3.3圆与圆的位置关系

圆中的轨迹方程问题这是一个新的概念，我们以前都是要求出一个具体的值，给出方程一般都是解方程，而现在我们不要求值，而是要求出一个方程，这个方程我们称为轨迹方程。

之所以这样称，是因为我们可以通过方程和坐标系来看出来它究竟是一个怎么样的图形。

一般的轨迹方程都是有一个动点引起来的另一个动点的运动轨迹。

求轨迹方程的基本方法：（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。

（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：a.设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x0，y0），b.求出用x，y表示x0，y0的关系式，c.将（x0，y0）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。

（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。

（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。

（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。

例1、已知圆C的圆心坐标为（3，2），且过定点O（0，0）．（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（8，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．练习1、已知A（0，2）是定圆C：x2+y2=16内的一个定点，D是圆上的动点，P是线段AD的中点，求：（1）P点所在的曲线方程E；（2）过点A且斜率为﹣的直线与曲线E交于M、N两点，求线段MN的长度．练习2、已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（2，3），C（1，2），且定点P（1，1）．（1）求△ABC的外接圆的标准方程；（2）若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E，F两点，求弦EF中点的轨迹方程．练习3、已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．（1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．与圆有关的位置关系点与圆的位置：例2、写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(5,1)M M ---与圆的位置关系？练习： 点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？直线与圆的位置关系：例3 、若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为练习1、已知直线k x y +=2和圆 422=+y x 有两个交点，则k 的取值范围是练习2、一束光线l 自A (－3,3)发出，射到x 轴上，被x 轴反射后与圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0有公共点．(1)求反射光线通过圆心C 时，光线l 所在直线的方程；(2)求在x 轴上，反射点M 的横坐标的取值范围．练习3、已知圆C ：x 2+y 2+2x -3=0．（1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，求证：2111x x +为定值； *（3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求使△CDE 的面积最大时直线m 的方程。

图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题 第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．136、 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（ ） （A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。

圆与圆的位置关系知识要点：1．圆与圆的位置关系设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：2．分切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。

当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。

公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。

定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。

外公切线的长为；内公切线的长为。

3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。

1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，同心距为d）（1）两圆外离d＞R+r；（2）两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R－r＜d＜R+r；（4）两圆内切d=R－r；（5）两圆内含d＜R－r。

（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。

（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．已知两圆半径分别为R、r，同心距为d，填定下表：名称公共点数圆心距半径关系公切线条数内外外离d=R+r相交d=R－r内含一星级题：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．已知⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为2㎝和3㎝，则两圆圆心距O1O2= ㎝。

4．半径分别为3㎝和4㎝的两圆外切，那么这两圆的圆心距为㎝。

5．已知半径为R的两个等圆的圆心距为d，那么当两圆外切时，d与R满足的关系式是。

6．已知两圆半径分别为5㎝和2㎝，它们的圆心距为7㎝，则两圆位置关系为。

7．已知：两圆⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=5㎝，两圆的半径分别为㎝和㎝，则这两圆的位置关系是。

