圆的基本性质复习

圆的有关性质基础复习一、知识要点：1.垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推理（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。

推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。

2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

3.圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。

4.圆的内接四边形多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

例如图1，连EF后，可得：∠DEF＝∠B，∠DEF＋∠A＝180°∴∠A＋∠B＝180°∴BC∥DA二、典型例题：D．5例题4图A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°例5． AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，∠CDB＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）A ．3cm 2B ．3cmC ．D ．9cm 例 6.如图，BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．． （1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①___ ___，②___ _____ ，③_____ _，④____（不添加其它字母和辅助线）；（2）A ∠=30°，CD ，求O ⊙的半径r ．例7. 如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边；以AC 中点O 为圆心，AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连接AE 、AD 、DC ．（1）求证：D 是的中点； （2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD ；（3）若，且AC=4，求CF 的长．三、巩固提高：1．矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝3 5，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A. 点B 、C 均在圆P 外B. 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内C. 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外 D ．点B 、C 均在圆P 内2．如图，∠AOB ＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB的度数为( )A ．50° B ．80°或50°C ．130° D ．50° 或130°3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的度数等于( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°4．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB ＝10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是( )A ．16B ．10C ．8D ．65．在半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为( )A ．6B ．8C ．10D ．126．如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD ＝50°，则∠ACD ＝______度．7．如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB ＝CD ，已知CE ＝1，ED ＝3，则⊙O 的半径是_____________．8．如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，DC 的度数等于84°，CA 是∠OCD 的平分线，则∠ABD ＋∠CAO ＝________.9．如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE ＝5，BE ＝1，CD ＝4 2，则∠AED ＝___________.10．如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连接CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE ＝OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2＝CE ·AB .其中正确结论的序号是_______．11．如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上，且OA ＝3，AC ＝2， CD 平行于AB ，并与AB 相交于点M 、N .(1)求线段OD 的长；(2)若tan ∠C ＝12，求弦MN 的长．12．如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为2 3，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B 、C 两点除外)．(1)求∠BAC 的度数；(2)求△ABC 面积的最大值．13．●观察计算当a ＝5，b ＝3时， a ＋b 2与ab 的大小关系是__________________； 当a ＝4，b ＝4时， a ＋b 2与ab 的大小关系是__________________． ●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝a ，BD ＝b .(1)分别用a 、b 表示线段OC 、CD ；(2)探求OC 与CD 表达式之间存在的关系(用含a 、b 的式子表示)．●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出a ＋b 2与ab 的大小关系是：_________________. ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．14．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD.(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ；(2)求证：P 是线段AF 的中点；(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝152，求tan ∠ABF 的值． .15．如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC ＝45°，等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上．(1)证明：B 、C 、E 三点共线；(2)若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN ＝2OM ；(3)将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(00<α<900)后，记为△D 1CE 1(图2)，若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，M 1N 1＝2OM 1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．四、课外作业：。

初中数学圆知识点总结归纳一、圆的基本性质圆的定义：平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

其中定点称为圆心，定长称为半径。

圆的基本性质：(1)圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

(2)圆是轴对称图形，对称轴为经过圆心的任意一条直线。

(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

(4)圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

(5)弦心距定理：在同圆或等圆中，弦心距等于所对弧的半径的一半。

二、圆的几何表示圆的方程：在平面直角坐标系中，以圆心为坐标原点，以半径为r的圆的方程为x^2 + y^2 = r^2。

圆的标准方程：以圆心为坐标原点，以半径为r，且经过点P(x0, y0)的圆的方程为(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2。

圆的参数方程：以x为参数，描述圆的方程为x = x0 + rcos(θ)，y = y0 + rsin(θ)，其中θ为参数。

三、与圆相关的定理和性质切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线性质定理：圆的切线上的任一点到圆心的距离等于半径。

切线长定理：经过圆外一点引两条切线，它们的切线长相等。

相交弦定理：经过圆内一点引两条弦，它们的交点与该点的距离乘积等于常数。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等。

