2021版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示课件理北师大版

概念方法微思考
1.分段函数f(x)的对应关系用两个式子表示，那么f(x)是两个函数吗？ 提示 分段函数是一个函数. 2.请你概括一下求函数定义域的类型. 提示 (1)分式型；(2)根式型；(3)指数式型、对数式型；(4)三角函数型.
3.请思考以下常见函数的值域：
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R . (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为
(2)已知 f x2＋x12＝x4＋x14，求 f(x)的解析式； 解 (配凑法)∵f x2＋x12＝x2＋x122－2，
§2.1 函数及其表示
最新考纲
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
考情考向分析
以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数建模是 高考热点，题型以选择、填空题为主，中等难度.
函数记法
函数y＝f (x)，x∈A
2.函数的三要素 (1)定义域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域 . (2)值域 与x的值相对应的y值叫做 函数值 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 . (3)对应关系f：A→B. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、 图象法 和 列表法 . 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的式子 来表示，这种函数称为分段函数.
(1)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( × ) (3)已知f(x)＝5(x∈R)，则f(x2)＝25.( × ) (4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点.( √ )

第二章 函数的概念与基本初等 函数(Ⅰ)
第一节 函数及其表示
栏
课 前 ·基 础 巩 固 1
目
导
课 堂 ·考 点 突 破 2
航
3 课 时 ·跟 踪 检 测
[最新考纲]
[考情分析]
1.了解构成函数的要素，会求一些
简单函数的定义域和值域，了解
以基本初等函数为载体，考
映射的概念.
查函数的表示法、定义域；分段
4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因 16 _对__应__关__系__不同而分别用几个不同的式子 来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 17 __并__集_____，其值域等于各段函数 的值域的 18 ___并__集____，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
6．已知函数 f(x)＝ax3－2x 的图象过点(－1，4)，则 a＝________． 解析：由题意知点(－1，4)在函数 f(x)＝ax3－2x 的图象上，所以 4＝－a＋2，则 a＝ －2. 答案：－2
2
课 堂 ·考 点 突 破
考点 函数的概念
|题组突破| 1．若函数 y＝f(x)的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝{y|0≤y≤2}，则函数 y ＝f(x)的图象可能是( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
二、走进教材 2．(必修 1P74A 组 T7(2)改编)函数 f(x)＝ x＋3＋log2(6－x)的定义域是________． 答案：[－3，6)
3．(必修 1P25B 组 T1改编)函数 y＝f(x)的图象如图所示，那么 f(x)的定义域是________； 值域是________，其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是________．

π4＝1.
答案：1
12/11/2021
第二十七页，共三十六页。
角度二：求参数或自变量的值与范围
1 2．已知 f(x)＝x|si2n，x|x，∈x[∈0，－＋π2∞，0，，
若 f(a)＝12，则 a＝
________.
1
解析：若 a≥0，由 f(a)＝12得，a 2 ＝12，解得 a＝14；
若 a＜0，则|sin a|＝12，a∈－π2，0，
12/11/2021
第十七页，共三十六页。
4．(2018·南京师范大学附中模拟)函数 f(x)＝ 的定义域是________．
log 1 2x－3
2
解析：由题意得 log 1 (2x－3)≥0⇒0＜2x－3≤1⇒32＜x≤2， 2
即函数 f(x)的定义域是32，2.
答案：32，2
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又 x＞0，所以 t＞1，
故 f(x)的解析式是 12/11/2021
f(x)＝lgx－2 1，x＞1.
第二十一页，共三十六页。
(4)已知函数 f(x)满足 f(－x)＋2f(x)＝2x，求 f(x)的解析式；
解：(解方程组法)由 f(－x)＋2f(x)＝2x，
①
得 f(x)＋2f(－x)＝2－x，
所12/以11/20f21(y)＝y2＋y＋1，即 f(x)＝x2＋x＋1.
第二十二页，共三十六页。
[由题悟法] 求函数解析式的 5 种方法
配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式， 然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式
换元法
对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝ φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式， 要注意新元的取值范围

12/8/2021
第二十八页，共三十八页。
即3a＋ a＋bb＝＝－0.1， 所以 a＝12，b＝－23. 所以 f(x)＝21x2－32x＋2. 答案：12x2－32x＋2
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第二十九页，共三十八页。
考点四 分段函数
已知函数 f(x)＝f3（x，x＋ x>12），，x≤2，则 f(log32)的值为
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第十九页，共三十八页。
2．已知函数 f(x－1)的定义域为{x|－1<x<2}，则函数 fx＋1的 定义域为__________． 解析：因为函数 f(x－1)的定义域为{x|－1<x<2}， 所以－2<x－1<1. 即函数 f(x)的定义域为{x|－2<x<1}． 所以－1<x＋1<2， 所以 f(x＋1)的定义域为{x|－1<x<2}． 答案：{x|－1<x<2}
A．y＝xx2
B．y＝2log2x
C．y＝ x2
D．y＝(3 x)3
解析：选 D.y＝x 的定义域为{x|x∈R}，而 y＝xx2的定义域为
{x|x∈R 且 x≠0}，y＝2log2x 的定义域为{x|x∈R，且 x＞0}，排
除 A、B；y＝ x2＝|x|的定义域为{x|x∈R}，对应关系与 y＝x
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【对点通关】 (必修 1 P25B 组 T2 改编)若函数 y＝f(x)的定义域为 M＝{x|－ 2≤x≤2}，值域为 N＝{y|0≤y≤2}，则函数 y＝f(x)的图象可能 是( )
解析：选 B.A 中，定义域为[－2，0]；C 不是函数图象；D 中 函数值域不为[0，2]．故选 B.

