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九年级数学上册《一元二次方程》知识点总结人教版21.1一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0.其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x2=a的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=?a.（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或2=p形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数；⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
21.2.2公式法知识点一公式法解一元二次方程（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=?b?b2a2?4ac，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
《一元二次方程》小结与复习学 习 目 标1、一元二次方程的相关概念；2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；学习重点 运用知识、技能解决问题。
学习难点解题分析能力的提高．教 学 互 动 设 计一、知识梳理1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0(a ≠0)，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数，bx是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。
3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法4、一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式是△= b 2-4ac ，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。
5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）当⊿=b 2-4ac ≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式为x =242b b ac a-±-；若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2=a b -，x 1•x 2=ac 。
若一元二次方程2x +px +q =0的两根为1x 、2x ，则：x 1＋x 2== -p ， x 1•x 2= q 。
6、一元二次方程的应用。
二、基本知识训练1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是【 C 】 A ．2210x x+= B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+= D ．223250x xy y --= 2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x 米，则可列方程为x (x ＋10)＝200，化为一般形式为x 2+10x -200=0。
《一元二次方程》小结与复习学 习 目 标 1、一元二次方程的相关概念；2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；5、构造一元二次方程解决简单的实际问题； 学习重点 运用知识、技能解决问题。
学习难点解题分析能力的提高．教 学 互 动 设 计一、知识梳理1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0(a ≠0)，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。
3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法4、一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式是△= b 2-4ac ，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。
5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）当⊿=b 2-4ac ≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式为x =242b b aca-±-；若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2=a b -，x 1•x 2=ac 。
若一元二次方程2x +px +q =0的两根为1x 、2x ，则：x 1＋x 2== -p ， x 1•x 2= q 。
6、一元二次方程的应用。
二、基本知识训练1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是【 C 】 A ．2210x x+= B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+= D ．223250x xy y --= 2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x 米，则可列方程为x (x ＋10)＝200，化为一般形式为x 2+10x -200=0。
一元二次方程的解法复习教学目标掌握一元二次方程的解法，会选择合适的方法解一元二次方程教学重难点选择合适的方法解一元二次方程教学过程一、课前热身解下列方程：1. X2-7x=02. X2+12x=273. x(x-2)+x-2=04. X2+x-2=45. 5X2-2x-41= X2-2x+436. 4(x+2)2=9(2x-1)2二、归纳总结：1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义2x p=或2()mx n p+=(0)p≥配方法完全平方公式所有的一元二次方程公式法配方法所有的一元二次方程因式分解法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程3、一般考虑选择方法的顺序是：直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法4、公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。
三、例题分析1、直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
2．配方法移项，把常数项移到方程右边；配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；利用直接开平方法解之。
例2．用配方法解方程3x2-4x-2=03．公式法把一元二次方程化成一般形式，求出a、b、c，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
