《导数》复习题二

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −22.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为()A. 2B. −5C. −1D. −23.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=()A. 1B. 12C. −12D. −14.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A. 4x-y=0B. 4x-y-4=0C. 2x-y-2=0D. 4x-y=0或4x-y-4=05.（5分）若函数f(x)=1x−3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= ()A. −1B. 1C. −712D. −536.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=()A. 13B. 12C. 23D. 347.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( )A. -0.3B. 0.6C. -0.6D. 0.38.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为A. B. C. D.9.（5分）曲线y=12x2−2x在点(1,−32)处的切线的倾斜角为()A. −135°B. 45°C. −45°D. 135°10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A. 2B. 12C. −12D. −211.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为()A. y=xB. y=−xC. y=2xD. y=−2x12.（5分）物体运动方程为s=14t4−3，则t=5时的瞬时速率为()A. 5m/sB. 25m/sC. 125m/sD. 625m/s二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．14.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>0，且f(f(x)−e x)=e+1，若f(x)⩾ax−a+1恒成立，则实数的取值范围是____________.15.（5分）如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为____．16.（5分）已知函数f(x)={1x,x∈(0,2]f(x−2),x∈(2,+∞)，则f(x)在x=3处的切线方程为______．17.（5分）若函数f(x)=−x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于−1，则Δx的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=x2−2x−alnx+ax，a∈R.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设f(x)的极小值点为x0，且f(x0)<a−a24，求a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=ln x−ax，其中a为非零常数．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为−1，求f(x)的极值．20.（12分）已知函数f(x)=−x2+x图像上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx)).(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；(2)用导数的定义求函数f(x)=−x2+x在x=2处的导数f′(2)，并求在点A处的切线方程．21.（12分）已知函数y=23x3−2x2+3，(1)求在点(1,53)处的切线方程，(2)求函数在[−1,3]的最值．22.（12分）已知函数f(x)=e x ln x−ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−e x+1平行，求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.23.（12分）已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(ax)+52，a>0．(Ⅰ)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3)，求a的值并讨论ℎ(x)=xf(x)+m(x2+2x−1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调增区间；(Ⅱ)定义：若直线l：y=kx+b与曲线C1：f1(x,y)=0、C2：f2(x,y)=0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，试求实数a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)=√x−ln x，若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则()A.√x1√x2=12B. x1x2<128C. x1+x2<32D. x12+x22>51225.（5分）函数f(x)的导函数为f′(x)，若已知f′(x)的图像如图，则下列说法不正确的是()A. f(x)存在极大值点B. f(x)在(0,+∞)单调递增C. f(x)一定有最小值D. 不等式f(x)<0一定有解26.（5分）关于函数f(x)=a ln x+2x，下列判断正确的是()A. 函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程为(a−2)x−y−a+4=0B. x=2a是函数f(x)的一个极值点C. 当a=1时，f(x)⩾ln2+1D. 当a=−1时，不等式f(2x−1)−f(x)>0的解集为(12,1)27.（5分）已知函数f(x)=ax3+x2+axe x，则()A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0，则函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(2,+∞)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1⩾f(x)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(−∞,e-12]28.（5分）函数f(x)={e x−1,x⩽1,ln(x−1),x>1,若函数g(x)=f(x)−x+a只有一个零点，则a的值可以为()A. 2B. −2C. 0D. 1答案和解析1.【答案】C;【解析】解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C.先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解答该题的关键是正确理解导数的几何意义．2.【答案】B;【解析】解：设切点坐标为P(x0,y0)，由曲线y=f(x)=x3−5x，得f′(x)=3x2−5，所以过原点的切线斜率为k=f′(x0)=3x02−5，所以切线方程为y−y0=(3x02−5)(x−x0)；又切线过原点O(0,0)，所以−x03+5x0=−3x03+5x0，解得x0=0，所以y0=0，则P(0,0)；所以与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为k=f′(0)=−5．故选：B．设切点为(x0,y0)，求出切线l的斜率为f′(x0)，写出切线l的方程，根据且线1过原点求出切点坐标和斜率．该题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：y=ax2的导数为y′=2ax，可得曲线在点P(1,a)处的切线斜率为k=2a，由切线平行于直线y=2x+1，可得k=2，即2a=2，解得a=1，故选：A．求得y=ax2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，解方程可得a的值．该题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D;【解析】曲线y=x 3+x-2求导可得y′=3x 2+1 设切点为(a ，b)则3a 2+1=4，解得a=1或a=-1 切点为(1，0)或(-1，-4)与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的 直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0 故选D 。

3D f'(3)e B．e+e eD．06．已知函数f(x)=，则该函数的导函数f'(x)=8．若函数f(x)＝a sin x＋cos x在x＝处有最值，那么a等于()A.B．－ C.D．－9．函数y＝x－sin x，x∈⎣2，π⎦的最大值是()A．π－1 B.－1C．πD．π＋1则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”，已知f(x)=-x3+x2在(1,4)上为“凸x2x2x28D．(函数与导数期末复习题一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1.已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定2．已知函数f(x)在x=1处存在导数，则lim∆x→0f(1+∆x)-f(1)3∆x=A．f'(1)B．3f'(1)C．1f'(1)3．已知曲线y＝2ax2＋1过点(a，3)，则该曲线在该点处的切线方程为() A．y＝－4x－1B．y＝4x－1C．y＝4x－11D．y＝－4x＋7 4．已知f(x)=e-x+e x的导函数为f'(x)，则f'(1)=A．e-111C．1+5．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是() A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)x2+sin xx2x+cos x x2+x cos x-sin x2x+x cos x-sin xA．B．C．D．2x-cos x7．已知a>0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为() A．1B．2C．3D．41π3333333366⎡π⎤π210.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个11．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x)，f'(x)在(a,b)上的导函数记为f''(x)，若在(a,b)上f''(x)<0恒成立，x4t3432函数”，则实数t的取值范围是A．[3,+∞)B．(3,+∞)C．[51,+∞)518,+∞)13．已知函数 y ＝f (x )的图象在点 M (1，f (1))处的切线方程是 y ＝ x ＋2，则 f (1)＋f ′(1)＝ 倾斜角均为 π，有以下命题：17．若函数 f (x )＝ x 3－ ax 2＋(a －1)x ＋1 在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函 18．已知函数 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在 x ＝－ 与 x ＝1 时都取得极值．12．已知点 P 为函数 f ( x ) =12x 2 + 2ax 与 g ( x ) = 3a 2 ln x + 2b (a > 0) 图象的公共点，若以P 为切点可作直线 l 与两曲线都相切，则实数 b 的最大值为2 3 A ． e 433 34 2 B ． e 4 C ． e 32 3 3 2 D ． e 34二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)1214．设函数 f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于 x ∈[－1，1]，都有 f (x )≥0，则实数 a 的值为15. f （x ）=ax 3﹣x 2+x +2， ，∀ x 1∈（0，1]，∀ x 2∈（0，1]，使得 f （x 1）≥g （x 2），则实数 a 的取值范围是．16．已知函数 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在 x ＝±1 处的切线的34①f (x )的解析式为 f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．②f (x )的极值点有且只有一个． ③f (x )的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)1 1 3 2数，试求实数 a 的取值范围．23(1)求 a ，b 的值与函数 f (x )的单调区间；(2)若对 x ∈[－1,2]，不等式 f (x )<c 2 恒成立，求 c 的取值范围．19.一个圆柱形圆木的底面半径为 1 m ，长为 10 m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．如(2)求证：当 x ∈(1，＋∞)时，函数 f (x )的图象在 g (x )＝ x 3＋ x 2的下方．图所示，现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD ，其中 O 为圆心， C ， D 在半圆上，设 ∠BOC = θ ，木梁的体积为 V （单位：m 3），表面积为 S （单位：m 2）．（1）求V 关于θ 的函数表达式；（2）求θ 的值，使体积V 最大，并判断此时表面积 S 是否也最大．20．已知函数 f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数 f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；2 13 221.设 a 为实数，函数 f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .时，求函数 f ( x ) 在区间 [ , e] 上的最值；(1)求 f (x )的单调区间与极值； (2)求证：当 a >ln 2－1 且 x >0 时，e x >x 2－2ax ＋1.22．已知函数 f ( x ) = a ln x +a + 12x 2 + 1 ．（1）当 a = - 1 12 e（2）讨论 f ( x ) 的单调性；（3）当 -1 < a < 0 时， f ( x ) > 1 +a 2ln( -a ) 恒成立，求实数 a 的取值范围．参考答案，∴k ＝y ′|x ＝－1＝ (x ＋2)2 (x ＋2)2 (－1＋2)2 8．A [f ′(x )＝a cos x － sin x ，由题意 f ′⎝3⎭＝0，即 a · － × ＝0，∴a ＝ .] 9．C [y ′＝1－cos x ≥0，所以 y ＝x －sin x 在⎣2，π⎦上为增函数．∴当 x ＝π 时，y max ＝π.] (1－x )2 (1－x )2 (1－x )2 所以 g (x )在区间⎝0，2⎭上单调递增，在区间⎝2，1⎦上单调递减，因此 g (x )max ＝g ⎝2⎭＝4，从而 a ≥4；当 x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0 可转化为 a ≤ 2－f ( x 4 15. 解析 设 CD ＝x ，则点 C 坐标为⎝2，0⎭.点 B 坐标为⎝2，1－⎝2⎭2⎭，∴矩形 ABCD 的面积 S ＝f (x )＝x · ⎣1－⎝2⎭2⎦＝－ ＋x (x ∈(0,2))．x 4由 f ′(x )＝－ x 2＋1＝0，得 x 1＝－ (舍)，x 2＝ ，∴x ∈⎝0， 2 ⎫3⎭ ⎛ 2 ，2⎫时，f ′(x )<0，f (x )是递减的，当 x ＝ 的，x ∈⎝ 3 ⎭ 3 时，f (x )取最大值 .16．①③解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得 f (0)＝0，f ′(－1)＝f ′(1)＝tan ＝－1.1．B [f ′ x A )和 f ′ x B )分别表示函数图象在点 A 、B 处的切线斜率，故 f ′ x A )<f ′ x B )．] 2．B [物体的初速度即为 t ＝0 时物体的瞬时速度，即函数 s (t )在 t ＝0 处的导数．s ′(0)＝s ′|t ＝0＝(3－2t )|t ＝0＝3.]3．B [∵曲线过点( a ，3)，∴3＝2a 2＋1，∴a ＝1，∴切点为(1,3)．由导数定义可得 y ′＝4ax ＝4x ， ∴该点处切线斜率为 k ＝4，∴切线方程为 y －3＝4(x －1)，即 y ＝4x －1.] 4．B5．B [f ′(x )＝3x 2＋a .令 3x 2＋a ≥0，则 a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3.]x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′ 2 2 6．A [∵y ′＝ ＝ ＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即 y ＝2x ＋1.] 7．C1 ⎛π⎫ 1 1 3 3 323 2 3⎡π ⎤ 10．A [由图象看，在图象与 x 轴的交点处左侧 f ′ x )<0，右侧 f ′ x )>0 的点才满足题意，这 样的点只有一个 B 点．]x ′(1－x )－x (1－x )′ 1－x ＋x 111．C [∵f ′(x )＝ ＝ ＝ >0，又 x ≠1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]12．B [由题意知，存款量 g (x )＝kx (k >0)，银行应支付的利息 h (x )＝xg (x )＝kx 2，x ∈(0，0.048)．设银行可获得收益为 y ，则 y ＝0.048kx －kx 2.于是 y ′＝0.048k －2kx ，令 y ′＝0，解得 x ＝0.024，依题意知 y 在 x ＝0.024 处取得最大值．故当存款利率为 0.024 时， 银行可获得最大收益．] 13．314．4 解析 若 x ＝0，则不论 a 取何值，f (x )≥0，显然成立；3 1 3 1 3(1－2x ) 当 x ∈(0,1]时， x )＝ax 3－3x ＋1≥0 可转化为 a ≥x 2－x 3，设 g (x )＝x 2－x 3，则 g ′(x )＝ ， ⎛ 1⎫ ⎛1 ⎤⎛1⎫ 3 x1 x 3，3 1 3(1－2x )设 g (x )＝x 2－x 3，则 g ′(x )＝ ，所以 g (x )在区间[－1,0)上单调递增． 因此 g (x )min ＝g (－1)＝4，从而 a ≤4，综上所述，a ＝4.4 3 ⎛x ⎫ ⎛x ⎛x ⎫ ⎫ 9⎡ ⎛x ⎫ ⎤x 3 43 2 2 ⎛4 3 3时，f ′(x )>0，f (x )是递增2 43 93π4，x 2＝ ， 2 3 ( ，－22 3 2 3 3 33 ∴x ＝－ 是极大值点也是最大值点．x ＝ 是极小值点也是最小值点．∴a ≥ ＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5， ①∴a ≤ ＝x ＋1. 又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7， ②⎛ 2⎫ 12－4a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0 得 a ＝－ ，b ＝－2.f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 令 f ′(x )>0，得 x <－ 或 x >1，令 f ′(x )<0，得－ <x <1.所以函数 f (x )的递增区间是⎝－∞，－3⎭和(1，＋∞)，递减区间是⎝－3，1⎭. ⎛ 2⎫ 22＋c 为极大值， (2)f (x )＝x 3－ x2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，由(1)知，当 x ＝－ 时，f ⎝－3⎭＝后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为 x 台，所以每年的保管费用为 x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为 ·1 600 元，这样每年的总费用为 ·1 600＋ x ·4 000·10%元．0 0⎧⎪c ＝0∴⎨3－2a ＋b ＝－1 ⎪⎩3＋2a ＋b ＝－1，∴a ＝0，b ＝－4，c ＝0.∴f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．故①正确．2 3 2 3由 f ′(x )＝3x 2－4＝0 得 x 1＝－ 3 3.根据 x 1，x 2 分析 f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.(－x( － 2 ，－ － 2 3 2 3） 33 3 2 3 2))2f ′(x )＋ － ＋16 3 － f (x ) 0 0916 3 92 3 2 33 3f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确．17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知 f ′(x )≤0 在(1,4)上恒成立，且 f ′(x )≥0 在(6，＋ ∞)上恒成立．由 f ′(x )≤0 得 x 2－ax ＋a －1≤0，即 x 2－1≤a (x －1)．∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，x 2－1x －1由 f ′(x )≥0 得 x 2－ax ＋a －1≥0，即 x 2－1≥a (x －1)．∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，x 2－1x －1∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验 a ＝5 或 a ＝7 都符合题意，∴所求 a 的取值范围为 5≤a ≤7. 18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由 f ′⎝－3⎭＝9 3122 23 3⎛ 2⎫ ⎛ 2 ⎫1 2 2 3 27而 f (2)＝2＋c ，则 f (2)＝2＋c 为最大值，要使 f (x )<c 2，x ∈[－1,2]恒成立， 则只需要 c 2>f (2)＝2＋c ，得 c <－1 或 c >2.19．解 设每次订购电脑的台数为 x ，则开始库存量为 x 台，经过一个周期的正常均匀销售12125 000x5 000 1x 2(－∞，x 1)(x 1，x 2) (x 2，＋∞)x 1x 2解得 a ≥ .综上，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为 a ≥ .即 a 的取值范围是⎣4，＋∞⎭.4 x ·1 600＋ 00 ln 2 22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋ .∵x >1 时，f ′(x )>0，(2)证明 令 F (x )＝f (x )－g (x )＝ x 2－ x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋ ＝ ＝ ＝ . ∵x >1，∴F ′(x )<0，∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数，∴F (x )<F (1)＝ － ＝－ <0.∴f (x )<g (x )．∴当 x ∈(1，＋∞)时，函数 f (x )的图象在 g (x )＝ x 3＋ x 2的下方．5 000 1 1 1令 y ＝ 2x ·4 000·10%，y ′＝－x 2·5 000·1 600＋2·4 000·10%.令 y ′＝0，解得 x ＝200(台)．也就是当 x ＝200 台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小 值为 80 000 元．20．解 (1)对函数 f (x )求导数，得 f ′(x )＝(x 2－2ax )e x ＋(2x －2a )e x ＝[x 2＋21 －a x －2a ]e x .令 f ′(x )＝0，得[x 2＋21 －a x －2a ]e x ＝0，从而 x 2＋2(1－a )x －2a ＝0. 解得 x 1＝a －1－ 1＋a 2，x 2＝a －1＋ 1＋a 2，其中 x 1<x 2. 当 x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化如下表：xf ′(x )＋－＋f (x )极大值极小值当 f (x )在 x ＝x 1 处取得极大值，在 x ＝x 2 处取到极小值． 当 a ≥0 时，x 1<－1，x 2≥0.f (x )在(x 1，x 2)为减函数，在(x 2，＋∞)为增函数．而当 x <0 时，f (x )＝x (x －2a )e x >0； 当 x ＝0 时，f (x )＝0，所以当 x ＝a －1＋ 1＋a 2时，f (x )取得最小值．(2)当 a ≥0 时，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充要条件是 x 2≥1，即 a －1＋ 1＋a 2≥1，343 ⎡3⎫ 21．(1)解 由 f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知 f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令 f ′(x )＝0，得 x ＝ln 2.于是当 x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 2) (ln 2，＋∞)f ′(x )－ ＋f (x )2(1－ln 2＋a )故 f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在 x ＝ln 2 处取得极小值，极小值为 f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设 g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是 g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当 a >ln 2－1 时，g ′(x )取最小值为 g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意 x ∈R ，都有 g ′(x )>0，所以 g (x )在 R 内单调递增． 于是当 a >ln 2－1 时，对任意 x ∈(0，＋∞)，都有 g (x )>g (0)． 而 g (0)＝0，从而对任意 x ∈(0，＋∞)，都有 g (x )>0， 即 e x －x 2＋2ax －1>0，故 e x >x 2－2ax ＋1.1x ∴f (x )在[1，e]上是增函数，∴f (x )的最小值是 f (1)＝1，最大值是 f (e)＝1＋e 2.1 2 2 31 x 2－2x 3＋1 x 2－x 3－x 3＋1 (1－x )(2x 2＋x ＋1)x x x x1 2 1 2 3 62 13 2。