理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ
C方法帮∙素养大提升
方法 分类讨论思想在函数中的应用
方法 分类讨论思想在函数中的应用
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
素养提升 当自变量不确定时,要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作值域. 定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素.
说明 若两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数 是相同函数.
理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ
3.函数的表示法 函数的表示法有三种,分别为解析法、列表法和图象法.
注意 函数图象的特征:与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用 这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.
注意 (1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围,而不是g(x)的取值 范围; (2)求函数的定义域时,对函数解析式先不要化简; (3)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式;
归纳总结 y=f(x)的定义域的类型及方法
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
注意 (1)分式中,分母不为0; (2)偶次方根中,被开方数非负;
示例3 已知二次函数f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)=
.
思维导引 已知复合函数f(g(x))求f(x),可用换元法或配凑法求解.由于f(x)
是二次函数,也可采用待定系数法求解.
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
方法总结
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
考点2 分段函数（重点）

解：对于 A，f(x)＝ x2＝|x|，g(x)＝3 x3＝x，它们的值域和对 应关系都不同，所以不是同一函数；对于 B，函数 f(x)的定义域 为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而 g(x)的定义域为 R，所以不是同一函 数；对于 C，当 n∈N*时，2n±1 为奇数，则 f(x)＝2n＋1 x2n＋1＝ x，g(x)＝(2n－1 x)2n－1＝x，它们的定义域、对应关系都相同，所 以是同一函数；对于 D，f(x)的定义域为[0，＋∞)，而 g(x)的定义 域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以不是同一 函数．故选 C.
则 f( － 2) ＋
f(log212)＝( ) A．3
B．6
C．9
D．12
解：由条件得 f(－2)＝1＋log24＝3，因 为 log212>1，所以 f(log212)＝2log212－1＝ 2log26＝6，故 f(－2)＋f(log212)＝9.故选 C.
下列各图表示两个变量 x，y 的对应关系，则下列判断正确的是( )
7．复合函数 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复 合函数，记作 y＝f(g(x))，其中 y＝f(u)叫做复合函数 y＝f(g(x))的外 层函数，u＝g(x)叫做 y＝f(g(x))的内层函数．
∴函数值域为(－1，1]．
解法二：(分离常数法) ∵y＝11－＋xx22＝－1＋1＋2 x2， 又∵1＋x2≥1，∴0＜1＋2 x2≤2，∴－1＜－1＋x2＋2 1≤1，
∴函数的值域为(－1，1]．
类型四 求函数的值域
求下列函数的值域：
(1)y＝11＋－xx22；

x－1
√ A.(1,2)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.(4,5)
解析 函数f(x)＝ln x－x－2 1在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续. 因为f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>0，所以f(2)f(3)<0， 所以函数的零点所在的区间是(2,3).
2.若a<b<c，则函数f (x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零
4.若函数f (x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是 _(_－__∞__，__4_)_.
题组三 易错自纠
5.已知函数f(x)＝x－ x (x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，
x2，x3，则 A.x1<x2<x3
B.x2<x1<x3
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × )
(2)函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)·f (b)<0.
(×) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
(4)f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f (x)<g(x).
(√ )
题组二 教材改编
2.函数f(x)＝ln x－2 的零点所在的大致区间是 x
√ A.(1,2)
B.(2,3)
C. 1e，1 和(3,4)

,
4ac-b2 4a
.
(3)y= k (k≠0)的值域是{y|y≠0}.
x
(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点. (✕) (2)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一函数. ( √ ) (3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数. (✕) (4)若A=R,B={x|x>0}, f:x→y=|x|,则对应关系f是从A到B的映射. (✕) (5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集. (√) (6)对于函数f:A→B,其值域是集合B. (✕)
(5)y=tan
x的定义域为 x
x
R且x
kπ
π 2
,k
Z.
(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.
2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为
4ac-b 4a
2
,
,当a<0时,值域为
-
ax2 -4ax 2
.
答案
0,
1 2
解析 由题意得ax2-4ax+2>0恒成立,
则a=0或
a
Δ
0, (-4a
)2
-4
a
2
0,
解得0≤a< 1 .
2
命题方向二 抽象函数的定义域
典例4 (1)已知函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是 ( C )

结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
考纲下载
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．

A．－1
B．14
C．12
D．32
[解析] ∵f(－2)＝2－2＝14，
∴f[f(－2)]＝f(14)＝1－ 14＝12，故选 C．
考点突破 • 互动探究
考点一 函数的概念及表示 考向1 函数与映射的概念——自主练透
例 1 (1)下列对应是否是从集合 A 到 B 的映射，能否构成函数？ ①A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4. ②A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y2＝4x. ③A＝N，B＝Q，f：x→y＝x12. ④A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0,150]，f：每个同学与其高考数学的分数相 对应．
[1,2)∪(4,5]
题组三 考题再现 5．(2019·江苏，5 分)函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是____[_－__1_,7_]_______.
[解析] 要使函数有意义，则 7＋6x－x2>0，解得2015·陕西，5 分)设 f(x)＝12－ x，xx<，0，x≥0， 则 f[f(－2)]＝( C )
合A到集合B的一个函数
到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
• 2.函数 • (1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射． • (2)函数的三要素：___定_义__域__、__值__域__、__对_应__法__则_____. • (3)函数的表示法：___解__析_法__、__图__象__法__、_列__表__法_____. • (同4)．两个函数只有当___定__义__域__和__对__应__法_则____都分别相同时，这两个函数才相 • 知识点二 分段函数及应用 • 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关