济南市2024年高一学情检测数学试题（答案在最后）本试卷共6页，满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm 黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.据教育部统计，2024届全国普通高校毕业生规模达1179万人，将数字11790000用科学记数法表示为（）A.71.17910⨯B.81.17910⨯C.611.7910⨯ D.80.117910⨯【答案】A【解析】【分析】由科学记数法要求可得.【详解】711790000 1.17910=⨯，故选：A .2.下列运算正确的是（）A.232a a a -=B.222()a b a b +=+C.322a b a a÷= D.2224()a b a b =【答案】D【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用幂的运算法则判断D.【详解】对于A ，()233a a a a -=-，A 错误；对于B ，()2222a b a ab b +=++，B 错误；对于C ，3222a b a ab ÷=，C 错误；对于D ，2222242()()a b a b a b ==，D 正确.故选：D3.小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169.这组数据的众数和中位数分别是（）A.160，162B.158，162C.160，160D.158，160【答案】D【解析】【分析】根据众数和中位数的定义易得.【详解】因在156，158，158，160，162，165，169这组数据中，158出现了2次，次数最多，故众数是158；根据中位数的定义知，按照从小到大排列的七个数据中，第四个数160为这组数据的中位数.故选：D.4.某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的主视图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三视图的相关概念分析即可.【详解】由题意可知从前方看第一排有3个正方体，且从左到右依次有2个、1个，第二排有1个正方体在左侧，故A 正确.故选：A5.已知点()13,A y -，()2,3B -，()21,C y -，()32,D y 都在反比例函数k y x=0k ≠）的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A.213y y y << B.312y y y <<C.231y y y << D.132y y y <<【答案】B【解析】【分析】首先代入点B 的坐标，得到函数的解析式，再代入其他点的坐标，即可判断.【详解】将点()2,3B -代入反比例函数32k =-，得6k =-，即反比例函数的解析式是6y x -=，将点,,A C D 的坐标代入函数解析式，得12y =，26y =，33y =-，即312y y y <<.故选：B6.如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为E ，F ，则PE PF +的值为（）A.125 B.245 C.5 D.285【答案】B【解析】【分析】连接OP ，利用勾股定理列式求出BD ，再根据矩形的对角线相等且相互平分求出,OA OD ，然后根据AOD AOP DOP S S S =+△△△列式求解即可.【详解】如图，连接OP ，四边形ABCD 为矩形，6AB =，8AD =，10BD ∴===，11052OA OD ∴==⨯=，AOD AOP DOP S S S =+ ，11112222AD AB AO PE OD PF ∴⨯⨯=⨯⋅+⨯⋅，111168552222PE PF ∴⨯⨯⨯=⨯⋅+⨯⋅，解得245PE PF +=，故选：B.7.如图，在ABCD 中，2AB =，3AD =，60ABC ∠= ，在AB 和AD 上分别截取()AE AE AB <，AF ，使AE AF =，分别以,E F 为圆心，以大于12EF 的长为半径作弧，两弧在DAB ∠内交于点G ，作射线AG 交BC 于点H ，连接DH ，分别以,D H 为圆心，以大于12DH 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 交CD 于点K ，则CK 的长为（）A.34 B.23 C.35 D.12【答案】C【解析】【分析】利用角平分线、垂直平分线的作法与性质确定相应线段长度，利用全等三角形、相似三角形的判定与性质计算即可.【详解】如图所示，设直线MN 分别交直线,,BC AD HD 于,,P Q S ，作HR AD ⊥，垂足为R ，根据题意易知,AG MN 分别为BAD ∠的角平分线，线段DH 的垂直平分线，所以60BAH ABC ∠=∠= ，所以ABH 为正三角形，则2,1,2,AH BH AR CH DR HR ======，所以2DH SD ==，而3tan 2QS ADH SD ∠==，则217,44QS DQ ==，易证HSP DSQ ≅ ，故73,44DQ HP CP HP CH ===-=，易知CKP DKQ ，故372CP CK CK QD KD CK =⇒=-，解之得35CK =.