【配套K12】江苏省宿迁市高中数学 第11课时 直线与平面垂直导学案 苏教版必修2

《8.6.2 直线与平面垂直》教案第2课时直线与平面垂直的性质【教材分析】在直线与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线垂直关系延续和提高，也是后续研究平面与平面垂直的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。

【教学目标与核心素养】课程目标1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【教学重点和难点】重点：直线和平面垂直的性质定理.难点：直线和平面垂直的性质定理的应用.【教学过程】一、情景导入问题1：长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？问题2：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本153-155页，思考并完成以下问题1、垂直与同一条直线的两条直线有什么位置关系？2、与线面垂直有关的结论有哪些？3、怎样定义直线与平面的距离、平面与平面的距离？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、直线与平面平行的性质定理常用结论:(1)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.(2)已知a⊥α.若平面α外的直线b与直线a垂直，则b//α.(3)已知a⊥α.β//α，则a⊥β.2、距离(1)直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离.(2)平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离.四、典例分析、举一反三题型一直线与平面垂直的性质定理的应用例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证：（1）MN∥AD1;（2）M 是AB 的中点. 【答案】证明见解析【解析】（1）因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,所以AD 1⊥A 1D.又因为CD ⊥平面ADD 1A 1,AD 1⊂平面ADD 1A 1,所以CD ⊥AD 1. 因为A 1D∩CD=D,所以AD 1⊥平面A 1DC. 又因为MN ⊥平面A 1DC,所以MN ∥AD 1. (2)设AD 1∩A 1D=O,连接ON,在△A 1DC 中, A 1O=OD,A 1N=NC.所以ONCDAB,即ON ∥AM.又因为MN ∥OA,所以四边形AMNO 为平行四边形,所以ON=AM. 因为ON=AB,所以AM=AB,即M 是AB 的中点.解题技巧（证明两条直线平行的常见方法） (1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;(3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 跟踪训练一1、如图，已知平面α∩平面β=l ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，B 为垂足，直线a ⊂β，a ⊥AB.求证：a ∥l .12121212【答案】证明见解析【解析】因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a. 又因为a⊥AB，AB∩EB=B，所以a⊥平面ABE.因为α∩β=l，所以l⊂α，l⊂β.因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l. 又因为EA∩EB=E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.题型二空间中的距离问题例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积.【答案】18.【解析】由长方体ABCD-A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥BE，因为BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1=90°，由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1 E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，所以E到平面BB1C1C的距离即为点A到平面BB1C1C的距离，AB=3，所以四棱锥E-BB1C1C的体积V=13×3×6×3=18.解题技巧 (空间中距离的转化)（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离.（3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.跟踪训练二1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E 是BC的中点，M是PD的中点.(1)求证：AE⊥平面PAD.(2)若AB=AP=2，求三棱锥P-ACM的体积.【答案】(1)证明见解析，(2)√33.【解析】解析 (1)连接AC，因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC为正三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，因为AD∥BC，所以AE⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，又因为PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.(2)因为AB=AP=2，则AD=2，AE=√3，所以VP-ACM =VC-PAM= 13S△PAM·AE= 13×12×12×2×2×√3＝√33五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本155页练习，162页习题8.6的13、14、15、16题.【教学反思】通过本节课性质定理的学习，使学生进一步了解线线垂直和线面垂直时刻相互转化的，即空间问题和平面问题可以相互转化.《8.6.2 直线与平面垂直》教案第2课时直线与平面垂直的性质【学习目标】知识目标1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．核心素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【学习重点】：直线和平面垂直的性质定理.【学习难点】：直线和平面垂直的性质定理的应用.【学习过程】一、预习导入阅读课本153-155页，填写。

§1.2.3直线与平面垂直的判定一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

2、过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法。

3、情态与价值培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。

二、教学重点、难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。

三、教学设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。

2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。

（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。

然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

并对画示表示进行说明。

Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。

有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

直线与平面垂直的定义与判定一学习要求：掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系.二学习重点：直线与平面垂直的判定定理.学习难点：判定定理的应用.三学习过程：1 知识链接：（1）. 复习直线与平面平行的判定定理及性质定理.（2）. 讨论：日常生活中有哪些现象给人以直线与平面垂直的感觉？（竖直站立的人与地面、旗杆与地面、生日蛋糕与蜡烛┅）2 .直线与平面垂直的定义：（1）引入：观察旗杆与它在地面的影子的位置关系：随着时间的变化，影子在移动，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（2）定义：如果_______________________________ ，则直线l与平面α⊥. l叫做平面α的垂线，α叫做直线l的垂面，它们互相垂直，记作lα的唯一公共点P叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）问题 1 如果一条直线与平面内无数条直线垂直，那么这条直线与平面垂直吗？举例说明。

问题2 在空间：（1）过一点有几条直线与已知平面垂直？（2）过一点有几个平面与已知直线垂直？结论：问题3：给定一条直线和一个平面，如何判定它们是否垂直？例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

