sin sin b A B a ===，∵sin sin B A =<=，∴B为锐角，∴cos B =，∴3sin sin sin )4C B B B π⎛⎫=-=+== ⎪⎝⎭∴11sin 2422ABC S ab C ∆==⋅=18.（Ⅰ）由题意得，非广东籍游客有27人，其中9人持金卡：广东籍游客有9人，其中6人持银卡，设事件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件2A 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”.1211192196211233363692736()()+()3417085C C C C C P B P A P A C C ==+=+=， 所以在该团中随机来访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685. （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3.33391(0)84C P C ξ===，1263393(1)14C C P C ξ===， 21633915(2)28C C P C ξ===，36395(3)21C P C ξ===， 所以ξ的分布列为所以()0123284142821E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.注：所以即为作答，否则扣1分. 19.（Ⅰ）证明：∵//AD BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴//CD BQ . ∵90ADC ∠=︒，∴90AQB ∠=︒，即QB AD ⊥. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =.∵BQ ⊥平面PAD .∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD . （Ⅱ）∵PA PD =，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =.∴PQ ⊥平面ABCD .如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)Q ，(1,0,0)A，(0,0,P，(0,0)B，(1,0)C -，设000(,,)M x y z ，∴(1,0AP =-，(1,PC =-，000(,,,PM x y z =. 由M 是PC 上的点，设(01)PM tPC t =≤≤，化简得(,M t --+. 设异面直线AP 与BM 所成角为θ，则cos cos ,7AP BM AP BMAP BMθ⋅====12t =或1114，故12PM PC =或1114. 注：若只算出一个答案，扣1分；算出两个t 值即得满分.20.（Ⅰ）∵2225259272(tan 1)9tan tan 0222525a αα⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴225(tan 1)9tan 2aa +>. ∴45c e a ====≥， 当且仅当tan 1a =时等号成立，此时椭圆形状最圆，故椭圆C 的方程为221259x y +=. （Ⅱ）由题设知，1(4,0)F -，则1:(4)MN y k x =+，2:(4)PQ y k x =+，将MN 与C 的方程联立消y 得：2222111(259)2004002550k x k x k +++-=.“*”设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1x 、2x 是“*”的两根，则211221211221200259400225259kx xkkx x⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩.则MN====212190(1)259kk+=+.同理：222290(1)259kPQk+=+.∵121k k=，∴22122212111190(1)90(1)259259k kMN PQk k+=+++++222222222 1212211212 222222212121112 259259(259)(1)(259)(1)18343450() 90(1)90(1)90(1)(1)901() k k k k k k k k k k k k k k k k k k++++++++++=+==+++++⎡⎤+++⎣⎦2212221268343490(2)k kk k++=++[)2212221234(2)171,90(2)45k kk k++==∉+∞++.∴不存在满足题设条件的t使题设成立.21．（Ⅰ）()f x的定义域为(0)+∞，，32212()2a ax x af x axx x x-+-'=--=①0a≤时，()0f x'>恒成立，故()f x为单调递增函数.②0a>时，令3()2(0)g x ax x a x=-+->，2()616g x ax a x x⎛'=-+=-⎝.当0x <<时，()0g x '>， 当x >()0g x '<. ∴()g x 在0⎛⎝上单调递增，在+⎫∞⎪⎭上单调递减. ∴x =()g x 的极大值点，也是(0)∞，＋上的最大值点.若20g a =--≤，得3a ≥∴a ≥时，()0g x ≤，则()0f x '≤，∴()f x 在(0)+∞，上单调递减. 综上，若()f x 为单调函数，实数a 的取值范围是(]32,0+3⎡⎫-∞∞⎪⎢⎪⎣⎭，. 若使用变量分离法，参照标准给分.（Ⅱ）由题设知，(1)0f =，①由（Ⅰ）知，0a ≤或3a ≥时，()f x 单调，故()f x 只一个零点. ②若()0f x '=得(1)310g a =-+=得13a =，则33211111()(231)(1)333322g x x x x x x x x ⎛⎫⎛-+=-+-=--+=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当102x -+<<或1x >时()0g x <，即()0f x '<，1x <<时()0g x >.即()0f x '>.()f x 在0⎛ ⎝⎭和(1)+∞，上单调递减，在1⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，∴()f x 的极小值点x =1x =.又1(1)02f f ⎛⎫-<= ⎪ ⎪⎝⎭， 根据函数的增长速度，0x →时()+f x →∞，x →+∞时()f x →-∞，∴()f x有两个零点，一个在区间102⎛-+ ⎝⎭，，另一个为1x =. ③103a <<或13a <<时，有0g >. 又()g x在0⎛⎝上单调递增，在+⎫∞⎪⎭上单调递减， 且(0)0g a =-<，x →+∞时3()2g x ax x a =-+-→-∞，故必存在不为1的1x ，2x ，使得12()()0g x g x ==，故12(0,)(,+)x x x ∈∞时，()0g x <，则()0f x '<；12(,)x x x ∈时，()0g x >，则()0f x '>.∴()f x 在1(0)x ，和2(,+)x ∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增. )1103a <<时，(1)310g a =-+>，故1201x x <<<，由12()(1)0()f x f f x <=<及0x →时()+f x →∞，x →+∞时()f x →-∞知，()f x 有三个零点.)1233a <<时， ∵23222211()101a e ae a e a e a f a e e e e e-+---⎛⎫=-+-⋅==< ⎪⎝⎭. 1(1)313103g a =-+<-⨯+=，即(1)0f '<， ∴必有1201x x <<<且1()0f x <，2()(1)0f x f >=.又0x →时()+f x →∞，x →+∞时()f x →-∞，故()f x 有三个零点.综上，0a ≤或3a ≥等时，()f x 只一个零点；13a =时，()f x 有两个零点；103a <<或13a <<时，()f x 有三个零点. 请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为4πθ=，所以直线斜率为1，直线:l y x =. 曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数），消去参数θ，可得曲线22:1C x y +=. （Ⅱ）设点00(,)M x y 及过点M的直线为010:2x x L y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.由直线1L 与曲线C 相交可得：2220000)10t x y t x y +++-=. 因为3MA MB ⋅=，所以220013x y +-=，即：22004x y +=. 222222201y x m x mx m x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，由0m ∆>⇒<<.故点M 的轨迹的直角坐标方程为：224x y +=（夹在两直线y x =±之间的两段圆弧）.23．（Ⅰ）由125x -+<，得5125x -<-+<， ∴713x -<-<，得不等式的解为24x -<<（2）因为任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立， 所以{}{}()()y y f x y y g x =⊆=， 又()()()2232233f x x a x x a x a =-++≥--+=+， ()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-，所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-.。

长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试 数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数22cossin33z i ππ=+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设A 、B 为非空集合，定义集合*A B 为如图非阴影部分的集合，若2{|2}A x y x x ==-，{|3,0}x B y y x ==>，则*A B =（ ）A ．()0,2B ．[][)0,12,+∞ C ．(1,2] D ．[]()0,12,+∞3.阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围为（ ）A ．56a ≤≤B ．56a <<C ．56a ≤<D ． 56a <≤ 4.使不等式14x +≤成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．23x ≤≤B ．63x -≤≤ C.53x -≤≤ D ．62x -≤≤5.已知集合{1,2,3}A =，{}3,4B =，则从A 到B 的映射f 满足(3)3f =，则这样的映射共有（ ） A ．3个 B ．4个 C.5个 D ．6个6.在直角坐标系中，若角α的终边经过点22sin,cos 33P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在sin()πα-=（ ） A ．12 B ．32 C.12- D ．32-7.定义运算*a b ，*a a b b ⎧=⎨⎩()()a b a b ≤>，例如1*21=，则函数1*2xy =的值域为（ ）A ．()0,1B ．(),1-∞ C.[)1,+∞ D ．(]0,18.若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A ．[1,2)B ．[]12， C.[1+)∞，D ．[2+)∞， 9.已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，且3B π=，则11tan tan A C+=（ ）A 3B ．2223 D 4310.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0c a c b --=，则c 的最大值是（ ）A ．1B ．2 D ．2211.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)'(1)f f +的值等于（ ） A ．1 B ．52C.3 D ．0 12.设211()22()x xf x x x e e --=-+-+，则使得(1)(22)f x f x +<-的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞ B ．(1,3) C.1(,)(1,)3-∞+∞ D ．1(,1)313.已知函数2()sin 20191xf x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)'(2019)'(2019)f f f f +-+-=（ ）A.2B.2019C.2018D.014.ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若20a b c ++=，三角形面积为10360A =︒，则a =( )A.7B.8C.5D.615.在ABC ∆中，已知9AB AC =，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP xy CA CB=+，则11x y +的最小值为（ ）0S = 1i = DOS S i =+ 1i i =+LOOP UNTIL i a > PRINT S ENDA.76 B.712C.73123+D.7363+二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的 条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件17.对于a ，b N ∈，规定,*,a b a b a b +⎧=⎨⨯⎩a b a b 与的奇偶性相同与的奇偶性不同，集合(){},*36,,M a b a b a b N +==∈，则M 中的元素的个数为 ．18.已知平面向量a ，b 满足1a =，2b =，3a b -=，则a 在b 方向上的投影是 ．19.已知函数()2sin f x x x =-，若正实数a ，b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是 ． 20.已知集合{,,}{2,3,4}a b c =，且下列三个关系：3a ≠，3b ≠，4c ≠中有且只有一个正确，则函数22,()(),xx bf x x c a x b⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩的值域是 ． 三、解答题 ：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin =4cos ρθθ.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为251515x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），设点(1,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值.22.如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos a A b C c B =+. （1）求角A 的大小；（2）若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，2AB =，4BC =，求AD 的长.23.已知函数()xf x e tx =+（e 为自然对数的底数）.（1）当t e =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数t 的取值范围.24. 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S 中%x (0100x <<)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为30,030()1800290,301002x f x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩(单位:分钟), 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题: (1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性,并说明其实际意义. 25.已知函数2()1axf x a x =++，()ln g x a x x =-（0a ≠）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：当0a >时，对任意1x ，2(0,]x e ∈，总有12()()g x f x <成立.试卷答案一、选择题1-5:BDCBB 6-10:CDACC 11-15：CBAAC二、填空题16.○1 17.41 18.1219.9+[3,)+∞ 三、解答题21.(1)∵曲线C 的极坐标方程2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）直线l的参数方程为11x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程24y x =，可得2141⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2150t --=，∵12150t t ⋅=-<，∴点P 在AB 之间，∴12||||||PA PB t t +=+=22.