2019年高考数学二轮复习对点练：专题七 解析几何 专题对点练24 Word版含答案

专题对点练选择题、填空题的解法一、选择题.方程至少有一个负根的充要条件是()<≤<≤<≤或<.设() <<,若()[()()],则下列关系式中正确的是()<><>.在等差数列{}中,是一个与无关的常数,则该常数的可能值的集合为().{} ....在△中,角所对的边分别为,若成等差数列,则等于(). . . ..已知定义在上的函数()满足:对任意实数,都有()(),且()在(∞]上单调递增.若<,且,则()与()的大小关系是()()<() ()()()>() .不能确定.已知是锐角△的外接圆圆心°·,则的值为()....设函数()则满足(())()的的取值范围是()..[]..[∞).(陕西一模)设∈,定义符号函数则函数() 的图象大致是().已知()()(>,且≠)恒过定点,且点在直线(>>)上,则的最小值为().已知直线与双曲线相切于点与双曲线两条渐近线交于两点,则的值为()二、填空题.设>>,则的大小关系是.(用“<”连接).不论为何实数,直线与圆恒有交点,则实数的取值范围是..函数() ()的零点个数为..已知定义在上的奇函数()满足()(),且在区间[]上是增函数,若方程()(>)在区间[]上有四个不同的根,则. .已知函数()是定义在上的可导函数,其导函数记为'(),若对于∀∈,有()>'(),且()是奇函数,则不等式()<的解集为..设函数()(∈)()则()的值域为.专题对点练答案解析当时,符合题意,排除;当时,符合题意,排除.故选.解析()是增函数,根据条件不妨取,则()>()·[()()].在这种特例情况下满足<,所以选.解析∵是一个与无关的常数,∴结合选项令,则数列{}是一个常数列,满足题意;令,设等差数列的公差为,则(),∴,即(),化简,得,也满足题意;,则,不满足题意.故选.解析(法一)由题意可取特殊值,则,.故选.。

小题对点练(七) 解析几何(1)(建议用时：40分钟)一、选择题1．设m ∈R ，则“m ＝0 ”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件A [由直线l 1与l 2垂直可得(m ＋1)(m －1)＋(1－m )(2m ＋1)＝0，解得m ＝0或m ＝1.所以“m ＝0”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的充分不必要条件．选A.]2．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752 C [由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8. 解得|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72.]3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6D.π6A [圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的圆心(2,3)，半径r ＝2，圆心(2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |k 2＋1，∵直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，∴由勾股定理得r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322，即4＝4k 2k 2＋1＋3，解得k ＝±33，故直线的倾斜角为π6或5π6，故选A.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝2x ，则该双曲线的离心率等于( )A.62B. 2C. 3D. 6C [∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ， ∴由题意得ba ＝2，即b ＝2a ， ∵c 2＝a 2＋b 2＝3a 2， ∴c ＝3a ， ∴离心率e ＝ca ＝ 3.]5．Rt △ABC 中，|BC |＝4，以BC 边的中点O 为圆心，半径为1的圆分别交BC 于P ，Q ，则|AP |2＋|AQ |2＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10D [法一：特殊法．当A 在BC 的中垂线上时， 由|BC |＝4，得|OA |＝2.所以|AP |2＋|AQ |2＝2OP 2＋2OA 2＝2(12＋22)＝10.选D.法二：以O 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，P (－1,0)，Q (1,0)，图18设A (x 0，y 0)，由AB ⊥AC 得 y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝－1. 即x 20＋y 20＝4.所以|AP |2＋|AQ |2＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20 ＝2(x 20＋y 20)＋2＝2×4＋2＝10.即|AP |2＋|AQ |2＝10.故选D.]6．已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4D [F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，又中点(2,2)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，4，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，得p ＝4.故选D.]7．(2018·丹东市五校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C.52D.62D [由题意得圆方程即为(x －3)2＋y 2＝4，故圆心为(3,0)，半径为2. 双曲线的一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，故圆心到渐近线的距离为d ＝|3b |a 2＋b2＝3b a 2＋b2.∵渐近线被圆截得的弦长为2， ∴⎝⎛⎭⎪⎫3ba 2＋b 22＋12＝22，整理得b 2a 2＝12.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋12＝62.选D.]8．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )A.33B.12C.22D.13C [由题意，b 2a c ＝22 ，得ac ＝2(a 2－c 2)， 即2e 2＋e －2＝0，所以e ＝22，故选C.]9．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且OA →·OB →＝6(O 为坐标原点)，若△ABO 与△AFO 的面积分别为S 1和S 2，则S 1＋4S 2最小值是( )A.732B ．6C.132D ．4 3B [设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴交点为M (m,0)，∴联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋my 2＝x ，可得y 2＝ty ＋m ，根据根与系数的关系得y 1·y 2＝－m .∵OA →·OB →＝6，∴x 1x 2＋y 1y 2＝6，即(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－6＝0.∵A ，B 位于x 轴的两侧， ∴y 1·y 2＝－3， ∴m ＝3，设点A 在x 轴的上方，则y 1＞0， ∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，∴S 1＋4S 2＝12×3×(y 1－y 2)＋4×12×14y 1 ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 1＋12y 1＝2y 1＋92y 1≥6，当且仅当2y 1＝92y 1，即y 1＝32时取等号，∴S 1＋4S 2的最小值是6.]10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，以OF 2为直径作圆C ，再以CF 1为直径作圆E ，两圆的交点恰好在已知的双曲线上，则该双曲线的离心率为( )图19A.2＋63B.42－33C.42－32D.32＋62D [由题意，F 1P ⊥CP ，CP ＝12c ，CF 1＝32c ，所以PF 1＝2c ，又cos ∠PF 1F 2＝223＝2c 2＋4c 2－PF 222×2c ×2c，得PF 2＝63c ，所以PF 1－PF 2＝2c －63c ＝2a ，所以e ＝c a ＝32＋62，故选D.]11．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2D [设AB 的中点为M ，焦点为F (0,1)，过点M 作准线l ：y ＝－1的垂线MN ，垂足为N ，过点A 作AC ⊥l 于点C ，过点B 作BD ⊥l 于点D ，则|MN |＝|AC |＋|BD |2|AF |＋|BF |2≥|AB |2＝3，当且仅当直线AB 过焦点F 时等号成立，所以AB的中点到x 轴的最短距离d min ＝3－1＝2.故选D.]12．(2018·长郡中学模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1，e 2的关系为( )A ．e 1＝13e 2B ．e 21＋13e 22＝4 C.1e 21＋3e 22＝4D ．e 21＋3e 22＝4C [设椭圆与双曲线的方程分别为x 2a 21＋y 2b 21＝1，x 2a 22－y 2b 22＝1满足a 21－b 21＝a 22＋b 22＝c 2，则根据椭圆及双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c .又因∠F 1PF 2＝π3，则在△PF 1F 2中由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos ∠F 1PF 2，化简得a 21＋3a 22＝4c 2，故1e 21＋3e22＝4.] 二、填空题13．(2018·天津模拟)圆心在直线y＝－4x上且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的标准方程为________．(x－1)2＋(y＋4)2＝8[∵圆心在直线y＝－4x上，设圆心C为(a，－4a)，圆与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则k PC＝4a－23－a＝1，∴a＝1.即圆心为(1，－4)．r＝|CP|＝(3－1)2＋(－4＋2)2＝22，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋4)＝8.]14．若双曲线x225－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于________．13[∵||PF1|－|PF2||＝2a＝10，∴|3－|PF2||＝10，∴|PF2|＝13或－7(舍)．]15．已知双曲线S与椭圆x29＋y234＝1的焦点相同，如果y＝34x是双曲线S的一条渐近线，那么双曲线S的方程为________．y2 9－x216＝1[∵椭圆方程为x29＋y234＝1，双曲线S与椭圆x29＋y234＝1的焦点相同，∴双曲线S的焦点坐标为(0，±5)，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，则c＝5，∵y＝34x是双曲线S的一条渐近线，∴ab＝34，∵c2＝a2－b2，∴a＝3，b＝4，∴双曲线S的方程为y29－x216＝1.]16．(2018·张掖市模拟)已知抛物线y2＝2x，A，B是抛物线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0，0)，则x0的取值范围是________．(用区间表示)(1，＋∞)[设A，B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，∵线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，∴AB不平行于y轴，即x1≠x2，又|P A|＝|PB|，即(x1－x0)2＋y21＝(x2－x0)2＋y22，得(x1－x2)(x1＋x2－2x0)＝y22－y21，∵A，B是抛物线上的两点，∴y21＝2x1，y22＝2x2，代入上式，得x0＝1＋x1＋x22，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1＋x2＞0，即x0＞1，故答案为(1，＋∞)．]。

