曲线积分和曲面积分

曲线积分：在数学中，曲线积分是积分的一种。

积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。

曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。

曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

分类：曲线积分分为：（1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。

对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。

但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

曲面积分：定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。

曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。

第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。

第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

第一型曲面积分：定义在曲面上的函数关于该曲面的积分。

第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。

第二型曲面积分：第二型曲面积分是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。

第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧，必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。

曲线积分和曲面积分的物理意义摘要：1.曲线积分概述2.曲面积分的物理意义3.曲线积分与曲面积分的联系与区别4.实际应用案例分析正文：一、曲线积分概述曲线积分是一种数学工具，用于计算曲线上的物理量，如力、速度、能量等。

它在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。

曲线积分的基本思想是将曲线划分为无数小段，计算每小段上的物理量与长度的乘积之和。

根据积分路径的不同，曲线积分可分为线积分和面积分。

二、曲面积分的物理意义曲面积分是对曲面上物理量的积分，其基本思想是将曲面划分为无数小面，计算每个小面上的物理量与面积的乘积之和。

曲面积分可分为两类：法向量积分和切向量积分。

法向量积分用于计算曲面上某一点的垂直方向物理量，如压力、温度等；切向量积分用于计算曲面上某一点的切线方向物理量，如速度、力等。

曲面积分在物理学、工程学等领域具有重要的物理意义。

三、曲线积分与曲面积分的联系与区别曲线积分与曲面积分都是对物理量沿路径或曲面的积分。

它们的联系在于都是通过对路径或曲面进行划分，计算各小段或小面上物理量与长度或面积的乘积之和。

然而，它们也有明显的区别。

曲线积分主要针对曲线路径，关注沿路径的变化；而曲面积分针对曲面，关注的是曲面上各点的物理量。

此外，曲线积分可分为线积分和面积分，而曲面积分可分为法向量积分和切向量积分。

四、实际应用案例分析1.电磁学：在电磁学中，曲线积分广泛应用于计算电场线、磁感线等。

通过计算曲线上某一点的电场强度或磁场强度与弧长的乘积之和，可以得到电场线或磁感线的分布情况。

2.流体力学：在流体力学中，曲面积分可用于计算流体沿曲面的速度分布。

通过计算曲面上各点的速度与面积的乘积之和，可以得到流体的速度分布情况，进而分析流体的运动规律。

3.热传导：在热传导问题中，曲线积分可以用于计算温度沿曲线的分布。

通过计算曲线上某一点的温度与弧长的乘积之和，可以得到温度的分布情况，进而分析热传导过程。

总之，曲线积分和曲面积分在物理学、工程学等领域具有重要的应用价值。

第十一章：曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分⎰⎰+=LLy d x d y x f ds y x f 22),(),(若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L βα≤≤t则 原式=dt t y t x t y t xf ⎰'+'βα)()())(),((22对弧长的曲线积分(,,)((),(),(LLf x y z ds f x t y t z t =⎰⎰若 ():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩βα≤≤t则 原式=((),(),(f x t y t z t βα⎰常见的参数方程为：特别的：22222.2x y LLLeds e ds e ds e π+===⎰⎰⎰22=2(0)L x y y +≥为上半圆周二、对坐标的曲线积分⎰+Ldy y x q dx y x p ),(),(计算方法一： 若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则原式=dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'⎰βα对坐标的曲线积分(,,)(,,)(,,)LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点处α=t ，终点处β=t 则原式=((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++⎰计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。

11(,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+⎰⎰1()(,)(,)L Dq pdxdy p x y dx q x y dy x y∂∂=±--+∂∂⎰⎰⎰如图：三、格林公式⎰⎰=∂∂-∂∂Ddxdy ypx q )(⎰+Ldy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界特别地：当yp x q ∂∂=∂∂时，积分与路径无关， 且⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p(,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q Px y∂∂⇔=∂∂ 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。

曲线积分曲面积分公式曲线积分和曲面积分是微积分学中重要的概念和计算方法，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及它们的应用。