已知：a∥b，a⊥α求证：b⊥α学生依图，联系直线与平面垂直的定义，尝试写出证明过程：3.直线与平面垂直的判定：（1）实验：将一张矩形纸片对折后略为展开，竖立在桌面上，观察折痕与桌面有怎样的位置关系？进而，你能得出什么结论？（2）判定定理：如果________________________________________，则这条直线与该平面垂直.符号语言：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m⊂α，n⊂α，则l⊥α说明：对于判定定理注意二点.一是判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准、用对.二是要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.问题4：以下命题中，正确命题的序号为______________.①若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；②若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线；④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一直线必垂直于这个平面.问题5：如图，在长方体''''ABCD A B C D 中，与平面''B C CB 垂直的直线有 ；与直线'AA 垂直的平面有 .例2 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：AC ┴BD'.例3在△ABC 中，∠Ｂ＝90°，SA ⊥面ABC ，AM ⊥SC ，AN ⊥SB 垂足分别为N 、M ，求证：AN ⊥BC ，MN ⊥SC四．课时小结：1.定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语、定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.2.和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.3.注意两个结论：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.4.判定直线和平面是否垂直，本节课给出了三种方法：（1）定义 强调“任何一条直线”；（2）例1的结论 符合“两条平行线中一条垂直于平面”特征；（3）判定定理 必须是“两条相交直线”.五 当堂检测：1.判断题（1）l ⊥α⇒l 与α相交（ ）（2）m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α（ ）（3）l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α⇒n ⊥α（ ）2. 如图，已知AP O ⊥ 所在平面，AB 为O 的直径，C 是圆周上的任意， 过点A 作AE PC ⊥于点E. 求证：AE ⊥平面PBC.六 课后作业1 课本P34页练习32 课本P36页习题73 课本P37页习题8。

课题：直线与平面垂直的判定（一）授课教师：江苏省宿迁中学张明星教材：苏教版·必修二教学目标1.通过对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，能正确理解直线与平面垂直的定义，并能简单的运用定义。

2.通过类比联想，直观感知，操作确认，归纳出直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些的简单命题。

3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，培养主动探究的习惯，并渗透事物间相互转化和理论联系实际的辨证唯物主义观点.教学重点、难点教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

教学方法与教学手段教学方法：启发式与实验探究式相结合教学手段：计算机、多媒体课件、三角形卡纸教学过程一、直线与平面垂直定义的构建1、创设情境——感知概念复习直线与平面的三种位置关系，指出已经系统学习过直线与平面平行的定义、判定定理和性质定理后，进一步提出问题：你认为直线与平面相交中哪种情况最特殊？最值得研究？展示几幅生活中常见的图片，让学生指出其中给人以“直线与平面垂直”形象的部分，从中抽取出直线与平面垂直的几何图形，进而引出课题：直线与平面垂直.设计意图：从数学知识内部发展和生活应用两个角度让学生认识到研究“直线与平面垂直”的必要性.并通过抽象的三部曲：实物模型空间直观图，抽象出直线与平面垂直的几何图形，让学生直观感知直线与平面垂直的位置关系，使学生头脑中产生直线与平面垂直的初步印象．2、观察归纳——形成概念从陀螺中抽象出圆锥模型，学生通过旋转纸片，感受圆锥的形成过程，并思考：问题1：旋转轴与底面内哪些直线垂直？（教师播放动画）并追问为什么？进而归纳出直线与平面垂直的定义.设计意图：在具体的情境中，让学生感知直线与平面垂直的本质属性，体会到定义的合理性．3、讨论辨析——深化概念引导学生用数学符号将定义表示出来，接着提出问题：（1）如果将定义中的“任意一条直线”改成“无数条直线”，结论还成立吗？（2）若l⊥α,m α，则l⊥m成立吗？设计意图：通过对两个问题的讨论辨析，让学生加深对概念的理解,并让学生体会到通过定义可以实现“线线垂直”与“线面垂直”的相互转化.二、直线与平面垂直判定定理的构建1、类比联想——提出问题根据线面平行的判定定理进行类比，通过不断的猜想和分析，最终提出问题：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直吗？设计意图：从学生的已有知识出发，类比联想，符合学生的认知规律，使学生的思维顺畅，并激发学生进一步探究的欲望．2、动手实验——提出猜想演示实验过程：先将三角形纸片折叠一次，再将纸片略打开放置于桌面上，A使折痕与桌面相交．思考：（1）折痕与桌面一定垂直吗？（2）如何折叠才能使折痕与桌面所在的平面垂直？学生解释，并给出不同的折法.问题2：这两种不同的折法有何共同特点？你有何猜想？设计意图：一方面让学生从另一个角度来理解定义——只要直线l 与平面α内有一条直线不垂直，那么直线l 就与平面α不垂直；另一方面让学生通过讨论不同折法的共同特点，直观感知并归纳猜想出直线与平面垂直的判定定理.3、合作探究——形成定理问题3：为什么折痕能与桌面所在的平面垂直？学生讨论探究，以折痕AD 为轴转动纸片，来说明AD 与平面α内过D 点的所有直线都垂直，平面α内不过D 点的直线，可以通过平移经过D 点，说明它们与AD 都垂直，符合直线与平面垂直的定义，验证了猜想的正确性（辅以动画演示），得出直线与平面垂直的判定定理.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．让学生用图形语言表示判定定理并辨析：直线l 是否必须经过经过直线m 与直线n 的交点O ？符号语言： m l ⊥，n l ⊥，α⊂m ，α⊂n ，m n O = ⇒l α⊥． 设计意图：让学生通过动手操作，经历观察、归纳、猜想及验证的探究过程，增强学生的学习兴趣，提高学生的抽象概括能力，培养学生严谨细致的作风在理解直线与平面垂直的判定定理时，强调“两条”、“相交”缺一不可.指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线与已知直线垂直.三、初步应用——深化认识1. 图形感知——提出命题从图中可以看出边AB 与折痕平行，边AB 是否也与平面α垂直？本题可以使用直线与平面垂直的定义来证明，也可以使用直线与平面垂直的判定定理来证明，让学生展现其解决问题的思路，并通过学生的交流，完善并规范解题过程的书写.设计意图：一方面让学生学会使用定义和判定定理，让他们掌握分析此类问题的方法和步骤，另一方面让学生学会思考，增强其逻辑推理能力，并给学生更多的发展机会.问题4：判定直线与平面垂直有哪些方法？学生总结出利用定义和定理两种方法.设计意图：让学生在头脑中初步形成将线面垂直转化为线线垂直的意识，为下面的应用打下铺垫.请学生用文字语言将例题表述出来——如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．2. 命题变式——探究证明将命题的题设和结论交换，得出变式例题.例2.已知：AB α⊥，DE α⊥．求证：AB //DE ．本题证明有一定困难，需要适当的引导，师生共同探究，完成证明，进而总结出直线与平面的性质定理．性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行符号语言：a ⊥α,b ⊥αa//b 图形语言：ba α设计意图：“授人以鱼，不如授人以渔”，在共同探究的过程中，不仅体现了知识的运用，更重要的是展示了思维的过程，增强学生分析问题、解决问题的能力.四、回顾总结，反思升华问题5：这节课，我们有哪些收获？知识方面：线面垂直的定义、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理． 方法方面：掌握了立体几何中研究线面位置关系思路与方法．数学思想：转化思想（空间平面、无限 有限、线面垂直 线线垂直、平行 垂直）五、布置作业，巩固理解（1）阅读课本相关内容进行复习；（2）课本第41-42页习题1.2（2）的“感受·理解”部分的第7题和第9题；（3）课本第42页习题1.2（2）的“思考·运用”部分的第12题. 线线平行性质定理 a//b,a ⊥b b ⊥α a//b a ⊥α,b ⊥α 判定定理（两相交直线） 定义法（任一直线） 线线垂直 线线平行线 面 垂 直。