一、选择题【山东省莱州一中2012届高三第一次质检理】12.已知函数()(R)f x x ∈导函数f ′()x 满足f ′()x <()f x ，则当0a >时，()f a 与(0)a e f 之间的大小关系为（） A.()(0)a f a e f < B.()(0)a f a e f >C.()(0)a f a e f =D.不能确定，与()f x 或a 有关【答案】A【山东滨州2012届高三期中联考理12.函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m 的取值范围为（）A ．（-24,8）B ．（-24,1]C ．[1,8]D ．[1,8）【答案】D【山东济宁梁山二中2012届高三12月月考理】11. 已知函数在区间上是减函数，则的最小值是 A.B.C.2D. 3【答案】C二、解答题【山东省聊城一中2012届高三上学期期中理】21．（本小题满分12分） 函数 （I ）当时，求函数的极值； （II ）设，若，求证：对任意，且，都有. 【答案】21.（本小题满分12分） 解：（1）当时，函数定义域为（）且)(131)(23R b a bx ax x x f ∈+-+=、[-1,3]b a +3223R ,2)1ln()(2∈-++=b x x b x x f 23=b )(x f x x f x g 2)()(+=2≥b ),1(,21+∞-∈x x 21x x ≥)(2)()(2121x x x g x g -≥-23=b ,2)1ln(23)(2x x x x f -++=+∞-,1令，解得或…………………2分当变化时，的变化情况如下表：+_ 0 +增函数 极大值减函数极小值增函数所以当时，， 当时，；……………………6分 （2）因为，所以，因为，所以（当且仅当时等号成立）， 所以在区间上是增函数，……………………10分 从而对任意，当时，，即,所以. …………12分 【山东省临清三中2012届高三12月模拟理】20．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】20．解：（I ）的定义域是．．．．．．．．．．．1分 02)1(232=-++x x 211-=x 212=x x )(),('x f x f x )21,1(--21-)21,21(-21),21(+∞)('x f )(x f 21-=x 2ln 2345)21()(-=-=f x f 极大值21=x 23ln 2343)21()(+-==f x f 极小值x x b x x f 2)1ln()(2-++=)1(122212)('2->+-+=-++=x x b x x b x x f 2≥b 0)('≥x f 0,2==x b )(x f ),1(+∞-),1(,21+∞-∈x x 21x x ≥)()(21x f x f ≥22112)(2)(x x g x x g -≥-)(2)()(2121x x x g x g -≥-14341ln )(-+-=xx x x f )(x f 42)(2-+-=bx x x g )2,0(1∈x []2,12∈x )()(21x g x f ≥b 14341ln )(-+-=xx x x f (0,)+∞．．．．．．．．．．．．．．． 2分由及得；由及得， 故函数的单调递增区间是；单调递减区间是．．．．．4分 （II ）若对任意，，不等式恒成立， 问题等价于，．．．．．．．．．5分由（I ）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以；．．．．．．．6分当时，；当时，；当时，；．．．．．．．．．．．．8分问题等价于或或．．．．．．．．11分解得或或 即，所以实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【山东省聊城市五校2012届高三上学期期末联考】20. （本小题满分12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：880312800013+-=x x y )1200(≤<x .已知甲、乙两地相距100千米.（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？22243443411)(x x x x x x f --=--='0>x 0)(>'x f 31<<x 0>x 0)(<'x f 310><<x x 或)(x f )3,1(),3(,)1,0(∞+)2,0(1∈x []2,12∈x )()(21x g x f ≥max min )()(x g x f ≥(0,2)1x =min 1()(1)2f x f ==-[]2()24,1,2g x x bx x =-+-∈1b <max ()(1)25g x g b ==-12b ≤≤2max ()()4g x g b b ==-2b >max ()(2)48g x g b ==-11252b b <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩212142b b ≤≤⎧⎪⎨-≥-⎪⎩21482b b >⎧⎪⎨-≥-⎪⎩1b <12b ≤≤b ∈∅b ≤b ,⎛-∞ ⎝⎦【答案】20. （I ）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040=2.5小时，[来源:Z§xx§]要耗油(1128000×403－380×40+8)×2.5=17.5（升）.所以，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5.（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=(1128000x 3－380x+8)·100x =11280x 2+800x －154(0＜x ≤120)，h '(x)=232640640800800640xx x x ⋅-=-(0＜x ≤120)，令h '(x)=0得x=80当x ∈(0,80)时，h '(x)＜0,h(x)是减函数；当x ∈(80,120)时，h '(x)＞0,h(x)是增函数,∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【山东省莱州一中2012届高三第一次质检理】19.（本小题满分12分）32()f x x ax bx c =+++在1x =、2x =-处取得极值（1）求a 、b 的值. （2）若[]113,2,()2x f x c ∈->-恒成立，求c 的取值范围. 【答案】19.（1）f ′()x 2320x ax b =++=的两根为1,2-23132623aa b b ⎧-=-⎧⎪=⎪⎪∴∴⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎩11722c c ∴-<-即2311c c c-->0c <<或c >. 【山东省莱州一中2012届高三第一次质检理】22.（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)().f x x ax a x a R =---∈ （1）当1a =时，求函数()f x 的最值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）试说明是否存在实数(1)a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点. 【答案】22.解：（1）函数2()ln(1)()f x x ax a x a R =---∈的定义域是(1,)+∞.当1a =时，f ′()x 32()122111x x x x x -=--=--，所以()f x 在3(1,)2为减函数， 在3(,)2+∞为增函数，所以函数()f x 的最小值为33()ln 224f =+.(2) f ′()x 22()22,11a x x a x a x x +-=--=-- 若0a ≤时，则22()221,()021a x x a f x x +-+≤=>-在(1,)+∞恒成立，所以()f x 的增区间为(1,)+∞. 若0a >，则212a +>，故当21,2a x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，f ′()x 22()201a x x x +-=≤-，[来源:学#科#网] 当2,2a x +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，22()2()0,1a x x f x x +-=≥- 所以0a >时()f x 的减区间为21,2a +⎛⎤ ⎥⎝⎦，()f x 的增区间为2,2a +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）1a ≥时，由（2）知()f x 在(1,)+∞上的最小值为22()1ln 242a a af a +=-+-， 令22()()1ln 242a a ag a f a +==-+-在[)1,+∞上单调递减， 所以max 3()(1)ln 24g a g ==+，则max 51()(ln 2)088g a -+=>， 因此存在实数(1)a a ≥使()f x 的最小值大于5ln 28+，故存在实数(1)a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点.【山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中理】22.（本小题满分12分）建造一条防洪堤，其断面为如图等腰梯形ABCD ，腰与底边所成角为60︒，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为63平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小. (1) 求外周长的最小值，此时防洪堤高h 为多少？(2) 如防洪堤的高限制在[3,32]范围内，外周长最小为多少米？【答案】22解：（1）由题意， 所以12(2BC+233h)h= 63, BC=63h -33h …………………4分设外围周长为，则 当，即时等号成立.……………………6分 所以外围的周长的最小值为米，此时堤高米. --------------8分（2）由（1），由导数或定义可证明在单调递增，…10分所以的最小值为米（当） -------------------1236)(21=+h BC AD h BC h BC AD 33260cot 20+=+=l 26363333660sin 220≥+=-+=+=h h h h h BC AB l hh 363=6=h 266=h )6(3hh l +=]24,3[∈h l 3533633=+⨯3=h分【山东省济宁市鱼台一中2012届高三第三次月考理】21．（12分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（1）求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; （2）求面积S 的最大值．【答案】21．解: 以AB 所在的直线为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为222214y x r r+=设(,)C x y 则y =（1）1(22)2(2S x r r x =+⋅=+定义域为{}0x x r <<． （2）由（1）知2(S r x =+=设222g(x)=(r+x)(r -x )则22()(2)g (x)x r x r '=-+- 由0g (x)'=得2r x =当02r x <<0g (x)'>当2rx r <<0g (x)'< ∴当2r x =时g(x)取最大值,S 取最大值, 【山东济宁金乡一中2012届高三12月月考理】22、（本小题满分15分）设函数（Ⅰ）求函数的极值点；（Ⅱ）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有，求p 的取值范围；（Ⅲ）证明：()ln 1f x x px =-+()f x 0)(≤x f ).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n【答案】22、解：（1）， …………2分当上无极值点…………3分当p>0时，令的变化情况如下表：…………4分从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点…………5分（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，…………7分 要使恒成立，只需，…………8分∴∴p 的取值范围为[1，+∞…………10分 （Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，∴，…………11分∴…………12分 ∴ …………13分),0()(,1ln )(+∞∴+-=的定义域为x f px x x f x pxp x x f -=-='11)(),0()(,0)(0+∞>'≤在时，x f x f p x x f x f p x x f 随、，)()(),,0(10)('+∞∈=∴='()f x p x 1=1x=p 11()lnf pp =()0f x £11()ln 0f p p = 1p ³)2,1ln ,01ln ≥∈-≤∴≤+-n N n x x x x ，1ln 22-≤n n 22222111ln n n n nn -=-≤)11()311()211(ln 33ln 22ln 222222222n n n -++-+-≤+++ )13121()1(222n n +++--=…………14分…………15分∴结论成立【山东济宁梁山二中2012届高三12月月考理】21．（本小题满分12分）已知函数，． （1）设（其中是的导函数），求的最大值； （2）证明: 当时，求证：； （3）设,当时,不等式恒成立,求的最大值． 【答案】21．解:（1）,所以． 当时，；当时，． 因此，在上单调递增，在上单调递减．因此，当时，取得最大值；（2）当时，． 由（1）知：当时，，即．因此，有． （3）不等式化为所以对任意恒成立．令，则， ))1(1431321()1(+++⨯+⨯--<n n n )11141313121()1(+-++-+---=n n n )1(212)1121()1(2+--=+---=n n n n n ()ln f x x =21()22g x x x =-/()(1)()h x f x g x =+-/()g x ()g x ()h x 0b a <<()(2)2b af a b f a a-+-<k Z ∈1x >/(1)()3()4k x xf x g x -<++k /()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+1x >-1()111xh x x x -'=-=++10x -<<()0h x '>0x >()0h x '<()h x (1,0)-(0,)+∞0x =()h x (0)2h =0b a <<102b aa--<<10x -<<()2h x <ln(1)x x +<()(2)lnln 1222a b b a b af a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭/(1)()3()4k x xf x g x -<++ln 21x x xk x +<+-ln 21x x xk x +<+-1x >()ln 21x x x g x x +=+-()()2ln 21x x g x x --'=-令，则， 所以函数在上单调递增．因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．当，即，当，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以．所以． 故整数的最大值是．【莱州一中2012高三第三次质量检测理】22.（本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数(),n n f x x n =∈ N *，其导函数记为()n f x '，且满足222121221()()[(1)]f x f x f ax a x x x -'+-=-，其中a 、1x 、2x 为常数，12x x ≠.设函数()g x = 123()()ln (),(f x mf x f x m +-∈R 且0)m ≠.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()g x 无极值点，其导函数()g x '有零点，求m 的值； （Ⅲ）求函数()g x 在[0,]x a ∈的图象上任一点处的切线斜率k 的最大值. 【答案】22.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为222(),()2f x x f x x '==，所以222112212[(1)]x x ax a x x x -+-=-，整理得：12()(21)0,x x a --=又12x x ≠，所以12a =.…………………………………………3分 （Ⅱ）因为23123(),(),()f x x f x x f x x ===，所以2()3ln (0)g x mx x x x =+->.…………………………4分()ln 2h x x x =--()1x >()1110x h x x x-'=-=>()h x ()1,+∞()()31ln30,422ln 20h h =-<=->()0h x =()1,+∞0x ()03,4x ∈01()0x x h x <<<时，()0g x '<0()0x x h x >>时，()0g x '>()ln 21x x xg x x +=+-()01,x ()0,x +∞()()()()()000000min001ln 122225,611x x x x g x g x x x x ++-==+=+=+∈⎡⎤⎣⎦--()()0min 25,6k g x x <=+∈⎡⎤⎣⎦k 5导数2 由条件23230,()21mx x x g x mx x x+-'>=-+=.……………………5分 因为()g x '有零点而()g x 无极值点,表明该零点左右()g x '同号，又0m ≠，所以二次方程2230mx x +-=有相同实根，即1240,m ∆=+= 解得124m =-.…………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，2133,()21,22a k g x mx k m x x ''===-+=+，因为1(0,]2x ∈，所以23x ∈[12，+∞]，所以①当60m -≤<或0m >时，0k '≥恒成立，所以()k g x '=在（0，12]上递增， 故当12x =时，k 取得最大值，且最大值为5m -，…………10分 ②当6m <-时，由0k '=得x =，而102<.若x ∈，则0k '>，k 单调递增；若1]2x ∈，则0k '<，k 单调递减.故当x =时，k 取得最大值，且最大值等于2311=-…………………13分综上，max5,(600)16)m m m k m --≤<>⎧⎪=⎨-<-⎪⎩或…………………………14分。

专题03 导数一．基础题组1. 【2014新课标，理8】设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】因为'11y a x =-+，所以切线的斜率为12a -=，解得3a =，故选D 。

2.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为 A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1【答案】A【考点】 函数的极值、函数的单调性【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 3. 【2005全国2，理22】(本小题满分12分) 已知0a ≥，函数2()(2)e x f x x ax =-．(Ⅰ) 当为何值时，()f x 取得最小值？证明你的结论； (Ⅱ) 设()f x 在[1,1]-上是单调函数，求的取值范围．【解析】：（I ）对函数()f x 求导数得xe a ax x x xf )222()(2--+=' 令,0)(='x f 得2x +2(1－)－2］x e =0从而2x +2(1－)－2=0 解得 11,112221++-=+--=a a x a a x 当变化时，()f x 、'()f x 的变化如下表),(1x -∞1x),(21x x2x),(2+∞x)(x f '+ 0 － 0 + )(x f递增极大值递减极小值递增∴在=1处取得极大值，在=2处取得极小值。

当≥0时，1x <－1,2x )(,0x f ≥在()21,x x 上为减函数，在),(2+∞x 上为增函数 而当0<x 时)(x f =0)2(>-xe a x x ，当x=0时，0)(=xf 所以当112++-=a a x 时，)(x f 取得最小值二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理10】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )．A ． x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图像是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 【答案】：C【解析】：∵x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．2. 【2012全国，理10】已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1 D ．－3或1 【答案】 A【解析】y ′＝3x 2－3＝3(x ＋1) (x －1)． 当y ′＞0时，x ＜－1或x ＞1；当y′＜0时，－1＜x＜1.∴函数的递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．∴x＝－1时，取得极大值；x＝1时，取得极小值．要使函数图象与x轴恰有两个公共点，只需：f(－1)＝0或f(1)＝0，即(－1)3－3×(－1)＋c＝0或13－3×1＋c＝0，∴c＝－2或c＝2.3. 【2013课标全国Ⅱ，理21】(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当m＝2时，函数f′ (x)＝1e2xx-+在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得0e x＝01 2x+，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝01 2x+＋x0＝212xx(+)+＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.4. 【2011新课标，理21】已知函数ln()1a x bf xx x=++，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果当x ＞0，且x ≠1时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．(ⅰ)设k ≤0.由222(1)(1)()k x x h x x +--'=知，当x ≠1时，h ′(x )＜0.而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )＞0，可得21()01h x x ⋅>-；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得21()01h x x >-.从而当x ＞0，且x ≠1时，ln ()()01x kf x x x-+>-， 即ln ()1x kf x x x>+-. (ⅱ)设0＜k ＜1.由于当x ∈(1，11k-)时，(k －1)(x 2＋1)＋2x ＞0，故h ′(x )＞0.而h (1)＝0，故当x ∈(1，11k -)时，h (x )＞0，可得21()01h x x <-，与题设矛盾． (ⅲ)设k ≥1.此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得21()01h x x<-.与题设矛盾．综合得，k 的取值范围为(－∞，0]． 5. 【2005全国3，理22】（本小题满分12分）已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；（Ⅱ）设1≥a ，函数],1,0[],1,0[].1,0[,23)(0123∈∈∈--=x x x a x a x x g 总存在若对于任意 使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.当变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：0 （0，21） 21 （21，1） 1 )(x f '－ 0 + )(x f 27-－4－3所以，当)2,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,2(∈x 时，)(x f 是增函数. 当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为－4，－3]. （II ）对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -=' 因为1≥a ，当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数，从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈ 又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即]1,0[∈x 时有].2,321[)(2a a a x g ---∈ 任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =，则].3,4[]2,321[2--⊃---a a 即⎩⎨⎧-≥--≤--.32,43212a a a解①式得 351-≤≥a a 或；解②式得.23≤a 又1≥a ，故a 的取值范围为.231≤≤a6.【2016高考新课标2理数】若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln(x +1)的切线，则b = .【答案】1ln2-① ②【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．三．拔高题组1. 【2014新课标，理12】设函数()3x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】C【解析】由题意知：()f x 的极值为3，所以()203f x =⎡⎤⎣⎦，因为'00()30x f x mmππ==，所以,2x k k z mπππ=+∈，所以01,2x k k z m =+∈即011||||22x k m =+≥，所以0||||2mx ≥，即 2200[()]x f x +≥24m +3，而已知()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，所以224m m >+3，故2334m >，解得2m >或2m <-，故选C.2. 【2010全国2，理10】若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8 【答案】：A3. 【2014全国2，理20】 已知函数()f x =2x x e e x ---. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）【解析】（Ⅰ）因为'1()20x xf x e e =+-≥，当且仅当0x =时等号成立，所以函数()f x 在R 上是增函数；（Ⅱ）因为()g x =(2)4()f x bf x -=224()(84)xx x x ee b e e b x -----+-，所以'()g x =222[2()(42)]xx x x ee b e e b --+-++-=2(2)(22)x x x x e e e e b --+-+-+.(1)当2b ≤时, '()0g x ≥,等号仅当0x =时成立，所以()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，所以对任意0x >，()0g x >；（2）当2b >时，若满足222x x e e b -<+<-，即20ln(12)x b b b <<--时，'()0g x <，而(0)0g =，因此当20ln(12)x b b b <≤--时，()0g x <， 综上，的最大值为2.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，32)222(21)ln 22g b b =-+-， 当2b =时，32)426ln 202g =->，823ln 20.692812>>； 当3214b =+时，2ln(122b b b --=，32)22(322)ln 22g =--0<，182ln 20.693428+<<，所以ln 2的近似值为0.693. 4. 【2012全国，理20】设函数f (x )＝ax ＋cos x ，x ∈0，π]． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设f (x )≤1＋sin x ，求a 的取值范围． 【解析】：(1)f ′(x )＝a －sin x .(2)由f (x )≤1＋sin x ，得f (π)≤1，a π－1≤1， 所以2πa ≤. 令g (x )＝sin x －2πx (0≤x ≤π2)， 则g ′(x )＝cos x －2π. 当x ∈(0，arccos2π)时，g ′(x )＞0， 当x ∈(arccos2π，π2)时，g ′(x )＜0. 又g (0)＝g (π2)＝0， 所以g (x )≥0，即2πx ≤sin x (0≤x ≤π2)． 当a ≤2π时，有f (x )≤2πx ＋cos x . ①当0≤x ≤π2时，2πx ≤sin x ，cos x ≤1， 所以f (x )≤1＋sin x ； ②当π2≤x ≤π时，f (x )≤2πx ＋cos x ＝1＋2π(x －π2)－sin(x －π2)≤1＋sin x .综上，a 的取值范围是(－∞，2π]． 5. 【2010全国2，理22】设函数f (x )＝1－e －x. (1)证明当x ＞－1时，f (x )≥1xx +； (2)设当x ≥0时，f (x )≤1xax +，求a 的取值范围．(2)由题设x ≥0，此时f (x )≥0. 当a ＜0时，若x ＞－1a ，则1x ax +＜0，f (x )≤1x ax +不成立； 当a ≥0时，令h (x )＝axf (x )＋f (x )－x ，则f (x )≤1xax +当且仅当h (x )≤0， h ′(x )＝af (x )＋axf ′(x )＋f ′(x )－1＝af (x )－axf (x )＋ax －f (x )． (ⅰ)当0≤a ≤12时，由(1)知x ≤(x ＋1)f (x )， h ′(x )≤af (x )－axf (x )＋a (x ＋1)f (x )－f (x )＝(2a －1)·f (x )≤0， h (x )在0，＋∞)上是减函数，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤1xax +. (ⅱ)当a ＞12时，由(ⅰ)知x ≥f (x )， h ′(x )＝af (x )－axf (x )＋ax －f (x )≥af (x )－axf (x )＋af (x )－f (x )＝(2a －1－ax )f (x )， 当0＜x ＜21a a -时，h ′(x )＞0，所以h (x )＞h (0)＝0，即f (x )＞1xax +，综上，a 的取值范围是0，12]． 6. 【2006全国2，理20】设函数f (x )=(x +1)ln(x +1),若对所有的x ≥0,都有f (x )≥ax 成立,求实数a 的取值范围.7. 【2015高考新课标2，理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-U B ．(1,0)(1,)-+∞U C ．(,1)(1,0)-∞--U D ．(0,1)(1,)+∞U 【答案】A【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质． 8. 【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数2()mx f x e x mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]-．【解析】(Ⅰ)'()(1)2mx f x m e x =-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，'()0f x >．若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e ->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，'()0f x >．所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由(Ⅰ)知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,m m e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()1t g t e t e =--+，则'()1t g t e =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．【考点定位】导数的综合应用．9. 【2016高考新课标2理数】（I ）讨论函数()2e 2x x f x x -=+的单调性，并证明当>0时，(2)e 20x x x -++>；（II ）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2e =(0)x ax a g x x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21e (,].24（II ）33(2)e (2)2()(()),x x a x x g x f x a x x-+++'==+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0()0g x '=，【考点】函数的单调性、极值与最值【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．10. 【2017课标II ，理21】（12分）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e()2f x --<<．【答案】（1）1a =；（2）证明见解析．（2）由（1）知 ()2ln f x x x x x =--，()22ln f 'x x x =--． 设()22ln h x x x =--，则1()2'x h x=-． 当1(0,)2x ∈ 时，()0h'x < ；当1(,)2x ∈+∞ 时，()0h'x >， 所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增． 又()2e 0h ->，1()02h <，()10h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当()00,x x ∈时，()0h x >；当()0,1x x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >． 因为()()f 'x h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点．由0()0f 'x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-．由()00,1x ∈得()014f x <． 因为0x x =是()f x 在（0，1）的最大值点，由()1e 0,1-∈，1(e )0f '-≠得120()(e )e f x f -->=．所以()220e 2f x --<<．【考点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．。

导数定义复习题导数定义复习题导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

在这篇文章中，我们将通过一些复习题来回顾导数的定义和相关概念。

题目一：计算函数f(x) = 3x² - 2x + 1 在 x = 2 处的导数。

解答一：根据导数的定义，函数 f(x) 在 x = 2 处的导数可以表示为 f'(2) =lim(h→0) [(f(2+h) - f(2))/h]。

首先，我们计算 f(2+h) 和 f(2)：f(2+h) = 3(2+h)² - 2(2+h) + 1= 3(4+4h+h²) - 4 - 2h + 1= 12 + 12h + 3h² - 4 - 2h + 1= 3h² + 10h + 9f(2) = 3(2)² - 2(2) + 1= 12 - 4 + 1= 9将这些值代入导数的定义中，我们有：f'(2) = lim(h→0) [(3h² + 10h + 9 - 9)/h]= lim(h→0) [(3h² + 10h)/h]= lim(h→0) [3h + 10]= 10因此，函数f(x) = 3x² - 2x + 1 在 x = 2 处的导数为 10。

题目二：计算函数g(x) = √x 在 x = 4 处的导数。

解答二：同样地，根据导数的定义，函数 g(x) 在 x = 4 处的导数可以表示为g'(4) = lim(h→0) [(g(4+h) - g(4))/h]。

首先，我们计算 g(4+h) 和 g(4)：g(4+h) = √(4+h)= √4 + √h= 2 + √hg(4) = √4= 2将这些值代入导数的定义中，我们有：g'(4) = lim(h→0) [(2 + √h - 2)/h]= lim(h→0) [√h/h]= lim(h→0) [1/√h]= ∞因此，函数g(x) = √x 在 x = 4 处的导数为无穷大。

1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。

〔I 〕求函数()f x 单调区间； 〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ． 〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； 〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕； 〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。