一、曲线积分1. 概念曲线积分是沿着曲线路径的函数值在该路径上的积分，它可以用来计算曲线上的物理量或计算路径上的某个量的总和。

一条曲线通常可以用参数方程表示，即根据一个或多个参数的变化来描述曲线上的点的坐标。

2. 计算方法曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种。

第一类曲线积分是对曲线上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∫f(x,y,z) ds其中，f(x,y,z)是曲线上的函数，s是弧长。

第二类曲线积分是对曲线上的矢量场进行积分，计算公式为：∫F·dr 或∫F ds其中，F是曲线上的矢量场，dr是位移矢量，ds是弧长。

3. 应用曲线积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场沿着路径上的功、磁场沿着闭合路径上的环流等。

它还可以用来计算空间曲线上的质心、质量等。

在工程学中，曲线积分可以用来计算管道的流量、线段上的力等。

二、曲面积分1. 概念曲面积分是对曲面上的函数的某个量在整个曲面上的积分，它可以用来计算曲面上的物理量或计算函数在曲面上的平均值。

一般情况下，曲面可以用参数方程表示，即根据两个参数的变化来描述曲面上的点的坐标。

2. 计算方法曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种。

第一类曲面积分是对曲面上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∬f(x,y,z) dS其中，f(x,y,z)是曲面上的函数，dS是面积元。

第二类曲面积分是对曲面上的矢量场进行积分，计算公式为：∬F·dS 或∬F dS其中，F是曲面上的矢量场，dS是面积元。

3. 应用曲面积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场通过曲面的电通量、磁场通过闭合曲面的磁通量等。

它还可以用来计算物体的总质量、质心等物理量。

第八章 曲线积分和曲面积分我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。

由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。

§1 第一型曲线积分与曲面积分１． 第一型曲线积分我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。

我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数(,,)f x y z 在L 上定义。

为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的长度为j s V 。

在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V以此作为L 质量的近似值。

最后我们令1max{}0j j ns λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，即,01lim (,)nj j j j j M f s λξης→==∑V由此我们可得到以下定义 定义设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。

每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点(,,)j j j j P ξης=，作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V如果当1max{}0j j ns λ≤≤=→V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于L 的分法及j P 的选取，则称这一极限值为(,,)f x y z 。

在L 上的第一型曲线积分，记作(,,)Lf x y z ds ∫。

第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。

曲线积分与曲面积分的概念与计算在数学中，曲线积分和曲面积分是两个重要的概念，用于描述曲线和曲面上的各种物理量的计算。

本文将详细介绍这两个概念的定义以及计算方法。

1. 曲线积分的概念与计算曲线积分用于计算曲线上的矢量场或标量场沿曲线的积分值，常用于求解沿路径的功、电磁感应等问题。

曲线积分可以分为第一类和第二类，下面将分别介绍。

1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分可以用于计算矢量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C F·ds其中，C表示曲线，F表示矢量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度，F·ds表示矢量场F与ds的点积。

要计算第一类曲线积分，首先需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。

然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。

1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算标量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C f ds其中，C表示曲线，f表示标量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度。

要计算第二类曲线积分，同样需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。

然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。

2. 曲面积分的概念与计算曲面积分用于计算曲面上的矢量场或标量场通过曲面的通量或质量的计算。

曲面积分同样可以分为第一类和第二类，下面将一一介绍。

2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算矢量场通过曲面的通量，其计算公式如下：∬S F·dS其中，S表示曲面，F表示矢量场，dS表示曲面S上的一小块面积，F·dS表示矢量场F与dS的点积。

要计算第一类曲面积分，首先需要确定曲面S的参数方程，并对其进行参数化。

然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。

2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分用于计算标量场通过曲面的质量，其计算公式如下：∬S f dS其中，S表示曲面，f表示标量场，dS表示曲面S上的一小块面积。

曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中两个重要的概念。

曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，而曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用。

