直角三角形(一)

专题1.8解直角三角形（1）（知识讲解）【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠A，(如∠A，a)，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【典型例题】类型一、解直角三角形1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3 4则sin C=_______.【点拨】此题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，求出BD是解本题的关键．举一反三：【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tan B＝3 4(1)求AD和AB的长；(2)求∠B的正弦、余弦值．【变式2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC解这个直角三角形．类型二、解非直角三角形2．如图，在ABC △中，6AB =，1sin 2B =，1tan 3C =，求ABC △的面积．1AD 举一反三：【变式1】如图，一艘货船以20n mile /h 的速度向正南方向航行，在A 处测得灯塔B 在南偏东40 方向，航行5h 后到达B 在北偏东60 方向，求C 处距离灯塔B的距离BC （结果精确到0.1，参考数据：sin 400.64≈ ，cos400.77≈ ，tan 400.84≈ 1.73≈）．【答案】65.4nmile【分析】过点B 作BH AC ⊥，在Rt △CBH 和Rt △BAH 中，根据三角函数的定义即可计算出C 处距离灯塔B 的距离BC ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，化为解直角三角形的问题是解题的关键．【变式2】如图，已知一居民楼AD 前方30m 处有一建筑物BC ，小敏在居民楼的顶部D 处和底部A 处分别测得建筑物顶部B 的仰角为19︒和41︒，求居民楼的高度AD 和建筑物的高度BC (结果取整数)．(参考数据:tan190.34︒≈，tan 410.87︒≈)【答案】居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，分别在Rt△BDE和RtABC中，根据锐角三角函数的意义求出BC、BE，进而求出AD，得出答案．解：过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝30，AD＝EC，由题意得，∠BDE＝19︒，∠BAC＝41︒，在Rt△ABC中，BC＝AC•tan∠BAC＝30×tan41︒≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE＝DE•tan∠BDE＝30×tan19︒≈10.2，∴AD＝BC−BE＝26.1−10.2＝15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【点拨】考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数，构造直角三角形利用锐角三角函数是解决问题的关键．类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝求AD的长．【答案】6【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：延长DA交CB的延长线于E，∵∠ABC=90°，【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．【参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14】【答案】大楼CE的高度是26m．【分析】作BF⊥AE于点F,根据三角函数的定义及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.解：作BF⊥AE于点F．则BF＝DE．【变式2】一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为ABC ，点B 、C 、D 在同一条直线上，测得90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，32cm AB =，75BDE ∠=︒，其中一段支撑杆84cm CD =，另一段支撑杆70cm DE =，(1)求BC 的距离；(2)求支撑杆上的E 到水平地面的距离EF 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.732≈）【答案】(1)16cm (2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG ⊥EF ，PQ EF ∥，证明EF =EG +QC +CP ，再分别运用解直角三角形求出EG 、QC 、CP 即可．∵DG ⊥EF ，AF ⊥EF ，PQ ∴DG ⊥PQ ，AF ⊥PQ ，∴四边形FPQG 是矩形，∴3sin 60842CQ CD =⋅︒=⨯∵75,60BDE BDQ ∠=︒∠=︒∴∠EDG =75°-60°=15°。

第一章 三角形的证明直角三角形（一）一、教学目标1、掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．3、进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．4、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．二、教学重难点重点:①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其 逆命题不一定成立．难点:勾股定理及其逆定理的证明方法．三、教学过程1：创设情境，引入新课通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。

[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ， ∠BAC=30°，AB=10 cm ，CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少? B 1C 1呢?2：讲述新课（1）．勾股定理及其逆定理的证明．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．求证：a 2+b 2＝c 2．师生共同回顾前面的验证过程。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?已知：如图：在△ABC 中，AB 2+AC 2＝BC 2 1C 1B C A B c b E DC A B a求证：△ABC 是直角三角形．勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．（2）．互逆命题和互逆定理．上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．这样的情况，在前面也曾遇到过．例如“两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”．又如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”。