（1）∵2cos cos cos a A b C c B =+，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A A B C C B B C A =+=+=， ∴3A π=.（2）在ABC ∆中，由余弦定理得24161cos 42AC A AC +-==，解得1AC =1AC = ∵BD 是ABC ∠的角平分线，∴12AD AB CD BC ==，∴1133AD AC +==23.（1）当t e =-时，()x f x e ex =-，'()xf x e e =-由'()0x f x e e =->，解得1x >；由'()0xf x e e =-<解得，1x <.∴函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞；单调递减区间是(,1)-∞. （2）依题意：对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，即0xe tx +>恒成立，即xe t e>-在(0,2]x ∈上恒成立，令()xe g x x =-，所以2(1)'()xx e g x x-=. 当01x <<时，'()0g x >；当12x <<时，'()0g x <. ∴函数()g x 在(0,1)上单调递增；在(1,2)上单调递减.所以函数()g x 在1x =处取得极大值(1)g e =-，即为在(0,2]x ∈上的最大值. ∴实数t 的取值范围是(,)e -+∞.所以对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立的实数t 的取值范围是(,)e -+∞.24.（1）由题意知，当30100x <<时，1800()29040f x x x=+->， 即2659000x x -+>，解得20x <或45x >，∴(45,100)x ∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间. （2）当030x <≤时，()30%40(1%)4010xg x x x =⋅+-=-； 当30100x <<时，2180013()(290)%40(1%)585010x g x x x x x x =+-⋅+-=-+；∴240(030)10()1358(30100)5010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减；当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.25.（1）函数()f x 的定义域为R ，2222(1)(1)(1)'()(1)(1)a x a x x f x x x --+==++.当0a >时，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：当0a <时，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：综上所述，当0a >时，()f x 的单调递增区间为(1,1)-，单调递减区间为(,1)-∞-，(1,)+∞； 当0a <时，()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-. （2）由（1）可知，当当0a >时，()f x 在(0,1)上单调递增，()f x 在(1,]e 上单调递减，又(0)f a =，2()1aef e a a e =+>+， 所以min ()f x a =，同样地，当0a >时，若a e <，()g x 在(0,)a 上单调递增，()g x 在(,]a e 上单调递减，所以min ()()ln g x g a a a a ==-，因为(ln )(2ln )(2ln )0a a a a a a a e a --=->-=>，同理，当a e >或a e =时，对于任意1x ，2(0,]x e ∈，总有max min ()()()g x g a a e a f x ==-<=. 综上所述，对于任意1x ，2(0,]x e ∈，总有12()()f x f x <成立.。

2017-2018学年 数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =->，集合(){}|y lg 1B x x ==-，则A B =（ ）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．()(),02,-∞+∞ D ．()(),01,-∞+∞2.已知复数z 满足264z z i +=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设,αβ是两个不同的平面，直线l 满足l β⊄，以下中错误的是（ ） A ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ B ．若//,//l ααβ，则//l β C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若,l ααβ⊥⊥，则//l β4.已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3510,,a a a 成等比数列，则（ ） A ．140,0a d dS >> B ．140,0a d dS >< C ．140,0a d dS <> D ．140,0a d dS <<5.如图给出了计算111124660++++的值的程序框图，其中①②分别是（ ）A ．30,2i n n <=+B ．30,2i n n ==+C ．30,2i n n >=+D ．30,1i n n >=+ 6.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ） A ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 7.已知实数,x y 满足43120220220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，若()0z kx y k =+<的最大值为5，则实数k 的值为（ ） A ．43-B ．-3C ．2918-D ．192- 8.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．0x ±= B ．20x y ±= C0y ±= D ．20x y ±= 9.已知()f x 是定义在()0,+∞上的函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112210x f x x f x x x -<-，记()()0.20.2sin 3log 27,,3log 2sin 7f f f a b c ππππ⎛⎫⎪⎝⎭===，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．b a c << D ．c a b <<10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）A B 1++ C ．外接球的表面积为4π11.已知在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC ++=，过点P 作直线l 分别交AB AC 、于M N 、，若(),0,0AM mAB AN nAC m n ==>>，则m n +的最小值为（ ） A ．43 B ．53C ．2D ．3 12.函数()f x 在[],a b 上有定义，若对任意[]12,,x x a b ∈，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，则称()f x 在[],a b 上具有性质P ，设()f x 在[]1,3上具有性质P ，现给出如下：①()f x 在[]1,3上的图象是连续不断的；②()2f x 在⎡⎣上具有性质P ；③若()f x 在2x =处取得最大值1，则()[]1,1,3f x x =∈； ④对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈，有()()()()12341234144x x x x f f x f x f x f x +++⎛⎫≤+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭．其中真的序号是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f 的值为__________．14.已知向量()()1,3,3,a b m ==，且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 夹角为__________．15.已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的,x y R ∈，都有()()()f x y xf y yf x =+成立．数列n a 满足()3n n a f n N +=∈，且13a =， 则数列的通项公式为n a =____________．16.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5,8,AB AC BC AD ===⊥底面,ABC G 为ABC ∆的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为___________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c A 为钝角，且tan b a B =． （1）证明：2A B π-=；（2）求sin 2sin B C +的取值范围． 18.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形，1,,//2AB AD CD AB AD AB CD ==⊥，点M 是PC 的中点．（1）求证：//MB 平面PAD ； （2）求二面角P BC D --的余弦值； 19.（本小题满分 12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[](](](]5,15,15,25,25,35,35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a 的值；并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均数；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[]5,15内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）． 20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 为动点，已知点)(),AB ，直线PA 与PB 的斜率之积为定值12-． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若()1,0F ，过点F 的直线l 交抛物线E 于,M N 两点，以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，求直线l 的方程． 21.（本题满分12分）设函数()()()()222cos 1ln 1,f x x x x x g x k x x ⎛⎫=--+++=+ ⎪⎝⎭．其中0k ≠． （1）讨论函数()g x 的单调区间； （2）若存在(]11,1x ∈-，对任意21,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()()126f x g x k -<-成立，求k 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin ,P ρθθ=+的点极坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，倾斜角为3π．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11PA PB+的值． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()231f x x x =++-． （1）解不等式()4f x >； （2）若存在3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()1a f x +>成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题13. 13- 14. 30° 15. 3n n 16. 6349π三、解答题17.（1）证明：由tan b a B =及正弦定理得sin sin cos sin B b BB a A==，因为ABC ∆中，sin 0B ≠，所以cos sin B A =，即sin sin 2B A π⎛⎫+=⎪⎝⎭；由A 为钝角，所以,22B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故2B A π+=，即由0sin B <<2133334sin 81616B ⎛⎫<--+≤⎪⎝⎭，所以sin 2sin B C +的取值范围是3316⎤⎥⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18.（1）证明：取PD 中点H ，连结,MH AH ，因为M 为PC 中点，所以1//,2HM CD HM CD = 因为1//,2AB CD AB CD =，所以//AB HM 且AB HM =， 所以四边形ABMH 为平行四边形，所以//AH BM ． 因为BM ⊄平面,PAD AH ⊂平面PAD ， 所以//BM 平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）取AD 中点O ，连结PO ， 因为PA PD =，所以PO AD ⊥． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面,ABCD AD PO =⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分取BC 中点K ，连结OK ，则//OK AB ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系．．．．．．．．．．．．7分设2AB =，则()()()()(1,0,0,1,2,0,1,4,0,1,0,0,A B C D P --， ()(2,2,0,1,2,BC PB =-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 平面BCD的法向量(OP =，设平面PBC 的法向量(),,n x y z =， 由00BC n PB n ⎧=⎨=⎩得22020x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则(1,1,3n =．．．．．．．．．．．．10分15cos ,5OP n OP n OP n==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 由图可知，二面角P BC D --是锐二面角， 所以二面角P BC D --．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.（1）由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 解得0.03a =；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克）．．．．．．．．．．． 3分而50个样本小球重量的平均值为：0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）．．．．．．．．．．．．．．．．5分故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，．．．．．．．．．．．．．．．6分 则13,,5XB X ⎛⎫⎪⎝⎭的可能取值为0、1、2、3，．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ()()0320133146414480,155********P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()23233314121412,35512555125P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴6448121301231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．（或者13355EX =⨯=）．．．．．．．．．12分 20.（1122x =-+，．．．．．．．．．．．．．．．2分 整理得2212x y +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分 ∴所以所求轨迹E 的方程为()22102x y y +=≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）当直线l 与x 轴重合时，与轨迹E 无交点，不合题意；．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 当直线l 与x 轴垂直时，:1l x =，此时,1,M N ⎛⎛ ⎝⎝，以MN 对角线的正方形的另外两个顶点坐标为1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，不合题意；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 当直线l 与x 轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线()():10l y k x k =-≠，()()1122,,,,M x y N x y MN 的中点1212,122x x x x Q k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得()2222214220k x k x k +-+-=，得212221224212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，．．．．．．．．．．