圆幂定理：对于同圆或等圆中的两个相等的非零实数，有：(ab)(cd) = (ac)(bd) - (ad)(b*c)。

弦中点定理：经过弦的两个端点的直径垂直于这条弦。

相交弦定理：两弦交于圆内一点，各弦被这点所平分。

余弦定理：对于任何三角形ABC，有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)。

正弦定理：对于任何三角形ABC，有a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。

初中数学圆知识点复习圆是初中数学中重要的几何形状之一，我们来复习一下与圆相关的知识点。

一、圆的定义和性质1.定义：圆是平面上离一个定点距离相等的点的集合。

2.重要性质：a.圆上任意两点到圆心的距离相等。

b.圆的直径是通过圆心的两个点，并且是圆上任意两点之间最长的线段。

c.圆心到圆上任意一点的距离叫做半径，圆的直径是半径的两倍。

d.圆上任意一条弧的度数是直径所对应的圆心角的度数的一半。

e.圆的内切圆是与圆相切且完全包含在圆内部的圆。

二、圆的周长和面积1.周长：圆的周长也叫圆的周长，用公式C=πd或C=2πr表示，其中d是直径，r是半径。

2.面积：圆的面积用公式A=πr²表示，其中r是半径。

三、弧与扇形1.弧：圆上两个点之间的弧是指两点之间的圆弧部分。

2.弧长：弧的长度叫做弧长，可以通过弧度计算公式L=rθ来计算，其中L是弧长，r是半径，θ是弧所对应的圆心角的度数。

3.弧度：用来度量弧长的单位，圆上一条弧长等于半径的弧度对应的弧长。

4.割圆弧：圆上被两条切线或两条半径相交的弧称为割圆弧。

四、相交弧、圆周角和弦1.相交弧：两个不同圆的相交部分叫做相交弧。

2.圆周角：以圆心为顶点的角叫做圆周角。

圆周角的度数等于其所对应的弧的度数。

3.弦：圆上任意两点之间的线段叫做弦，直径是一种特殊的弦。

五、切线和切点1.切线：与圆只有一个交点的直线叫做切线。

2.切点：切线与圆的交点叫做切点。

六、圆的位置关系1.内切：一个圆与另一个圆相切，且内部完全包含在另一个圆中。

2.外切：一个圆与另一个圆相切，且外部完全包含另一个圆。

3.相离：两个圆没有交点。

4.相交：两个圆有两个交点。

Ⅱ、教学内容：圆的基本性质一、认识圆1、圆的定义 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所 形成的图形叫圆，固定的端点 O 叫圆心，线段 OA 叫半径。

由圆的定义可知： 各点到定点（圆心 O）的距离等于定长的点都在圆上。

d = r 就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。

d < r 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

d > r (d 为任意一点到圆心 O 的 距离，r 为圆 O 半径) 连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆; 圆上任意一条弦（不是直径）的两个端点分圆成大小不同的两条弧， 大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。

一个优弧对应一个劣弧！ 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆 ； 能够重合的两个圆叫等圆 ； 两个面积相等的圆叫等圆 ； 周长相等的两个圆是等圆 ； 半径相等的两圆能重合，所以是等圆。

同圆指的是在同一个圆中。

显然，同圆或等圆的半径相等。

圆心和半径都确定了，那么这个圆就确定了。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

随堂练习：1.下列结论正确的是（ ） B.半圆是弧 C.一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优 A.长度相等的两条弧是等弧 弧 D.弧是半圆2.过已知点 A 且半径为 3 厘米的圆的圆心的轨迹是_________________________．3.过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（ A.1 定 4.下列说法正确的是（ A．弦是直径 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是弦且同一个圆中最长的弦 B.2） C.3 D.无法确）5.下列命题中是真命题的有（ ） ① 两个端点能够重合的弧是等弧； ② 圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分； ③ 过圆中一个定点可以有无数条弦，但直径只能有一条； ④ 半径相等的圆是等圆； ⑤ 直径是最大的弦； ⑥ 半圆所对的弦是直径； ⑦ 两条半径组成一条直径； ⑧ 圆上两点之间的部分叫做弦； ⑨ 过圆心的线段叫做圆的直径； ⑩ 直径的长度是半径的 2 倍. A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个6.下列说法中，不正确的是（ A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是弧 C．圆上的点到圆心的距离都相等）D．同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长7.矩形 ABCD 中，AB=8，BC=3 5 ，点 P 在边 AB 上，且 BP=3AP，如果圆 P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ A．点 B、C 均在圆 P 外 B．点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内 C．点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外 D．点 B、C 均在圆 P 内 ）8.如图，铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇，∠ QON=30° ，公路 PQ 上 A 处距离 O 点 240 米，如果火车行驶时，周围 200 米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路 MN 上沿 MN 方向以 72 千米/小时的速度行驶时，A 处受到噪音影响的时间为（ ）A.12 秒B.16 秒C.20 秒D.24 秒9.已知矩形 ABCD 的边 AB=6，AD=8．如果以点 A 为圆心作⊙ A，使 B，C，D 三点中在圆 内和在圆外都至少有一个点，那么⊙ 的半径 r 的取值范围是（ A ） A.6<r<10 B.8<r<10 C.6<r  8 D.8<r  1010.如图，在 Rt△ABC 中∠ ACB=90° ，AC=6，AB=10，CD 是斜边 AB 上的中线，以 AC 为 直径作⊙ O，设线段 CD 的中点为 P，则点 P 与⊙ 的位置关系是（ O ）A.点 P 在⊙ 内 OB.点 P 在⊙ 上 OC.点 P 在⊙ 外 OD.无法确定11.一个点到圆的最大距离为 11cm，最小距离为 5cm，则圆的半径为（ A.16cm 或 6cm B.3cm 或 8cm C.3cm） D.8cm能力提升：12.如图，点 A、D、G、M 在半圆 O 上，四边形 ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形，设 BC=a，EF=b， NH=c，则 a、b、c 的大小是 _____________________.二、过三点的圆由圆的定义可知：圆心到圆上任意一点的距离都相等（长度为该圆的半径） 。

