一、函数1定义域定义域优先原则 (①分式的分母不为0、②偶次根式内为非负数、③真数大于0)值域（①二次函数用配方法、②判别式法y=22221121c x b xa c xb x a ++++（且2121b b a a ≠）型、③基本不等式法y=bx xa +型，即y ba 2≥,当等号不成立时就用求导法、④换元法y=bx k x k ++21时设t=bx k +2,y=22xa-时设x=x a sin 则可得22xa-=x a cos 、⑤求导法：主要用于高次或者复杂函数 用其增减性可得知最大最小值⑥反函数法2211b x a b x a y ++=型例题： 1．函数2()lo g (1)f x x =-的定义域为 ．2．（1）求函数=)(x f 342+-x x （])4,3[∈x 的值域。
（2）求函数=)(x f 342+-x x （])4,1[∈x 的值域。
3．求函数=)(x f 1122+++-x xx x 的值域。
4．若函数y ＝f (x )的值域是[21，3]，则函数F (x )＝f (x )＋)(1x f 的值域是A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，310]5．①求函数1-+=x x y 的值域。
②求2910xx y -+=的值域 ]310,310[-∈y6．求函数y=x 3-3x 2+10(x≥-1) 7. 求函数6543++=x x y 值域。
其反函数为： 3564--=x x y ，其定义域为：53≠x2 单调性（作用：比较大小、解不等式等）（①二次函数用对称轴 ②求导法 ③抽象函数用定义求设21x x<再比较)(1x f 与)(2x f 的大小来得出结论④复合函数y=f(u),u=g(x), f(u) 和g(x)同为增则y 也为增函数；f(u) 和g(x)一增一减时y 为减函数） 例题：1．已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围2．已知函数32()1f x x a x x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间)31,32(--内是减函数，求a 的取值范围．3．已知函数f (x )的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1,x 2都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，（1）求证：f (x )是偶函数； （2）f (x )在(0,+∞)上是增函数； （3）解不等式2(21)2f x -<4．=y ㏒)352(21.0--x x 的递减区间是（ ）函数f(x)=log 0.3|x 2－6x+5|的单调增区间是3奇偶性（定义域要关于原点对称）①奇：f(﹣x)=﹣f(x) 图像关于原点对称；0=x有定义时，0)0(=f ② 偶：f(﹣x) = f(x) 图像关于y 轴对称 ③抽象函数（不知解析式）用赋值法凑成f(﹣x)=﹣f(x)、f(﹣x) = f(x)、f(﹣x) ±f(x) = 0、()1()f x f x =±- 这四种情况注意：①奇函数的偶次项的系数为零，偶函数的奇次项系数为零 ②奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇例题：1．①已知f (x )是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上递减，那么一定有( ） A ．)1()43(2+->-a af f B ．)1()43(2+-≥-a af f C ．)1()43(2+-<-a af f D ．)1()43(2+-≤-a af f②已知22()21xxa a f x ⋅+-=+是R 上的奇函数，则a =2.判断函数f (x )＝lg (12+x -x )的奇偶性： f (-x )+f (x )＝3．求)()()(y f x f y x f +=+的奇偶性4指数、对数函数（比较大小方法：化同底，根据其增减性则得知，另一方面利用其增减性可用来求解不等式、值域等）① 如图设a , b, c , d 都是不等于1的正数,xxxxd y c y b y a y ====,,,在同一坐标系中的图象则a,b ,c ,d 的大小顺序是 ( ) ② 如图：设a ,b ,c ,d 都是不等于1的正数,在同一坐标系中,函数x y x y x y x y dcbalog,log,log,log====,的图象如图,则a ,b ,c ,d 的大小顺序关系是 ( ) 例题：1．①㏒)4(-x a ﹣㏒)12(-x a 0>，求x 的取值范围 ②若㏒132<a ，求a 的取值范围2．函数)763lg(2++-=x xy 的值域是3．若0.52a =，πlo g 3b =，22πlo g s in 5c =，求c b a ,,的大小关系4．3log,5log,2323的大小关系式是5反函数（与原函数关于y=x 对称）只有单调函数才有反函数例题：1．若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．e 2x-1B ．e 2xC ．e 2x+1D ． e 2x+22．已知函数3()2x f x +=，1()fx -是()f x 的反函数，若16m n =（m n ∈+R ，），则11()()fm fn --+的值为（ ）A ．2-B ．1C ．4D ．103.若()2(1)230f x x x x -=-+≤，则1()fx -为6抽象函数（赋值法）例题：1.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:()()()f a b a f b b f a ∙=+.(1)求(0),(1)f f 的值 (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;2．函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0，（1）求(0)f 值；（2）对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈，都有f (x 1)+2<log a x 2成立时，求a 的取值范围3．已知f (x )是定义在Ｒ上的函数，且f (x +2) [ (1-f (x ) ]=1+f (x ).(1)求证：f (x )是周期函数； （２）若(1)2f =+f (2001),f (2005)的值。