8分 所以2222,2121k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则线段MN 的中垂线m 的方程为：222122121kk y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，整理得直线2:21x km y k k =-++，则直线m 与y 轴的交点20,21kR k ⎛⎫⎪+⎝⎭，注意到以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，当且仅当RM RN ⊥，即112222,,02121kk RM RN x y x y k k ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ()()212121222202121k k x x y y y y k k+-++=++，①由()()221212122121221212221k y y k x x x x k k y y k x x k ⎧=-++=-⎡⎤⎪⎣⎦⎪+⎨⎪+=+-=-⎪+⎩，②将②代入①解得 1k =±，即直线l 的方程为()1y x =±-，综上，所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．．．．．．．．．．．．．．．12分21.（1）()()3222122k x k g x kx x x -'=-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 当0k >时，令()0g x '>，得1x >，∴()g x 的递增区间为()1,+∞，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分令()0g x '<，得1,0x x <≠，∴()g x 的递减区间为()(),0,0,1-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分0k <当时，同理得()g x 的递增区间为()(),0,0,1-∞；递减区间为()1,+∞．．．．．．．．．．．．．5分（2）()()()2sin 1ln 112sin ln 1f x x x x x '=-+++=++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∵当(]1,1x ∈-时，2sin y x =及()ln 1y x =+均为增函数，∴()f x '在(]1,1-为增函数，又()00f '=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∴当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当(]0,1x ∈时，()0f x '>，从而，()f x 在()1,0-上递减在(]0,1上递增，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()f x 在(]1,1-上的最小值为()02f =-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∵()()126f x g x k -<-，∴()()126f x k g x <-+，∴()()min min 6f x k g x <-+，当0k >时，∴()()min 13g x g k ==，∴462k ->-，∴1k >．当0k <时，()()min 25g x g k ==，∴662k ->-，∴23k >， 又0k <，∴0k <时不合题意，综上，()1,k ∈+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.（1）曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为22240x y x y +--=，化为标准方程为：()()22125,3,2x y P π⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭化为直角坐标为()0,3P ，直线l 的参数方程为cos 33sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即123x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2211152t ⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，整理得：)2130t t +--=，显然有0∆>，则12123,1t t t t =-+=+，121212133,PA PB t t t t PA PB t t t===-=+=+=-=， 所以11PA PB PA PB PA PB ++==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 23.（1）∵()231f x x x =++-，∴()332,234,1232,1x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．2分()342324x f x x ⎧<-⎪>⇔⎨⎪-->⎩或31244x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+>⎩或1324x x >⎧⎨+>⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分2x ⇔<-或01x <≤或1x >．．．．．．．．．．．．．．．．5分 综上，不等式()4f x >的解集为()(),20,-∞-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）存在3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()1a f x +>成立⇔()()min 1a f x +>．．．．．．．．．．．．7分 由（1）知，3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =+，∴32x =-时，()()min 52f x =．．．．．．．．．．． 8分53122a a +>⇔>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴实数a 的取值范围为32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

2017-2018学年湖南省长郡中学⾼⼆上学期第⼀次模块检测理数试题长郡中学2017-2018学年度⾼⼆第⼀学期第⼀次模块检测数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共15个⼩题,每⼩题3分,共45分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.某⼈打靶时连续射击两次，事件“⾄少有⼀次中靶”的对⽴事件是（）A ．⾄多有⼀次中靶B ．两次都中靶C ．只有⼀次中靶D ．两次都不中靶2.命题0||,:2≥+∈?x x R x p ，则p ?是（）A ．0||,2<+∈?x x R xB ．0||,200<+∈?x x R x C ．0||,2≤+∈?x x R x D ．0||,200≥+∈?x x R x3.已知椭圆1816:,1412:222221=+=+y x C y x C ，则（）A ．1C 与2C 顶点相同B ．1C 与2C 长轴长相同 C ．1C 与2C 短轴长相同D ．1C 与2C 焦距相等4.已知命题1,:>∈?x e R x p ；命题2cos sin ,:000=+∈?x x R x q ，则下列命题中为真命题的是（）A ．q p ∧?)(B ．q p ∧ C. )(p p ?∧ D ．)()(q p ??∧ 5.下图给出的计算201614121++++ 的值的⼀个程序框图，其中判断框内应填⼊的条件是（）A ．?8>iB ．?9>i C. ?10>i D ．?11>i6.在区间]3,3[-上随机选取⼀个数X ，则1||≤X 的概率为（） A ．61 B ．31 C. 21 D ．32 7.以下茎叶图记录了甲、⼄两组各五名学⽣在⼀次英语听⼒测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，⼄组数据的平均数为8.16，则y x ,的值分别为（） A ．5,2 B ．5,5 C. 8,5 D ．8,8 8.若点P 是以21,F F 为焦点的双曲线12222=-bx a x 上⼀点，满⾜21PF PF ⊥，则||2||21PF PF =，则此双曲线的离⼼率为（）A ．5B ．2 C. 3 D ．29.设不等式组??≥-≥-≤+0,2,2y y x y x 所表⽰的平⾯区域为M ，函数21x y -=的图象与x 轴所围成的区域N ，向M 内随机投⼀个点，则该点落在N 内的概率为（） A ．π2B ．4πC.8πD ．12π10.设U 为全集，B A ,是集合，则“=?B A ?”是“存在集合C 使得C C B C A U ??,”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件11.双曲线1222=-y x 与直线01=-+y x 交于Q P ,两点，M 为PQ 中点，则=OM k （） A ．21-B ．2- C. 21D ．2 12.已知动点P 在椭圆11625:22=+y x C 上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满⾜1||=MF ，且MF MP ⊥，则||PM 的最⼩值为（）A ．3B ．2 C. 3 D ．113.三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每⼈都选择其中两个科⽬，则有且仅有两⼈选择的科⽬完全相同的概率是（） A ．41 B ．31 C. 21 D ．32 14.给出下列命题，则假命题的个数是（）①若R c b a ∈,,，则“b a >”的充要条件是“22bc ac >”；②给定两个命题p q p ?,,是q 的必要不充分条件，则p 是q ?的充分不必要条件；③设R y x ∈,，若7≠+y x ，则3≠x 或4≠y ；④命题“若0>m ，则⽅程0322=-+m x x 有实数根”的否命题. A ．0 B ．1 C. 2 D ．315.已知中⼼在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为21F F 、，且这两条曲线在第⼀象限的焦点为21,F PF P ?是以1PF 为底边的等腰三⾓形，若10||1=PF ，椭圆与双曲线的离⼼率分别为21e e 、，则21e e 的取值范围是（）A ．),31(+∞B ．),21(+∞ C. ),51(+∞ D ．),91(+∞第Ⅱ卷（共55分）⼆、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）16.⼀个单位共有职⼯200⼈，其中不超过45岁的有120⼈，超过45岁的有80⼈.为了调查职⼯的健康情况，⽤分层抽样的⽅法从全体职⼯中抽取⼀个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职⼯⼈.17.若椭圆1522=+my x 的焦点在y 轴上，离⼼率为32，则=m ．18.某公司的班车在00:8准时发车，⼩⽥与⼩⽅均在40:7⾄00:8之间到达发车点乘坐班车，且到达发车点的时刻是随机的，则⼩⽥⽐⼩⽅⾄少早5分钟到达发车点的概率为．19.双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离⼼率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于．20.已知函数m x g x x x x x x f x -=∈+-∈+-=)21()(,]21,0[,6131]1,21(,2237)(，若任取]1,0[1∈x ，存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f ≥成⽴，则实数m 的取值范围是．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共40分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.） 21. 某区⼯商局、消费者协会在3⽉15号举⾏了以“携⼿共治，畅享消费”为主题的⼤型宣传咨询服务活动，着⼒提升消费者维权意识.组织⽅从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组)30,20[，第2组)40,30[，第3组)50,40[，第4组)60,50[，第5组]70,60[，得到的频率分布直⽅图如图所⽰.（1）若电视台记者要从抽取的群众中选1⼈进⾏采访，求被采访⼈恰好在第2组或第4组的概率；（2）已知第1组群众中男性有2⼈，组织⽅要从第1组中年随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求⾄少有两名⼥性的概率.22. 双曲线)0(1:222>=-b by x C 的左、右焦点分别为21F F 、，直线l 过2F 且与双曲线C 交于B A 、两点，O 为原点.（1）若x l ⊥轴，AB F 1?是等边三⾓形，求双曲线的渐近线⽅程；（2）设3=b ，若l 的斜率为2，求OAB ?的⾯积.23. 某种商品价格与该商品⽇需求量之间的⼏组对照数据如下表，经过进⼀步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系. 价格x （元kg /） 10 15 20 25 30 ⽇需求量y （kg ）1110865（1）根据上表给出的数据，求出y 关与x 的线性回归⽅程∧∧∧+=a x b y ；（2）利⽤（1）中的回归⽅程，当价格40=x 元kg /时，⽇需求量y 的预测值为多少？（参考公式：线性回归⽅程a bx y +=∧，其中211)())((x x y y x x b i ni i i ni -∑--∑===，x b y a -=.）24. 设命题:p 函数)12lg()(2+-=ax ax x f 的定义域为R ；命题a q xx <-93:对⼀切实数x 恒成⽴，如果“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求实数a 的取值范围. 25. 已知圆16)1(:221=++y x F ，定点A F ),0,1(2是圆1F 上的⼀动点，线段A F 2的垂直平分线交半径A F 1于P 点.（1）求P 点的轨迹C 的⽅程；。

2017-2018学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数2．（5分）已知命题p：∃x0＞0，x0+a﹣1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）3．（5分）已知18x＝2y＝3，则＝（）A．1B．2C．﹣1D．﹣24．（5分）在△AOB中，OA＝OB＝1，OA⊥OB，点C在AB边上，且AB＝4AC，则＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知某二棱锥的三视图如图所示，其中俯视图由直角三角形和斜边上的中线组成，则该几何体的外接球的体积为（）A．B．C．4πD．12π6．（5分）已知，且2sin2α＜0，则的值为（）A．7B．﹣7C．D．7．（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N＝r（modm），例如10＝2（mod4）．下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i等于（）A．3B．9C．27D．818．（5分）设函数，已知f（x）的最小正周期为4π，且当时，f（x）取得最大值．将函数f（x）的图象向左平移个单位得函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）A．g（x）是奇函数，且在[0，2π]内单调递增B．g（x）是奇函数，且在[0，2π]内单调递减C．g（x）是偶函数，且在[0，2π]内单调递增D．g（x）是偶函数，且在[0，2π]内单调递减9．（5分）如图，有一直角墙角BA和BC，两边的长度足够长．拟在点P处栽一棵桂花树，使之与两墙的距离分别为a（0＜a＜12）和4（单位：m），同时用16米长的篱笆，利用墙角围成一个矩形护栏ABCD，使得P处的桂花树围在护栏内（包括边界）．设矩形ABCD 的面积为S（m2），S的最大值为f（a），则函数y＝f（a）的大致图象是（）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），点A，B在双曲线C的左支上，0为坐标原点，直线B0与双曲线C的右支交于点M．若直线AB的斜率为3，直线AM的斜率为1，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．3D．411．（5分）已知直线l经过不等式组表示的平面区域，且与圆O：x2+y2＝25相交于A，B两点，则当|AB|最短时，直线l的方程是（）A．2x+y﹣10＝0B．2x﹣y﹣6＝0C．x+2y﹣8＝0D．2x+y﹣8＝0 12．（5分）将正整数n表示为，其中a1＝1，当0≤i ≤k﹣1时，a1为0或1．记k（n）为上述表示式中a1为0的个数（例如），则k（3×210）+k （218﹣3）＝（）A．9B．10C．11D．