一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算。

通常将曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分用于计算曲线上的标量场函数。

对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数f(x,y,z)在C上可微分，则第一类曲线积分的计算公式为：∫_[C]f(x,y,z)ds=∫_a^bf(x(t),y(t),z(t))∥r'(t)∥dt其中，ds表示曲线上的微元弧长，∥r'(t)∥表示曲线C的切向量的长度。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算曲线上的矢量场函数。

对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数F(x,y,z)在C上连续，则第二类曲线积分的计算公式为：∫_[C]F(x,y,z)·dr=∫_a^bF(x(t),y(t),z(t))·r'(t)dt其中，·表示矢量的点乘运算，dr表示曲线上的微元矢量。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。

同样，曲面积分也分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算曲面上的标量场函数。

对于参数化曲面S：r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))，其中(u,v)属于区域D，函数f(x,y,z)在S上可微分，则第一类曲面积分的计算公式为：∬_[S]f(x,y,z)dS=∬_Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∥r_u×r_v∥dudv其中，dS表示曲面上的微元面积，r_u和r_v表示曲面S的参数方程关于u和v的偏导数，r_u×r_v表示两个偏导数的叉乘，∥r_u×r_v∥表示其长度。

高数考研备战曲线积分与曲面积分的关系与转化曲线积分和曲面积分是数学中的重要概念，在高数考研备战中也是必不可少的知识点。

曲线积分主要用于计算曲线上某个物理量的总量，而曲面积分则用于计算曲面上某个物理量的总量。

两者之间存在一定的关系和转化方法，下面我们将详细介绍。

一、曲线积分的概念和计算方法曲线积分是用来计算曲线上某个物理量的总量。

在数学上通常将曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分是指对曲线上函数的积分运算。

根据曲线的参数方程表示，第一类曲线积分可以表示为：∫ [a, b] f(x(t), y(t)) ds其中，f(x, y)是定义在曲线上的函数，x(t)和y(t)是曲线的参数方程，ds是曲线上的弧长元素。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分是指对曲线上向量场的积分运算。

根据曲线的参数方程表示，第二类曲线积分可以表示为：∫ [a, b] F(x(t), y(t)) · dr其中，F(x, y)是定义在曲线上的向量场，x(t)和y(t)是曲线的参数方程，dr是曲线上的切向量元素。

二、曲面积分的概念和计算方法曲面积分是用来计算曲面上某个物理量的总量。

曲面积分同样分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分是指对曲面上函数的积分运算。

根据曲面的参数方程表示，第一类曲面积分可以表示为：∫∫ Ω f(x, y, z) dS其中，f(x, y, z)是定义在曲面上的函数，Ω是曲面的投影区域，dS 是曲面上的面积元素。

2. 第二类曲面积分第二类曲面积分是指对曲面上向量场的积分运算。

根据曲面的参数方程表示，第二类曲面积分可以表示为：∫∫ Ω F(x, y, z) · dS其中，F(x, y, z)是定义在曲面上的向量场，Ω是曲面的投影区域，dS是曲面上的面积元素。

三、曲线积分与曲面积分的关系与转化在某些情况下，曲线积分和曲面积分之间存在一定的联系与转化方法。

曲线积分曲面积分公式曲线积分和曲面积分是数学中重要的概念，在物理学和工程学等领域也有广泛的应用。

本文将以生动、全面和有指导意义的方式介绍曲线积分和曲面积分的公式及其应用。

首先，我们来介绍曲线积分。

曲线积分是沿一个曲线对矢量场进行积分运算的方法。

它可以用于求解电流的环流、质点的环量以及力场中的功等问题。

曲线积分的公式是：∮C F·dr = ∫ab F(r(t))⋅r'(t) dt其中，∮C表示沿曲线C的积分，F是一个矢量场，r(t)是曲线C上的参数化表示，ab是曲线C上的取点区间。

