三角函数的证明与求值

三角函数的求值、化简与证明编写教师：伍建明审稿教师：盛世红一、知识梳理1．在三角函数的求值、化简与证明中，除直接应用同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差、二倍角公式外，还要注意公式的变形形式：①，；②，；③，，.2．注意常用角的变形①，；②，；③.3．注意公式中1的妙用二、题型探究探究一：三角函数的求值问题例1已知,求的值.解：，∴ ，..例2在△中，，，求.解：，为锐角，.，，当为锐角时，，此时，；当为钝角时，，此时，，这与矛盾，不成立. 综上，.探究二：三角函数式的化简问题例3 化简.解：原式===.探究三：三角恒等式的证明例4已知求证：.证明：左边=，∵∴，∴.∴左边=，右边==左边，∴等式成立.三、方法提升化简、求值与证明就是对给定的三角函数式，通过适当的三角恒等变形，使之取较简单形式或求出值.三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式.因此，对一下三角公式在实现这种转化过程中的应用应有足够的了解：（1）同角三角函数基本关系-------------可实现函数名称的转化；（2）诱导公式及和、差角的三角函数-----------------可实现角的形式的转化；（3）倍角公式及其变形公式----------可实现三角函数式的升幂或降幂的转化，同时也可以完成角的形式的转化.四、反思感悟五、课时作业一、选择题1．的值为（ B ）（A）（B）（C）（D）2．化简的结果是（ A ）（A）（B）（C）（D）3．若（ C ）（A）（B）（C）-（D）4．已知函数，则（ B ）（A）（B）（C）（D）5．已知，那么（ C ）（A）（B）（C）（D）6．化简（ D ）（A）（B）（C）（D）7．已知，且，则（ D ）（A）（B）（C）（D）二、填空题8．.9．若，，则等于.10．已知，且，则的值是.11．在△中，已知，=，则的值为.三、解答题12．求值：.解：原式=.13.已知，，求的值.答案：.14．已知，，，求的值.解：∵ ，∴∵ ，∴，∴ ，∵ ，∴ ，又, ∴ ，∴ ，∴ ，∴ . ∴.。

第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。

【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。

练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。

2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。

【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。

练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。

这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。

“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。

【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。

这往往用到倍、半角公式。

三角函数化简求值的技巧
一、三角函数的重要性质：
1、正弦函数sin x、余弦函数cos x、正切函数tanx和其逆函数的
关系：
sin x＝1/cos x，cos x＝1/sin x，tan x＝1/cot x，cot x＝1/tan x，cos x＝1/csc x，csc x＝1/cos x。

2、三角函数的基本性质：
sin2x＋cos2x＝1，sin2x＝2sin(x/2)cos(x/2)，cos2x＝cos2(x/2)
－sin2(x/2)，2sin xcos x＝sin2x＋cos2x＝2sin2(x/2)＝2cos2(x/2)。

3、三角函数的对称性：
sin(-x)＝-sin x，cos(-x)＝cos x，tan(-x)＝-tan x，cot(-x)＝-cot x，csc(-x)＝-csc x。

二、用三角函数化简求值的常用方法：
1、用公式和定义：
用三角函数的基本公式来把表达式中的各个项拆分开明确每个项的意义，然后把各个项的值累加求值。

2、用对称性：
对变量进行绝对值化，然后利用三角函数的对称性变换变量或表达式，从而达到化简的目的。

3、用反函数求值：
把表达式中的三角函数换成其对应的反函数，然后利用反函数的性质进行化简，获得原函数的表达式。

四、利用三角函数化简求值的实例：
例1：求Sin(60°)
解：
1、用公式求值：
可以用公式sin 2x＝2sin xcos x来求值。

概述初中数学三角函数值的计算方法1三角函数求值的计算方法1.1利用三角函数的定义1.2 三角函数具有六种基本函数：正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y1.3 一些特殊的三角函数值：Sin=1/2; sin=;sin=Cos=;cos=;cos=1/2tan=;tan=1;tan=1.4 三角函数的基本展开公式：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos (A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos (A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2 三角函数求最值最近几年，高考三角函数的题型由原来的恒等式证明改为求值，常见题型有三种：给出一个比较简单的三角函数式的值，求一个比较复杂的三角函数式的值；考察三角变换问题；三角形中的求值问题。