12二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．（5分）在8的展开式中x3的系数是．14．（5分）某种活性细胞的存活率y（%）与存放温度x（℃）之间具有线性相关关系，样本数据如表所示：经计算得回归直线的斜率为﹣3.2．若存放温度为6℃，则这种细胞存活率的预报值为%．15．（5分）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，已知AB＝6，AD＝5，CD＝1，B＝30°，∠ADB为锐角，则AC边的长为．16．（5分）过抛物线x2＝8y的焦点F作倾斜角为锐角的直线l，与抛物线相交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OM的斜率的取值范围是．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，已知a1＝1，4S n＝a2n+1﹣4n ﹣1（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设与，数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞成立的正整数n的最小值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，P A⊥底面ABCD，AB＝，AD＝，AP＝2，∠ABC＝60°．（I）证明：平面PCA⊥平面PCD；（Ⅱ）设E为侧棱PD上一点，若直线CE分别与平面ABCD、平面PBC所成的角相等，求的值．19．（12分）某科研所共有30位科研员，其中60%的人爱好体育锻炼．经体检调查，这30位科研员的健康指数（百分制）如下茎叶图所示．体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般．（I）根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”？（Ⅱ）现将30位科研员的健康指数分为如下5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），其频率分布直方图如图所示．计算该所科研员健康指数的平均数，由茎叶图得到的真实值记为，由频率分布直方图得到的估计值记为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），求与的误差值；（Ⅲ）从该科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中爱好体育锻炼的人数的分布列和数学期望．附：K2＝．30位科研员健康指数的和x i＝2288．20．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为F1（，0），F2（，0），点E在椭圆C 上，且∠F1EF2＝60°，．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过x轴正半轴上一点M作直线l，交椭圆C于AB两点．问：是否存在定点M，使当直线l绕点M任意转动时，为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数，其中“a＞0为常数．（I）若f（x）在区间（0，3]内单调递减，求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）内有且只有一个零点x0，记[x0]表示不超过x0的最大整数，求[x0]的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设A、B为曲线C上两动点，且OA丄OB，求|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+3|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求不等式|2x﹣1|+x＜m的解集；（Ⅱ）已知|a|＜，|b|＜，证明：|4ab﹣1|＞2|a﹣b|．2017-2018学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵＝，∴z的虚部为1，|z|＝，z2＝2i为纯虚数，，∴正确的结论是C．故选：C．2．【解答】解：∵p为假命题，∴￢p为真命题，即：∀x＞0，x+a﹣1≠0，即x≠1﹣a，∴1﹣a≤0，则a≥1．∴a的取值范围是[1，+∞）．故选：D．3．【解答】解：∵18x＝2y＝3，∴x＝log183，y＝log23，∴＝log318，＝log32，∴﹣﹣＝log318﹣log32＝log39＝2，故选：B．4．【解答】解：法一：∵OA＝OB＝1，OA⊥OB，∴AB＝，∠OAB＝45°∴＜＞＝135°，∵C在AB边上，且AB＝4AC，∴AC＝，则＝（）＝＝＝法二：由已知可设＝（1，0），＝（0，1），则＝＝4，∴＝＝（），∴＝﹣＝．故选：A．5．【解答】解：由已知可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥P﹣ABC，顶点P在底面ABC内的射影O是BC的中点，且AB＝2，AC＝2，OP＝M因为AB⊥AC则BC＝＝，设其外接球半径为R，球心为：O，R＝故此三棱锥的外接球的体积为：V＝πR3＝4π，故选：A．6．【解答】解：∵已知＝﹣sinα，∴sinα＝﹣，∵2sin2α＝2sinαcosα＜0，∴cosα＞0，∴cosα＝＝，tanα＝＝﹣，则＝＝，故选：D．7．【解答】解：模拟程序的运行，可得N＝11，i＝1i＝3，N＝14满足条件“N＝2（mod 3）“，不满足条件“N＝1（mod 7）“，i＝9，N＝23，满足条件“N＝2（mod 3）“，不满足条件“N＝1（mod 7）”，i＝27，N＝50满足条件“N＝2（mod 3）“，满足条件“N＝1（mod 7）“，退出循环，输出i的值为27．故选：C．8．【解答】解：∵函数，已知f（x）的最小正周期为＝4π，∴ω＝．∵当时，f（x）取得最大值，∴×+φ＝，∴φ＝，∴f（x）＝sin（+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位得函数g（x）＝f（x+）＝sin（+）＝cos的图象，故g（x）是偶函数，且在[0，2π]内单调递减，故选：D．9．【解答】解：由题意，设AD＝x，可得CD＝16﹣x，则，可得a≤a≤12，那么S＝x（16﹣x）＝﹣（x﹣8）2+64，当0＜a≤8时，f（a）＝S（8）＝64；当8＜a＜12时，f（a）＝S（a）＝a（16﹣a）；由此判断函数y＝f（a）的大致图象是D．故选：D．10．【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），据题意，点B，M关于坐标原点对称，则点M（﹣x2，﹣y2），由已知，k AB＝＝3，k AM＝＝1，两式相乘，得＝3，因为点A，B在双曲线上，则，，两式相减，得，即，所以＝3，则e2＝4，所以e＝2，故选：B．11．【解答】解：不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB的中点为P，则AP⊥OP，所以|OP|最长时，AB最小，因为最小l经过可行域；由图形可知点点P为直线x﹣y﹣2＝0与y﹣2＝0的交点（4，2）时，|OP|最长，因为k OP＝，则直线l的方程为：y﹣2＝﹣2（x﹣4），即2x+y﹣10＝0．故选：A．12．【解答】解：因为3×2n＝2n+1+2n＝2n+1+2n+0×2n﹣1+0×2n﹣2+…+0×20，则k×（3×2n）＝n，所以k×（3×2n）＝10，因为2n﹣3＝2n﹣4+1＝＝2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+0×21+20，则k（2n﹣3）＝1，所以k（218﹣3）＝1，即k（3×210）+k（218﹣3）＝11，故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．【解答】解：由于8的通项公式为T r+1＝•28﹣r•x4﹣r，令4﹣r＝3，求得r＝1，可得展开式中x3的系数为•27＝1024，故答案为：1024．14．【解答】解：由题意，设回归方程为＝﹣3.2+a，由表中数据可得：＝1，＝50；带入回归方程可得a＝53.2．当x＝6时，可得y＝﹣3.2×6+53.2＝34故答案为：3415．【解答】解：在△ABD中，由正弦定理可得：＝＝10，则：sin∠ADB＝，因为：∠ADB为锐角，则cos∠ADB＝，在△ACD中，由余弦定理可得：AC2＝25+1﹣2×5×1×（﹣）＝18，解得：AC＝．故答案为：．16．【解答】解：抛物线x2＝8y的焦点F（0，2），由题意设直线l的斜率为k，则k＞0，直线方程为y＝kx+2，与抛物线x2＝8y联立，可得x2﹣8kx﹣16＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝8k，M为线段AB的中点，O为坐标原点，可得M的横坐标为＝4k，纵坐标为4k2+2，则直线OM的斜率为：＝k+≥2＝当且仅当k＝，即k＝±等号成立．直线OM的斜率的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，已知a1＝1，4S n＝a2n+1﹣4n﹣1①，当n≥2时，4S n﹣1＝a2n﹣4（n﹣1）﹣1②①﹣②整理得：a n+1﹣a n＝2，所以：数列{a n}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列．解得：a n＝2n﹣1．（Ⅱ）＝，则①，②，①﹣②得：，解得：T n＝．由于T n＝＞，解得：2n＞60，故n的最小值为6．18．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，∵AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，∴AC＝＝3，∴CD2+AC2＝AD2，∴CD⊥AC，即CD⊥平面P AC，∴CD⊂平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD；解：（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（，0，0），C（0，3，0），，，设为平面PBC的法向量，则，⇒．设，则．∴＝＝（﹣，3λ﹣3，2﹣2λ），∵P A⊥底面ABCD，则＝（0，0，2）是面ABCD的法向量．∵直线CE分别与平面ABCD、平面PBC所成的角相等，∴＝，∵，，＝5，＝2，∴＝|2﹣2λ|，解得，或（舍去）．∴的值为．．19．【解答】解：（I）根据题意填写2×2列联表如下，计算K2＝＝10＞7.879，所以有99.5%把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”；（Ⅱ）由茎叶图知，各组数据的频数分别为3、7、7、8、5，则＝55×+65×+75×+85×+95×＝×（165+455+525+680+475）＝，＝x i＝，∴﹣＝＝＝0.4，∴与的误差值为0.4；（Ⅲ）设这2人中爱好体育锻炼的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，其中P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：数学期望为Eξ＝0×+1×+2×＝．20．【解答】解：（Ⅰ）在△F1EF2中，由余弦定理得|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°＝|F1F2|2，∴（|MF1|+|MF2|）2﹣3|MF1||MF2|cos60°＝4，∴|MF1|MF2|＝8，又|MF1|+|MF2|＝2a，|F1F2|＝4，则4a2﹣24＝48，∴a2＝18，∵c＝2，∴b2＝a2﹣c2＝6，∴椭圆C的标准方程为＝1．（Ⅱ）设点M（m，0），（m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），（1）当直线l与x轴不重合时，设l的方程为x＝ty+m，代入椭圆方程，得：（ty+m）2+3y2＝18，即（t2+3）y2+2tmy+m2﹣18＝0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∴＝＝＝（）＝•＝＝•[（）2﹣]＝•[（）2﹣]＝•＝，令＝1，解得m2＝9，即m＝3，此时，＝为定值．（2）当直线l与x轴重合时，点A（﹣3，0），B（3，0），M（3，0），则＝＝＝为定值．综上，存在点M（3，0），使当直线l绕点M任意转动时，为定值．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（x＞0）．∵f（x）在区间（0，3]内单调递减，则当x∈（0，3]时，f′（x）≤0恒成立．即x3﹣3ax﹣3≤0，∴a≥在（0，3]上恒成立．令y＝，得y＝在（0，3]内单调递增，当x＝3时，．∴a的取值范围为[，+∞）；（Ⅱ）设g（x）＝x3﹣3ax﹣3（x≥0），则g′（x）＝3x2﹣3a．∵a＞0，由g′（x）＜0，得0＜x＜，由g′（x）＞0，得x＞．∴g（x）在（0，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增．∵g（0）＝﹣3＜0，g（a+2）＝（a+2）3﹣3a（a+2）﹣3＝a3+3a2+6a+5＞0．∴g（x）在（0，+∞）内有唯一零点．设x＝m为g（x）的零点，则当0＜x＜m时，g（x）＜0，从而f′（x）＜0；当x＞m，g（x）＞0，从而f′（x）＞0．∴f（x）在（0，m）内单调递减，在（m，+∞）内单调递增．∵f（x）在（0，+∞）内仅有一个零点x0，由＜0，得m＞＞1．又f（1）＝＞0，当x充分大时，f（x）＞0，∴x0＝m．由f（x0）＝0，得，即．又g（x0）＝g（m）＝0，则，即，代入上式得：，即．设h（x）＝（），则x0为函数h（x）的零点．∵2＜e＜3，则ln2＜1，ln3＞1，从而h（2）＝，h（3）＝＜0．∵h（x）＝在（，+∞）内单调递减，则x0∈（2，3），∴[x0]＝2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（θ为参数）．∴曲线C的参数方程消去参数θ，得曲线C的直角坐标方程为3x2+y2＝1，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ2（3cos2θ+sin2θ）＝1，即．（Ⅱ）∵OA⊥OB，在极坐标中，设A（ρ1，θ），B（ρ2，90°+θ），∴|AB|2＝|OA|2+|OB|2＝＝＝＝．∵0≤sin22θ≤1，∴∈[1，]，∴|AB|∈[1，]．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|＝5，当（x+3）（x﹣2）≤2时取“＝”，则f（x）的最小值是5，故m＝5，由|2x﹣1|+x＜5，得或，即﹣4＜x＜或≤x＜2，即﹣4＜x＜2，故不等式的解集是（﹣4，2）；（Ⅱ）证明：（4ab﹣1）2﹣4（a﹣b）2＝4a2（4b2﹣1）﹣（4b2﹣1），＝（4a2﹣1）（4b2﹣1），∵m＝5，则|a|＜，得a2＜，即4a2＜1，同理4b2＜1，故（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，从而（4ab﹣1）2﹣4（a﹣b）2＞0，∴|4ab﹣1|＞2|a﹣b|．。

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B2．如果方程+=1表示双曲线，则m的取值范围是（）A．（3，4）B．（﹣∞，3）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，3）3．命题：“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是（）A．若a2+b2=0，则a=0且b≠0 B．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a=0且b=0，则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0且回归方程是=0.95xA．6.7 B．6.6 C．6.5 D．6.45．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是AB的中点，则直线DB1与MC所成角的余弦值为（）A．﹣B． C．D．6．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m7．某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=（）A．B．3 C．D．8．若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A．2 B．3 C．4 D．49．与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上 D．一个圆上10．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A．B． C． D．11．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件12．柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，取出的鞋一只是左脚，另一只是右脚，且不成对的概率为（）A．B．C．D．13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．14．椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．1 D．215．设集合A={（x，y）|（x﹣4）2+y2=1}，B={（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[1，4]B．[0，]C．[0，]D．（﹣∞，0]∪（，+∞]二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）16．