1.4三角函数的图象与性质(3课时)[1]

教学设计学校：沙雅县第二中学年级：高中电话：内容：高中数学必修四第一章1.4三角函数的图像性质第一课时三角函数的图像与性质（一）本节课教材是人教版必修四第四课（1.4）<<三角函数图像与性质>>，可将其划分为三小节来设计，即：<<正弦函数、余弦函数图像>>、<<正弦函数、余弦函数性质>>、<<正切函数的性质与图象>>。

一、教学内容分析本节课是学生学习了函数的定义、图象和性质，掌握了研究函数的一般思路，并对三角函数的基本知识比较熟悉的情况下，进一步利用函数图象来研究三角函数的有关性质，为学生以后利用数形结合的方式来解决有关三角函数方面的知识做铺垫,同时，可以对高中阶段系统研究指数函数、对数函数、导函数等做铺垫，进一步巩固和深化三角函数的概念和性质等知识，融会贯通前面所学的函数的基本性质，使学生得到较系统的掌握函数知识和研究函数的方法，掌握运用三角函数图像来解决有关问题。

二、教学目标分析1、知识与技能：（ 1）．能画出y=sin x, y=c os x的图像，了解三角函数的周期性；（2）．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点及奇偶性等）；2、过程与方法：培养学生应用所学知识解决问题的能力，独立思考能力，规范解题的标准。

3、情感态度与价值观：培养学生全面的分析问题和认真的学习态度，渗透辩证唯物主义思想。

三、学情分析教学背景本课是高一年级必修四的一堂数学基础课程，本节课主要学习通过图像来研究三角函数的有关性质。

在通过简谐运动的现象，得到正弦或余弦函数图像。

在运用五点法作出它们的图像，让学生分小组讨论，总结和概括它们的性质，后期会用同样方法来研究正切图像和它的相关性质。

学生背景：高一学生已具备一定的教学知识和学习能力，所教的班是重点班,对于知识的归纳总结也有一定的能力，对于新问题，有主动思考问题、探索问题的信习和勇气，因此，本课遵循“以教师为主导，学生为主体”，“数学教学是数学活动的教学”等教学思想，把提问题作为教学出发点，指导尝试，总结反思。

1.4 三角函数的图像与性质1.周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()+=f x T f x 都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