故选：C 8.如图，抛物线24y x x =-+，顶点为A ，抛物线与x 轴正半轴的交点为B ，连接AB ，C 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），过点C 作//CD AB 交y 轴于点D ，连接AD 交抛物线于点E ，连接OE 交CD 于点F ，若34DOF DEF S S =△△，则点C 的横坐标为（）A.43 B.65 C.76 D.87【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出点,A B 坐标，设点0(,0)C x 并表示点,,D E F 的坐标，再利用三角形面积关系列式计算即得.【详解】抛物线2(2)4y x =--+的顶点(2,4)A ，由0,0y x =>，得4x =，即点(4,0)B ，设直线AB 方程为y kx b =+，由4204k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得2,8k b =-=，则直线:28AB y x =-+，设点00(,0),04C x x <<，由//CD AB ，设直线CD 方程为2y x c =-+，由0x x =，得02c x =，由0x =，得02y c x ==，即点0(0,2)D x ，直线0:22CD y x x =-+，设直线AD 的方程为y mx n =+，则0242x n m n=⎧⎨=+⎩，解得002,2m x n x =-=，即直线00:(2)2AD y x x x =-+，由002(2)24y x x x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，解得02004x x y x x =⎧⎨=-+⎩，即点2000(,4)E x x x -+，显然DOE DOC S S = ，由34DOF DEF S S =△△，得37DOF DOE S S = ，则37DOF DOC S S = ，因此点0038(,)77F x x ，由37DOF DOE S S = ，得||3||7OF OE =，因此020083747x x x =-+，解得043x =，所以点C 的横坐标为43.故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y （km ）与时间x （h ）的关系，则（）A.小明家与图书馆的距离为2kmB.小明的匀速步行速度是3km/hC.小明在图书馆查阅资料的时间为1.5hD.小明与小亮交谈的时间为0.4h【答案】AD【解析】【分析】由图象可判断A 选项；结合图象可求小明的匀速步行速度，可判断B 选项；通过计算点C 到D 所需的时间，可判断C 选项；通过计算点E 到F 所需的时间，可判断D 选项.【详解】对于A ：由图象可知小明家与图书馆的距离为2km ，故A 正确；对于B ：因为小明沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，所以小明的匀速步行速度是()24km /h 0.5=，故B 错误；对于C ：小明返回的路上走()20.8 1.2km -=后遇到小亮，则走1.2km 所需的时间为()1.20.3h 4=，所以小明在图书馆查阅资料的时间为()2.60.50.3 1.8h --=，故C 错误；对于D ：走0.8km 所需的时间为()0.80.2h 4=，所以小明与小亮交谈的时间为()3.2 2.60.20.4h --=，故D 正确.故选：AD.10.如图，点B 在线段AD 上，分别以线段AB 和线段BD 为边在线段AD 的同侧作等边三角形ABC 和等边三角形BDE ，连接AE ，AE 与BC 相交于点G ，连接CD ，CD 与AE ，BE 分别相交于点F ，H ，连接BF ，GH ，则（）A.//GH ADB.FB 平分GFH ∠C.GE BD= D.ABE CBD≅△△【答案】ABD【解析】【分析】结合图形和题设条件，易得ABE CBD ≅△△，可推得D 项；由此得到ABE CBD ∠=∠，可证GBE HBD ≅ ，可得GB HB =，从而得到正三角形BGH ，由60GHB HBD ∠==∠ 易得A 正确；再由全等三角形的对应边上的高相等，易得点B 到AFD ∠的两边距离相等，故得B 项正确；对于C 项，可采用反向推理，假设结论正确，经过推理产生矛盾，即得原命题不成立，排除C 项.