为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为．17．抛物线y=x2的焦点坐标是．18．给出下列命题：①已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件；②“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件；③“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的充要条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的充要条件的“•＜0”．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题的序号都写上）19．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是．20．若曲线+=1和曲线kx+y﹣3=0有三个交点，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？22．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．23．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k 的值．24．已知a＞0，设命题p：函数f（x）=x2﹣2ax+1﹣2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同的交点；命题q：g（x）=|x﹣a|﹣ax有最小值．若（￢p）∧q是真命题，求实数a的取值范围．25．已知椭圆C的两个焦点坐标分别是F1（﹣，0）、F2（，0），并且经过点P（，﹣）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B．当•=λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．2016-2017学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B【考点】命题的否定；特称命题．【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：￢p：∃x∈A，2x∉B．故选C．2．如果方程+=1表示双曲线，则m的取值范围是（）A．（3，4）B．（﹣∞，3）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，3）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线4﹣m与m﹣3同号，进而求得m的范围．【解答】解：方程+=1表示双曲线，即（4﹣m）（m﹣3）＜0，解得：m＞4或m＜3，m的取值范围（﹣∞，3）∪（4，+∞），故选B．3．命题：“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是（）A．若a2+b2=0，则a=0且b≠0 B．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a=0且b=0，则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出它的逆否命题即可．【解答】解：命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是：“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．故选：D．4．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：且回归方程是=0.95xA．6.7 B．6.6 C．6.5 D．6.4【考点】线性回归方程．【分析】利用回归直线方程结果样本中心，列出方程即可求出t．【解答】解：由题意可得：==2．==，回归方程是=0.95x+2.6，可得．解得t=6.7．故选：A．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是AB的中点，则直线DB1与MC所成角的余弦值为（）A．﹣B． C．D．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DB1与CN所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则M（2，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），=（2，2，2），=（2，﹣1，0），设DB1与CM所成角为θ，则cosθ===．∴DB1与CM所成角的余弦值为．故选：B6．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．7．某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=（）A．B．3 C．D．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出某老师从星期一到星期五收到信件的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：某老师从星期一到星期五收到信件的平均数为：（10+6+8+5+6）=7，∴该组数据的方差S2= [（10﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（5﹣7）2+（6﹣7）2]=．故选：C．8．若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A．2 B．3 C．4 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线的方程表示出左焦点坐标，再由抛物线的方程表示出准线方程，最后根据双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上可得到关系式，求出p的值．【解答】解：双曲线的左焦点坐标为：，抛物线y2=2px的准线方程为，所以，解得：p=4，故选C9．与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上 D．一个圆上【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】设动圆P的半径为r，然后根据动圆与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选B．10．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A．B． C． D．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上，过A1作A1E⊥AB于E，求出AE，连结OE，则OE⊥AB，∠EAO=45°，在Rt△AEO，求出OC，然后求解A1O，即可求解A1C．【解答】解：由已知可得点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上，过A1作A1E⊥AB于E，在Rt △AEA 1，AA 1=3，∠A 1AE=60°∴，连结OE ，则OE ⊥AB ，∠EAO=45°，在Rt △AEO 中，，在，∴，在故选A ．11．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“b ＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【分析】根据不等式的性质，我们先判断“0＜ab ＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab ＜1”的真假，然后结合充要条件的定义即可得到答案． 【解答】解：若“0＜ab ＜1”当a ，b 均小于0时，即“0＜ab ＜1”⇒“”为假命题若“”当a ＜0时，ab ＞1即“”⇒“0＜ab ＜1”为假命题综上“0＜ab ＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选D ．12．柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，取出的鞋一只是左脚，另一只是右脚，且不成对的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】求出取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成对的取法，柜子里有3双不同的鞋，随机取出2只的取法，然后利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：由题意，可以先选出左脚的一只有=3种选法，然后从剩下两双的右脚中选出一只有=2种选法，所以一共6种取法．又因为柜子里有3双不同的鞋，随机取出2只，共有=15种取法，故所求事件的概率P==，故选：A．13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，知F1（﹣c，0）F2（c，0）P（x，y），由渐近线l1的直线方程为y=x，渐近线l2的直线方程为y=﹣x，l2∥PF2，知ay=bc﹣bx，由ay=bx，知P（，），由此能求出离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，∴F1（﹣c，0）F2（c，0）P（x，y），渐近线l1的直线方程为y=x，渐近线l2的直线方程为y=﹣x，∵l2∥PF2，∴，即ay=bc﹣bx，∵点P在l1上即ay=bx，∴bx=bc﹣bx即x=，∴P（，），∵l2⊥PF1，∴，即3a2=b2，∵a2+b2=c2，∴4a2=c2，即c=2a，∴离心率e==2．故选C．14．椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．1 D．2【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（法一）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）由①，②及M，N在椭圆上，可得利用点差法进行求解（法二）A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），联立方程．，利用方程的根与系数的关系可求x1+x2，进而可求y1+y2=2﹣（x1+x2），由中点坐标公式可得，，，由题意可知，从而可求【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），∴①，k AB=②，由AB的中点为M可得x1+x2=2x0，y1+y2=2y0由A，B在椭圆上，可得，两式相减可得m（x1﹣x2）（x1+x2）+n（y1﹣y2）（y1+y2）=0③，把①②代入③可得m（x1﹣x2）•2x0﹣n（x1﹣x2）•2y0=0③，整理可得故选A（法二）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）联立方程可得（m+n）x2﹣2nx++n﹣1=0∴x1+x2=，y1+y2=2﹣（x1+x2）=由中点坐标公式可得，=，=∵M与坐标原点的直线的斜率为∴=故选A15．设集合A={（x，y）|（x﹣4）2+y2=1}，B={（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[1，4]B．[0，]C．[0，]D．（﹣∞，0]∪（，+∞]【考点】命题的真假判断与应用．【分析】首先要将条件进行转化，即命题P：A∩B≠∅为假命题，再结合集合A、B的特征利用数形结合即可获得必要的条件，解不等式组即可获得问题的解答．【解答】解：∵A={（x，y）|（x﹣4）2+y2=1}，表示平面坐标系中以M（4，0）为圆心，半径为1的圆，B={（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1}，表示以N（t，at﹣2）为圆心，半径为1的圆，且其圆心N在直线ax﹣y﹣2=0上，如图．如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线ax﹣y﹣2=0的距离不大于2，即≤2，解得0≤a≤．∴实数a的取值范围是[0，]；故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）16．为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为20．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵从1000名学生中抽取50个样本，∴样本数据间隔为1000÷50=20故答案为20．17．抛物线y=x2的焦点坐标是（0，1）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线方程即x2=4y，从而可得p=2，=1，由此求得抛物线焦点坐标．【解答】解：抛物线即x2=4y，∴p=2，=1，故焦点坐标是（0，1），故答案为（0，1）．18．给出下列命题：①已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件；②“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件；③“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的充要条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的充要条件的“•＜0”．其中正确命题的序号是①②．（把所有正确命题的序号都写上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求出A⊆B时对应a的值，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断①，根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断②，利用充分、必要条件的概念与二倍角的余弦及余弦函数的周期性可判断③，当“平面向量与的夹角是钝角”时，“•＜0”，反之不成立，由于向量反向共线时，“•＜0”可判断④．【解答】解：对于①，当a=3时，A={1，a}={1，3}，满足A⊆B，若A⊆B，则a=2或3，∴“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故①正确；对于②，∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件，故②正确；对于③，函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax的最小正周期为π，则=π，|a|=1，解得：a=±1，故充分性不成立；反之，若a=1，则f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x的最小正周期为π，必要性成立；故函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π是“a=1”的必要不充分条件，故③错误；对于④，当“平面向量与的夹角是钝角”时，“•＜0”，反之不成立，由于向量反向共线时，“•＜0”，故④错误．∴正确命题的序号是：①②．故答案为：①②．19．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是．【考点】几何概型．【分析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率【解答】解：设甲到达的时刻为x ，乙到达的时刻为y 则所有的基本事件构成的区域 Ω满足0≤x ≤24且0≤y ≤24，这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域 A 满足0≤x ≤24且0≤y ≤24且|x ﹣y |≤6，作出对应的平面区域如图： 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率P （A ）=；故答案为：．20．若曲线+=1和曲线kx +y ﹣3=0有三个交点，则k 的取值范围是 （﹣，﹣）∪（，） ．【考点】曲线与方程．【分析】由题意，y ≥0， =1，y ＜0，=1，渐近线方程为y=±，作出图象，即可得出结论．【解答】解：由题意，y ≥0，=1，y ＜0，=1，渐近线方程为y=±，如图所示，曲线kx +y ﹣3=0与=1联立，可得（9﹣4k 2）x 2+24kx ﹣72=0，∴△=（24k ）2+288（9﹣4k 2）=0，∴k=±，结合图象，可得k的取值范围是（﹣，﹣）∪（，），故答案为：（﹣，﹣）∪（，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户22．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型．【分析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．【解答】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是23．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k 的值．【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（Ⅰ）由题意设：抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=﹣，根据抛物线的大于可得：4+，进而得到答案．