导数专题复习一、求下列函数的导数1．（08浙江）()()f x x x a =-2．（07天津）2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． 3．（08陕西）21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ） 4．（06山东） ()(1)ln(1)f x ax a x =-++，其中1a ≥- 5．（08安徽）1()(01)ln f x x x x x=>≠且6．（09全国）()()21f x x aIn x =++ 7．（07海南）2()ln(23)f x x x =++． 8．（07海南理） 2()ln()f x x a x =++ ．*9．（09辽宁）f(x)=21x 2－ax+(a －1)ln x ，1a > 10．（07四川） 已知函数()()22ln 0f x x a xx x=++>，11．（08山东）1()1ln(1),(1)ng x x x x =-----其中n ∈N*,a 为常数. 12．（09陕西）1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > 13．08辽宁设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++． 14．（11全国）h (x )＝2ln x ＋k －1x 2－1x (x >0)，15．（07安徽）a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）.16．（05全国）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，17.（11北京）kx e k x x f 2)()(-=18．（08重庆）2333()()422x g x x x e -=+- ,19．（09重庆）2()(0)xe g x k x k =>+20．（06全国）()11axx f x e x-+=- 21.（13年一模）2()=(1)x a f x x ，2()()e xf x x ax a -=++，2()xax x a f x e++=，()ln 1a f x x x =+-，x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=，1()()2ln ()f x a x x a x =--∈R二、导数的几何意义1．（2010全国卷2文数）（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- 2．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数， 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是【 A 】.A ．B ．C ．D ．3．如图，已知函数()y f x =的图象，画出()f x '的图象 ~ab ab axyy y ）b4．如图，已知函数()y f x '=的图象，画出()y f x =的图象5．（2010辽宁文数）（12）已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 (A)[0,4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ6．（11山东理科）函数2sin 2xy x =-的图象大致是|A ．B ．C ．D ．7.(2011石景山一模文8)．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，()f x '为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是（ ）A ．)31,51(B ．1(,)(5,)3-∞+∞ C ．)5,31(D ．)3,(-∞8. （2013届北京丰台区一模理科）已知函数1()f x x a=+，2()3g x x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值；；9. （2013届房山区一模理科数学）已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++ ,.（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；10. （2013届门头沟区一模理科）已知函数2()xax x af x e ++=．（Ⅰ）函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线210x y +-=平行，求a 的值； 11. （北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=xyOO yx(Ⅰ)若2=a ，求函数)(x f 在（1，)1(f ）处的切线方程；12. （北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设函数()()()12,03123-+=>-=b bx x g a ax x x f . (I)若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线,求b a ,的值; 13. （【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程；}三、利用导数研究函数的性质（一）单调性与导数的符号1．已知函数2()2ln 1f x x a x =--(0)a ≠，求函数()f x 的单调区间 2.求函数()ln f x a x x =+的单调区间3.求函数2()ln f x a x x =+，a ∈R ，的单调区间 4.已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >，讨论函数()f x 的单调性。

导数复习题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 32. 若 \( f(x) = 3x^3 - 2x + 5 \)，求 \( f'(x) \)：A. \( 9x^2 - 2 \)B. \( 3x^2 + 2 \)C. \( 9x^3 - 2 \)D. \( 3x^3 + 2 \)3. 已知 \( g(x) = \ln(x) \)，求 \( g'(x) \)：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x \)C. \( \ln(x) \)D. \( \frac{1}{\ln(x)} \)二、填空题4. 函数 \( h(x) = sin(x) \) 的导数是 _______。

5. 若 \( F(x) = e^x \)，求 \( F'(x) \) 的值是 _______。

6. 给定 \( G(x) = \frac{1}{x} \)，其导数 \( G'(x) \) 是_______。

三、解答题7. 求函数 \( y = x^3 - 4x^2 + 7x - 6 \) 的导数。

8. 已知 \( f(x) = x^4 + 2x^3 - 5x + 3 \)，求 \( f'(x) \) 并找出 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数值。

9. 假设 \( H(x) = \sqrt{x} \)，求 \( H'(x) \) 并解释其几何意义。

四、应用题10. 某物体的位移函数为 \( s(t) = 3t^3 - 5t^2 + 2t \)，求该物体在 \( t = 2 \) 秒时的瞬时速度。

11. 一个物体从静止开始，其加速度 \( a(t) = 2t \)，求物体在\( t = 3 \) 秒时的速度。

12. 某工厂生产函数为 \( P(x) = 100x - x^2 \)，其中 \( x \) 表示投入的工时，求工厂在投入 \( x = 20 \) 小时的生产率。

导数及其应用专项训练一． 选择题1.若函数f (x )可导，则lim Δx →0(1)(1)2f x f x∆∆--等于( )A ．－2f ′(1) B.12 f ′(1) C ．－12f ′(1) D ．f ′12⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-3.曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为（ ）A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+= 4.已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( ) A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2) B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3) C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 5．下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C. ()()222sin sin x x x x x '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 6.若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 7.设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 8. 函数2cos(2)3y x x π=-的导数为( )A ．22cos(2)sin(2)33y x x x x ππ'=---B ． 22cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=---C ．2cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=---D ． 22cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=-+-9.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．310.函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）11.已知函数y ＝f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示.x －1 0 4 5 f (x )1221①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中正确说法的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 12.函数f (x )＝3＋x ·ln x 的单调递增区间是( ) A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(e ，＋∞) C. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭13.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (cos A )<f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (sin A )>f (cos B )14.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(1,2]D ．[1,2)15.设函数()2ln f x x x=+，则( ) A ．12x =为f (x )的极大值点 B ．12x =为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点16.设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝xf ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)17.函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－1918.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元 二． 填空题19.若f ′(x 0)＝2，则lim Δx →000()()2f x f x x x∆∆-+ ＝________.20.一物体的运动方程为s (t )＝7t 2－13t ＋8，则t 0＝________时该物体的瞬时速度为1. 21.已知f (x )＝ln x 且()0201f x x '=，则x 0＝ . 22.函数()2(1)21xf x f x x '=+-，则f ′(0)＝________. 23.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .24.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．25.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________． 26.函数f (x )＝(x 2＋2x )e x (x ∈R )的单调递减区间为____________．27.若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 28.若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________． 29.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________． 30.若函数343y x ax =-+有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 31.若函数f (x )＝(x －2)(x 2＋c )在x ＝2处有极值，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为________． 32.将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.33.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为313812800080y x x =-+，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少． 34.已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是 .21()ln (0)2f x a x x a =+>12x x 、1212()()2f x f x x x ->-a三． 解答题35.已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1x，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x 轴所围成的三角形面积．36.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．37.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．38.已知函数f (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)． (1)当a ＝－14时，求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围．61.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)55.讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．。

《导数及其应用》复习导学案一、知识梳理二、典例剖析题型一、导数的概念及运算1．在求平均变化率时，自变量的增量为（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆=D ． 0x ∆≠ 【答案】D2．函数f (x )＝2x 2－1在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 变式．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是__________.3． 下列求导正确的是 ( ) 【答案】BA.（x+x 1）′=1+21x B. (log2x)′=ln21x C. (3x)′=3xlog3xD. (x2cosx)′=－2xsinx4．下列说法正确的是（ ）A ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处就没有切线；B ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 有切线，则)(0x f '必存在；C ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在；D ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线。

【答案】C5．设,M m 分别是()f x 在区间[],a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，由上述估值定理，估计定积分2212x dx --⎰的取值范围是 ．【解析】：因为当12x -≤≤ 时，204x ≤≤ ，所以，212116x -≤≤所以由估值定理得：()()221121212116x dx --⨯--≤≤⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰， 即22132316x dx --≤≤⎰，所以答案应填：3,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 6．211dx x +=⎰⎰．【答案】ln 24π+ 题型二、导数的几何意义7．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则曲线在点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2 8．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．变式1．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.变式2．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6] 变式 3.已知曲线2()xf x x e m =+-在0x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为16，则实数m 的值为 ．9．已知抛物线y ＝x 2，直线l ：x －y －2＝0，则抛物线上的点到直线l 的最短距离是 ． 变式.点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 ．题型三、导数的综合应用 类型1：导数的运算性质10.设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(3)0f -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(3,0)(3,)-+∞ B ．(3,0)(0,3)- C ．(,3)(3,)-∞-+∞ D ．(,3)(0,3)-∞-变式1．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0.设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是______ ．变式2．设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)变式3．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________． 变式4．定义在R 上的偶函数f x 的导函数为()f x '，若对任意的实数x ，都有()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的集合为（ ）A ．{}1x x ≠±B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,00,1-【解析】：当0x >时，由()()220f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得： ()()2220xf x x f x x -'-< 设：()()22g x x f x x =-，则()()()2220g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：∴()g x 在(0)+∞，单调递减，由()()2211x f x f x -<-∴()()2211x f x x f -<-，即()()1g x g <，即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-；综上可知：实数x 的取值范围为()()11-∞-⋃+∞，，，故选：B变式5．函数()f x 的定义域是R ，(0)3f =，对任意,()()1x R f x f x ∈+>/，则不等式()2x xe f x e ⋅>+的解集为（ ）A ．{|0}x x <B ．{|0}x x >C ．{|1,}x x x <->或1D ．{|1,1}x x x <-<<或0 【解析】∵()()1f x f x +>/，∴()()0xxxe f x e f x e +>>/，∴[()1]()0xxe f x e f x -+>/，即{[()1]}0x e f x '->，∴函数()[()1]x F x e f x =-在R 上单调递增，且0(0)[(0)1]2F e f =-=∴ ()2[()1]2x x x e f x e e f x ⋅>+⇔->，∴x>0，故选B类型2：单调性问题11．函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是（ ）DA ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 变式1．已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上不单调，实数a 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()()4,00,4- C ．()0,2 D ．()0,4【答案】D变式2．已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()()sin cos f A fB > B ．()()sin cos f A f B <C ．()()sin sin f A f B >D ．()()cos cos f A f B < 12．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)变式1．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．变式2．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．变式3．函数32y x ax bx =++在(,1)-∞-上单调递增，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上递增，则,a b 的值为( ) AA 、3,62a b =-=-B 、36,2a b =-=- C 、3,2a b == D 、3,6a b =-=-变式4．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33， 33，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)13．已知f(x)=e x -ax-1.（1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】解 ： f ′(x)= e x -a.(1)若a ≤0，f ′(x)= e x -a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增. 若a ＞0, e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna. ∴f(x)的递增区间为（lna ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x)≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x ＞0,∴a ≤0.[来源:Z §xx §] （3）由题意知e x -a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立. ∵e x 在（-∞，0］上为增函数. ∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x 在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤1，∴a=1.14．设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 【答案】解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.[所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得211a x a --<,或211a x a +->；由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<. 所以函数()f x 单调递增区间是211(,)a a ---∞和211(,)a a +-+∞, 单调递减区间221111(,)a a a a--+-. ……………9分 ②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>得221111a a x a a +---<<； 由()0f x '<得211a x a +-<,或211a x a-->.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)a a --+∞, 单调递增区间221111(,)a a a a+---. ……………12分 ④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.类型3：图像问题15．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ． D.【解析】：由三视图可知该几何体是圆锥，顶点朝下，底面圆的上面，随之时间的推移，注水量的增加高度在增加，所以函数是增函数，刚开始时截面面积较小，高度变化较快，随着注水量的增加，高度变化量减慢，综上可知B 正确16．函数()f x 的导函数()'f x 在区间(,)a b 内的图象如图所示， 则 ()f x 在(,)a b 内的极大值点有（ ）BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个变式1.如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能（ ）O thh t O h t O O t h变式2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )类型4：极值（最值）问题17．已知函数()313f x x ax b =-+在y 轴上的截距为1，且曲线上一点02, 2p y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为13. （1）曲线在P 点处的切线方程； （2）求函数()f x 的极大值和极小值【答案】解：（1）因为函数()313f x x ax b=-+在y 轴上的截距为1，所以1b = 又'2y x a =-，所以2211 236a a ⎛⎫-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭()311 136f x x x ∴=-+ 所以0212y f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故点2,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以切线方程为12132y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 即26620x y -+-=（2）由题意可得，令()'2106f x x =-=得66x =±列表如下：x6,6⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭66- 66,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭666,6⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+- 0 + ()f x增区间极大 减区间极小增区间所以函数的极大值为661f ⎛=+ ⎝⎭， 极小值为661f =⎝⎭18．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； 经检验合题意；………4分（2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x ∴由0)(/=x f 得1=x ，当0)(/<x f 时，10<<x ，)(x f 单调递减；当0)(/>x f 时，1>x ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ ……8分 （3）由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(，列表略 依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c ………………12分 19.已知函数()()xf x x k e =-. （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在区间]2,1[上的最小值；（3）设)(')()(x f x f x g +=，当2523≤≤k 时，对任意]1,0[∈x ，都有λ≥)(x g 成立，求实数λ的范围。

函数导数、三角函数、不等式（二）：高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．函数41y x =-的定义域为（）A ．[)0,1B ．()1,+∞C ．()()0,11,+∞ D ．[)()0,11,+∞ 2．设a >0，b >0，化简2115113366221()()()3a ab a ⋅-÷的结果是（）A ．2313a -B ．233a -C ．13a-D ．-3a 3．已知不等式240x ax ++ 的解集为,R 则a 的取值范围是（）A ．[]4,4-B ．()4,4-C ．][(),44,∞∞--⋃+D ．()(),44,-∞-+∞ 4．曲线31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为（）A ．33y x =+B ．31y x =+C ．31y x =--D ．33y x =--5．下列命题中正确的是（）A ．若0ab >，a b >，则11a b<B ．若a b <，则22ac bc <C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若a b >，c d <，则a b c d>6．下列判断正确的是（）A ．命题“对顶角相等”的逆命题是真命题B ．命题“若1x <，则21x >”的否命题是“21x <，则1x <”C ．“1a =”是“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期是π”的必要不充分条件D ．“0b =”是“函数()2f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件7．已知集合{lg(2)}A xy x ==-∣，{}2120B x x x =--<∣，则A B = （）A ．()2,4B ．()3,4-C ．()2,3D ．()4,3-8．已知函数21()23ln 2f x x x x =+-，则()f x 的单调递减区间是（）A ．(3,1)-B ．(0,1)C ．(,3)(1,)-∞-+∞ D ．(1,)+∞9．已知函数f （x ）＝sin （ωx +2φ）﹣2sinφcos （ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）的图象的相邻两条对称轴相距2π个单位，则ω＝（）A ．1B ．12C ．13D ．210．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数12，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2sin18a =，若24a b +=，则21cos 72a b=-（）A ．12B ．2CD ．411．已知不等式5132-≤-x x 的解集为A ，关于x 的不等式2220-+>ax x 的解集为B ，且⊆ A B B ，则实数a 的取值范围为（）A ．(0,)+∞B ．1,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题13．若1tan 3α=-，则3sin 2cos 2sin cos αααα+=-_______.14．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，则b 的值为______．15．已知tan 312πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则tan 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.16．已知偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则()0f x x<的解集__________三、解答题17．已知函数3()395f x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值.18．已知312sin ,,,cos ,5213πααπββ⎛⎫=∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求（1）cos α与sin β的值；（2）cos()αβ-．19．已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围.20．已知函数()ln 2f x x x ax =-+(a 为实数)（1）若2a =，求()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦的最值；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.21．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足cos cos 2cos a B b A c B +=，b .（1）求B ；（2）若2a c -=，求ABC 的面积.22．设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.参考答案：1．D 【解析】【分析】由题意列不等式组求解【详解】由题意得2010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，故选：D 2．D 【解析】【分析】由分数指数幂的运算性质可得结果.【详解】因为0a >，0b >，所以2115211115113366326326221()()()333a b a b b a ba +-+-⋅-÷=-⋅=-.故选：D.3．A 【解析】【分析】利用判别式小于等于零列不等式求解即可.【详解】因为不等式240x ax ++ 的解集为,R 所以2Δ4140a =-⨯⨯ ，解得44a -，所以a 的取值范围是[]4,4-，故选：A.4．A 【解析】【分析】求出导函数，进而利用导数的几何意义得到切线的斜率，再求出a 的值，利用点斜式求出切线方程.【详解】()23f x x '=，所以()13f '-=，又当1x =-时，31110a x =+=-+=，所以31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为：()31y x =+，即33y x =+故选：A 5．A 【解析】【分析】利用不等式的基本性质可判断A 选项，利用特殊值法可判断BCD 选项.【详解】因为0ab >，a b >，所以a b ab ab >，即11a b<，所以A 正确；若a b <，0c =，则22ac bc =，所以B 错误；取2a c ==，1b d ==，则a c b d -=-，所以C 错误；取2a =，1b =，2c =-，1d =-，则a bc d=，所以D 错误.故选：A.6．D 【解析】【分析】逐项进行判断，根据逆命题、否命题、充分条件、必要条件的定义进行判断即可.【详解】对A ，命题“对顶角相等”的逆命题为：“相等的两个角为对顶角”，假命题，故错；对B ，命题“若1x >，则21x >”的否命题是“1x ≤，则21x ≤”，故错；对C ，()22cos sin sin 2f x ax ax ax =-=，最小正周期为π，所以212a aππ=⇒=±所以“1a =”是“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期是π”的充分不必要条件，故错；对D ，函数()2f x ax bx c =++是偶函数，则函数不含有奇次项，所以0b =故“0b =”是“函数()2f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件.7．A 【解析】【分析】求出集合,A B 可得A B .【详解】(2,)A =+∞，(3,4)B =-，故(2,4)A B ⋂=，故选：A.8．B 【解析】【分析】利用导数研究()f x 的单调递减区间.【详解】由题设，2323()2x x f x x x x+-'=-+=，又定义域为(0,)+∞，令()0f x '<，则223(3)(1)0x x x x +-=+-<，解得31x -<<，故01x <<，∴()f x 在(0,1)上递减.故选：B.9．D 【解析】【分析】分析角度的关系将sin(2)x ωϕ+展开,再合一变形求得()f x 的解析式,再根据图象的相邻两条对称轴相距2π个单位求得周期再求ω即可.【详解】()sin(2)2sin cos()sin()cos cos()sin 2sin cos ()f x x x x x x ωϕϕωϕωϕϕωϕϕϕωϕ=+-+=+++-+()sin()cos sin cos()sin sin x x x x ωϕϕϕωϕωϕϕω=+-+=+-=⎡⎤⎣⎦.即()f x =sin xω又图象的相邻两条对称轴相距2π个单位,故()f x 的周期为π.故22ππωω=⇒=.故选：D本题主要考查了三角函数的和差角公式以及周期的求法,属于基础题型.10．B 【解析】【分析】根据同角三角函数平方关系可求得24cos 18b = ，利用二倍角公式化简所求式子即可得到结果.【详解】2sin18a = ，()2222444sin 1841sin 184cos 18b a ∴=-=-=-=，22222216sin 18cos 184sin 3621cos 72112sin 362sin 36a b ===--∴+.故选：B.11．B 【解析】【分析】解出不等式5132-≤-x x 可得集合A ，由⊆ A B B 可得A B ⊆，然后可得2220-+>ax x 在(3,7]x ∈上恒成立，然后分离参数求解即可.【详解】由5132-≤-x x 得51032x x --≤-，()7023x x -≤-，解得37x <≤，因为⊆ A B B ，所以A B⊆所以可得2220-+>ax x 在(3,7]x ∈上恒成立，即222->x a x 在(3,7]x ∈上恒成立，故只需2max 22-⎛⎫> ⎪⎝⎭x a x ，222211111111,,2241673-⎛⎫⎡⎫=-+=--+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭x x x x x x ，当114x =时，2max 21216-⎛⎫= ⎪⎝⎭x x ，故116a >．故选：B 12．C 【解析】【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即02e <≤；当32b b c->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．13．35-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子、分母同除以cos α即可求解.【详解】将原式分子、分母同除以cos α3sin 2cos 3tan 212322sin cos 2tan 1513αααααα++-+===-----故答案为：35-【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、齐次式，属于基础题.14．2【解析】【分析】由题意可得1和b 是方程2320ax x -+=的两个根，由根与系数的关系可得321,1b b a a+=⨯=，从而可求出b 的值【详解】因为关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个根，所以321,1b b a a+=⨯=，解得1,2a b ==，故答案为：215．12-【解析】【分析】tan tan 6124πππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后算出即可.【详解】tan tan1124tan tan 612421tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭.故答案为：12-【点睛】本题考查正切函数的和差公式，找出已知角与所求角的关系是解题的关键.16．(1,0)(1,)-È+¥【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况讨论x 的范围，根据函数的单调性可得到答案.【详解】因为()f x 是偶函数，且(1)0f -=，所以(1)(1)0f f =-=，又()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，①当0x >时，由()0f x x<得()0f x <，又由于()f x 在(0,)+∞上为减函数，且(1)0f =，所以()(1)f x f <，得1x >；②当0x <时，由()0f x x<得()>0f x ，又(1)0f -=，()f x 在(,0)-∞上是增函数，所以()>(1)f x f -，所以10x -<<.综上，原不等式的解集为：(1,0)(1,)-È+¥.故答案为：(1,0)(1,)-È+¥.【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且()() f x f x -=-.偶函数在对称区间上的单调性相反，且()()() f x f x f x =-=..17．（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49-【解析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间；（2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数，[]1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.18．（1）4cos =5α-，5sin 13β=-；（2）3365【解析】【分析】（1）根据平方关系计算即可得出cos α，sin β；（2）由（1）的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 5α=-.又由12cos 13b =-，β是第三象限角，得5sin 13β===-.（2）由（1）得4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19．(1)答案见解析(2)12a ≤-【解析】【分析】（1）求导数，然后对a 进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数()f x 的单调区间；（2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在1x =处取得最小值，即可求实数的取值范围.(1)解：求导可得()(1)()(0)>'--=x a x f x x x①0a ≤时，令()0f x '<可得1x <，由于0x >知01x <<；令()0f x '>，得1x >∴函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；②01a <<时，令()0f x '<可得1<<a x ；令()0f x '>，得1x >或x a <，由于0x >知0x a <<或1x >；∴函数()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,),(1,)+∞a 上单调递增；③1a =时，()0f x '≥，函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增；④1a >时，令()0f x '<可得1x a <<；令()0f x '>，得x a >或1x <，由于0x >知01x <<或x a>∴函数()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)+∞a 上单调递增；(2)由（1）0a ≥时，1(1)02f a =--<，（不符合，舍去）当0a <时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故函数在1x =处取得最小值，所以函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立时，只需要(1)0f ≥即可∴12a ≤-.综上，12a ≤-.20．（1）最小值为 2e -，最大值为2；（2）(],1ln 2-∞+.【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在区间上的最大值；（2）首先求出函数的定义域，参变分离，即可得到2ln x a x +≥恒成立，令()2 ln =+g x x x ，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；【详解】（1）当2a =时，() ln 22=-+f x x x x ，()ln 1f x x '=-由()0f x '<得0 x e <<，由()0f x '>得x e >，所以()f x 在()0,e 上单调递减，在()e +∞，上单调递增，且() ln 2 2 2=-+=-f e e e e e ，() 1 1ln12 2 0f =-+=，()2222 ln 2 2 2-+==f e e e e 则函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为 2e -，最大值为2.（2）由题得函数的定义域为()0,∞+，若()0f x ≥恒成立，则ln 20x x ax -+≥，即2ln x a x+≥恒成立，令()2 ln =+g x x x ，则()22122 x g x x x x -'=-=，当02x <<时，()0g x '<；当2x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，则()min 21ln 2()==+g x g ，所以1ln 2a ≤+，故a 的取值范围为(],1ln 2-∞+.21．（1）3π；（2【解析】（1）利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得sin()2sin cos A B C B +=，再利用三角形的内角和性质以及诱导公式即可求解.（2）根据余弦定理求出3ac =，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）由正弦定理知sin cos sin cos 2sin cos A B B A C B +=，sin()2sin cos A B C B +=，因为,(0,)A B C C ππ+=-∈，所以sin 2sin cos C C B =，由sin 0C ≠，故1cos 2B =.因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）由余弦定理及2a c -=知2222cos b a c ac B =+-.227a c ac ∴+-=，2()7a c ac ∴-+=，47ac ∴+=，3ac ∴=.11sin 32224ABC S ac B ∴==⨯⨯= .22．（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>，当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.。

