2019中考一模—新定义

（1）①60° （2）≤t ≤-1 或 1≤t2（2019+++房山+++一模）（1）E 、F（2）当⊙C 过点G （2,2）时，r =⊙C 过点L （-2,6）时，r = ∴≤ r ＜……………… 4分（3）当⊙C 过点M （3,1）时，CM =2，MH =1，则CH C 的横坐标t =3当⊙C 过点N （5,-1）时，点C 的横坐标t =5+∴3-≤t ≤5 7分3（2019+++通州+++一模）（1）解：()2,1C ，()2,0D ……………2分（2）由题意可知，点B 在直线y x =上 ∵直线y x =与直线y x b =+平行过点A 作直线y x =的垂线交x 轴于点G ∴点G 是点A 关于直线y x =的对称点………………3分 ∴()2,0G过点B 作直线y x =的垂线交x 轴于点H ∴△OBH 是等腰直角三角形 ∴点G 是OH 的中点 ∴直线y x b =+过点G ………………4分 ∴2b =- ∴b 的取值范围是20b -≤≤………………5分（32n ≤或2n -≤≤7分（1）（2）4r ≤≤ （3）22t -<<或6<r <85（2019+++门头沟+++一模） （1）P 1和P 3 …………………… 2分 （2）线段MN 的“关联点”P 的位置如图所示∵直线1y x =+经过点M （1，2） ∴x ≥1………… 3分设直线1y x =+与P 4N 交于点A ，过点A 作AB ⊥MN于B ，延长AB 交x 轴于C 由题意易知，在△AMN 中，MN = 3，∠AMN = 45°，∠ANM = 30° 设AB =MB=a ∴ tan AB ANM BN ∠=，即tan303a a ︒=- 解得a =…… 4分 ∴点A的横坐标为11x a =+=+=∴x ………………5分 综上 1x ≤……………… 6分 （33r +≤………………… 7分6（2019++石景山+++一模）（1）①5 ②如图()5d E =点()d EF ∴线段的最小值是5∴符合题意的点F 满足()5d F 点≤当()=5d F 点时， 125BF DF ==∴点1F 的坐标为()4,0，点2F 的坐标为()4,0-∴1k =-或1k = 结合函数图象可得1k ≤-或1k ≥ ……5分（2）33t -<<………7分8（2019+++燕山+++一模）(1)①⊙O 的称心点是 A ，B …………2分②如图，设直线y =与以O 为圆心，半径为1和3的两个圆 的交点从右至左依次为D 1，D 2，D 3，D 4，过点D 1作D 1H ⊥x 轴于点H ∵∠D1OH＝60°，OD 1＝3 ∴OH ＝12OD 1＝32 ∴点D 1的横坐标为32同理可求得点D 2，D 3，D 4的横坐标分别为12，12-，32-∴点D 的横坐标m 的取值范围是3122m -≤≤-，或1322m ≤≤……5分(2)t 的取值范围是21t -≤≤-2t ≤≤…………7分9（2019+++丰台+++一模）10（2019+++密云+++零模） (1) ③(2)当直线经过(0,2)时，可求23k =当直线经过（0，-2）时，可求23k =- 运动观察可知，k 的取值范围为2233k -≤≤（3）由题意，满足d(O,P)=3的点是在以原点为中心，对角线在坐标轴上，且对角线长为4的正方形ABCD 上（如图）当M 在正方形ABCD 外时，若MA=2，则t=-5,若MB=2,则t=5,当M 在正方形ABCD 内部时，若M 到正方形的边的距离恰好为2，则33t t =-+=- 运动观察可知，t 的取值范围为5335t t -≤≤-+-≤1对于图形M ，N ，给出如下定义：在图形M 中任取一点A ，在图形N 中任取两点B ，C （A ，B ，C 不共线），将∠BAC 的最大值α（0°<α<180°）叫做图形M 对图形N 的视角问题解决：在平面直角坐标系xOy 中，已知T （t ，0），⊙T 的半径为1（1）当t =0时①求点D （0，2）对⊙O 的视角α②直线1l 的表达式为2y x =+，且直线1l 对⊙O 的视角为α，求2sinα（2）直线2l 的表达式为y x t =+，若直线2l 对⊙T 的视 角为α，且60°≤α≤90°，直接写出t 的取值范围2在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，给出如下定义：若点P 的横、纵坐标均为整数，且到圆心C 的距离d ≤r ，则称P 为⊙C 的关联整点（1）当⊙O 的半径r =2时，在点D （2，-2），E （-1，0），F （0，2）中，为⊙O 的关联整点的是（2）若直线4y x =-+上存在⊙O 的关联整点，且不超过7 个，求r 的取值范围（3）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，若直线4y x =-+上 存在⊙C 的关联整点，求圆心C 的横坐标t 的取值范围3在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，2），B （2，2），点M 为线段AB 上一点（1）在点()2,1C ，()2,0D ，()1,2E 中，可以与点M 关于直线y x =对称的点是____________（2）若x 轴上存在点N ，使得点N 与点M 关于直线y x b =+对称，求b 的取值范围（3）过点O 作直线l ，若直线y x =上存在点N ，使得点N 与点M 关于直线l 对称（点M 可以与点N 重合），请你 直接写出点N 横坐标n 的取值范围4对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB（1）d （点O ，AB ）=（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0， 求r 的取值范围（4）点C （－3，－2），连接AC ，BC ， ⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围 5对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点” 如图，M （1，2），N （4，2）（1） 在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有（2） 如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x 的取值范围（3） 如果点P 在以O （1，1-）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，直接写出⊙O 半径r 的取值范围6在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点分别为(0,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C -，(1,0)D ．对于图形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为正方形ABCD 边上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d (M ) （1）已知点(0,4)E ①直接写出()d E 点的值②直线4y kx =+(0)k ≠与x 轴交于点F ，当()d EF 线段取最小值时，求k 的取值范围 （2）⊙T 的圆心为(,3)T t ，半径为1．若()6d T <，直接写出t 的取值范围7在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点,P Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点,M N （,M N 可以重合）使得PM QN =，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点（1）如图1，已知点(0,3)A ，(2,3)B①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值是______， 最大值是____ ②在1233(0)(14)(30)2P P P -，，，，，这三个点中，与点O 是线段 AB 的一对平衡点的是____（2）如图2，已知O ⊙的半径为1，点D 的坐标为(5,0).若点(,2)E x 在第一象限，且点D 与点E 是O ⊙的一对平衡点，求x 的取值范围（3）如图3，已知点(3,0)H -，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K .点(,)C a b （其中0b ³）是坐标平面内一动点，且5OC =，C ⊙是以点C 为圆心，半径为2的圆.若HK 上的任意两个点都是C ⊙的一对平衡点，直接写出b 的取值范围8对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙M (半径为r )，给出如下定义：若点P 关于点M 的对称点为Q ，且r ≤PQ≤ 3r ，则称点P 为⊙M 的称心点 (1) 当⊙O 的半径为2时① 如图1，在点A (0，1)，B (2，0)，C (3，4)中，⊙O 的称心点是 ② 如图2，点D 在直线y =上，若点D 是⊙O 的称心点，求点D 的横坐标m 的取值范围(2) ⊙T 的圆心为T (0，t )，半径为2，直线1y x =+与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段．．EF 上的所有点都是⊙T 的称心点，直接写出t 的取值范围图2在平面直角坐标系xoy中的点P和图形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点A,B,使得以P，A，B为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“等边依附点”（1）已知()()3，NM-，，33-3-①在点()()()3,1，，ED，C-中，是线段MN的“等边依附点”的是______122，，②点P（m，0）在x轴上运动，若点P为线段MN的“等边依附点”，求点P的横坐标m的取值范围（2）已知⊙O的半径为1，若⊙O上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长n的取值范围第11 页共12 页第10在平面直角坐标系xoy 中，已知P(x 1，y 1)Q(x 2，y 2)，定义P 、Q 两点的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和为P 、Q 两点的直角距离,记作d(P ，Q).即d(P ，Q)=|x 2-x 1|+|y 2-y 1|如图1，在平面直角坐标系xoy 中，A （1，4），B （5，2），则d(A ，B)=|5-1|+|2-4|=6图1（1）如图2，已知以下三个图形 ①以原点为圆心，2为半径的圆②以原点为中心，4为边长，且各边分别与坐标轴垂直的正方形 ③以原点为中心，对角线分别在两条坐标轴上，对角线长为4的正方形点P 是上面某个图形上的一个动点，且满足(,)2d O P = 总成立.写出符合题意的图形对应的序号________ （2）若直线(3)y k x =+ 上存在点P 使得(,)2d O P =，求k 的取值范围 （3）在平面直角坐标系xoy 中，P 为动点，且d （O ，P ）=3，M 圆心为M （t ，0），半径为1. 若M 上存在点N 使得PN=1，求t 的取值范围备用图1。

1、（2019中考）已知AOB 30 , H为射线OA上一定点，OH ,3 1 , P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM,满足OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150，得到线段PN,连接ON（1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ；（3）点M关于点H的对称点为Q,连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON=QP并证明.HBH 备用图2、(2019中考)在厶ABC中，D , E分别是！ ABC两边的中点，如果|免上的所有点都在厶ABC的内部或边上，则称■缸为△ ABC的中内弧•例如，下图中|免是厶ABC的一条中内弧. "(1 )女口图，在Rt △ ABC中，AB AC 2 2，D，E 分别是AB, AC 的中点.画出△ ABC的最长的中内弧......，并直接写出此时「「的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点A 0,2，B 0,0，C 4t,0 t 0，在厶ABC 中，D，E分别是AB, AC的中点.①若t §，求厶ABC的中内弧卜日所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ ABC中存在一条中内弧」；，使得宀所在圆的圆心P在厶ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围.3、(2018中考)如图，在正方形ABCD中, E是边AB上的一动点(不与点A, B重合), 连接DE点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G,连接DQ 过点E 作EHL DE交DG的延长线于点H,连接BH.(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.H4、（2018中考）对于平面直角坐标系元xOy中的图形M N,给出如下定义:P为图形M 上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P, Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M N间的"闭距离"，记作d（M, N）.已知点A（-2 ，6），B（-2 ，-2），C（6，-2）.（1）求d（点0，^ABC）;⑵ 记函数y=kx（- Kx< 1，kM0）的图象为图形G.若d（G,A ABC）=1,直接写出k 的取值范围;⑶OT的圆心为T（t，0），半径为1.若d（ O「△ ABC）=1直接写出t的取值范围.5、（2017中考）在等腰直角ABC中，ACB 900, P是线段BC上一动点（与点B、C 不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ CP，过点Q作QH AP于点H，交AB于点M .（1）若PAC ，求AMQ的大小（用含的式子表示）•（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明•6、(2017中考)在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义:若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.(1)当eO的半径为2时，①在点P -,0 ,P2 1更，巳-,0中，eO的关联点是 ______________________ .2 2 2 2②点P在直线y x上，若P为eO的关联点，求点P的横坐标的取值范围.(2)eC的圆心在x轴上，半径为2，直线y x 1与x轴、y轴交于点A、B .若线段AB上的所有点都是eC的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.7、(2019海淀一模)如图，在等腰直角△ ABC中，？ABC 90 ° , D是线段AC上一点(CA > 2CD ),连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F.(1)依题意补全图形；(2)若？ACE a，求DABD的大小(用含a的式子表示)；(3)若点G在线段CF 上, CG = BD，连接DG①判断DG与BC的位置关系并证明；②用等式表示DG，CG，AB之间的数量关系为_____________ .8( 2019海淀一模)对于平面直角坐标系xOy中的直线I和图形M ,给出如下定义: R, P2,，R-i，P n是图形M上的n(n33)个不同的点，记这些点到直线I的距离分别为d i，d2，，d n-i，d n，若这n个点满足d’+d z+L +d n,= d.，则称这n个点为图形M关于直线I的一个基准点列，其中d n为该基准点列的基准距离.(1)当直线I是X轴，图形M上有三点A(-1,1)，B(1,-1)，C(0,2)时，判断A B，C是否为图形M关于直线l的一个基准点列？如果是，求出它的基准距离；如果不是，请说明理由；(2)已知直线I是函数y = - .3X +3的图象，图形M是圆心在y轴上，半径为1 的O T，P，P2, L，R-1，P n是。

中考数学中“新定义”问题的类型及教学策略摘要：近几年嘉兴中考对于“新定义”类型的问题要求较高，而学生往往对于这类问题感到畏惧。

本文以“新定义”问题的概念以及特征为出发点，把这类题型分为四种类型。

教学时从概念中提取信息→加工信息→转化迁移→建立模型→解决问题。

这类问题主要考查学生现学现用的能力，以及类比和转化思想。

关键词：“新定义”；策略；迁移；阅读理解“新定义”问题是近几年嘉兴中考试题中的热点题型，它是基于学生必须掌握的知识及应该具备的能力，通过新定义的方式隐藏问题本源，要求学生在理解新定义的基础上进行拓展，从而灵活运用新知解决问题，主要考查学生现学现用的能力。

“新定义”问题的重要意义在于它不仅改变了学生解题的思维方式，而且对教师的课堂教学也起到了良好的导向作用，由于突出了理解定义的内在含义、问题迁移转化等重要环节，所以学生往往遇到“新定义”问题感到畏惧，故教师在教学“新定义”问题的时候要注意教学策略。

一、“新定义”问题阐释1.“新定义”问题的概念“新定义”问题是指命题者按照一定的规则，呈现给学生没有见过的新运算、新符号、新图形、新变换、新函数等，或将一些能与初中知识相衔接的高中“新知识”，通过阅读材料呈现给初中学生，让他们将这些“新知识”与已学知识联系起来，正确理解其内容、思想和方法，把握其本质，通过类比、猜想、迁移来运用新知识解决实际问题，要求学生现学现用，它全面地考查了学生的阅读理解能力、知识迁移能力和创新能力。

2.“新定义”问题的特征“新定义”题型特点突出、取材广泛，材料源于课本又有创新，不仅可以考查学生的阅读理解能力、分析综合能力、辨别判断能力以及生活经验是否丰富等，而且可以综合考查学生的数学思维能力和创新意识，此类问题能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，达到从预设到生成的跨越，符合学生的认知规律，既实现了对学生知识与能力考查的结合，又体现了素质教育的本质，还为学生进入高一级学校的学习做了良好的铺垫。