专题对点练257.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为()A.B.C.4D.32.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.23.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是()A.18B.6C.5D.44.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为()A.4B.2C.4D.35.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.B.C.D.56.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A.B.C.2 D.27.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2C.D.28.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=19.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是()A.32B.16C.8D.4二、填空题(共3小题,满分15分)10.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为.11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为.12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上动点,△PBC的外接圆为☉O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.14.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.15.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.专题对点练25答案1.A解析圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心到直线x-3y+3=0的距离d=,故弦|AB|=2,故选A.2.A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.B解析由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圆半径r=3.圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是d+r,d-r,其两者之差即为圆的直径,故圆的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是6,故选B.4.A解析由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C(2,-1),r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),则2m-1-1=0,∴m=1,故点A(-2,1).∵|AC|=,|CB|=r=2,∴切线的长|AB|==4.5.C解析圆的内接四边形对角互补,因为x轴与y轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x+ky-3=0与坐标轴的交点为,(3,0),两直线的交点纵坐标为-,所以四边形的面积为×3××1×,故选C.6.C解析∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小.切线长为2,∴|PA|=|PB|=2,∴圆心到直线l的距离为d=.直线方程为y+4=kx,即kx-y-4=0,∴,解得k=±2,∵k>0,∴所求直线的斜率为2.故选C.7.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,∴a=b.∴其渐近线方程为y=±x,故(4,0)到C的渐近线的距离d==2.8.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.9.B解析设F2(c,0),双曲线C一条渐近线方程为y=x,可得|F2M|==b.∵OM⊥MF2,∴|OM|==a,由=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且,解得a=8,即有双曲线的实轴长为16.故选B.10.(x+1)2+(y-)2=1解析∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠FAC=120°,∴k AF=tan 120°=-,直线AF的方程为y=-x+.∵点A在直线AF上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.11.2解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=±x的距离为=b,所以b= c.因为a2=c2-b2=c2-c2=c2,所以a=c,e=2.12.5解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(0,1),∴=(-x1,1-y1),=(x2,y2-1).∵=2,∴即又=m,∴+(3-2y2)2=m,即+4-12y2+9=m.又=m,∴4m-12y2+9=m,即12y2=3m+9,4y2=m+3.∴=m,即=4m,即=-m-.∴当m=5时,的最大值为4,即点B横坐标的绝对值最大.13.解(1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义,设椭圆的方程=1(a>b>0且y≠0),所以,有|F1F2|=|BC|=2c=2,|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,b=,所以,动点A的轨迹M满足的方程为=1(y≠0).(2)设P(x0,y0),不妨设0<y0≤,线段PB的垂直平分线方程为y-=-,线段BC的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得y=.因为=1,所以y=,所以☉O1的圆心O1到x轴的距离d=.又知y=在(0,)内是单调递减函数,所以当y0=时,y min=,所以d min=.14.解(1)设F(c,0),由条件知,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ=.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时,等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.15.解(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.。

专题对点练23圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018全国Ⅰ,文20)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.2.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y-1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右交点分别为F1,F2,且|F1F2|=4,A是椭圆上一点.(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值;(2)若T为椭圆C上异于顶点的任意一点,M,N分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线TM与y轴交于点P,直线TN与x轴交于点Q,求证:|PN|·|QM|为定值.5.已知圆O:x2+y2=r2,直线x+2y+2=0与圆O相切,且直线l:y=kx+m与椭圆C:+y2=1相交于P,Q 两点,O为坐标原点.(1)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A,B两点,且∠AOB=60°,求直线l的方程;(2)如图,若△POQ的重心恰好在圆上,求m的取值范围.6.已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点,且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.①求证:直线MN恒过定点,并求出该定点坐标;②若O为坐标原点,求的取值范围.7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为等边三角形时,求C的方程;(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0),记点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为(-x0,0),并求点P到直线AB的距离d的取值范围.专题对点练23答案1.(1)解当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)证明当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为k BM+k BN=.①将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)==0.所以k BM+k BN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.2.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.解(1)由题意可知P(4,0),Q,|QF|=,由|QF|=|PQ|,则,解得p=2,∴抛物线的方程为x2=4y.(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),D(x2,y2),联立整理得x2-4kx-4=0,则x1x2=-4,由y=x2,求导y'=,直线MA:y-(x-x1),即y=x-,同理求得MD:y=x-,联立解得则M(2k,-1),∴M到l的距离d==2,∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM·S△CDM=|AB||CD|·d2= (|AF|-1)(|DF|-1)·d2=y1y2d2=·d2=1+k2≥1,当且仅当k=0时取等号,当k=0时,△ABM与△CDM的面积之积取最小值1.4.(1)解由已知得c=2,F1(-2,0),F2(2,0),∴2a=|AF1|+|AF2|=+=8.∴a=4,∴b2=a2-c2=4,e=.∴椭圆C的标准方程为=1,e=.(2)证明T(x0,y0)(x0≠0,y0≠0),则=1.M(4,0),N(0,2),∴直线TN的方程为y-2=x,令y=0,得Q,直线TM的方程为y=(x-4),令x=0,得P.则|MQ|=,则|PN|=.|QM|·|PN|==16,∴|PN|·|QM|为定值16.5.解(1)∵直线x+2y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,∴r=,∴x2+y2=.∵左焦点坐标为F(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),由∠AOB=60°,得圆心O到直线l的距离d=.又d=,∴,解得k=±,∴直线l的方程为y=±(x+1).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.由Δ>0,得2k2+1>m2,(※)且x1+x2=-.由△POQ重心恰好在圆x2+y2=上,得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4, 即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,即(1+k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4.∴+4m2=4,化简得m2=,代入(※)得k≠0.又m2==1+=1+.由k≠0,得>0,∴>0,∴m2>1,得m的取值范围为m<-1或m>1.6.解(1)设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),由题意可得a2-b2=2,e=,c=,解得a=,b=1,即有椭圆的标准方程为+x2=1;(2)①证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),由A(0,-),直线AM与AN的斜率之积为1,可得=1,即有x1x2=y1y2+(y1+y2)+3,由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN:y=kx+t,代入椭圆方程,可得(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得x1x2=,x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t-,y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2·+kt+t2=,则+3,化为t2+3t+6=0,解得t=-2(-舍去),则直线MN的方程为y=kx-2,即直线MN恒过定点,该定点坐标为(0,-2);②由①可得=x1x2+y1y2==,由(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得Δ=4k2t2-4(t2-3)(3+k2)=48k2-36(3+k2)>0,解得k2>9.令3+k2=m,则m>12,且k2=m-3,即有-3,由m>12,可得-3<-3<.则的取值范围是.7.解(1)由题知F,|FA|=3+,则D(3+p,0),FD的中点坐标为, 则=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0.∵x0≥,∴Δ=16m2+16x0>0,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,设P的坐标为(x P,0),则=(x2-x P,-y2),=(x1-x P,y1),由题知,所以(x2-x P)y1+y2(x1-x P)=0,即x2y1+y2x1=(y1+y2)x P=,显然y1+y2=4m≠0,所以x P==-x0,即证x P(-x0,0).由题知△EPB为等腰直角三角形,所以k AP=1,即=1,也即=1,所以y1-y2=4,∴(y1+y2)2-4y1y2=16,即16m2+16x0=16,m2=1-x0,x0<1,又因为x0≥,所以≤x0<1,d=,令=t∈,x0=2-t2,d=-2t,易知f(t)= -2t在上是减函数,所以d∈.。

专题对点练从审题中寻找解题思路一、选择题.已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为,则的取值范围是().() .(,) .() .(,).已知()是上最小正周期为的周期函数,且当≤<时(),则函数()的图象在区间[]上与轴的交点的个数为() .已知是双曲线(>>)的两个焦点是上一点,若,且△最小的内角为°,则双曲线的渐近线方程是()±±±±.已知双曲线,过点()作直线,使与有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线的条数共有().已知二次函数(),其中>,且对任意∈都有()≥,则的最小值为().....(河北一模)设双曲线(<<)的半焦距为,直线过(),()两点,已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为()...二、填空题.在△中,角所对应的边分别为,已知 ,则..下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第行第列的数为(∈*),则();()表中的数共出现次..已知锐角三角形的三个内角所对的边分别是,若是和的等比中项是和的等差中项,则的取值范围是.三、解答题.已知数列{}是公差不为零的等差数列,且成等比数列.()求数列{}的通项;()设{()}是等比数列,且.求数列{}的前项和..已知函数()·ω在处取得最值,其中ω∈().()求函数()的最小正周期;()将函数()的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变,得到函数()的图象,若α为锐角(α),求α..已知函数() ().()讨论()的单调性;()当()有最大值,且最大值大于时,求的取值范围.专题对点练答案解析因为双曲线的焦距为,所以,即,解得.又由方程表示双曲线得()()>,解得<<,故选.解析当≤<时,令(),得或,根据周期函数的性质,由()的最小正周期为,可知()在[)上有个零点,又()(×)(),所以()在[]上与轴的交点个数为.解析由题意,不妨设>,则根据双曲线的定义得,又,解得.在△中,而>,所以有<,所以∠°,所以()()()··°,得,所以,所以双曲线的渐近线方程为±±,即±.解析当直线斜率存在时,令(),代入中整理有()·().当,即±时和双曲线的渐近线平行,有一个公共点.当≠±时,由Δ,解得,即时,有一个切点.。