圆的基本性质1、点与圆的位置关系：如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：d＜点P在圆；d r 点P在圆上；d＞点P在圆；2、（1）经过一个．．已知点能作个圆；（2）经过两个已知点A,B 能作个圆；过点A,B任意作一个圆,圆心应该在怎样的一条直线上？（3）不在同一条直线上的三个点一个圆经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆的；三角形的外心是的交点。

锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在。

2、圆是图形，它的对称轴是。

如图，直径CD垂直于弦AB，根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：∵CD是直径，CD⊥AB∴（文字描述）垂径定理：。

3、顶点在圆心的角叫做。

圆心角定理：在中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等。

在中，相等的圆心角所对两条弦的相等符号语言在⊙O中：∵∠AOB=∠COD∴(弦相等)(弧相等)(弦心距相等)4、圆心角定理的逆定理：在中，如果两个、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量。

5、顶点在，角的两边都和圆的角叫做圆周角圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的度数的一半。

已知一条弧所对的圆周角等于70°，则这条弧所对的圆心角是°。

一条50°的弧所对的圆心角是°，圆周角是°。

一条弧所对的圆心角的度数为95°，则这条弧是°，它所对的圆周角是°。

一条弧的度数是180°，则它所对的圆心角是°，圆周角是°。

推论：半圆（或）所对的圆周角是。

推论：90°的圆周角所对的弦是。

5、如果一个四边形的各个顶点在，那么这个四边形叫做，这个圆叫做。

性质：圆内接四边形的对角。

圆内接四边形的外角等于它的。

6、在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：公式变形：半径R= 圆心角的度数n=公式运用：（1）半径为3的圆弧的度数为100°，则这条弧长为；（2）半径为5的圆弧长为5π，则这条弧所对的圆心角的度数为；（3）已知圆弧的度数为60°，弧长为6π，则圆的半径为。

【文库独家】第3章 圆的基本性质章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

圆的基本性质基础知识复习【学习目标：】1.复习巩固圆的基本概念2.熟练掌握圆的基本性质3.掌握垂径定理的内容，并熟练应用垂径定理解决有关问题【基本知识点：】一、圆的定义1.一个圆形水池的直径为10米，则它的面积为平方米．2．到点O的距离等于8的点的集合是____________________．3．已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆心角是．4．过圆内的一点（非圆心）有条直径．5.已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）A．4B．8C．10D．12二、垂径定理：1．⊙O的弦AB长为4cm，弦AB所对的圆心角为120°，则弦AB的弦心距为cm．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为______题2 题4 题5 题63．已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，则弦MN和EF之间的距离为_________cm．4．如图，MN为⊙O的直径，MN＝10，AB为⊙O的弦，已知MN⊥AB于点P，AB＝8，现要作⊙O的另一条弦CD，使得CD＝6且CD∥AB，则PC的长度为．5．如图所示，AB为圆O的直径，弦CD交AB于E，已知OE＝2，BE＝1，∠AEC＝45°，则CD＝．6．如图，在⊙O中，OA、OB为半径，连接AB，已知AB＝6，∠AOB＝120°，那么圆心O到AB的距离为．7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为．题7 题8 题98．如图，将半径为1cm的圆形纸片折叠后，圆弧AB总在圆心O的下方，那么折痕AB的长度d的取值范围cm．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（2，0），直线y＝x+与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长为．10．如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE＝DF．求证：△OEF是等腰三角形．11．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．（1）求线段OD的长；（2）当EO＝BE时，求DE的长．四、圆周角、圆心角1．如图，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝．2．如图所示，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝45°，则∠BOC＝．3．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝度．4．如图，AB为⊙O的直径，△P AB的边P A，PB与⊙O的交点分别为C、D．若＝＝，则∠P的大小为度．题4 题5 题6 题75．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D．若∠A＝60°，∠ADC＝88°，则∠C的度数是．6．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是75°、45°，则∠1的度数为．7．如图，在⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝6，BC＝9，∠BAC+∠EAD＝180°，则⊙A的直径等于．五、圆内接四边形:1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．题1 题2 题3 题42．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，点B是弧AC的中点，如果∠ABC＝70°，那∠ADB＝．3．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．5．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE＝∠DAC．求证：DB＝DC．六、基础最值：1．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，过O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是．题1 题2 题3 题42．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O 于点D，则CD的最大值为．3．如图，在⊙O中，直径AB⊥GH于点M，N为直径上一点，且OM＝ON，过N作弦CD，EF．则弦AB，CD，EF，GH中最短的是．4．如图点A是半圆上一个三等分点（靠近点N这一侧），点B是弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，若⊙O半径为3，则AP+BP的最小值为．5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P 是直径AB上的一动点，若MN＝1，则△PMN周长的最小值为．题5 题6 实例1 题26．如图，P是矩形ABCD点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝．七、实际应用：1．如图，圆弧形拱桥的跨径AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为米．2．“圆材埋壁”是我国古代一数学著作（九章算术中的一个问题“今有圆材，理壁中不知大小，以据锯之，深一寸，锯道长一尺，向径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，其中1尺＝10寸，则直径CD长为寸．3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是．4．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），C（6，0），解答下列问题：（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，并写出D点坐标为；（2）连结AD，CD，求⊙D的半径（结果保留根号）．5．如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F）EF 为2米．求所在⊙O的半径DO．6．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米．（1）求这座拱桥所在圆的半径．（2）现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．。