直角三角形角的关系(一)直角三角形的定义•直角三角形是指存在一个内角为90°的三角形。

直角三角形的性质1.斜边：直角三角形的斜边是直角的对边，即斜边是直角三角形的最长边。

2.直角边：直角三角形的直角边是直角的邻边，即直角边相互垂直。

3.直角：直角三角形内的直角为90°，是三角形的一个特殊角度。

直角三角形的角的关系•直角三角形的三个内角之和为180°，其中一个内角为90°。

直角三角形的定义•直角三角形是指存在一个内角为90°的三角形。

直角三角形的斜边和直角边•斜边：直角三角形的斜边是直角的对边，即斜边是直角三角形的最长边。

•直角边：直角三角形的直角边是直角的邻边，即直角边相互垂直。

直角三角形的直角•直角：直角三角形内的直角为90°，是三角形的一个特殊角度。

直角三角形角的关系•直角三角形的三个内角之和为180°，其中一个内角为90°。

直角三角形角度计算示例以直角三角形ABC为例，其中∠C为直角（90°）。

- 已知∠A = 30°，则∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 30° - 90° = 60°。

- 已知∠B = 45°，则∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 45° - 90° = 45°。

探索直角三角形角度关系的应用•直角三角形角度关系在解决实际问题中具有广泛应用，如测量建筑物的高度、寻找航向方向、计算机器人的运动轨迹等。

经过角度计算可得到准确的结果，为实际问题的解决提供了便利。

以上是对直角三角形角的关系的简述和解释说明。

直角三角形的定义、性质以及三角形内角的关系可以帮助我们更好地理解和运用直角三角形的相关知识。

“直角三角形〔第一课时〕〞教学设计一、教材的地位与作用“直角三角形〔第一课时〕〞选自《义务教育课程标准实验教科书〔北师大版〕·数学》八年级下册第一章第二节。

本课是《直角三角形》(第1课时)的教学内容，是在学生学习和掌握了直角三角形相关知识的根底上，进步探讨直角三角形的性质定理以及判定定理。

教学内容主要为勾股定理及其逆定理的证明方法，了解逆命题、互逆命题、逆定理的概念，让学生经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性，并通过具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。

本节通过观察、操作、推理、交流等数学活动进一步探索直角三角形的性质和判定。

以直观认识为根底进行简单的说理,将直观与简单推理相结合，表达具体--抽象--具体的过程，培养学生学习数学的兴趣，提高他们应用所学知识解决问题的能力。

二、学情分析在图形的学习中，学生已经历观察、画图、推理、合作等活动体验，具备了本节课所需的探索、交流和演绎推理能力。

本节课在学生已经认识了直角三角形的性质和判定方法的根底上，将进一步探索直角三角形的性质和判定的证明方法。

让学生对命题的条件和结论经历观察、归纳出他们的共性，以得出互逆命题、逆命题的概念。

并能解决一些简单的实际问题。

同时注重培养学生寻找生活中蕴含数学知识的例子。

在活动中引导学生主动参与、相互合作，让他们感受到数学的乐趣、魅力和成功的快乐。

让学生参与知识的产生和开展教学过程，注重培养他们的自主学习的能力。

三、教学目标1.知识与能力目标〔1〕掌握直角三角形的性质定理及判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股定理逆定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.〔2〕结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.2.过程与方法目标〔1〕经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，开展抽象思维。

BCAD2.6直角三角形(1)A 组1．如果三角形的三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形 2．Rt △ABC 中，如果两条直角边分别为3，4，斜边为5，则斜边上的高线是（ ） A ．1.2 B ．2.4 C ．5 D ．不能确定 3．将一副直角三角板，按如图叠放，则图中∠α的度数是（ ） A ． 55o B ．65o C ．75o D ．无法确定4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ．下列结论不一定成立的是（ ） A ．∠1与∠B 互余 B ．∠2与∠A 互余 C ．∠2=∠A D ．∠1=∠A5.已知Rt △ABC 中，斜边AB =10cm ，则斜边上的中线的长为_____．6．如图，在△ABC 中，AB =AC =20，BC =16，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为 .7．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，∠CDA =70°．求∠A 和∠B ．8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，AE 平分∠CAB ，AE 交CD 于点F ，求证：△CEF 是等腰三角形．8.如图，在在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是BC 边上的中线，ED ⊥BC 于D ，交BA 延长线于E ，若∠E=35，求∠BDA 的度数45°30°a第3题第6题第4题 BCEACBADEF ★9．如图，△ABC 中，AD ，BE 分别为边BC ，AC 上的高线，D ，E 为垂足，M 为AB 的中点，N 为DE 的中点．求证：（1）△MDE 是等腰三角形；（2）MN ⊥DEB 组★10.已知：如图，∠BAC =90°，∠C =30°， AD ⊥BC 于D ， DE ⊥AB 于E ，BE =1，AB =_________，BC =______ ___．11．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，E 是BC 的中点，∠A=55°，求∠DEC 的度数。