第二讲 导数的简单应用1.[2021贵阳市四校第二次联考]图3-2-1已知y=x ·f'(x)的图象如图3-2-1所示,则f(x)的图象可能是 ( )A BCD2.[原创题]函数f(x)=(12x-1)e x +12x 的极值点的个数为 ( )3.[2021安徽省示范高中联考]若函数f(x)=(x-1)e x -ax(e 为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )A.(-1e ,0) B.(-∞,0) C.(-1e ,+∞)D.(0,+∞)4.[2021蓉城名校联考]已知函数f(x)=e |x|-1),b=f(2),c=f(log 20.2),则 ( )A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a5.[2021湖南六校联考]设函数f(x)的定义域为R,f'(x)是其导函数,若f(x)+f'(x)<0,f(0)=1,则不等式f(x)>e -x 的解集是( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,0)D.(0,1)6.[2021四省八校联考]函数f(x)=x 3-bx 2+c,若f(1-x)+f(1+x)=2,则下列正确的是 ( )A.f(ln 2)+f(ln 4)<2B.f(-2)+f(5)<2C.f(ln 2)+f(ln 3)<2D.f(-1)+f(2)>27.[2020皖中名校联考]已知函数f(x)=(x 2-mx-m)e x +2m(m>-2,e 是自然对数的底数)有极小值0,则其极大值是( )-2或(4+ln 2)e -2+2ln 2-2或(4+ln 2)e 2+2ln 2-2或(4+ln 2)e -2-2ln 2-2或(4+ln 2)e 2-2ln 28.[2021河南省名校第一次联考]若函数f(x)={alnx -x 2-2(x >0),x +1x +a(x <0)的最大值为f(-1),则实数a 的取值范围为 . 9.[2021广州市高三阶段模拟]已知函数f(x)=1+lnx x -1-k x .(1)当k=0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)>0对任意的x ∈(1,+∞)恒成立,求整数k 的最大值.10.[2021大同市调研测试]设函数f(x)=ln x-12ax 2-bx.(1)当a=b=12时,求函数f(x)的最大值;(2)当a=0,b=-1时,方程2mf(x)=x2有唯一实数解,求正数m的值.11.[2021江苏省部分学校调考]定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f '(x),若对任意x∈R,都有2f(x)+xf '(x)<2,则使x2f(x)-f(1)<x2-1成立的实数x的取值范围是( )A.{x|x≠±1}B.(-1,0)∪(0,1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)图3-2-212.[2021济南名校联考]如图3-2-2,在P地正西方向8 km的A处和正东方向1 km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD,现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F,为缓解交通压力,决定修建两条互相垂直的公路PE和PF,设∠EPA=α(0<α<π2),为了节省建设成本,要使得PE+PF的值最小,此时AE=( )A.4 kmB.6 kmC.8 kmD.10 km13.[多选题]已知f(x)=e x-2x2有且仅有两个极值点,分别为x1,x2(x1<x2),则下列不等式中正确的有(参考数据:ln 2≈0.693 1,ln 3≈1.098 6) ( )1+x2<1141+x2>114C.f(x 1)+f(x 2)<0D.f(x 1)+f(x 2)>014.[多选题]已知函数y=f(x)在R 上可导且f(0)=1,其导函数 f'(x)满足f'(x)-f(x)x -1>0,对于函数g(x)=f(x)e x,下列结论正确的是( )A.函数g(x)在(1,+∞)上为单调递增函数B.x=1是函数g(x)的极小值点C.函数g(x)至多有两个零点D.x ≤0时,不等式f(x)≤e x 恒成立15.[2021洛阳市统考]已知函数f(x)=ln 1x-ax 2+x(a>0).(1)讨论f(x)的单调性﹔(2)若f(x)有两个极值点x 1,x 2,证明:f(x 1)+f(x 2)>3-2ln 2.16.[2019全国卷Ⅰ,12分]已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f '(x)为f(x)的导数,证明:(1)f '(x)在区间(-1,π2)上存在唯一极大值点; (2)f(x)有且仅有2个零点.17.[新角度题]直线x=a(a>0)分别与直线y=2x+1,曲线y=x+ln x 相交于A,B 两点,则|AB|的最小值为( )C.√2D.√318.[2020惠州市二调][交汇题]设函数f(x)=√3sin πxm,若存在f(x)的极值点x 0满足x 02+[f(x 0)]2<m 2,则m 的取值范围是( )A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)19.[角度创新]已知函数f(x)=ax-e x +2,其中a ≠0.(1)讨论f(x)的单调性.(2)是否存在a ∈R,对任意x 1∈[0,1],总存在x 2∈[0,1],使得f(x 1)+f(x 2)=4成立?若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.答 案第二讲 导数的简单应用1.D 由题图可知,当x<0时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当0<x<b 时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>b 时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.又f'(b)=0,所以当x=b 时,f(x)取得极大值,综上,满足题意的f(x)的图象可能是D.2.A 由题意知f '(x)=12e x +(12x-1)e x +12=12[e x (x-1)+1].令g(x)=e x (x-1)+1,则g'(x)=e x (x-1)+e x =xe x ,令g'(x)=0,得x=0,则函数g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,由此可知f '(x)≥0,所以函数f(x)不存在极值点,故选A.3.A 由题意得f'(x)=xe x -a,因为函数f(x)=e x (x-1)-ax 有两个极值点,所以f'(x)=0有两个不等的实根,即a=xe x 有两个不等的实根,所以直线y=a 与y=xe x 的图象有两个不同的交点.令g(x)=xe x ,则g'(x)=e x (x+1).当x<-1时,g'(x)<0,当x>-1时,g'(x)>0,所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,所以当x=-1时,g(x)取得最小值,且最小值为-1e.易知当x<0时,g(x)<0,当x>0时,g(x)>0,则可得函数g(x)的大致图象,如图D 3-2-1所示,则-1e<a<0,故选A.图D 3-2-14.D 当x ≥0时,f(x)=e x +cos x,则f '(x)=e x -sin x ≥e 0-sin x ≥0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增.又f(-x)=e |-x|+cos(-x)=e |x|-1)=f(103),b=f(2)<f(20)=f(1),c=f(log 20.2)=f(log 215)=f(-log 25)=f(log 25),又1=log 22<log 25<log 28=3<103,所以f(2)<f(log 25)< f(103),即b<c<a.故选D.5.C 令g(x)=e x f(x),则g'(x)=e x f(x)+e x f'(x),因为f(x)+f'(x)<0,所以g'(x)<0,所以g(x)在R 上单调递减.因为g(0)=e 0f(0)=f(0)=1,所以不等式f(x)>e -x 可转化为e x f(x)>1,即g(x)>1=g(0),又g(x)在R 上单调递减,所以x<0,故不等式f(x)>e -x 的解集为(-∞,0),故选C.6.A 解法一 f(1-x)+f(1+x)=2,分别令x=0,x=1(题眼),得{f(1)=1,f(0)+f(2)=2,即{1−b +c =1,c +8−4b +c =2,解得b=c=3,所以f(x)=x 3-3x 2+3,f '(x)=3x 2-6x=3x(x-2),令f '(x)=0,得x=0或x=2,所以当x<0或x>2时f '(x)>0,当0<x<2时f '(x)<0,所以函数f(x)在(0,2)上单调递减,在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增(题眼).由f(1-x)+f(1+x)=2,得f(x)+f(2-x)=2.对于A,2=f(ln 2)+f(2-ln 2)=f(ln 2)+f(ln e 22)>f(ln 2)+f(ln 4),故A 正确;对于B,2=f(-2)+f(4)<f(-2)+f(5),故B 不正确;对于C,2=f(ln 2)+f(2-ln 2)=f(ln 2)+f(ln e 22)<f(ln 2)+f(ln 3),故C 不正确;对于D,2=f(-1)+f(3)>f(-1)+f(2),故D 不正确.故选A.解法二 由f(1-x)+f(1+x)=2知函数f(x)图象的对称中心为(1,1)(题眼),又三次函数g(x)=ax 3+dx 2+ex+f(a ≠0)图象的对称中心为(-d3a,g(-d3a)),所以b3=1,解得b=3,所以f(b3)=f(1)=1,即1-3+c=1,得 c=3,所以f(x)=x 3-3x 2+3.以下同解法一.7.A 由题意知, f '(x)=[x 2+(2-m)x-2m]e x =(x+2)(x-m)e x .由f '(x)=0得x=-2或x=m.因为m>-2,所以函数f(x)在区间(-∞,-2)和(m,+∞)内单调递增,在区间(-2,m)内单调递减. 于是函数f(x)的极小值为f(m)=0,即(m 2-m 2-m)e m +2m=0,(2-e m )m=0,解得m=0或m=ln 2.当m=0时,f(x)的极大值为f(-2)=4e -2;当m=ln 2时,f(x)的极大值为f(-2)=(4+ln 2)·e -2+2ln 2.故选A.8.[0,2e 3] x<0时,f(x)≤f(-1)=a-2,x>0时,aln x-x 2-2≤a-2,即x 2-aln x+a ≥0恒成立.令t(x)=x 2-aln x+a,则t'(x)=2x 2-a x,a<0时,t'(x)>0,x →0时,t(x)→-∞,不合题意.a=0时,t(x)=x 2≥0恒成立.a>0时,t(x)在(0,√a2)上单调递减,在(√a2,+∞)上单调递增,所以t(x)min =a2-a ·ln √a2+a ≥0,解得0<a ≤2e 3.综上,a ∈[0,2e 3]. 9.(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).当k=0时,f '(x)=-1x-lnx(x -1)2.令g(x)=-1x -ln x,则g'(x)=1−xx 2. 当x ∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x ∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.∴g(x)max =g(1)=-1<0,∴g(x)<0,∴f '(x)<0,∴f(x)的单调递减区间为(0,1),(1,+∞),无单调递增区间.(2)由f(x)>0对任意的x ∈(1,+∞)恒成立,得1+lnx x -1-k x >0(x>1),即k<[x(1+lnx)x -1]min (x>1).令h(x)=x(1+lnx)x -1,x>1,则h'(x)=x -2-lnx (x -1)2,令φ(x)=x-2-ln x,x>1,则φ'(x)=x -1x>0,∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增,又φ(3)=1-ln 3<0,φ(4)=2-2ln 2>0,∴存在唯一x 0∈(3,4),使得φ(x 0)=0,即x 0-2-ln x 0=0,x 0-1=1+ln x 0,当x 变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表所示:x (1,x 0) x 0 (x 0,+∞)h'(x) - 0 +h(x)单调递减 极小值 单调递增∴h(x)min =h(x 0)=x 0(1+lnx 0)x 0-1=x 0∈(3,4),∴整数k 的最大值为3.10.(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=b=12时,f(x)=ln x-14x 2-12x,则f'(x)=1x -12x-12=-(x+2)(x -1)2x,令f '(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去).当0<x<1时,f '(x)>0,此时f(x)单调递增;当x>1时,f '(x)<0,此时f(x)单调递减.所以f(x)的极大值为f(1)=-34,此即函数f(x)的最大值.图D 3-2-2(2)由题意可知,2mf(x)=x 2⇔2m(lnx+x)=x 2⇔12m =lnx+x x 2.设g(x)=lnx+x x 2,则g'(x)=1−2lnx -xx 3,令h(x)=1-2ln x-x,则h'(x)=-2x-1.因为x>0,所以h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)上单调递减.因为h(1)=0,所以当x ∈(0,1)时,h(x)>0,当x ∈(1,+∞)时,h(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以g(x)max =g(1)=1.又g(e -1)=-1+e -1e -2<0,且当x →+∞时,g(x)→0,所以可画出g(x)的大致图象,如图D 3-2-2所示,方程2mf(x)=x 2有唯一实数解就等价于直线y=12m与g(x)=lnx+x x 2的图象只有一个交点,由图象可知12m =1,即m=12.11.D 令g(x)=x 2f(x)-x 2,则g'(x)=2xf(x)+x 22f(x)-f(1)<x 2-1可化为x 2f(x)-x 2<f(1)-1,即g(x)<g(1),所以|x|>1,解得x>1或x<-1,故选D.12.A 因为PE ⊥PF,∠EPA=α,所以∠PFB=α,在Rt △PAE 中,PE=APcosα=8cosα,在Rt △PBF 中,PF=PBsinα=1sinα,则PE+PF=8cosα+1sinα .设f(α)=8cosα+1sinα,α∈(0,π2),则f '(α)=8sinαcos 2α-cosαsin 2α=8sin 3α-cos 3αcos 2αsin 2α,令f '(α)=8sin 3α-cos 3αcos 2αsin 2α=0,则tan α=12,当0<tan α<12时,f '(α)<0,当tan α>12时,f '(α)>0,所以当tan α=12时,f(α)取得最小值,此时AE=AP ·tan α=8×12=4,故选A.13.AD 由题意得f '(x)=e x -4x,则f '(14)=e 14-1>0,f '(12)=e 12-2<0,f '(2)=e 2-8<0.由ln 3≈1.098 6,得98>ln 3,所以f '(94)>0,从而14<x 1<12,2<x 2<94,所以x 1+x 2<114.因为f(0)=1,所以易得f(x 1)>1.因为f '(2ln 3)=9-8ln 3>0,所以x 2<2ln 3,因为f '(x 2)=0,所以f(x 2)=4x 2-2x 22.设g(x)=4x-2x 2,得g(x 2)>g(2ln 3)>g(2.2)=-0.88>-1,所以f(x 1)+f(x 2)>0. 14.ABC 因为f'(x)-f(x)x -1>0,所以当x>1时,f'(x)-f(x)>0;当x<1时,f'(x)-f(x)<0.因为g(x)=f(x)e x,所以g'(x)=f'(x)-f(x)e x,则当x>1时,g'(x)>0;当x<1时,g'(x)<0.所以函数g(x)在(1,+∞)上为单调递增函数,在(-∞,1)上为单调递减函数,则x=1是函数g(x)的极小值点,则选项A,B 均正确.当g(1)<0时,函数g(x)至多有两个零点,当g(1)=0时,函数g(x)有一个零点,当g(1)>0时,函数g(x)无零点,所以选项C 正确.g(0)=f(0)e 0=1,又g(x)在区间(-∞,1)上单调递减,所以当x ≤0时,g(x)=f(x)e x≥g(0)=1,又e x >0,所以f(x)≥e x ,故选项D 错误.故选ABC.15.(1)∵f(x)=ln 1x -ax 2+x =-ln x-ax 2+x(a>0,x>0), ∴f '(x)=-1x -2ax+1=-2ax 2-x+1x(a>0).令2ax 2-x+1=0,则其判别式Δ=1-8a.①当Δ≤0,即a ≥18时,f '(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当Δ>0,即0<a<18时,方程2ax 2-x+1=0有两个不相等的正根x 3= 1−√1−8a4a,x 4=1+√1−8a4a,则当0<x<x 3或x>x 4时,f '(x)<0,当x 3<x<x 4时,f '(x)>0,∴ f(x)在(0,1−√1−8a4a)上单调递减,在(1−√1−8a 4a,1+√1−8a4a)上单调递增,在(1+√1−8a4a,+∞)上单调递减.综上,当a ∈[18,+∞)时,f(x)在(0,+∞)上单调递减,无增区间; 当a ∈(0,18)时,f(x)在(0,1−√1−8a4a),(1+√1−8a4a,+∞)上单调递减,在(1−√1−8a 4a,1+√1−8a4a)上单调递增.(2)不妨设x 1<x 2.由(1)知,当且仅当a ∈(0,18)时,f(x)有极小值点x 1和极大值点x 2,∴x 1+x 2=12a,x 1x 2=12a.f(x 1)+f(x 2)=-lnx 1-a x 12+x 1-ln x 2-a x 22+x 2=-(ln x 1+ln x 2)-12(x 1-1)-12(x 2-1)+(x 1+x 2)=-ln(x 1x 2)+12(x 1+x 2)+1=ln(2a)+14a +1.令g(a)=ln(2a)+14a+1,a ∈(0,18),则g'(a)=1a-14a 2=4a -14a 2<0,∴g(a)在(0,18)上单调递减,∴g(a)>g(18)=ln(2×18)+14×18+1=3-2ln 2,即f(x 1)+f(x 2)>3-2ln 2.16.(1)设g(x)=f '(x),则g(x)=cos x-11+x,g'(x)=-sin x+1(1+x)2.当x ∈(-1,π2)时,g'(x)单调递减,而g'(0)>0,g'(π2)<0,可得g'(x)在(-1,π2)上有唯一零点,设为α.则当x ∈(-1,α)时,g'(x)>0;当x ∈(α,π2)时,g'(x)<0.所以g(x)在(-1,α)上单调递增,在(α,π2)上单调递减,故g(x)在(-1,π2)上存在唯一极大值点,即f '(x)在(-1,π2)上存在唯一极大值点.(2)f(x)的定义域为(-1,+∞).(i)当x ∈(-1,0]时,由(1)知,f '(x)在(-1,0)上单调递增,而f '(0)=0,所以当x ∈(-1,0)时,f '(x)<0,故f(x)在(-1,0)上单调递减.又f(0)=0,从而x=0是f(x)在(-1,0]上的唯一零点.(ii)当x ∈(0,π2]时,由(1)知,f '(x)在(0,α)上单调递增,在(α,π2)上单调递减,而f '(0)=0,f '(π2)<0,所以存在β∈(α,π2),使得f'(β)=0,且当x ∈(0,β)时,f '(x)>0;当x ∈(β,π2)时,f '(x)<0.故f(x)在(0,β)上单调递增,在(β,π2)上单调递减. 又f(0)=0,f(π2)=1-ln(1+π2)>0,所以当x ∈(0,π2]时,f(x)>0.从而f(x)在(0,π2]上没有零点.(iii)当x ∈(π2,π]时,f '(x)<0,所以f(x)在(π2,π)上单调递减.而f(π2)>0,f(π)<0,所以f(x)在(π2,π]上有唯一零点. (iv)当x ∈(π,+∞)时,ln(x+1)>1,所以f(x)<0,从而f(x)在(π,+∞)上没有零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.17.B 根据题意,设f(x)=2x+1-x-ln x=x+1-ln x,则f'(x)=1-1x =x -1x (x>0),所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以 f(x)min =f(1)=2-ln 1=2,所以|AB|min =2.故选B.18.C 由题意得,当πx m =k π+π2(k ∈Z),即x=(2k+1)m 2(k ∈Z)时,f(x)取得极值±√3.若存在f(x)的极值点x 0满足x 02+[f(x 0)]2<m 2,则存在k ∈Z,使[(2k+1)m 2]2+3<m 2成立,问题等价于存在k ∈Z 使不等式m 2(k+12)2+3<m 2成立,因为(k+12)2的最小值为14,所以只要14m 2+3<m 2成立即可,即m 2>4,解得m>2或m<-2.故选C.19.(1)由f(x)=ax-e x +2,得f '(x)=a-e x .当a<0时,对任意x ∈R,f'(x)<0,所以f(x)单调递减.当a>0时,令f '(x)=0,得x=ln a,当x ∈(-∞,ln a)时,f '(x)>0,当x ∈(ln a,+∞)时,f '(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递增,在(ln a,+∞)上单调递减.综上所述,当a<0时,f(x)在R 上单调递减,无增区间;当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递增,在(ln a,+∞)上单调递减.(2)存在满足条件的实数a,且实数a 的值为e+1.理由如下:①当a ≤1,且a ≠0时,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递减,则x ∈[0,1]时,f(x)max =f(0)=1,则f(x 1)+f(x 2)≤2f(0)=2<4,所以此时不满足题意;②当1<a<e 时,由(1)知,在[0,ln a]上,f(x)单调递增,在(ln a,1]上,f(x)单调递减, 则当x ∈[0,1]时,f(x)max =f(ln a)=aln a-a+2.当x 1=0时,对任意x 2∈[0,1],f(x 1)+f(x 2)≤f(0)+f(ln a)=1+aln a-a+2=a(ln a-1)+3<3,所以此时不满足题意;③当a ≥e 时,令g(x)=4-f(x)(x ∈[0,1]),由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,从而知g(x)在[0,1]上单调递减,所以g(x)max =g(0)=4-f(0),g(x)min =g(1)=4-f(1).若对任意的x 1∈[0,1],总存在x 2∈[0,1],使得f(x 1)+f(x 2)=4,则f(x)的值域为g(x)值域的子集,即{f(0)≥g(1),f(1)≤g(0),即{f(0)+f(1)≥4,f(1)+f(0)≤4,所以f(0)+f(1)=a-e+3=4,解得a=e+1.综上,存在满足题意的实数a,且实数a 的值为e+1.。