第四节直线、平面垂直的判定与性质[最新考纲]1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直1定义：如果直线与平面α内的任意一条直线都垂直，那么直线与平面α垂直．2判定定理与性质定理1平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．2当直线与平面垂直和平行或直线在平面内时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°3范围：错误!3．二面角的有关概念1二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．2二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．3范围：[0，π]．4．平面与平面垂直1定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2判定定理与性质定理直线与平面垂直的五个结论1假设一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意直线2假设两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．3垂直于同一条直线的两个平面平行．4一条直线垂直于两平行平面中的一个，那么这条直线与另一个平面也垂直．5两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．一、思考辨析正确的打“√〞，错误的打“×〞1垂直于同一个平面的两平面平行．2假设α⊥β，a⊥β⇒a∥α3假设两平面垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．4假设平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，那么α⊥β[答案]1×2× 3 ×4×二、教材改编1．设α，β是两个不同的平面，，m是两条不同的直线，且⊂α，m⊂βA．假设⊥β，那么α⊥βB．假设α⊥β，那么⊥mC．假设∥β，那么α∥βD．假设α∥β，那么∥mA[∵⊥β，⊂α，∴α⊥β面面垂直的判定定理，故A正确．]2．以下命题中不正确的选项是A．如果平面α⊥平面β，且直线∥平面α，那么直线⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝，那么⊥γA[A错误，与β可能平行或相交，其余选项均正确．]3如下图，分别为AB，VA的中点．1求证：平面MOC⊥平面VAB；2求三棱锥B-VAC的高．[解]1证明：∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB ∵OC⊂平面MOC, ∴平面MOC⊥平面VAB2在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝错误!，∴AB＝2，OC＝1，∴等边△VAB的面积为S△VAB＝错误!×22×in 60°＝错误!，又∵OC⊥平面VAB，∴OC⊥OM，△AMC中，AM＝1，AC＝错误!，MC＝错误!，∴S△AMC ＝错误!×1×错误!＝错误!，∴S△VAC＝2S△MAC＝错误!，由三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，即错误!S△VAC ·h＝错误!S△VAB·OC, ∴h＝错误!＝错误!，即三棱锥B-VAC的高为错误!考点3平行与垂直的综合问题探索性问题中的平行与垂直关系处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜想点的位置，再给出证明．探索点存在问题，点多为中点或n等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置．2021·北京高考如图，在四棱锥在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF [解]1证明：连接CE交AD于O，连接OF因为CE，AD为△ABC的中线，那么O为△ABC的重心，故错误!＝错误!＝错误!，故OF∥C1E，因为OF⊂平面ADF，C1E⊄平面ADF，所以C1E∥平面ADF2当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF证明如下：因为AB＝AC，D为BC的中点，故AD⊥-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1，故平面B1BCC1⊥平面ABC又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面B1BCC1，又CM⊂平面B1BCC1，故AD⊥CM又BM＝1，BC＝2，CD＝1，FC＝2，故Rt△CBM≌Rt△FCD易证CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD⊂平面ADF，故CM⊥平面ADF又CM⊂平面CAM，故平面CAM⊥平面ADF折叠问题中的平行与垂直关系解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕〞，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变〞．1与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；2与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变．2021·全国卷Ⅰ如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA1证明：平面ACD⊥平面ABC；2Q为线段AD上一点，＝AB＝3，DA＝3错误!又B＝90°〞折叠过程中始终不变．即折叠问题的处理可采用：不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系那么要在立体图形中解决[教师备选例题]如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，FE与A，D不重合分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD求证：1EF∥平面ABC；2AD⊥AC[证明]1在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，那么AB∥EF又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC2因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F 是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC＝错误!1 21证明：DE∥平面BCF；2证明：CF⊥平面ABF[证明]1在折叠后的图形中，因为AB＝AC，AD＝AE，所以错误!＝错误!，所以DE∥BC因为DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，所以DE∥平面BCF2在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，那么在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF 又BF＝CF＝错误!，BC＝错误!，所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF又BF∩AF＝F，BF⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以CF⊥平面ABF。

苏教版高中数学必修二《直线与平面垂直》说课稿一、说教材（一）教材内容教材选自：苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2，1.2.3直线与平面的位置关系 2.直线与平面垂直第一课时。

本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用，得到性质定理。

直线与平面垂直的是直线与平面相交中的一种特殊情况，它既是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是后面学习面面垂直的基础，是连接线线垂直和面面垂直的纽带！因此线面垂直是空间垂直位置关系间转化的重心，在教材中起到了承上启下的作用。