专题对点练22直线与圆及圆锥曲线1.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.2.(2018全国Ⅱ,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1和O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.(1)求圆心P的轨迹E的方程;(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为k(k>0),△AMN的面积为S,求的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.5.已知点N(-1,0),F(1,0)为平面直角坐标系内两定点,点M是以N为圆心,4为半径的圆上任意一点,线段MF的垂直平分线交MN于点R.(1)点R的轨迹为曲线E,求曲线E的方程;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与曲线E交于P,Q两点,请问:是否存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.6.(2018天津,文19)设椭圆=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.专题对点练22答案1.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k==1.(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.2.解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=;由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.3.解(1)设动圆P的半径为r,则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4,所以P的轨迹为椭圆,2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=,所以椭圆的方程为=1(x≠-2).(2)设点M坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),代入=1,可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.∵A(-2,0)在椭圆=1上,∴x0×(-2)=,则x0=,∴|AM|=.同理|AN|=.所以S=|AM|·|AN|=.,令k2+1=t>1,,所以∈(0,6).4.解(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=,所以+()2=22,即m=±.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得=x2+y2,即x2-y2=2.因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).由于点P在圆O内,故由此得y2<1.所以的取值范围为[-2,0).5.解(1)由题意,|RM|=|RF|,∴|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4>|NF|,∴R的轨迹是以N,F为焦点的椭圆,a=2,c=1,b=,∴曲线E的方程为=1;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,抛物线的方程为y2=4x,假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,则|AF|=|FB|.直线l斜率显然存在,设方程为y=k(x-1)(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线代入抛物线方程,整理可得ky2-4y-4k=0,∴y1+y2=,①y1y2=-4,②∵|AF|=|FB|,∴=-2,③∴由①②③解得k=±2.k=2时,直线l的方程为y=2(x-1),解得A,B(2,2).直线与椭圆方程联立解得P,A.∵y B≠2y Q,∴Q不是FB的中点,即A,F,Q不是线段PB的四等分点.同理可得k=-2时,A,F,Q不是线段PB的四等分点,∴不存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点.6.解(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有.又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-,或k=-.当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.所以,k的值为-.。

专题对点练7导数与不等式及参数范围1.已知函数f(x)= x2+(1-a)x-a ln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a<0,若对∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.2.设函数f(x)=(1-x2)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.3.(2018北京,文19)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.4.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.专题对点练7答案1.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x+1-a-,若a≤0,则f'(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)内单调递增;若a>0,则由f'(x)=0得x=a,当0<x<a时,f'(x)<0,当x>a时,f'(x)>0,此时f(x)在(0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增.(2)不妨设x1≤x2,而a<0,由(1)知,f(x)在(0,+∞)内单调递增,∴f(x1)≤f(x2),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|⇔4x1-f(x1)≥4x2-f(x2),令g(x)=4x-f(x),则g(x)在(0,+∞)内单调递减,∵g'(x)=4-f'(x)=4--x+3+a,∴g'(x)= -x+3+a≤0对∀x∈(0,+∞)恒成立,∴a≤对∀x∈(0,+∞)恒成立,∴a≤.又=x+1+-5≥2-5=-1,当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.∴a≤-1,故a的取值范围为(-∞,-1].2.解(1)f'(x)=(1-2x-x2)e x.令f'(x)=0得x=-1-,x=-1+.当x∈(-∞,-1-)时,f'(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时,f'(x)>0;当x∈(-1+,+∞)时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)内单调递减,在(-1-,-1+)内单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)e x.当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)e x,h'(x)=-x e x<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)内单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.当0<a<1时,设函数g(x)=e x-x-1,g'(x)=e x-1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0,故e x≥x+1.当0<x<1时,f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.综上,a的取值范围是[1,+∞).3.解(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x,所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x.所以f'(2)=(2a-1)e2.由题设知f'(2)=0,即 (2a-1)e2=0,解得a=.(2)(方法一)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x=(ax-1)(x-1)e x.若a>1,则当x∈时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+∞).(方法二)由(1)得f'(x)=(ax-1)(x-1)e x.当a=0时,令f'(x)=0,得x=1.f'(x),f(x)随x∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.当a>0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.①当x1=x2,即a=1时,f'(x)=(x-1)2e x≥0,∴f(x)在R上单调递增,∴f(x)无极值,不合题意.②当x1>x2,即0∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.③当x1<x2,即a>∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.当a<0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.f'(x),f(x)随x∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).4.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= +2ax+2a+1=.若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.若a<0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x) <0.故f(x)在单调递增,在单调递减.(2)证明由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-取得最大值,最大值为f=ln-1-.所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,即ln+1≤0.设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)= -1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln+1≤0,即f(x)≤--2.。

专题对点练23圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018全国Ⅰ,文20)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.2.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y-1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右交点分别为F1,F2,且|F1F2|=4,A是椭圆上一点.(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值;(2)若T为椭圆C上异于顶点的任意一点,M,N分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线TM与y轴交于点P,直线TN 与x轴交于点Q,求证:|PN|·|QM|为定值.5.已知圆O:x2+y2=r2,直线x+2y+2=0与圆O相切,且直线l:y=kx+m与椭圆C:+y2=1相交于P,Q两点,O为坐标原点.(1)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A,B两点,且∠AOB=60°,求直线l的方程;(2)如图,若△POQ的重心恰好在圆上,求m的取值范围.6.已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点,且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.①求证:直线MN恒过定点,并求出该定点坐标;②若O为坐标原点,求的取值范围.7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为等边三角形时,求C的方程;(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0),记点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为(-x0,0),并求点P到直线AB的距离d的取值范围.专题对点练23答案1.(1)解当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)证明当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为k BM+k BN=.①将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)==0.所以k BM+k BN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.2.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.解(1)由题意可知P(4,0),Q,|QF|=,由|QF|=|PQ|,则,解得p=2,∴抛物线的方程为x2=4y.(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),D(x2,y2),联立整理得x2-4kx-4=0,则x1x2=-4,由y=x2,求导y'=,直线MA:y-(x-x1),即y=x-,同理求得MD:y=x-,联立解得则M(2k,-1),∴M到l的距离d==2,∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM·S△CDM=|AB||CD|·d2= (|AF|-1)(|DF|-1)·d2=y1y2d2=·d2=1+k2≥1,当且仅当k=0时取等号,当k=0时,△ABM与△CDM的面积之积取最小值1.4.(1)解由已知得c=2,F1(-2,0),F2(2,0),∴2a=|AF1|+|AF2|=+=8.∴a=4,∴b2=a2-c2=4,e=.∴椭圆C的标准方程为=1,e=.(2)证明T(x0,y0)(x0≠0,y0≠0),则=1.M(4,0),N(0,2),∴直线TN的方程为y-2=x,令y=0,得Q,直线TM的方程为y=(x-4),令x=0,得P.则|MQ|=,则|PN|=.|QM|·|PN|==16,∴|PN|·|QM|为定值16.5.解(1)∵直线x+2y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,∴r=,∴x2+y2=.∵左焦点坐标为F(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),由∠AOB=60°,得圆心O到直线l的距离d=.又d=,∴,解得k=±,∴直线l的方程为y=±(x+1).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.由Δ>0,得2k2+1>m2,(※)且x1+x2=-.由△POQ重心恰好在圆x2+y2=上,得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4, 即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,即(1+k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4.∴+4m2=4,化简得m2=,代入(※)得k≠0.又m2==1+=1+.由k≠0,得>0,∴>0,∴m2>1,得m的取值范围为m<-1或m>1.6.解(1)设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),由题意可得a2-b2=2,e=,c=,解得a=,b=1,即有椭圆的标准方程为+x2=1;(2)①证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),由A(0,-),直线AM与AN的斜率之积为1,可得=1,即有x1x2=y1y2+(y1+y2)+3,由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN:y=kx+t,代入椭圆方程,可得(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得x1x2=,x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t-,y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2·+kt+t2=,则+3,化为t2+3t+6=0,解得t=-2(-舍去),则直线MN的方程为y=kx-2,即直线MN恒过定点,该定点坐标为(0,-2);②由①可得=x1x2+y1y2==,由(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得Δ=4k2t2-4(t2-3)(3+k2)=48k2-36(3+k2)>0,解得k2>9.令3+k2=m,则m>12,且k2=m-3,即有-3,由m>12,可得-3<-3<.则的取值范围是.7.解(1)由题知F,|FA|=3+,则D(3+p,0),FD的中点坐标为,则=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0.∵x0≥,∴Δ=16m2+16x0>0,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,设P的坐标为(x P,0),则=(x2-x P,-y2),=(x1-x P,y1),由题知,所以(x2-x P)y1+y2(x1-x P)=0,即x2y1+y2x1=(y1+y2)x P=,显然y1+y2=4m≠0,所以x P==-x0,即证x P(-x0,0).由题知△EPB为等腰直角三角形,所以k AP=1,即=1,也即=1,所以y1-y2=4,∴(y1+y2)2-4y1y2=16,即16m2+16x0=16,m2=1-x0,x0<1,又因为x0≥,所以≤x0<1,d=,令=t∈,x0=2-t2,d=-2t,易知f(t)= -2t在上是减函数,所以d∈.。