九年级数学《圆的基本性质》知识点复习一、圆1、圆的定义在一个个平面内，线段oA绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点o叫做圆心，线段oA叫做半径。

2、圆的几何表示以点o为圆心的圆记作“⊙o”，读作“圆o”二、圆形的旋转1.图形的旋转定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。

生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等;另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。

图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。

会找对应点，对应线段和对应角。

三、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

四、圆心角把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角.因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧.圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.五、圆周角有关计算公式①L=n/180Xπr；②S=n/360Xπr&sup2;③扇形圆心角n=/。

④k=2Rsink=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。

六、圆内接四边形四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。

性质1、圆内接四边形的对角互补。

2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

3、圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

七、正多边形重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系.难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系.[:学,科,网]正多边形的中心：所有对称轴的交点;正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。

圆的基本性质一、知识点梳理★知识点一：圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

2、有关概念：弦、直径; 弧、等弧、优弧、劣弧、半圆; 弦心距 ; 等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

★知识点二：平面内点与圆的位置关系：r 表示圆的半径， d 表示同一平面内点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内。

例 1、如图，在Rt△ ABC中，直角边AB3，BC4，点E，F分别是BC ，AC的中点，以点 A 为圆心，AB的长为半径画圆，则点 E 在圆 A 的 _________ ，点F在圆 A 的 _________．例2、在直角坐标平面内，圆O的半径为，圆心O的坐标为 (1， 4) ．试判断5点 P(3， 1) 与圆 O 的位置关系．例 3、下列说法中，正确的是。

（1）直径是弦，但弦不一定是直径；（2）半圆是弧，但弧不一定是直径；（3）半径相等的两个半圆是等弧；（ 4）一条弦把圆分成两段弧中，至少有一段优弧。

例 4、有下列四个命题：（ 1）直径相等的两个圆是等圆；（ 2）长度相等的两条弧是等弧；（ 3）圆中最大的弦是通过圆心的弦；（4）一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题是。

★知识点三：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：平分弦（）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧。

平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

垂径定理最重要的应用是通过勾股定理来解决有关弦、半径、弦心距等问题例 1：下列语句中正确的是。

（ 1）相等的圆心角所对的弧相等；（ 2）相等的弧所对的弦相等；（3）平分弦的直径垂直于弦；（4）弦的垂直平分线必过圆心。

例 2、过⊙内一点 M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么 OM的长为（）（ A） 3cm（ B） 6cm（ C）cm（ D） 9cm例 3、如图所示 , 以为圆心的两个同心圆中 , 小圆的弦AB 的延长线交大圆于, 若AD BCO C =6,=1, 则与圆环的面积是OAB BC例 4、在半径为 5 厘米的圆内有两条互相平行的弦, 一条弦长为8 厘米 , 另一条弦长为 6 厘米 , 则两弦之间的距离为 _______.7 厘米或 1 厘米例 5、如图，矩形 ABCD与与圆心在 AB上的⊙ O交于点 G、 B、 F、 E， GB=8cm， AG=1cm，DE=2cm，则 EF=cm .例 6、如图所示，是一个直径为 650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽 AB=600mm，求油面的最大深度。