题型二新定义阅读理解题1. (2019重庆江北区模拟)材料：解形如(x ＋a)4＋(x ＋b)4＝c 的一元四次方程时，可以先求常数a 和b 的均值a ＋b 2，然后设y ＝x ＋a ＋b2，再把原方程换元求解．用这种方法可以成功地消去含未知数的奇次项，使方程转化成易于求解的双二次方程，这种方法叫做“均值换元法”．例：解方程：(x －2)4＋(x －3)4＝1解：∵－2和－3的均值为－52，∴设y ＝x －52，原方程可化为(y ＋12)4＋(y －12)4＝1.去括号得(y 2＋y ＋14)2＋(y 2－y ＋14)2＝1.y 4＋y 2＋116＋2y 3＋12y 2＋12y ＋y 4＋y 2＋116－2y 3＋12y 2－12y ＝1.整理得2y 4＋3y 2－78＝0.(成功地消去了未知数的奇次项)解得y 2＝14或y 2＝－74(舍去)．∴y ＝±12，即x －52＝±12.∴x ＝3或x ＝2.(1)用阅读材料中这种方法解关于x 的方程(x ＋3)4＋(x ＋5)4＝1130时，先求两个常数的均值为________．设y ＝x ＋________．原方程转化为：(y －________)4＋(y ＋________)4＝1130；(2)用这种方法，求解方程(x ＋1)4＋(x ＋3)4＝706.2.(2019重庆中考说明样卷)求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也，以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数．例如：求91与56的最大公约数解：91－56＝35，56－35＝21，35－21＝14，21－14＝7，14－7＝7，所以，91与56的最大公约数是7.请用以上方法解决下列问题：(1)求108与45的最大公约数；(2)求三个数78、104、143的最大公约数．3.材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余．材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差(高位数字减去低位数字)均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k(k≠0)时，这个数叫n位k阶数．如：123是三位负一阶数，4321是四位一阶数．(1)证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除；(2)一个四位k阶数的两倍与两位数m2的差能被11整除(1≤m≤6)，且这个四位k阶数和两位数m2对3同余，求这个四位k阶数．4. (2019重庆八中模拟)我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式：a＝2n＋1，b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数；(2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a＝12(m2－n2)，b＝mn，c＝12(m2＋n2)(m、n为正整数，m＞n)时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论．．，解决如下问题：已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．5. (2019重庆A卷)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．(1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；(2)求出不大于100的“纯数”的个数．6.(2019重庆南岸区模拟)大数学家欧拉非常推崇观察能力，他说过，今天已知的许多数的性质，大部分是通过观察发现的，历史上许多大家，都是天才的观察家．化归就是将面临的新问题转化为已经熟悉的规范问题的数学方法，这是一种具有普遍适用性的数学思想方法．如多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算：∴26445÷123＝215. ∴(x3＋2x2－3)÷（x－1)＝x2＋3x＋3.请用以上方法解决下列问题：x－2)；(1)计算：(x3＋2x2－3x－10)÷（(2)若关于x的多项式2x4＋5x3＋ax2＋b能被二项式x＋2整除，且a，b均为自然数，求满足以上条件的a，b的值及相应的商．7. (2019重庆科研考试四)阅读下列材料解决问题：如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是13的倍数，则这个数能被13整除．如：593814，814－593＝221，221是13的17倍，所以593814能被13整除．(1)若对任意一个七位数，末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是13的倍数，证明这个七位数一定能被13整除；(2)已知一个五位自然数，末三位为m＝500＋10y＋52，末三位以前的数为n＝10(x＋1)＋y(其中1≤x≤8，1≤y≤9且为整数)，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被13整除，求这个五位数．8.(2018重庆一中一模)对任意的一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字均不为零，且该数任意两个数位上的数字之和大于另一个数位上的数字，那么我们就把该数称为“三角形数”，现把n 的百位数字替换成：十位数字加上个位数字后与百位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n 1；把n 的十位数字替换成：百位数字加上个位数字后与十位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n 2；把n 的个位数字替换成：百位数字加上十位数字后与个位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n 3(若出现替换后的数位上的数字大于等于10，则该数位上的数字向前一位进位)．我们把n 1、n 2、n 3的和记作F (n)．例如n ＝345，则n 1＝645，n 2＝345，n 3＝342，F(n)＝645＋345＋342＝1332；又知n ＝839，则n 1＝439，n 2＝949，n 3＝832，F (n)＝439＋949＋832＝2220.(1)计算：F(212)，F(739)；(2)如果一个“三角形数”t ：t ＝100x ＋10y ＋z(2≤x ≤9，1≤y ≤9，1≤z ≤9，x ，y ，z 均为整数)，满足x＋y ＋z ＝17，正整数s ＝100x ＋30y ＋109和正整数m ＝204＋10y ，满足s －m 得到的新数的各个数位上的数字之和是18，规定：k(t)＝|t －t 2t －t 1|，求k(t)的最大值．参考答案题型二新定义阅读理解题1.解：(1)4，4，1，1；(2)∵1和3的均值为2，∴设y＝x＋2，原方程可化为(y＋1)4＋(y－1)4＝706.去括号整理得y4＋6y2－352＝0.解得y2＝16或y2＝－22(舍去)．∵y＝±４，即x＋2＝±４，∴x＝－6或x＝2.2.解：(1)∵108－45＝63，63－45＝18，45－18＝27，27－18＝9，18－9＝9，∴108与45的最大公约数是9；(2)先求104与78的最大公约数，104－78＝26，78－26＝52，52－26＝26，∴104与78的最大公约数是26；再求26与143的最大公约数，143－26＝117，117－26＝91，91－26＝65，65－26＝39，39－26＝13，26－13＝13，∴26与143的最大公约数是13，∴78、104、143的最大公约数是13.3. (1)证明：设这个任意四位阶梯数的个位为n，阶数为k，则该四位阶梯数表示为：n＋10(n＋k)＋100(n ＋2k)＋1000(n＋3k)，它与个位数的差为：n＋10(n＋k)＋100(n＋2k)＋1000(n＋3k)－n＝n＋10n＋10k＋100n＋200k＋1000n＋3000k－n＝1110n＋3210k＝6(185n＋535k)，∵6(185n＋535k)是6的倍数，∴6(185n＋535k)能被6整除．即一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除；(2)解：设这个任意四位阶梯数的个位为n，则该四位阶梯数表示为：n＋10(n＋k)＋100(n＋2k)＋1000(n ＋3k)，2[n＋10(n＋k)＋100(n＋2k)＋1000(n＋3k)]－10m－2＝2222n＋6420k－10m－2＝11(202n＋583k)＋7k－10m－2，7k－10m－2是11的倍数；(1111n＋3210k)÷３与(10m＋2)÷３的余数相同．易得k可取－1，－2，1，2，当m＝1，2，3，4时，无论k取何值，7k－10m－2都不是11的倍数，当m＝5时，k＝－2，此时四位k阶数为1357，当m＝6时，k＝1，此时四位k阶数为8765，5432.综上，这个四位数是1357，8765，5432.4. (1)证明：由题意知，c2＝(2n2＋2n＋1)2＝(2n2＋2n)2＋2(2n2＋2n)＋1＝(2n2＋2n)2＋4n2＋4n＋1＝(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2.即c2＝b2＋a2，∴满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数；(2)解：当n＝5时，a＝12(m2－25)，b＝5m，c＝12(m2＋25)，当a＝37时，解得m＝311，非正整数，不合题意，舍去，当b＝37时，解得m＝375，非正整数，不合题意，舍去，当c＝37时，解得m＝7，满足题意，此时a＝12，b＝35，∴该直角三角形的另外两边的长为12，35.5.解：(1)2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：∵在计算2019＋2020＋2021时，个位9＋0＋1＝10，产生了进位，∴2019不是“纯数”．∵在计算2020＋2021＋2022时，个位0＋1＋2＝3，十位2＋2＋2＝6，百位0＋0＋0＝0，千位2＋2＋2＝6，它们都没有产生进位，∴2020是“纯数”；(2)由题意，当“纯数”n为一位数时，n＋(n＋1)＋(n＋2)＝3n＋3＜10，∴0≤n＜73，故n＝0，1，2，即在一位数的自然数中，“纯数”有3个，当“纯数”n为两位数时，设n＝10b＋a(其中1≤b≤9，0≤a≤9，且a，b为自然数)，则n＋(n＋1)＋(n＋2)＝30b＋3a＋3.此时a，b应满足的条件分别为：3a＋3＜10，即a＝0，1，2；1≤b≤3，即b＝1，2，3.∵3×3＝9(个)，∴在两位数的自然数中，“纯数”有9个．∵100＋101＋102＝303，不产生进位，∴100是“纯数”，∴3＋9＋1＝13(个)．∴在不大于100的自然数中“纯数”的个数是13.6.解：(1)(x3＋2x2－3x－10)÷（x－2)＝x2＋4x＋5；（2）列除式：∴(x3＋2x2－3x－10)÷（x－2)＝x2＋4x＋5；(2)列除式如下：∵多项式2x4＋5x3＋ax2＋b能被二项式x＋2整除，∴余式b＋4(a－2)＝0，即4a＋b＝8.∵a，b是自然数，∴当a＝0时，b＝8，此时多项式为2x4＋5x3＋8，商为2x3＋x2－2x＋4；当a＝1时，b＝4，此时多项式为2x4＋5x3＋x2＋4，商为2x3＋x2－x＋2；当a＝2时，b＝0，此时多项式为2x4＋5x3＋2x2，商为2x3＋x2.7. (1)证明：设任意七位数的末三位为s，末三位以前的数为t，则这个七位数为ts，由题意可令t－s＝13k(k为整数)．ts＝1000t＋s＝1000t－13k＋t＝1001t－13k＝13(77t－k)，∴这个七位数一定能被13整除；(2解：)①当1≤y≤4时，m＝500＋10(5＋y)＋2.交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m′＝100(5＋y)＋52，m′－n＝100(5＋y)＋52－10(x＋1)－y＝99y－10x＋542＝13(42＋8y－x)－(4＋5y－3x)，∵1≤x≤8，1≤y≤4，且x，y都为整数，∴－21≤－(4＋5y－3x)≤15.∴－(4＋5y－3x)的值为13或0或－13.Ⅰ.若－(4＋5y－3x)＝13，则x＝9，y＝2.（舍去）.Ⅱ.若－(4＋5y－3x)＝0，则x＝8，y＝4.或x＝3，y＝1.∴这个五位数为94592，41562.Ⅲ.若－(4＋5y－3x)＝－13，则x＝2，y＝3.∴这个五位数为33582.②当5≤y≤9时，m＝600＋10(y－5)＋2.交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m′＝100(y－5)＋62，m′－n＝100(y－5)＋62－10(x＋1)－y＝99y－10x－448＝13(8y－x－34)－(6＋5y－3x)，∵1≤x≤8，5≤y≤9，且x，y都为整数，∴－48≤－(6＋5y－3x)≤－7.∴－(6＋5y－3x)的值为－39，－26，－13.Ⅰ.若－(6＋5y－3x)＝－39，则x＝4，y＝9.∴这个五位数为59642.Ⅱ.若－(6＋5y－3x)＝－26，则x＝5，y＝7.∴这个五位数为67622.Ⅲ.若－(6＋5y－3x)＝－13，则x＝6，y＝5.∴这个五位数为75602.综上所述：这个五位数为：94592，41562，33582，59642，67622，75602.8.解：(1)由题得，当n＝212时，n1＝112，n2＝232，n3＝211，∴F(212)＝112＋232＋211＝555；当n＝739时，n1＝539，n2＝839，n3＝731，∴F(739)＝539＋839＋731＝2109；(2)s－m＝100x＋30y＋109－204－10y＝100(x－1)＋20y＋5，①当1≤y≤4时，x－1＋2y＋5＝18，∴x＋2y＝14，∴x＝14－2y，把x＝14－2y代入x＋y＋z＝17中，得14－2y＋y＋z＝17，∴z＝y＋3，∵2≤x≤9，1≤z≤9，∴2≤14－2y≤9且1≤y＋3≤9，∴2.5≤y≤6且－2≤y≤6，∵1≤y≤4，∴2.5≤y≤4，∵y为整数，∴y＝3或4，当y＝3时，z＝6，x＝8，∴t＝836；当y＝4时，z＝7，x＝6，∴t＝647；②当5≤y≤9时，x－1＋1＋2y－10＋5＝18，x＋2y＝23，∴x＝23－2y，把x＝23－2y代入x＋y＋z＝17中，得z＝y－6，∵2≤x≤9，1≤z≤9，∴2≤23－2y≤9且1≤y－6≤9，∴7≤y ≤10.5且7≤y ≤15，∵5≤y ≤9，∴7≤y ≤9，∵y 为整数，∴y ＝7或8或9，当y ＝7时，z ＝1，x ＝9，不是三角形数，应舍去；当y ＝8时，z ＝2，x ＝7，∴t ＝782；当y ＝9时，z ＝3，x ＝5，不是三角形数，应舍去，综上，t ＝836或647或782，当t ＝836时，t 1＝136，t 2＝916，∴k(836)＝|836－916836－136|＝435，当t ＝647时，t 1＝547，t 2＝697，∴k(647)＝|647－697647－547|＝12，当t ＝782时，t 1＝382，t 2＝712，∴k(782)＝|782－712782－382|＝740，∵12>740>435，∴k(t)的最大值为12.。

中考数学新定义创新型综合压轴问题【方法归纳】新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂；（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

北京中考最后一题的新定义主要涉及函数与圆的有关新定义问题，属于函数的范畴，已经考过“对应点”、“关联线段”、“平移距离”“闭距离”、“相关矩形”、“反称点”、“有界函数”、“关联点”等新定义。

在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法。

解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决。

【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；OM;②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(1<t<1)，若P为⊙O外2一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′,C′分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,的横､纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，⊙O 的以点A为中心的“关联线段”是______________；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB=1,AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC长．【真题再现】1．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′,B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是 ；在点P 1,P 2,P 3,P 4中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值；（3）若点A 的坐标为(2,32)，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2，直接写出d 2的取值范围．2（2019·北京·中考真题）在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE⌢上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE⌢为△ABC 的中内弧．例如，下图中DE ⌢是△ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，AB =AC =2√2，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．画出△ABC 的最长的中内弧DE⌢，并直接写出此时DE ⌢的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(0,0)，C(4t,0)(t >0)，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若t =12，求△ABC 的中内弧DE⌢所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧DE⌢，使得DE ⌢所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．3．（2018·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）．已知点A （−2，6），B （−2，−2），C （6，−2）．（1）求d （点O ，△ABC ）；（2）记函数y =kx （−1≤x ≤1，k ≠0）的图象为图形G ，若d （G ，△ABC ）=1，直接写出k 的取值范围；（3）⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （⊙T ，△ABC ）=1，直接写出t 的取值范围． 4.（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为2时，①在点P 1(12,0),P 2(12,√32),P 3(52,0) 中，⊙O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．5．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1≠y 2，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；②点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O 的半径为，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．6．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．，0），T（1，√3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求①分别判断点M（2，1），N（32其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；x+2√3与x轴、y轴分别交于点A，B，若（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣√33线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．7．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(−4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，（1）分别判断函数y=1x求其边界值；（2）若函数y=−x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(−1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值≤t≤1？是t，当m在什么范围时，满足348．（2013·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得∠APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点．已知点D （，），E （0，－2），F （，0）（1）当⊙O 的半径为1时，①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是 ；②过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京朝阳二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，AB =1，且A ，B 两点中至少有一点在⊙O 外．给出如下定义：平移线段AB ，得到线段A ′B ′（A ′，B ′分别为点A ，B 的对应点），若线段A ′B ′上所有的点都在⊙O 的内部或⊙O 上，则线段AA ′长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．(1)如图1，点A 1，B 1的坐标分别为（－3，0），（－2，0），线段A 1B 1到⊙O 的“平移距离”为___，点A 2，B 2的坐标分别为（－12，√3），（12，√3），线段A 2B 2到⊙O 的“平移距离”为___；(2)若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；(3)如图2，若点A坐标为（1，√3），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．2．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ与⊙O有两个交点M，N，且PM=MN=NQ，则称线段PQ是⊙O的“倍弦线”．(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，AD，CB，CD中，⊙O的“倍弦线”是_____________；(2)⊙O的“倍弦线”PQ与直线x=2交于点E，求点E纵坐标y E的取值范围；(3)若⊙O的“倍弦线”PQ过点(1,0)，直线y=x+b与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．3．（2022·北京大兴·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和直线y=1，给出如下定义：若点P在直线y=1上，且以点P为顶点的角是45°，则称点P为直线y=1的“关联点”．(1)若在直线x=1上存在直线y=1的“关联点”P．则点P的坐标为_____；(2)过点P(2,1)作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为A；另一条射线、交x轴于点B，若点P为直线y=1的“关联点”．求点B的坐标；(3)以点O为圆心，1为半径作圆，若在⊙O上存在点N，使得∠OPN的顶点P为直线y=1的“关联点”．则点P的横坐标a的取值范围是________．4．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P(3,0)的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d(G,l)，此时点Q称为图形G关于直线l的最佳射影点．(1)如图1，已知A(2,2)，B(3,3)，写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d(AB,x轴)=____________；(2)已知点C(3,2)，⊙C的半径为√2，求⊙C关于x轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；(3)直接写出点D(0,√3)关于直线l的最佳射影距离d(点D,l)的最大值．5．（2022·北京·清华附中一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0,3)，B(2,3)；①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；,0)，P2(1,4)，P3(−3,0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．②在P1(32(2)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E(x,2)在第一象限，且点D 与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；(3)如图3，已知点H(−3,0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C(a,b)（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．6．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．(1)当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；(2)当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CP的值．OQ 7．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．(1)如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是；②线段A1B1∥AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为．(2)如图2，已知点C（1，√3），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为3，圆心E在直线2l：y=−√3x+4√3上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；(3)如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQT的周长的最小值．8．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”，已知O（0，0），A（1，√2），B （m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m＝2√2，n=√2时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是；②当m＝2√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是√2，则n的取值范围是；(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为√2的圆上，当n≥√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为√2，线段BC的中点为M．直接写出点M随线段BC运动所走过的路径长．9．（2022·北京市师达中学模拟预测）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少．．一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．(1)分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是；(2)如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值范围；(3)点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2√3）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．10．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．（1）已知点N（2，0），在点M1(0,2√3)，M2(1,√3)，M3(2,3)中，对线段ON的可视度为360º的点是______．（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．11．（2022·北京四中模拟预测）在平面内，对点组A1，A2，...，An和点P给出如下定义：点P与点A1，A2，...，An的距离分别记作d1，d2，...，dn，数组d1，d2，...，dn的中位数称为点P对点组A1，A2，...，An的中位距离．例如，对点组A1（0，0），A2（0，3），A3（4，1）和点P（4，3），有d1＝5，d2＝4，d3＝2，故点P对点组A1，A2，A3的中位距离为4．(1)设Z1（0，0），Z2（4，0），Z304），Y（0，3），直接写出点Y对点组Z1，Z2，Z3的中位距离；(2)设C1（0，0），C2（8，0），C3（6，6），则点Q1（7，3），Q2（3，3），Q3（4，0），Q4（4，2）中，对点组C1，C2，C3的中位距离最小的点是，该点对点组C1，C2，C3的中位距离为；(3)设M（1，0），N(0,√3)，T1（t，0），T2（t+2，0），T3（t，2），若线段MN上任意一点对点组T1，T2，T3的中位距离都不超过2，直接写出实数t的取值范围．12．（2020·北京·人大附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于平面中的点P，Q和图形M，若图形M上存在一点C，使∠PQC=90°，则称点Q为点P关于图形M的“折转点”，称△PCQ为点P关于图形M的“折转三角形”（1）已知点A(4,0)，B(2,0)①在点Q1(2,2)，Q2(1,−√3)，Q3(4,−1)中，点O关于点A的“折转点”是______；②点D在直线y=−x上，若点D是点O关于线段AB的“折转点”，求点D的横坐标x D的取值范围；（2）⊙T的圆心为(t,0)，半径为3，直线y=x+2与x，y轴分别交于E，F两点，点P为⊙T 上一点，若线段EF上存在点P关于⊙T的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．13．（2020·北京市陈经纶中学分校三模）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”的对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A(1,0)，点C(2,1)，①下列四个点P1(0,1)，P2(2,2)，P3(−12,0)，P4(−12,−√32)中，与点A是“中心轴对称”的是________；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABC D是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E的取值范围;（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(−2,2)，H(2,2)，J(2,−2)，K(−2,−2),一次函数y=√3x+b图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点Q，给出如下定义：将图形G绕点Q顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形G关于点Q的“垂直图形”，例如，图1中线段OD为线段OC关于点O的“垂直图形”．(1)线段MN关于点M(1,1)的“垂直图形”为线段MP．①若点N的坐标为(1,2)，则点P的坐标为__________；②若点P的坐标为(4,1)，则点N的坐标为__________；(2)E(−3,3),F(−2,3),H(a,0)．线段EF关于点H的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．15．（2022·北京丰台·xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B 为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把p+q的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，2⊙O）(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数①d（D，⊙O）＝__________；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；(2)若点N在直线y=√3x+2√3上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为√10，直接写出m的最小值和最大值．16．（2022·北京平谷·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．17．（2022·北京密云·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P(2,3)与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点M(m,0)为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．(2)已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．18．（2022·北京门头沟·二模）我们规定：如图，点H在直线MN上，点P和点P′均在直线MN的上方，如果HP=HP′，∠PHM=∠P′HN，点P′就是点P关于直线MN的“反射点”，其中点H为“V点”，射线HP与射线HP′组成的图形为“V形”．在平面直角坐标系xOy中，(1)如果点P(0,3) ，H(1.5,0)，那么点P关于x轴的反射点P′的坐标为；(2)已知点A(0,a) ，过点A作平行于x轴的直线l．①如果点B(5,3) 关于直线l的反射点B′和“V点”都在直线y=−x+4上，求点B′的坐标和a的值；②⊙W是以(3,2) 为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线l的反射点和“V点”都在直线y=−x+4上，且形成的“V形”恰好与⊙W有且只有两个交点，求a的取值范围．19．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b 的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．20．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．(1)已知点A(5,0)．①在点B1(−3,4)，B2(1,5)，B3(4,−3)，B4(3,6)中，线段OA的“等距点”是______；②若点C在直线y=2x+5上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；(2)已知点D(1,0)，点E(0,−1)，图形W是以点T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T位于x轴及x 轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．21．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)已知，点A(−4√2,2)，B(2√2,2)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为4，求m的取值范围；(2)已知OM=7，等边△DEF的三个顶点均在半径为3的⊙M上．求△DEF的“全距”d的取值范围．22．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M、N 可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(√3,0),D(0,−1),E(0,1)，点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP,DP．①线段OP的最小值为__________，最大值为__________；线段DP的取值范围是__________；②在点O，点D中，点__________与线段EC满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ是⊙O的弦，则称△ABC是⊙O 的关于直线l的“关联三角形”“关联轴”．(1)如图1，若△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与⊙O的“关联轴”（至少画两条）；(2)若△ABC中，点A坐标为(2,3)，点B坐标为(4,1)，点C在直线y=−x+3的图像上，存在“关联轴l”使△ABC是⊙O的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；(3)已知A(√3,1)，将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为⊙M 上的两点，且AB=2（点B在点A右侧），若△ABC与⊙O的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC最大时AC的长．24．（2022·北京市十一学校二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．(1)已知点A（6，8），在点Q1(5,0)，Q2(−2,4)，Q3(9,5)中，________是点A的“直角点”；(2)已知点B（-4，4），C（3，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；(3)在（2）的条件下，已知点D（m-1，0），E（m，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，求m的取值范围．25．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意―点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P 到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)如图，点A(−√3,1)，B(√3,1)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为______，最小距离为______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为1，求m的取值范围；(2)已知OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的⊙M上．请直接写出△DEF的“全距”d 的取值范围．26．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x 轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T 有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．27．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐标系xOy中，对于线段MN及P、Q，若∠MPN= 45°且线段MN关于点P的中心对称线段M′N′恰好经过点Q，则称Q是点P的线段MN−45°对经点.(1)设点A(0,2)，①Q1(4,0)，Q2(2,2)，Q3(2+√7,1)，其中为某点P的线段OA−45°对经点的是___________.②选出①中一个符合题意的点Q，则此时所对应的对称中心P的坐标为.③已知B(0,1)，设⊙B的半径是r，若⊙B上存在某点P的线段OA−45°对经点，求r的取值范围.(2)已知C(0,t)，D(0,−t)(t>0)，若点Q(4,0)同时是相异两点P1，P2的线段CD−45°对经点，直接写出t的取值范围.28．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，已知点A，过点A 作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与⊙O有两个交点时，则称MN是⊙O的“双关联直线”，与⊙O有一个交点P时，则称MN是⊙O的“单关联直线”，AP⊙O的“单关联线段”．(1)如图1，A(0,4)，当MN与y轴重合时，设MN与⊙O交于C，D两点．则MN是⊙O的“______的值为______；关联直线”（填“双”或“单”）；ACAD(2)如图2，点A为直线y=−3x+4上一动点，AP是⊙O的“单关联线段”．①求OA的最小值；②直接写出△APO面积的最小值．29．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ 的“等幂点”．(1)已知A(2,0)．①在点P1(2,4),P2(1,2),P3(−4,1),P4(1,−4)中，线段OA的“等幂点”是____________；②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为C(2,−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE 为锐角三角形，直接写出点D的横坐标x D的取值范围．30．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．(1)如图1，若r为1．①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是；②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．。