（二）学情分析在本节课之前学生已学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质，具备了学习本节课所需的知识。

学生在学习了直线与平面的平行后具备了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的基础，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定基础。

但是对于学生而言，他们的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。

（三）教学重、难点教学重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究、证明性质定理。

教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

二、教学目标《课程标准》把本节课学习目标概括为：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

我将本节课的教学目标确立为：知识与技能:（1）经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；（2）通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；（3）感受直线与平面垂直的性质定理，并能证明。

过程与方法:（1）在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．（2）尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换．情感、态度与价值观:经历线面垂直的定义和定理的探索过程，提高严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．三、说教法、学法采用“启发－探究”的教学方法。

苏教版高中数学必修二《直线与平面垂直》教学设计一、教学目标1．通过对实例、图片、模型的观察，让学生提炼并理解直线与平面垂直的定义．2．通过直观感知、操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，引导学生探究直线与平面垂直的性质定理，尝试用文字、符号、图形语言对定义和定理进行准确表述和合理转换，并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题．3．在探索直线与平面垂直的判定定理过程中发展学生的空间想象能力和合情推理能力，使学生感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”等数学思想方法．二、教学重点、难点本节课的教学重点是运用直观感知、问题探究、操作确认等方法概括得出直线与平面垂直的定义和判定定理．教学难点是直线和平面垂直的性质定理的探究、发现和应用．三、教学方法与教学手段启发式教学与探究式教学相结合四、教学过程1．问题情境展示校园中的旗杆图片，引导学生思考旗杆与地面的位置关系，从而引出本节课的课题《直线与平面垂直》．2．学生活动由教室内门的一条边与墙面的位置关系引导学生回顾上一节课《直线与平面平行》的所学内容．再由门的一条边与地面的位置关系引出《直线与平面垂直》，让学生在温故知新的基础上明确本节课的研究内容及顺序．3．数学建构通过观察图片，并借助教具进行展示，让学生在直观感知“直线与平面垂直”的基础上尝试给出“直线与平面垂直”定义，再通过比较、辨析，进一步明确“直线与平面垂直”的定义及应用．然后将“直线与平面垂直”与平面几何中的“线线垂直”进行类比，得出“直线与平面垂直”相关概念及结论．4．数学理论通过证明“如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”，指出利用“直线与平面垂直”的定义证明直线与平面垂直的局限性，从而引导学生探究判定“直线与平面垂直”的简便可行的方法，即直线与平面垂直的判定定理．同时，由生活中两根旗杆相互平行这一情境，抽象概括出直线与平面垂直的性质定理，并给出严格证明．5．数学应用请学生独立完成以下问题：例已知三棱锥S ABC，其中BAC=90，若SB面ABC，求证：SA AC．SA CB学生完成后交流分析思路，展示证明过程．6．回顾小结请学生回顾本节课所学内容并谈谈自己这节课的收获．五、教学设计说明本节课是高中数学（苏教版）必修2第一章《立体几何初步》第二节《点、线、面之间的位置关系》中《直线与平面的位置关系》的一小节内容，前一小节学生刚刚学习了直线与平面的位置关系以及直线与平面平行等相关知识，因此本节课的内容既是直线与平面位置关系的深化，又是进一步研究面面垂直、线面角、面面角的基础，在整。

直线与平面垂直（1）【教学目标】1．引导学生观察、分析，得出直线与平面垂直的判定定理，并运用它证明“线面垂直”；2．会用“线线垂直”与“线面垂直”之间的相互转化来解决线面垂直问题.【教学重难点】直线与平面垂直的判定定理及其应用【教学方法】合作探究【教学过程】一、观察分析，提炼知识（1）观察圆锥SO，它给我们以轴SO垂直于底面的形象。

问题：轴SO 与底面内的哪些直线垂直呢？由于圆锥SO是由Rt△SOC绕直角边SO旋转一周形成的，因此SO与底面内的每一条半径都垂直，从而SO垂直于底面内的所有直线。

问题：为什么轴SO垂直于底面内的所有半径，就有SO垂直于底面内的所有直线？（2）定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作a⊥α。

其中，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足。

问题：动脑筋想一想，回答下列问题？（仅需直观感受，不要求证明）我们知道，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

那么，在空间：1、过一点有几条直线与已知直线垂直？这些直线有什么特点？2、过一点有几条直线与已知平面垂直？3、过一点有几个平面与已知直线垂直？（3）小知识：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足之间的距离，叫做这个点到这个平面的距离。

（4）概念应用例1．求证：如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 已知：如图，//,a b a α⊥求证：b α⊥证明：设m 为平面α内任意一条直线，则//a a m b m m b a b m αααα⎫⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎪⎭⇒⊥⎬⎪⎭⎪⎪⎭为平面内任意一条直线二、深入思考，揭示本质1问题：类比线面平行的判定定理，我们要证线面平行，只要证线线平行即可。