4.2.2圆与圆的位置关系知识点两圆位置关系的判定思考1圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？答案圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含．几何方法判断圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2相离；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．思考2已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？答案联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．梳理(1)用几何法判定圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，则圆心距d＝|C1C2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系相离内含相交内切外切圆心距与半d＞r1＋r2d＜|r1－r2||r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2径的关系图示(2)用代数法判定圆与圆的位置关系已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，将方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程， 则①判别式Δ＞0时，C 1与C 2相交； ②判别式Δ＝0时，C 1与C 2外切或内切； ③判别式Δ＜0时，C 1与C 2相离或内含．类型一 两圆的位置关系命题角度1 两圆位置关系的判断例1 已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点分别为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段的长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝22， 又a ＞0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为M (0,2)，半径为r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为N (1,1)，半径为r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1＜|MN |＜3， ∴两圆相交．反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)． (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r 1，r 2. (3)求两圆的圆心距d .(4)比较d 与|r 1－r 2|，r 1＋r 2的大小关系． (5)根据大小关系确定位置关系．跟踪训练1 已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0和圆C 2：4x 2＋4y 2－16x ＋8y ＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为( ) A ．1或3 B ．4 C ．0 D ．2 答案 D解析 由圆C 1：(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝14，得C 1(1，－2)，C 2(2，－1)， ∴|C 1C 2|＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝ 2. 又r 1＝1，r 2＝12，则r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2， ∴圆C 1与圆C 2相交． 故这两个圆的公切线共2条．命题角度2 已知两圆的位置关系求参数例2 当a 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0：(1)外切；(2)相交；(3)相离． 解 将两圆方程写成标准方程，则C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C 1(a ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，a )，r 2＝2. 设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5. (1)当d ＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切， 此时a ＝－5或a ＝2.(2)当1＜d ＜5，即1＜2a 2＋6a ＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a ＜－2或－1＜a ＜2. (3)当d ＞5，即2a 2＋6a ＋5＞25时，两圆相离， 此时a ＞2或a ＜－5.反思与感悟 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径． ②计算两圆圆心的距离d .③通过d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．跟踪训练2 若圆C 1：x 2＋y 2＝16与圆C 2：(x －a )2＋y 2＝1相切，则a 的值为( )A ．±3B ．±5C ．3或5D ．±3或±5答案 D解析 圆C 1与圆C 2的圆心距为d ＝a 2＋(0－0)2＝|a |. 当两圆外切时，有|a |＝4＋1＝5，∴a ＝±5； 当两圆内切时，有|a |＝4－1＝3，∴a ＝±3. 类型二 两圆的公共弦问题例3 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则 C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，∴圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r 1＝52， 圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝10. 又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10， |r 1－r 2|＝|52－10|， ∴|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2， ∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)方法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35，∴公共弦长为l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.方法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5. 即公共弦长为2 5.反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练3 (1)两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________． 答案 3解析 由题意知直线AB 与直线x －y ＋c ＝0垂直， ∴k AB ×1＝－1， 即3－(－1)1－m＝－1，得m ＝5， ∴AB 的中点坐标为(3,1)．又AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上， ∴3－1＋c ＝0，∴c ＝－2， ∴m ＋c ＝5－2＝3.(2)求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254截得的弦长．解 由题意将两圆的方程相减，可得圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 的方程为 x ＋y －1＝0.又圆C 3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l 的距离为d ＝|1＋1－1|12＋12＝22，由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234，所以弦长为2×232＝23. 类型三 圆系方程及应用例4 求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为 x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3. 所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3,3)， 线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4. 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．跟踪训练4 求过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程．解 设过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＋λ(x 2＋y 2－6x )＝0， 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－(4＋6λ)x ＋2y ＋1＝0.把(2，－2)代入，得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，解得λ＝－34.∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝0.1．