【详解】因ABC V 和BFD △都是正三角形，故,,60AB BC BE BD ABC EBD ==∠=∠= ，则ABC CBE FBD CBE ∠+∠=∠+∠,即ABE CBD ∠=∠，由AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩可得ABE CBD ≅△△，故D 正确；由ABE CBD ≅△△可得，AEB CDB ∠=∠,因18026060CBE ∠=-⨯= ，由GBE HBD BE BD GEB HDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩可得，GBE HBD ≅ ,则有GB HB =，故BGH V 为正三角形，则60GHB HBD ∠==∠ ,故//GH AD ，即A正确；如图，分别作,BM AE BN CD ⊥⊥,垂足分别是,M N ，由上知，ABE CBD ≅△△，故BM BN =，由角平分线的性质定理，可得FB 平分GFH ∠，故B 正确；对于C 项，假设GE BD =，则GE BE =,故60EGB EBG ∠=∠= ，而在ACG 中，60,60ACG CAG CAB ∠=∠<∠= ,故60CGA EGB ∠=∠>产生矛盾，故假设不成立，即C 错误.故选：ABD .11.如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4BC =，动点D 从点A 开始沿AB 边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E 从点B 开始沿BC 边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE ，F 为DE 中点，连接AF ，CF ，设时间为t （s ），2DE 为y ，y 关于t 的函数图象如图2所示，则（）A.当1t =时， 2.5DE = B.2AB =C.DE 有最小值，最小值为2 D.AF CF +【答案】BD【解析】【分析】设AB a =，列出y 关于t 的函数式，结合图2，列方程求出a 的值，判断B 项，继而代值检验A 项；利用二次函数的图象性质，即可得到DE 的最小值，判断C 项；最后通过建系，将AF CF +转化为14+，利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值.【详解】设AB a =，则0.5,0.5,0.5AD t BD a t BE t ==-=，则22222(0.5)(0.5)0.5y DE a t t t at a ==-+=-+（*），由图2知，函数220.5y t at a =-+经过点(1,2.5)，整理得，220a a --=，解得2a =或1a =-（舍去），故B 正确；由B 项知，20.524y t t =-+，当1t =时，0.524 2.5y =-+=，即2 2.5DE =,故A 错误；对于C ，由题意易得，04t ≤≤，由220.524=0.5(2)2y t t t =-+-+可得，当2t =时，min 2y =，即DE 故C 错误；对于D ，如图，以点B 为原点,,OA OC 所在直线分别为,x y 轴建立直角坐标系.则(2,0),(0,4),(20.5,0),(0,0.5)A C D t E t -，因F 为DE 中点，故11(1,)44F t t -，于是AF CF +=+14=+结合此式特点，设(,),(4,0),(4,16)P t t M N -,则1()4AF CF PM PN +=+,作出图形如下.作出点(4,0)M -关于直线y x =的对称点1(0,4)M -，连接1M N ,交直线y x =于点P ，则点P 即为使PM PN +取得最小值的点.(理由：可在直线y x =上任取点(,)P t t '''，利用对称性特点，即可证明P M P N PM PN ''+>+,即得)，此时22min 1()4(164)426PM PN M N +==++=即AF CF +的最小值为26.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系中有五个点，分别是()1,3A ，()3,4B -，()2,3C --，()4,3D ，()3,5E -，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是______.【答案】25##0.4【解析】【分析】利用概率公式求解即可求得答案.【详解】五个点中在第一象限的点有A 和D 两个，从中任选一个点共有5种等可能的结果，这个点恰好在第一象限有2种结果，所以从中任选一个点恰好在第一象限的概率是25.故答案为：25.13.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AB =，ABC V 的周长为14，则AB 边上的高为________.【答案】73##123【解析】【分析】利用勾股定理和完全平方公式以及三角形面积可得结果.【详解】根据题意可设,BC a AC b ==，所以146BC C AB A a b =++++=，可得8a b +=，又90ACB ∠=︒，利用勾股定理可得222226BC AC a b ++==；可得2236a b +=；所以()222228236a b a b ab ab +=+-=-=，即14ab =；设AB 边上的高为h ，由三角形面积可得6ab AB h h =⋅=，解得14763h ==.故答案为：7314.