（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程得k2x2﹣（4k+8）x+4=0，根据题意可得△=64（k+1）＞0即k＞﹣1且k≠0，再结合韦达定理可得k的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=﹣，∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴4+∴p=4∴抛物线C的方程为y2=8x（Ⅱ）由消去y，得k2x2﹣（4k+8）x+4=0∵直线y=kx﹣2与抛物线相交于不同两点A、B，则有k≠0，△=64（k+1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0，又=2，解得k=2，或k=﹣1（舍去）∴k的值为2．24．已知a＞0，设命题p：函数f（x）=x2﹣2ax+1﹣2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同的交点；命题q：g（x）=|x﹣a|﹣ax有最小值．若（￢p）∧q是真命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由（￢p）∧q是真命题，得：p假且q真；分别求出命题p，q为真假是参数a的范围，可得答案．【解答】解：若p真，则，即∴＜a≤．若q真，g（x）=|x﹣a|﹣ax=，∵a＞0，∴﹣（1+a）＜0，即g（x）在（﹣∞，a）单调递减的，要使g（x）有最小值，则g（x）在[a，+∞）增或为常数，即1﹣a≥0，∴0＜a≤1，若（￢p）∧q是真命题，则p为假命题且q为真命题，∴解得：a∈（0，]∪（，1]．25．已知椭圆C的两个焦点坐标分别是F1（﹣，0）、F2（，0），并且经过点P（，﹣）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B．当•=λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆方程为： +=1（a＞b＞0），由题意可得：c=， +=1，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）由题意可知：直线l的斜率不为零，设直线l方程：x﹣my﹣n=0与圆O：x2+y2=1相切，可得=1．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立可得：（m2+4）=d|AB|，λ=•=x1x2+y1y2= y2+2mny+n2﹣4=0，可得：|AB|=|y1﹣y2|，S△AOB（my1+n）（my2+n）+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2，由≤λ≤，令t=m2+1，则λ=，可得t∈[3，6]，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设椭圆方程为： +=1（a＞b＞0），由题意可得：c=， +=1，a2=b2+c2，联立解得：a=2，b=1．∴椭圆C的方程为： +y2=1．（2）由题意可知：直线l的斜率不为零，设直线l方程：x﹣my﹣n=0与圆O：x2+y2=1相切，∴=1，解得n2=m2+1．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x整理得：（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=．又∵|AB|=|y1﹣y2|，∴=，λ=•=x1x2+y1y2=（my1+n）（my2+n）+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2==，∵≤λ≤，令t=m2+1，则λ=，可得t∈[3，6]，=2=，∴S△AOB∵∈，∴（+6）∈，∴∈，∈．∴S△AOB2016年11月28日。

2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．74．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+17．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．238．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．311．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2acosA=ccosB +bcosC ． （1）cosA 的值；（2）若b 2+c 2=4，求△ABC 的面积．20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}【解答】解：由B中方程变形得：x（x﹣3）=0，解得：x=0或x=3，即B={0，3}，∵A={0，1，3}，∴A∩B={0，3}，故选：C．2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．7【解答】解：函数，其定义域为{x|3≤x≤4}，显然存在最大值是大于0的，则，当=0时，y取得最大值为1．故选：B．4．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，∴设双曲线方程为，a＞0，∵是双曲线的一条渐近线，∴=，解得a2=4，∴双曲线方程为．故选D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，=﹣2，不可能使l∥α；在B中，=1+0+5=6，不可能使l∥α；在C中，=﹣1，不可能使l∥α；在D中，=0﹣3+3=0，有可能使l∥α．故选：D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+1【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1．∴抛物线的焦点为F（0，）．∴抛物线的准线方程为y=﹣．∴A到准线的距离为1+=．∴AF=．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．23【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20．故选：A．8．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），且函数y=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x；为得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位长度．故选：D．9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：若，，则cosα+sinα=2（cos2α﹣sin2α），即1=4（cosα﹣sinα），平方可得1=16（1﹣sin2α），∴sin2α=，故选：A．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得A（1，2），则k OA==2，即的最大值为2．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++=9π．故选B．12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）==﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=3；故m+n=10；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是4．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，则=（a+b）=2+≥2+2=4，当且仅当a=b=时取等号．∴的最小值是4．故答案为：4．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为12．【解答】解：+=（﹣2，y﹣1，5），∵⊥（+），∴•（+）=﹣4﹣（y﹣1）+15=0，则y=12．故答案为：12．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是2a．【解答】解：设P（x0，y0），⇒化为b2x02=a2（b2﹣y02）直线B1P的方程为：y=x+b，可得M（，0）；直线B2P的方程为：y=x﹣b，可得N（，0）．则|OM|•|ON|==（定值）则|OM|+|ON|≥2=2a．故答案为：2a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对于p：设f（x）=x2﹣2x+a．该二次函数图象开向上，对称轴为直线x=1，所以，所以0＜a＜1；对于q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，所以（2a﹣3）2﹣4＞0，即4a2﹣12a+5＞0，解得或．因为“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，所以p，q一真一假．①当p真q假时，有，所以；②当p假q真时，有，所以或a≤0．所以实数a的取值范围是．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．=a n知=•，【解答】解（1）证明：由a n+1∴{}是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知{}是首项为，公比为的等比数列，∴=（）n，∴a n=，∴S n=++…+，①则S n=++…+，②①﹣②得S n=+++…+﹣=1﹣，∴S n=2﹣．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）cosA的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，∴．…（6分）（2）由，由于顶点在单位圆上的△ABC 中，2R=2，利用正弦定理可得：．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ⇒bc=b 2+c 2﹣a 2=4﹣3=1．…（10分） ∴．…（12分）20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100；第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18；第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9；第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9；第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p=．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆E的方程是．（2）当k变化时，m2为定值．证明如下：由得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，（*）因为直线OP，直线OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，所以，得2kx1x2=m（x1+x2），将（*）代入解得，经检验知成立．故当k变化时，m2为定值．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）设BD的中点为O，分别连接AO，EO．又因为AB=AD，所以AO⊥BD．因为E为BC的中点，O为BD的中点，所以EO∥CD．又因为CD⊥BD，所以EO⊥BD．又因为OA∩OE=O，OA，OE⊂平面AOE，所以BD⊥平面AOE．又因为AE⊂平面AOE，所以BD⊥AE，即AE⊥BD．解：（2）由（1）求解知AO⊥BD，EO⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD．又因为EO⊂平面BCD，所以AO⊥EO．所以OE，OD，OA两两相互垂直．因为CD⊥BD，BC=4，CD=2，所以．因为O为BD的中点，AO⊥BD，AD=2，所以，．以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，0，1），，，，所以，，．设平面ABC的一个法向量为，则，．所以，取，解得．所以是平面ABC的一个法向量．同理可求平面ADC的一个法向量．设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则．因为0＜θ＜π，所以，所以二面角B﹣AC﹣D的正弦值为．。

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）复数=（）A．B．C．D．2．（3分）已知p：x2﹣6x﹣27≤0，q：|x﹣1|≤m（m＞0），若q是p的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．m≤4 B．m＜4 C．m≥8 D．m＞83．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9C．8D．64．（3分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）若=1，则f′（x0）等于（）A．2B．﹣2 C．D．6．（3分）把下面在平面内成立的结论：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）7．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A．1B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+48．（3分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）A．﹣2 B．2C．D．9．（3分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln210．（3分）已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．2D．11．（3分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3B．6C．9D．1212．（3分）下列选项中，说法正确的是（）A．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆是真B．设是向量，“若，则||=||”的否是真C．“p∪q”为真，则p和q均为真D．∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”．13．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）14．（3分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．15．（3分）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）16．（3分）平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定个三角形．17．（3分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．18．（3分）设的展开式中的常数项等于．19．（3分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．20．（3分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=；f（n）=．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（8分）已知p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．22．（8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．23．（8分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1．（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．24．（8分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．25．（8分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）复数=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．解答：解：复数====故选C点评：题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题．2．（3分）已知p：x2﹣6x﹣27≤0，q：|x﹣1|≤m（m＞0），若q是p的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．m≤4 B．m＜4 C．m≥8 D．m＞8考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质求出p，q对应的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结论．解答：解：由x2﹣6x﹣27≤0，得﹣3≤x≤9，即p：﹣3≤x≤9，由|x﹣1|≤m（m＞0），得1﹣m≤x≤1+m，即q：1﹣m≤x≤1+m，若q是p的必要而不充分条件，则，即，解得m≥8，即实数m的取值范围是m≥8，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出的等价条件是解决本题的关键．