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案 B解析 圆x 2＋y 2－1＝0的圆心为C 1(0,0)，半径为r 1＝1，圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的圆心为C 2(2，－1)，半径为r 2＝3，两圆的圆心距为d ＝|C 1C 2|＝(2－0)2＋(－1－0)2＝5，又r 2－r 1＝2，r 1＋r 2＝4，所以r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．2．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的内公切线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 B解析 因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆相离，所以内公切线的条数为2. 3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案 C解析 AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A 、B 、D. 4．已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是________． 答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36 解析 设圆C 的半径为r ，圆心距为d ＝(4－0)2＋(－3－0)2＝5， 当圆C 与圆O 外切时，r ＋1＝5，r ＝4， 当圆C 与圆O 内切时，r －1＝5，r ＝6， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16 或(x －4)2＋(y ＋3)3＝36.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 1解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y ＝1a ，圆心(0,0)到直线的距离为d ＝1a ＝22－(3)2＝1，所以a ＝1.1．判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用． (2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系．2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．课时作业一、选择题1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是()A．外切B．内切C．相交D．相离答案 B解析圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0变形为(x－7)2＋(y－1)2＝36，圆心坐标为(7,1)，半径为r1＝6，圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为r2＝1，所以圆心距d＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5＝6－1＝r1－r2，所以两圆内切．2．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为()A．x＋2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－2y－1＝0答案 B解析两个圆的方程相减，得x＋2y－1＝0.故选B.3．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为() A．2 B．－5C．2或－5 D．不确定答案 C解析两圆的圆心坐标分别为(－2，m)，(m，－1)，两圆的半径分别为3,2，由题意得(m＋2)2＋(－1－m)2＝3＋2，解得m＝2或－5.4．设r＞0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是()A．相切B．相交C．内切或内含D．外切或相离答案 D解析两圆的圆心距为d＝(1－0)2＋(－3－0)2＝10，两圆的半径之和为r＋4，因为10＜r＋4，所以两圆不可能外切或相离，故选D.5．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是()A．r＜5＋1 B．r＞5＋1C．|r－5|≤1 D．|r－5|＜1答案 C解析由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为(－1)2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤5≤r＋1，∴5－1≤r≤5＋1，即－1≤r－5≤1，∴|r－5|≤1.6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36答案 D解析由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得a2＋9＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.7．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于() A．4 B．4 2 C．8 D．8 2答案 C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝(a－b)2＋(a－b)2＝32×2＝8.二、填空题8．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1相离，则a，b满足的条件是_____．答案a2＋b2＞3＋2 2解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0)，2和(0，b )，1.因为两圆相离，所以a 2＋b 2＞2＋1， 即a 2＋b 2＞3＋2 2.9．圆C 1：x 2＋y 2－2x －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的公共弦长为________． 答案 27解析 由圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线l 的方程为x －y ＋1＝0，得点C 1(1,0)到直线l 的距离为d ＝|1－0＋1|12＋12＝2，圆C 1的半径为r 1＝3，所以圆C 1与圆C 2的公共弦长为2r 21－d 2＝232－(2)2＝27.10．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0 ，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是__________． 答案 3或7解析 ∵A ∩B 中有且仅有一个元素， ∴圆x 2＋y 2＝4与圆(x －3)2＋(y －4)2＝r 2相切． 当两圆内切时，由32＋42＝|2－r |，解得r ＝7； 当两圆外切时，由32＋42＝2＋r ，解得r ＝3. ∴r ＝3或7.11．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________． 答案 x 2＋y 2－34x －34y －114＝0解析 由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.三、解答题12．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)． (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解 (1)设圆O 2半径为r 2， 因为两圆外切，所以|O 1O 2|＝r 2＋2. 又|O 1O 2|＝22＋[1－(－1)2]＝22， 所以r 2＝|O 1O 2|－2＝2(2－1)，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0，作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则|AH |＝12|AB |＝2， 所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为|r 22－12|42＝2， 得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.四、探究与拓展13．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，则以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程为________．答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1解析 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0.∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2， 即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.14．求与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程． 解 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ (a －1)2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×(－33)＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝0，r ＝2. 故所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4.。