专题知识突破二新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例1 （2019•济南）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（）A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）思路分析：根据题意可知，S1中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出选择．考点二：运算题型中的新定义例2 （2019•铜仁）定义一种新运算：a⊗b=b2-ab，如：1⊗2=22-1×2=2，则（-1⊗2）⊗3=_______.思路分析：先根据新定义计算出-1⊗2=6，然后计算再根据新定义计算6⊗3即可．考点三：探索题型中的新定义例3 （2019•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5思路分析：“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．考点四：开放题型中的新定义例4 （2019•北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意考点五：阅读材料题型中的新定义例5 （2019•乐山）对于平面直角坐标系中任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），称|x1-x2|+|y1-y2|为P1、P2两点的直角距离，记作：d（P1，P2）．若P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=kx+b上的一动点，称d（P0，Q）的最小值为P0到直线y=kx+b的直角距离．令P0（2，-3），O为坐标原点．则：（1）d（O，P0）=_________；（2）若P（a，-3）到直线y=x+1的直角距离为6，则a=__________．思路分析：（1）根据题中所给出的两点的直角距离公式即可得出结论；（2）先根据题意得出关于x的式子，再由绝对值的几何意义即可得出结论．四、中考真题演练一、选择题1．（2019•大庆）对坐标平面内不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2），用|AB|表示A、B两点间的距离（即线段AB的长度），用‖AB‖表示A、B两点间的格距，定义A、B两点间的格距为‖AB‖=|x1-x2|+|y1-y2|，则|AB|与‖AB‖的大小关系为（）A．|AB|≥‖AB‖ B．|AB|＞‖AB‖ C．|AB|≤‖AB‖ D．|AB|＜‖AB‖2．（2019•龙岩）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a ＜b时min{a，b}=a．如：min{1，-3}=-3，min{-4，-2}=-4．则min{-x2+1，-x}的最大值是（）A ．12B ．12C ．1D ．0 3．（2019•泰州）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）A ．1，2，3B ．1，1C ．1，1D ．1，24．（2019•常德）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O ，引一条有方向的射线Ox ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M 的位置可由∠MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定，有序数对（θ，m ）称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA 在射线Ox 上，则正六边形的顶点C 的极坐标应记为（ ）A ．（60°，4）B ．（45°，4）C ．（50°，５．（2019•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°6．4．（2019•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a ，b ），定义f ，g 两种变换：f （a ，b ）=（a ，-b ）．如f （1，2）=（1，-2）；g （a ，b ）=（b ，a ）．如g （1，2）=（2，1）．据此得g （f （5，-9））=（ ）A ．（5，-9）B ．（-9，-5）C ．（5，9）D ．（9，5）7．5．（2019•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题8．（2019•临沂）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A 与集合B 中的所有元素组成的集合称为集合A 与集合B 的和，记为A+B ．若A={-2，0，1，5，7}，B={-3，0，1，3，5}，则A+B=___________．910．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P （-y+1，x+1）叫做点P ′伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（3，1），则点A 3的坐标为______，点A 2019的坐标为_______；若点A 1的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为 __________．11．（2019•荆州）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.3∙12． （2019•塘沽区二模）如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸、…，已知标准纸的短边长为a ．（说明：①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸、…都是矩形；②本题中所求边长或面积都用含a 的代数式表示．）（Ⅰ）如图2，把上面对开得到的“16开”纸按如下步骤折叠：第一步：将矩形的短边AB 与长边AD 对齐折叠，点B 落在AD 上的点B ′处，铺平后得折痕AE ；第二步：将长边AD 与折痕AE 对齐折叠，点D 正好与点E 重合，铺平后得折痕AF ．则AD ：AB 的值是 ；（Ⅱ）求“2开”纸长与宽的比 ；（Ⅲ）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L ”型图案，它的四个顶点E ，F ，G ，H 分别在“16开”纸的边AB ，BC ，CD ，DA 上，则DG 的长 .13． （2019•连云港）如图1，折线段AOB 将面积为S 的⊙O 分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为S 1、S 2，若 121S S S S ==0.618，则称分成的小扇形为“黄金扇形”．生活中的折扇（如图2）大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为 _______．（精确到0.1）14．（2019•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．三、解答题15．（2019•厦门）当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，mn）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=-x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若，求△MBC的面积．16．（2019•白银）阅读理解：17．（2019•漳州）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是_____度和______度；（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有____个等腰三角形，其中有________个黄金等腰三角形．18．（2019•北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（12，12），E（0，-2），F（0）．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D、E、F中，⊙O的关联点是．②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O 的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．（1）请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条；（2）请仿照图1的画法，在图2所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：①顶点都在格点上；②所涉及的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；③将新图案中的四个筝形都图上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）．20．（2019•黔西南州）已知点P （x 0，y 0）和直线y=kx+b ，则点P 到直线y=kx+b 例如：求点P （-2，1）到直线y=x+1的距离．解：因为直线y=x+1可变形为x-y+1=0，其中k=1，b=1．根据以上材料，求：（1）点P（1，1）到直线y=3x-2的距离，并说明点P与直线的位置关系；（2）点P（2，-1）到直线y=2x-1的距离；（3）已知直线y=-x+1与y=-x+3平行，求这两条直线的距离．21．（2019•抚州）【试题背景】已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．【探究1】（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线k于点F，求正方形ABCD的边长．【探究2】（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，则矩形ABCD的宽为．（直接写出结果即可）【探究3】如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，AE⊥k于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、点M．求证：EC=DF．【拓展】（4）如图3，l∥k，等边△ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上，AB⊥k于点B，且AB=4，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、点M、点D、点E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE，DH⊥l于点H．猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？并说明此时BC∥DE的理由．22．（2019•顺义区一模）设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=2014x是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=12x2-2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．23．（2019•佛山）我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．（1）如图，若B1B=30米，∠B1=22°，∠ABC=30°，求AC（精确到1）；（2）如图2，若∠ABC=30°，B 1B=AB ，计算tan15°的值（保留准确值）；24．（2019•安徽）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x 的二次函数y 1=2x 2-4mx+2m 2+1和y 2=ax 2+bx+5，其中y 1的图象经过点A （1，1），若y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求出当0≤x ≤3时，y 2的最大值．25．（2019•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O 是△ABC 的重心（如图1），连结AO 并延长交BC 于D ，证明：23AO AD =； （2）若AD 是△ABC 的一条中线（如图2），O 是AD 上一点，且满足23AO AD =，试判断O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O 是△ABC 的重心，过O 的一条直线分别与AB 、AC 相交于G 、H （均不与△ABC 的顶点重合）（如图3），S 四边形BCHG ，S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，试探究 BCHG AGHS S V 四边形的最大值．专题二 新定义型问题参考答案 三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例1解：A 、∵2有3个，∴不可以作为S 1，故选项错误；B 、∵2有3个，∴不可以作为S 1，故选项错误；C 、3只有1个，∴不可以作为S 1，故选项错误D 、符合定义的一种变换，故选项正确．故选：D ．考点二：运算题型中的新定义例2解：-1⊗2=22-（-1）×2=6，6⊗3=32-6×3=-9．所以（-1⊗2）⊗3=-9．故答案为-9．考点三：探索题型中的新定义例3解：如图，∵到直线l 1的距离是1的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上， 到直线l 2的距离是2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上， ∴“距离坐标”是（1，2）的点是M 1、M 2、M 3、M 4，一共4个．故选C ．当x=b 时，y=-b+1．则2b 12b a a 1-≤-+≤⎧⎪⎨⎪-⎩＞＝，∴-1＜b ≤3；（3）若m ＞1，函数向下平移m 个单位后，x=0时，函数值小于-1，此时函数的边界t ≥1，与题意不符，故m ≤1．当x=-1时，y=1 即过点（-1，1）四、中考真题演练一、选择题1．C2．A3．D4．A5．D6．D7．C二、填空题8. {-3，-2，0，1，3，5，7}9．２10．（-3，1），（0，4）；-1＜a＜1且0＜b＜211．45 9912：113．137.5 14．30°三、解答题15．解：∵m+n=mn且m，n是正实数，∴mn+1=m，即mn=m-1，∴P（m，m-1），即“完美点”P在直线y=x-1上，∵点A（0，5）在直线y=-x+b上，∴b=5，∴直线AM：y=-x+5，∵“完美点”B在直线AM上，∴由y x1 y x5＝＝-⎧⎨-+⎩解得x3y2＝＝⎧⎨⎩，∴B（3，2），∵一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=-x，而直线y=x-1与直线y=x 平行，直线y=-x+5与直线y=-x平行，∴直线AM与直线y=x-1垂直，∵点B是直线y=x-1与直线AM的交点，∴垂足是点B，∵点C是“完美点”，∴点C在直线y=x-1上，∴△MBC是直角三角形，∵B（3，2），A（0，5），∴，∵，∴，又∵∴BC=1，∴S △MBC =12 16．解：由题意得2x-（3-x ）＞0， 去括号得：2x-3+x ＞0，移项合并同类项得：3x ＞3， 把x 的系数化为1得：x ＞1．17．解：（1）如图1所示：∵AB=AC ，∠A=36°，∴当AE=BE ，则∠A=∠ABE=36°，则∠AEB=108°，则∠EBC=36°，∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；故答案为：108，36；（2）如图2所示：（3）如图3所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；…∴在△ABC 中画n 条线段，则图中有2n 个等腰三角形，其中有n 个黄金等腰三角形．故答案为：2n ，n ．18．解：（1）①如图1所示，过点E 作⊙O 的切线设切点为R ，∵⊙O 的半径为1，∴RO=1，∵EO=2，∴∠OER=30°，根据切线长定理得出⊙O 的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°，∴E 点是⊙O 的关联点，∵D （12，12），E （0，-2），F （0）， ∴OF ＞EO ，DO ＜EO ，∴D 点一定是⊙O 的关联点，而在⊙O 上不可能找到两点使得组成的角度等于60°， 故在点D 、E 、F 中，⊙O 的关联点是D ，E ；故答案为：D ，E ；②由题意可知，若P 要刚好是⊙C 的关联点，需要点P 到⊙C 的两条切线PA 和PB 之间所夹的角为60°，由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，连接BC ，则PC=sin BC CPB∠=2BC=2r ， ∴若P 点为⊙C 的关联点，则需点P 到圆心的距离d 满足0≤d≤2r ；由上述证明可知，考虑临界点位置的P 点，如图3，点P 到原点的距离OP=2×1=2，过点O 作l 轴的垂线OH ，垂足为H ，tan ∠OGF=FO OG = ∴∠OGF=60°，∴OH=OGsin60°sin ∠OPH=OH OP = ∴∠OPH=60°，可得点P 1与点G 重合，过点P 2作P 2M ⊥x 轴于点M ，可得∠P 2OM=30°，∴OM=OP 2cos30°从而若点P 为⊙O 的关联点，则P 点必在线段P 1P 2上，∴（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；考虑临界情况，如图4，即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=12EF=2，此时，r=1，故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1．19．解：（1）相同点：①两组邻边分别相等；②有一组对角相等；③一条对角线垂直平分另一条对角线；④一条对角线平分一组对角；⑤都是轴对称图形；⑥面积等于对角线乘积的一半；不同点：①菱形的对角线互相平分，筝形的对角线不互相平分；②菱形的四边都相等，筝形只有两组邻边分别相等；③菱形的两组对边分别平行，筝形的对边不平行；④菱形的两组对角分别相等，筝形只有一组对角相等；⑤菱形的邻角互补，筝形的邻角不互补；⑥菱形的既是轴对称图形又是中心对称图形，筝形是轴对称图形不是中心对称图形；（2）如图所示：．（3）在直线y=-x+1任意取一点P，当x=0时，y=1．∴P（0，1）．∵直线y=-x+3，∴k=-1，b=3，21．解：（1）∵l∥k，BE⊥l，∴∠BFC=∠BEA=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC．∴∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF，∵d1=d3=1，d2=2，∴BE=3，AE=1，在直角△ABE中，AB=＝，；（2）过B作BE⊥l于点E，交k于点F．则BE=1，BF=3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°，又∵直角△ABE中，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠FBC=∠EAB，∴△AEB∽△BFC，当AB是较短的边时，如图（a），AB=12BC，则AE=12BF=32，在直角△ABE中，=当AB是长边时，如图（b），同理可得：；故答案为：（3）证明：如解答图1，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，且∠ADC=60°，∴AC=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∵AE⊥k，∠AFD=90°，∴∠AEC=∠AFD=90°，∴直角△AEC≌直角△AFD，∴EC=DF；（4）当2＜DH＜4时，BC∥DE．理由如下：如图2，当2＜DH＜4时，点D在线段CM上，连接AM．∵∠ABM=∠ACM=90°，AB=AC，AM=AM，∴Rt△ABM≌Rt△ACM，∴∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，又∵AD=AE，AB=AC，∴Rt△ABE≌Rt△ACD，∴∠BAE=∠CAD，∴∠EAM=∠DAM，∴AM⊥ED．∴BC∥DE．22．解：（1）反比例函数y=2014x是闭区间[1，2019]上的“闭函数”，理由如下：反比例函数y=2014x在第一象限，y随x的增大而减小，当x=1时，y=2019；当x=2019时，y=1，所以，当1≤x≤2019时，有1≤y≤2019，符合闭函数的定义，故反比例函数y=2014x是闭区间[1，2019]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k＞0或k＜0．①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，km b m? kn b n＝＝+⎧⎨+⎩，解得k1b0＝＝⎧⎨⎩．∴此函数的解析式是y=x；②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，km b n? k n b m＝＝+⎧⎨+⎩，解得k1b m n ＝＝-⎧⎨+⎩．∴此函数的解析式是y=-x+m+n；（3）∵y=12x2-2x=12(x2-4x+4)-2=12(x-2)2-2，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是-2，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x ＞2时，y随x的增大而增大．①当c＜2＜d时，此时二次函数y=12x2-2x的最小值是-2=c，根据“闭函数”的定义知，d=12c2-2c或d=12d2-2d；Ⅰ）当d=12c2-2c时，由于d=12×（-2）2-2×（-2）=6＞2，符合题意；Ⅱ）当d=12d 2-2d 时，解得d=0或6， 由于d ＞2，所以d=6；②当c≥2时，此二次函数y 随x 的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，22122122c c cd d d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解得，66c d =⎧⎨=⎩， ∵c ＜d ，∴66c d =⎧⎨=⎩不合题意，舍去． 综上所述，c ，d 的值分别为-2，6．24.解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x-h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x-3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x-3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12-4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2-2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2-4x+3=2（x-1）2+1．∴y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b-4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x-1）2+1=（a+2）x2-2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞-2．∴b42(a2) 8(a2)1--+⎧⎨++⎩＝＝．解得：a5b10⎧⎨-⎩＝＝．∴函数y2的表达式为：y2=5x2-10x+5．∴y2=5x2-10x+5=5（x-1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0-1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3-1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．25．解：（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．∴DE是中位线，∴DE∥AC，且DE=12 AC．∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE，∴AO ACOD DE=2，∵AD=AO+OD，∴AOAD=23．（2）答：点O是△ABC的重心．证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，AOAD=23，而AOAD=23，∴点Q与点O重合（是同一个点），∴点O是△ABC的重心．（3）如答图3所示，连接DG．设S△GOD=S，由（1）知AOAD=23，即OA=2OD，∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S．为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS．∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S．设OH=k•OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS，∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S．∴S 四边形BCHG =S △ABC -S △AGH =（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S ． ∴BCHG AGHS S V 四边形=(6-24)(22)x k S k S ++=3-21x k k ++ ① 如答图3，过点O 作OF ∥BC 交AC 于点F ，过点G 作GE ∥BC 交AC 于点E ，则OF ∥GE ． ∵OF ∥BC ， ∴23OF AO CD AD ==， ∴OF=23CD=13BC ； ∵GE ∥BC ， ∴11GE AG BC AB x ==+， ∴GE=1BC x +； ∴131BC OF BC GEx =+=13x +， ∴13(1)OF x GE OF x +=--+=12x x+-． ∵OF ∥GE ， ∴OH OF GH GE=， ∴1-2-OH OF x OG GE OF x+==， ∴k=12-x x+，代入①式得： BCHG AGH S S V 四边形=13-23-22-1112-x x x k x x k x +++=+++=-x 2+x+1=-（x-12）2+54， ∴当x=12时，BCHG AGHS S V 四边形有最大值，最大值为54．。