如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，6AD =，E 为AD 中点，F 为边CD 上一点，连接EF ，将DEF 沿EF 翻折，点D 的对应点为D ¢，G 为边BC 上一点，连接AG ，将ABG 沿AG 翻折，点B 的对应点恰好也为D ¢，则BG =________.【答案】6-【解析】【分析】过D ¢作SU AD ⊥，交AD 于S ，交BC 于U ，过E 作EH AD '⊥，利用等积法可求3D S '=，再根据Rt D GU '△可求BG 的长度.【详解】由题设3,4AE D E AD AB ==='='，过D ¢作SU AD ⊥，交AD 于S ，交BC 于U ，过E 作EH AD '⊥，则2AH HD ='=，则EH ==，故1122AD AE D S '=⨯'，所以3D S '=，故83AS ==，故83BU =，设BG x =，则D G x '=，故222845433x x ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故6x =-故答案为：6-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.先化简再求值：（1）求22111244x x x x x x x ---÷+--+的值，其中3x =；（2）求222x y y x y x y x y---+-的值，其中2x y =.【答案】（1）12（2）43【解析】【分析】（1）先因式分解进行化简，进而代入3x =即可求解；（2）先同分母进行化简并转化x y 的表达式，进而代入2x y=即可求解.【小问1详解】()()()2222111=12441211x x x x x x x x x x x x x x -----÷-⋅+--++--+121x x x x --++=()21x x x --=+21x =+.即3x =代入可得21312=+.【小问2详解】()()()()222222x x y y x y x y y y x y x y x y x y x y x y +----=--+--+-22222x xy xy y y x y +-+-=-222x x y =-221x y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭.即2x y =代入可得2224213=-.16.某超市销售,A B 两种品牌的牛奶，购买3箱A 种品牌的牛奶和2箱B 种品牌的牛奶共需285元；购买2箱A 种品牌的牛奶和5箱B 种品牌的牛奶共需410元.（1）求A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？（2）若某公司购买,A B 两种品牌的牛奶共20箱，且A 种品牌牛奶的数量至少比B 种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B 种品牌牛奶的3倍，购买,A B 两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？【答案】（1）A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.（2）最小费用为12005151125-⨯=（元），此时购买,A B 两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.【解析】【分析】（1）设A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是,x y 元，根据题设列方程组后可求各自的单价；（2）购买A 品牌的牛奶a 箱，则购买总费用12005C a =-，由题设条件可得a 可为13,14,15中的某个数，故可求最小费用及相应的箱数.【小问1详解】设A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是,x y 元，则3228525410x y x y +=⎧⎨+=⎩，故5560x y =⎧⎨=⎩.故A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.【小问2详解】设购买A 品牌的牛奶a 箱，则购买B 品牌的牛奶20a -箱，此时总费用()55602012005C a a a =+-=-，而()206320a a a a ≥-+⎧⎨≤-⎩，故1315a ≤≤，而a 为整数，故a 可为13,14,15中的某个数，故C 的最小费用为12005151125-⨯=（元），此时购买,A B 两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.17.如图，在O 中，AB 是直径，点C 是O 上一点，9AC =，3BC =，点E 在AB 上，2AE BE =，连接CE 并延长交O 于点D ，连接AD ，AF CD ⊥，垂足为F .（1）求证：ADF ABC △△；（2）求DF 的长.