解上述三种类型题应注重四点：要严格讨论角的范围；选择的公式与解题方向必须吻合；要熟悉变换方向；要掌握变换技巧。

三角函数的最值有以下几种求法：利用二次函数求最值，利用三角函数的有界性求最值，换元法求最值。

3 如何学好三角函数数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习等五类。

相应地，数学学法指导的实施亦需分别落实到这五类教学之中。

这里仅就例题教学中如何实施数学学法指导谈几点认识。

3.1根据学习目标和任务精选例题例题的作用是多方面的，最基本的莫过于理解知识、应用知识、巩固知识，莫过于训练数学技能、培养数学能力、发展数学观念。

三角函数求值公式
哎呀，说起三角函数求值公式，这可真是让我这个小学生脑袋都大了一圈！
三角函数，就像是数学世界里的神秘小精灵，它们的求值公式更是像一道道难以破解的密码。

你想想，正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），它们就像是三个调皮的小伙伴，总是在各种数学问题里蹦跶，让我们去寻找它们的价值。

比如说，正弦函数的求值公式，sin A = 对边/ 斜边。

这就好像是我们分糖果，对边是我拿到的糖果数量，斜边是总的糖果数量，那我拿到的糖果占总糖果的比例不就是正弦值嘛！
还有余弦函数，cos A = 邻边/ 斜边。

这就好比是我和小伙伴们排队，邻边就是我旁边小伙伴的人数，斜边是整排的人数，那旁边小伙伴占整排人数的比例不就是余弦值嘛！
正切函数tan A = 对边/ 邻边，这又好像是我和朋友比赛跑步，对边是我跑的距离，邻边是朋友跑的距离，那我跑的距离和朋友跑的距离的比值不就是正切值嘛！
老师在课堂上讲这些的时候，我就拼命地想啊想，这到底是咋回事呢？我同桌小明也一脸懵，还悄悄跟我说：“这也太难懂啦！”我心里也直嘀咕：“可不是嘛，这咋比玩游戏还难！”
后来老师又举了好多例子，带着我们做了好多练习题，慢慢地，好像有点开窍了。

我发现，只要认真去琢磨，这些公式也不是那么可怕。

就像爬山一样，一开始觉得山好高好难爬，但是一步一步地往上走，总能看到更美的风景。

现在想想，三角函数求值公式虽然复杂，但只要我们用心去理解，多练习，也能把它们拿下！这不就跟我们做任何事情一样嘛，只要有决心，有耐心，就没有办不成的事儿！所以呀，别害怕这些公式，勇敢地去挑战它们，说不定会发现其中的乐趣呢！。

特殊三角函数求值计算公式三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理、工程等领域中都有着广泛的应用。

