高中数学第一章三角函数123三角函数的诱导公式2课时训练含解析苏教版必修40630130

双基达标 (限时15分钟)1．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ＝________. 答案 2232．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值等于________． 解析 由诱导公式可得：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13. 答案 －133．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________. 答案 － 34．若cos(π＋α)＝－13，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α是________． 解析 cos(π＋α)＝－cos α＝－13，cos α＝13，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－13. 答案 －135．设α是第二象限角，且cos α2＝－ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π－α2，则α2是第________象限角．答案 三6．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)的值．解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴sin α＝－2cos α，且cos α≠0.∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34. 综合提高 (限时30分钟)7．化简：1＋2sin (3π－α)·cos (α－3π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2－ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α(其中角α在第二象限)的结果为________．答案 －18．设f (x )＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2＋1tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫19π2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 答案 49.3sin(－1 200°)·tan 19π6－cos 585°·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－374π的值为________． 解析 原式＝3sin(240°－4×360°)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－5π6－ cos(360°＋225°)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－10π ＝－3sin240°·tan 5π6－cos 225°·tan 3π4＝－3sin 60°·tan π6－cos 45°·tan π4＝－3×32×33－22×1＝－3＋22.答案 －3＋2210.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值为________． 答案 －2＋ 211．求1－2sin 160°cos 340°cos 200°＋1－cos 220°的值． 解 原式＝1－2sin (180°－20°)cos (360°－20°)cos (180°＋20°)＋sin 20°＝1－2sin 20°cos 20°sin 20°－cos 20° ＝(sin 20°－cos 20°)2sin 20°－cos 20°＝|sin 20°－cos 20°|sin 20°－cos 20°∵cos 20°＞sin 20°，∴|sin 20°－cos 20°|＝－(sin 20°－cos 20°)．∴原式＝－1.12．已知sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π，求sin 3(π－α)＋5cos 3(4π－α)3cos 3(5π＋α)－sin 3(－α)的值．解 由sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2， 得－sin α＝2cos α.①若cos α＝0，由sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±1，此时，①式不成立，故cos α≠0，∴tan α＝－2.所以sin 3(π－α)＋5cos 3(4π－α)3cos 3(5π＋α)－sin 3(－α)＝sin 3α＋5cos 3α－3cos 3α＋sin 3α＝tan 3α＋5－3＋tan 3α＝(－2)3＋5－3＋(－2)3＝311. 13．(创新拓展)(1)已知函数f (x )满足f (cos x )＝cos 2x ，求f (sin 15°)的值；(2)已知函数f (x )满足f (cos x )＝12x (0≤x ≤π)，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3的值．解 (1)f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＝12×2π3＝π3.。

高中数学第一章三角函数1.2.3 三角函数的诱导公式（2）课时训练（含解析）苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.2.3 三角函数的诱导公式（2）课时训练（含解析）苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1．2.3 三角函数的诱导公式（二)课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．1．诱导公式五～六(1）公式五：sin错误!＝________；cos错误!＝________.以－α替代公式五中的α，可得公式六．（2）公式六：sin错误!＝________；cos错误!＝________。

2．诱导公式五～六的记忆错误!－α，错误!＋α的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________,记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．一、填空题1．已知f（sin x）＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为______．2．若sin错误!＝错误!，则cos错误!＝________.3．若sin(3π＋α）＝－错误!，则cos 错误!＝________。

4．已知sin错误!＝错误!，则cos错误!的值等于________．5．若sin（π＋α)＋cos错误!＝－m，则cos错误!＋2sin(2π－α）的值为________．6．代数式sin2(A＋15°）＋sin2(A－45°)的化简结果是________．7．已知cos错误!＝错误!，且｜φ｜＜错误!，则tan φ＝______。