专题对点练23圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018全国Ⅰ,文20)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.2.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y-1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右交点分别为F1,F2,且|F1F2|=4,A是椭圆上一点.(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值;(2)若T为椭圆C上异于顶点的任意一点,M,N分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线TM与y轴交于点P,直线TN与x轴交于点Q,求证:|PN|·|QM|为定值.5.已知圆O:x2+y2=r2,直线x+2y+2=0与圆O相切,且直线l:y=kx+m与椭圆C:+y2=1相交于P,Q 两点,O为坐标原点.(1)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A,B两点,且∠AOB=60°,求直线l的方程;(2)如图,若△POQ的重心恰好在圆上,求m的取值范围.6.已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点,且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.①求证:直线MN恒过定点,并求出该定点坐标;②若O为坐标原点,求的取值范围.7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为等边三角形时,求C的方程;(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0),记点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为(-x0,0),并求点P到直线AB的距离d的取值范围.专题对点练23答案1.(1)解当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)证明当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为k BM+k BN=.①将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)==0.所以k BM+k BN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.2.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.解(1)由题意可知P(4,0),Q,|QF|=,由|QF|=|PQ|,则,解得p=2,∴抛物线的方程为x2=4y.(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),D(x2,y2),联立整理得x2-4kx-4=0,则x1x2=-4,由y=x2,求导y'=,直线MA:y-(x-x1),即y=x-,同理求得MD:y=x-,联立解得则M(2k,-1),∴M到l的距离d==2,∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM·S△CDM=|AB||CD|·d2= (|AF|-1)(|DF|-1)·d2=y1y2d2=·d2=1+k2≥1,当且仅当k=0时取等号,当k=0时,△ABM与△CDM的面积之积取最小值1.4.(1)解由已知得c=2,F1(-2,0),F2(2,0),∴2a=|AF1|+|AF2|=+=8.∴a=4,∴b2=a2-c2=4,e=.∴椭圆C的标准方程为=1,e=.(2)证明T(x0,y0)(x0≠0,y0≠0),则=1.M(4,0),N(0,2),∴直线TN的方程为y-2=x,令y=0,得Q,直线TM的方程为y=(x-4),令x=0,得P.则|MQ|=,则|PN|=.|QM|·|PN|==16,∴|PN|·|QM|为定值16.5.解(1)∵直线x+2y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,∴r=,∴x2+y2=.∵左焦点坐标为F(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),由∠AOB=60°,得圆心O到直线l的距离d=.又d=,∴,解得k=±,∴直线l的方程为y=±(x+1).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.由Δ>0,得2k2+1>m2,(※)且x1+x2=-.由△POQ重心恰好在圆x2+y2=上,得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4, 即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,即(1+k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4.∴+4m2=4,化简得m2=,代入(※)得k≠0.又m2==1+=1+.由k≠0,得>0,∴>0,∴m2>1,得m的取值范围为m<-1或m>1.6.解(1)设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),由题意可得a2-b2=2,e=,c=,解得a=,b=1,即有椭圆的标准方程为+x2=1;(2)①证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),由A(0,-),直线AM与AN的斜率之积为1,可得=1,即有x1x2=y1y2+(y1+y2)+3,由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN:y=kx+t,代入椭圆方程,可得(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得x1x2=,x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t-,y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2·+kt+t2=,则+3,化为t2+3t+6=0,解得t=-2(-舍去),则直线MN的方程为y=kx-2,即直线MN恒过定点,该定点坐标为(0,-2);②由①可得=x1x2+y1y2==,由(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得Δ=4k2t2-4(t2-3)(3+k2)=48k2-36(3+k2)>0,解得k2>9.令3+k2=m,则m>12,且k2=m-3,即有-3,由m>12,可得-3<-3<.则的取值范围是.7.解(1)由题知F,|FA|=3+,则D(3+p,0),FD的中点坐标为, 则=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0.∵x0≥,∴Δ=16m2+16x0>0,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,设P的坐标为(x P,0),则=(x2-x P,-y2),=(x1-x P,y1),由题知,所以(x2-x P)y1+y2(x1-x P)=0,即x2y1+y2x1=(y1+y2)x P=,显然y1+y2=4m≠0,所以x P==-x0,即证x P(-x0,0).由题知△EPB为等腰直角三角形,所以k AP=1,即=1,也即=1,所以y1-y2=4,∴(y1+y2)2-4y1y2=16,即16m2+16x0=16,m2=1-x0,x0<1,又因为x0≥,所以≤x0<1,d=,令=t∈,x0=2-t2,d=-2t,易知f(t)= -2t在上是减函数,所以d∈.。

专题对点练直线与圆及圆锥曲线
.设为曲线上两点与的横坐标之和为.
()求直线的斜率;
()设为曲线上一点在处的切线与直线平行,且⊥,求直线的方程.
.(全国Ⅱ,文)设抛物线的焦点为,过且斜率为(>)的直线与交于两点.
()求的方程.
()求过点且与的准线相切的圆的方程.
.在平面直角坐标系中,已知圆:()和:(),动圆与圆外切,与圆内切.
()求圆心的轨迹的方程;
()过()作两条互相垂直的直线分别交曲线于两点,设的斜率为(>),△的面积为,求的取值范围. .在平面直角坐标系中,以坐标原点为圆心的圆与直线相切.
()求圆的方程;
()若圆上有两点关于直线对称,且,求直线的方程;
()圆与轴相交于两点,圆内的动点使成等比数列,求的取值范围.
.已知点()()为平面直角坐标系内两定点,点是以为圆心为半径的圆上任意一点,线段的垂直平分线交于点.
()点的轨迹为曲线,求曲线的方程;
()抛物线的顶点在坐标原点为其焦点,过点的直线与抛物线交于两点,与曲线交于两点,请问:是否存在直线使是线段的四等分点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
.(天津,文)设椭圆(>>)的右顶点为,上顶点为.已知椭圆的离心率为.
()求椭圆的方程;
()设直线(<)与椭圆交于两点与直线交于点,且点均在第四象限.若△的面积是△面积的倍,求的值.
专题对点练答案
.解()设()(),则≠,于是直线的斜率.
()由,得'.
设(),由题设知,解得,于是().
设直线的方程为,故线段的中点为().
将代入得.
当Δ()>,即>时±.
从而.
由题设知,即(),。

专题对点练25 7.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为()A.B.C.4D.32.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.23.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是()A.18B.6C.5D.44.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为()A.4B.2C.4D.35.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.B.C.D.56.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A.B.C.2 D.27.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2C.D.28.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=19.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是()A.32B.16C.8D.4二、填空题(共3小题,满分15分)10.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为.11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为.12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m= 时,点B横坐标的绝对值最大.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上动点,△PBC的外接圆为☉O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.14.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.15.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM 与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.专题对点练25答案1.A解析圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心到直线x-3y+3=0的距离d=,故弦|AB|=2,故选A.2.A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.B解析由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圆半径r=3.圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是d+r,d-r,其两者之差即为圆的直径,故圆的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是6,故选B.4.A解析由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C(2,-1),r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),则2m-1-1=0,∴m=1,故点A(-2,1).∵|AC|=,|CB|=r=2,∴切线的长|AB|==4.5.C解析圆的内接四边形对角互补,因为x轴与y轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x+ky-3=0与坐标轴的交点为,(3,0),两直线的交点纵坐标为-,所以四边形的面积为×3××1×,故选C.6.C解析∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小.切线长为2,∴|PA|=|PB|=2,∴圆心到直线l的距离为d=.直线方程为y+4=kx,即kx-y-4=0,∴,解得k=±2,∵k>0,∴所求直线的斜率为2.故选C.7.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,∴a=b.∴其渐近线方程为y=±x,故(4,0)到C的渐近线的距离d==2.8.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.9.B解析设F2(c,0),双曲线C一条渐近线方程为y=x,可得|F2M|==b.∵OM⊥MF2,∴|OM|==a,由=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且,解得a=8,即有双曲线的实轴长为16.故选B.10.(x+1)2+(y-)2=1解析∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠FAC=120°,∴k AF=tan 120°=-,直线AF的方程为y=-x+.∵点A在直线AF上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.11.2解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=±x的距离为=b,所以b= c.因为a2=c2-b2=c2-c2=c2,所以a=c,e=2.12.5解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(0,1),∴=(-x1,1-y1),=(x2,y2-1).∵=2,∴即又=m,∴+(3-2y2)2=m,即+4-12y2+9=m.又=m,∴4m-12y2+9=m,即12y2=3m+9,4y2=m+3.∴=m,即=4m,即=-m-.∴当m=5时,的最大值为4,即点B横坐标的绝对值最大.13.解 (1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义,设椭圆的方程=1(a>b>0且y≠0),所以,有|F1F2|=|BC|=2c=2,|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,b=,所以,动点A的轨迹M满足的方程为=1(y≠0).(2)设P(x0,y0),不妨设0<y0≤,线段PB的垂直平分线方程为y-=-,线段BC的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得y=.因为=1,所以y=,所以☉O1的圆心O1到x轴的距离d=.又知y=在(0,)内是单调递减函数,所以当y0=时,y min=,所以d min=.14.解 (1)设F(c,0),由条件知,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ=.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时,等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.15.解 (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.。