在三角函数中，除了常见的正弦、余弦、正切函数外，还有一些特殊的三角函数，比如反正弦、反余弦、反正切等。

这些特殊的三角函数在求解三角形的边长和角度时非常有用，同时也在物理学和工程学中有着重要的应用。

在本文中，我们将介绍一些特殊三角函数的求值计算公式，以及它们的应用。

一、反正弦函数（arcsin）。

反正弦函数是正弦函数的反函数，它的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。

反正弦函数的求值计算公式如下：arcsin(x) = sin^(-1)(x)。

其中，sin^(-1)表示反正弦函数，x为正弦函数的值。

反正弦函数在求解三角形的角度时非常有用。

例如，当我们知道一个直角三角形的斜边长和一个锐角的正弦值时，可以使用反正弦函数来求解这个角度。

二、反余弦函数（arccos）。

反余弦函数是余弦函数的反函数，它的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。

反余弦函数的求值计算公式如下：arccos(x) = cos^(-1)(x)。

其中，cos^(-1)表示反余弦函数，x为余弦函数的值。

反余弦函数在求解三角形的角度时也非常有用。

例如，当我们知道一个直角三角形的斜边长和一个锐角的余弦值时，可以使用反余弦函数来求解这个角度。

三、反正切函数（arctan）。

反正切函数是正切函数的反函数，它的定义域为实数集，值域为(-π/2,π/2)。

反正切函数的求值计算公式如下：arctan(x) = tan^(-1)(x)。

其中，tan^(-1)表示反正切函数，x为正切函数的值。

反正切函数在求解三角形的角度时同样非常有用。

例如，当我们知道一个直角三角形的两条直角边的长度比时，可以使用反正切函数来求解这个角度。

除了在三角形的求解中，特殊三角函数还在物理学和工程学中有着广泛的应用。

例如，在机械工程中，反正弦函数常常用于求解杠杆的角度；在电路分析中，反正切函数常常用于求解交流电路中的相位差等。

三角函数求值的几种方法三角函数是数学中重要的一部分，它与圆的关系密切。

三角函数的求值是在给定一个角度时，计算其正弦、余弦、正切等函数值的过程。

本文将介绍三角函数求值的几种常见方法。

一、定义法三角函数的定义法是最基本的方法，它直接使用三角函数的定义公式进行计算。

例如，正弦函数的定义为sin(x) = b/c，其中b和c分别为角x所对应直角三角形的对边和斜边的长度。

通过观察角度对应的三角形特点，可以求出函数值。

二、图表法三角函数图表法是通过查阅三角函数表格，根据给定的角度，在表格中查找对应的函数值。

例如，可以查阅三角函数表格得到30°的正弦函数值为0.5三、计算器法计算器法是利用现代科技设备来进行三角函数求值的方法。

几乎所有的计算器都内置了三角函数求值功能，只需输入角度值，即可得到相应的函数值。

四、迭代法迭代法是一种数值计算方法，通过连续迭代计算来逼近精确解。

使用迭代法计算三角函数值时，可以使用泰勒级数展开式或欧拉公式来逼近函数值。

例如，sin(x)可以展开为无穷级数：sin(x) = x - x^3/3! +x^5/5! - x^7/7! + ...，通过截取有限项和进行计算，可以得到近似的函数值。

五、差值法差值法是一种数值逼近方法，通过已知点的函数值来估计其它点的函数值。

三角函数的差值法是利用已知的函数值，通过插值公式逼近所求函数值。

例如，当已知sin(30°) = 0.5，sin(45°) = 0.7071时，可以使用线性插值的方法来估计sin(40°)的值。

六、三角恒等式法三角函数有很多恒等式，可以用于简化三角函数的计算。

例如，利用和差角公式sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，可以将复杂角度的三角函数值转化为已知角度的三角函数值来计算。