那么，我们要证明线面垂直，只需要证明线线垂直。

那么，我们要证明已知直线和平面内的多少条直线垂直呢？2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直说课稿1 教学背景1.1 教材内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》苏教版必修2中1232《直线与平面垂直》内容，属于新授概念原理课.图1如图1，这是直线与平面垂直在本章中的位置.直线与平面垂直是在学生掌握了直线在平面内，直线与平面平行之后紧接着研究的一种位置关系.线面垂直与线线平行、面面平行联系密切，线面平行研究了定义、判定定理以及性质定理，这就为我们本节课的研究勾勒出了一条主线.直线与平面垂直又是立体几何中最重要的一种位置关系，向下可以得到线线垂直，向上可以得到面面垂直，且后面空间的角和距离等都涉及到线面垂直，从而就显得尤为重要.本节课的学习不仅起着承上启下的作用，还是学生体验由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法与应用的过程.因此，学习这部分知识有着非常重要的意义.1.2 学生学情分析1.21 学生已有认知基础学生已经学习了直线与直线垂直、直线与平面平行的相关认识.学生已有通过直观感知、操作确认的方法研究直线与平面平行的直接经验，对空间概念、原理的建立有一定的基础.学生初步养成了独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯.1.22 达成目标所需要的认知基础学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，初步具备类比、猜想、抽象概括、空间想象能力.1.23 教学重难点及突破策略依据教材内容解析和学生学情分析，我确定本节课的教学重点难点及突破策略如下：教学重点直线与平面垂直定义的生成过程，判定定理的发现过程，以及性质定理的证明过程.教学难点直线与平面垂直的定义和判定的生成过程，性质定理的证明方法的发现过程.突破策略教师引导学生先明确研究的内容与方法，从总体上认识研究的目标与手段;组织学生汇报交流，展现思维过程，相互评价，相互启发，促进反思;让学生经历直观感知、猜想、抽象概括、适当证明或说明的过程.1.3 教学目标设置基于教材、学情分析，充分关注学生的发展，在此基础确立了本节课的教学目标如下：（1）通过对现实生活中的实例、模型的观察、类比、抽象、概括出直线与平面垂直的定义，发现、推测、归纳直线与平面垂直的判定定理，探究直线与平面垂直的性质定理及证明方法.（2）感悟特殊到一般、化归等数学思想;了解反证法，发展类比、归纳等合情推理能力、逻辑推理能力和空间想象能力.（3）体会数学的严谨、自然、简洁之美，体验数学探究与发现的乐趣，培养质疑、思辨、发现问题的意识和自主探究、思考的习惯和能力.2 教法学法根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用启发探究式.通过教师引导，激发学生自主探究，动手操作，体验感悟，总结提炼.引领学生达到定性研究线面垂直的目标与方法，经历研究线面垂直的定义、判定定理和性质定理的过程，并在研究的过程中逐渐完善研究手段，提高研究能力.学生的自主探究，具体表现为：（1）建构直线与平面垂直的概念时，学生自主举例，观察猜想，抽象概括，并用自然语言、图形语言、符号语言表示.（2）探究直线与平面垂直的判定定理与性质定理时，学生通过实验探究、观察探究、操作确认的方式猜想归纳并表述.（3）性质证明时，学生自主探究证法，相互交流提升，最终解决问题.3 教学过程为了达成教学目标，具体教学可以分为以下五个过程：建构定义→形成判定→产生性质→课堂小结→布置作业图2下面对每一过程中要解决的问题和主要做法以及步骤作出说明.3.1 建构定义根据学生已有的知识基础，建构定义部分，我设计了以下8个问题：问题1 直线和平面有哪几种位置关系？问题2 研究了直线和平面平行哪些内容？设计意图以问题串的形式复习线面关系，勾勒出本节课的研究线路.问题3 直线和平面相交中最特殊的一种情况是什幺？活动31：你能利用手中的工具，摆出一些直线与平面相交的情形吗？活动32：大家摆出了这幺多种“相交”，你想先从哪一种情形开始研究呢？把它摆出来.活动33：那你能给“这种情形”（教师比划”直线与平面垂直”的形象）起个名字吗？设计意图先让学生动手操作——发现线面垂直是相交最特殊的情形;紧接着让学生自主命名——使学生体验成功快乐;进而追问为什幺命名为“垂直”？——学生联想“直线与直线垂直”，用已知的概念来表示未知概念，为定义建构埋下伏笔.问题4 为什幺先研究线面垂直？设计意图让学生认识到研究新问题的途径为：由特殊到一般，由简单到复杂.问题5 为什幺要研究线面垂直？设计意图通过让学生举出生活中的实例和几何体中的实例，感受到线面垂直普遍存在，有研究的必要性.问题6 你认为应该研究直线与平面垂直的哪些内容？设计意图培养学生模仿类比能力，根据直线与平面平行的研究内容，确立直线与平面垂直的研究目标.问题7 圆锥的轴与底面内的任意一条线是什幺关系？问题71：圆锥的底面是如何形成的？问题72：圆锥的轴与底面半径是什幺关系？为什幺？。

直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.2．过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；3．情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明” ，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.（二）教学重点、难点两个性质定理的证明.（三）教学方法学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化.1．问题：已知直线a、b 和平面，如果a ,b ，那么直线a、b 一定平行吗？已知 a ,b 求证：b∥a.证明：假定b 不平行于a，设b =0 b′是经过O与直线a 平行的直线∵a∥b′，a∴b′⊥a即经过同一点O 的两线b、b′都与垂直这是不可能的，因此b∥a.2．直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行简化为：线面垂直线线平行AA′、BB′、CC′、DD′ 所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立.师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a、b 归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，有这种情况下，我们采用“反证法” 师生边分析边板书.学，培养几何直观能力. ，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率.探索新知二、平面与平面平行的性质定理1．问题黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？2．例1 设，=CD，AB ，教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题生：借助长方体模型，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.2．平面和平面垂直的性质补充完善 .归纳知识提高3．面面垂直 线面垂直 线线垂直自我整合知识的能力. 课后作业2.3 第三课时 习案 学生独立完成固化知识提升能力备选例题例 1 把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置桌面，另一条直 桌面所在的平面 垂直，a 是 内一条直线，若斜边 AB 与 a 垂 是否与 a 垂直？a AC 解析】 ACa AB aAC AB A评析】若 BC 与 垂直，同理可得 AB 与 也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法： “线线垂直→线面垂直→线线垂直”例 2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已 知 ⊥r ， ⊥r ， ∩ = l ，求证： l ⊥r ．【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在 r 内构造两相交直线分别与平面 、 垂 直．或由面面垂直的性质易在 、 内作出平面 r 的垂线，再设法证明 l 与其平行即可．【证明】法一：如图，设 ∩r = a ， ∩r = b ，在 r P ．过点 P 在r 内作直线 m ⊥ a ，n ⊥b ．∵ ⊥r ， ⊥r ，∴ m ⊥ a ，n ⊥ （面面垂直的性质） 又 ∩ = l ，a 平面 ABC BC 平面 ABCa BC角边 AC 与 直，则 BC内任取一点∴ l ⊥ m ，l ⊥n ．又 m ∩n = P ，m ，n r ∴l ⊥r ．法二：如图，设 ∩r = a ， ∩r ∵ ⊥r ， ⊥r ， ∴m ⊥r ，n ⊥r ． ∴ m ∥ n ，又 n ，m ， ∴ m ∥ ，又 ∩ = l ，m ，b ，在 内作 m ⊥a ，在 内作 n ⊥ b ．∴ m ∥ l ， 又 m ⊥r ，∴l ⊥r ．【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法 面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益 的．充分利用面。