2019北京中考数学一模—————————————————————————————————新定义专题【2019东城一模】28．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．(1)已知点A的坐标为(-3，1)，①在点E(0，3)，F(3，-3)，G(2，-5)中，为点A的“等距点”的是________；②若点B在直线y=x+6上，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为________；(2)直线l：y=kx-3(k>0)与x轴交于点C，与y轴交于点D，①若T"(-1,t")，T$(4,t$)，是直线l上的两点，且T"与T$为“等距点”，求k的值；②当k=1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M，N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．【2019西城一模】28.在平面直角坐标系xoy 中，对于两个点P，Q 和图形W，如果在图形W 上存在点M，N （M， N 可以重合）使得PM＝QN，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点。

（1）如图1，已知点A（0，3），B（2，3）。

①设点O 与线段AB 上一点的距离为d，则d 的最小值是＿＿＿，最大值是＿＿＿＿； ②在,,这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是＿＿＿;（2）如图2，已知圆O 的半径为1，点D 的坐标为（5，0），若点E（x，2）在第一象限，且点D 与点E 是圆O 的一对平衡点，求x 的取值范围。

（3）如图3，已知点H（－3,0），以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K， 点C（a ，b）（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC＝5，圆C 是以点C 为圆心，半径为2的圆，若弧HK 上的任意两个点都是圆C 的一对平衡点，直接写出b 的取值范围。

2019年北京市各区一模数学试题分类汇编——新定义（房山）28．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C的关联整点．（1）当⊙O的半径r=2时，在点D（2，-2），E（-1，0），F（0，2）中，为⊙O的关联整点的是；（2）若直线4=-+上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；y x（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线4=-+上存在⊙C的关联整点，求圆心C的横坐标t的取y x值范围．（门头沟）28．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点”． 如图，M （1，2），N （4，2）．（1） 在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有 ；（2） 如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x 的取值范围； （3） 如果点P 在以O （1，1-）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，直接写出⊙O 半径r 的取值范围．备用图（密云）28．在平面直角坐标系xOy 中，已知P (x 1，y 1)Q (x 2，y 2)，定义P 、Q 两点的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和为P 、Q 两点的直角距离,记作d (P ，Q )．即d (P ，Q )=|x 2-x 1|+|y 2-y 1| 如图1，在平面直角坐标系xoy 中，A （1，4），B （5，2），则d (A ，B )=|5-1|+|2-4|=6．（1）如图2，已知以下三个图形： ①以原点为圆心，2为半径的圆；②以原点为中心，4为边长，且各边分别与坐标轴垂直的正方形；③以原点为中心，对角线分别在两条坐标轴上，对角线长为4的正方形．点P 是上面某个图形上的一个动点，且满足(,)2d O P = 总成立．写出符合题意的图形对应的序号____________．（2）若直线(3)y k x =+ 上存在点P 使得(,)2d O P =，求k 的取值范围．（3）在平面直角坐标系xoy 中，P 为动点，且d （O ，P ）=3，M 圆心为M （t ，0），半径为1． 若M上存在点N 使得PN =1，求t 的取值范围．图1备用图1（平谷）28．对于平面直角坐标系xoy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d（P,Q）．已知点A（4,0），B（0,4），连接AB．（1）d（点O，AB）=（2）⊙O半径为r，若d（⊙O，AB）=0，求r的取值范围；（3）点C（－3，－2），连接AC，BC，⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，d（⊙T，△ABC），且0<d <2，求t的取值范围．（石景山）28． 在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点分别为(0,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C -， (1,0)D ．对于图形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为正方形ABCD 边上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d (M )． （1）已知点(0,4)E ， ①直接写出()d E 点的值；②直线4y kx =+(0)k ≠与x 轴交于点F ，当()d EF 线段取最小值时，求k 的取值范围；（2）⊙T 的圆心为(,3)T t ，半径为1．若()6d T <，直接写出t 的取值范围．（通州）28． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，2），B （2，2），点M 为线段AB 上一点．（1）在点()2,1C ，()2,0D ，()1,2E 中，可以与点M 关于直线y x =对称的点是____________；（2）若x 轴上存在点N ，使得点N 与点M 关于直线y x b =+对称，求b 的取值范围．（3）过点O 作直线l ，若直线y x =上存在点N ，使得点N 与点M 关于直线l 对称（点M 可以与点N 重合），．请你直接写出点N 横坐标n 的取值范围．（延庆）28．对于图形M ，N ，给出如下定义：在图形M 中任取一点A ，在图形N 中任取两点B ，C （A ，B ，C 不共线），将∠BAC 的最大值α（0°<α<180°）叫做图形M 对图形N 的视角． 问题解决：在平面直角坐标系xOy 中，已知T （t ，0），⊙T 的半径为1； （1）当t =0时，①求点D （0，2）对⊙O 的视角α；②直线1l 的表达式为2y x =+，且直线1l 对⊙O 的视角为α，求；（2）直线2l 的表达式为y x t =+，若直线2l 对⊙T 的视角为α，且60°≤α≤90°，直接写出t 的取值范围．（燕山）28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙M (半径为r )，给出如下定义：若点P 关于点M 的对称点为Q ，且r ≤PQ ≤3r ，则称点P 为⊙M 的称心点．(1) 当⊙O 的半径为2时，① 如图1，在点A (0，1)，B (2，0)，C (3，4)中，⊙O 的称心点是 ； ② 如图2，点D在直线y =上，若点D 是⊙O 的称心点，求点D 的横坐标m 的取值范围；(2) ⊙T 的圆心为T (0，t )，半径为2，直线13y x =+与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段．．EF 上的所有点都是⊙T 的称心点，直接写出t 的取值范围．（西城）28．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点,P Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点M ，N （M 、N 可以重合）使得PM ＝QN ，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点.图2（1）如图1，已知点(0,3)A ，(2,3)B ． ①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值是____，最大值是____；图1②在1233(0)(14)(30)2P P P ，，，，，-这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是 ； （2）如图2，已知⊙O 的半径为1，点D 的坐标为(5,0).若点(,2)E x 在第一象限，且点D 与点E 是 ⊙O 的一对平衡点，求x 的取值范围；图2 图3（3）如图3，已知点(3,0)H -，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K ．点(,)C a b（其中0b ³）是坐标平面内一动点，且OC ＝5，⊙C 是以点C 为圆心，半径为2的圆．若HK 上的任意两个点都是⊙C 的一对平衡点，直接写出b 的取值范围．（顺义）28. 在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为平面内不重合的两个点，若Q 到A 、B 两点的距离相等，则称点Q 是线段AB 的“似中点”.(1)已知A(1，0)，B(3，2)，在点D(1，3)、E(2，1)、F(4，-2)、G(3，0)中，线段AB的“似中点”是点；y x轴交于点M，与y轴交于点N.(2)直线=+①求在坐标轴上的线段MN的“似中点”；②若⊙P的半径为2，圆心P为(t，0)，⊙P上存在线段MN的“似中点”，请直接写出t的取值范围.（丰台）28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点A，B，使得以P，A，B为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“等边依附点”．（1）已知M（-3，N（3，.①在点C（-2,2），D（0,1），E（1,3）中，是线段MN的“等边依附点”的是；②点P(m，0)在x轴上运动，若P为线段MN的“等边依附点”，求点P的横坐标m的取值范围；（2）已知⊙O的半径为1，若⊙O上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长n的取值范围.。

1、（海淀）28．对于平面直角坐标系xOy 中的直线l 和图形M ，给出如下定义： 1P ，2P ，…， 1-n P ，n P 是图形M 上n (n ≥ 3) 个不同的点，记这些点到直线l 的距离分别为1d ， 2d ，… ，1-n d ， n d ，若这n 个点满足 1d + 2d +…+ 1-n d = n d ，则称这n 个点为图形M 关于直线l 的一个基准点列，其中n d 为该基准点列的基准距离.（1）当直线l 是 x 轴，图形M 上有三点 A (-1,1), B (1, -1),C (0，2) 时，判断 A , B ,C 是否为图形M 关于直线l 的一个基准列点？如果是，求出它的基准距离；如果不是，请说明理由；（2）已知直线l 是函数 y = x + 3 的图像，图形M 是圆心在 y 轴上，半径为 1 的⊙T1P ，2P ，…， 1-n P ，n P 是⊙T 关于直线l 的一个基准点列.①若T 为原点，求该基准点列的基准距离n d 的最大值；②若n 的最大值等于 6，直接写出圆心T 的纵坐标t 的取值范围。

2、（西城）28.在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点,P Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点,M N （,M N 可以重合）使得PMQN =，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点.（1）如图1，已知点(0,3)A ，(2,3)B . ①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值是____，最大值是____； ②在1233(0)(14)(30)2P P P -，，，，，这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是____；图1（2）如图2，已知O ⊙的半径为1，点D 的坐标为(5,0).若点(,2)E x 在第一象限，且点D 与点E 是O ⊙的一对平衡点，求x 的取值范围；图2 图3（3）如图3，已知点(3,0)H -，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K .点(,)C a b （其中0b ³）是坐标平面内一动点，且5OC =，⊙C 是以点C 为圆心，半径为2的圆.若HK 上的任意两个点都是C ⊙的一对平衡点，直接写出b 的取值范围.3、（东城）28．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．(1)已知点A的坐标为(-3，1)，①在点E(0，3)，F(3，-3)，G(2，-5)中，为点A的“等距点”的是________；②若点B在直线y=x+6上，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为________；(2)直线l：y=kx-3(k>0)与x轴交于点C，与y轴交于点D，①若(-1,)，(4,)，是直线l上的两点，且与为“等距点”，求k的值；②当k=1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M，N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．4、（朝阳）图1图25、（石景山）28． 在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点分别为(0,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C -，(1,0)D ．对于图形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为正方形ABCD 边上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d (M )． （1）已知点(0,4)E ，①直接写出()d E 点的值；②直线4y kx =+(0)k ≠与x 轴交于点F ，当()d EF 线段取最小值时，求k 的取值范围； （2）⊙T 的圆心为(,3)T t ，半径为1．若()6d T <，直接写出t 的取值范围．6、（丰台）28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点A，B，使得以P，A，B为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“等边依附点”．（1）已知M（-3，N（3，.①在点C（-2,2），D（0,1），E（1,3）中，是线段MN的“等边依附点”的是；②点P(m，0)在x轴上运动，若P为线段MN的“等边依附点”，求点P的横坐标m的取值范围；（2）已知⊙O的半径为1，若⊙O上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长n的取值范围.7、（昌平）用西城8、（顺义）28. 在平面直角坐标系xOy中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A 、B两点的距离相等，则称点Q是线段AB的“似中点”.(1)已知A(1，0)，B(3，2)，在点D(1，3)、E(2，1)、F(4，-2)、G(3，0)中，线段AB的“似中点”是点；y x轴交于点M，与y轴交于点N.(2)直线=+①求在坐标轴上的线段MN的“似中点”；②若⊙P的半径为2，圆心P为(t，0)，⊙P上存在线段MN的“似中点”，请直接写出t的取值范围.9、（通州）28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，2），B （2，2），点M 为线段AB 上一点. （1）在点()2,1C ，()2,0D ，()1,2E 中，可以与点M 关于直线y x =对称的点是____________； （2）若x 轴上存在点N ，使得点N 与点M 关于直线y x b =+对称，求b 的取值范围.（3）过点O 作直线l ，若直线y x =上存在点N ，使得点N 与点M 关于直线l 对称（点M 可以与点N 重合），.请你直接写出点N 横坐标n 的取值范围.10、（大兴）28.在平面直角坐标系xOy 中，如果等边三角形的一边与x 轴平行或在x 轴上，则称这个等边三角形为水平正三角形.(1)已知A （1，0），B （-1，0），若△ABC 是水平正三角形，则点C 坐标的是 （只填序号）； ①，②，③，④（2）已知点O ，E ，F ，以这三个点中的两个点及平面内的另一个点P 为顶点，构成一个水平正三角形，则这两个点是 ，并求出此时点P 的坐标； （3）已知⊙O 的半径为，点M 是⊙O 上一点，点N 是直线上一点，若某个水平正三角形的两个顶点为M ，N ，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围 .()12,(0()01,-(0()00,(1()02,-y x =+11、（房山）28. 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C的关联整点.（1）当⊙O的半径r=2时，在点D（2，-2），E（-1，0），F（0，2）中，为⊙O的关联整点的是；（2）若直线4=-+上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；y x（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线4=-+上存在⊙C的关联整点，求圆心C的横坐标y xt的取值范围.12、（门头沟）28．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点”． 如图，M （1，2），N （4，2）．（1） 在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有 ；（2） 如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x 的取值范围； （3） 如果点P 在以O （1，1-）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，直接写出⊙O 半径r 的取值范围．13、（延庆）28．对于图形M ，N ，给出如下定义：在图形M 中任取一点A ，在图形N 中任取两点B ，C （A ，B ，C 不共线），将∠BAC 的最大值α（0°<α<180°）叫做图形M 对图形N 的视角．问题解决：在平面直角坐标系xOy 中，已知T （t ，0），⊙T 的半径为1； （1）当t =0时，①求点D （0，2）对⊙O 的视角α；②直线1l 的表达式为2y x =+，且直线1l 对⊙O 的视角为α，求2sinα；（2）直线2l 的表达式为y x t =+，若直线2l 对⊙T 的视角为α，且60°≤α≤90°，直接写出t 的取值范围．14、（怀柔）28.对于平面直角坐标系xoy 中的点P 和图形G 上任意一点M ，给出如下定义：图形G 关于原点O 的中心对称图形为G ′，点M 在G ′上的对应点为M ′，若∠MP M ′=90°，则称点P 为图形G ，G ′的“直角点”，记作Rt(G ，P ，G ′).已知点A （-2,0），B （2,0），C （0, ）．（1）如图1，在点P 1（1,1），P 2（0,3），P 3（0,-2）这三个点中, Rt(OA ，P,OA ′)是 ； （2）如图2，⊙D 的圆心为D （1,1），半径为1，在直线上存在点P ，满足Rt(⊙D ，P ，⊙D ′)，求b 的取值范围； （3）⊙T 的半径为，圆心（t,），若⊙T 上存在点P ，满足Rt(△ABC ，P ，△ABC ′)， 直接写出⊙T 的横坐标的取值范围．32b x y +=33t 33图2图115、（密云） 28.在平面直角坐标系xoy 中，已知P(x 1，y 1)Q(x 2，y 2)，定义P 、Q 两点的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和为P 、Q 两点的直角距离,记作d(P ，Q).即d(P ，Q)=|x 2-x 1|+|y 2-y 1| 如图1，在平面直角坐标系xoy 中，A （1，4），B （5，2），则d(A ，B)=|5-1|+|2-4|=6.（1）如图2，已知以下三个图形： ①以原点为圆心，2为半径的圆；②以原点为中心，4为边长，且各边分别与坐标轴垂直的正方形；③以原点为中心，对角线分别在两条坐标轴上，对角线长为4的正方形.点P 是上面某个图形上的一个动点，且满足(,)2d O P = 总成立.写出符合题意的图形对应的序号____________.（2）若直线(3)y k x =+ 上存在点P 使得(,)2d O P =，求k 的取值范围. （3）在平面直角坐标系xoy 中，P 为动点，且d （O ，P ）=3，M 圆心为M （t ，0），半径为1. 若M上存在点N 使得PN=1，求t 的取值范围.图1备用图116、（平谷）28．对于平面直角坐标系xoy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d（P,Q）．已知点A（4,0），B（0,4），连接AB．（1）d（点O，AB）=（2）⊙O半径为r，若d（⊙O，AB）=0，求r的取值范围；（3）点C（－3，－2），连接AC，BC，⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，d（⊙T，△ABC），且0<d <2，求t的取值范围．17、（燕山）28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙M (半径为r )，给出如下定义：若点P 关于点M的对称点为Q ，且r ≤PQ ≤3r ，则称点P 为⊙M 的称心点． (1) 当⊙O 的半径为2时，① 如图1，在点A (0，1)，B (2，0)，C (3，4)中，⊙O 的称心点是 ； ② 如图2，点D在直线y =上，若点D 是⊙O 的称心点，求点D 的横坐标m 的取值范围；(2) ⊙T 的圆心为T (0，t )，半径为2，直线13y x =+与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段．．EF 上的所有点都是⊙T 的称心点，直接写出t 的取值范围．图2。