总结：本文介绍了三角函数求值的几种常见方法，包括定义法、图表法、计算器法、迭代法、差值法和三角恒等式法。

ʏ摆扬虎三角函数求值的常用方法有:巧用三角函数的定义,弦切互化,和积转换, 1 的变换,巧用三角公式,以及利用三角函数的图像等㊂下面举例分析,供同学们学习与参考㊂方法一:巧用三角函数的定义例1 已知角α的终边经过点(3,-4),则s i n α+1c o s α=㊂因为角α的终边经过点(3,-4),所以r =5㊂由三角函数的定义得s i n α=-45,c o s α=35,所以s i n α+1c o s α=-45+53=1315㊂评注:已知角α终边上一点P (x ,y ),且P (x ,y )不是单位圆上的点,可先求r =x 2+y 2,再求s i n α=y r ,c o s α=x r的值㊂方法二:巧用弦切互化例2 若s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,则s i n θ㊃c os θ=㊂由s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,整理可得t a n θ=4,所以s i n θc o s θ=s i n θc o s θs i n 2θ+c o s 2θ=t a n θ1+t a n 2θ=417㊂评注:解答本题的关键是利用公式t a n α=s i n αc o s α进行弦切互化㊂方法三:巧用和积转换例3 如果s i n x +c o s x =15,且0<x <π,那么ta n x 的值是㊂由已知等式两边平方得s i n x c o s x =-1225㊂因为0<x <π,所以s i n x >0,c o s x <0㊂结合s i n 2x +c o s 2x =1解得s i n x =45,c o s x =-35,所以t a n x =-43㊂评注:解答本题的关键是利用(s i n x ʃc o s x )2=1ʃ2s i n x c o s x 和s i n 2x +c o s 2x =1的关系进行变形和转化㊂方法四:巧用 1 的变换例4 化简s i n 2α+c o s 4α+s i n 2αc o s 2α的结果是㊂原式=s i n 2α+c o s 2α(c o s 2α+s i n 2α)=s i n 2α+c o s 2α=1㊂评注:解题时要灵活应用 1的变换,常见的 1 的变换有1=s i n 2θ+c o s 2θ=c o s 2θ㊃(1+t a n 2θ)=t a nπ4等㊂方法五:巧用诱导公式例5c o s (-585ʎ)s i n 495ʎ+s i n (-570)ʎ的值等于;s i n 585ʎc o s 1290ʎ+c o s (-30ʎ)s i n 210ʎ+t a n 135ʎ的值等于㊂结合诱导公式求值㊂原式=c o s (360ʎ+225ʎ)s i n (360ʎ+135ʎ)-s i n (360ʎ+210ʎ)=c o s (180ʎ+45ʎ)s i n (180ʎ-45ʎ)-s i n (180ʎ+30ʎ)=-c o s 45ʎs i n 45ʎ-(-s i n 30ʎ)=-2222+12=2-2㊂原式=s i n585ʎc o s1290ʎ+c o s30ʎ㊃s i n 210ʎ+t a n 135ʎ=s i n (360ʎ+225ʎ)c o s (3ˑ360ʎ+210ʎ)+c o s 30ʎs i n210ʎ+t a n (180ʎ-45ʎ)=s i n225ʎc o s 210ʎ+c o s 30ʎs i n210ʎ-t a n 45ʎ=s i n (180ʎ+45ʎ)c o s (180ʎ+30ʎ)+c o s 30ʎs i n (180ʎ+30ʎ)-t a n45ʎ=s i n45ʎ㊃c o s 30ʎ-c o s 30ʎs i n 30ʎ-t a n 45ʎ=22ˑ32-32ˑ12-1=6-3-44㊂评注:利用诱导公式求任意角的三角函数值的四个步骤: 负化正 ,即用三角公式转31知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.化; 大化小 ,即用三角公式将角化为0ʎ到360ʎ间的角; 小化锐 ,即用三角公式将大于90ʎ的角转化为锐角; 锐求值 ,即得到锐角三角函数后求值㊂方法六:巧用和差公式例6 若s i n 2α=55,s i n (β-α)=1010,且αɪπ4,π,βɪπ,3π2,则α+β的值是㊂因为αɪπ4,π,所以2αɪπ2,2π ㊂因为si n2α=55>0,所以2αɪπ2,π ,所以αɪπ4,π2 ,且c o s2α=-255㊂又因为s i n (β-α)=1010,βɪπ,3π2,所以β-αɪπ2,5π4,c o s (β-α)=-31010㊂故c o s (α+β)=c o s [(β-α)+2α]=c o s (β-α)c o s2α-s i n (β-α)s i n2α=-31010ˑ-255-1010ˑ55=22㊂又α+βɪ5π4,2π,所以α+β=7π4㊂评注:三角函数常见的角变换有:α=(α-β)+β,α=α+β2+α-β2,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等㊂方法七:巧用倍角公式例7 已知函数f (x )=s i n2x -c o s 2x -23s i n x c o s x (x ɪR ),则f 2π3的值为㊂因为f (x )=s i n 2x -c o s 2x-23s i n x c o s x =-c o s 2x -3s i n 2x =-2s i n 2x +π6 ,所以f 2π3=-2s i n4π3+π6=-2s i n 3π2=2㊂评注:三角函数的角变换的常见公式有:1ʃs i n2α=s i n 2α+c o s 2αʃ2s i n αc o s α=(s i n αʃc o s α)2,1+c o s2α=2c o s 2α,1-c o s 2α=2s i n 2α,c o s 2α=1+c o s 2α2,s i n 2α=1-c o s 2α2等㊂方法八:巧用三角函数的图像例8 图1是函数f (x )=A s i n (ωx +φ)A >0,ω>0,|φ|<π2的图像的一部分,对任意的x 1,x 2ɪ[a ,b ],且x 1ʂx 2,若f (x 1)=f (x 2),都有f (x1+x 2)=1,则φ的值为( )㊂图1A .π12B .π6C .π4D .π3由图得A =2㊂由题意知x 1,x 2关于函数f (x )图像的对称轴对称,直线x =x 1+x 22是函数f (x )图像的一条对称轴,且fx 1+x 22=2,所以2s i n ω㊃x 1+x 22+φ =2,所以ωx 1+x22 +φ=π2+2k π(k ɪZ )㊂因为f (x 1+x 2)=1,所以2s i n [ω(x 1+x 2)+φ]=1,所以ω(x 1+x 2)+φ=π6+2k π(k ɪZ )或ω(x 1+x 2)+φ=5π6+2k π(k ɪZ )㊂令k =0,据上消去ω(x 1+x 2),可得φ=π6或φ=5π6㊂又因为|φ|<π2,所以φ=π6㊂应选B ㊂评注:解答本题的关键是熟练掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质㊂作者单位:甘肃省临夏州积石山县积石中学(责任编辑 郭正华)41 知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