专题对点练 23 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018全国Ⅰ,文20)设抛物线C:y2= 2x,点 A(2,0),B(-2,0),过点 A 的直线 l 与 C 交于 M,N 两点 .(1)当 l 与 x 轴垂直时 ,求直线 BM 的方程 ;(2)证明 :∠ ABM= ∠ABN.2.已知椭圆 C 的两个极点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在 x 轴上 ,离心率为.(1)求椭圆 C 的方程 ;(2) 点 D 为 x 轴上一点 ,过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不一样的两点 M,N,过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点E.求证 :△ BDE 与△ BDN 的面积之比为 4∶5.3.已知抛物线2与 x 轴的交点为 P,与抛物线的交点为Q,且x = 2py(p> 0)的焦点为 F,直线 x=4|QF|=|PQ|.(1)求抛物线的方程 ;(2)如下图 ,过 F 的直线 l 与抛物线订交于 A,D 两点 ,与圆 x2+ (y-1)2 =1 订交于 B,C 两点 ( A,B 两点相邻 ), 过A,D 两点分别作抛物线的切线 ,两条切线订交于点 M,求△ABM 与△ CDM 的面积之积的最小值 .4.已知椭圆C:= 1(a>b> 0) 的左、右交点分别为F1,F2,且|F 1 F2 |= 4 ,A是椭圆上一点 .(1)求椭圆 C 的标准方程和离心率 e 的值 ;(2)若 T 为椭圆 C 上异于极点的随意一点 ,M,N 分别为椭圆的右极点和上极点,直线 TM 与 y 轴交于点P,直线 TN 与 x 轴交于点Q,求证 :|PN| ·|QM| 为定值 .5.已知圆O:x2+y2=r2,直线x+2两点 ,O 为坐标原点 .y+ 2= 0 与圆O 相切 ,且直线l:y=kx+m 与椭圆2C: +y = 1 订交于P,Q(1)若直线 l 过椭圆 C 的左焦点 ,且与圆 O 交于 A,B 两点 ,且∠ AOB= 60°,求直线 l 的方程 ;(2)如图 ,若△POQ 的重心恰幸亏圆上,求 m 的取值范围 .6.已知椭圆 C 与双曲线y2-x2= 1 有共同焦点 ,且离心率为.(1)求椭圆 C 的标准方程 ;(2) 若 A 为椭圆 C 的下极点 ,M,N 为椭圆 C 上异于 A 的两点 ,直线 AM 与 AN 的斜率之积为 1.①求证 :直线 MN 恒过定点 ,并求出该定点坐标;②若 O 为坐标原点 ,求的取值范围.7.已知抛物线C:y2=2px(p> 0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的随意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D.(1) 若当点 A 的横坐标为3,且△ ADF为等边三角形时,求C 的方程;(2) 对于 (1)中求出的抛物线 C,若点 D(x0,0) ,记点 B 对于 x 轴的对称点为 E,AE 交 x 轴于点 P, 且 AP⊥BP ,求证 :点 P 的坐标为 (-x0,0),并求点 P 到直线 AB 的距离 d 的取值范围 .专题对点练 23 答案1.(1)解当l与x轴垂直时,l的方程为x= 2,可得M的坐标为(2,2)或(2,- 2).因此直线 BM 的方程为y=x+ 1 或 y=-x- 1.(2)证明当 l 与 x 轴垂直时 ,AB 为 MN 的垂直均分线 ,因此∠ ABM= ∠ ABN.当 l 与 x 轴不垂直时 ,设 l 的方程为 y=k (x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1> 0,x2> 0.由得 ky2-2y-4k= 0,可知 y1+y 2= ,y1y2=- 4.直线 BM ,BN 的斜率之和为 k BM+k BN=①.将 x1 =+ 2,x2= + 2 及 y1+y 2,y1y2的表达式代入①式分子 ,可得x2y1+x 1y2+ 2(y1+y 2)== 0.因此 k BM +k BN= 0,可知 BM ,BN 的倾斜角互补 ,因此∠ ABM= ∠ ABN.综上 ,∠ ABM= ∠ ABN.2.(1)解设椭圆C的方程为= 1(a>b> 0).由题意得解得 c= .因此 b2=a 2-c2 = 1.因此椭圆 C 的方程为+y 2= 1.(2)证明设 M(m,n),则 D(m,0),N(m,-n).由题设知 m≠±2,且 n≠0.直线 AM 的斜率 k AM=,故直线 DE 的斜率 k DE =-.因此直线 DE 的方程为 y=-(x-m),直线 BN 的方程为 y= (x-2).联立解得点 E 的纵坐标y E=-.22由点 M 在椭圆 C 上 ,得 4-m = 4n .又 S△BDE =|BD| ·|y E|=|BD| |n|,S·△BDN =|BD| ·|n|,因此△ BDE 与△ BDN 的面积之比为 4∶5.3.解(1)由题意可知P(4,0),Q,|QF|=,由|QF|=|PQ| ,则,解得 p= 2,∴抛物线的方程为x2= 4y.(2) 设 l:y=kx+ 1,A(x1 ,y1),D( x2,y2),联立整理得 x2-4kx-4= 0,则 x1x2=- 4,由 y=x 2,求导 y'= ,直线 MA :y-(x-x 1),即 y= x- ,同理求得MD :y= x-,联立解得则M(2k,-1),∴M 到 l 的距离 d== 2∴△ ABM 与△ CDM 的面积之积= (|AF|- 1)(|DF|- 1)·d2=y 1y2 d2=·d2= 1+k2≥ 1,当且仅当 k=0 时取等号 ,当 k=0 4.(1)解由已知得c=2 ,F1(-2,2S△ ABM·S△CDM =|AB||CD|d·时,△ ABM 与△ CDM 的面积之积取最小值 1. ,0),F2(2 ,0),∴2a=|AF 1|+|AF 2|=+= 8.∴a= 4,∴b2 =a 2-c2= 4,e=.∴椭圆 C 的标准方程为= 1,e=.(2) 证明 T(x0,y0)(x0≠ 0,y0≠ 0),则=1.M(4,0), N(0,2), ∴直线 TN 的方程为 y-2=x,令 y= 0,得 Q,直线 TM 的方程为 y=(x-4),令 x= 0,得 P.则|MQ|=,则|PN|=. |QM| ·|PN|== 16,∴|PN| ·|QM| 为定值 16.5.解(1)∵直线 x+2y+ 2= 0 与圆 O:x2+y 2 =r 2相切 ,∴r=,22∴x +y =.∵左焦点坐标为F(-1,0),设直线 l 的方程为 y=k (x+ 1),由∠ AOB= 60°,得圆心 O 到直线 l 的距离 d=.又 d=,∴,解得 k=±,∴直线 l 的方程为 y=±( x+1).(2) 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),222由得 (1+ 2k )x + 4kmx+2m -2= 0.且 x1 +x 2=-.由△ POQ 重心恰幸亏圆 x2+y 2 =上 ,得 (x1+x 2 )2+ (y1+y 2)2= 4,即( x1+x 2)2+ [k(x1+x 2)+ 2m] 2= 4,即(1+k 2)( x1+x 2)2+ 4km( x1+x 2)+4m2= 4.∴+ 4m2= 4,化简得 m2=,代入 (※ )得 k≠0.又 m2== 1+=1+.由 k≠0,得 > 0,∴> 0,∴ m2> 1,得 m 的取值范围为m<- 1 或 m> 1. 6.解(1)设椭圆C的标准方程为= 1(a>b> 0),22=2,e=,c=,解得 a=,b= 1,由题意可得 a -b即有椭圆的标准方程为+x 2= 1;(2) ①证明 :设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 A(0,- ),直线 AM 与 AN 的斜率之积为 1,可得= 1,即有 x1x2 =y 1y2+(y1 +y 2) +3,由题意可知直线 MN 的斜率存在且不为 0,设直线 MN:y=kx+t , 代入椭圆方程 ,可得 (3+k 2)x2+ 2ktx+t 2-3= 0,可得 x1x2 =,x1+x 2=-,y1+y 2 =k(x1+x 2)+ 2t= 2t-,222+kt 2,y1y2=k x1x2+kt ( x1+x 2)+t=k ·+t =则+ 3,化为 t2 +3t+ 6= 0,解得 t=- 2(- 舍去 ),则直线 MN的方程为 y=kx- 2,即直线 MN恒过定点 ,该定点坐标为 (0,-2);②由①可得=x 1x2+y 1y2==,由(3+k 2) x2+ 2ktx+t 2-3= 0,可得Δ=4k2t2 -4(t2 -3)(3+k 2)= 48k2-36(3+k 2)> 0,2解得 k > 9.令 3+k 2=m ,则 m> 12,且 k2=m- 3,即有-3,由 m>12,可得 -3< -3<.则的取值范围是.7.解(1) 由题知F,|FA|= 3+ ,则 D (3+p ,0),FD 的中点坐标为,则= 3,解得 p= 2,故 C 的方程为 y2= 4x.(2) 依题可设直线AB 的方程为x=my+x 0 (m≠ 0),A(x1,y1),B(x2,y2 ),则 E(x2 ,-y2),由消去 x,得 y2-4my-4x0= 0.∵x0≥,∴Δ=16m2+ 16x0> 0,y1 +y 2= 4m,y1 y2=- 4x0,设 P 的坐标为 (x P,0),则 = (x2-x P,-y2),= (x1-x P,y1),由题知,因此 (x2-x P)y1+y 2(x1-x P)= 0,即 x2y1+y 2x1= (y1+y 2)x P=,明显y1+y 2 = 4m≠ 0,因此 x P==-x 0,即证 x P(-x0,0).由题知△ EPB 为等腰直角三角形 ,因此 k AP= 1,即=1,也即= 1,因此 y1-y2= 4,∴(y1+y 2)2- 4y1y2= 16,即 16m2+ 16x0= 16,m2= 1-x0,x0< 1,又由于 x0≥,因此≤x0< 1,d=,令=t ∈,x0= 2-t2 ,d=-2t,易知 f(t)= - 2t 在上是减函数 ,因此 d∈.。