导数几何意义与运算（二）：高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．曲线322y x x =-在点(1,1)-处的切线方程为（）A ．45y x =-B ．2y x =-C ．43y x =-+D ．y x=-2．已知函数()f x 的导函数'()f x ，且满足()()21e xf x x f =⋅-'，求(1)f '=（）A ．1B ．－1C ．－eD ．e3．一个物体的运动方程为232S t t =-+，其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒时的瞬时速度是()A ．4米/秒B ．5米/秒C ．6米/秒D ．7米/秒4．已知函数()f x 的定义域为R ，若()()11lim 4x f x f x∆→+∆-=∆，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．3D ．45．若21()ln(2)2f x x b x =-++在()1,+¥上是减函数，则b 的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．(]3,-∞D ．(),3-∞6．已知()f x 为偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()()0f x xf x '+<，其中()f x '为()f x 的导数，则不等式()()()11220x f x xf x --+>的解集为()A ．(),1-∞-B ．()1,-+∞C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x 的导函数为()'f x ，当0x >时，有2()()0f x xf x '+>，则不等式2(2022)(2022)4(2)0x f x f +++<的解集为（）A ．(),2020∞--B ．(,2024)-∞-C ．(2020,)-+∞D ．(2024,)-+∞8．已知,P Q 分别是曲线e x y =与曲线ln y x =上的点，则PQ 的取值范围是（）A ．)+∞B ．)+∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞二、填空题9．若()()3log 0f x x x =>，则()1f '=________.10．已知函数()()2e ln f x xf x +'=，则f （e ）＝__.11．从抛物线24x y =的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线PA 、PB ，且A 、B 为切点，若直线AB 的倾斜角为6π，则P 点的横坐标为______.三、解答题12．已知函数()2ln f x a x bx x =++在1x =处的切线方程620x y --=．（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间与极小值．13．求下列函数的导数.（1）()()22131y x x =-+；（2）2ln 1xy x =+.14．已知函数()ln f x x x =+．(1)求函数()f x 在点()1,1处的切线方程；(2)()f x 在点()1,1处的切线与()2231y ax a x =+++只有一个公共点，求a 的值．15．已知函数()21ln 2f x ax x x ax =--．（1）若函数()f x 的图象在x e =处的切线过点()2,0e ，求实数a 的值；（2）1x ∀，()21,e x ∈，()()12123f x f x x x -<-，求实数a 的取值范围．参考答案：1．D 【解析】【分析】求出切线的斜率，再利用直线的点斜式方程得解.【详解】点(1,1)-在曲线上，234y x x '=-，11x y =∴=-'，即切线斜率为1-，利用点斜式得切线方程为1(1)y x +=--，即y x =-．故选：D 【点睛】结论点睛：函数()y f x =上一点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-.2．D 【解析】【分析】求得'()f x ，令1x =，即可求得结果.【详解】()()21e x f x f ''=-，则当1x =时，()12(1)e f f '=-'，所以()1e f '=．故选：D .3．A 【解析】【分析】求S 关于t 的导数，令t ＝3即可得物体在3秒时的瞬时速度﹒【详解】由232S t t =-+得22S t '=-+，当t ＝3时，2234S '=-+⨯=，∴物体在3秒时的瞬时速度是4米/秒．故选：A ﹒4．D 【解析】【分析】利用导数的定义可求得()1f '的值.【详解】由导数的定义可得()()()111lim 4x f x f f x∆→+∆-'==∆.故选：D.5．C 【解析】【分析】先求()f x '，再将()f x 在()1,+∞上是减函数，转化为()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，而后分离参数求()211x +-在()1,+∞上的最小值，可得实数b 的取值范围.【详解】由题知，21()ln(2)2f x x b x =-++，()2bf x x x '=-++.若()f x 在()1,+∞上是减函数，则()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，由()02b f x x x '=-+≤+得，()()2211b x x x ≤+=+-，当()1,x ∈+∞时，()()22111113x +->+-=，所以3b ≤.故选：C.6．A 【解析】【分析】根据已知不等式和要求解的不等式特征，构造函数()()g x xf x =，将问题转化为解不等式()()21g x g x >-.通过已知条件研究g (x )的奇偶性和单调性即可解该不等式.【详解】令()()g x xf x =，则根据题意可知，()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-，∴g (x )是奇函数，∵()()()g x f x xf x ''=+，∴当0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，∵g (x )是奇函数，g (0)＝0，∴g (x )在R 上单调递减，由不等式()()()11220x f x xf x --+>得，()()()()()221121211xf x x f x g x g x x x x >--⇒>-⇒<-⇒<-.故选：A.7．B 【解析】【分析】根据给定的不等式构造函数2()()g x x f x =，再探讨函数()g x 的性质，借助性质解不等式作答.【详解】依题意，令2()()g x x f x =，因()f x 是R 上的奇函数，则22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，即()g x 是R 上的奇函数，当0x >时，2()2()()[2()()]0g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+>，则有()g x 在(0,)+∞单调递增，又函数()g x 在R 上连续，因此，函数()g x 在R 上单调递增，不等式2(2022)(2022)4(2)0x f x f +++<(2022)(2)0(2022)(2)g x g g x g ⇔++<⇔+<-，于是得20222x +<-，解得2024x <-，所以原不等式的解集是(,2024)-∞-.故选：B 8．B 【解析】【分析】利用曲线e x y =与曲线ln y x =互为反函数，可先求点P 到y x =的最小距离d ，然后再求PQ 的取值范围.【详解】曲线e x y =与曲线ln y x =互为反函数，其图象关于y x =对称，∴求出点P 到y x =的最小距离d设曲线e x y =上斜率为1的切线为y x b=+e x y '= ，由e 1x =得0x =，∴切点坐标为()0,1，即0b =2d ∴=∴PQ)PQ ∈+∞故选：B.9．1ln 3【解析】【分析】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，即可求解.【详解】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，所以()11ln 3f '=.故答案为：1ln 3.10．1-【解析】【分析】由导数得出()1e ef '=-，再求()e f .【详解】∵()()2e ln f x xf x +'=，∴()()12e f x f x''=+，()()1e 2e ef f ''∴=+，解得()1e ef '=-，()2ln exf x x ∴=-+，()e 211f ∴=-+=-，故答案为：1-.11【解析】【分析】设点(),1P t -，求出切点弦AB 所在直线的方程，结合已知条件求出t 的值.【详解】设点(),1P t -，设点()11,A x y 、()22,B x y ，对函数24x y =求导得2x y '=，所以，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即211122x x x y y -=-，即112x x y y =-，同理可知，直线PB 的方程为222x xy y =-，由于点P 为直线PA 、PB 的公共点，则1122220220tx y tx y -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程220tx y -+=，所以，直线AB 的方程为220tx y -+=，由题意可得tan 623t π==，解得t =.故答案为：3.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的切点弦所在直线的方法如下：（1）求出两切线与圆锥曲线的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程；（2）写出圆锥曲线在切点（在圆锥曲线上）处的切线方程，将两切线的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程.12．（1）13a b =-⎧⎨=⎩；（2）()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭单调递增，() f x 的极小值为2ln 33+．【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，有()16f '=，又()14f =，联立方程组即可求解.（2）求函数的导函数，然后令导函数大于0，可得增区间，令导函数小于0，可得减区间，从而可得函数的极小值．【详解】解：（1）()21af x bx x '=++，由已知可得()()1216114f a b f b ⎧=++=⎪⎨=+='⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩.（2）由（1）可得()2ln 3f x x x x =-++，∴()()()3121161x x f x x x x-+'=-++=()0x >，令()0f x '>，解得13x >；令()0f x '<，解得103x <<，∴()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭单调递增，∴当13x =时，() f x 的极小值为2ln 33+．13．（1）21843y x x '=+-；（2）y '()()22212ln 11x x x x -+=+.【解析】【分析】（1）由导数的乘法法则即可得到答案；（2）由导数的除法法则即可得到答案.【详解】（1）()()()()2221312131y x x x x '''=-++-+()()2431321x x x =++-2212463x x x =++-21843x x =+-.（2）()()()()2222ln 1ln 11x x x x y x''+-⋅+'=+()()22211ln 21x x x x x +-⋅=+()()22212ln 11x x x x -+=+.14．(1)210x y --=；(2)a 的值为0，或12.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；（2）根据a 是否为零进行分类讨论，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.(1)由()1ln ()1f x x x f x x'=+⇒=+，因此有1(1)121f '=+=，所以函数()f x 在点()1,1处的切线方程为：12(1)210y x x y -=-⇒--=；(2)当0a =时，()223131y ax a x x =+++=+，所以有2102315x y x y x y --==-⎧⎧⇒⎨⎨=+=-⎩⎩，直线210x y --=与直线31y x =+只有一个交点，符合题意；当0a ≠时，由()()222312120210y ax a x ax a x x y ⎧=+++⇒+++=⎨--=⎩，要想()f x 在点()1,1处的切线与()2231y ax a x =+++只有一个公共点，只需21(21)802a a a ∆=+-=⇒=，综上所述：a 的值为0，或12.15．（1）32ea =；（2）(,3]e -∞+【解析】【分析】（1）对函数()f x 求导可得()ln f x a x x '=-，再利用导数的几何意义求出切线方程，将点()2,0e 代入即可求解.（2）令函数()()3,1h x f x x x e =-<<，由函数单调性的定义可得()h x 在()1,e 上递减，由导数可得3ln x a x+≤在()1,e 上恒成立，设3(),ln 1x u x x x e +=<<，由导数求得函数()()u x u e >即可得解.【详解】（1）由题意()(ln 1)ln ,0f x a x x a a x x x '=+--=->，所以()ln f e a e e a e '=-=-，()212f e e =-，所以函数()f x 的图象在x e =处的切线为()()212y e a e x e +=--，由切线过点()2,0e ，则()()2122e a e e e =--，解得32e a =.（2）不妨设121x x e <<<，若()()12123f x f x x x -<-，则()()()12123f x f x x x ->-即()()112233f x x f x x ->-，令()2()()31ln 3,21ax x h x f x e x x a x x --+=-=<<，则()h x 在()1,e 递减，∴()ln 30h x a x x '=--≤即3ln x a x+≤在()1,e 上恒成立，设3(),ln 1x u x x x e +=<<，则23ln 1()(ln )x x u x x --'=，再设3()ln 11,v x x x x e =--<<，函数()v x 单调递增，∴3()()0v x v e e<=-<，∴()0u x '<，()u x 在()1,e 上单调递减，∴()()3u x u e e >=+，∴a 的取值范围是(,3]e -∞+.。

第十二讲 导数的切线方程【套路秘籍】1. 导数的几何意义：切线的斜率2. 求斜率的方法 （1）公式：/12012tan ()y y k f x x x α-===-0απ为直线的倾斜角，范围[0,),x 是切点的横坐标（2）当直线l 1、l 2的斜率都存在时：1212l l k k ⇔=，12120l l k k ⊥⇔•= 3. 切线方程的求法 （1）求出直线的斜率 （2）求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式00()y y k x x -=-写出直线方程。

【套路修炼】考向一 斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为 。

(2)设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =______________．【举一反三】1.已知在曲线2y x =上过点00(),P x y 的切线为l ． （1）若切线l 平行于直线45y x =-，求点P 的坐标； （2）若切线l 垂直于直线2650x y -+=，求点P 的坐标； （3）若切线l 的倾斜角为135︒，求点P 的坐标．考向二 在某点处求切线方程【例2】设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．【举一反三】1.函数f (x )＝e x cos x 在点(0，f (0))处的切线方程为 。

2.曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为___.考向三 过某点处求切线方程【例3】已知函数()3f x x =，则过（1,1）的切线方程为__________．【举一反三】1．已知曲线f(x)=1x ，则过点(−1,3)，且与曲线y =f(x)相切的直线方程为 。

2．过点p(−4,0)作曲线y =xe x 的切线，则切线方程为_______________________.3．过坐标原点(0, 0)作曲线y =e x 的切线,则切线方程为________.考向四 求参数【例4】已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R ，若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为． 【举一反三】1.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝.2.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为 。

专题2-3 导数压轴小题归类目录讲高考 ............................................................................................................................................................................... 1 题型全归纳 ...................................................................................................................................................................... 2 【题型一】公切线求参 ............................................................................................................................................... 2 【题型二】“过点”切线条数 ................................................................................................................................. 3 【题型三】切线法解题 ............................................................................................................................................... 3 【题型四】恒成立“同构型”求参 ....................................................................................................................... 4 【题型五】恒成立“虚根”型求参 ....................................................................................................................... 5 【题型六】恒成立“整数解”求参 ....................................................................................................................... 5 【题型七】换元求参型 ............................................................................................................................................... 6 【题型八】选择主元求参型 ..................................................................................................................................... 7 【题型九】多参放缩型 ............................................................................................................................................... 7 【题型十】多参韦达定理型 ..................................................................................................................................... 7 【题型十一】构造函数求参 ..................................................................................................................................... 8 【题型十二】极值点偏移型 ..................................................................................................................................... 9 专题训练 (10)讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．12．（2021·全国·统考高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b <<3．（2019·天津·高考真题）已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,e D ．[]1,e4．（·四川·高考真题）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P­2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞)5．（2021·全国·统考高考真题）设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a < D ．2ab a > 6．（2022·全国·统考高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．题型全归纳【题型一】公切线求参【讲题型】例题1.若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,2e B ．(]0,e C ．[)2,e +∞ D ．(],2e e例题2.已知直线l 与曲线()x f x e =和()ln g x x =分别相切于点()11,A x y ，()22,B x y .有以下命题：（1）90AOB ∠>︒(O 为原点)；（2）()11,1x ∈-；（3）当10x <时，)2121x x ->.则真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．31.．若函数1()33(0)fx x x x=+->的图象与函数()e x g x tx =的图象有公切线l ，且直线l 与直线122y x =-+互相垂直，则实数t =（ ）A ．1eB ．2eC ．1e 或D ．1e 或2.直线12y x t =+与曲线y =()2220x y r r +=>相切，则r =（ ） A ．15B C ．3 D3.．若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ）A ．e 2B ．eCD ．2e【题型二】“过点”切线条数【讲题型】例题1.若过点()(),0m n m <可作曲线3y x =-三条切线，则（ ） A ．30n m <<-B ．3n m >-C ．0n <D ．30n m <=-例题2.已知函数()ln f x x =，若过点(),0P t 存在2条直线与曲线()y f x =相切，请写出满足条件的一个t 值：______．1.已知函数21()2f x x x =+，过点(2,)M a 作()f x 的切线，切线恰有三条，则a 的取值范围是________．2.已知函数()32692f x x x x =-+-，过点()0,2P 作曲线()y f x =的切线，则可作切线的最多条数是______．3.已知函数()()()2112819f x x x x =+--.过点()() 1,1A f --作曲线()y f x =两条切线，两切线与曲线()y f x =另外的公共点分别为B 、C ，则ABC 外接圆的方程为___________.△当切点为(2，-3)时，切线为()1y x =-+，即1y x =--，【题型三】切线法解题【讲题型】例题1.已知过原点的直线与函数()e ,0ln ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（ ）A ．()1,e e ⎧⎫-∞-⎨⎬⎩⎭B ．{}1e 0,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1e,e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．()1,e 0,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例题2.已知函数()()1ln f x kx x x =+-，若()0≤f x 有且只有两个整数解，则k 的取值范围是（ ） A ．ln 5ln 2,3010⎛⎤⎥⎝⎦ B ．ln 5ln 2,3010⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 2ln 3,⎛⎤⎥ D ．ln 2ln 3,⎛⎫⎪1.已知函数()eln ||f x x x a =--，2[1,e ]x ∈.若()y f x =的图象与x 轴有且仅有两个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,e] B ．(0,e]C ．2[1,e 2e]-D ．2(0,e 2e]-2..已知0a >，0b >，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则21a b+的最小值为___________.3.．对任意的x ∈R ，若关于x sin 2(0)6m x m π⎛⎫++> ⎪⎝⎭恒成立，则m 的最小值为__________.【题型四】恒成立“同构型”求参【讲题型】例题1.若关于x 的不等式1ln x e a a ax ++>对于任意()0,x ∈+∞恒成立.则实数a 的取值范围是___________.例题2.已知当e x ≥时，不等式11e ln ax x a x +-≥恒成立，则正实数a 的最小值为___________.1.若关于x 的不等式1e ln x a a ax -->对于任意的()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是___________.2.已知对任意给定的0b >，存在a b ≥使ln e (0)mb a m m => 成立，则实数m 的取值范围为：__________．3.若对任意0x >，恒有()112ln ax a x x x e ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，则实数a 的最小值为（ ）A ．21eB ．22eC ．1eD ．2e【题型五】恒成立“虚根”型求参【讲题型】例题1.已知当(1,)x ∈+∞时，关于x 的方程ln (2)1x x k xk+-=-有唯一实数解，则k 值所在的范围是 A ．(3,4) B ．(4,5) C ．(5,6) D ．(6,7)例题2.设函数()()21ln x f x e e x =-+（其中e 为自然对数的底数），则函数()f x 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．31.已知21a -<<，且0x ≥时，()5854842x e x a +≥-恒成立，则a 的最小值是（ ） A ．1- B ．ln 22- C ．1e - D ．ln33-2.当0x >时，不等式2e 2ln 1x x mx x ≤++有解，则实数m 的范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．[)2,+∞3.已知函数21()ln (2)(1)e 12x f x x x a x x =+---+在(0,)+∞上是减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,3]-∞ C ．(,e 1]-∞+ D ．(,4e]-∞【题型六】恒成立“整数解”求参【讲题型】例题1.设函数()2(1)x f x ax a e x =-+-,其中1a <，若存在唯一整数0x ，使得0()0f x >，则a 的取值范围是A ．2,13e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．21,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,13e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．21,32e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭例题2.已知函数() lnxf x x=，关于 x 的不等式()()2 0?f x af x ->有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是 A ．52 )52ln ln ⎡⎢⎣， B ．53)53ln ln ⎡⎢⎣， C ．52(52ln ln ⎤⎥⎦， D ．53(53ln ln ⎤⎥⎦，1.若关于x 的不等式0x xe ax a -+<的解集为()(),0m n n <，且(),m n 中只有一个整数，则实数a 的取值范围是 A ． B ．C ．D ．2..已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且对任意的实数x 都有23()()xx f x f x e+'=-(e 是自然对数的底数)，且(0)1f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是_________．3.在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【题型七】换元求参型【讲题型】例题1.设k ，b ∈R ，若关于x 的不等式()ln 1x x kx b -+≤+在()1,+∞上恒成立，则11b k --的最小值是（ ） A ．2e - B ．11e -+ C ．21e -D ．1e --例题2.若函数f (x )＝12ax 2－ex ＋1在x ＝x 1和x ＝x 2两处取到极值，且212x x ≥，则实数a 的取值范围是________.【练题型】1.已知函数()3e x f x x =，()3ln g x x x =，若0a >，0b >，且()()f a g b =，则3a b -的最大值为______．2.设正实数x ，则()2ln ln x xf x x=的值域为_____．【题型八】选择主元求参型【讲题型】例题1.已知实数a 、b 、c 满足a b c <<，6.9a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=⎩下列命题中：①01a <<；①13b <<；①34c <<；①()()55b c --的最小值是154，所有真命题为__________．例题2..若a ，b 为实数，且13a ≤≤，24b ≤≤，则324a bab +的取值范围是___________.1.已知0a >，0b >，4c ≥，且2a b +=，则2ac c c b ab +-___________．2.．若a ，b 为实数，且13a ≤≤，24b ≤≤，则324a bab +的取值范围是___________.【题型九】多参放缩型【讲题型】例题1.已知(),,x a b R f x e ax b ∈=-+，若()1f x ≥恒成立，则b aa-的取值范围是_________.例题2.已知0m >，若存在实数[1,)x ∈+∞使不等式120mx m x +⋅-≤成立，则m 的最大值为_______．【练题型】1.已知函数()()ln x f x x m e =+-，满足()0f x <恒成立的最大整数m 为__________．2.已知不等式ln(1)(2)2x a x b --+≤-恒成立，则32b a -+的最小值为______.3.已知不等式x−3lnx ＋1≥mlnx ＋n （m ，n△R ，且m≠−3）对任意实数x 恒成立，则n-3m+3的最大值为A 、−2ln2B 、−ln2C 、1−ln2D 、2−ln2【题型十】多参韦达定理型【讲题型】例题1.已知函数()()2++,f x ax x b a b R =∈在区间[]23，上有零点，则2+a ab 的取值范围是（ ）A ．(]4-∞，B ．818⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．8148⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．818⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，例题2.已知()()21ln f x x a x =-+在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恰有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则()12f x x 的取值范围为（ ） A ．13,ln 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1ln 2,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,ln 22⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．13ln 2,ln 224⎛⎫-- ⎪⎝⎭1.设函数1()ln ()f x x a x a R x=-+∈的两个极值点分别为12,x x ，若()()12212221f x f x e a x x e ----恒成立，则实数a 的取值范围是_______．2.已知函数()(e )()x bf x x c x=+-（其中1a ≥，,b c R +∈），当(0,)x ∈+∞时()0f x ≥恒成立，则ea b a-的取值范围为___________.【题型十一】构造函数求参【讲题型】例题1.已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()32x xf x x e f x '=+，若()2244f e =+，则函数()()2g x f x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例题2.已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒有()cos ()sin 0f x x f x x '-<成立，则下列不等式成立的（ ） A64fππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．36f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C43ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1.已知函数()f x 的导函数为()f x '，任意x ∈R 均有()()e x f x f x '-=，且()10f =，若函数()()g x f x t =-在[)1,x ∈-+∞上有两个零点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．21,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．[)1,0-D ．21,e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦2.）若定义域1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的函数()f x 满足()()xe f x f x x'-=且()1f e =-，若13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭恒成立，则m 的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．20,5⎛⎤⎥⎝⎦D ．21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.设奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图象是连续不间断，,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()cos ()sin 0f x x f x x '-<，若1()cos 23f t t f π⎛⎫<⎪⎝⎭，则t 的取值范围是（ ）． A ．,23ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【题型十二】极值点偏移型【讲题型】例题1..已知()()x f x xe x R -=∈，若12x x ≠，且12()()f x f x =，则12x x +与2的关系为A ．122x x +>B ．122x x +≥C ．122x x +<D ．大小不确定例题2.1kx e =有两个不同的实数根1x ，2x （12x x <），则下列不等式不成立的是A ．212x x e ⋅> B ．122x x e +> C ．11x k e e -<+ D ．21x k e e->+【练题型】1.已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x 、2x ，12x x <，则下面说法不正确．．．的是（ ）A ．122x x +>B ．121x x <C ．a e <D ．有极小值点0x ，且1202x x x +<2.已知()()x f x xe x R -=∈，若12x x ≠，且12()()f x f x =，则12x x +与2的关系为 A ．122x x +> B ．122x x +≥ C ．122x x +< D ．大小不确定3.1kx e =有两个不同的实数根1x ，2x （12x x <），则下列不等式不成立的是（ ）A ．212x x e ⋅>B ．122x x e +>C ．11x k e e -<+D ．21x k e e->+练一、单选题1．已知函数2()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0∞-B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()0,∞+2．若实数x ，y 满足24ln 2ln 44x y x y +≥+-，则（ ）A ．xy =B ．x y +=C ．21x y +=+D ．31x y =3．已知函数()()ln 1,01e ,0xx x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，若|()|0f x ax -，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,0]-∞ C ．[1,1]- D ．[0，1]4．已知函数()24e 1ln2x f x x=+，则不等式()2e x f x >的解集是（ ）A ．()0,1B ．11,2e 4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．11,2e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭5．函数()22ln 1f x x a x =-+在()3,a a -上不单调，则实数a 的取值范围为（ ）A ．9,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．9,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[)3,4D ．[]3,46．函数2y kx =+与函数1||y x =的图像至少有两个公共点，关于k 的不等式()20k a k -->有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)3-∞ B ．1(1,)3- C ．(,1)-∞- D ．[1,)+∞7．已知函数()e ln 3x f x m x x =-+有且仅有一个极值点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(]1,0e ⎧⎫⋃-∞⎨⎬⎩⎭8．已知函数1()f x x x=-，若对任意[1,),()()0x f mx f m x ∈+∞+-<恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1(,0)0,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭D ．10,2⎛⎛⎫-∞ ⎪ ⎝⎭⎝⎭二、多选题9．已知当e x ≥时，不等式11e ln ax x a x x+-≥恒成立，则正实数a 的值可以为（ ）A ．1B ．1e C ．e D ．21e10．若函数()()321,R,0f x ax bx a b a =+-∈≠有且仅有两个零点1x ，2x ，则下列说法正确的是（ ）A ．当a<0时，120x x +<B ．当a<0时，120x x +>C ．当0a >时，120x x +<D ．当0a >时，120x x +>11．函数()e x ax f x =和()ln xg x ax=有相同的最大值b ，直线y m =与两曲线()y f x =和()y g x =恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为123,,x x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．1a =B ．1b e=C ．1322x x x +=D ．2132x x x =12．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点12,x x ，且12x x <，则下列选项正确的有（ ）A ．10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()y f x =在(0,e)上单调递减C ．126x x +>D ．若221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212a x x a --<三、填空题13．正实数a ，b 满足1e 4a a +=+，()ln 3b b +=，则b a -的值为____________．14．若关于x 的不等式222e 23x x ax a +-≥-恒成立，则a 的取值范围是_____.15．已知函数ln 1()e 2x x f x ax x =--在(0,)+∞上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为______.16．已知函数()3e x f x x =，()3ln g x x x =，若0a >，0b >，且()()f a g b =，则3a b -的最大值为______．。