三角函数求值及求角的方法(高考必考)必背公式（一）、和角与差角公式：（1）、sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；（2）、cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= （3）tan (α±β)=tanα±tanβ1∓tanα∙tanβ（二）二倍角公式sin 22sin cos ααα=；22cos2cos sin ααα=-.＝22cos1α- ＝212sin α- 22tan tan 21tan ααα=- （三）、诱导公式:（有分母且分母为2的，变函数名，符号看象限） 公式一：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cosα 公式二：sin(－α)＝−sinα，cos(－α)＝cosα 公式三：sin(π＋α)＝−sinα，cos(π＋α)＝−cosα 公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝−cosα. 公式五：sin⁡(π2−α)＝cosα，cos⁡(π2−α)＝sin α.公式六：sin (π2+α)=cosα，cos⁡(π2+α)＝-sin α.sin (3π2+α)=−cosα，cos⁡(3π2+α)＝sin α.公式同样适用正切：tan(π＋α)＝tanα，tan(π-α)＝−tanα一、三角函数定义求：设点(),A x y 为角α终边上任意一点：sin yrα=，cos x r α=，tan y x α=（r =）1．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－5122、(2017.全国1，15)已知α∈(0，π2)，tanα=2，则cos (α−π4)=___________3、 (2011·江西，14，易)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴． 若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．二、平方关系：1cos sin 22=+αα.2、 商数关系：αααcos sin tan = 例题：已知，计算： （1）； （2）三、角度关系1、已知θ是第一象限角，且536cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ，则θsin =2、（2018.全国2，15）已知tan(α−5π4)=15,则tan α=_________3tan =αααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-2)cos (sin αα+3、已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.4.设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π3)的值为()A. 1225B. 2425C. −2425D. −1225四、凑角1、设都是锐角，且55cos =α，()54cos -=+βα，则=βcos （ ） A 、2552 B 、552 C 、2552和552 D 、255和552、已知⁡tan (α+β)=25，tanβ=13，则⁡⁡tan (α+π4)的值为___________五、倍角公式求值1、(2013·课标Ⅱ，6，易)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.232、(2017.全国三，4)已知sinα−cosα=43，则sin2α=___________六、求角：5、已知α，β都是锐角，若sinα=√55，sin β=√1010,⁡⁡⁡则α+β等于=（⁡⁡⁡⁡⁡）A.π4B.3π4C.π4或3π4D.−π4或−3π46、(2012·全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边， c ＝3a sin C －c cos A . 则A 等于 ___________练习：1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( ) A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±12132．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6 B.－π3 C.π6 D ．π33、已知sin2α=13，则cos 2(α−π4)=A.-13B. 13C. 23D. −234.若cos(π8−α)=16，则cos(3π4+2α)的值为( ) A.1718B. −1718C.1819D. −18195.已知cos(23π−2θ)=−79，则sin(π6+θ)的值等于( ) A. 13B. ±13C. −19D. 197.(2016·全国2)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .则C 等于_________8、(2014·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .则cos A 的值为__________。

三角函数的计算方法
三角函数的计算方法有以下几种：
1. 正弦函数（sin）的计算方法：首先确定所给角的弧度值或角度值，然后使用计算器或相关表格查找对应的正弦值。