专题对点练 24 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.已知动圆M 恒过点 (0,1),且与直线y=- 1 相切 .(1)求圆心 M 的轨迹方程 ;(2)动直线 l 过点 P(0,-2),且与点 M 的轨迹交于 A,B 两点 ,点 C 与点 B 对于 y 轴对称 ,求证 :直线 AC 恒过定点 .2.已知椭圆Γ:+y 2=1(a> 1)与圆 E:x2+= 4 订交于 A,B 两点 ,且 |AB|= 2 ,圆 E 交 y 轴负半轴于点 D.(1)求椭圆Γ的离心率 ;(2)过点 D 的直线交椭圆Γ于 M,N 两点 ,点 N 与点 N'对于 y 轴对称 ,求证 :直线 MN' 过定点 ,并求该定点坐标 .3.已知抛物线E:y2= 4x的焦点为F,圆C:x2+y2-2ax+a2-4= 0,直线l与抛物线E交于A,B两点,与圆C切于点 P.(1)当切点 P 的坐标为时,求直线 l 及圆 C 的方程 ;(2)当 a= 2 时 ,证明 :|FA|+|FB|-|AB| 是定值 ,并求出该定值 .4.设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(a∈ R),已知当a= 1时,动圆N过点M且与直线x=- 1相切,记动圆 N 的圆心 N 的轨迹为 C.(1)求曲线 C 的方程 ;(2)当 a> 2 时 ,若直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0 ,y0)(y0> 0),且 l 与以定点 M 为圆心的动圆M 也相切 ,当动圆 M 的面积最小时 ,证明 :M,P 两点的横坐标之差为定值 .5.已知椭圆M := 1(a>b> 0)的焦距为 2 ,离心率为.(1)求椭圆 M 的方程 ;(2)若圆 N:x2+y 2=r 2上斜率为 k 的切线 l 与椭圆 M 订交于 P,Q 两点 ,OP 与 OQ 可否垂直 ?若能垂直 ,恳求出相应的 r 的值 ; 若不可以垂直 ,请说明原因 .6.已知椭圆= 1(a>b> 0)的右焦点为F,右极点为A,上极点为B,已知 |AB|=|OF| ,且△ AOB 的面积为.(1)求椭圆的方程 ;(2) 直线 y= 2 上能否存在点 Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线互相垂直 ?若存在 ,求点 Q 的坐标 ;若不存在 ,说明原因 .专题对点练24 答案1.(1)解∵动点 M 到直线 y=- 1 的距离等于到定点C(0,1) 的距离 ,∴动点 M 的轨迹为抛物线 ,且 = 1,解得 p= 2,∴动点 M 的轨迹方程为 x2= 4y.(2) 证明由题意可知直线l 的斜率存在 ,设直线 l 的方程为 y=kx- 2,A(x1,y1),B(x2 ,y2),则 C(-x2,y2).联立化为 x2- 4kx+ 8=0,Δ=16k2-32> 0,解得 k>或 k<- .∴x1+x 2= 4k,x1x2= 8.直线 AC 的方程为 y-y2=-(x+x 2),又 y1 =kx1-2,y2=kx 2-2,∴4k-4k(kx2-2)= (kx1-kx2)x+kx 1x2-k,化为 4y= (x1-x2) x+x2 (4k-x2),∵x1= 4k-x2 ,∴4y= (x1-x2)x+ 8,令 x= 0,则 y= 2,∴直线 AC 恒过必定点 (0,2).2.(1)解由题意得 A,B 两点对于 y 轴对称 ,设 x B=,则圆心 E 到 AB 的距离为 1,∴y B= ,∴ B,代入椭圆方程得= 1,解得 a2= 4,∴e= .(2) 证明设 M(x1,y1),N(x2,y2),N'(-x2,y2) .圆 E 交 y 轴负半轴于点 D,当直线 MN 斜率存在时 ,设其方程为 y=kx-消去 y 得 (1+ 4k2)x2- 4kx- 3= 0.∴x1+x 2=,x1x2=,直线 MN' 的方程 y-y1=(x-x1),依照椭圆的对称性 ,若直线 MN' 过定点 ,定点必定在 y 轴上 ,令 x= 0,y=y 1-=- 2.当直线 MN 斜率不存在时 ,直线 MN' 的方程为 x=0,明显过点 (0,-2).综上 ,直线 MN'过定点 (0,-2).3.(1)解由圆 (x-a) 2+y 2=4,则圆心 (a,0),半径为 2,将 P代入圆方程 ,解得 a= 2 或 a=- ,∴圆的方程为 ( x-2)2+y 2=4 或+y 2= 4,当 a= 2,圆心 C(2,0), 则直线 CP 的斜率 k= =- ,由直线 l 的斜率为 -,则直线 l 的方程 y-,整理得 4y-3x-4= 0;当 a=- ,圆心 C,则直线 CP 的斜率 k=,由直线 l 的斜率为 -=- ,则直线 l 的方程 y-=-,整理得 20y+15x-44= 0,综上可知 ,直线 l 方程为 4y-3x-4= 0,圆 C 的方程为 (x-2)22+y = 4,或直线 l 方程为 20y+ 15x-44= 0,圆 C 的方程为+y 2 =4;2 2(2)证明当 a= 2 时 ,圆 C 的方程 (x-2) +y = 4,当 l 垂直于 x 轴时 ,则 x= 4,A(4,4),B(4,-4),∴|FA|=|FB|= 5,|AB|= 8,∴|FA|+|FB|-|AB|= 2;当 l 不垂直于 x 轴时 ,设直线 l:y=kx+b (k≠0),直线 l 与圆 C 相切 ,则= 2,则 4kb+b 2= 4,联合图象知 kb<b (图略 ).则整理得 k2x2+ (2kb-4)x+b 2= 0,由 Δ=(2kb-4) 22 222,x 1x 2= ,-4k b =- 16kb+ 4(4kb+b )= 4b > 0,x 1+x 2=- |AB|=== ==,由抛物线的性质可知|FA|+|FB|=x 1+x 2+p=x 1+x 2+ 2, ∴|FA|+|FB|=-+2,∴|FA|+|FB|-|AB|=- + 2- = 2, ∴|FA|+|FB|-|AB| 是定值 ,定值为 2.4.(1) 解 由于圆 N 与直线 x=- 1 相切 ,因此点 N 到直线 x=- 1 的距离等于圆 N 的半径, 因此点 N 到点 M(1,0)的距离与到直线 x=- 1 的距离相等 . 因此点 N 的轨迹为以点 M(1,0)为焦点 ,直线 x=- 1 为准线的抛物线 ,因此圆心 N 的轨迹方程 ,即曲线 C 的方程为 y 2= 4x.(2) 证明 由题意 ,直线 l 的斜率存在 ,设直线 l 的方程为 y-y 0=k (x-x 0 ),由得 y 2 -y-kx 0+y 0= 0,2又 = 4x 0,因此 y -y-+y 0= 0.由于直线 l 与曲线 C 相切 ,因此 Δ=1-k= 0,解得 k= .因此直线 l 的方程为 4x-2y 0y+ = 0.动圆 M 的半径即为点 M(a,0)到直线当动圆 M 的面积最小时 ,即 d 最小 ,l 的距离d=.而当 a> 2 时,d=≥2 .当且仅当 = 4a-8,即 x 0=a- 2 时取等号 , 因此当动圆 M 的面积最小时 ,a-x 0= 2,即当动圆 M 的面积最小时 ,M,P 两点的横坐标之差为定值 .5.解 (1) 依题意椭圆 M: = 1(a>b> 0)的焦距为 2,离心率为 .得 c=,e=,可得 a= 2,则 b= 1,故椭圆的方程为+y 2= 1.22(2) 设直线 l 的方程为∵= 1 相切 ,y=kx+m , 直线 l 与圆 x+y ∴22 2①=r ,即 m =r (k + 1).由 可得 2 22(1+ 4k ) x +8kmx+ 4m -4= 0,Δ=64k 2m 2-4(1+ 4k 2)(4m 2-4)= 64k 2-16m 2 +16> 0,∴m 2<4k 2+ 1,可得 r 2< 4.令 P(x1 ,y1),Q(x2 ,y2),则 x1+x 2=,x1x2=,y1y2= (kx1+m)( kx2+m )=k 2x1x2 +km (x1+x 2)+m 2,若 OP与 OQ 能垂直 ,则=x 1x2+y 1y2= 0,∴(1+k 2) x1x2+km (x1 +x 2)+m 2=0,(1+k 2)+m 2= 0,整理得5m2-4(k2+ 1)= 0,把①代入得 (k2+ 1)(5r 2-4)= 0,∴r=,知足 r2< 4,∴OP 与 OQ 能垂直 .6.解(1)∵椭圆= 1(a>b>0)的右焦点为 F,右极点为 A,上极点为 B,已知 |AB|=|OF| ,且△ AOB 的面积为,∴c, ab= ,∴ a= 2,b= ,∴椭圆方程为= 1.(2)假定直线 y=2 上存在点 Q 知足题意 ,设 Q(m,2),当 m=± 2 时 ,从点 Q 所引的两条切线不垂直.当 m≠±2 时 ,设过点 Q 向椭圆所引的切线的斜率为k,则 l 的方程为 y=k(x-m)+ 2,代入椭圆方程 ,消去 y,整理得 (1+ 2k2)x2-4k(mk-2)x+ 2(mk-2)2-4= 0,2222∵Δ=16k (mk-2) -4(1+ 2k )[2( mk-2) -4] =0,∴( m2-4)k2-4mk+ 2= 0.设两条切线的斜率分别为 k1,k2,则 k1 ,k2是方程 (m2-4)k2-4mk+ 2= 0 的两个根 ,∴k1k2==- 1,解得 m=±,点Q坐标为(,2)或 (- ,2).∴直线 y=2 上两点 (,2),(-,2)知足题意 .。