1对于图形M ，N ，给出如下定义：在图形M 中任取一点A ，在图形N 中任取两点B ，C （A ，B ，C 不共线），将∠BAC 的最大值α（0°<α<180°）叫做图形M 对图形N 的视角问题解决：在平面直角坐标系xOy 中，已知T （t ，0），⊙T 的半径为1 （1）当t =0时①求点D （0，2）对⊙O 的视角α②直线1l 的表达式为2y x =+，且直线1l 对⊙O 的视角 为α，求2sinα（2）直线2l 的表达式为y x t =+，若直线2l 对⊙T 的视 角为α，且60°≤α≤90°，直接写出t 的取值范围2在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d ≤r，则称P为⊙C的关联整点F（0，2）中，为⊙O的关联整点的是（2）若直线4=-+上存在⊙O的关联整点，且不超过7y x个，求r的取值范围（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线4y x=-+上存在⊙C的关联整点，求圆心C的横坐标t的取值范围3在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，2），B （2，2），点M 为线段AB 上一点（1）在点()2,1C ，()2,0D ，()1,2E 中，可以与点M 关于直线y x =对称的点是____________ （2）若x 轴上存在点N ，使得点N 与点M 关于直线y x b =+对称，求b 的取值范围（3）过点O 作直线l ，若直线y x =上存在点N ，使得点N 与点M 关于直线l 对称（点M 可以与点N 重合），请你 直接写出点N 横坐标n 的取值范围4对于平面直角坐标系xoy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d（P,Q）．已知点A（4,0），B（0,4），连接AB（1）d（点O，AB）=（2）⊙O半径为r，若d（⊙O，AB）=0，求r的取值范围（4）点C（－3，－2），连接AC，BC，⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，d（⊙T，△ABC），且0<d <2，求t的取值范围5对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点” 如图，M （1，2），N （4，2）（1） 在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有（2） 如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x 的取值范围（3） 如果点P 在以O （1，1-）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，直接写出⊙O 半径r 的取值范围6在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点分别为(0,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C -，(1,0)D ．对于图形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为正方形ABCD 边上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d (M ) （1）已知点(0,4)E ①直接写出()d E 点的值②直线4y kx =+(0)k ≠与x 轴交于点F ，当()d EF 线段取最小值时，求k 的取值范围 （2）⊙T 的圆心为(,3)T t ，半径为1．若()6d T <，直接写出t 的取值范围7在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点,P Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点,M N （,M N 可以重合）使得PM QN =，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点（1）如图1，已知点(0,3)A ，(2,3)B①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值是______， 最大值是____ ②在1233(0)(14)(30)2P P P -，，，，，这三个点中，与点O 是线段 AB 的一对平衡点的是____（2）如图2，已知O ⊙的半径为1，点D 的坐标为(5,0).若点(,2)E x 在第一象限，且点D 与点E 是O ⊙的一对平衡点，求x 的取值范围（3）如图3，已知点(3,0)H -，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K .点(,)C a b （其中0b ³）是坐标平面内一动点，且5OC =，C ⊙是以点C 为圆心，半径为2的圆.若HK 上的任意两个点都是C ⊙的一对平衡点，直接写出b 的取值范围8对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙M (半径为r )，给出如下定义：若点P 关于点M 的对称点为Q ，且r ≤PQ ≤ 3r ，则称点P 为⊙M 的称心点 (1) 当⊙O 的半径为2时① 如图1，在点A (0，1)，B (2，0)，C (3，4)中，⊙O 的称心点是 ② 如图2，点D 在直线y =上，若点D 是⊙O 的称心点，求点D 的横坐标m 的取值范围(2) ⊙T 的圆心为T (0，t )，半径为2，直线1y x =+与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段．．EF 上的所有点都是⊙T 的称心点，直接写出t 的取值范围图29在平面直角坐标系xoy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：若在图形G 上存在两个点A,B,使得以P ，A ，B 为顶点的三角形为等边三角形，则称P 为图形G 的“等边依附点”（1）已知()()3333---，，，N M①在点()()()3,11022，，，，，E D C -中，是线段MN 的“等边依附点”的是______②点P （m ，0）在x 轴上运动，若点P 为线段MN 的“等边依附点”，求点P 的横坐标m 的取值范围（2）已知⊙O 的半径为1，若⊙O 上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长n 的取值范围10在平面直角坐标系xoy 中，已知P(x 1，y 1)Q(x 2，y 2)，定义P 、Q 两点的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和为P 、Q 两点的直角距离,记作d(P ，Q).即d(P ，Q)=|x 2-x 1|+|y 2-y 1|如图1，在平面直角坐标系xoy 中，A （1，4），B （5，2），则d(A ，B)=|5-1|+|2-4|=6图1（1）如图2，已知以下三个图形 ①以原点为圆心，2为半径的圆②以原点为中心，4为边长，且各边分别与坐标轴垂直的正方形 ③以原点为中心，对角线分别在两条坐标轴上，对角线长为4的正方形点P 是上面某个图形上的一个动点，且满足(,)2d O P = 总成立.写出符合题意的图形对应的序号________ （2）若直线(3)y k x =+ 上存在点P 使得(,)2d O P =，求k 的取值范围 （3）在平面直角坐标系xoy 中，P 为动点，且d （O ，P ）=3，M 圆心为M （t ，0），半径为1. 若M 上存在点N 使得PN=1，求t 的取值范围备用图1。

专题18新定义与阅读理解题1．(2019•湖北宜昌•3分)古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=，那么三角形的面积为S=．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a=5，b=6，c=7，则△ABC的面积为A．6B．6C．18D．【答案】A【解析】∵a=7，b=5，c=6，∴p==9，∴△ABC的面积S==6．故选A．【名师点睛】考查了二次根式的化简，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．2．(2019•山东临沂)一般地，如果x4=a(a≥0)，则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±，若=10，则m=__________．【答案】±10【解析】∵=10，∴m4=104，∴m=±10．故答案为：±10．【名师点睛】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．3．(2019•湖北十堰)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2﹣(a﹣b)2．若(m+2)◎(m﹣3)=24，则m=__________．【答案】﹣3或4【解析】根据题意得[(m+2)+(m﹣3)]2﹣[(m+2)﹣(m﹣3)]2=24，(2m﹣1)2﹣49=0，(2m﹣1+7)(2m﹣1﹣7)=0，2m﹣1+7=0或2m﹣1﹣7=0，所以m1=﹣3，m2=4．故答案为：﹣3或4．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．4．(2019•湖南常德)规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P是二次函数y=x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y=－1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是__________．(填序号)【答案】①④【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；④设点P(m，m2)，则Q(m，－1)，∴MP==|m2+1|，PQ=m2+1，∵点P在第一象限，∴m>0，∴MP=m2+1，∴MP=PQ，又∵MN∥PQ，∴四边形PMNQ是广义菱形．④正确．故答案为：①④．【名师点睛】本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．5．(2019•浙江湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4的正方形ABCD 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是__________．【答案】4【解析】如图2中，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M．在Rt△EMG中，∵GM=4，EM=2+2+4+4=12，∴EG===4，∴EH==4，故答案为：4．【名师点睛】本题考查正方形的性质，七巧板，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6．(2019•广西贵港)我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|(a≠0，且b2﹣4a>0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(﹣1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x=1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y 随x值的增大而增大；④当x=﹣1或x=3时，函数的最小值是0；⑤当x=1时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是__________．【答案】4【解析】①∵(﹣1，0)，(3，0)和(0，3)坐标都满足函数y=|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=﹣1或x=3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x<﹣1或x>3，函数值要大于当x=1时的y=|x2﹣2x﹣3|=4，因此⑤时不正确的；故答案是：4．【名师点睛】理解“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y=|ax2+bx+c|与二次函数y=ax2+bx+c 之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．7．(2019•四川自贡)阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①，则2S=2+22+…+22018+22019②，②﹣①得2S﹣S=S=22019﹣1，∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019﹣1．请仿照小明的方法解决以下问题：(1)1+2+22+…+29=__________；(2)3+32+…+310=__________；(3)求1+a+a2+…+a n的和(a＞0，n是正整数，请写出计算过程)．【答案】(1)210﹣1．(2)．(3)．【解析】(1)设S=1+2+22+…+29①，则2S=2+22+…+210②，②﹣①得2S﹣S=S=210﹣1，∴S=1+2+22+…+29=210﹣1；故答案为：210﹣1．(2)设S=1+3+32+33+34+…+310①，则3S=3+32+33+34+35+…+311②，②﹣①得2S=311﹣1，所以S=，即1+3+32+33+34+…+310=；故答案为：；(3)设S=1+a+a2+a3+a4+…+a n①，则aS=a+a2+a3+a4+…+a n+a n+1②，②﹣①得：(a﹣1)S=a n+1﹣1，所以S=，即1+a+a2+a3+a4+…+a n=，【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．8．(2019·黔东南州)某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实，数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}==4，min{1，2，–3}=–3，min(3，1，1}=1．请结合上述材料，解决下列问题：(1)①M{(–2)2，22，–22}=__________，②min{sin30°，cos60°，tan45°}=__________；(2)若min(3–2x，1+3x，–5}=–5，则x的取值范围为__________；(3)若M{–2x，x2，3}=2，求x的值；(4)如果M{2，1+x，2x}=min{2，1+x，2x}，求x的值．【解析】(1)①M{(–2)2，22，–22}=，②min{sin30°，cos60°，tan45°}=；故答案为：，．(2)∵min(3–2x，1+3x，–5}=–5，∴，解得–2≤x≤4，故答案为–2≤x≤4．(3)∵M{–2x，x2，3}=2，∴=2，解得x=–1或3．(4)∵M{2，1+x，2x}=min{2，1+x，2x}，又∵=x+1，∴，解得1≤x≤1，∴x=1．【名师点睛】本题考查不等式组，平均数，最小值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．9．(2019·贵州安顺)阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J．Nplcr，1550﹣1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr，1707﹣1783年)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216，对数式2=log525，可以转化为指数式52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a(M•N)=log a M+log a N(a>0，a≠1，M>0，N>0)，理由如下：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n，∴M•N=a m•a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a(M•N)又∵m+n=log a M+log a N∴log a(M•N)=log a M+log a N根据阅读材料，解决以下问题：(1)将指数式34=81转化为对数式；(2)求证：log a=log a M﹣log a N(a>0，a≠1，M>0，N>0)(3)拓展运用：计算log69+log68﹣log62=．【解析】(1)4=log381(或log381=4)，故答案为：4=log381；(2)证明：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n，∴==a m﹣n，由对数的定义得m﹣n=log a，又∵m﹣n=log a M﹣log a N，∴log a=log a M﹣log a N；(3)log69+log68﹣log62=log6(9×8÷2)=log636=2．故答案为：2．10．(2019·湖北咸宁)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：(1)如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，C D．求证：四边形ABCD是等补四边形；探究：(2)如图2，在等补四边形ABCD中，AB=AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．运用：(3)如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD=10，AF=5，求DF的长．【解析】(1)如图1，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴，∴AD=CD，∴四边形ABCD是等补四边形；(2)AD平分∠BCD，理由如下：如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，则∠AEB=∠AFD=90°，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠B+∠ADC=180°，又∠ADC+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADF，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AE=AF，∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；(3)如图3，连接AC，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，又∠BAD+∠EAD=180°，∴∠EAD=∠BCD，∵AF平分∠EAD，∴∠FAD=∠EAD，由(2)知，AC平分∠BCD，∴∠FCA=∠BCD，∴∠FCA=∠FAD，又∠AFC=∠DFA，∴△ACF∽△DAF，∴，即，∴DF=5﹣5．【名师点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．11．(2019•山东威海)(1)阅读理解如图，点A，B在反比例函数y=的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y=的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1(n>1)．小红通过观察反比例函数y=的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG=2CF，CF>DF，由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：若n>1，则__________．(2)证明命题小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．小晴认为：可以通过“若a>0，b>0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明(1)中的命题．【解析】(1)∵AE+BG=2CF，CF>DF，AE=，BG=，DF=，∴+>．故答案为：+>．(2)方法一：∵+﹣==，∵n>1，∴n(n﹣1)(n+1)>0，∴+﹣>0，∴+>．方法二：∵=>1，∴+>．【名师点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．12．(2019•湖南长沙)根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．①四条边成比例的两个凸四边形相似；(__________命题)②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(__________命题)③两个大小不同的正方形相似．(__________命题)(2)如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，==．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．(3)如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．【解析】(1)①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为假，假，真．(2)如图1中，连接BD，B1D1．∵∠BCD=∠B1C1D1，且=，∴△BCD∽△B1C1D1，∴∠CDB=∠C1D1B1，∠C1B1D1=∠CBD，∵==，∴=，∵∠ABC=∠A1B1C1，∴∠ABD=∠A1B1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，∴=，∠A=∠A1，∠ADB=∠A1D1B1，∴===，∠ADC=∠A1D1C1，∠A=∠A1，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．(3)如图2中，∵四边形ABCD与四边形EFCD相似，∴=，∵EF=OE+OF，∴=，∵EF∥AB∥CD，∴=，，∴+=+，∴=，∵AD=DE+AE，∴=，∴2AE=DE+AE，∴AE=DE，∴=1．【名师点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．。