r'(t)是r关于t的导数，表示曲线C的切向量。

这个公式用于计算矢量场F沿曲线C的积分。

曲线积分的计算方法是首先确定曲线C的参数化表示r(t)，然后计算矢量场F在曲线C上的取点区间ab的取值并代入公式中进行积分运算。

最后得到曲线C上的积分值。

举个例子来说明曲线积分的应用。

假设有一个力场F(x, y) = (y, x)，现在我们需要计算力场F沿曲线C的积分。

曲线C是一个由点A(0, 0)到点B(1, 1)的直线段。

我们可以将这条曲线表示为r(t) = (t, t)，其中t的取值范围是0到1。

根据曲线积分的公式，把r(t)代入公式中得到：∫0^1 (t, t)⋅(1, 1) dt = ∫0^1 2t dt = [t^2]0^1 = 1因此，力场F沿曲线C的积分结果为1。

接下来，我们来介绍曲面积分。

曲面积分是对标量场或矢量场在曲面上的积分运算。

它可以用于求解电场的通量、热传导的通量以及流体力学中的流量等问题。

曲面积分的公式有两种情况。

对于标量场的曲面积分，公式如下：∬S f dS = ∫∫S f(r(u, v)) |ru × rv| dudv其中，∬S表示对曲面S的积分，f是一个标量场，r(u, v)是曲面S上的参数化表示，ru和rv是r关于u和v的偏导数，ru × rv 表示曲面S的法向量，|ru × rv|是它的模。