圆与圆位置关系一．知识梳理：1、圆与圆的位置关系及判定(1)几何法：若两圆的半径分别为1r 、2r ，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判定方法如下： 位置关系外离 外切相交内切 内含 图示d 与1r 、2r 的关系 12d r r >+ 12d r r =+1212r r d r r -<<+12d r r =- 12d r r <-(2)代数法：设两圆的方程分别为：221111:0C x y D x E y F ++++=22111(40)D E F +->，222222:0C x y D x E y F ++++=22222(40)D E F +->．联立方程得22111222220x y D x E y F x y D x E y F ++++=++++=⎧⎨⎩． 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含2、两圆的公共弦(1)设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则两圆相交公共弦所在直线方程为：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0． 求两圆相交公弦的长：设圆C 1的圆心C 1到公弦AB 所在直线的距离为d ，圆C 1的半径为r 1，则2212r A d B =-． 3、圆系问题(1)过两圆交点的圆系方程：若两圆为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0．则过这两圆的交点的圆的方程可表示为C 3：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ∈R ，不含圆C 2)． (2)过直线与圆交点的圆系方程：若直线L ：Ax ＋By ＋C ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交，则经过它们交点的圆系方程可表示为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )． 4、设而不求法设直线l ：Ax +By +C ＝0(A 2+B 2≠0)，圆：(x －a )2+(y －b )2＝r 2(r >0)，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程：01121=++c x b x a .11211121,a c x x a b x x =-=+ O 1O 2r 2r 1O 1O 2r 2r 1 O 1O 2r 2r 1O 1 O 2r 2 r 1 O 1 O 2二、典例剖析【上期知识运用】1、过圆（x﹣1）2+y2＝5上一点P（2，2）的切线与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（）A．2B．C．﹣D．﹣2【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝5的圆心为A（1，0），依题意知直线AP与直线ax﹣y+1＝0平行，所以a＝k AP＝＝2．故选：A．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．C．6D．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心C（2，1）在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，∴2+a﹣1=0，解得a=﹣1，∴A（﹣4，﹣1），∵过点A（﹣4，﹣1）作圆C的一条切线，切点为B，∴|AC|==，r==2，∴|AB|==6．故选：C．2、在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=8．【解答】解：根据题意，设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为（1，0），对于直线mx﹣y﹣3m﹣2=0，变形可得y+2=m（x﹣3），过定点P（3，﹣2），分析可得：以C为圆心且与直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，此时r=CP==2，则此时圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=8，故答案为：（x﹣1）2+y2=8．3、已知P（x，y）是直线kx﹣y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2+2y=0的两条切线，A，B为切点．C为圆心．若四边形PACB面积的最小值是4，则k的值是（）A．B．2C．D．【解答】解：如图所示，圆的方程为：x2+（y+1）2=1，∴圆心C（0，﹣1），半径r=1；根据题意，若四边形面积最小，当圆心C与点P的距离最小时，即距离为圆心C到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小；此时切线长为4，∴PA=PB=4，∴圆心C到直线l的距离为d=；又直线方程为kx﹣y+4=0，∴d==，解得k=±，又k＞0，∴所求直线l的斜率为：k=．故选：D．4、已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣44=0，点P的坐标为（t，4），其中t＞2，若过点P有且只有一条直线l被圆C截得的弦长为，则直线l的一般式方程是4x+3y﹣36=0．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣44=0，转换为标准式为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=49，当点P为弦的中点时，过点P有且只有一条直线l被圆C截得的弦长为，则：圆心到直线的距离d=，则设直线的方程为y﹣4=k（x﹣t），利用，利用中点坐标公式和点到直线的距离公式，解得：t=6，k=4，所以直线的方程为：4x+3y﹣36=0．故答案为：4x+3y﹣36=01、过圆x2+y2=16内一点P（﹣2，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB=CD，则四边形ACBD的面积为19．【解答】解：根据题意画出相应的图形，连接OP，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴E为AB的中点，F为CD的中点，又AB⊥CD，AB=CD，∴四边形EPOF为正方形，由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=4，又P（﹣2，3），∴|OP|=，∴OE==，又OA=r=4，∴根据勾股定理得：AE==，∴AB=CD=2AE=，则S四边形ACBD=AB•CD=19．故答案为：19．题型一 圆与圆的位置关系 例11、已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆内切？(2)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解 两圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0，∴公共弦长为2 (11)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.课堂小结： (1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长． 2、（选讲提升）【2015安徽宿州高二期中，改编】过圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的交点的圆中，面积最小的圆的方程为_____________________________． 过两交点圆中，以公共弦为直径时，圆面积最小.【解析】法一：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0.解得两交点坐标A (－1,2)，B (5，－6)．∵所求圆以AB 为直径，∴所求圆的圆心是AB 的中点M (2，－2)，圆的半径为r ＝12|AB |＝5，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：易求得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(4x ＋3y －2)＝0，则圆心为(6－2λ,1－32λ).∵圆心在公共弦所在直线上，∴4×(6－2λ)＋3(1－32λ)－2＝0，解得λ＝2.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.3、已知圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=4，若点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上，则的最小值为 8 ．