（并非所有函数都有最小正周期） ①xy sin =与x y cos =的周期是π.②)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ωπ2=T③ωπϕω=+=T x A y 的周期为)tan(2tanx y =的周期为2π（πωπ2=⇒=T T ，如图）2.三种常用三角函数的主要性质课堂训练 一、选择题：1．满足tan α≥cot α的角的一个取值区间是（ ）A.(0, π4 )B. [0,π4 ]C. [π4 ,π2 ]D. [π4 ,π2 ]2．函数的定义域是（ ）A.{x|x≠π4 , x∈R}B. {x|x≠3π4 ,x∈R}C. {x|x≠k π +π4 ,x∈R}D. {x|x≠k π +3π4 ,x∈R}3．下列函数中周期为的奇函数是（ ）A.y=cos(2x+3π2 )B.y=tan x 2C.y=sin(2x+π2 )D.y= - |cotx π2 |4．若sin α>tan α>cot α(-π2 <x<π2 )，则α的取值范围是（ ）A.(- π2 ,π4 )B. (-π4 ,0)C.(0, π4 )D.( π4 ,π2 )二、填空题5．比较大小：tan222°_________tan223°.6．函数y=tan(2x+π4)的单调递增区间是__________．7．函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0，2π]上交点的个数是________．8．函数 y=f(x) 的图象右移π4 ，横坐标缩小到原来的一半，得到y=tan2x 的图象，则y=f(x)解析式是_______________．9．函数y=lg tanx+1tanx-1 的奇偶性是__________．10．函数的y=|tan(2x-π3 )|周期是___________．三、解答题11．作函数y =cot x sin x 的图象.12．作出函数y =|tan x |的图象，并根据图象求其单调区间13． 求函数y =)6πtan(1tan +-x x 的定义域.14． 求下列函数的值域：（1）y =2cos 2x +2cos x －1； （2）y =1cos 21cos 2-+x x .15．求函数y =3tan （6π－4x）的周期和单调区间. 同步提升 一、选择题1．若cos x =0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ）B ．2π+k π（k ∈Z ） C ．2π+2k π（k ∈Z ）D ．－2π+2k π（k ∈Z ） 2．使cos x =mm-+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0B ．m ≤0C ．－1＜m ＜1D ．m ＜－1或m ＞13．函数y =3cos （52x －6π）的最小正周期是( ) A ．5π2B ．2π5 C ．2π D ．5π4．函数y =xxcos 2cos 2-+（x ∈R ）的最大值是( )A ．35B ．25C ．3D ．55．函数y =2sin 2x +2cos x －3的最大值是( )A ．－1B ．21C ．－21 D ．－56．函数y =tan ax的最小正周期是( ) A ．a πB ．|a |πC ．aπD ．||a π 7．函数y =tan （4π－x ）的定义域是( ) A ．{x |x ≠4π，x ∈R}B ．{x |x ≠－4π，x ∈R} C ．{x |x ≠k π+4π，k ∈Z ，x ∈R}D ．{x |x ≠k π+4π3，k ∈Z ，x ∈R} 8．函数y =tan x （－4π≤x ≤4π且x ≠0）的值域是( ) A ．［－1，1］B ．［－1，0）∪（0，1］C ．（－∞，1］D ．［－1，+∞）9．下列函数中，同时满足①在（0，2π）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y =tan xB ．y =cos xC ．y =tan 2x D ．y =|sin x |10．函数y =2tan （3x －4π）的一个对称中心是( ) A ．（3π，0）B ．（6π，0） C ．（－4π，0） D ．（－2π，0） 二、解答题11．比较下列各数大小：（1）tan2与tan9； （2）tan1与cot4．12．已知α、β∈（2π，π），且tan α＜cot β，求证：α+β＜2π3．13．求函数y =tan 2x +tan x +1（x ∈R 且x ≠2π+k π，k ∈Z ）的值域．14．求函数y =－2tan （3x +3π）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．15求函数y =1cos 3cos 22-+-x x +lg （36－x 2）的定义域．1.4 三角函数的图像与性质参考答案课堂训练一、选择题： 1.C 2.D 3.C 4.B 二 、填空题：5．< 6.( 12 k π+3π8 , 12 k π+π8 ) (k∈Z) 7. 58. y=tan(x+π4 ) 9. 奇函数 10. π4三、解答题11．分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象.