江苏省镇江市丹徒镇高中数学1.2.3 三角函数的诱导公式（2）教案苏教版必修4辑整理：1.2。

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教学目标：1。

经历诱导公式五、六的推导过程，体会数学知识的“发现”过程．2. 掌握诱导公式五、六，能初步应用公式解决一些简单的问题．3. 领会数学中转化思想的广泛性，了解诱导公式就是具有一定关系的几何特征关系的代数表示,从而对诱导公式能够达到属性结合的认识高度．教学重点:诱导公式五、六的推导探究，诱导公式的应用．教学难点：发现终边与角α的终边关于直线y x=对称的角与α之间的数量关系.教学过程备课札记一、问题情境1．回顾旧知：三角函数的诱导公式二到公式四，大家还记得吗?2．在研究公式二到公式四的时候，我们的研究思路是什么?3。

除了关于原点，x轴，y轴对称外,还有类似的对称关系吗？二、学生活动阅读课本,可以自由讨论，尝试解决以下的问题．问题一:你能画出角α关于直线y x=对称的角的终边吗？yx1-1-111(,)p x yα问题二：由图象我们可以看到,与角α关于直线y x =对称，y x =的角可以表示为什么？问题三：假设点1p 的坐标为(,)x y ，你能说出2p 的坐标吗？三、建构数学1．得到2p 的坐标为(,)y x 后，引导学生用三角函数的定义写出角2πα-的三角函数：sin sin()cos 2yx απαα=-==cos cos()sin 2xy απαα=-==所以我们得到了公式五：sin()cos 2cos()sin 2πααπαα-=-=2。

那角2πα+与角α又有怎样的关系呢？学生可能会想到仍然是画图研究，教师引导用已学的公式来探究：将2πα+进行恰当的等价变形，并用换元思想考虑．sin()sin[()]sin()cos 222πππαπααα+=--=-=同理： cos()cos[()]cos()sin 222πππαπααα+=--=--=-所以得到公式六：sin()cos 2cos()sin 2πααπαα+=+=-3. 由观察可得记忆口诀:把α看成锐角，函数名互余，符号看象限．四、数学运用1．例题.证明： 3(1)sin()cos 23(2)cos()sin 2πααπαα-=--=-2．练习。

苏教版必修四第一章三角函数1.5 三角函数的诱导公式（2）（学案含答案）故诱导公式五： sin （2π－α）＝cosα； cos （2π－α）＝sinα. 2. 2π＋α型诱导公式（公式六） 其推导方法也可类似于公式五的方法，也可由公式二和公式五推出。

sin （2π＋α）＝sin[2π－（－α）]＝cos （－α）＝cos α，cos （2π＋α）＝cos[2π－（－α）]＝sin （－α）＝－sin α。

故诱导公式六： sin （2π＋α）＝cosα； cos （2π＋α）＝－sinα。

3. 诱导公式五、六的记忆方法和作用 （1）2π±α的正弦（余弦）函数值，等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”。

（2）利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。

【规律总结】六组诱导公式的记忆方法 k·2π＋α（k ∈Z ）的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶是指k 的取值是奇数还是偶数。

注意：我们在记忆时虽然把公式中的角α看做锐角去记，但实际上六组公式中的α可以是任意角。

例题1 （给值求值）（1）已知sin （π＋A ）＝－21，则cos （23π－A ）的值是________。

（2）已知sin （3π－α）＝21，则cos （6π＋α）的值是________。

思路分析：（1）先化简sin （π＋A ）＝－21得sin A ＝21，再利用诱导公式化简cos （23π－A ）即可。

（2）探索已知角3π－α与6π＋α之间的关系，根据诱导公式将cos （6π＋α）化为3π－α的三角函数求解。

答案：（1）sin （π＋A ）＝－sin A ＝－21，∴sin A ＝21，cos （23π－A ）＝cos （π＋2π－A ）＝－cos （2π－A ）＝－sin A ＝－21。