利用A P O S理论的新定义问题探究王西辞(北京市三帆中学,1〇〇〇88)通览2012 -2019年的北京市中考题，有一类充 分体现“以能力立意”的新题型频频出现，这些题目 无固定的考点，涉猎比较广泛，常被称作“新定义问 题”.“新定义问题”，是指命题者按照一定的规则，呈现给学生没有见过的新运算、新图形、新函数等，或将一些能与初中知识相衔接的高中“新知识”，通 过阅读材料呈现给初中学生，让他们将这些“新知 识”与已学知识联系起来，正确理解其内容、思想和 方法，把握其本质，通过类比、猜想、迁移来运用新知 识解决实际问题.新定义问题符合中国高考评价体系的“四翼”的考察要求——“基础性、综合性、创新性”.新定义 从最基本的操作，体现了基础性，到不断重复基本操 作，不断地反思，体现了综合性，最后在个体头脑中 形成一种“对象”或“图示”，体现了创新性.在平时做题或考试中，只要遇到“新定义问 题”，很多学生自动略过或者频繁出错.为什么得分 率很低呢？这样一方面是因为畏难情绪，遇到难题，学生没有信心做下去，无法将新定义与原有认知结 构相联系，也就是无法建立起适当的心智结构.另一 方面是因为学生无法到达对象甚至图示阶段.APOS 理论给了我们解决问题的一个新的思路.1A P O S理论概览APOS理论源自一个基本假设:数学知识是个 体试图去解决所感知到的数学问题情境的过程中成 中获得的.在这个过程中，个体依序建构了心里活动 (action)、过程（process)、对象（objects),最终将他 们组织成用以理解问题情境和解决问题的图示(schemas),这些心理建构即为APOS理论.APOS理论分为四个阶段，这四个阶段并不一 定遵循先后顺序.有些阶段是可以同时进行或提前 或延后进行的.第一阶段——活动（A c tio)阶段“活动”是指个体对所感知到的数学对象的一种转换，它来自于一种外部刺激，通过学习一步步的 操作指令来获得，这种获得有时显而易见，有时来自 于记忆.活动阶段是学生理解概念的一个必要条件，通过“活动”这个外部刺激，可让学生亲身体验、感 受概念的直观背景和概念间的相互关系.第二阶段——过程（Process)阶段个体对上述活动不断地进行重复和反思，在大 脑中经历思维的内化与压缩过程，这时，物理活动就 内化成为了一种叫做“过程”的内部心理活动.这一 “过程”一旦形成，个体就不必通过外部的刺激，也 不再需要具体的活动就可以在头脑中重复相同的活 动，甚至个体还可以对这个过程进行逆转以及与其 他过程进行组合.第三阶段——对象（Object)阶段当个体意识到“过程”可以作为一个整体，并能 在整体上进行转换和建构时，个体就将过程内化成 了一种心理“对象”，在以后的学习中个体就可以以 此为对象去进行新的活动.当个体对数学概念的理解进人到对象阶段时，数学概念在个体头脑中便会成为一种静态的结构关 系，即一个“实体”.这时才能说个体对此数学概念 真正理解.第四阶段——图示（Schema)阶段个体对活动、过程、对象一级相关联的其他图示 进行整合，最终会在头脑中形成一个数学概念的综 合的“图示”.图示阶段需要经过长期的学习活动来 进一步完善.起初的图示包含反映概念的特例、抽象 过程、定义及符号，经过学习，建立起与其他概念、规 则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图示.杜宾斯基认为，一个人不可能直接学习到数学 概念，需要通过心智结构（metal strcture)使所学习 的数学概念产生意义.如果一个人对一个数学概念 拥有适当的心智结构，那么他几乎自然就学会了这 个概念.相反地，如果一个人无法建立起适当的心智 结构，那么他学习这个新概念几乎是不可能的.因 此，为了帮助学生尽快进人图示阶段，需要帮助学生 建立适当的心智结构．• 93•2例析A P O S 理论视域下的新定义问题下面以2019北京朝阳一模一道数学新定义题 为例进行说明.在平面直角坐标系中对于任意两点户1 (尤1，Tl )和户2 (尤2，7*2 )，称火户1，户2 )=丨尤1 -尤2丨+^ 12 I 为A ，匕两点的直角距离.(1) 已知点4(1，2)，直接写出火0，，）= _；(2) 已知S 是直线y-+3上的一个动点，① 如图1，求火0，f i )的最小值；② 如图2，C 是以原点0为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求的最小值.调查内容题号正确人数正确率活动阶段15092.59%过程阶段2(1)-过程4685. 19%对象阶段2(1)-结论2138.89%图示阶段2(2)59.26%根据表及图的数据，结合4P 0S 理论分析，可以得出以下结论：(1) 92. 59%学生在新定义的习题中，已达到了 活动阶段，过程阶段题目的正确率达到了 85. 19%， 活动阶段的正确率高于过程阶段.这说明绝大多数 学生能够读懂题目，能够根据题目的具体要求做出简单的判断和操作.(2) 38. 89%的学生达到了对象阶段.说明多数 同学很难建立原有知识和新定义的连接.不能把新定义形成一个完整的“对象”.(3) 仅有9. 26%的学生达到了图示阶段•这说 明，学生把题目概念上升为综合图示还需要教师更 多的引导和帮助.2.2 学生完成情况案例示范(1)无对象阶段和图示阶段的意识，仅仅局限于 活动阶段和过程阶段.所以无法在解题中走得更远.---⑴已知点礼2).写出州^卜土：l x 、-X 叫(2)有对象阶段和图示阶段的意识，但对定义 理解不透彻，不能建立适当的心智结构，无法过渡到 正确的图示阶段.2.3教学案例示范教师:鼓励学生认真读题，放手让学生理解直角 距离的含义.第一阶段——活动（Action )阶段第（1)问的设计更多体现了活动阶段的内容.这一阶段的学习是通过学生一步步的操作指令来获 得的.教师:鼓励学生自己动手，一^点一^点画，感受直角距离的定义.学生：从数和形两 个角度来研究数：（0，）= 10­11 + I 0-2I =3形 j (0,4)=仙J -4!! "2 #• 94•+ A C= 1+2=3分析:虽然这道题正确率很高，但是全部同学都 是从数的角度来研究的.这说明学生面对这个直角 距离的定义，更愿意想到“数”.第二阶段——过程(Process)阶段第（1)问第①小问的设计更多体现了过程阶段的内容.此时B是直线7 =-+ 3上的一个动点.教师:鼓励学生对第（1)问的活动不断地进行 重复和反思，在大脑中经历思维的内化与压缩过程，使其内化为一种叫做“过程”的内部心理活动.学生:从两个不同的角度来寻找最小值.数= 10 -% + 10 -7=k l + I-31零点：=0 ,=4.% <0 时,(0，，?）= -% -~2~1 +3 =-万1 +3 >3;0<4时，d (0，，?）=% --〇；+ 3 = =〇；+ 3>3;尤>4时，d (0，B ) =% ++2% - 3 =万％- 3>4>3.综上：=0时，d(〇，B )最小，最小值为3.形：当点B在点#的左侧时d(0,B)=B P+ 0P>0P>0N当点B在线段MTV上时：d(0，B)=BP+ 0P>N P+ 0P，即d(0，B) >0N当点B在点M的右侧时：d(0，B)=BP+ 0P>B P>0M>0N综上:当点B运动到点N时:d(0，B)取得最小值，为3.分析:第（1)问成功解出来的同学中，仅有一位 同学从“数”的角度研究成功，其余同学均从“形”的角度研究.这说明，从“形”的角度思考更容易找到 问题的突破口.第三阶段对象阶段对第（1)问第①小问进一步观察与思考，鼓励 学生将过程内化为一种“对象”.使之成为一个“实 体”.并能在整体上进行转换和建构.在这里教师需 要从“形”的角度引导同学们进一步思考，帮助学生 建立适当的心智结构.教师:当求d(0，B)取得最小值时，“形”有什么 特征？第四阶段图示阶段鼓励学生对活动、过程、对象一级相关联的其他 图示进行整合，最终在头脑中形成对直角距离的综 合的“图示”图示阶段需要在每一问中逐渐完善.点C是以原点0为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点B是直线7 = - f% + 3上的一个动点，当d(B，C)取最小值时，点C，点B在哪里呢？由前面的分析知：对于〇0上每一个给定的点C，当点B，C运动到使BC h轴时，d(B，C)取得最小值，为线段B C的长度.过点C作％轴的垂线，交直线于点B.•95•就产生RtACBD ，对于圆上不同的点C ，就有不同的R tAC i?D 与 之对应，这样的直角三角形是彼此相似的.由此得到的值是一定的.A CB D ^A M N O ， s i n AC BD = s i n A M N O ,CD O M _4B C =MN = T ，BC _ 冬CD4B C 随C D 的改变而改变.当CD 最小时，B C 最小.教师:CD 何时取最小呢？学生:想到直线和圆的位置关系.教师:圆上哪一点到直线的距离最小呢？学生:过点O 作直线y _ -|^+3的垂线，垂足为点D ，交O O 于点C ，此时C D 最小，相应地，BC 最小．CD = O D -O C = 1-1_女，v Z 1 _ ZO ND ，CD 4 7.•.s in Z l _sinZO N D =B C _+，B C _+.教学反思：(1)教师在教学中需要引导学生一点一点亲实践和操作，建立原有认知和新定义之间的心理联 系，帮助学生建立适当的心智结构.在具体的引导 中，建议从数和形等角度分析问题，帮助学生顺利过 渡到正确的对象和图示阶段.(2M POS 理论最大的益处就是帮助教师快速发现学生出错的阶段，以便尽快找到解决问题的对 策.这四个阶段渗透在每一小问的分析中，不局限于 某一阶段一定在某一小问.所以，教师从第（1)小问 开始就应该鼓励学生多思考，让思维顺利过渡到第 三，第四阶段.当学生灵活地掌握了这四个阶段的相 互转化后，解新定义问题的能力就提高了.参考文献：[1 ]张惠瑜，叶媛媛.巧用“新定义”，培养学生 数学素养[J ].中学数学研究，2008年第11期（下）.[2]教育部考试中心.中国高考评价体系[M人民教育出版社，2019:11.[3 ] Dubinsky , E . , &Michael , M . A . APOS ： OneConstructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics eeEducation Research [ J ]. The China - Japan - US . Seminaron on mathematical education ，1993:1 -10.[4]张奠宙，鲍建生，徐斌艳.数学教育研究导 引（二）[M ].南京:江苏教育出版社，2013:204.[5 ] Maharaj , A . An APOS Analasis of Students ?Understanding of the Concept of a Limit of a Function[J ]. Pythagoras . 2010, (71) ：41 -52.[6] 张奠宙，鲍建生，徐斌艳.数学教育研究引（二）P 204 [M ]•南京：江苏教育出版社，2013:204.[7]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过[M ].上海:上海教育出版社，2009 :96 - 103.[]江春莲，胡玲•基于APOS 理论和R M I 原则的二次函数图象平移教学实验研究[J ].数学教育学报，2020,29(6) :32 -39.[9 ]郑庆全，周友士.透析数学课堂教学:“评价 原理”的“认识” “应用”与“启示” [J ].数学教育学 报,2020,29(6) ：51 -55.• 96•。

三角形中的新定义问题知识方法精讲1．解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。

方法二：从数学理论应用探究问题入手对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．方法三：从日常生活中的实际问题入手对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。

2．解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.3．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．4．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．5．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．6．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．8．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．9．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．10．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．11．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A +∠B ＝90°；②三边之间的关系：a 2+b 2＝c 2；③边角之间的关系：sin A ＝＝，cos A ＝＝，tan A ＝＝．（a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边）一．填空题（共5小题）1．（2021秋•花都区期末）如图，在四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．已知120ADC ∠=︒，60ABC ∠=︒，小婵同学得到如下结论：①ABC ∆是等边三角形；②2BD AD =；③ABCD S AC BD =⋅四边形；④点M 、N 分别在线段AB 、BC 上，且60MDN ∠=︒，则MN AM CN =+，其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）2．（2021秋•长宁区期末）定义：在ABC ∆中，点D 和点E 分别在AB 边、AC 边上，且//DE BC ，点D 、点E 之间距离与直线DE 与直线BC 间的距离之比称为DE 关于BC 的横纵比．已知，在ABC ∆中，4BC =，BC 上的高长为3，DE 关于BC 的横纵比为2:3，则DE = ．3．（2021秋•赣州期中）规定：若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1212a b x x y y ⋅=+．例如(1,3)a =，(2,4)b =，则123421214a b ⋅=⨯+⨯=+=．已知(1,1)a x x =+-，(3,4)b x =-，则a b ⋅的最小值是．4．（2021秋•闵行区校级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线．已知ABC∆中，5AB AC==，6BC=，点D、E在边BC上，且2BD=，E为BC中点，过点D的优美线交过点E的优美线于F，那么线段AF的长等于．5．（2021秋•邹城市期中）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中α称为“奇妙角”．如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60︒，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为．二．解答题（共15小题）6．（2021秋•鄞州区期末）【问题提出】如图1，ABC∆中，线段DE的端点D，E分别在边AB和AC上，若位于DE上方的两条线段AD和AE之积等于DE下方的两条线段BD和CE之积，即AD AE BD CE⨯=⨯，则称DE 是ABC∆的“友好分割”线段．（1）如图1，若DE是ABC∆的“友好分割”线段，2AD CE=，8AB=，求AC的长；【发现证明】（2）如图2，ABC∆中，点F在BC边上，//FD AC交AB于D，//FE AB交AC于E，连结DE，求证：DE是ABC∆的“友好分割”线段；【综合运用】（3）如图3，DE是ABC∆的“友好分割”线段，连结DE并延长交BC的延长线于F，过点A画//AG DE交ADE∆的外接圆于点G，连结GE，设ADxDB=，FCyFB=．①求y关于x的函数表达式；②连结BG，CG，当916y=时，求BGCG的值．7．（2021秋•石鼓区期末）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对()can ，如图1，在ABC ∆中，AB AC =，底角B ∠的邻对记作canB ，这时BC canB AB ==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）30can ︒= ，若1canB =，则B ∠= ︒．（2）如图2，在ABC ∆中，AB AC =，85canB =，48ABC S ∆=，求ABC ∆的周长．8．（2021秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy 中的线段AB 及点P ，给出如下定义： 若点P 满足PA PB =，则称P 为线段AB 的“轴点”，其中，当060APB ︒<∠<︒时，称P 为线段AB 的“远轴点”；当60180APB ︒∠<︒时，称P 为线段AB 的“近轴点”．（1）如图1，点A ，B 的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，则在1(1,3)P -，2(0,2)P ，3(0,1)P -，4(0,4)P 中，线段AB 的“轴点”是 ；线段AB 的“近轴点”是 ．（2）如图2，点A 的坐标为(3,0)，点B 在y 轴正半轴上，30OAB ∠=︒．若P 为线段AB 的“远轴点”，请直接写出点P 的横坐标t 的取值范围 ．9．（2020秋•南沙区期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．（1）如图①中，若ABC ∆和ADE ∆互为“兄弟三角形”， AB AC =，AD AE =．写出BAD ∠，BAC ∠和BAE ∠之间的数量关系，并证明．（2）如图②，ABC ∆和ADE ∆互为“兄弟三角形”， AB AC =，AD AE =，点D 、点E 均在ABC ∆外，连接BD 、CE 交于点M ，连接AM ，求证：AM 平分BME ∠．（3）如图③，若AB AC =，60BAC ADC ∠=∠=︒，试探究B ∠和C ∠的数量关系，并说明理由．10．（2021秋•余姚市月考）定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．例如：如图1，ABC ∆中，AD AD =，AB AC =，B C ∠=∠，则ABD ∆与ACD ∆是邻等三角形．（1）如图2，O 中，点D 是BC 的中点，那么请判断ABD ∆与ACD ∆是否为邻等三角形，并说明理由．（2）如图3，以点(2,2)A 为圆心，OA 为半径的A 交x 轴于点(4,0)B ，OBC ∆是A 的内接三角形，30COB ∠=︒．①求C ∠的度数和OC 的长；②点P 在A 上，若OCP ∆与OBC ∆是邻等三角形时，请直接写出点P 的坐标．11．（2021秋•岳麓区校级月考）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足290αβ+=︒，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若ABC ∆是“近直角三角形”， 90B ∠>︒，50C ∠=︒，则A ∠= ︒；（2）如图1，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =．若BD 是ABC ∠的平分线， ①求证：BDC ∆是“近直角三角形”；②在边AC上是否存在点E（异于点)D，使得BCE∆也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt ABC∆中，90∠=︒，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BCBAC于点E，连结AE交BD于点F，若BCDAF=，求AD∆为“近直角三角形”，且5AB=，3的长．12．（2021秋•荔城区校级期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念：（1）如图1，在Rt ABC∆中，90∠=︒，CD AB⊥，请写出图中两对“等角三角形”．ACB概念应用：（2）如图2，在ABC∠=︒．求证：CD为ABC∆的B∠=︒，60∆中，CD为角平分线，40A等角分割线．动手操作：（3）在ABC∠的∆的等角分割线，请求出所有可能的ACB∠=︒，CD是ABCA∆中，若50度数．13．（2021秋•金安区校级期中）概念学习：已知ABC ∆，点P 为其内部一点，连接PA 、PB 、PC ，在PAB ∆、PBC ∆和PAC ∆中，如果存在一个三角形，其内角与ABC ∆的三个内角分别相等，那么就称点P 为ABC ∆的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30︒、60︒、90︒的三角形存在等角点 ；②任意的三角形都存在等角点 ．（2）如图中，点P 是锐角三角形ABC ∆的等角点，若BAC PBC ∠=∠，探究图中么BPC ∠、ABC ∠、ACP ∠之间的数量关系，并说明理由．14．（2021•安溪县模拟）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 、Q 和图形G ，给出如下定义：若图形G 上存在一点C ，使90PQC ∠=︒，则称点Q 为点P 关于图形G 的一个“直角联络点”．已知点(4,0)A ，(4,4)B ．（1）在点(2,2)M 、(4,1)N -中，点O 关于点A 的“直角联络点”是 .（直接写出符合条件的点）（2）点E 的坐标为(2,)m ，若点E 是点O 关于点B 的“直角联络点”，求m ．15．（2021•临海市一模）在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差．（1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为 ；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为 ； （2）性质探究：如图1，CD 是ABC ∆的中线，AC b =，BC a =，2AB c =，CD d =，记ACD ∆中ADC ∠的勾股差为m ，BCD ∆中BDC ∠的勾股差为n ；①求m ，n 的值（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示）；②试说明m 与n 互为相反数；（3）性质应用：如图2，在四边形ABCD 中，点E 与F 分别是AB 与BC 的中点，连接BD ，DE ，DF ，若34DF AB =，且CD BD ⊥，CD AD =，求DE DF的值． 16．（2021秋•南昌期中）【概念学习】如图1，2，已知ABC ∆，点P 为其内部一点，连接PA 、PB 、PC ，在PAB ∆、PBC ∆、PAC ∆中，如果存在一个三角形，其内角与ABC ∆的三个内角分别相等，那么就称点P 为ABC ∆的等角点．【理解应用】（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①等边三角形存在等角点： ；②等腰直角三角形存在等角点： ；③内角分别为30︒、60︒、90︒的三角形存在等角点： ；④任意的三角形都存在等角点： ；【深入理解】（2）如图1，点P 是锐角ABC ∆的等角点，且PBC ∆与ABC ∆的三个内角分别相等，已知：若50BAC ∠=︒，10PBA PCA ∠=∠=︒，求ABC ∠的度数；（3）如图2，点P 是锐角ABC ∆的等角点，若BAC PCB ∠=∠，探究BPC ∠、ACB ∠、ABP ∠之间的数量关系，并说明理由．17．（2021秋•诸暨市期中）定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在ABC ∆中，若222AB AC AB AC BC +-⋅=，则ABC ∆是“和谐三角形”．（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是 命题（填“真”或“假” )．（2）若Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB c =，AC b =，BC a =，且b a >，若ABC ∆是“和谐三角形”，求::a b c ．18．（2021秋•大田县期中）在平面直角坐标系xOy 中，将三点A ，B ，C 的“矩面积”记为S ，定义如下：A ，B ，C 中任意两点横坐标差的最大值a 称为“水平底”，任意两点纵坐标差的最大值h 称为“铅垂高”，“水平底”与“铅垂高”的乘积即为点A ，B ，C 的“矩面积”，即S ah =．例如：点(1,2)A ，(3,1)B -，(2,2)C -，它们的“水平底”为5，“铅垂高”为4，“矩面积” 5420S =⨯=． 解决以下问题：（1）已知点(2,1)A ，(2,3)B -，(0,5)C ，求A ，B ，C 的“矩面积”；（2）已知点(2,1)A ，(2,3)B -，(0,)C t ，且A ，B ，C 的“矩面积”为12，求t 的值；（3）已知点(2,1)A ，(2,3)B -，(,1)C t t +，若0t <，且A ，B ，C 的“矩面积”为25，求t 的值．19．（2021秋•广陵区期中）我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．（1）如图1，点P 在线段BC 上，90ABP APD PCD ∠=∠=∠=︒，BP CD =．求证：点P 是APD ∆的准外心；（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，5BC =，3AB =，ABC ∆的准外心P 在ABC ∆的直角边上，试求AP 的长．20．（2021秋•西城区校级期中）对于平面直角坐标系内的任意两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，定义它们之间的“直角距离”为1212(,)||||d P Q x x y y =-+-．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“直角距离”，记作(,)D M N ．（1）已知(1,0)A ，(0,2)B ，则(,)d A B = ，(,)D O AB = ；（2）已知(1,0)A ，(0,)B t ，若(,)1D O AB =，则t 的取值范围是 ；（3）已知(1,0)A ，若坐标平面内的点P 满足(,)1d P A =，则在图中画出所有满足条件的点P 所构成的图形，该图形的面积是 ；（4）已知(1,0)A ，(0,2)B ，直线l 过点(0,)t 且垂直于y 轴，若直线l 上存在点Q 满足(d Q ，)(A d Q =，)B ，则t 的取值范围是 ．三角形中的新定义问题知识方法精讲1．解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。