2. 余弦函数（cos）的计算方法：与正弦函数类似，确定所给角的弧度值或角度值，使用计算器或相关表格查找对应的余弦值。

3. 正切函数（tan）的计算方法：确定所给角的弧度值或角度值，使用计算器或相关表格查找对应的正切值。

4. 正割函数（csc）的计算方法：正割函数的值是正弦函数值的倒数，可以通过求正弦函数值的倒数得到。

5. 余割函数（sec）的计算方法：余割函数的值是余弦函数值的倒数，可以通过求余弦函数值的倒数得到。

6. 积函数（cot）的计算方法：积函数的值是正切函数值的倒数，可以通过求正切函数值的倒数得到。

这些三角函数的计算方法可以通过计算器、相关表格或数学软件进行计算，也可以使用编程语言中的三角函数函数库进行计算。

三角函数万能公式三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

在三角函数中，万能公式是一组关系式，能够将三角函数之间的关系以及对应的求值公式总结起来。

本文将详细介绍三角函数的万能公式，并探讨其应用。

三角函数共有三个主要函数：正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数都可以通过万能公式相互转化，主要由勾股定理和基本三角函数的定义导出。

首先，我们来介绍正弦函数的万能公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB此公式说明了两个角的正弦函数和余弦函数之间的关系。

利用这个公式，在求解角度和不等式时可以简化计算过程。

接下来，我们来看余弦函数的万能公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB这个公式也是用来简化计算过程的重要工具，可以将复杂的余弦函数表达式转化为简单的项相乘形式。

最后，我们来介绍正切函数的万能公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB) 正切函数的万能公式在求解角度和三角恒等式时也有广泛的应用，可以将复杂的正切函数表达式转化为简单的左右两边相除的形式。

除了这些基本的万能公式，三角函数还有其他一些重要的恒等式，如：sin² A + cos² A = 11 + tan² A = sec² A1 + cot² A = cosec² A这些恒等式表达了三角函数之间的特殊关系，可以用于求解各种三角函数的值以及简化计算过程。

除了求解角度和数值以外，三角函数的万能公式还有许多实际应用。

在物理学、工程学和天文学等领域，三角函数的万能公式被广泛应用于解决各种问题，如建筑物的倾斜度计算、船舶导航和星体运动的预测等。

总而言之，三角函数的万能公式是数学中一个重要的工具，能够简化计算过程并揭示三角函数之间的特殊关系。

三角函数式的求值三角函数式的求值作者：张志华1.给角求值要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角公式，特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式，以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

例1求值：sec50°+tan10°解析：sec50°+tan10°=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin 80°=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°=cos40°+cos20°cos10°=2cos30°cos10°cos10°=3总结评述：本题的解题思路是：变角→切割化弦→化异角为同角→转化为特殊角→约去非特殊角的三角函数。

解此类问题的方法是，转化为特殊角，同时能消去非特殊角的三角函数。

2.给值求值给出角的一种三角函数值，求另外的三角函数式的值，常用到同角三角函数的基本关系及其推论，有时还用到“配角”的技巧，解题的关键是找出已知条件与欲求的值之间的角的运算及函数名称的差异，对已知式与欲求式施以断α+2β的范围。

∵cosα=－750且α∈（0，π）∴sinα=150,tanα=－17又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34∴tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1α∈（0，π），tanα=－170,α∈(π2,π)β∈（0，π），tanβ=－130,β∈(π2,π)∴2β∈（π,2π），tan2β=－340∴3π22π∴α+2β∈（2π，3π）.而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4∴α+2β=11π4总结评述：给值求角问题中，求出三角函数值后，要注意限制角的范围。

三角函数的求值与化简一 三角函数式的化简与证明 1．两角和与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S α＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S α－β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(C α＋β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C α－β) tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(T α＋β)tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β(T α－β)2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；(S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(C 2α) tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α)3．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan (α＋β)/(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan (α－β)/(1＋tan αtan β)． (2)升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2.(3)降幂公式 sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2. (4)其他常用变形sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22； tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.5．角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝⎝⎛⎭⎫α－π3＋π3. 例1化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝________.即时训练1化简：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝________.例24cos 50°－tan 40°＝( ) A.2B.2＋32C.3D.22－1 (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－513，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝45且0<β<π2<α<π，则sin(α＋β)的值为________．即时训练2．(1)已知α为锐角，且sin α(1＋3tan 10°)＝1，则α的值为________． (2)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．。