专题对点练组合练(限时分钟,满分分)一、选择题(共小题,满分分).直线与圆()()相交所得弦长为()...圆的圆心到直线的距离为,则()..圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是().已知直线(∈)是圆的对称轴,过点()作圆的一条切线,切点为,则为().若直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()....已知点()是直线(>)上一动点是圆的两条切线为切点,若四边形面积的最小值是,则的值是()...(全国Ⅲ,文)已知双曲线(>>)的离心率为,则点()到的渐近线的距离为()...已知双曲线(>>)的右焦点为,点在双曲线的渐近线上,△是边长为的等边三角形(为原点),则双曲线的方程为().已知离心率为的双曲线(>>)的左、右焦点分别为是双曲线的一条渐近线上的点,且⊥为坐标原点,若,则双曲线的实轴长是()二、填空题(共小题,满分分).设抛物线的焦点为,准线为,已知点在上,以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点,若∠°,则圆的方程为. .(江苏)在平面直角坐标系中,若双曲线(>>)的右焦点()到一条渐近线的距离为,则其离心率的值为..(浙江)已知点(),椭圆(>)上两点满足,则当时,点横坐标的绝对值最大.三、解答题(共个题,满分分别为分分分).已知在三角形中()(),且.()求动点的轨迹的方程;()为轨迹上动点,△的外接圆为☉(为圆心),当在上运动时,求点到轴的距离的最小值..已知点(),椭圆(>>)的离心率为是椭圆的右焦点,直线的斜率为为坐标原点.()求的方程;()设过点的动直线与相交于两点,当△的面积最大时,求的方程..已知椭圆(>>)的左焦点为(),右顶点为,点的坐标为(),△的面积为.()求椭圆的离心率;()设点在线段上,延长线段与椭圆交于点,点在轴上∥,且直线与直线间的距离为,四边形的面积为.①求直线的斜率;②求椭圆的方程.专题对点练答案解析圆()()的圆心坐标为(),半径,圆心到直线的距离,故弦,故选.解析由,得()(),所以圆心坐标为().因为圆的圆心到直线的距离为,所以,解得,故选.解析由,得()(),∴圆半径.圆上的点到直线的最大距离与最小距离分别是,其两者之差即为圆的直径,故圆的点到直线的最大距离与最小距离的差是,故选.解析由,得()(),∴圆心().由题意可得,直线经过圆的圆心(),则,∴,故点().∵,∴切线的长.解析圆的内接四边形对角互补,因为轴与轴垂直,所以与垂直.所以××,解得,直线与坐标轴的交点为(),(),与坐标轴的交点为,(),两直线的交点纵坐标为,。

专题对点练7导数与不等式及参数范围1.已知函数f(x)= x2+(1-a)x-a ln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a<0,若对∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.2.设函数f(x)=(1-x2)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.3.(2018北京,文19)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.4.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.专题对点练7答案1.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x+1-a-,若a≤0,则f'(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)内单调递增;若a>0,则由f'(x)=0得x=a,当0<x<a时,f'(x)<0,当x>a时,f'(x)>0,此时f(x)在(0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增.(2)不妨设x1≤x2,而a<0,由(1)知,f(x)在(0,+∞)内单调递增,∴f(x1)≤f(x2),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|⇔4x1-f(x1)≥4x2-f(x2),令g(x)=4x-f(x),则g(x)在(0,+∞)内单调递减,∵g'(x)=4-f'(x)=4--x+3+a,∴g'(x)= -x+3+a≤0对∀x∈(0,+∞)恒成立,∴a≤对∀x∈(0,+∞)恒成立,∴a≤.又=x+1+-5≥2-5=-1,当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.∴a≤-1,故a的取值范围为(-∞,-1].2.解(1)f'(x)=(1-2x-x2)e x.令f'(x)=0得x=-1-,x=-1+.当x∈(-∞,-1-)时,f'(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时,f'(x)>0;当x∈(-1+,+∞)时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)内单调递减,在(-1-,-1+)内单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)e x.当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)e x,h'(x)=-x e x<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)内单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.当0<a<1时,设函数g(x)=e x-x-1,g'(x)=e x-1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0,故e x≥x+1.当0<x<1时,f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.综上,a的取值范围是[1,+∞).3.解(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x,所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x.所以f'(2)=(2a-1)e2.由题设知f'(2)=0,即 (2a-1)e2=0,解得a=.(2)(方法一)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x=(ax-1)(x-1)e x.若a>1,则当x∈时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+∞).(方法二)由(1)得f'(x)=(ax-1)(x-1)e x.当a=0时,令f'(x)=0,得x=1.f'(x),f(x)随x∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.当a>0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.①当x1=x2,即a=1时,f'(x)=(x-1)2e x≥0,∴f(x)在R上单调递增,∴f(x)无极值,不合题意.②当x1>x2,即0∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.③当x1<x2,即a>∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.当a<0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.f'(x),f(x)随x∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).4.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= +2ax+2a+1=.若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.若a<0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x) <0.故f(x)在单调递增,在单调递减.(2)证明由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-取得最大值,最大值为f=ln-1-.所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,即ln+1≤0.设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)= -1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln+1≤0,即f(x)≤--2.。