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角可判断90AFD ACB ︒∠=∠=，再利用同弧所对的圆周角相等，可得ADF ABC ∠=∠，从而证明ADF ABC △△；（2）在Rt ABC △中，求出tan 3ABC ∠=，AB =利用tan tan 3ABC ADF ∠=∠=，设DF x =，把Rt ADF 的三边表示出来，再利用CBE ADE 求出103DE x =，最后在Rt AEF 中求出x 的值，也即是DF 的长.【小问1详解】AB 是O 的直径，BC AB ∴⊥，90AFD ACB ︒∴∠=∠=，又ADF ABC ∠=∠ ,ADF ABC ∴ .【小问2详解】在Rt ABC △中，9tan 33AC ABC BC ∠===，AB ==又2AE BE =，则AE =BE =，又ABC ADF ∠=∠，tan tan 3ABC ADF ∴∠=∠=，在Rt ADF 中，设DF x =，则3AF x =，故AD ==，又CEB AED ∠=∠，CBE ADE ∴ ，BC BE DA DE ∴=10DE=，解得103DE x =，10733EF DE DF x x x ∴=-=-=，在Rt AEF 中，222AF EF AE +=，即()(222733x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得x =，即DF =.18.已知抛物线223y mx mx =--（0m >），根据以上材料解答下列问题：（1）若该抛物线经过点(3,0)A ，求m 的值；（2）在（1）的条件下，B ，C 为该抛物线上两点，线段BC 的中点为D ，若点(2,1)D ，求直线BC 的表达式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线BC 的表达式为：y kx b =+，(,),(,)B B C C B x y C x y ，则有223B B B y mx mx =--①，223C C C y mx mx =--②.①-②得：()()()()()2222B C B C B C B C B C B C y y m x x m x x m x x x x m x x -=---=+---，两边同除以()B C x x -，得()2B C B C B Cy y k m x x m x x -==+--……；（3）该抛物线上两点E ，F ，直线EF的表达式为：()2y mx n =+（0n ≥）.(ⅰ).请说明线段EF 的中点在一条定直线1l 上；(ⅱ).将ⅰ中的定直线1l 绕原点O 顺时针旋转45°得到直线2l ，当13x <<时，该抛物线与2l 只有一个交点，求m 的取值范围.【答案】（1）1m =（2）23y x =-（3）ⅰ.线段EF的中点在定直线1:2l x =上；ⅱ.1m ≥或12m =或103m <≤.【解析】【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，计算即得m 的值；（2）按照题中的思路先求出2B C k x x =-+，再由线段BC 的中点为(2,1)D 求得k 的值，利用直线BC 经过点(2,1)D 即可求得直线BC 的表达式；（3）(ⅰ)由22)23y mx n y mx mx ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩消去y ，利用韦达定理即可得到线段EF的中点在定直线1:2l x =上；(ⅱ)根据题意，作出图形，利用平面几何知识即可求得2:5l y x =-；根据函数223y mx mx =--与2:5l y x =-在13x <<时的图象特点，依题意可得34332m m --<-⎧⎨->-⎩，解之即得.【小问1详解】因223y mx mx =--经过点(3,0)A ，则9306m m --=，解得，1m =；【小问2详解】1m =时，2223(1)4y x x x =--=--，设直线BC 的表达式为：y kx b =+，(,),(,)B B C C B x y C x y ,则223B B B y mx mx =--①，223C C C y mx mx =--②.由①-②：222((2))()B C B C B C B C B C y y x x x x x x x x -=---=--+，两边同除以()B C x x -，则2B C B C B Cy y k x x x x -=+--=，因线段BC 的中点为(2,1)D ，则22C B x x +=，即2222k =⨯-=，则2y x b =+，将点(2,1)D 代入解得，3b =-，故直线BC 的表达式为：23y x =-；【小问3详解】（i）由22)23y mx n y mx mx ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩消去y，整理得，230mx n ---=，依题意，设(,),(,)E E F F E x y F x y ,EF 的中点为(,)M M M x y ,则E F x