一轮大题专练6—导数（零点个数问题2）（2）讨论()f x 的零点个数． 解：（1）()2()2cos f x x a x '=-+．设()()g x f x '=，则()22sin 0g x x '=-，故()f x '单调递增． 又(2)42cos(2)0f a a '-=-+-<，(2)42cos(2)0f a a '+=++>． 故存在唯一0(2,2)x a a ∈-+，使得0()0f x '=．当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增． 故0x 是()f x 的唯一极值点；（2）由（1）0x 是()f x 的极小值点，且满足00cos 0x a x -+=． 又2000077(3)(3cos )2sin(3)42sin(3)044f x x x x -=--+--+-->； 同理2000077(3)(3cos )2sin(3)42sin(3)044f x x x x +=-++-++->． 故0()0f x <时，()f x 有两个零点；0()0f x =时，()f x 有一个零点；0()0f x >时，()f x 无零点． 又2200000007331()(cos )2sin sin 2sin (sin )(sin )4422f x x x x x x x =-+-=-+-=--- 令0()0f x <，解得01sin 2x <，即0722()66k x k k Z ππππ-<<+∈． 令()cos h x x x =+，()1sin 0h x x '=-此时00cos a x x =+关于0x 单调递增，故722)6262k a k k Z ππππ--<<++∈． 令0()0f x =，解得01sin 2x =，即()0072266x k x k k Z ππππ=-=+∈或．此时00cos a x x =+，故)72266a k a k k Z ππππ=-=+∈ 令0()0f x >，解得01sin 2x >，即0522()66k x k k Z ππππ+<<+∈．此时00cos a x x =+关于0x 单调递增，故522)66k a k k Z ππππ+<<+∈．综上所述：当722)6262k a k k Z ππππ--<<++∈时，()f x 有两个零点；当)72266a k a k k Z ππππ=--=++∈时，()f x 有一个零点；当522)66k a k k Z ππππ+<<+∈时，()f x 无零点． 2．已知函数()x x f x xe e =+． （1）求函数()f x 的单调区间和极值； （2）画出函数()f x 的大致图象，并说明理由； （3）求函数()()()g x f x a a R =-∈的零点的个数．解：（1）函数()x x f x xe e =+，定义域为R ，则()(2)x f x x e '=+， 令()0f x '=，解得2x =-，当2x <-时，()0f x '<，则()f x 单调递减，当2x >-时，()0f x '>，则()f x 单调递增， 故当2x =-时，函数()f x 有极小值21(2)f e -=-， 所以()f x 的单调递增区间为(2,)-+∞，单调递减区间为(,2)-∞-，有极小值21e -，，无极大值； （2）令()0f x =，解得1x =-，当1x <-时，()0f x <，当1x >-时，()0f x >， 所以()f x 的图象经过特殊点21(2,)A e --，(1,0)B -，(0,1)C ， 当x →-∞时，与一次函数相比，指数函数x y e =呈爆炸式增长，增长速度更快， 结合（1）中的单调性与极值情况，作出函数()f x 的图象如图所示：（3）函数()()()g x f x a a R =-∈的零点的个数为函数()y f x =的图象与直线y a =的交点个数， 由（1）以及（2）的图象可知，当2x =-时，()f x 有极小值21(2)f e -=-， 结合函数()f x 的图象，所以关于函数()()g x f x a =-的零点的个数如下： 当21a e <-时，零点的个数为0个； 当21a e =-或0a 时，零点的个数为1个； 当210a e -<<时，零点的个数为2个．（2）当0a ≠时，讨论函数()()3g x f x a =--的零点个数，并给予证明． 解：（1）2()xf x a e '=-， 由题意得()0f x '，即2xa e 在区间(1,)+∞上恒成立， 当(1,)x ∈+∞时，22(0,)x e e∈，所以2a e ， 故实数a 的取值范围是2[e，)+∞．（2）由已知得2()2x g x ax a e=+--，则22()x x xae g x a e e -'=-=， 当0a <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 又(0)0g a =->，g （1）220e=-<，故函数()g x 有且只有一个零点． 当0a >时，令()0g x '<，得2x lna<，函数()g x 单调递减； 令()0g x '>，得2x ln a>，函数()g x 单调递增，而222()()0g ln a ln a a a=-<，222()0(a a a g lnx x a e ++=><在(0,)+∞上恒成立）， 由于x lnx >，所以222a ln a a a+>>， 所以()g x 在2(lna ，2)a a+上存在一个零点， 又2222()()22a a g ln a a ln a a ++=-++，且2222ln ln a a a<++，设h （a ）222a a a ln ++=-，h '（a ）2222111022a a a a a a a +-+=-=>++++在(0,)+∞恒成立， 故h （a ）在(0,)+∞上单调递增，而(0)0h =，所以h （a ）0>在(0,)+∞上恒成立，所以22()02g ln a a >++， 所以()g x 在22(2lna a ++，2)ln a 上存在一个零点．综上所述，当0a <时，函数()g x 有且只有一个零点； 当0a >时，()g x 有两个零点．4．已知函数()sin f x lnx ax x =++，其中(0x ∈，]π．解：（1）0a =时，()sin f x lnx x =+，(0x ∈，]π， 1()cos f x x x '=+，()122f ln ππ=+，2()2f ππ'=，故切线方程是：22y x lnππ=+；（2）1()cos f x a x x'=++， 设1()cos g x a x x=++，21()sin 0g x x x '=--<，故()f x '递减，1()()1min f x f a ππ'='=+-，又0x →时，()f x '→+∞， ①若()0f π'<，即11a π<-时，0(0,)x π∃∈使0()0f x '=，当0(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 递增， 当0(x x ∈，)π时，()0f x '<，()f x 递减， ()f x ∴在0x 处取极大值，不存在极小值，②若()0f π'，即11a π-，()0f x '>，()f x ∴在(0，]π递增，此时()f x 无极值，（3）由（2）可知： ()i 若11a π-时，由上问可知：11()()(1)10222222min f x f ln ln ππππππ=+-+=++>，即11a π-时函数没有零点， ()ii 若11a π<-时，(0x ∈，0]x 时，()f x 递增，0(x x ∈，]π时，()f x 递减，由0()0f x '=得001cos 0a x x ++=，从而001cos a x x =--， 再设1()cos h x x x=--，则21()sin 0h x x x '=+>从而a 关于0x 递增，①若0(0x ∈，]2π，此时(a ∈-∞，2]π-，若()()02f f ππ>得2(1)2a ln ππ<-+或ln a ππ>-，2(1)2a ln ππ∴<-+时无零点， ()()02f f ππ<得2(1)2ln ln a ππππ-+<<-， 22(1)2ln a πππ∴-+<-时有1个零点， 当2(1)2a ln ππ=-+时，()02f π=，()0f π≠，有1个零点，因此2(1)2a ln ππ<-+时无零点，22(1)2ln a πππ-+-时有1个零点；②0(2x π∈，]π，此时2(a π∈-，11]π-，()10222f ln a πππ=++>，()f ln a πππ=+，0000000()()sin sin cos 1max f x f x lnx ax x lnx x x x ∴==++=+--，设()sin cos 1m x lnx x x x =+--，则1()sin 0m x x x x'=+>， 故()()022max f x m ln ππ>=>，若()0f π>即ln a ππ>-，即11ln a πππ-<<-时无零点，若()0f π即ln a ππ-，即2ln a πππ-<-时有1个零点，综上，(a ∈-∞，2(1)(2ln ln ππππ-+-⋃，)+∞时无零点， 2[(1)2a ln ππ∈-+，]ln ππ-时有1个零点． 5．设()sin cos f x x x x =+，2()4g x x =+．（1）讨论()f x 在[π-，]π上的单调性；（2）令()()4()h x g x f x =-，试判断()h x 在R 上的零点个数，并加以证明． 解：（1）()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=， 令()0f x '=，则0x =，或2x π=±，(?,?)2x ππ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，(?2x π∈，0)时，()0f x '<，()f x 单调递减，(0,)2x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，(2x π∈，)π时，()0f x '<，()f x 单调递减，综上，()f x 的单调递增区间为(?,?)2ππ和(0,)2π，单调递减区间为(?2π，0)和(2π，)π．（2）()h x 在R 上有3个零点，证明如下：2()44(sin cos )h x x x x x =+-+，则(0)0h =，故0x =是()h x 的一个零点，22()()44[sin()cos()]44(sin cos )()h x x x x x x x x x h x -=-+---+-=+-+=，()h x ∴是偶函数，∴要确定()h x 在R 上的零点个数，只需确定0x >时，()h x 的零点个数即可，①当503x π<<时，()2(12cos )h x x x '=-， 令()0h x '=，即1cos 2x =，23x k ππ=±，(0,)3x π∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，()03h π<，(3x π∈，5)3π时，()0h x '>，()h x 单调递增，2525()2039h ππ=+>， ()h x ∴在5(0,)3π有唯一零点．②当53xπ时，由于sin 1x ，cos 1x ，222()44sin 4cos 4444()h x x x x x x x x t x =+--+--=-=， 而()t x 在5(3π，)+∞单调递增，5()()03t x t π>，故()0h x >， 故()h x 在5(3π，)+∞无零点，()h x ∴在(0,)+∞有一个零点，由于()h x 是偶函数，()h x 在(,0)-∞有一个零点，而(0)0h =， 故()h x 在R 上有且仅有3个零点．6．已知函数()f x alnx bx =+的图象在点(1,3)-处的切线方程为21y x =--． )x m 恒成立，求实数2+在区间解：（1）()af x b x'=+，(0)x >． 函数()f x 的图象在点(1,3)-处的切线的方程为21y x =--． f '∴（1）2=-，f （1）3=-， ∴23a b b +=-⎧⎨=-⎩，解得3b =-，1a =． ()3f x lnx x ∴=-．13()13()3x f x x x --'=-=， 1[,)3x ∈+∞，()0f x '∴．∴当13x =时，函数()f x 取得最大值，1()313f ln =--．对任意1[,)3x ∈+∞有()f x m 恒成立()max m f x ，1[,)3x ∈+∞．31m ln ∴--．∴实数m 的取值范围是[31ln --，)+∞．（2）由（1）可得：2()32g x lnx x x k =-+++，∴1(21)(1)()23x x g x x x x--'=+-=， 令()0g x '=，解得12x =，1． 列表如下：由表格可知：当1x =时，函数()f x 取得极小值g （1）k =；当12x =时，函数()g x 取得极大值 13()224g ln k =-++． 要满足函数2()()2g x f x x k =+++在区间(0,)+∞内有3个零点， 32040ln k k ⎧-++>⎪⎨⎪<⎩， 解得3204ln k -<<， 则实数k 的取值范围3(2,0)4ln -．。

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的计算》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）A. f（a）＞eaf（0）B. f（a）＞f（0）C. f（a）＜f（0）D. f（a）＜eaf（0）2.（5分）直线y＝kx+1与曲线y＝x3+bx2+c相切于点M(1, 2)，则b的值为（）A. −1B. 0C. 1D. 23.（5分）设f（x）=x3，f（a-bx）的导数是（）A. 3（a-bx）B. 2-3b（a-bx）2C. 3b（a-bx）2D. -3b（a-bx）24.（5分）已知函数f(x)=2lnx+f′(2)x2+2x+3，则f(1)=()A. −2B. 2C. −4D. 45.（5分）设f0(x)=sin2x+cos2x，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，f1+n(x)=fn′(x)，n∈N*，则f2013（x）=（）A. 22012（cos2x-sin2x）B. 22013（sin2x+cos2x）C. 22012（cos2x+sin2x）D. 22013（sin2x+cos2x）6.（5分）曲线y=2sinx+cosx在点(π,−1)处的切线方程为()A. x−y−π−1=0B. 2x−y−2π−1=0C. 2x+y−2π+1=0D. x+y−π+1=07.（5分）若函数f(x)=x3−tx2+3x在区间[1,4]上单调递减，则实数t的取值范围是()] B. (−∞,3]A. (−∞,518,+∞) D. [3,+∞)C. [5188.（5分）[2021湖南省郴州市月考]随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍−234的衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N02−124,其中N0为t=0时针-234的含量.已知t=24时,钍−234含量的瞬时变化率为−8ln2,则N(96)=A. 12B. 12ln2C. 24D. 24ln29.（5分）设(2x−1)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，则|a1|+2|a2|+3|a3|+4|a4|+5|a5|+6|a6|+7|a7|=()A. 10206B. 5103C. 729D. 72810.（5分）函数f(x)=2f′(1)·x+xlnx在x=1处的切线方程为()A. y=2x−2B. y=2x+1C. y=−x−1D. y=x−111.（5分）设f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A. cos2xB. 2cos2xC. -sin2xD. 2（sin2x-cos2x）12.（5分）函数y=cos（1+x2）的导数是（）A. 2xsin（1+x2）B. -sin（1+x2）C. -2xsin（1+x2）D. 2cos（1+x2）二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）函数f（x）=xsin（2x+5）的导数为____．14.（5分）已知f（x）=ekx，则f′（x）=____．15.（5分）设函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为__________.16.（5分）若函数f(x)满足f(x)=2lnx−xf′(1)，则f′(1)=__________.17.（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):_______.①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=ae x lnx+be xx.(1)求导函数f′(x)；(2)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=e(x+1)，求a，b的值. 19.（12分）求下列函数在给定点的导数.(1)f(x)=x14，x=5;(2)f(x)=3(x+1)x2，x=1.20.（12分）已知函数f(x)=12x2−x+lnx.(1)求y=f(x)的导数；(2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.21.（12分）求下列函数的导数.(1)y=(2+3x)(3−5x+x2);(2)y=(2x−1)2(2−3x)3;(3)y=(3x+2)sin5x;(4)y=e2x cos3x.22.（12分）已知函数f(x)=−13x3−a−12x2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.(1)若存在x<0,使得f′(x)=−9,求a的最大值;(2)当a>0时,求函数f(x)的零点个数.23.（12分）求下列函数在指定x处的导数值.(1)y=xsinx，x=π4;(2)y =xe x ，x =1.四 、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）若(1+2x)+(1+2x)2+⋅⋅⋅+(1+2x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋅⋅⋅+a n x n (n ∈N ∗)，a 0=6，则下列结论中正确的是()A. n =6B. a 1=42C. ∑ai n i=0=64D. ∑n i=1(−1)i iai =625.（5分）下列说法中正确的有()A. (sin π4)′=cos π4B. 已知函数f(x)在R 上可导，且f ′(1)=1，则limΔx→0f(1+2Δx)−f(1)Δx=2C. 一质点的运动方程为S =t 2，则该质点在t =2时的瞬时速度是4D. 已知函数f(x)=cosx ，则函数y =f ′(x)的图象关于原点对称 26.（5分）下列求导错误的是()A. (log 23)′=13ln2 B. (ln2x)′=12x C. (sin 2x)′=sin2x D. (cosx x)′=−cosx+sinxx 227.（5分）下列选项正确的有( )A. 若f(x)= x sin x +cos2x ， 则f′(x) =sin x −x cos x +2sin2xB. 设函数f(x)=x ln x ，若f′(x 0)=2，则x 0=eC. 已知函数f(x)=3x 2e 2x ，则f′(1) =12e 2D. 设函数f(x)的导函数为f′(x )，且f(x)=x 2+3xf ′(2)+ln x ，则f′(2)=−94 28.（5分）设b 为实数，直线y =3x +b 能作为曲线f(x)的切线，则曲线f(x)的方程可以为()A. f(x)=−1xB. f(x)=12x 2+4lnxC. f(x)=x 3D. f(x)=e x答案和解析1.【答案】A;【解析】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），令f（x）=-1，则f′（x）=0，满足题意显然选项A成立故选A．2.【答案】A;【解析】y＝x3+bx2+c的导数为y′＝3x2+2bx，可得切线的斜率为3+2b，由条件可得k＝3+2b，1+b+c＝2，1+k＝2，解得k＝1，b＝−1，c＝23.【答案】D;【解析】解；因为f（x）=x3，所以y=f（a-bx）=（a-bx）3，所以y′=3（a-bx）2（a-bx）′=-3b（a-bx）2故选D．4.【答案】D;【解析】此题主要考查导数的运算，属于基础题.先求出f′(2)，再求f(1)即可.+f′(2)·2x+2，解：由题意，f′(x)=2x故f′(2)=1+4f′(2)+2,∴f′(2)=−1，∴f(1)=2ln1+f′(2)×12+2×1+3=4，故选D.5.【答案】A;【解析】解：∵f0（x）=sin2x+cos2x，∴f1（x）=f0′(x)=2（cos2x-sin2x），f2（x）=f1′(x)=22（-sin2x-cos2x），f3（x）=f2′(x)=23（-cos2x+sin2x），f4（x）=f3′(x)=24（sin2x+cos2x），…通过以上可以看出：f n（x）满足以下规律，对任意n∈N，fn+4(x)=24fn(x)．∴f2013（x）=f503×4+1（x）=22012f1（x）=22013（cos2x-sin2x）．故选：B．6.【答案】C;【解析】设f(x)=2sinx+cosx，则f′(x)=2cosx−sinx，∴f′(π)=2cosπ−sinπ=−2，∴切线方程为：y+1=−2(x−π)，即2x+y−2π+1=0，故选C.7.【答案】C;【解析】解：∵函数f(x)=x3−tx2+3x，∴f′(x)=3x2−2tx+3，若函数f(x)=x3−tx2+3x在区间[1,4]上单调递减，则f′(x)⩽0即3x2−2tx+3⩽0在[1,4]上恒成立，∴t⩾32(x+1x)在[1,4]上恒成立，令y=32(x+1x)，则函数在[1,4]为增函数，当x=4时，函数取最大值518，∴t⩾518，即实数t的取值范围是[518,+∞)，故选：C．由题意可得f′(x)⩽0即3x2−2tx+3⩽0在[1,4]上恒成立，由函数的单调性可知t的范围．这道题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，属于中档题．8.【答案】C;【解析】由N(t)=N02−t24方得N′(t)=N02−t24×ln2×(−124)，当t=24时,N′(24)=N02−2424×ln2×(−124)=−8ln2,解得N0=384,所以N(t)=384·2−t24,则N(96)=384·2−9624=384·2−4=24.故选C.9.【答案】A;【解析】此题主要考查二项式定理的运用，属于中档题.将(2x−1)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7两边求导，令x=−1，即可得到答案.解：将(2x−1)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7两边求导，可得14(2x−1)6=a1+2a2x+3a3x²+……+7a7x6，可得x的奇次方的系数为负数，令x=−1可得14(−2−1)6=a1−2a2+3a3+……+7a7，故|a1|+2|a2|+3|a3|+4|a4|+5|a5|+6|a6|+7|a7|=14×36=10206.故选A.10.【答案】C;【解析】此题主要考查曲线的切线方程的求法，导数的几何意义，属于基础题．先求出f′(1)=−1，再求出f(1)=−2，由此可解．解：因为f′(x)=2f′(1)+lnx+1，所以f′(1)=2f′(1)+1，即f′(1)=−1，所以f(1)=2f′(1)=−2，所以切线方程为y=−(x−1)−2=−x−1.故选C.11.【答案】B;【解析】解：因为设f（x）=sin2x，所以f′（x）=（2x）′cos2x=2cos2x．故选B．12.【答案】C;【解析】解：y′=-sin（1+x2）•（1+x2）′=-2xsin（1+x2）故选C13.【答案】sin（2x+5）+2xcos（2x+5）;【解析】解：f′（x）=x′sin（2x+5）+x（sin（2x+5））′=sin（2x+5）+2xcos（2x+5），故答案为：sin（2x+5）+2xcos（2x+5），14.【答案】k e kx;【解析】解：∵f（x）=e kx，∴f′（x）=e kx•（kx）′=k e kx，故答案为：k e kx．15.【答案】4x−y−2=0;【解析】此题主要考查函数奇偶性，利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题.由奇函数的定义求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程．解：因为函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，所以(−x)3+(a−1)(−x)2+a(−x)=−[x3+(a−1)x2+ax]，所以2(a−1)x2=0.因为x∈R，所以a=1，所以f(x)=x3+x，所以f′(x)=3x2+1，所以f′(1)=4，f(1)=2，所以曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程为4x−y−2=0，故答案为：4x−y−2=0.16.【答案】1;【解析】此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f(x)进行正确求导，属于基础题.利用求导公式对f(x)进行求导，再把x=1代入，即可求解.解：∵函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2lnx−xf′(1)，−f′(1)，把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2−f′(1)，∴f′(x)=2x解得f′(1)=1.故答案为：1.17.【答案】f(x)=x4（答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N∗)均满足）;【解析】本题是开放性问题，合理分析所给条件找出合适的函数是关键，属于中档题.根据幂函数的性质可得所求的f(x).解：取f(x)=x4，则f(x1x2)=(x1x2)4=x14x24=f(x1)f(x2)，满足①，f′(x)=4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，f′(x)=4x3的定义域为R，又f′(−x)=−4x3=−f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③.故答案为：f(x)=x4(答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N∗)均满足)18.【答案】略。