3．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9C．8D．6考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．解答：解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故选C．点评：本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．4．（3分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：以甲3胜1败而结束比赛，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，即可得出结论．解答：解：甲以3：1的比分获胜，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，因此所求概率为：P==．故选：A．点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，属于基础题．5．（3分）若=1，则f′（x0）等于（）A．2B．﹣2 C．D．考点：极限及其运算；变化的快慢与变化率．专题：计算题．分析：先将进行化简变形，转化成导数的定义式，即可解得．解答：解：根据导数的定义可得，=故选C点评：本题主要考查了导数的定义的简单应用，以及极限及其运算，属于基础题．6．（3分）把下面在平面内成立的结论：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：对4个分别进行判断，即可得出结论．解答：解：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，与另一条不一定相交，也可能异面，在长方体中找．（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，根据平行公理，则这两条直线平行；（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直，符合异面直线所成角的定义；（4）垂直于同一条直线的两条直线还可能相交或异面，比如墙角上的三条垂直的直线．故选B．点评：本题考查了线面的平行和垂直定理，借助于具体的事物有助于理解，还能培养立体感．7．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A．1B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4考点：数学归纳法．专题：阅读型．分析：由等式，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．解答：解：在等式中，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4故选D．点评：本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．解此类问题时，注意n的取值范围．8．（3分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）A．﹣2 B．2C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果．解答：解：===0﹣2×=﹣2故选A．点评：本题考查平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是把未知量转化为已知量，用侧棱做基底表示未知向量．9．（3分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC，它的面积可化作梯形ABEF的面积与曲边梯形BCEF面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到本题的答案．解答：解：令x=4，代入直线y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）由=x﹣1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x﹣1交于点B（2，1）∴S ABC=S梯形ABEF﹣S BCEF而S BCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封闭图形ABC的面积S ABC=S梯形ABEF﹣S BCEF=4﹣2ln2故选D点评：本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．10．（3分）已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．2D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣=1，①；﹣=1，②，①﹣②得=，∵点P（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵直线l的斜率为2，∴=2，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=．故选A．点评：本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．11．（3分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3B．6C．9D．12考点：二项式定理的应用．分析：由等式右边可以看出是按照x﹣2的升幂排列，故可将x写为2+x﹣2，利用二项式定理的通项公式可求出a2的值．解答：解：x3=（2+x﹣2）3，故a2=C322=6故选B点评：本题考查二项式定理及通项公式的运用，观察等式右侧的特点，将x3=（2+x﹣2）3是解题的关键．12．（3分）下列选项中，说法正确的是（）A．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆是真B．设是向量，“若，则||=||”的否是真C．“p∪q”为真，则p和q均为真D．∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”．考点：的真假判断与应用．专题：证明题．分析：要否定一个只要举出反例即可：对于A、B、C可举出反例；D根据全称p：“∃x0∈M，p（x0）”的否定￢p为：“∀x∈M，￢p（x）”即可判断出正确与否．解答：解：A．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆是“若a＜b，则am2＜bm2”，对于逆，取m=0时不成立；B．设是向量，“若，则||=||”的否是“若，则||≠||”是假，若向量、的起点相同，其终点在同一个圆周上，则必有||≠||，故其逆是假；C．只要p、q中有一个为真，则pVq即为真．由此可知：C为假；D．根据：全称p：“∃x0∈M，p（x0）”的否定￢p为：“∀x∈M，￢p（x）”可知：D正确．综上可知：正确答案为：D．故选D．点评：掌握四种间的关系、或的真假关系、全称与特称的否定关系是解题的关键．13．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）考点：导数的乘法与除法法则；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：构造函数h（x）=f（x）g（x），由已知得到当x＜0时，h′（x）＜0，所以函数y=h （x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得到函数y=h（x）为R上的奇函数，得到函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，画出函数h （x）的草图，结合图象得到不等式的解集．解答：解：设h（x）=f（x）g（x），因为当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，所以当x＜0时，h′（x）＜0，所以函数y=h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以函数y=h（x）为R上的奇函数，所以函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，因为f（﹣1）=0，所以函数y=h（x）的大致图象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A．点评：本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于基础题．14．（3分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P 这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．15．（3分）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条考点：排列、组合及简单计数问题．专题：综合题；压轴题．分析：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况，利用列举法可解．解答：解：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况：（1）当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0，1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；（2）当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2，0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2；以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；（3）同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；（4）当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；共有16条．综上，共有23+23+16=62种故选B．点评：此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的9条抛物线．列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法．要能熟练运用二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）16．（3分）平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定110个三角形．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：先把10个点看作不共线的，此时能确定的最多三角形数求出来，再减去共线5点所确定的三角形数即可解答：解：先把10个点看作不共线的，此时能确定的最多三角形数求出来，再减去共线5点所确定的三角形数，故有﹣=110个三角形．故答案为：110．点评：本题考查排列组合的基本问题，属于基础题．17．（3分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．解答：解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：8点评：本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．18．（3分）设的展开式中的常数项等于﹣160．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解答：解：∵=﹣（cosπ﹣cos0）=2，则=的展开式的通项公式为T r+1=••=•26﹣r•x3﹣r．令3﹣r=0，解得r=3，故展开式中的常数项等于﹣160，故答案为﹣160．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．19．（3分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．考点：导数的运算．分析：先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．解答：解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：3点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．20．（3分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=37；f（n）=3n2﹣3n+1．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：根据图象的规律可得相邻两项的差的规律可分析得出f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式．解答：解：由于f（2）﹣f（1）=7﹣1=6，f（3）﹣f（2）=19﹣7=2×6，f（4）﹣f（3）=37﹣19=3×6，f（5）﹣f（4）=61﹣37=4×6，…因此，当n≥2时，有f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），所以f（n）=++…++f（1）=6+1=3n2﹣3n+1．又f（1）=1=3×12﹣3×1+1，所以f（n）=3n2﹣3n+1．当n=4时，f（4）=3×42﹣3×4+1=37．故答案为：37；3n2﹣3n+1．点评：本题主要考查了数列的问题、归纳推理．属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（8分）已知p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．考点：椭圆的简单性质；复合的真假；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由p真与q真分别求得m的范围，利用复合的真假判断即可求得符合题意的实数m 的取值范围．解答：解：p真，则有9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3…2分q真，则有m＞0，且e2=1+=1+∈（，2），即＜m＜5…4分若p或q为真，p且q为假，则p、q一真一假．①若p真、q假，则0＜m＜3，且m≥5或m≤，即0＜m≤；…6分②若p假、q真，则m≥3或m≤0，且＜m＜5，即3≤m＜5…8分故实数m的取值范围为0＜m≤或3≤m＜5…10分点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查复合的真假判断，考查集合的交补运算，属于中档题．22．（8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==X的分布列为EX==x 1 2 3 4P点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．23．（8分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1．（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可解答：解：（1）由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=a，故∠CED=60°．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°．（2）取CD的中点Q，连接PQ，EQ由PC=PD，CE=DE∴PQ⊥CD，EQ⊥CD∴∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，由ED=CD=a，在等边△ECD中EQ= a在等腰Rt△CPD中，PQ= a在Rt△EPQ中，cos∠EQP=．故二面角A﹣CD﹣E的余弦值为．点评：本小题考查线线垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．24．（8分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）联立直线y=kx+1与双曲线3x2﹣y2=1可得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，解得即为k的范围；（2）假设存在，则设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得x1+x2=，x1x2=，从而可求得+1=0，继而可解得k的值．检验成立．解答：解：（1）由，得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，得﹣＜k＜，且k≠±；（2）假设存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，又x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即++1+=0，∴+1=0，解得k=±1．经检验，k=±1满足题目条件，则存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．点评：本题考查双曲线的标准方程和性质，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．25．（8分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求导函数，可得，由于分母恒正，故由分子的正负，确定函数的单调区间；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的讨论，分别可求得f（x）的最小值，根据f（x）的最小值为1，可确定a 的取值范围．解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得，∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0．①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．②当0＜a＜2时，由f'（x）＞0解得，由f'（x）＜0解得x＜，∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为．（Ⅱ）当a≥2，由（Ⅰ）①知，f（x）的最小值为f（0）=1；当0＜a＜2时，由（Ⅰ）②知，f（x）在处取得最小值＜f（0）=1，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，合理分类是关键．。