在此处键入公式。
4.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f = ( ) 遇到求导时，有时用到定义法7二次函数(三要素：a 、∆、ab 2-对称轴))0(2≠++=a c bx axy，在全体实数范围内，在ab x2-=时，可取得最值abac 442-；在给定区间],[n m 内，可利用函数图象或单调性求得最值，解决问题的关键是判断对称轴是否落在了给定的区间内例题：1.已知函数()242f x x a x =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是A ．3a ≥B ．3a ≤C ．3a <-D ．3a ≤- 2.已知函数()()215f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．3.已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．另例：当,,a b c 具有什么关系时，二次函数()2f x a x b x c =++的函数值恒大于零？恒小于零？变式1：已知函数 f (x ) = lg (a x 2+ 2x + 1) ．(I)若函数 f (x ) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围；(II)若函数 f (x ) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围．变式2：已知函数2()3f x x a x a =++-，若[]2,2x ∈-时，有()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．二、三角函数1.画一个单位圆，则xy x y ===αααtan ,cos ,sin2.一些诱导公式ααπααπααπtan )tan(,cos )cos(,sin )sin(-=--=-=-ααπααπααπcot )2tan(,sin )2cos(,cos )2sin(=-=-=-⇒（只要两角之和为/2就行）3.三角函数间的关系1cossin22=+α ⇒ αα22sec1tan=+， αααcos sin tan =⇒αααcos tan sin ⋅=4．βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ， βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅±=±5．二倍角αααcos sin 22sin = ， ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-= ααα2tan1tan 22tan -=6.二倍角扩展 ααcos 12cos22+= ， ααcos 12sin22-= ， 2)2c o s 2(s i n s i n 1ααα±=± )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα +=±7.)sin(cos sin 22θαβα++=+bab a ，其中22cos baa+=θ，22sin bab+=θab =θtan8.半角公式θθθθθθθθsin cos 12cos2sin22sin 22cos2sin 2tan2-===θθθθθθθθcos 1sin 2cos22cos2sin 22cos2sin 2tan2+===9凡正余弦的次数为二，均可以化成正切函数来表示 如：1tan1tan cossincos cos sin cos cos sin 22222++=++=+ααααααααα例题：(1)若81cos sin =⋅θθ ， )2,4(ππθ∈ ，则=-θθsin cos(2)求下列函数的值域①1sin 4cos 2+-=x x y ②x x x x y cos sin sin cos ++=(3)已知5cos 3sin cos sin 2-=-+θθθθ ，求θθθθcos sin cos sin -+ 和 θθ2sin 42cos 3+ 的值(4)设函数图象的一条对称轴是直线，① 求；② 求函数的单调增区间；③画出函数在区间[0，]上的图象.(5)已知均为锐角,,则的大小为 .(6)ABC 中,已知,则ABC 的形状为 ( )三角函数公式表（下面写的，看起来像n字母，别搞错了，还有tanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα ·tanβtanα＋tanβ是分子， 1－tanα ·tanβ是分母再有1sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]2也像上面一样，意思是sinα ·cosβ=0.5*[sin（α＋β）＋sin（α－β）],这些公式很多都在课本，可以查课本来确认这里是否写对，或者自己证明也行）同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α诱导公式sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————2tan(α/2) sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2) cosα＝——————1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ1＋tan2(α/2)2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—2 2α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—2 21sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21c osα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]21cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα ·sinβ＝－-[cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）。