解：当sin x ≠0，即x ≠k π（k ∈Z ）时，有y =cot x sin x =cos x ，即y =cos x （x ≠k π，k ∈Z ）.其图象如下图.12．解：由于y =|tan x |=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∈-+∈)π2ππ(πtan )2πππ[tan k k x k k x x ，，，，，（k ∈Z），所以其图象如图所示，单调增区间为［k π，k π+2π］（k ∈Z ）；单调减区间为（k π－2π，k π）（k ∈Z ）.13．解：根据自变量x 满足的条件列出不等式组，解之即可. 由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≠-≠+<≤+⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≠≠++<≤+⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≠+≠+≥，，，3ππ6ππ2ππ4ππ3ππ6π2ππ4ππ2ππ6π0)6πtan(1tan k x k x k x k kx x k x k x k k x x x 所以定义域为［k π+4π，k π+3π）∪（k π+3π，k π+2π）（k ∈Z ）. 14．解：（1）y =2（cos x +21）2－23.将其看作关于cos x 的二次函数，注意到－1≤cos x ≤1， ∴当cos x =－21时，y min =－23； 当cos x =1时，y max =3. ∴y ∈［－23，3］. 本题结合了二次函数求最值这一知识，但应注意cos x 的取值范围. （2）由原式得cos x =)1(21-+y y .∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤)1(21-+y y ≤1.∴y ≥3或y ≤31.∴值域为{y |y ≥3或y ≤31}. 15．解：y =3tan （6π－4x ）=－3tan （4x －6π）， ∴T =41ππ=ω=4π. 由k π－2π＜4x －6π＜k π+2π（k ∈Z ）得 4k π－3π4＜x ＜4k π+3π8（k ∈Z ）. ∵3tan（4x －6π）在（4k π－3π4，4k π+3π8）（k ∈Z ）内单调递增， ∴y =－3tan （4x －6π）在（4k π－3π4，4k π+3π8）（k ∈Z ）内单调递减. 故原函数的周期为4π，递减区间为（4k π－3π4，4k π+3π8）（k ∈Z ）. 同步提升答案一、选择题1．B 2． B 3．D 4． C 5． C 6．B 7． D 8．B 9．A 10． C 二、解答题11．分析：同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调性解决；而对于不同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解．解：（1）tan9=tan （－2π+9）， 因为2π<2<－2π+9<π， 而y =tan x 在（2π，π）内是增函数， 所以tan2<tan （－2π+9），即tan2<tan9． （2）cot4=tan （2π－4）=tan （2π3－4），0<2π3－4<1<2π， 而y =tan x 在（0，2π）内是增函数， 所以tan （2π3－4）<tan1， 即cot4<tan1．点评：比较两个三角函数值的大小，应先将函数名称统一，再利用诱导公式将角转化到同一个单调区间内，通过函数的单调性处理．12．证明：∵tan α<cot β， ∴tan α<tan （2π3－β）． 又∵2π<α<π，2π<2π3－β<π， ∴α与2π3－β落在同一单调区间． ∴α<2π3－β，即α+β<2π3． 13．解：设t =tan x ，由正切函数的值域可得t ∈R ， 则y =t 2+t +1=（t +21）2+43≥43．∴原函数的值域是［43，+∞）． 点评：由于正切函数的值域为R ，所以才能在R 上求二次函数的值域． 14．解：由3x +3π≠k π+2π，得x ≠18π3π+k （k ∈Z ）， ∴所求的函数定义域为{x |x ≠18π3π+k （k ∈Z ）}，值域为R ，周期为3π， 它既不是奇函数，也不是偶函数．k π－2π≤3x +3π≤k π+2π（k ∈Z ）， ∴18π53π-k ≤x ≤18π3π+k （k ∈Z ）． 在区间［18π53π-k ，18π3π+k ］（k ∈Z ）上是单调减函数． 15．解：欲求函数定义域，则由⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-+-，，03601cos 3cos 222x x x即⎩⎨⎧<<-≤--，，660)1)(cos 1cos 2(x x x也即⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤，，661cos 21x x解得⎪⎩⎪⎨⎧<<-∈+≤≤+-.66)(π23ππ23πx k k x k ，Z 取k =－1、0、1，可分别得到x ∈（－6，－3π5）或x ∈［－3π，3π］或x ∈［3π5，6）， 即所求的定义域为（－6，－3π5）∪［－3π，3π］∪［3π5，6）。