【解答】解：由题意，两圆的方程相减，可得x +y=2，∵点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上， ∴a +b=2，∴=（）（a +b ）=（10++）=8，当且仅当=，即b=3a 时，取等号，的最小值为8，故答案为8．4、已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4题型二 直线与圆综合【例2】►已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m 的方程求解；(2)OP ⊥OQ 得到O 点在以PQ 为直径的圆上，再利用勾股定理求解．解 法一 将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m 5.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2.∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m5＝0，解得m ＝3， 此时Δ＞0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－12，3，半径r ＝52.法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ，设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2，∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上．∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2， 即r 2＝5，|MQ |2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋(－6)2－4m 4＝⎝⎛⎭⎫－12＋12＋(3－2)2＋5.变式训练：已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.直线AB 斜率为-1与圆C 交于A 、B ，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．【规范解答】 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C (1，－2)．假设在圆C 上存在两点A 、B 满足条件，则圆心C (1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1. 3分于是可知，k AB ＝1.设l AB ∶y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程，整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0，即b 2＋6b －9＜0. 解得－3－32＜b ＜－3＋3 2.7分设点A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2.由题意知OA ⊥OB ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0， 也就是x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝0.∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0. 10分∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0.解得b＝－4或b＝1，均满足Δ＞0，即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0. 12分家庭作业：1.两个圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝25，C2：(x－4)2＋(y－7)2＝9，这两个圆的公切线有( )A、1条B、4条C、3条D、2条2.若M、N为圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上任意两点，P为x轴上一个动点，则∠MPN的最大值是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：连接CM，CN，要使∠MPN最大，则只需要∠CPN最大，即当PN是圆的切线时，∠CPN取得最大值，圆的半径CN＝1，则sin∠CPN＝＝，要使sin∠CPN取得最大值，则CP取得最小值，即CP⊥x轴时，CP最小，此时最小值CP＝2，则sin∠CPN＝＝，即∠CPN＝30°，当M也是切点时，∠MPN＝2∠CPN＝2×30°＝60°，故选：B．3.设m，n为正实数，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则mn的最小值为（）A．3﹣2B．2+3C．+1D．﹣1【解答】解：由直线与圆相切可知|m+n|＝，整理得（m﹣1）（n﹣1）＝2，∴m+n＝mn﹣1≥2，∴≥+1，∴mn≥3+2当且仅当m＝n时等号成立，∴mn的最小值是3+2．故选：B．4.直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，2]B．[2，4]C．[1，2]D．[1，3]【解答】解：由直线x+y+＝0可得A（﹣，0），B（﹣，0），∴|AB|＝2，又圆心（，0）到直线的距离d＝＝2，∴点P到直线x+y+＝0的距离得最小值为2﹣1＝1，最大值为2+1＝3，则△ABP的面积的最小值为×2×1＝1，最大值为×2×3＝3，故选：D．5.已知直线l1：3x+y﹣6＝0与圆心为M（0，1），半径为的圆相交于A，B两点，另一直线l2：2kx+2y﹣3k﹣3＝0与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：以M（0，1）为圆心，半径为的圆的方程为x2+（y﹣1）2＝5，联立，解得A（2，0），B（1，3），∴AB中点为（，）．而直线l2：2kx+2y﹣3k﹣3＝0恒过定点（，），∴|AB|＝．∴四边形ACBD的面积最大值为：．故选：A．6.平面直角坐标系内，过点的直线l与曲线相交于A、B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：曲线表示以O圆心半径为1的上半圆，则△AOB的面积S＝|OA||OB|sin∠AOB＝sin∠AOB，要使三角形的面积最大，此时sin∠AOB＝1，即∠AOB＝90°，则|AB|＝取AB的中点C，则|OC|＝AB|＝，∵|OD |＝，∴sin ∠ODC ＝＝，则∠ODC ＝30°，∠xDA ＝150°，即直线的倾斜角为150°，则直线的斜率k ＝tan150°＝，故选：A ．7. 已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣3=0． （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，求证：+为定值．【解答】（1）解：圆C ：x 2+y 2+2x ﹣3=0，配方得（x +1）2+y 2=4，则圆心C 的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2； （2）证明：设直线l 的方程为y=kx ，联立方程组，消去y 得（1+k 2）x 2+2x ﹣3=0，则有：，，所以为定值．8、（提高）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA →·PB →的取值范围． 【解】 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，则r ＝|－4|12＋－32＝2.∴圆的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)，设P (x 0，y 0)， 则|PA |＝x 0＋22＋y 20，|PO |＝x 20＋y 20，|PB |＝x 0－22＋y 20.又|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，∴|PO |2＝|PA |·|PB |， 即x 20＋y 20＝[x 0＋22＋y 20][x 0－22＋y 20]，整理得y 20＝x 20－2.∴PA →·PB →＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝(x 20－4)＋y 20＝2x 20－6. 又点P 在圆内，∴x 20＋y 20＜4.∴2≤x 20＜3，∴－2≤PA →·PB →＜0.。