第7课时 诱导公式(二)～(四)A ．－32 B ．32C ．－12＋32D ．12＋32答案 C解析 sin600°＋tan240°＋cos120°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＋co s(180°－60°)＝sin240°＋tan60°－cos60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°－cos60°＝－sin60°＋tan60°－cos60°＝－32＋3－12＝－12＋32． 2．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．2 答案 D解析 原式＝(－sin α)2－(－cos α)·c os α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2．A ．1－a 2B ．－1－a2aC ．1－a2aD ．1＋a2a答案 B解析 cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝a ， 故cos15°＝－a (a <0)，得sin15°＝1－a 2，tan195°＝tan(180°＋15°)＝t an15°＝1－a2－a．4．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin(π＋α)＋cos(π－α)＝________．答案 －75解析 由tan α＝sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，且α为第一象限角，解得sin α＝45，cos α＝35．所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－75．5．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin α－π＋3tan 3π－α4cos α－3π的值．解 因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45，又因为sin αcos α<0，所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43．所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×－45＋3×－434×35＝－73．知识点三 化简问题(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)． 解 (1)原式＝cos π5＋cos 4π5＋cos 2π5＋cos 3π5＝cos π5＋cos π－π5＋cos 2π5＋cos π－2π5＝cos π5－cos π5＋cos 2π5－cos 2π5＝0．(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝sin60°cos30°＋si n30°cos60°＝32×32＋12×12＝1． 7．化简下列各式： (1)1＋2sin280°·cos440°sin260°＋cos800°；(2)sin540°＋αcos －αtan α－180°．解(1)原式＝1＋2sin 360°－80°·cos 360°＋80°sin 180°＋80°＋cos 720°＋80°＝1－2sin80°·cos80°－sin80°＋cos80°＝sin 280°＋cos 280°－2sin80°·cos80°－sin80°＋cos80°＝sin80°－cos80°2－sin80°＋cos80°＝|sin80°－cos80°|cos80°－sin80°＝sin80°－cos80°cos80°－sin80°＝－1．(2)原式＝sin180°＋α·cos αtan α＝－sin αcos αcos αsin α＝－cos 2α．对应学生用书P16一、选择题1．sin 25π6的值为( )A ．12B ．22C ．－12D ．－32 答案 A解析 sin 25π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝sin π6＝12，故选A ．2．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( ) A ．－255 B ．－55C ．55 D ．255答案 C解析 由三角函数的定义知cos θ＝－55，则cos(π－θ)＝55，故选C ． 3．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β) 答案 B解析 cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误． 4．设tan(5π＋α)＝m ，则sin α＋3π＋cos π＋αsin －α－cos π＋α的值等于( )A ．