导数综合强化训练一、单选题1．已知函数()e 2(0)1'x f x f x =++，则'(2)f 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．2e 1-D ．2e 2-【答案】D【详解】根据题意，()()()()()()0e 201e 200e 20x xf x f x f x f f f ¢¢¢¢=++Û=+Û=+¢Û()()()201e 22e 2x f f x f ¢¢¢=-Û=-Û=-.故选：D.2．已知12023ln 20242024a =+，12024ln 20252025b =+，12025ln 20262026c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A【详解】构造函数()ln 1f x x x =+-，11()1x f x x x-=¢-=，当01x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以111202420252026f f f æöæöæö>>ç÷ç÷ç÷èøèøèø，a b c >>.故选：A.3．设曲线e ax y =在点(0,1)处的切线与直线230x y -+=平行，则a =（ ）.A ．1B ．2C ．12D ．12-【答案】B【详解】由函数e ax y =，可得e ax y a ¢=，则0|x y a =¢=，因为直线210x y -+=的斜率为2，可得2a =.故选：B.4．若对任意的1x ，(]21,3x Î，当12x x <时，1212ln ln 22a ax x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)3,+¥B ．()3,+¥C ．[)6,+¥D ．()6,+¥【答案】C【详解】当12x x <时，1212ln ln 22a a x x x x ->-恒成立，即当12x x <时，1122ln ln 22a ax x x x ->-恒成立，设()(]ln ,1,32af x x x x =-Î，则()f x 单调递减，而()102af x x¢=-£在(]1,3上恒成立，即2a x ³在(]1,3上恒成立，所以6a ³.故选：C.5．已知函数()()e xf x x a =+，a ÎR 有大于1-的极值点，则a 的取值范围为（ ）A ．21,e æö-+¥ç÷èøB ．21,e æö-¥-ç÷èøC ．()0,¥+D ．(),0-¥【答案】D【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()e e 1e x x xf x a x x a ¢=++=++，令()0f x ¢=，可得()1e xx a +=-，构建()()1e xg x x =+，由题意可知：()y g x =与y a =-在()1,-+¥有交点，则()()2e 0xg x x =+>¢对任意()1,x Î-+¥内恒成立，可知()y g x =在()1,-+¥内单调递增，则()()10g x g >-=，可得0a ->，即0a <，所以a 的取值范围为(),0-¥.故选：D.6．已知函数()2xf x ax x =-+，[1,)x Î+¥，()f x ¢是()f x 的导函数，且()0f x ¢£，则a 的最小值为（ ）A ．23B ．29C ．13D ．19【答案】B【详解】由题意得220(2())a x f x =-£+¢，则22max22(2)(2)a a x x éù³Û³êú++ëû．注意到()22y x =+在[1,)+¥上单调递增，()212y x =+在[1,)+¥上单调递减.则()()22max 2229212x éù==êú++êúëû，所以29a ³,即a 的最小值为29.故选：B7．如果()e xf x ax =-在区间()1,0-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）A ．1(,][1,)e -¥+¥U B ．1[,1]eC ．1(,e-¥D ．[1,)+¥【答案】A【详解】由已知()()e ,e x xf x ax f x a ¢=-=-，因为()()e ,1,0xf x ax x =-Î-是单调函数,所以()()1,0,e 0x x f x a =-¢Î-³恒成立或()()1,0,e 0xx f x a =-¢Î-£恒成立，所以e x a ³恒成立或e x a £恒成立，所以0e =1a ³或11e =ea -£,所以1a ³或1ea £.故选：A.8．已知直线2y x a =-+与函数()24ln f x x x =-的图象有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,+¥B ．[)3,+¥C ．1,32æöç÷èøD ．()2,3【答案】A【详解】因为()()22242x f x x x x=¢-=-，所以()f x在(上单调递减，在)¥+上单调递增．令()2f x ¢=-，得1x =，所以直线2y x a =-+与()f x 的图象相切时的切点为()1,1，此时3a =，所以当3a >时，直线2y x a =-+与()f x 的图象有两个不同的交点．故选：A.9．已知函数32()3f x x ax ax b =+++的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为12y x m =-+.若函数()f x 至少有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．(5,27)-B ．[5,27]-C ．(1,3]-D ．[1,3]-【答案】B【详解】由题意，得2()323f x x ax a ¢=++，(1)3512f a ¢\=+=-，3a \=-，32()39f x x x x b \=--+.令2()3690f x x x ¢=--=，得11x =-，23x =.当1x <-或3x >时，()0f x ¢>，()f x \在(,1)¥--，(3,)+¥上单调递增；当13x -<<时，()0f x ¢<，()f x \在(1,3)-上单调递减\当1x =-时，()f x 有极大值(1)5f b -=+；当3x =时，()f x 有极小值(3)27f b =-.若要使()f x 至少有两个不同的零点，只需50270b b +³ìí-£î（等号不同时成立），解得527b -££.故选：B10．已知函数()f x 的导函数是()f x ¢，且311(),ln 3,log 3f x x p q ¢===，则下列命题正确的是（ ）A ．()()f p f q -<B ．()(2)f p f q >C ．11()()f f p q >D ．11(1)(f f p q+>【答案】B【详解】依题意，41()4f x x c =+（c 为常数），()f x 是偶函数，且在(0,)+¥上单调递增，又ln 31p =>，110log 31q <=<，则01q p <<<，对于A ，()()()f p f p f q -=>，A 错误；对于B ，1111112ln 32log 3ln 3log 9ln e log 110p q -=-=>-=，20p q >>，()(2)f p f q >，B 正确；对于C ，110q p >>，11()()f f q p>，C 错误；对于D ，3333113e1log e 1log 11log log 1011p q +-=+-=<=，111p q +<，11(1)()f f p q +<，D 错误.故选：B11．已知函数()2e x bf x x =×-有三个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．220,e æöç÷èøB ．240,e æöç÷èøC ．24,e æö-¥ç÷èøD ．220,e éùêúëû【答案】B【详解】因为()2e xf x x b =×-有三个零点，所以20e x b x ×-=有三个根，所以y b =和()2e x g x x =×有三个交点，而()(2)e xg x x x +¢=，令()0g x ¢<，(2,0)x Î-，令()0g x ¢>，(,2)(0,)x Î-¥-È+¥，所以()g x 在(,2),(0,)-¥-+¥上分别单调递增，在(2,0)-上单调递减，所以()g x 极小值为()00g =，()g x 极大值为()242e g -=，当x ®+¥时，()g x ¥®+，x ®-¥时，()0g x ®，所以240,e b æöÎç÷èø，故B 正确.故选：B12．设函数()()sin f x x a ax =-，若存在0x 使得0x 既是()f x 的零点，也是()f x 的极值点，则a 的可能取值为（ ）A ．0BC ．πD ．2π【答案】B【详解】由()()sin f x x a ax =-，得2()sin ()cos f x ax ax a ax ¢=+-，令000()()sin 0f x x a ax =-=，则0x a =或0sin 0ax =，当0x a =时，由20000()sin ()cos 0f x ax ax a ax ¢=+-=，得2sin 0a =，所以2π(N)a k k =Î，则N)a k =Î当0sin 0ax =时，由20000()sin ()cos 0f x ax ax a ax ¢=+-=，得200()cos 0ax a ax -=，由0cos 0ax ¹，得0a =或0x a =，当0a =时，()0f x =不存在极值点，当0x a =时，得N)a k =Î，综上，N)a k =Î，所以当1k =时，a =.故选：B13．设0.02e 1a =-，0.012(e 1)b =-，sin 0.01tan 0.01c =+，则（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．c b a>>D ．b a c>>【答案】B【详解】依题意，0.020.010.012e 2e 1(e 1)0a b -=-+=->，则a b >，0.012(e 1)sin 0.01tan 0.01b c -=---，令π()2e sin tan 2,(0,6x f x x x x =---Î，求导得21()2e cos cos xf x x x=--¢，令21π()2e cos ,(0,)cos 6xh x x x x =--Î，求导得32sin ()2e sin cos xx h x x x =+-¢，而2e sin 2xx +>，02sin 1x <<，311cos x <<于是32sin 2cos x x <<，即()0h x ¢>，函数()f x ¢在(0,)6π上单调递增，则()(0)0f x f ¢¢>=，因此函数()f x 在(0,)6π上单调递增，有(0.01)(0)0f f >=，即b c >，所以a b c >>.故选：B14．已知()f x 是定义在()0,¥+上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x +£¢，对任意的正数a ，b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()bf b af a £B ．()()bf a af b £C ．()()af a bf b £D ．()()af b bf a £【答案】A【详解】令()()g x xf x =，x ∈(0,+∞)，则()g x ¢=()()0xf x f x +£¢，所以()g x 在x ∈(0,+∞)上单调递减，若0a b <<，则()()()()g b bf b g a af a =£=，故A 正确，C 错误；因为()()0xf x f x +£¢，且()f x 是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，所以()()0xf x f x £-£¢，令()()f x h x x=，x ∈(0,+∞)，则()h x ¢=()()20xf x f x x-£¢，所以ℎ(x )在x ∈(0,+∞)上单调递减，若0a b <<，则()()()()f a f b h a h b ab=>=，即()()bf a af b >，故BD 错误.故选：A.15．若正实数a ，b ，c 满足b a bc =，ln b a a c =，则（ ）A ．a b ³B ．a c ³C ．b c ³D ．c b³【答案】B【详解】b a bc =，ln b a a c =，则ln bc a c =，则ln 1b a =，则1e b a =.则1(e )e b b b a ==，则1(e )e=b b b a bc ==，则ec b=先比较a ，b ：作差1e ba b b -=-，设1()e (0)xf x x x =->，求导121()e 10,(0)xf x x x¢=--<>，则1()e (0)x f x x x =->在(0,)+¥单调递减.(1)e 10f =->，(2)20f =-=<，故1()e (0)x f x x x =->有正负还有零.即a b -,a b 大小.故A 错误.再比较a ，c ：作差1e e ba cb -=-，设1e ()e (0)x f x x x =->，求导112221e 1()e (e e )0xx f x x x x¢=-+=-=，则1x =由于11011e e 0()0x x f x x ¢<<Þ>Þ-<Þ<，则()f x 在(0,1)单调递减.1111e e 0()0x x f x x¢>Þ<Þ->Þ>，则()f x 在(1,)+¥单调递增.且(1)0f =，则()0f x ³，即1ee 0ba cb -=-³，即ac ³.故B 正确．最后比较b ，c ，由于ec b=，假设b c ==满足题意，假设b c >，即eb b>，即2e b >，即b >假设b c <，即eb b<，即2e b <，即0b <<也满足题意．则,b c 无法比较大小，故CD 错误.故选：B.16．已知不恒为0的函数()f x 的定义域为R,()e ()e ()y x f x y f x f y +=+，则不正确的（ ）A ．(0)0f =B ．()e xf x 是奇函数C ．0x =是()f x 的极值点D ．4(3)3e (1)f f =--【答案】C【详解】函数()f x 的定义域为()()(),e e y xf x y f x f y +=+R ，对于A ，令0x y ==，则(0)2(0)f f =，解得(0)0f =，A 正确；对于B ，x ∈R ，取y x =-，则(0)e ()e ()x x f f x f x -=+-，因此()()e e x x f x f x --=-，令()()e xf xg x =，即有()()g x g x -=-，因此函数()g x 是奇函数，即()e xf x 是奇函数，B 正确；对于C ，选项B 中，令()g x x =，则()e x f x x =，求导得()(1)e x f x x ¢=+，因为(0)10f ¢=¹，因此0x =不是()f x 的极值点，C 错误；对于D ，222e (1)e (2)e (1)e[e (1)e (1)]3e (1)(3)f f f f f f f +==++=，由()()e e x x f x f x --=-，得1(1)(1)e ef f --=-，即2(1)e (1)f f =--，因此4(3)3e (1)f f =--，D 正确．故选：C【点睛】关键点点睛：对于选项C ：直接判断不容易说明时，可以通过举反例的方式说明，简化分析推理过程.二、多选题17．已知函数3211()2132f x x x x =+-+，若函数()f x 在(2,23)a a +上存在最小值，则a 的可能取值为（ ）A ．12-B ．12C ．1-D ．0【答案】AD 【详解】3211()2132f x x x x =+-+Q ，2()2(2)(1)f x x x x x ¢\=+-=+-，当2<<1x -时，()0f x ¢<，故()f x 在()2,1-上单调递减；当2x <-或1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()(),2,1,¥¥-+上单调递增，\函数()f x 在1x =处取得极小值，在2x =-处取得极大值．令)(()1f x f =，解得1x =或72x =-，Q 函数()f x 在(2,23)a a +上存在最小值，且(2,23)a a +为开区间，721232a a \-<<<+，解得112a -<<．故选：AD.18．已知函数()()()2ln f x x x a a =--ÎR 在区间[)1,+¥上单调递减，则实数a 可以是（ ）A ．0B 1C ．1D ．12【答案】ABD 【详解】()()120f x x a x ¢=--£在区间[)1,+¥上恒成立，即12a x x£-在区间[)1,+¥上恒成立，令()1,12g x x x x=-³，则()21102g x x ¢=+>，所以()g x 在区间[)1,+¥上单调递增，所以()g x 的最小值为()112g =，所以a 的取值范围是12a £，对比选项可知，只有ABD 符合题意.故选：ABD.19．设函数32()1f x x x ax =-+-，则（ ）A ．当1a =-时，()f x 有三个零点B ．当13a ³时，()f x 无极值点C ．a $ÎR ，使()f x 在R 上是减函数D ．,()a f x "ÎR 图象对称中心的横坐标不变【答案】BD【详解】对于A ，当1a =-时，32()1f x x x x =---，求导得2()321f x x x ¢=--，令()0f x ¢=得13x =-或1x =，由()0f x ¢>，得13x <-或1x >，由()0f x ¢<，得113-<<x ，于是()f x 在1(,)3-¥-，(1,)+¥上单调递增，在1(,1)3-上单调递减，()f x 在13x =-处取得极大值1111(1032793f -=--+-<，因此()f x 最多有一个零点，A 错误；对于B ，2()32f x x x a ¢=-+，当13a ³时，4120a D =-£，即()0f x ¢³恒成立，函数()f x 在R 上单调递增，()f x 无极值点，B 正确；对于C ，要使()f x 在R 上是减函数，则2()320f x x x a ¢=-+£恒成立，而不等式2320x x a -+£的解集不可能为R ，C 错误；对于D ，由32322222258()()()()()113333327f x f x x x a x x x ax a -+=---+--+-+-=-，得()f x 图象对称中心坐标为129(,3327a -，D 正确.故选：BD20．已知,,,a b c d ÎR ，满足0a b c d >>>>，则（ ）A ．a c b d ->-B ．sin sin a a b b ->-C ．a b d c>D ．ad bc ab cd+>+【答案】BC【详解】对于A ，若65,4,1,====a b c d ，则24-=<-=a c b d ，故A 错误；对于B ，令()()sin 0f x x x x =->，则()1cos 0f x x ¢=-³，所以()f x 在()0,x Î+¥上单调递增，因为0a b >>，所以()()f a f b >，即sin sin a a b b ->-，故B 正确；对于C ，因为0a b c d >>>>，所以110d c >>，所以a bd c>，故C 正确； 对于D ，因为0a b c d >>>>，所以()()0+--=--<ad bc ab cd a c d b ，可得+<+ad bc ab cd ，故D 错误.故选：BC.21．已知定义在R 上的函数()y f x =满足132f x æö-ç÷èø为偶函数，()21f x +为奇函数，当10,2x éùÎêúëû时，()0f x ¢>，则下列说法正确的是（ ）A ．()00f =B ．函数()y f x =为周期函数C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．4133f f æöæö>ç÷ç÷èøèø【答案】AB【详解】因为132f x æö-ç÷èø为偶函数，1111332222f x f x f x f x æöæöæöæö-=+Û-=+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()()1f x f x Û=-，故函数图象关于直线12x =对称，f (2x +1)为奇函数，()()()21211(f x f x f x f x -+=-+Û-+=-+1），函数图象关于(1,0)对称，对于B ，()()()()()()11,21f x f x f x f x f x f x =-=-++=-+=，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B 正确；对于A ，()()2121f x f x -+=-+，令()()0,11x f f ==-，故f (1)=0，又()()()01110f f f =-==，故A 正确；对于C ，131222f f f æöæöæö-==-ç÷ç÷ç÷èøèøèø，当10,2x æöÎç÷èø时，f ′(x )>0，即函数在10,2æöç÷èø上递增，函数图象关于(1,0)对称，故函数在13,22æöç÷èø上递减，故函数在11,22éù-êúëû上递增，所以1122f f æöæö-¹ç÷ç÷èøèø，故函数不是偶函数，故C 错误；对于D ，124333f f f æöæöæö=>ç÷ç÷ç÷èøèøèø，故D 错误，故选：AB.【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；22．已知函数()()2e xf x x =-，()lng x x x k =+，(R)k Î，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 只有1个零点，当1ek >时，函数()g x 只有1个零点．B ．若关于x 的方程()f x a =有两个不相等的实数根，则实数()e,0a Î-．C ．121,0,e x x æö"Îç÷èø，且12x x ¹，都有1212()()0g x g x x x ->-．D ．1x "ÎR ，2(0,)x $Î+¥，使得()()12f x g x >成立，则实数)1,e e(k Î-¥-．【答案】BD【详解】由题意()()()e 2e 1e x x xf x x x ¢=+-=-，故当1x >时，()0f x ¢>，当1x <时，()0f x ¢<，所以()f x 在(),1-¥上单调递减，在()1,+¥上单调递增；()ln g x x x k =+定义域为()0,¥+，()ln 1g x x ¢=+，故当1ex >时，()0g x ¢>，当10e x <<时，()0g x ¢<，所以()g x 在10,e æöç÷èø上单调递减，在1,e æö+¥ç÷èø上单调递增.对于A ，令()02f x x =Þ=，故函数()f x 只有1个零点；当1e k >时，()110e e g x g k æö³=-+>ç÷èø，故()g x 没有零点，故A 错误；对于B ，()()1e f x f ³=-，1x <时，()0f x <，2x >时，()0f x >，故()f x a =有两个不相等的实数根，则实数()e,0a Î-，故B 正确；对于C ，()g x 在10,e æöç÷èø上单调递减，故C 错误；对于D ，1x "ÎR ，2(0,)x $Î+¥，()()12f x g x >成立，则()()min min f x g x >，所以()11e f g æö>ç÷èø，即11e e e e k k ->-+Þ<-，故D 正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：恒成立和有解问题通常转化成最值问题来求解，解决本题可先利用导数求出函数的单调性，从而可求出函数值正负分布情况和最值，进而可依次求解各选项.