1第11课 课题：直线与平面垂直的判定【学习目标】通过直观感知、操作确认、归纳出：一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则这条直线与此平面内垂直 【问题情境】1. 观察实际生活中的旗杆、建筑等物，请学生思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？2. 讨论：能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1与A 1B 1C 1D 1有怎样的位置关系？3. 直线与平面垂直的定义：如果直线a 与平面α内 都垂直，则直线a 与平面α互相垂直，记作： 。

4．直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个平面内的所有直线。

3. 直线与平面垂直的判定方法： (1)利用定义(2)判定定理：一条直线与这个平面的 垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

符号语言： 。

实质是： 垂直⇒线面垂直。

(3)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也 于这个平面。

4. 思考 平面中,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.那么,在空间:(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？ (2)过一点有几个平面与已知直线垂直？5. 点面距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和 的距离，叫做这个点到这个平面的距离。

练习：(1)若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线有 条。

(2)下列说法中正确的有 。

①．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么,这条直线就与这个平面垂直。

②．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。

③．若A,B 两点到平面α的距离相等，则直线AB ∥α.④．已知直线a 在平面α内，若l ⊥α，则l ⊥a. ⑤．已知直线l 和平面α，若l ⊥α，则l 和α相交. 【合作探究】_ C _1__ C_ A2典型例题例1. 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． A-BCD 中，AB=AD,CB=CD ，求证：AC ⊥BD【展示点拨】变式：如图,已知:α∩β＝l , PA ⊥α于Α,PB ⊥β于B ,AQ ⊥l 于Q , 求证: BQ ⊥l .【学以致用】1．若AB 的中点M 到平面α的距离为cm 4，点A 到平面α的距离为cm 6，则点B 到平面α 的距离为____ _____cm 。

直线与平面垂直一、新知导学：1、两直线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后,并且交角为，则称这两条直线O2、线面垂直：如果一条直线（AB）和一个平面α相交于点0,并且和这个平面内过交点（0）的任何直线都,我们就说.若直线I与平面α垂直记作o画直线和平面垂直时，通常要__________________________________________ 3、线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条____ 直线都垂直，则该直线与这个平面_________ . ______ 1用符号语言表示为：∕⅛⅜推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也_________ .推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么4、线面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线O用符号语言表示为：___________________________二、典例分析例1、有一根旗杆高8阳，它的顶端A挂一条长IOm的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）GO ,如果这两点都和旗杆脚8的距离是6小，那么旗杆就和地面垂直，为什么？变式：如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，。

是对角线AC与BD的交点，且PA=PC, PB=PD. 求证：PO_L平面ABCD例2过一点和已知平面垂直的直线只有一条已知：平面α和一点P求证：过点P与α垂直的直线只有一条例3、已知：空间四边形ABCO, AB = AC f求证：BC-LAD0变式：已知：点。

是ΔABC的垂心，PO_L平面ABC,垂足为。

, 求证：PAYBC.三、课堂小结：证明线面垂直的方法:。

《8.6.2 直线与平面垂直》教学设计第2课时直线与平面垂直的性质【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要直线与平面垂直的性质及其应用，直线到平面的距离、两平行平面间的距离。

课本从长方体的侧棱垂直与底面，考虑侧棱之间的关系入手，通过用反证法证明垂直与一个平面的两直线平行，引入直线与平面垂直的性质定理，通过例题引入直线到平面的距离的定义以及两平行平面之间的距离定义。

直线与平面垂直的性质定理是判断两直线平行的一种方法。

【教学目标与核心素养】【教学重点】：直线与平面平行的性质定理，直线到平面的距离，两平行平面的距离；【教学难点】：用直线与平面平行的性质定理解决相关问题。

【教学过程】2.直线与平面垂直的判定定理【答案】一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

二、探索新知观察：如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1所在直线与底面ABCD 的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？【答案】平行思考：如图，已知直线a ,b 和平面α，如果a ⊥α,b ⊥α，则那么直线a ,b 一定平行吗？已知：a ⊥α， b ⊥α 求证：a ∥b ． 证明：假设b 不平行于a,是经过点O 与直线a 平行的直线。

因为。

即经过同一个点O 的两条直线b,c 都垂直于平面，这是不可能的。

因此，a//b.1.直线和平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：图形语言：作用：证线线平行。

例1.如图，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距通过观察与思考，得到直线与平面平行性质定理，的提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过符号语言与图形语言，让学生进一步理解直线与平面垂直的性质定理，提高学生的概括能力。

c O b ,=α αα⊥⊥c a c a 所以,,//αb a b a //,⇒⊥⊥ααl αl α离相等。

直线与平面垂直的性质【教学目标】（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.（2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用.【教学重难点】重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。

难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。

【教学过程】（一） 复习引入师：判断直线和平面垂直的方法有几种？师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？ 判断下列命题是否正确：1.在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