m ＋1m －1 B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1 答案 A解析 因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m ．所以原式＝sin π＋α－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1．5．若cos(2π－α)＝53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin(π－α)＝( ) A ．－53 B ．－23 C ．－13 D ．±23答案 B解析 由已知，得cos α＝53．∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin(π－α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫532＝－23，故选B ． 二、填空题6．计算sin(－1560°)cos(－930°)－cos(－1380°)·sin1410°＝________． 答案 1解析 sin(－1560°)cos(－930°)－cos(－1380°)·sin1410°＝sin(－4×360°－120°)cos(－1080°＋150°)－cos(－1440°＋60°)sin(1440°－30°)＝sin(－120°)·cos150°－cos60°sin(－30°)＝－32×－32＋12×12＝34＋14＝1． 7．已知cos(75°＋α)＝13，且α为第三象限角，则sin(α－105°)＝________．答案223解析 sin(α－105°)＝sin(α＋75°－180°)＝－sin(α＋75°)． ∵cos(75°＋α)＝13，且α为第三象限角，∴α＋75°为第四象限角， ∴sin(α＋75°)＝－1－cos 2α＋75°＝－223． ∴sin(α－105°)＝223．8．满足sin(3π－x )＝32，x ∈[－2π，2π]的x 的取值集合是________． 答案 －5π3，－4π3，π3，2π3解析 sin(3π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝32．当x ∈[0，2π]时，x ＝π3或2π3；当x ∈[－2π，0]时，x ＝－5π3或－4π3．所以x 的取值集合为－5π3，－4π3，π3，2π3．三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α(k ∈Z )； (2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°．解 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin 2n π－αcos[2n －1π－α]sin[2n ＋1π＋α]cos 2n π＋α＝sin －α·cos －π－αsin π＋α·cos α＝－sin α·－cos α－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[2n ＋1π－α]·cos [2n ＋1－1π－α]sin[2n ＋1＋1π＋α]·cos [2n ＋1π＋α]＝sin π－α·cos αsin α·cos π＋α＝sin α·cos αsin α·－cos α＝－1．综上，原式＝－1． (2)原式＝1＋2sin 360°－70°cos 360°＋70°sin 180°＋70°＋cos 720°＋70°＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1．10．已知α是第二象限角，且tan α＝－2． (1)求cos 4α－sin 4α的值；(2)设角k π＋α(k ∈Z )的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ，求点P 的坐标．解 (1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－－221＋－22＝－35． (2)由tan α＝－2得sin α＝－2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，因为α是第二象限，所以cos α<0， 所以cos α＝－55，sin α＝tan αcos α＝255． 当k 为偶数时，P 的坐标⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cosk π＋α＝cos α＝－55，y ＝sink π＋α＝sin α＝255，即P －55，255． 当k 为奇数时，P 的坐标⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cosk π＋α＝cos π＋α＝－cos α＝55，y ＝sink π＋α＝sin π＋α＝－sin α＝－255，即P55，－255． 综上，点P 的坐标为－55，255或55，－255．。