三、填空题23．若曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++¹相切，则a = ．【答案】8【详解】由ln y x x =+，所以1y x x¢=+，则1|2x y =¢=，所以曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线为()121y x -=-，即21y x =-；又21y x =-与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++¹相切，由2(2)121y ax a x y x ì=+++í=-î，可得()2200ax ax a ++=¹，则280a a D =-=，解得8a =或0a =（舍去），故答案为：824．设函数3()31(1)f x ax x a =-+>，若对于任意的[1,1]x Î-，都有()0f x ³成立，则实数a 的值为 ．【答案】4【详解】由题意得，()233(1)f x ax a =->¢，令()2330f x ax -¢==，解得x =[1,1]-．①当1x -£<()0f x ¢>，()f x 单调递增；②当x <<时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；1x <£时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．所以只需0f ³，且(1)0f -³即可，由10f =-³，可得4a ³，由(1)40f a -=-+³，可得4a £，综上可得，4a =．故答案为：4.25．函数()()2f x x x a =-的极小值点为2，则实数a 的值为 .【答案】2【详解】因为()()2f x x x a =-，得到()()()22343f x x ax a x a x a =-+=--¢，由题知()2(6)(2)0f a a =--=¢，解得6a =或2a =，当6a =时，()(36)(6)3(2)(6)f x x x x x =-=--¢-，由()0f x ¢>，得到2x <或6a >，由()0f x ¢<，得到26x <<，则()f x 在()(),2,6,-¥+¥上单调递增，在()2,6上单调递减，此时2x =当2a =时，()(32)(2)f x x x =--¢，由()0f x ¢>，得到23x <或2a >，由()0f x ¢<，223x <<，则f(x)在()2,,2,3æö-¥+¥ç÷èø上单调递增，在2,23æöç÷èø上单调递减，此时2x =是极小值点，符合题意，故答案为：2.26．已知函数()(e 1)x f x a =-，对任意(0,)x Î+¥，总有()2f x x ³成立，则实数a 的取值范围为 .【答案】[)2,+¥【详解】依题意，(0,)x "ÎÎ+¥，()2(e 1)2(e 1)20x x f x x a x a x ³Û-³Û--³，显然e 10x ->，则有0a >，于是2(e 1)20e 10x xa x x a--³Û--³，令2e 1,0()xg x x a x -->=，求导得2()e x g x a¢-=，当2a ³，即21a£时，()0g x ¢>，函数()g x 在(0,)+¥上单调递增，()(0)0g x g >=，即()2f x x ³；当02a <<，即21>a 时，当20ln x a<<时，()0g x ¢<，函数()g x 在2(0,ln )a上单调递减，2(0,ln )x aÎ，()(0)0g x g <=，此时()2f x x <，不符合题意，所以实数a 的取值范围为[)2,+¥.故答案为：[)2,+¥27．设函数()()e ln 0ax f x a a æö=>ç÷èø的零点为0x ，则当a 的取值为 时，0x 的最大值为 ．【答案】 e1e【详解】由题意()00e ln 0ax f x a æö==ç÷èø，所以0e 1ax a =，即0e ax a =，所以0ln ax a =，即()0ln ,0ax a a=>，令()()ln ,0a g a a a=>，则()21ln ag a a -¢=，因为当0e a <<时，()0g a ¢>，当e a >时，()0g a ¢<，所以当0e a <<时，()g a 单调递增，当e a >时，()g a 单调递减，所以当e a =时，0x 有最大值()1e eg =.故答案为：e ，1e.【点睛】关键点点睛：关键在于得出()0ln ,0ax a a=>，从而构造函数即可顺利得解.28．定义在(0,)+¥上的函数()f x 满足2()10x f x ¢+<，5(2)2f =，则关于x 的不等式1(ln )2ln f x x>+的解集为.【答案】2(1,e )【详解】因(0,)x Î+¥时，2()10x f x ¢+<，即21()0f x x ¢+<，也即1(())0f x x¢-<，取1()()g x f x x =-，则()0g x ¢<，即()g x 在(0,)+¥上单调递减，又5(2)2f =，则151(2)(2)2222g f =-=-=，由1(ln )2ln f x x>+可得(ln )(2)g x g >，故得，0ln 2x <<，解得，2(1,e )x Î.故答案为：2(1,e ).29．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ¢>+，(0)3f =，则不等式()2e 1x f x >+的解集为 ．【答案】(,0)-¥【详解】设()1()e x f x g x -=，则()()()1e xf x f xg x -¢-¢=-，()()1f x f x ¢>+Q ，()()10f x f x ¢\-->，()0g x ¢\<，()g x \在R 上单调递减，()2e 1x f x >+Q ，()1()2e xf xg x -\=>，又0(0)1(0)2ef g -==，()(0)g x g \>，0x \<，()2e 1x f x \>+的解集为(,0)-¥．故答案为：(,0)-¥.30．已知函数()()24222x x f x a x ax =+-×-有4个不同的零点，则a 的取值范围为.【答案】()(),22,eln2¥--È--【详解】解：由题意可得方程()()2220x xax x +-=有4个不同的根，方程220x x -=的2个根为121,2x x ==，则方程20x ax +=有2个不同的根，且2a ¹-，即函数2x y =与函数y ax =-的图象有两个交点.当直线y ax =-与函数2x y =的图象相切时，设切点为()00,2x x ，因为2ln2xy ¢=，所以0002ln2,2,x x a ax ì-=ïí-=ïî解得021log e,eln2ln2x a ===-.要使函数2x y =与函数y ax =-的图象有两个交点，只需直线y ax =-的斜率大于eln2，故a 的取值范围为()(),22,eln2¥--È--.故答案为：()(),22,eln2¥--È--四、解答题31．已知函数()32691f x x x x =-++.(1)求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)当[]0,5x Î时，求函数()f x 的最大值.【答案】(1)91y x =+(2)21【详解】（1）因为()32691f x x x x =-++，所以()23129f x x x ¢=-+.()()09,01f f ==¢所以切线方程为()190y x -=-，即91y x =+.（2）令()21231290,1,3f x x x x x =-+¢===，因为[]0,5x Î，所以()f x 在][0,1,3,5éùëû单调递增，()1,3单调递减，所以()()(){}{}max max 1,5max 5,2121f x f f ===.32．已知函数()212ln 32f x x x x =-+．(1)求函数()f x 的极值；(2)解不等式：()6ln 28f x >+．【答案】(1)极大值为52-，极小值为2ln 24-(2)()8,+¥【详解】（1）函数()f x 的定义域为全体正实数，由()()()()212122ln 332x x f x x x x f x x x x--¢=-+Þ=-+=，令()1201,2f x x x ¢=Þ==，于是有x()0,11()1,22()2,+¥()f x ¢+-+()f x 单调递增52-单调递减2ln 24-单调递增因此，当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为()512f =-，2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为()22ln 24f =-；（2）由（1）可知：函数()f x 在()0,1x Î时单调递增，而()5102f =-<，所以此时有()0f x <，在()1,2x Î时单调递减，所以有()0f x <，因此要想()6ln 28f x >+，有()0f x >，则必有2x >，当()2,x Î+¥时，函数单调递增，而()2182ln 83886ln 282f =-´+´=+，所以由()()()6ln 2888f x f x f x >+Þ>Þ>，因此不等式()6ln 28f x >+的解集为()8,+¥.33．已知函数()()e 211x xf x x -=-．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)求出方程()()f x a a =ÎR 的解的个数．【答案】(1)(),0-¥，3,2æö+¥ç÷èø(2)答案见解析【详解】（1）函数()f x 的定义域为()(),11,¥¥-È+．()()22e 23(1)x x xf x x --¢=．令()0f x ¢=解得0x =或32x =．则x 、f ′(x )、()f x 的关系列表如下：x(),0¥-0(0,1)31,2æöç÷èø323,2¥æö+ç÷èøf ′(x )+--0+()f x 单调递增极大值单调递减单调递减极小值单调递增∴f (x )的单调递增区间为()3,0,,2¥¥æö-+ç÷èø．（2）方程()()f x a a =ÎR 的解的个数为函数y =f (x )的图象与直线y a =的交点个数．在（1）中可知：()f x 在区间()3,0,,2¥¥æö-+ç÷èø上单调递增，在()30,1,1,2æöç÷èø上单调递减，在0x =处取得极大值()01f =，在32x =处取得极小值3234e 2f æö=ç÷èø，令0y =，得12x =．当0x <时，0,y y >的图像过点()10,1,,02æöç÷èø．当x ®-¥时，0y ®，但始终在x 轴上方；当x 从1的左侧无限近于1时，y ®-¥；当x 从1的右侧无限近于1时，y ®+¥；当32x =时，324e y =；当x ®+¥时，y ®+¥．根据以上性质，作出函数的大致图象如图所示，\当3214e a <<时，y =f (x )与y a =没有交点，则方程()f x a =的解为0个；当0a <或1a =或324e a =时，y =f (x )与y a =有1个交点，则方程()f x a =的解为1个；当01a <<或324e a >时，y =f (x )与y a =有2个交点，则方程()f x a =的解为2个．34．设函数()y f x =，其中()()0ln f x a x =->，(1)求()f x ¢；(2)若()y f x =在[1,)+¥是严格增函数，求实数a 的取值范围；(3)若()y f x =在[2,4]上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()f x ¢=(2)[2,)+¥；(3)(．【详解】（1）由()()12ln ln 0f x x ax x a ==->，得()12112f x a x x -=×-¢，所以()f x =¢（2）由题意得，()0f x ¢³在[1,)+¥上恒成立，即a ³在[1,)+¥恒成立，因为y 在[1,)+¥上递减，所以y =2=，所以2a ³，即实数a 的取值范围为[2,)+¥；（3）由题意得，()0f x ¢<在[2,4]上有解，即a <[2,4]上有解，因为y 在[2,4]上递减，所以1££，所以0a <<，即实数a 的取值范围为(．35．已知函数()y f x =，其中()()()326,R f x x ax a x b a b =++++Î．(1)若函数()y f x =的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a 、b 的值；(2)若()y f x =在R 上是严格增函数，求实数a 的取值范围．【答案】(1)3a =-，0b =；(2)[]3,6a Î-．【详解】（1）由()()()326,R f x x ax a x b a b =++++Î，得()2326f x x ax a ¢=+++，由题意得，(0)0(0)3f f =ìí=¢î，即063b a =ìí+=î，解得3a =-，0b =；（2）()2326f x x ax a ¢=+++，由题意得，()0f x ¢³在R 上恒成立，则()2Δ41260a a =-+£，化简得23180a a --£，解得[]3,6a Î-．36．已知()()21ln 12f x ax x x =-+-+，其中0a >．(1)若函数()f x 在3x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；(2)求()f x 的极值点；(3)若()f x 在[)0,+¥上的最大值是0，求a 的取值范围．【答案】(1)14a =；(2)答案见解析；(3)[)1,+¥．【详解】（1）函数()f x 的定义域为()1,-+¥，()111f x ax x¢=-+-+，因为函数()f x 在3x =处的切线与x 轴平行，所以()1331013f a ¢=-+-=+，解得14a =．（2）函数()f x 的定义域为()1,-+¥，()()()111111111ax x x x a ax f x ax x x x-+++---¢=-+-==+++．令()0f x ¢=得10x =或2111a x a a-==-，所以当110a-<，即1a >时，()0f x ¢>的解集为11,0a æö-ç÷èø，()0f x ¢<的解集为()11,10,a æö--+¥ç÷èøU ，所以函数()f x 在区间11,1a æö--ç÷èø和()0,¥+上严格减，在区间11,0a æö-ç÷èø上严格增，0x =是函数()f x 的极大值点，11=-x a 是函数()f x 的极小值点；当110a-=，即1a =时，()0f x ¢£在区间()1,-+¥上恒成立，此时函数()f x 在区间()1,-+¥上严格减，无极值点；当110a->，即01a <<时，()0f x ¢>的解集为10,1a æö-ç÷èø，()0f x ¢<的解集为()11,01,a æö--+¥ç÷èøU ，所以函数()f x 在区间()1,0-和11,a æö-+¥ç÷èø上严格减，在区间10,1a æö-ç÷èø上严格增，0x =是函数()f x 的极小值点，11=-x a是函数()f x 的极大值点；综上，当1a >时，0x =是函数()f x 的极大值点，11=-x a 是函数()f x 的极小值点；当1a =时，函数()f x 在区间()1,-+¥上严格减，无极值点；当01a <<时，0x =是函数()f x 的极小值点，11=-x a是函数()f x 的极大值点．（3）由（2）知，当01a <<时，函数()f x 在区间11,a æö-+¥ç÷èø上严格减，在区间10,1a æö-ç÷èø上严格增，故函数()f x 在[)0,+¥上的最大值是()1100f f a æö->=ç÷èø，与已知矛盾；当1a =时，函数()f x 在区间[)0,+¥上严格减，最大值()()max 00f x f ==，满足条件；当1a >时，函数()f x 在区间[)0,+¥上严格减，最大值是()()max 00f x f ==，满足条件；综上，a 的取值范围是[)1,+¥．37．曲线()3f x x =在点A 处的切线的斜率为3，求该曲线在点A 处的切线方程.【答案】320x y --=或320x y -+=【详解】求导得()23f x x ¢=.令233x =，则1x =±.当1x =时，切点A 为()1,1,所以该曲线在()1,1处的切线方程为()131,y x -=-即320x y --=；当=1x -时，切点A 为()1,1,--所以该曲线在()1,1--处的切线方程为()131,y x +=+即320.x y -+=综上知，曲线()3f x x =在点A 处的切线方程为320x y --=或320x y -+=.38．已知函数1()e ax f x x=+（0a ³）．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设2()()g x f x x ¢=×，求函数()g x 的极大值．【答案】(1)3y x =-+(2)答案见解析【详解】（1）当0a =时，1()1f x x =+，()21f x x ¢=-，则()()11,12f f ¢=-=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x -=--，即3y x =-+；（2）函数()g x 的定义域为()(),00,-¥+¥U ，21()e ax f x a x ¢=-，则()22e 10()()ax ax g x x x f x ¢-=×=¹，则()()()222e e 2e 0ax ax ax g x ax a x ax ax x ¢=+=+¹，当0a =时，()1g x =-，此时函数()g x 无极值；当0a >时，令'()0g x >，则2x a<-或0x >；令()0g x ¢<，则20x a-<<，所以函数()g x 在()2,,0,a æö-¥-+¥ç÷èø上单调递增，在2,0a æö-ç÷èø上单调递减，所以()g x 的极大值为2241eg a a æö-=-ç÷èø；综上所述，当0a =时，函数()g x 无极大值；当0a >时，()g x 的极大值为241e a -.39．设函数()e x f x x a =-.(1)若直线2y x =--是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；(2)讨论()f x 的单调性；(3)当1a =时，记函数()()x g x e f x =，若0m n +>，证明：()()2g m g n +<-.【答案】(1)2a =(2)答案见解析(3)证明见解析【详解】（1）设切点为00(())x f x ,，()1e x f x a ¢=-，所以切线方程为()0000e 1e x x y x a a x x -+=--（），因为直线2y x =--是曲线()y f x =的切线，所以01e 1x a -=-，即0e 2x a =，化简切线方程得022y x x =-+-，所以0222x -=-，解得00x =，所以2a =.（2）()1e x f x a =¢-，当0a £时，()0f x ¢>，所以()f x 在(,)-¥+¥上单调递增，当0a >时，令()0f x ¢>，解得ln x a <-，所以()f x 在(,ln )a -¥-上单调递增，令()0f x ¢<，解得ln x a >-，所以()f x 在(ln ,)a -+¥上单调递减，综上可知，当0a £时，()f x 在(,)-¥+¥上单调递增，当0a >时，()f x 在(,ln )a -¥-上单调递增，在(ln ,)a -+¥上单调递减.（3）由题意知，()()e2e 1x x g x x -¢=+，令()2e 1x h x x =-+，由（1）知，()h x 在(,ln 2)-¥-上单调递增，在(ln 2,)-+¥上单调递减，所以()(ln 2)ln 20h x h -=-<≤，可得()0g x ¢<，所以()g x 在(,)-¥+¥上单调递减，因为0m n +>，所以m ，n 中至少有一个大于0（否则若0,0m n ££，有00m n n +£+£，这与0m n +>矛盾），不妨设0m >，n m >-，所以()()g n g m <-，所以()()()()g m g n g m g m +<+-，令()()()2212e e 2e e m m m mm m g m g m m j =+-+=---+()()2222e e 1e 1e m m m mm ---=()()()()()22222e 1e e 1e 11e e m m m m m m m g m --+-+==，因为0m >，所以()(0)1g m g <=-，即()10g m +<，又2e 10m ->，所以()0m j <，即()()20g m g m +-+<，可得()()2g m g m +-<-，所以()()2g m g n +<-.【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于证明()()20g m g m +-+<即可，其中0m >，由此即可顺利得证.40．已知函数()()1ln R f x ax x a =--Î.(1)若2a =，求()f x 在1,e e éùêúëû上的最大值和最小值；(2)若1a =，当1x >时，证明：()ln x x f x >恒成立；(3)若函数()f x 在1x =处的切线与直线:1l x =垂直，且对()0,x ¥"Î+，()2f x bx ³-恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】(1)最大值是2e 2-，最小值是ln 2(2)证明见解析(3)21,1e æù-¥-çúèû【详解】（1）当2a =时，()21ln f x x x =--，()21x f x x -¢=，令()0f x ¢=可得12x =，故当10,2x æöÎç÷èø时()0f x ¢<，()f x 在10,2æöç÷èø单调递减；当1,2x æöÎ+¥ç÷èø时()0f x ¢>，()f x 在1,2æö+¥ç÷èø单调递增；故()f x 递减区间为11,e 2éùêúëû，递增区间为1,e 2éùêúëû函数()f x 的极小值1ln 22f æö=ç÷èø是唯一的极小值，无极大值.又12e e f æö=ç÷èø，()1e 2e 2e f f æö=->ç÷èø()f x \在1,1e éùêúëû上的最大值是2e 2-，最小值是ln 2（2）因为1a =，所以令()()ln ln ln 1h x x x f x x x x x =-=-++，()1ln h x x x¢=+.当1x >时，()0f x ¢>，则()h x 在()1,¥+上单调递增，所以当1x >时，()()10h x h >=，所以()ln x x f x >恒成立.（3）因为函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线:1l x =垂直，所以()10f ¢=，即10a -=，解得1a =所以()1ln f x x x =--.因为对()0,x "Î+¥，()2f x bx ³-恒成立，所以对()0,x "Î+¥，1ln 1x b x --£恒成立.令()1ln x g x x-=，则()2ln 2x g x x -¢=令()0g x ¢>，解得2e x >；令()0g x ¢<，解得20e x <<，所以函数()1ln x g x x-=在区间()20,e 上单调递减，在区间()2e ,+¥上单调递增，所以()()22min e e 1g x g ==-，则211e b -£-，解得：211e b £-.所以实数b 的取值范围为21,1e æù-¥-çúèû41．已知函数()e cos x f x a x =+在0x =处的切线方程为2y x =+.(1)求实数a 的值；(2)探究()f x 在区间3π,2öæ-+¥ç÷èø内的零点个数，并说明理由.。