专题对点练23圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018全国Ⅰ,文20)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.2.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y-1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右交点分别为F1,F2,且|F1F2|=4,A是椭圆上一点.(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值;(2)若T为椭圆C上异于顶点的任意一点,M,N分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线TM与y轴交于点P,直线TN与x轴交于点Q,求证:|PN|·|QM|为定值.5.已知圆O:x2+y2=r2,直线x+2y+2=0与圆O相切,且直线l:y=kx+m与椭圆C:+y2=1相交于P,Q 两点,O为坐标原点.(1)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A,B两点,且∠AOB=60°,求直线l的方程;(2)如图,若△POQ的重心恰好在圆上,求m的取值范围.6.已知椭圆C与双曲线y2-x2=1有共同焦点,且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.①求证:直线MN恒过定点,并求出该定点坐标;②若O为坐标原点,求的取值范围.7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为等边三角形时,求C的方程;(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0),记点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为(-x0,0),并求点P到直线AB的距离d的取值范围.专题对点练23答案1.(1)解当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)证明当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为k BM+k BN=.①将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)==0.所以k BM+k BN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.2.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.解(1)由题意可知P(4,0),Q,|QF|=,由|QF|=|PQ|,则,解得p=2,∴抛物线的方程为x2=4y.(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),D(x2,y2),联立整理得x2-4kx-4=0,则x1x2=-4,由y=x2,求导y'=,直线MA:y-(x-x1),即y=x-,同理求得MD:y=x-,联立解得则M(2k,-1),∴M到l的距离d==2,∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM·S△CDM=|AB||CD|·d2= (|AF|-1)(|DF|-1)·d2=y1y2d2=·d2=1+k2≥1,当且仅当k=0时取等号,当k=0时,△ABM与△CDM的面积之积取最小值1.4.(1)解由已知得c=2,F1(-2,0),F2(2,0),∴2a=|AF1|+|AF2|=+=8.∴a=4,∴b2=a2-c2=4,e=.∴椭圆C的标准方程为=1,e=.(2)证明T(x0,y0)(x0≠0,y0≠0),则=1.M(4,0),N(0,2),∴直线TN的方程为y-2=x,令y=0,得Q,直线TM的方程为y=(x-4),令x=0,得P.则|MQ|=,则|PN|=.|QM|·|PN|==16,∴|PN|·|QM|为定值16.5.解(1)∵直线x+2y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,∴r=,∴x2+y2=.∵左焦点坐标为F(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),由∠AOB=60°,得圆心O到直线l的距离d=.又d=,∴,解得k=±,∴直线l的方程为y=±(x+1).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.由Δ>0,得2k2+1>m2,(※)且x1+x2=-.由△POQ重心恰好在圆x2+y2=上,得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4, 即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,即(1+k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4.∴+4m2=4,化简得m2=,代入(※)得k≠0.又m2==1+=1+.由k≠0,得>0,∴>0,∴m2>1,得m的取值范围为m<-1或m>1.6.解(1)设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),由题意可得a2-b2=2,e=,c=,解得a=,b=1,即有椭圆的标准方程为+x2=1;(2)①证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),由A(0,-),直线AM与AN的斜率之积为1,可得=1,即有x1x2=y1y2+(y1+y2)+3,由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN:y=kx+t,代入椭圆方程,可得(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得x1x2=,x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t-,y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2·+kt+t2=,则+3,化为t2+3t+6=0,解得t=-2(-舍去),则直线MN的方程为y=kx-2,即直线MN恒过定点,该定点坐标为(0,-2);②由①可得=x1x2+y1y2==,由(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得Δ=4k2t2-4(t2-3)(3+k2)=48k2-36(3+k2)>0,解得k2>9.令3+k2=m,则m>12,且k2=m-3,即有-3,由m>12,可得-3<-3<.则的取值范围是.7.解(1)由题知F,|FA|=3+,则D(3+p,0),FD的中点坐标为, 则=3,解得p=2,故C的方程为y2=4x.(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2),由消去x,得y2-4my-4x0=0.∵x0≥,∴Δ=16m2+16x0>0,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,设P的坐标为(x P,0),则=(x2-x P,-y2),=(x1-x P,y1),由题知,所以(x2-x P)y1+y2(x1-x P)=0,即x2y1+y2x1=(y1+y2)x P=,显然y1+y2=4m≠0,所以x P==-x0,即证x P(-x0,0).由题知△EPB为等腰直角三角形,所以k AP=1,即=1,也即=1,所以y1-y2=4,∴(y1+y2)2-4y1y2=16,即16m2+16x0=16,m2=1-x0,x0<1,又因为x0≥,所以≤x0<1,d=,令=t∈,x0=2-t2,d=-2t,易知f(t)= -2t在上是减函数,所以d∈.。

专题对点练1选择题、填空题的解法一、选择题1.方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是()A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<02.设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r= [f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q3.在等差数列{a n}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为()A.{1}B.C. D.4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则等于()A. B. C. D.5.已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数x,都有f(1+x)=f(1-x),且f(x)在(-∞,1]上单调递增.若x1<x2,且x1+x2=3,则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)>f(x2)D.不能确定6.已知O是锐角△ABC的外接圆圆心,A=60°,=2m·,则m的值为()A. B.C.1D.7.设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是()A.B.[0,1]C.D.[1,+∞)8.(2018陕西一模)设x∈R,定义符号函数sgn x=则函数f(x)=|x|sgn x的图象大致是()9.已知f(x)=log a(x-1)+1(a>0,且a≠1)恒过定点M,且点M在直线=1(m>0,n>0)上,则m+n的最小值为()A.3+2B.8C.4D.410.已知直线l与双曲线-y2=1相切于点P,l与双曲线两条渐近线交于M,N两点,则的值为()A.3B.4C.5D.0二、填空题11.设a>b>1,则log a b,log b a,log ab b的大小关系是.(用“<”连接)12.不论k为何实数,直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是.13.函数f(x)=4cos2cos-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.14.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=.15.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数记为f'(x),若对于∀x∈R,有f(x)>f'(x),且y=f(x)-1是奇函数,则不等式f(x)<e x的解集为.16.设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=则f(x)的值域为.专题对点练1答案1.C解析当a=0时,x=-,符合题意,排除A,D;当a=1时,x=-1,符合题意,排除B.故选C.2.C解析f(x)=ln x是增函数,根据条件不妨取a=1,b=e,则p=f()=ln,q=f>f()=,r=·[f(1)+f(e)]=.在这种特例情况下满足p=r<q,所以选C.3.B解析∵是一个与n无关的常数,∴结合选项令=1,则数列{a n}是一个常数列,满足题意;令,设等差数列的公差为d,则a n=a2n= (a n+nd),∴a n=nd,即a1+(n-1)d=nd,化简,得a1=d,也满足题意;=0,则a n=0,a2n=0,不满足题意.故选B.4.B解析(法一)由题意可取特殊值a=3,b=4,c=5,则cos A=,cos C=0,.故选B.(法二)由题意可取特殊角A=B=C=60°,cos A=cos C=.故选B.5.C解析由f(1+x)=f(1-x)知,函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又f(x)在(-∞,1]上单调递增,所以f(x)在[1,+∞)上单调递减.设点A(x1,0),B(x2,0).因为x1<x2,且x1+x2=3,所以点A在点B的左侧,且AB的中点坐标为,所以结合图象可知(图略),f (x1)>f(x2).6.A解析对任意锐角三角形,题干中的等式都成立,则对等边三角形,题干中的等式也应成立.如图,当△ABC为正三角形时,则∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°.取BC的中点D,连接AD,由题意可知,则有=2m·.∴)=2m×.∴·2.∴m=.故选A.7.C解析当a=2时,f(a)=f(2)=22=4>1,f(f(a))=2f(a),∴a=2满足题意,排除A,B选项;当a=时,f(a)=f=3×-1=1,f(f(a))=2f(a),∴a=满足题意,排除D选项,故答案为C.8.C解析函数f(x)=|x|sgn x=故函数f(x)=|x|sgn x的图象为y=x所在的直线,故选C.9.A解析因为f(x)=log a(x-1)+1(a>0,且a≠1)恒过定点M(2,1),所以M(2,1)在直线=1上,可得=1,m+n=(m+n)=3+≥3+2当且仅当,m+n的最小值为3+2,故选A.10.A解析取点P(2,0),则M(2,1),N(2,-1),∴=4-1=3,取点P(-2,0),则M(-2,1),N(-2,-1),∴=4-1=3,故选A.11.log ab b<log a b<log b a解析考虑到两个数的大小关系是确定的,不妨令a=4,b=2,则log a b=,log b a=2,log ab b=,显然<2,∴log ab b<log a b<log b a.12.[-1,3]解析由题知2a+4>0,则a>-2.注意到直线y=kx+1恒过定点(0,1),所以题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,则有02+12-2a·0+a2-2a-4≤0,即a2-2a-3≤0,解得-1≤a≤3.综上,-1≤a≤3.13.2解析由题意可得f(x)=4cos2·sin x-2sin x-|ln(x+1)|=2sin x·-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|.令f(x)=0,得sin 2x=|ln(x+1)|.在同一平面直角坐标系中作出两个函数y=sin 2x与函数y=|ln(x+1)|的大致图象,如图所示.观察图象可知,两函数图象有2个交点,故函数f(x)有2个零点.14.-8解析根据函数特点取f(x)=sin x,再由图象可得(x1+x2)+(x3+x4)=(-6×2)+(2×2)=-8.15.(0,+∞)解析由题意令g(x)=,则g'(x)=.∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,故函数g(x)=在R上单调递减.∵y=f(x)-1是奇函数,∴f(0)-1=0,即f(0)=1,g(0)=1,则不等式f(x)<e x等价为<1=g(0),即g(x)<g(0),解得x>0.16.∪(2,+∞)解析由x<g(x),得x<x2-2,∴x<-1或x>2;由x≥g(x),得x≥x2-2,∴-1≤x≤2.∴f(x)=即f(x)=当x<-1时,f(x)>2;当x>2时,f(x)>8.∴当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数的值域为(2,+∞).当-1≤x≤2时,-≤f(x)≤0.∴当x∈[-1,2]时,函数的值域为.综上可知,f(x)的值域为∪(2,+∞).。