x +=22F M E x x x =+=，即线段EF的中点在定直线1:2l x =上；(ⅱ)如图，将定直线1:2l x =绕原点O 顺时针旋转45°得到直线2l ,则点(,0)2A 转到了点1A ,则1522OA OA ==,设点111(,)A x y ，2(,0)B x 则11525525cos45,sin 45,2222x y ===-=-oo 215x ==,即155(,)22A -，(5,0)B ,设2:l y mx n =+，则得，505522m n m n +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得，15m n =⎧⎨=-⎩，即得2:5l y x =-；因抛物线2223(1)3y mx mx m x m =--=---的对称轴为1x =，故该函数在13x <<时，y 随着x 的增大而增大，且1x =时，3y m =--，3x =时，33y m =-，要使抛物线与2:5l y x =-只有一个交点，可分以下种情况讨论：①当抛物线顶点在直线下方时，如上图可得，34332m m --<-⎧⎨->-⎩，解得1m >；②抛物线顶点在直线上，如上图，即1m =时，由2235y x x y x ⎧=--⎨=-⎩，解得1x =或2x =，因13x <<，故符合题意；③抛物线与直线相切，且切点横坐标满足13x <<，如上图，由2235y mx mx y x ⎧=--⎨=-⎩消去y ，可得2(21)20mx m x -++=，由2(21)80m m ∆=+-=解得，12m =，代入方程可得2440x x -+=，解得2x =，符合题意；④如上图，抛物线顶点在直线上方，但在13x <<内只有一个交点，须使34332m m -->-⎧⎨-≤-⎩，又0m >，解得103m <≤.综上可得m 的取值范围为：1m ≥或12m =或103m <≤.19.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒.（1）如图1，在ACE △中，120CAE ∠=︒，2AE AC =，F 是AE 中点，连接BF .若1BC =，求线段BF 的长；（2）如图2，在BCD △中，120BDC ∠=︒，2BD CD =，F 是AB 中点，连接DF ，求BF DF的值；（3）如图3，在CDE 中，120CDE ∠=︒，2DE CD =，E 是AB 中点，F 是AE 中点，连接BD ，DF ，求DF BD的值.【答案】（17（221（3）32【解析】【分析】（1）由90BAF ∠=︒，2AB =，3AF =，可求BF 的长；（2）将BCD △绕点C 顺时针旋转60︒得FCD '△，证明,,B D D '三点共线，FD BD '⊥，设1CD DD '==，勾股定理求出FD 和BF 即可；（3）将CDE 绕点C 顺时针旋转60︒，得CD B '△，证明,,B D D '三点共线，ED BD '⊥，//ED FD '，设1CD =，求出BD 和FD 即可.【小问1详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒.若1BC =，则2AB =，AC =，如图1，在ACE △中，120CAE ∠=︒，由30BAC ∠=︒，得90BAF ∠=︒2AE AC =，F 是AE 中点，则AF AC ==Rt ABF中，BF ==.【小问2详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，F 是AB 中点，连接FC ，则BFC △为等边三角形，如图所示，将BCD △绕点C 顺时针旋转60︒，得FCD '△，CD CD '=，60DCD '∠=︒，则CDD '△为等边三角形，60CDD '∠=︒，又120BDC ∠=︒，则,,B D D '三点共线，120FD C BDC '∠=∠=︒，60CD D '∠=︒，则60FD D '∠=︒，2BD CD =，则2FD D D ''=，FDD '△中，60FD D '∠=︒，2FD D D ''=，H 为FD '中点，连接DH ，则有DD HD ''=，DHD ' 为等边三角形，DH FH HD '==，60DHD ︒'∠=，30HFD HDF =︒∠=∠，所以FDD '△为直角三角形，FD BD '⊥，不妨设1CD DD '==，则2FD BD '==，223FD FD D D ''=-=227BF FD BD =+=所以72133BF DF ==；【小问3详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，CDE 中，120CDE ∠=︒，2DE CD =，E 是AB 中点，F 是AE 中点，将CDE 绕点C 逆时针旋转60︒，得CD B '△，如图所示，由（2）同理可得CDD '△为等边三角形，,,B D D '三点共线，ED BD '⊥，由2DE CD =，有2BD D D ''=，又2BE EF =，则有//ED FD '，得FD BD ⊥，不妨设1CD DD CD ''===，则2BD ED '==，3BD =。