2.在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

3.垂直于同一平面的两直线互相平行。

4.垂直于同一直线的两平面互相平行。

师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？（二） 创设情景如图，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？（三）讲解新课例1 已知：a α⊥，b α⊥。

求证：b ∥a师：此问题是在a α⊥，b α⊥的条件下，研究a 和b 是否平行，若从正面去证明b ∥a ，则较困难。

而利用反证法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线b’的作出,这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知道下,学生尝试证明,稍后教师指正.生:证明:假定b 不平行于a,设O b =⋂α, b’是经过点O 的两直线a 平行的直线.a ∥b’, a α⊥,∴ b’ α⊥即经过同一点O 的两直线b ,b’都与α垂直,这是不可能的,因此b ∥a.有了上述证明,师生可共同得到结论.:直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.利用三种形式去描述它//.=== // ////= //l l a l A lB A a b B l B c l l a l cl a l ca c a c ab a b A αββαβαγββγβγαγββββαβ⊥⊥∈⊂∈∴⊥∴⊥⊥⊥⊥∴⊄⊂∴∴例2.已知，，求证证明：设，在内过点取两条直线和且与相交，设，同理在平面中：，又，，同理又 下列命题中错误的是（C ） A.若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。

第11课时直线与平面垂直一、【学习导航】知识网络学习要求1.掌握直线与平面的位置关系.２．掌握直线和平面平行的判定与性质定理．.3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题．自学评价１. 直线和平面垂直的定义:符号表示：垂线：垂面：垂足：思考：在平面中，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，那么在空间。

(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？答：(2)过一点有几条平面与已知直线垂直？答：２．定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直３．点到平面的距离：４．直线与平面垂直的判定定理：符号表示５．直线和平面垂直的性质定理：已知：求证：证明：６．直线和平面的距离：【精典范例】例1：.求证: 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条直线也垂直于这个平面.思维点拔：要证线面垂直，只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直，或利用定义进行证明。

Rt△ABC所在平面外一点Ｓ，且SA=SB=SC(1)求证：点Ｓ在斜边中点Ｄ的连线SD⊥面ABC(2)若直角边BA=BC，求证：BD⊥面SAC追踪训练1听课随笔直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的判定直线和平面垂直直线和平面垂直的性质直线和平面垂直的判定与性质定理的应用1、如图, 已知PA ⊥α, PB ⊥β, 垂足分别为A 、B, 且α∩β= l , 求证: AB ⊥l .例2.已知直线l // 平面α , 求证: 直线l 各点到平面α的距离相等.例3.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 .(1)求证: A 1C ⊥B 1D 1 ;(2)若M 、N 分别为B 1D 1与C 1D 上的点, 且MN ⊥B 1D 1 , MN ⊥C 1D , 求证: MN//A 1C .点评：要证线线平行均可利用线面垂直的性质。

追踪训练2 1.已知直线l,m,n 与平面α，指出下列命题是否正确，并说明理由： (1)若l ⊥α,则l 与α相交； (2)若m Ìα,n Ìα,l ⊥m,l ⊥n ,则l ⊥α； (3)若l//m,m ⊥α,n ⊥α,则l//m 2.某空间图形的三视图如图所示，试画出它的直观图，并指出其中的线面垂直关系． 3.在△ABC 中，∠Ｂ＝90°，SA ⊥面ABC ，AM ⊥SC ，AN ⊥SB 垂足分别为N 、M ， 求证：AN ⊥BC ，MN ⊥SC 学生质疑教师释疑 ABPα β lA B D CD 1C 1B 1A 1MN 听课随笔 N M C B A S。