2第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1. 正弦曲线、余弦曲线2. “五点法”画图画正弦函数 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 ； 画余弦函数 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是．3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式 cos x ＝sin (x ＋π)，要得到 y ＝cos x 的图象，只需把 y ＝sin x 的图象向π平移 个单位长度即可．2知识点归纳：1. 正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2. 五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题 1. 函数 y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴πC ．直线 y ＝xD ．直线 x ＝2π2. 函数 y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移2个单位后，得到函数 y ＝g (x )的图象，则 g (x )的解析式为( ) A ．－sin x B ．sin x C ．－cos x D ．cos x2 4 4 2 4 4π 3π3. 函数 y ＝－sin x ，x ∈[－2， 2]的简图是()4. 在(0,2π)内使 sin x >|cos x |的 x 的取值范围是()A.(π，3π)B.(π π] (5π 3π]， ∪ ， C.(π，π)D.(5π，7π)5. 若函数 y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线 y ＝2 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图 形的面积是( ) A ．4 B ．8 C ．2π D ．4π 6．方程 sin x ＝lg x 的解的个数是( )π7. 函数 y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式是 ．8. 函数 y ＝ 2cos x ＋1的定义域是 ． 9. 方程 x 2－cos x ＝0 的实数解的个数是 ． 10. 设 0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则 x 的取值范围为 ． 三、解答题1.利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．4 4 4 212.分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13.求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．( )解析 y ＝sin x −−−−−−→ y ＝sin x － 2 2 23 3知识梳理§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案2．(0,0)，( ，1)，(π，0)，( π，－1)，(2π，0) (0,1)，( ，0)，(π，－1)，( π，0)，(2π，1)π 3 π 3 22223．左 作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出 y ＝sin x ，x ∈(0，π)与 y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得 x ∈(π，3π).]4 45．D [作出函数 y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数 y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线 y ＝2 围成的 平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形 OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移 2π 个单位， 得到 y ＝sin x 的图象．描出点 1，－1 ，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到 y ＝lg x 的图象，如图所示．10由图象可知方程 sin x ＝lg x 的解有 3 个．] 7．y ＝－cos x向右平移 2个单位 ( π)∵sin (x －π)＝－sin (π－x )＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.[2k π－2π，2k π＋2π]，k ∈Z解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－1，结合图象知 x ∈[2k π－2π，2k π＋2π]，k ∈Z . 2 3 39．2解析 作函数 y ＝cos x 与 y ＝x 2 的图象，如图所示，4 4由图象，可知原方程有两个实数解．10.[π，5π]解析由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示：π 5观察图象知x∈[ ，π]．4 411.解利用“五点法”作图(1)列表：X 0π2π3π22πsin x 0 1 0 －1 01－sin x 1 0 1 2 1(2)列表：X 0π2π3π22πcos x 1 0 －1 0 1－1－cos x －2 －1 0 －1 －212.解(1)y＝|sin x|＝Error! (k∈Z)．其图象如图所示，(2)y＝sin|x|＝Error!，其图象如图所示，13.解由题意，x 满足不等式组Error!，即Error!，作出y＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．14.解f(x)＝sin x＋2|sin x|＝Error!图象如图，若使f(x)的图象与直线y＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。