长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因，故复数对应的点在第二象限，应选答案B。

2. 设、为非空集合，定义集合为如图非阴影部分的集合，若| ，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．详解：依据定义，A B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义：A*B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．点睛：本小题考查函数的定义域和值域，考查集合交并运算的知识，考查运算能力，属于中档题．3. 阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C4. 使不等式成立的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B.5. 已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】B【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：：若f（3）=3，则f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故这样的映射的个数是2×2=4个，故选：B．点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题6. 在直角坐标系中，若角的终边经过点，在（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意角的终边经过点，即点，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.详解：由题意，角的终边经过点，即点，则，由三角函数的定义和诱导公式得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7. 定义运算，，例如，则函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．8. 若在区间上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．详解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.9. 已知，，分别为内角，，的对边，且，，成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为成等比数列，所以,利用正弦定理化简得：,又，所以原式=所以选C.点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.10. 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】分析：由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．详解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos ＜（+，＞=0，即为||=cos ＜+，＞，当cos ＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C ．点睛：本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．11. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（ ） A. 1 B. C. 3 D. 0【答案】C【解析】由导数的几何意义得所以=，故选C.12. 设，则使得的的取值范围是（ ）A.B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，由函数f （x ）的解析式分析可得函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，当x ≥1时，对函数f （x ）求导分析可得函数f （x ）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f （|x|）＜f （|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x 的取值范围，即可得答案．详解：根据题意，f （x ）=﹣x 2+2x﹣2（e x﹣1+e 1﹣x ）=﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（e x﹣1+e 1﹣x ）都关于直线x=1对称，则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（e x﹣1﹣）=﹣2（x+1+e x﹣1﹣），又由x≥1，则有e x﹣1≥，即e x﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．13. 已知函数，其中为函数的导数，则（）A. 2B. 2019C. 2018D. 0【答案】A【解析】由题意易得：∴函数的图象关于点中心对称，∴由可得∴为奇函数，∴的导函数为偶函数，即为偶函数，其图象关于y轴对称，∴∴故选：A14. 中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则( )A. 7B. 8C. 5D. 6【答案】A【解析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．详解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=7．故选：A．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．15. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设则，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．详解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12=故所求的最小值为故选：C．点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件【答案】①【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．17. 对于，，规定，集合，则中的元素的个数为__________．【答案】41【解析】分析：由⊕的定义，a b=36分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=36；a和b同奇偶，则a+b=36．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可详解：a b=36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．点睛：本题考查的知识要点：列举法在排列组合中的应用，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．18. 已知平面向量，满足||=1，||=2，|﹣|=，则在方向上的投影是__________．【答案】【解析】分析：根据向量的模求出•=1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵||=1，||=2，|﹣|=，∴||2+||2﹣2•=3，解得•=1，∴在方向上的投影是=，故答案为：点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．19. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得因此，当且仅当时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20. 已知集合，且下列三个关系：，，中有且只有一个正确，则函数的值域是__________．【答案】【解析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21. 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程，巧解韦达定理表示，解得其值.试题解析：（1）由曲线C的原极坐标方程可得，化成直角方程为．（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，整理得，∵，于是点P在AB之间，∴．点睛：过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为 (t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为 (t1＋t2)22. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，，若.（1）求角的大小；（2）若点在边上，且是的平分线，，，求的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.试题解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（负值，舍去）∵是的平分线，，∴,∴.23. 已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是；单调递减区间是.（2）【解析】试题分析：(1)，根据题意，由于函数当t=-e时，即导数为,,函数的单调递增区间是；单调递减区间是（2) 根据题意由于对于任意，不等式恒成立，则在第一问的基础上，由于函数,只要求解函数的最小值大于零即可，由于当t>0,函数子啊R递增，没有最小值，当t<0，那么可知，那么在给定的区间上可知当x=ln（-t）时取得最小值为2，那么可知t的取值范围是．考点：导数的运用点评：主要是考查了导数的运用，以及函数最值的运用，属于中档题。

2017—2018学年上学期期末考试 高中二年级 理科数学 参考答案一、选择题：CBCBC CDADA BB二、填空题：13.;13 14. 6； 15.;14 16.③. 三、解答题：17.解：p 真：若方程有两个不等的负根，则解得 2.m > ……………3分q 真：方程无实根，则216(2)160m --<，解得1 3.m << …………6分因为“或”为真，“且”为假，所以,一真一假.故2,2,13,13m m m m m >≤⎧⎧⎨⎨<<≤≥⎩⎩或或解得12 3.m m <≤≥或 ……………………………………10分18.解：（1）由题意可得2362a a a =⋅，又因为11-=a ，,)21()51()1(2d d d +-=+-⋅+-∴.2=∴d ………… …………………………………………2分32-=∴n a n ；.22n n s n -= …………………………… 4分（2）),121321(21)12)(32(111---=--==+n n n n a a b n n n ………6分)]121321()3111()1111[(2121---++-+--=+++=∴n n b b b T n n ………8分.12)1211(21--=---=n n n ………………12分 19解：（1）由题意得n n n f 9.0)2.06.04.02.0(4.14)(++++++= ………3分n n n 9.02)1(2.04.14+++=.4.141.02++=n n ………6分（2）设该车的年平均费用为S 万元，则有)4.141.0(1)(12++==n n nn f n S …………8分210x mx ++=⎩⎨⎧>>-=∆.0,042m m 244(2)10x m x +-+=p q p q p q.4.3144.1214.1410=+≥++=nn ………10分 当且仅当nn 4.1410=，即12=n 时，等号成立，即S 取最小值4.3万元.……11分 答：这种汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是4.3万元.………12分 20解: （1）因为0cos )2(cos =-+⋅C a b B c ，由正弦定理得：0cos )sin 2(sin cos sin =-+⋅C A B B C ．……2分,cos sin 2cos sin cos sin C A C B B C ⋅=⋅+⋅.cos sin 2sin C A C B ⋅=+∴）（……………………4分在ABC ∆中，,0sin sin≠=+A C B ）（ .21cos =∴C …………………………………………5分又),,0(π∈C .3π∈∴C ………………………………………………6分（2）在ABC ∆中，由71cos =A ，得,734sin =A则.1435237121734)sin(sin =⨯+⨯=+=C A B ………………8分 由正弦定理得57sin sin ==B C b c ． 设x c 7=，x b 5=，在ACD ∆中，由余弦定理得： A AD AC AD AC CD cos 2222⋅-+=，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =，………………10分 即5,7==b c ，……11分, 故310sin 21==∆A bc S ABC ．……12分 21解：（1）∵,222BD BC CD +=∴.BD BC ⊥又∵PD ⊥底面,ABCD ∴.BC PD ⊥ …………2分 又∵D BD PD =⋂∴⊥BC 平面.PBD而⊂BC 平面,PBC ∴平面⊥PBC 平面.PBD …………4分 （2）由（1）所证，⊥BC 平面.PBD所以∠PBD 即为二面角D BC P --的平面角，即∠PBD .4π= 而32=BD ，所以.32=PD因为底面ABCD 为平行四边形，所以DB DA ⊥,分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．……6分则)0,0,2(A ，)0,32,0(B ，)0,32,2(-C ，)32,0,0(P ,所以，)32,0,2(-=，)0,0,2(-=，)32,32,0(-=,…………8分设平面PBC 的法向量为),,(c b a =，则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0BC n 即⎩⎨⎧=+-=-.03232,02c b a令1=b ，则0,1==a c 所以).1,1,0(= …………10分∴AP 与平面PBC所成角的正弦值为分12 (46)2432sin =⨯==θ 22.解：(1)由题意得：,222211121=>==+=+F F P F MP MF MF MF∴点M 的轨迹C 为以21,F F 为焦点的椭圆．………………………2分,22,222==c a .1,2222=-==∴c a b a∴点M 的轨迹C 的方程为1222=+y x ．……………………………………4分 (2)当直线l 的斜率存在时，可设其方程为31+=kx y ，设),,(),,(2211y x B y x A联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+31,1222kx y y x 可得.01612)21(922=-++kx x k由求根公式可得：)21(916,)21(34221221k x x k k x x +-=⋅+-=+…………………………6分 zyx假设在y 轴上是否存在定点),0(m Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点， 则⊥即0=⋅．),,(),,(2211y m x y m x --=--=))((2121y m y m x x --+=⋅)31)(31(2121----+=kx m kx m x x9132))(31()1(221212+-++-++=m m x x m k x x k ………………8分9132)21(9)31(12)21(9)1(1622222+-++--++-=m m k m k k k .0)21(9)1569()1818(2222=+--+-=k m m k m由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-,01569,0181822m m m 解得：.1-=m∴在y 轴上存在定点)1,0(-Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点.………11分当直线l 的斜率不存在时，经检验可知也满足以AB 为直径的圆恒过这个点)1,0(-Q ． 因此，在y 轴上存在定点)1,0(-Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点…………12分。