直线与平面垂直（一）苏教版必修2一、教学目标1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义.2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，培养学生的识图能力和规范书写表达能力.3．通过猜想并证明直线与平面垂直的性质定理4.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.二、教学重点、难点1.教学重点：（1）操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理.（2）推证直线与平面垂直的性质定理.2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用.三、教学方法与教学手段：教法：启发诱导式学法：合作交流、动手试验四、教学过程设计师：我们知道直线与平面有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面平行以及直线与平面相交.前几节课我们着重研究了直线与平面平行，哪位同学还记得研究了哪几块内容？定义-判定-性质-应用（板书）回顾直线与平面平行的判定定理及性质定理的内容；总结：线面关系-------线线关系（板书）虚线上面加“化归思想”今天我们研究直线与平面相交.生活中哪些图形给我们以直线与平面相交的印像？请举例.教师举例：直线与平面相交（垂直、不垂直的）如果我们约定把地面抽象为平面，竹子、旗杆、斜塔抽象为直线，那么在这些相交关系中哪种相交最特殊？（“垂直”）给出本节课的课题：直线与平面垂直.学生自我感知直线与平面垂直.如：摆放笔与本子.1.直线与平面垂直定义的建构举实例：圆锥.轴所在直线与底面的关系是垂直的，母线所在直线与底面的关系不垂直.思考：如何定义直线与平面的垂直？师：在前面的线面平行的学习过程中，我们将线面平行关系转化为线线平行关系来考察.这里能不能作类似的考虑？也就说能否用线线垂直来得到线面垂直.下面请看圆锥的形成过程，分析轴与底面内直线的关系.（几何画板）轴SO与这个平面的垂直.分析：轴SO不动，OC旋转后构成了一个平面.轴SO垂直于底面内过点O的所有直线，平面内的其它直线是否与轴SO垂直？（停顿思考）学生分析：任意直线可以平移经过点O.SO垂直于底面内的所有直线.师：我们从直观上看到的轴SO与底面垂直不是偶然的，事实上这里轴SO垂直于底面内的所有直线，因此我把它作为直线与平面垂直的定义.由学生归纳定义：（板书）定义：如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：a⊥α.画图：这里要注意画图的规范性.直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面．垂线与平面的交点P叫αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l m l m 内任一直线是平面b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ααb a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα做垂足.用符号语言表示为：概念辨析：关键词是什么？（任意）定义辨析：练习:判断下列说法是否正确①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直.②如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线. ③如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的无数条直线. 对练习②的分析无数条与任意一条的区别.（指出反例中的无数条平行直线与平面外的直线垂直可以转化为其中一条直线与平面外的直线垂直，原因是异面直线的所成角相等）师：一般来说定义都有两个方面（两重性）.从两个方面来认识定义（充要条件）（1）线线垂直线面垂直（2）线线垂直（板书）性质 2. 直线与平面垂直的判定定理的探究通过定义我们可以进行线面垂直的判定.那么利用定义来得到直线与平面的垂直，方便吗？需要验证平面内的任意一条直线（所有直线）与已知直线垂直，工程浩大.实在不可能而为之.师：用有限的生命去解决这个“无限”的问题看来有点困难.况且数学本身就是要求简洁明了.数学大师陈省身也说过：“在数学世界里，简单性和优雅性是压倒一切的.”我们当然希望平面内的直线越少越好！问题：平面α内有一条直线与平面α外的直线l 垂直，那么平面α是否与直线l 垂直？有两条呢？αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a m a m 内任一直线是平面辨别得到相交直线的过程可以要求学生摆出反例模型进行说明.让学生在操作过程中，确认并理解判定定理的条件．实验操作（折纸实验）准备一个纸片．折叠纸片，得到折痕AD ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．引导学生分析后得到结论：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则这条直线垂直于这个平面.师：我们把这个结论叫做直线和平面垂直的判定定理，事实上在几何中除了公理，其它的定理都是要求严格证明的.现在大家赶上了一个好时代.新课改后，很多的定理不要求证明了，比如这里.这个定理的证明方法较多，留给大家课后思考.我相信我们辅仁中学的同学有能力把它解决掉.引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳.直线和平面垂直的判定定理．（板书） 则这条直线垂直于这个平面.符号语言：a l ⊥，b l ⊥，α⊂a ，α⊂b ，A b a = ⇒l α⊥．图形语言：定理辨析：练习:判断下面说法是否正确.①若直线l 垂直于三角形的两条边，则直线l 垂直于三角形所在平面.②若直线l 垂直于平行四边形的两条边.则直线l 垂直于平行四边形所在平面. ③若直线l 不垂直平面α，则平面α内没有直线与l 垂直.师：定理的关键我们用一句话可以归结为“线不在多两条就行，位置确定相交就灵”3. 直线与平面垂直的判定定理的初步应用 BCEFl b a αA例1．正方体''''ABCD A B C D -中，证明：B D BD ''⊥平面AC .小结:解题的思路: 线线垂直------线面垂直（转化思想）例2、 已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．由学生上黑板板演并分析求证过程：证明1：在平面α内作任意一条直线m ．因为直线a α⊥，根据直线与平面垂直的定义知：m a ⊥又因为b ∥a 所以m b ⊥．又因为m 是平面α内任意一条直线，所以α⊥b ．证明2：在平面α内作两条相交直线m ，n ．因为直线a α⊥，根据直线与平面垂直的定义知,a m a n ⊥⊥．又因为b ∥a所以m b ⊥，n b ⊥．又因为α⊂m ，α⊂n ，m ，n 是两条相交直线，所以α⊥b ．观察学生的答题过程并作出修改.学生完成，教师说明要点.（投影）请学生用文字语言将例2表示出来——如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．4. 直线与平面垂直的性质定理的推证师：数学的发展离不开对原问题的再研究，我们把例2中的条件和结论调换一下就可以得到如下结论：若 α⊥b ,α⊥a ．则 b a //．这个结论对不对啊？请大家思考如何证明.分析直接证明较困难，采用反证法.（板书）证明：设b 不平行于a ，设O b =α ，b '是经过点O 与直线a 平行的直线.直线b 与b '确定平面β，设c =βα ，因为α⊥a ，α⊥b所以c b c a ⊥⊥,，又因为a b //'，所以c b ⊥'这样在平面内，经过直线c 上同一点，就有两条直线b 与b '与c 垂直，显然不可能. 因此b a //．师：这个命题的已知条件为线面垂直（线面关系），结论为线线平行（线线关系）我们把这个命题就叫做直线与平面垂直的性质定理.让学生用语言文字叙述：直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.（板书）5. 总结反思问题1:通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法?问题2:在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题?问题3:本节课涉及到哪些数学思想和方法?问题4:本节课你还有哪些疑问?6.布置作业课本P38页练习2、3、67.【板书设计】1.2.3直线与平面垂直的判定（一） 1、 直线与平面垂直的定义： 2、 直线与平面垂直的判定定理： 例题1： 3、线面垂直的性质定理：设计说明：在本节课之前学生已学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质，具备了学习本节课所需的知识.学生在学习了直线与平面的平行后具备了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的基础，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定基础.但是对于学生而言，他们的抽象概括能力、空间想象力还有待提高,规范书写及语言表达还需进一步强化.通过实例引导学生认识线面“垂直”，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题.类比研究线面平行的方法，通过圆锥的动画演示来使学生理性认识线面垂直与线线垂直的关系，线面垂直存在的必然性.通过展示实例，多媒体演示，使学生感受l与平面内任意一条直线都垂直，进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义.在辨析问题中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化.从两个方面来认识定义（充要条件）通过直观感知、操作确认，从两个角度“相交”、“两垂直”认识归纳出线面垂直的判定定理，运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.完成两个例题的研究，由学生根据定理的内容进行判定.按照研究数学问题的一般模式，给出性质定理的猜想，并通过分析引导学生给予证明.最后对本节课进行总结，从知识和方法两个层面认识线面垂直.。