第一章第四节三角函数的图象与性质第三课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sin x，y＝cos x是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)图2活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势．对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(－∞，＋∞)〕．对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明．∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，∴|sin x |≤1，|cos x |≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y ＝sin x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 对于余弦函数y ＝cos x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－π2，3π2](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．图3图4就是说，函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]． 当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 类似地，同样可得y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图5结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，∴y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x ＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称等等，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔．讨论结果：①略．②定义域为R .③值域为[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1.④单调性(略)．⑤奇偶性(略)．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R ，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴．但是由于y 轴的位置不同，对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y 轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．应用示例思路1例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ；(2)y ＝－3sin2x ，x ∈R .活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质．容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个．解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }；使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0.(2)令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin z ，z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z |z ＝－π2＋2k π，k ∈Z }， 由2x ＝z ＝－π2＋2k π，得x ＝－π4＋k π. 因此使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }． 同理，使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x |x ＝π4＋k π，k ∈Z }． 函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x 的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，一般通过变量代换(如设z ＝ωx ＋φ化归为y ＝A sin z ＋B 的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用．例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)． 活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－π2，0]上是增函数， 所以sin(－π18)>sin(－π10)． (2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4. 因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数， 所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)． 点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小立判． 例3求函数y ＝sin(12x ＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间． 活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把12x ＋π3看成z ，这样问题就转化为求y ＝sin z 的单调区间问题，而这就简单多了． 解：令z ＝12x ＋π3.函数y ＝sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]． 由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z .由x ∈[－2π，2π]可知，－2π≤－5π3＋4k π且π3＋4k π≤2π，于是－112≤k ≤512，由于k ∈Z ，所以k ＝0，即－5π3≤x ≤π3.而[－5π3，π3]⊂[－2π，2π]， 因此，函数y ＝sin(x 2＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－5π3，π3]． 点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x 的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化．思路2例1求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋sin x；(2)y ＝cos x . 活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当的指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等．解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1，即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为{x |x ≠3π2＋2k π，k ∈Z }． (2)由cos x ≥0，得－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )． 点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果．本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．例2在下列区间中，函数y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间是( ) A ．[π2，π] B ．[0，π4] C ．[－π，0] D ．[π4，π2] 活动：函数y ＝sin(x ＋π4)是一个复合函数，即y ＝sin[φ(x )]，φ(x )＝x ＋π4，欲求y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间，因φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，故应求使y 随φ(x )递增而递增的区间．也可从转化与化归思想的角度考虑，即把x ＋π4看成一个整体，其道理是一样的． 解析：∵φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是递增的，故令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2. ∴2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4. ∴y ＝sin(x ＋π4)的递增区间是[2k π－3π4，2k π＋π4]． 取k ＝－1、0、1分别得[－11π4，7π4]、[－3π4，π4]、[5π4，9π4]， 故选B.答案：B点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，若本题运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：(1)求定义域；(2)确定复合过程，y ＝f (t )，t ＝φ(x )；(3)根据函数f (t )的单调性确定φ(x )的单调性；(4)写出满足φ(x )的单调性的含有x 的式子，并求出x 的范围；(5)得到x 的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间．知能训练课本本节练习解答：1．(1)(2k π，(2k ＋1)π)，k ∈Z ；(2)((2k －1)π，2k π)，k ∈Z ；(3)(－π2＋2k π，π2＋2k π)，k ∈Z ；(4)(π2＋2k π，3π2＋2k π)，k ∈Z . 点评：只需根据正弦曲线、余弦曲线写出结果，不要求解三角不等式，要注意结果的规范及体会数形结合思想方法的灵活运用．2．(1)不成立．因为余弦函数的最大值是1，而cos x ＝32>1. (2)成立．因为sin 2x ＝0.5，即sin x ＝±22，而正弦函数的值域是[－1,1]，±22∈[－1,1]． 点评：比较是学习的关键，反例能加深概念的深刻理解．通过本题准确理解正弦、余弦函数的最大值、最小值性质．3．(1)当x ∈{x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最大值2；当x ∈{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最小值－2.(2)当x ∈{x |x ＝6k π＋3π，k ∈Z }时，函数取得最大值3；当x ∈{x |x ＝6k π，k ∈Z }时，函数取得最小值1.点评：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，结合本节例题巩固正弦、余弦函数的性质，快速写出所给函数的最大值、最小值．4．B点评：利用数形结合思想认识函数的单调性．