4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第1章三角函数1.2.3 三角函数的诱导公式课后导练苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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版必修4基础达标1。

sin600°的值是（ ) A.21B 。

-21C 。

23D 。

23-解析：sin600°=sin（360°+240°）=sin240°=sin（180°+60°）=—sin60°=23-。

答案：D2.已知sin （π+α）=53,α是第四象限角，则cos(α—2π）的值是( ） A.54B.—54C.±54D.53解析：∵sinα=—53，∴cos(α-2π）=cos （2π-α)=cosα.又∵α是第四象限角， ∴cosα=α2sin 1-=54。

答案：A3.已知f(x)=sinx,下列式子成立的是（ )A.f(x+π）=sinxB.f （2π—x ）=sinxC 。

f （x —2π）=-cosx D.f （π-x)=—f(x ）解析：∵f（x ）=sinx ，∴f(x -2π)=sin （x-2π)=-sin （2π—x)=-cosx.答案：C4.tan300°+sin450°的值为（ ）A 。

1+3 B.1-3 C 。

-1-3 D.—1+3解析：tan300°+sin450°=tan （360°-60°)+sin（360°+90°）=—tan60°+sin90°=-3+1 =1-3.答案:B5。

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1.2.3 三角函数的诱导公式
温故知新
新知预习
知识回顾
三角函数线，是研究三角函数的重要工具，是后续知识的重要载体，体现了“数形结合”的思想方法，也是本章的重要思想.主要包括：正弦线，余弦线及正切线等，它可以用来求一些特殊角的三角函数值，也可以用来判断函数值的符号，同时体现了三角函数的主要性质（如周期）.教材是借助有向线段，进而引出三角函数线的定义及性质.其中正切线难度稍大，特别注意的是正切线必须经过A（1，0），它可能与角α的终边相交，也可能与终边的反向延长线相交.另外，三角函数线既有大小，又有方向，从代数角度而言，其值可能是正的，也可能是负的或零，等等.
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[学业水平训练]1．sin 330°等于________．解析：sin 330°＝sin(360°－30°)＝－sin 30°＝－12. 答案：－122．sin ⎝⎛⎭⎫－196π的值为________． 解析：sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝－sin 19π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π＋7π6 ＝－sin 7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12. 答案：123．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(225°＋α)＝________． 解析：sin(225°＋α)＝sin(180°＋45°＋α)＝－sin(45°＋α)＝－513. 答案：－5134．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________． 解析：由cos(α－π)＝－513，易得cos α＝513， 又因为sin(－2π＋α)＝sin α，所以只需求出sin α即可．∵α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1213. 答案：－12135．在△ABC 中，若cos A ＝32，则sin(π－A )＝________；若sin A ＝12，则cos A ＝________． 解析：∵A 是△ABC 中的内角，∴sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝12， cos A ＝±1－sin 2A ＝±32. 答案：12 ±326．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为________． 解析：∵sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23， ∴tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－－231－sin 2α＝255. 答案：2557．求下列三角函数式的值：(1)sin(－330°)·cos 210°；(2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．解：(1)sin(－330°)·cos 210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)＝sin 30°·(－cos 30°)＝12×(－32)＝－34. (2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)＝－3sin 1 200°·(－33)－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°) ＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°) ＝32－(－22)×(－1)＝3－22. 8．化简下列各式．(1)sin [α＋（2n ＋1）π]＋sin [α－（2n ＋1）π]sin （α＋2n π）·cos （α－2n π）(n ∈Z )； (2)cos 190°·sin （－210°）cos （－350°）·tan （－585°）. 解：(1)原式＝sin （π＋α）＋sin （α－π）sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α. (2)原式＝cos （180°＋10°）[－sin （180°＋30°）]cos （360°－10°）[－tan （360°＋225°）]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan （180°＋45°）]＝－12－tan 45°＝12. [高考水平训练]1．已知tan(3π－α)＝2，则sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）的值为________． 解析：∵tan(3π－α)＝2，∴tan α＝－2，原式可化为：－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝2－12＋1＝13. 答案：132．(2014·抚州质检)若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 013)＝2，则f (2 014)＝________．解析：∵f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＝2，∴f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β)＝a sin [π＋(2 013π＋α)]＋b cos [π＋(2 013π＋β)]＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝－2.答案：－23．化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.解：原式＝1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）sin （180°＋70°）＋cos （2×360°＋70°） ＝1＋2sin （－70°）cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝（sin 70°－cos 70°）2cos 70°－sin 70° ＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70° ＝－1. 4．已知tan(x ＋87π)＝a . 求证：sin （157π＋x ）＋3cos （x －137π）sin （207π－x ）－cos （x ＋227π）＝a ＋3a ＋1. 证明：sin （157π＋x ）＋3cos （x －137π）sin （207π－x ）－cos （x ＋227π） ＝sin [π＋（x ＋87π）]＋3cos （x ＋87π－3π）sin [4π－（x ＋87π）]－cos [2π＋（x ＋87π）] ＝－sin （x ＋87π）＋3cos [（x ＋87π）－π]sin [－（x ＋87π）]－cos （x ＋87π） ＝－sin （x ＋87π）－3cos （x ＋87π）－sin （x ＋87π）－cos （x ＋87π） ＝tan （x ＋87π）＋3tan （x ＋87π）＋1＝a ＋3a ＋1.。