一、选择题1、(2018北京昌平区初一第一学期期末)用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b = ab 2 + a .如：1☆3=1×32+1=10.则（-2）☆3的值为 A ．10 B ．-15C . -16 D ．-20 答案：D 二、填空题3、（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）1．用“△”定义新运算：对于任意有理数a ，b ，当a ≤b 时，都有2a b a b ∆=；当a ＞b 时，都有2a b ab ∆=．那么，2△6 = ，2()3-△(3)-=． 答案：24，-64．（2018北京海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF AB⊥于F ，则AF FB BC =+．如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°． 答案605、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称(p ，q )为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．三、解答题图2图1DE CBAF MCBA6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算：a c =bad bc d-．例如：1214-23=-2.34××=（1）按照这个规定，请你计算5624的值．（2）按照这个规定，当5212242=-+-x x 时求x 的值． 答案（1）5624=20-12=8 (2)（2）由5212242=-+-x x 得5224221=++-)()(x x ...............................................................4 解得，x =1 (5)7、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（a ，b ）与（c ，d ）.我们规定：（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad .例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2． 根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）=;（2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=7，则x =;（3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数时，求整数k 的值． 答案.解：（1）﹣5……………………..２分（2）1 ……………………..４分（3）∵等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数 ∴（2x ﹣1）k ﹣（﹣3）（x ﹢k ）=5﹢2k ∴（2k ﹢3）x =5∴523x k =+∵k 是整数 ∴2k +3=±1或±5∴k =1，﹣1，﹣2，﹣4……………………..７分8、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a ，b ，定义运算：a ⊙b =()1a a b +-，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(3)-⊙(5)-＝3(35)123-⨯---=．（1）求(2)-⊙132的值；（2）对于任意有理数m ，n ，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：m ⊕n＝（用含m ，n 的式子表示）．答案解：（1）(2)-⊙1132(23)122=-⨯-+- 4=-.（2）答案不唯一，例如：m n ⊕=(1)m n +.9．（2018北京石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心，AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B 在直线y = 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围． 解：（1）25π；………………… 2分（2）∵直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点,A B 的“确定圆”的面积为9π，∴⊙A 的半径3AB =且直线y x b =+与⊙A 相切于点B ，如图， ∴AB CD ⊥，45DCA ∠=°．①当0b >时，则点B 在第二象限． 过点B 作BE x ⊥轴于点E ，∵在Rt BEA ∆中，45BAE ∠=°，3AB =， ∴2BE AE ==．∴22B-（，． ②当0b <时，则点'B 在第四象限．同理可得'22B -（．综上所述，点B 的坐标为22-（，或22-（． ………………… 6分（3）5m -≤或11m ≥．10．（2018北京延庆区初三统一练习）平面直角坐标系xOy中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B互为反等点．已知：点C (3，4)（1）下列各点中，与点C 互为反等点；D (-3，-4)，E （3，4），F （-3，4）（2）已知点G （-5，4），连接线段CG ，若在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，求点P 的横坐标px 的取值范围；（3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中线段CG 的两个交点互为反等点，求r 的取值范围． 解：(1)F ……1分(2)-3≤p x ≤3 且p x ≠0……4分(3)4< r≤5……7分11. （2018北京市朝阳区综合练习（一））对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为 线段AB 的伴随点． （1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是； ②在直线y =2x +b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ，且MN 5=，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围． 解：（1）①线段AB 的伴随点是:23,P P . ………………………………………………2分 ②如图1，当直线y =2x +b 经过点（-3，-1）时，b =5，此时b 取得最大值.…………………………………………………………4分如图2，当直线y =2x +b 经过点（-1，1）时，b =3，此时b 取得最小值. ………………………………………………………5分 ∴b 的取值范围是3≤b ≤5. ………………………………………6分（2）t 的取值范围是-12.2t ≤≤……………………………………8分 12．（2018北京丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P 为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ． 已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)． （1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标； （3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．解：（1）点和线段（2）点A 和⊙G 半径为1的圆上运动. 因为点K 在直线y =- x +1上，A BC 图1图2设点K 的坐标为（x ，- x +1）， 则x 2+（- x +1）2=12，解得x 1=0，x 2=1.所以点K 的坐标为（0，1）或（1，0）.………5分（3）（说明：点与⊙C 的“中立点”在以线段NC 的中点P 为圆心、半径为1的圆上运动.圆P 与y 轴相切时，符合题意.） 所以点N 的横坐标的取值范围为-6≤x N ≤-2. ………8分13．（2018北京海淀区第二学期练习）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和C e ，给出如下定义：若C e 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在C e 上，则称P 为C e 的反射点．下图为C e 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，A e 的半径为2， ①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，A e 的反射点是____________；②点P 在直线y x =-上，若P 为A e 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；（2）C e 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是C e 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围． 解（1）①A e 的反射点是M ，N ．………………1分 ②设直线y x =-与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D ，E ，F ，G ，过点D 作⊥DH x 轴于点H ，如图． 可求得点D 的横坐标为32-． 同理可求得点E ，F ，G 的横坐标分别为2-，2，32． 点P 是A e 的反射点，则A e 上存在一点T ，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在A e 上，则'OP OP =. ∵1'3≤≤OP ，∴13≤≤OP ．反之，若13≤≤OP ，A e 上存在点Q ，使得OP OQ =，故线段PQ 的N yxPOC T P’垂直平分线经过原点，且与A e 相交．因此点P 是A e 的反射点． ∴点P 的横坐标x的取值范围是22≤x --22≤x ．………………4分 （2）圆心C 的横坐标x 的取值范围是44≤≤x -．………………7分14、．（2018北京西城区九年级统一测试）对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQCQ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ． （1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的”，直接写出b的取值范围．解：（11分②是．……………………………………………………………………………2分x（2）①如图9，当r =1时，不妨设直线QM 与⊙C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM ⊥CM ． ∵(1,0)Q -，(1,0)C ，r =1， ∴2CQ =，1CM =．∴MQ =此时2MQk CQ==．……………………………………………………3分②如图10，若直线QM 与⊙C 不相切，设直线QM 与⊙C 的另一个交点为N （不妨设QN ＜QM ，点N ，M 在x 轴下方时同理）． 作CD ⊥QM 于点D ，则MD=ND ．∴()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=． ∵2CQ =， ∴2MQ NQ DQk DQ CQ CQ+===．∴当k DQ = 此时1CD ==． 假设⊙C 经过点Q ，此时r= 2． ∵点Q 在⊙C 外，∴r 的取值范围是1≤r ＜2．……………………………………………5分（3）b ＜7分15. （2018北京怀柔区一模）P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜PA PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”． (1)当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是； ②点P 在直线y=x+b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围； (2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=x+1与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．解：(1)①P 1（,0）、P 2（0,2）…………………………………………………………………2分 ②如图，在y=x+b 上，若存在⊙O 的“特征点”点P ，点O到直线y=x+b 的距离m ≤2. 直线y=x+b 1交y 轴于点E ，过O 作OH ⊥直线y=x+b 1于点H. 因为OH=2，在Rt △DOE 中，可知OE=2. 可得b 1=2.同理可得b 2=-2.∴b 的取值范围是:≤b ≤. …………………………………………………6分 (2)x>或.…………………………………………………………………………8分16. （2018北京平谷区中考统一练习）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；（2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；⋅2222222-2233-<x（3）⊙O的半径为2，点P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．解：（1）60； ······························································································· 1 （2）∵以CD 为边的“坐标菱形”为正方形， ∴直线CD 与直线y =5的夹角是45°． 过点C 作CE ⊥DE 于E ．∴D （4,5）或()2,5-． .......................................................... 3 ∴直线CD 的表达式为1y x =+或3y x =-+． .. (5)（3）15m ≤≤或51m -≤≤-． (7)17．（2018北京顺义区初三练习）如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”． 图1Q 2Q 12L 1P64225510D CBAO例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、12''r O M O N r =2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'． 2y x =、（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线212y x =分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．解：（1）是．过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C ．∴AD ∥BC ． ∴122===OA OD k OB OC k ． ∴两抛物线曲似，曲似比是12．………… 3分（2）假设存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切．则OA=OC=2k ，又∵OD=k ，AD=k 2，并且OD 2+AD 2= OA 2，图2C 2C 1NMO'∴k 2+（k 2）2=（2k ）2． ∴3k =±．（舍负） 由对称性可取3k =-．综上，3k =±．………………………… 6分（3）m 的取值范围是m ＞1，k 与m 之间的关系式为k 2=m 2-1 ．………8分18、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≥，则称1d 为点P 的最大距离；若12d d <，则称2d 为点P 的最大距离.例如：点P （3-，4）到到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为3，因为3<4，所以点P 的最大距离为4. （1）①点A （2，5-）的最大距离为；②若点B （a ，2）的最大距离为5，则a 的值为；（2）若点C 在直线2y x =--上，且点C 的最大距离为5，求点C 的坐标；上存在．．点M ，使点M 的最大距离为5，（3）若⊙O 直接写出⊙O 的半径r 的取值范围.xy –1–2–3–4–512345–112345O解：（1）①5………………………1分②5±………………………3分 （2）∵点C 的最大距离为5，∴当5x <时，5y =±，或者当5y <时，5x =±.………………4分 分别把5x =±，5y =±代入得： 当5x =时，7y =-，当5x =-时，3y =，当5y =时，7x =-，当5y =-时，3x =，∴点C （5-，3）或（3，5-）.………………………5分（3）5r ≤≤…………………………………7分19、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）在平面直角坐标系xOy 中，点A （0, 6），点B 在x 轴的正半轴上. 若点P ,Q 在线段AB 上，且PQ 为某个一边与x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P ,Q 的“X 矩形”.下图为点P ,Q 的“X 矩形”的示意图.（1）若点B （4,0），点C 的横坐标为2，则点B ,C 的“X 矩形”的面积为. （2）点M ，N 的“X 矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M 到y 轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N 的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围.备用图答案：（1）6；…………………………………………………………………………1分（2）①B（6,0）………………………………………………………………………2分N（1,5）或N（5,1）…………………………………………………………4分xy5=；……………………………………………………………………………5分②23230-<<r或229>r. …………………………………………………8分20、（2018北京东城第一学期期末）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1,0），P2,1），P3（72,0），P4（5,0）中，⊙O的和睦点是________；（2）若点P（4,3）为⊙O的和睦点，求⊙O 的半径r的取值范围；（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．答案：解：（1）P 2，P 3； ………………2分 （2）由勾股定理可知，OP =5，以点O 为圆心，分别作半径为4和6的圆，分别交射线OP 于点Q ，R ，可知PQ =PR =1，此时P 是⊙O 的和睦点；若⊙O 半径r 满足0<r <4时，点OP -r >1，此时，P 不是⊙O 的和睦点； 若⊙O 半径r 满r >6时，r -OP >1，此时，P 也不是⊙O 的和睦点；若⊙O 半径r 满足4<r <6时，设⊙O 与射线OP 交于点T 即PT <1时，可在⊙O 上找一点S ，使PS =1，此时P 是⊙O 的和睦点；综上所述，46r ≤≤． ………………4分（3）53A x --≤11A x ≤≤． ………………8分21、（2018北京丰台区第一学期期末）28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”.（1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（12），P 2（0，－2），P 3，0）中，⊙O 的“离心点”是；②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围； （2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B .如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.解：（1）①2P ，3P ；……2分②设P （m ,－m ＋3），则()5322=+-+m m . …3分解得11=m ，22=m . ……4分 故1≤m ≤2. ……6分（2）圆心C 纵坐标C y 的取值范围为：521-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分22、（2018年北京海淀区第一学期期末）对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PAQA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________； （2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO ∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分（2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan 2OAM ∠=，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B . 作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ， ∴∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴∠OAM =∠HMC .∴1tan tan 2HMC OAM ∠=∠=. ∴12MH HC HA MH ==. 设MH y =，则2AH y =，12CH y =， ∴522AC AH CH y =+==，解得45y =，即点M 的纵坐标为45.又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85， 故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：4855t ≤≤. ……………3分 由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：8455t -≤≤-.……………4分 ∴点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或4855t ≤≤. （3）431b -≤≤-或143b ≤≤- ………………7分23、（2018北京怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的横坐标为x ，纵坐标为2x ，满足这样条件的点称为“关系点”.(1)在点A (1,2)、B (2,1)、M (21，1)、N (1，21)中，是“关系点”的； (2)⊙O 的半径为1，若在⊙O 上存在“关系点”P ，求点P 坐标；(3)点C 的坐标为(3，0)，若在⊙C 上有且只有一个．．．．．．“关系点”P ，且“关系点”P 的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C 的半径r 的取值范围．解：(1)A 、M . ……………………………………………………………………………………2分 (2)过点P 作PG ⊥x 轴于点G …………………………………………………………………3分 设P （x ，2x ）∵OG 2+PG 2=OP 2………………………………………………………………………………4分 ∴x 2+4x 2=1 ∴5x 2=1∴x 2=∴x = ∴P (，)或P (，)……………………………………………………5分(3)r =或…………………………………………………………7分24、（2018P 为端点竖直向下的一条射线PN ，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线1PN ，2PN ，我们规定：12N PN ∠为点P 的“摇摆角”，射线PN 摇摆扫过的区域叫作点P 的“摇摆区域”（含1PN ，2PN ）.5155±5555255-552-5564117≤<r在平面直角坐标系xOy 中，点(2,3)P .（1）当点P 的摇摆角为60︒时，请判断(0,0)O 、(1,2)A 、(2,1)B、(20)C 属于点P 的摇摆区域内的点是______________________（填写字母即可）；（2）如果过点(1,0)D ，点(5,0)E 的线段完全在点P 的摇摆区域内，那么点P 的摇摆角至少为_________°； （3）⊙W 的圆心坐标为(,0)a ，半径为1，如果⊙W 上的所有点都在点P 的摇摆角为60︒时的摇摆区域内，求a 的取值范围．解：（1）点B ，点C （2）90°………………………………………………………3分 （3）当⊙W 运动到摇摆角的内部，与PF 左边的射线相切时如图28-1∵点(2,3)P 的摇摆角为60° ∴30KPF∠=︒，3PF =在Rt △PFK 中，tan tan 30KFKPF PF∠=∠︒=在 可求得KF ∵30KPF ∠=︒， ∴60PKF ∠=︒在Rt △PFK 中，sin sin 60QKF KW∠=∠︒=，可求得KW =x∴22OW OF KF KW =-+=-=-当⊙W 运动到摇摆角的内部，与PF 右边的射线相切时如图28-2同理可求得OW∴2a ≤25、（2018北京密云区初三（上）期末）已知在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G,给出如下的定义：若在图形G 上存在一点Q ,使得Q P 、之间的距离等于1，则称P 为图形G 的关联点. （1）当O e 的半径为1时，①点11(,0)2P,2P ,3(0,3)P中，O e 的关联点有_____________________. ②直线经过（0，1）点，且与y 轴垂直，点P 在直线上.若P 是O e 的关联点，求点P 的横坐标x 的取值范围.（2）已知正方形ABCD 的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.备用图备用图答案：（1）12P P 、 ………2分x（2）如图，以O 为圆心，2为半径的圆与直线y=1交于12,P P 两点.线段12P P 上的动点P （含端点）都是以O 为圆心，1为半径的圆的关联点.故此x ≤≤…………………………………………………………6分（3）由已知，若P 为图形G 的关联点，图形G 必与以P 为圆心1为半径的圆有交点.Q 正方形ABCD 边界上的点都是某圆的关联点∴该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以O 为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，1为半径的圆.综上所述，13r ≤≤.………………………..8分26、（2018北京平谷区第一学期期末）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”． （1）以O 为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”； （2）点M ,N 是一对“互换点”，点M 的坐标为(m ,n )，且(m ＞n )，⊙P 经过点M ,N ．①点M 的坐标为(4,0)，求圆心P 所在直线的表达式； ②⊙P 的半径为5，求m －n 的取值范围．解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）； (2)（2）①连结MN ，∵OM =ON =4，∴Rt △OMN 是等腰直角三角形． 过O 作OA ⊥MN 于点A ，∴点M ,N 关于直线OA 对称． ......................................................... 3 由圆的对称性可知，圆心P 在直线OA 上． ................................. 4 ∴圆心P 所在直线的表达式为y=x ． ................................................ 5 ②当MN 为⊙P 直径时，由等腰直角三角形性质，可知m －n= ..... 6 当点M ,N 重合时，即点M ,N 横纵坐标相等，所以m －n =0； ................. 7 ∴m －n 的取值范围是0＜m －n≤ (8)27、（2018北京石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为),(11y x ，点Q 的坐标为),(22y x ，且21x x ≠，21y y ≠，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P ，Q 的“相关等腰三角形”．下图为点P ，Q 的“相关等腰三角形”的示意图．．．．（1）已知点A 的坐标为)1,0(，点B 的坐标为)0,3(-，则点A ，B 的“相关等腰三角形”的顶角为_________°；（2）若点C 的坐标为)3,0(，点D 在直线34=y 上，且C ，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD 的表达式；（3）⊙O 的半径为2，点N 在双曲线xy 3-=上．若在⊙O 上存在一点M ，使得点M 、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．解：（1）120º； ……………………………………………………………2分 （2）∵C ,D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为60°，底边与x 轴平行，∴直线CD 与x 轴成60°角，与y 轴成30°角，通过解直角三角形可得D 的坐标为)343(，或)343(，-，进一步得直线CD的表达式为33+=x y 或33+-=x y . …………………………………………5分（3）31N x -≤≤-或13N x ≤≤. ……………………8分28、（2018北京通州区第一学期期末）点P 的“d 值”定义如下：若点Q 为圆上任意一点，线段PQ 长度的最大值与最小值之差即为点P 的“d 值”，记为P d .特别的，当点P ，Q 重合时，线段PQ 的长度为0. 当⊙O 的半径为2时： （1）若点⎪⎭⎫⎝⎛-0,21C ，()4,3D ，则=C d _________，=D d _________； （2）若在直线22+=x y 上存在点P ，使得2=P d ，求出点P 的横坐标； （3）直线()033>+-=b b x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .若线段AB 上存在点P ，使得32<≤P d ，请你直接写出b 的取值范围.答案：29、（2018北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点． （1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．答案：30、（2018北京昌平区二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A 、B 、C 我们给出如下定义：“横长”a ：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.例如：点A (2-,0)，点B (1,1)，点C (1-,2-)，则A 、B 、C 三点的“横长”a =|1(2)--|=3，A 、B 、C 三点的“纵长”b =|1(2)--|=3.因为a =b ，所以A 、B 、C 三点为正方点.（1）在点R (3，5)，S (3，2-)，T (4-，3-)中，与点A 、B 为正方点的是；（2）点P (0，t )为y 轴上一动点，若A ，B ，P 三点为正方点，t 的值为；（3）已知点D (1，0).①平面直角坐标系中的点E 满足以下条件：点A ，D ，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E 组成的图形；②若直线l ：12y x m =+上存在点N ，使得A ，D ，N 三点为正方点，直接写出m 的取值范围．（备用图）解：（1）点R ………………………1分 （2）−2或3………………………3分（3）①画出如图所示的图像………………………5分y xxyyx②52m ≥或2m ≤-………………………7分31、（2018北京朝阳区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于1，则称P 为直线m 的平行点． （1）当直线m 的表达式为y =x 时，①在点P 1（1，1），P 2（0，2），P 3（22-，22）中，直线m 的平行点是； ②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标.（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线x y 3=的平行点，直接写出n 的取值范围．答案：（1）①P 2，P 3 ……………………………………………………………………2分②解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1的直线.设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1. 由直线m 的表达式为y =x ，可知∠OAB=∠OBA =45°. 所以OB=2.直线AB 与⊙O 的交点即为满足条件的点Q . 连接OQ 1，作Q 1N ⊥y 轴于点N ，可知OQ 1=10. 在Rt △OHQ 1中，可求HQ 1=3. 所以BQ 1=2.在Rt △BHQ 1中，可求NQ 1=NB=2. 所以ON=22.所以点Q 1的坐标为（2，22）.同理可求点Q 2的坐标为（22-，2-）.……………………………4分如图2，当点B 在原点下方时，可求点Q 3的坐标为（22，2）点Q 4的坐标为 （2-，22-）.………………………………………………………6分综上所述，点Q 的坐标为（2，22），（22-，2-），（22，2），（2-，22-）. （2）334-≤n ≤334.……………………………………………………………8分32、（2018北京东城区二模）研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =. 基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点.（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ； （2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)A t +，C (t . ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________. (1)12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分（2）①当4t =时，()41A ，，()51B ，，()53C ，，()43D ，， 此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线214y x =的下方， ∴.d MF = ∴.AF d CF ≤≤ ∵=4=29AF CF ，∴29.d 4≤≤ ---------------------------------------------------------------------------------- 5分 ②33 1.t --2≤≤2 ------------------------------------------------------------------------8分33、（2018北京房山区二模）已知点P ，Q 为平面直角坐标系xOy 中不重合的两点，以点P 为圆心且经过点Q作⊙P ，则称点Q 为⊙P 的“关联点”，⊙P 为点Q 的“关联圆”.（1）已知⊙O 的半径为1，在点E （1，1），F （－12，32 ），M （0，－1）中，⊙O 的“关联点”为； （2）若点P （2，0），点Q （3，n ），⊙Q 为点P 的“关联圆”，且⊙Q 的半径为 5 ，求n 的值；（3）已知点D （0，2），点H （m ，2），⊙D 是点H 的“关联圆”，直线443y x =-+与 x 轴，y 轴分别交于点A ，B .若线段AB 上存在⊙D 的“关联点”，求m 的取值范围.解：（1）①F ，M .………………………………………………………………………2′（注：每正确1个得1分） （2）如图1，过点Q 作QH ⊥x 轴于H . ∵PH =1，QH =n ，PQ =5 ∴由勾股定理得，PH 2+QH 2=PQ 2 即()22215n +=解得，2n =或－2. ………………………………………………………4′（3）由443y x =-+，知A （3，0），B （0，4） y T B∴可得AB =5I. 如图2（1），当⊙D 与线段AB 相切于点T 时，连接DT .则DT ⊥AB ，∠DTB =90°∵OA DTsin OBA AB BD∠== ∴可得DT =DH 1=65∴165m =…………………………………………………5′II. 如图2（2）, 当⊙D 过点A 时，连接AD .由勾股定理得DA =OD 2+OA 2=DH 2=13 ……………………6′ 综合I ，II 可得：65m ≤-或65m ≤8′34、（2018北京丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点()11,y x P 与()22y x Q，之间的“直距”定义为：2121y y x x D PQ -+-=.例如：点M （1，2-），点N （3，5-），则132(5)5MN D =-+---=.已知点A (1，0)、点B (-1，4). （1）则_______=AO D ，_______=BOD ；（2）如果直线AB 上存在点C ，使得CO D 为2，请你求出点C 的坐标； （3）如果⊙B 的半径为3，点E 为⊙B 上一点，请你直接写出EO D 的取值范围.答案. （1）1AO D =，5BO D =；………………2分（2）如图：解法1：由点A 和点B 坐标可得，直线AB 的解析式为y =-2x +2.设点C 的坐标为（x ，-2x +2），则222x x +-+=，则点C 的坐标为（0，2）或42(,)33-. 解法2：由点A 和点B 坐标可得，直线AB 的解析式为y =-2x +2.点C 与点O 之间的“直距CO D ”为2的运动轨迹为以点O 为中心、对角线分别位于坐标轴上、对角线长度为4的正方形.设点C 的坐标为（x ，-2x +2），则利用直线解析式可求得，点C 的坐标为（0，2） 或42(,)33-. ………………5分（3）EO D 的取值范围为45EO D -≤+7分35、（2018北京海淀区二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点1(,)a b ，2(1,)a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-．（1）写出函数21y x =-的限减系数；（2）0m >，已知1y x=（1,0x m x -≤≤≠）是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围． （3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．答案28．解：（1）函数21y x =-的限减系数是2；（2）若1m >，则10m ->，（1m -，11m -）和（m ，1m）是函数图象上两点，11101(1)m m m m -=-<--，与函数的限减系数4k =不符，∴1m ≤．若102m <<，（1t -，11t -）和（t ，1t）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0t m <≤，1111(1)t t t t -=---， ∵(1)0t t -->，且2211111(1)()()24244t t t m --=--+≤--+<，∴1141t t ->-，与函数的限减系数4k =不符. ∴12m ≥． 若112m ≤≤，（1t -，11t -）和（t ，1t ）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0t m <≤，1111(1)t t t t -=---， ∵(1)0t t -->，且2111(1)()244t t t --=--+≤，∴11141(1)t t t t -=≥---，当12t =时，等号成立，故函数的限减系数4k =． ∴m 的取值范围是112m ≤≤． （3）11-n ≤≤．36．（2018北京市东城区初二期末）定义：任意两个数,a b ，按规则c ab a b =++扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”.（1） 若1,a b ==直接写出,a b 的“如意数”c ；（2） 如果4,a m b m =-=-,求,a b 的“如意数”c ，并证明“如意数”0c ≤（3）已知2=1(0)a x x -≠，且,a b 的“如意数”3231,c x x =+-，则b =(用含x 的式子表示).解：（1） 1.2c =L L 分2224,(4)()(4)()44444(m 2)05a m b mc m m m m m m c m m c （2）分分=-=-∴=-⨯-+-+-=-+-=-+-=--∴≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅Q L Q26b x =+L L （3）分37.（2018北京市平谷区初二期末）对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于a 的最大整数，称[]a 为a 的根整数，例如：[]39=，[]310=.(1)仿照以上方法计算：[]=4_______;[]=26________.（2）若[]1=x ，写出满足题意的x 的整数值______________.如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次[][]13310=→=，这时候结果为1.（3）对100连续求根整数，______次之后结果为1.（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是________. 解：(1)2, 5 (2)1,2,3 (3) 3 (4)25538.（2018北京市顺义区八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.（1）下列分式: ①211x x -+；②222a b a b --；③22x y x y +-；④222()a b a b -+. 其中是“和谐分式”是 (填写序号即可)；（2）若a 为正整数，且214x x ax -++为“和谐分式”，请写出a 的值;（3）在化简22344a a bab b b -÷-时， 小东和小强分别进行了如下三步变形:小东：22344=a a ab b b b -⨯-原式223244a a ab b b =--()()222323244a b a ab b ab b b --=- 小强：22344=a a ab b b b -⨯-原式()22244a a b a b b =--()()2244a a a b a b b --=- 显然，小强利用了其中的和谐分式, 第三步所得结果比小东的结果简单，。