- -第十一章 曲线积分与曲面积分一 、内容提要（一）曲线积分1．第一类曲线积分（对弧长）(1)定义：设),(y x f 是光滑曲线L 上的有界函数，把L 分成n 段，设i 段的弧长为i s ∆（最长者记{}i s ∆=max λ），在其上任取一点),(i i ηξ，则),(y x f 在L 上的第一类（对弧长）曲线积分为 ∑⎰=>-∆=ni i i i Ls f ds y x f 1),(lim ),(ηξλ.(2) 几何意义与物理意义几何意义是柱面面积，该柱面以L 为准线、其母线平行于z 轴、介于平面0=z 和曲面),(y x f z =之间的部分（图10.1）. 物理意义是线密度为),(y x f 的物质曲线L 的质量. (3)计算方法 ： 即“定限、代入”两步法第一步（定限）：写出L 的方程及自变量的变化范围，用不等式表示，例如 βα≤≤t ，并且一定有βα<.第二步（代入）：计算出弧长的微分式ds .将L 的方程和ds 一并代人曲线积分公式，即转变为定积分.共有三种形式： 参数式 L ： ⎩⎨⎧≤≤==,),(),(βαψϕt t y t x ds t t ds 22))(())((ψϕ'+'=⎰⎰'+'=Ldt t t t t f ds y x f βαψϕψϕ22))(())(())(),((),(；直角坐标 把L ：)()(b x a x y ≤≤=ψ看做曲线参数表达式⎩⎨⎧==)(x y xx ψ可以得到如下公式：⎰⎰'+=Lb adx x x x f ds y x f 2))((1))(,(),(ψψ；极坐标 L ：,),(βθαθ≤≤=r r θθθd r r ds 22))(()('+=，⎰⎰'+=Ld r r r r f ds y x f βαθθθθθθθ22))(()()sin )(,cos )((),(.2．第二类曲线积分（对坐标）（1）定义 ： 设),(y x P 和),(y x Q 是有向光滑曲线L 上的有界函数，把L 分成n 段，设第i段的- -分点为),(i i i y x M ，在弧 ⋂-i i M M 1上任取一点),(i i ηξ，设1--=∆i i i x x x , 1--=∆i i i y y y ，则),(y x P 在L 上对坐标x 的曲线积分是⎰∑=>-∆=Lni i i i x P dx y x P 1),(lim ),(ηξλ；而),(y x Q 在L 上对坐标y 的曲线积分是⎰∑=>-∆=Lni iiiyQ dy y x Q 1),(lim ),(ηξλ；在应用上往往表现为两者的和：⎰⎰⎰+=+LLLdy y x Q dx y x P dyy x Q dx y x P ),(),(),(),(（记为）.（2）物理意义第二类曲线积分的物理意义是变力j y x Q i y x P F),(),(+=沿有向曲线L 移动所作的功，即⎰⋅=Lr d F W⎰+=L dy y x Q dx y x P ),(),(.其中 j dy i dx r d+= .由微分三角形知ds dy dx r d =+=22，向量r d在切线上.（4）计算方法直接计算 即“定向、代入”两步法. 第一步（定向）：写出L 的方程及自变量的变化范围，α和β分别对应L 的起点（下限）和终点（上限）.即变量“t 由α向β”积分.与第一类曲线积分不同，在这里可能出现βα>的情况.第二步（代入）：把L 的方程及dy dx ,代入被积分式中，即变为定积分，α和β分别是下限和上限.例如， （定向）L ：⎩⎨⎧==βαψϕ向由t t y t x ),(),(.（代入）⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),((([.间接计算 主要使用两个重要定理.格林定理 设：① D 是由分段光滑曲线L 围成，L 的方向为正；② ),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数.则⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+L D dxdy y P x Q Qdy Pdx dxdy QP y x D⎰⎰∂∂∂∂. 注意 ： 如果D 是单连通域，则L 逆时针方向为正.如果D 是复连通域，则 L 的外周界逆时针方向为正，而内周界顺针方向为正.如果L 的方向为负，那么在使用格林时时一定要补加一个负号.与路径无关定理 设：① D 是单连通域，有向曲线L ∈D ；② ),(y x P 和),(y x Q 在D 中有- -连续的偏导数.则⎰+LQdy Pdx 与路径无关<=>yPx Q ∂∂=∂∂ 对于一个第二类曲线积分计算题，如果不宜直接计算或直接计算较繁，就需要计算yPx Q ∂∂∂∂和，依不同情况，或使用格林定理或改变积分路径.（5）曲线积分与全微分的关系设D 是单连通域；P 和Q 具有连续偏导数.则在D 中存在),(y x u 使yPx Q Qdy Pdx du ∂∂=∂∂⇔+= .其计算公式是 ⎰⎰⎰+=+=xx yy y x y x dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P y x u 000),(),(),(),(),(0),(),(⎰⎰+=y y x x dx y x P dy y x Q 0),(),(0. 3．两类曲线积分之间的转换设曲线了L ：)(),(t y t x ψϕ==.在曲线上L 任一点的切向量是=t {)(),(t t ψϕ''}，容易求出单位切向量{}ααsin ,cos 0=t，由微分三角形知ααsin ,cos ds dy ds dx ==.将这两式代入第二类曲线积分中得⎰⎰+=+LLds Q P Qdy Pdx ]sin cos [αα如用向量表示，{}{}{}{}ds t ds ds dy dx r d y x r Q P A 0sin ,cos ,,,,, =====αα，于是ds t A r d A LL⎰⎰⋅=⋅0（此式在三维空间也正确）.4．常用计算技巧代人技巧 若计算⎰Lds y x f ,),(而L 的方程恰是a y x f =),(，则⎰⎰==LLal ads ds y x f ),(（l 是l 的长度）.注意： 这种代入技巧在两类曲线积分和两类曲面积分中都适用.但是绝不可以用在重积分上.例如，设D 是由222a y x =+围成的区域，则下面的“代入”是错误的：⎰⎰⎰=+DDdxdy a dxdy y x 222)( 错误的原因是在D 的内部222a y x <+.利用奇偶对称性 第一类曲线积分的奇偶对称性与二重积分类似.设L 关于y 轴对称，则- -⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=LL x y x f x y x f ds y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当),(2),(,0),(1其中1L 是L 在y 轴右边的部分.若L 关于x 对称，则有结果类似. 第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反.设L 关于y 轴对称，（1L 是L 在y 轴右边的部分）则⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=LL x Q x Q dy y x Q 为偶函数。