这是一道选择题，要求快速准确地选出正确答案．数形结合是实现这一目标的最佳方法．5．(1)sin250°>sin260°；(2)cos 15π8>cos 14π9；(3)cos515°>cos530°；(4)sin(－54π7)>sin(－63π8)． 点评：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．6．[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z . 点评：关键是利用转化与化归的思想将问题转化为正弦函数的单调性问题，得到关于x 的不等式，通过解不等式求得答案．课堂小结1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．作业判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin(π＋x )；(2)f (x )＝－1＋sin x ＋cos 2x 1－sin x. 解答：(1)函数的定义域为R ，它关于原点对称．∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ，f (－x )＝－(－x )sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )，∴函数为偶函数．(2)函数应满足1－sin x ≠0，∴函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2k π＋π2，k ∈Z }． ∵函数的定义域关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．设计感想1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．3．学习三角函数性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如sin(α＋2π)＝sin α这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了，它表明正弦函数的周期性，以提升学生的思维层次．备课资料一、近几年三角函数知识的变动情况三角函数一直是高中固定的传统内容，但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日，国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容，其中的调整意见第(7)条为：“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式，不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中，已尽可能减少了这8个公式的出现次数，在仅有的一次应用中，还将公式印在试卷上，以供查阅．而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效)，这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了．但是，如果认为这次调整的仅仅是8个公式，仅仅是降低了对8公式的要求，那就太表面、太肤浅了．我们知道，三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一，相当部分的三角题都是围绕它们而设计的，它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力．现在要求降低了，有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了．这样一来，三角部分还要我们教些什么呢？又该怎样教？立刻成了部分教师心头的一大困惑．有鉴于此，我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系，理清新的教学思路，以便真正落实这次调整的意见，实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担，有利于深化普通高中的课程改革，有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标．1．是“三角”还是“函数”应当说，三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的．三角本是几何学的衍生物，起始于古希腊的希帕克，经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科，历史上的很长一段时期，只有《三角学》盛行于世，却无“三角函数”之名．“三角函数”概念的出现，自然是在有了函数概念之后，从时间上看距今不过300余年．但是，此概念一经引入，立刻极大地改变了三角学的面貌，特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作，致使三角函数可以完全独立于三角形之外，而成为分析学的一个分支，其中的角也不限于正角，而是任意实数了．有的学者甚至认为可将它更名为角函数，这是有见地的，所以，作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在．现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局，将三角并入了代数内容．这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重．从《代数学》的历史演变来看，在相当长的历史时期内，“式与方程”一直是它的核心内容，那时的教材都是围绕着它们展开的，所以，书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍，所在皆是．这是由当时的数学认知水平决定的．而现在，函数已取代了式与方程成为代数的核心内容，比起运算技巧和变形套路来，人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时，首要强调的是“形式演算能力”，1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”．现行高中《代数》课本中，充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用，对这三种代数式的变形却轻描淡写．所以，三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的，这也是国际上普遍认可的观点．2．是“图象”还是“变换”现行高中三角函数部分，单列了一章专讲三角函数，这是与数学发展的潮流相一致的．大多数师生头脑中反映出来的，还是“众多的公式，纷繁的变换”，而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的，这一点，与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差．调整以后，降低这部分的要求，大面积地减少了题量．把“函数”作为关键词，将目光放在“图象和性质”上，应当是正确的选择，负担轻了，障碍小了，这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上，这才是“三个有利于”得以贯彻的根本．3．国外的观点及启示下面来看一下美国和德国的观点：美国没有全国统一的教材和《考试说明》，只有一个《课程标准》，在《课程标准》中，他们对三角函数提出了下面的要求：“会用三角学的知识解三角形；会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象；掌握三角函数图象；会解三角函数方程；会证基本的和简单的三角恒等式；懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”．他们还特别指出，不要在推导三角恒等式上花费过多的时间，只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了，比较复杂的恒等式就应该完全避免了．德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容，10年级要求如下：(1)一个角的弧度；(2)三角函数sin x 、cos x 、tan x 和它们的图象周期性；(3)三角形中角和边的计算；(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系)．另外，在11年级和12年级的“无穷小分析”中，继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限．从以上罗列，我们可以看出下面的共同点：第一，突出强调三角函数的图象和性质；第二，淡化三角式的变形，仅涉及同角变换，而且要求较低，8个公式根本不予介绍； 第三，明确变换的目的是为了三角形中的实际计算；第四，注意三角函数和其他知识的联系．这带给我们的启示还是很强烈的，美国和德国的中学教育以实用为主，并不太在乎教材体系是否严谨，知识系统是否完整；我国的教材虽作调整，怎样实施且不去细说，有一个意图是可猜到的，那就是要让学生知道教材是严谨与完整的．现在看来严谨的东西，在更高的观点下是否还严谨？在圈内看是完整的，跳出圈子看，是否还完整？在一个小地方钻得太深，在另外更大的地方就可能无暇顾及．人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分，我们却热衷于在个别地方穷追不舍，这早已引起行家的注意，从这个意义上说，此次调整应当只是第一步．在中学阶段即试图严谨与完整，其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故．二、备用习题1．函数y ＝sin(π3－2x )的单调减区间是( ) A ．[2k π－π12，2k π＋5π12](k ∈Z ) B ．[4k π－5π3，4k π＋11π3](k ∈Z ) C ．[k π－5π12，k π＋11π12](k ∈Z ) D ．[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z ) 答案：D2．满足sin(x －π4)≥12的x 的集合是( ) A ．{x |2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z } B ．{x |2k π－π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈Z } C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z } D ．{x |2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z }∪{x |2k π＋5π6≤x ≤(2k ＋1)π，k ∈Z } 答案：A3．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝lgsin x ；(2)y ＝2cos3x .答案：解：(1)由题意得sin x >0，∴2k π<x <(2k ＋1)π，k ∈Z .又∵0<sin x ≤1，∴lgsin x ≤0.故函数的定义域为[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z ，值域为(－∞，0]．(2)由题意得cos3x ≥0，∴2k π－π2≤3x ≤2k π＋π2，k ∈Z . ∴2k π3－π6≤x ≤2k π3＋π6，k ∈Z . 又∵0≤cos x ≤1，∴0≤2cos3x ≤2.故函数的定义域为[2k π3－π6，2k π3＋π6]，k ∈Z ，值域为[0,2]．。