血(—刃 cos(—普) sinj¥) _ cos[-¥), 23/r 7r y[2 b =cos -^-=cos 才一.(33叭 .Tt c=sin(_ 可|=_si 叼/• h>a>c ・答案：b>a>c 2. ____________________________________ 若 /(sin x) = 3—cos 2x ,则 /(cos x)= .解析:/(cosx)=/[sin(^—x)] = 3—cos [2(号一x)]=3—cos(/r —2x)=3 + cos 2x.答案：3+cos 2x sin (a+¥)cos (a+琴)A”丄严 k 八 (—tan a) (—sin a) cos a 解析：原式= : =—tan a.答案：—tan a4.若 cos (7r+a) = —那么 sin^—a)等于 角军析： Vcos(^+«)=—/.cos又 sin (琴一a) = — cos a, sin (琴一a) = —j.答案：5.若角儿B, C 是LABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是_①cos(/ + B)=cos C ；②sin(/+E)= —sin C ；③cos (斗+C)=cos B ； ④si/jC=cos£.解析：•・・/+3+C=7T , :.A+B=7U -C,cos(/< + B)=— COS C , sin(/+E)=sin C,所以①②都不正确；B +C TT A A同理〃+C=TT —力，所以sin~2—= sin (㊁一刁)=cosy,所以④是正确的.答案：④6. sin 95°+cos 175°的值为 _______ .解析：sin 95° +cos 1750 = sin(900 + 50)+cos(1800-5°)=cos 5°-cos 5° = 0.解析:a =n_cos 6tan (2^—a) cos ("z —«) cos (6^—a) 3・化简 — cos asin a ［学业水平训练］>»在学生用书中.此内容单独成册©,则a, b, c 的大小关系是1-已知Q = ・7T 23兀答案：osin (&—5兀)cos (—号一&) cos (8兀一&)7. ------------------------------ 化简： ---------------sin C0—~) sin (—<9—4/r)—sin （5兀一0） cos （号+&）cos 0 解：原式=— sin （亍一〃）［—sin （4兀+0）］ — sin （兀一〃） （一sin 〃）cos 0cos 6 ( — sin 0)—sin 〃(一sin 〃)cos 〃 .cos & ( - sin &) "n "•c I L. 7T 2TT8. 己知g<«v 亍cos求 tan(y-—a)的值.解：因为守一a=7r —(a+彳)，2兀 兀 兀所以 cos (寸一a)=cos [兀一(a+了)] =—cos(a+#) = —〃?. 由于乎5号，所以十=.2兀 、 2兀 sin (了一Q )所 以 tan(-y —a)= ----- 石 ---cos (了一a)［高考水平训练］1.已知sin （a —则cosG+a ）的值等于解析：•••(|+a)_(a_¥)=申,••冷+a=^+(a —为，/.cos(^+a)=cos [号+(a_》)] = _sin(a 兰)=_丄4) 3-答案： /cos a=J, —号VaVO, n —«<2>2 JI于是 sin (了一G )=、/1—cos? ("y —a)=寸1_/2.已知 cos «=y 且一彳Va<0,「「cos (—a —jr) sin (2^+a) tan (2龙—a) 则(琴-a) cos (号+a) 的 +c 西怦 (—cos a)丽力(一lana) •丿杲工J / 、/・、 (— cos a) • ( —sin a) sin = tan a,・・・siz=—-毕，・・・sz=^=—2辺O VOo (X答案：一2迈"3.已知sin a是方程5x2—7x—6=0的根，求3 3 7Usin (a+~) sin (——a) tan2 (2兀—a) tan (兀―a) ---------- 77的值.cos(2_«)cos (㊁+a)解：由于方程5,—7兀一6=0的两根为2和一§，所以sin a=—|,再由sin2«+cos2«= 1,得cos a—1 — sin2«=,3所以tana=±j,所以原式=—cos a ( — cos a) tan2(x ( — tan a) 3------------- : ----- ; ---- : --- ------------- =tan a=±j.sin a- (—sin a) 434.已知sin(3?r—么)=迈cos(寸+“)，A/3COS(—a)= — ^/2-cos(^+^),且0<G<TT, 0<^< 7T,求a 和〃的值.解：因为sin(3?r—a)=也cos(于+〃)，所以sin «=V2sin/?①.因为羽cos(—a)=—迈cos(;r +0),所以羽cos a=迈cos” ②.①?+②2,得sin2«+3cos2a=2(sin2/?+cos2/?),所以cos2«=^, cos a =±芈.又0VaV?r, 所以a=彳或。