2019北京市各区初三一模数学分类汇编——新定义（房山）28． 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，给出如下定义：若点P 的横、纵坐标均为整数，且到圆心C 的距离d ≤r ，则称P 为⊙C 的关联整点． （1）当⊙O 的半径r =2时，在点D （2，-2），E （-1，0），F （0，2）中，为⊙O 的关联整点的是 ； （2）若直线4y x =-+上存在⊙O 的关联整点，且不超过7个，求r 的取值范围；（3）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，若直线4y x =-+上存在⊙C 的关联整点，求圆心C 的横坐标t 的取值范围．（门头沟）28．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点”． 如图，M （1，2），N （4，2）．（1） 在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有 ；（2） 如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x 的取值范围；（3） 如果点P 在以O （1，1-）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，直接写出⊙O 半径r 的取值范围．备用图（密云）28．在平面直角坐标系xOy 中，已知P (x 1，y 1)Q (x 2，y 2)，定义P 、Q 两点的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和为P 、Q 两点的直角距离,记作d (P ，Q )．即d (P ，Q )=|x 2-x 1|+|y 2-y 1| 如图1，在平面直角坐标系xoy 中，A （1，4），B （5，2），则d (A ，B )=|5-1|+|2-4|=6．（1）如图2，已知以下三个图形： ①以原点为圆心，2为半径的圆；②以原点为中心，4为边长，且各边分别与坐标轴垂直的正方形；③以原点为中心，对角线分别在两条坐标轴上，对角线长为4的正方形．点P 是上面某个图形上的一个动点，且满足(,)2d O P = 总成立．写出符合题意的图形对应的序号____________．（2）若直线(3)y k x =+ 上存在点P 使得(,)2d O P =，求k 的取值范围． （3）在平面直角坐标系xoy 中，P 为动点，且d （O ，P ）=3，M e 圆心为M （t ，0），半径为1． 若M e 上存在点N 使得PN =1，求t 的取值范围．图1备用图1（平谷）28．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ． （1）d （点O ，AB ）=（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．（石景山）28． 在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点分别为(0,1)A ，(1,0)B -，(0,1)C -，(1,0)D ．对于图形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为正方形ABCD 边上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d (M )． （1）已知点(0,4)E ， ①直接写出()d E 点的值；②直线4y kx =+(0)k ≠与x 轴交于点F ，当()d EF 线段取最小值时，求k 的取值范围；（2）⊙T 的圆心为(,3)T t ，半径为1．若()6d T <e ，直接写出t 的取值范围．（通州）28． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，2），B （2，2），点M 为线段AB 上一点． （1）在点()2,1C ，()2,0D ，()1,2E 中，可以与点M 关于直线y x =对称的点是____________；（2）若x 轴上存在点N ，使得点N 与点M 关于直线y x b =+对称，求b 的取值范围．（3）过点O 作直线l ，若直线y x =上存在点N ，使得点N 与点M 关于直线l 对称（点M 可以与点N 重合），． 请你直接写出点N 横坐标n 的取值范围．（延庆）28．对于图形M ，N ，给出如下定义：在图形M 中任取一点A ，在图形N 中任取两点B ，C （A ，B ，C 不共线），将∠BAC 的最大值α（0°<α<180°）叫做图形M 对图形N 的视角． 问题解决：在平面直角坐标系xOy 中，已知T （t ，0），⊙T 的半径为1； （1）当t =0时，①求点D （0，2）对⊙O 的视角α；②直线1l 的表达式为2y x =+，且直线1l 对⊙O 的视角为α，求；（2）直线2l 的表达式为y x t =+，若直线2l 对⊙T 的视角为α，且60°≤α≤90°，直接写出t 的取值范围．（燕山）28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙M (半径为r )，给出如下定义：若点P 关于点M 的对称点为Q ，且r ≤PQ ≤3r ，则称点P 为⊙M 的称心点． (1) 当⊙O 的半径为2时，① 如图1，在点A (0，1)，B (2，0)，C (3，4)中，⊙O 的称心点是 ； ② 如图2，点D在直线y =上，若点D 是⊙O 的称心点，求点D 的横坐标m 的取值范围；(2) ⊙T 的圆心为T (0，t )，半径为2，直线1y x =+与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ．若线段．．EF 上的所有点都是⊙T 的称心点，直接写出t 的取值范围．图2（西城）28．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点,P Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点M ，N （M 、N 可以重合）使得PM ＝QN ，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点. （1）如图1，已知点(0,3)A ，(2,3)B ． ①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值是____，最大值是____；图1②在1233(0)(14)(30)2P P P ，，，，，-这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是 ； （2）如图2，已知⊙O 的半径为1，点D 的坐标为(5,0).若点(,2)E x 在第一象限，且点D 与点E 是 ⊙O 的一对平衡点，求x 的取值范围；图2 图3（3）如图3，已知点(3,0)H -，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K ．点(,)C a b （其中0b ³）是坐标平面内一动点，且OC ＝5，⊙C 是以点C 为圆心，半径为2的圆．若¼HK上的任意两个点都是⊙C 的一对平衡点，直接写出b 的取值范围．（顺义）28. 在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为平面内不重合的两个点，若Q 到A 、B 两点的距离相等，则称点Q 是线段AB 的“似中点”.(1)已知A (1，0)，B (3，2)，在点D (1，3)、E (2，1)、F (4，-2)、G (3，0)中， 线段AB 的“似中点”是点 ；(2)直线=+y x 轴交于点M ，与y 轴交于点N . ①求在坐标轴上的线段MN 的“似中点”；②若⊙P 的半径为2，圆心P 为(t ，0)，⊙P 上存在线段MN 的“似中点”，请直接写出t 的取值范围.（丰台）28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点A，B，使得以P，A，B为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“等边依附点”．（1）已知M（-3，N（3，.①在点C（-2,2），D（0,1），E（1, 3）中，是线段MN的“等边依附点”的是；②点P(m，0)在x轴上运动，若P为线段MN的“等边依附点”，求点P的横坐标m的取值范围；（2）已知⊙O的半径为1，若⊙O上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长n的取值范围.。