1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数的定义及应用在初中我们已经学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数．你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？改变终边上的点的位置，这个比值会改变吗？把角扩充为任意角，结论成立吗？一、任意角的三角函数1．单位圆：在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为________．2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合．在平面直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P (x ，y )，则r ＝|OP |＝1.那么：(1)y 叫做________，记作sin α，即y ＝sin α； (2)x 叫做________，记作cos α，即x ＝cos α； (3)y x 叫做________，记作tan α，即y x＝tan α(x ≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为________．答案：1.单位圆2．(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切 三角函数二、三角函数值在各个象限内的符号1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sin α＝y r，其中r >0，于是sin α的符号与y 的符号相同，即：当α是第________象限角时，sin α>0；当α是第________象限角时，sin α<0.cos α＝x r，其中r >0，于是cos α的符号与x 的符号相同，即：当α是第__________象限角时，cos α>0；当α是第________象限角时，cos α<0.tan α＝y x，当x 与y 同号时，它们的比值为正，当x 与y 异号时，它们的比值为负，即：当α是第________象限角时，tan α>0；当α是第 ________象限角时，tan α<0.2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin α＝yr ：上正下负横为0；cos α＝x r ：左负右正纵为0；tan α＝y x：交叉正负．” 形象的识记口诀2：“一全正、二正弦、三正切、四余弦．” 答案：1.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z. 答案：相等四、三角函数线1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是________、 ________的．在平面直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负．2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三角函数值的________，有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________．三角函数线的作法如下：设角α的终边与单位圆的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP ，OM 就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP ＝y ＝sin α，OM ＝x ＝cos α.过点A (1，0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T ，则有向线段AT 就是角α的正切线，即AT ＝tan α.3．填写下表中三角函数的定义域、值域：函数定义域值域 y ＝sin α y ＝cos α y ＝tan α答案：1.有长度 有正负 2.方向 正负 长度 大小 3.函 数定 义 域值 域 y ＝sin α R [－1，1] y ＝cos α R[－1，1]y ＝tan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈ZR任意角的三角函数的定义1．正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．2．三角函数值是比值，是一个实数．这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，而是由角α的终边位置所决定．对于确定的角α，其终边的位置也是唯一确定的．因此，三角函数是角的函数．(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关，与点P 在终边上的位置无关． (2)三角函数值是一个比值，没有单位．三角函数值的符号三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式记，也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三角函数线对于三角函数线，须明确以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致，三种有向线段的长度与三种三角函数值相同．三角函数的定义域1．由三角函数的定义式可以知道，无论角α终边落在哪里，sin α，cos α都有唯一的值与之对应，但对正切则要求α终边不能落在y轴上，否则正切将无意义．2．角和实数建立了一一对应关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数，所以就可以借助单位圆，利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数．基础巩固1．sin 810°＋tan 765°＋tan 1125°＋cos 360°＝________．答案：42．若α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－3 23．若角α的终边过点P (3cos θ，－4cos θ)(θ为第二象限角)，则sin α＝________．答案：454．cos θ·tan θ＜0，则角θ是________象限角． 答案：第三或第四5．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 答案：二6．角α的正弦线与余弦线长度相等，且符号相同，那么α(0＜α＜2π)的值为________．答案：π4或54π7．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 答案：sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1能力升级8．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z)9．已知角α的终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝－255，cos α<0，则k ＝________．解析：∵sin α＝－255，cos α<0，∴α的终边在第三象限．令角α的终边上一点的坐标为(a ，ka )，a <0，则r ＝－1＋k 2·a ，sin α＝－ka 1＋k 2a＝－255，∴k ＝2. 答案：210．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值X 围是________． 解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π11．解不等式2＋2cos x ≥0. 解析：2＋2cos x ≥0⇔cos x ≥－22，利用单位圆，借助三角函数线(如图)可得出解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋34π(k ∈Z)．12．若π4＜θ＜π2，则下列不等式中成立的是( )A ．sin θ＞cos θ＞tan θB ．cos θ＞tan θ＞sin θC ．sin θ＞tan θ＞cos θD ．tan θ＞sin θ＞cos θ解析：作出角θ的三角函数线(如图)，数形结合得AT ＞MP ＞OM ，即tan θ>sin θ>cosθ.答案：D13．函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域是( C )A ．{－1，0，1，3}B ．{－1，0，3}C ．{－1，3}D ．{－1，1}14．若0＜α＜π2，证明：(1)sin α＋cos α＞1； (2)sin α＜α＜tan α.证明：(1)在如图所示单位圆中， ∵0＜α＜π2，|OP |＝1，∴sin α＝MP ，cos α＝OM . 又在△OPM 中，有 |MP |＋|OM |＞|OP |＝1. ∴sin α＋cos α＞1.(2)如图所示，连接AP ，设△OAP 的面积为S △OAP ，扇形OAP 的面积为S 扇形OAP ，△OAT 的面积为S △OAT .∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， ∴12OA ·MP ＜12AP ︵·OA ＜12OA ·AT .∴MP <AP ︵<AT ，即sin α＜α＜tan α.15．已知f (n )＝cosn π5(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值．解析：角n5π(n ＝1，2，…，10)表示10个不同终边的角，这10条终边分成五组，每组互为反向延长线．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，f (11)＋f (12)＋…＋f (20)＝0，…f (2 001)＋f (2 002)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5.由定义知cos π5与cos 4π5，cos 2π5与cos 3π5互为相反数，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝0.。