第二十二章一元二次方程一、教材分析本章主要介绍了一元二次方程及有关概念，一元二次方程的解法，运用一元二次方程分析和解决实际问题。
其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。
方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习作好准备。
数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固。
知识清单(一)一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念1、一元二次方程概念一元二次方程是(1)都只含一个未知数x(2)它们的最高次数都是2次的(3)?都有等号，是方程.因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程一般式及有关概念一般地，任何一个关于x的一元二次方程，？经过整理，？都能化成如下形式ax2+bx+c=0 (a^ 0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a^0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号(二)一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法解形如x2=p (p >0)，那么x=± J p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n) 2=p (p>0)，那么mx+n=± J p，达到降次转化之目的.若p v0则方程无解。
2、配方法配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1; (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q》0，方程的根是x=-p±V q;如果q v 0,方程无实根。
3、公式法一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=C，当b2-4ac>0时，？将a b、c代入式子x^b b 4ac就得到方程的根.(公式所出现的运2a算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
第22章单元小结与复习| ： 丫本章知识梳理厂概念：形如ctx 2+ bx + c =0( 7^0)的整式方程 配方法——配成完全平方的形式 ■解法，公式法——釦,2二-仏密-4吆(员_4«^0)因式分解法 ---- 若a • b 二0,贝U a 二0或b 二0 f 丄上＞0o 方程有两个不相等的实数根 根的判别式［ 9 d =0u ＞方程有两个相等的实数根 打(△二 b -4ac) 1根］ M ＜0o 方程没有实数根 才艮与系数的关系：兀］+卷=-—,^i • x 2 =—J CL d「列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、检、答一元二次方程核心考点聚焦考点1 一元二次方程的有关概念关于北的一兀—次方程（。
-1）/+% + a -1= 0的一个根是0,则实数。
的值为（A ）A. -1B.OC. 1D. - 1 或1分析:把x =0代入方程，得\a \ -1 =0,a = ± 1.*.* a - 1 工0,・ \ （I ~—• 1 . !考点2 —元二次方程的解法4=0,配方后得到的方程是（D ）A. （x-2）2 =0B.（北―2）2 二6C. （x -2）2 二4D.（X -2尸二8（2）方程久（％-2）+%-2二0的解是（D ）A. x = 2D.街二2 二—13+再3-仔(3)方程x -3% + 1 -0的解是 ________考点3根的判别式、根与系数的关系(1)若关于兀的一兀二次方程/ + 4% +«=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是«<4 ；考点4 —元二次方程的应用某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？分析:（1）设甲队单独完成需要久个月，则乙队单独完成需要（兀-5）个月，根据题意列出关系式，求出兀的值即可；解：（1）设甲队单独完成需要兀个月，则乙队单独敬需要仏_5）个月,由题魯x（ % - 5）二6（% + 兀一5），解得衍二15*2二2（不合题意，舍去）.贝% - 5 = 10.(2)如果甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元,在保证工程质量的前提下,为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？(甲、乙两队的施工时问按月取整数)(2)设甲队施工y个月，则乙队施工亠y个月，根据工程款不超过1500万元,列岀一元一次不等式，解不等式求最大值即可.(2)设甲队施工y 个月，则乙队施工宁y 个月，由 题意，得 100y +(100 +50)£wl500,解得 yW 答：(1)甲队单独完成这项工程需要15个月，则 乙队单独完成这项工程需要10个月；(2)完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使 工程款不超过1500万元. 施工时间按月取整数,•••yw60 T◎单元过关自测一、选择题1.下歹！1关于兀的方程：①+/）北+c二0；②3（咒-9）2 -（% + 1）2 =1；③/ + 丄+5=0；④%$ — 2 + 5x3—6=0；X⑤3/二3（咒-2）匕⑥12咒-10二0.其中一元二次方程的个数是（A ）A.lB.2C.3D.42.（2017新疆）已知关于久的方程/ + % 二0的一个根为2,则另一个根是（A ）A. -3B. -2C.3D.63.已知一兀二次方程的两根分别是2和- 3,则这个一元二次方程是（D ）A. x2 -6% + 8 =0B. %2 +2% - 3 =0C.%2— x—6 = 0D.%2+ x - 6 = 04.若方程x -41； - 1 =0的两根分别是咒i，兀2,则分+%2的值为A.6B. —6C.18(C )D. -185.(2017咸宁)已知a、b、c为常数，点P(a,c)在第二象限，则关于先的方程ax2^bx+c= 0根的情况是A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法判断(B )6.解方程（rr-1）2 -5（^-1） +4=0时，我们可以将兀-1看成一个整体，设％ - 1二了,则原方程可化为y -5y + 4 = 0,解得力=l,y2 =4.当y = 1 时，即兀- 1 = 1，解得咒=2；当歹二4时，即x -1 =4,解得尤二5,所以原方程的解为Xi二2 ,%2二5.则利用这种方法求得方程（2久+5尸- 4（ 2咒+ 5） + 3二0 的解为（D ）A. =1 = 3 B •光［=一2,咒2 = 3C •%］二一3,先° 二一1 D«x］二一1 x二一2二、填空题7.（2017荷泽）关于先的一元二次方程1）/ +6x+k2 -k=0的一个根是0,则A：的值为0 .8.若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程-7%+ 12 = 0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为—•9.某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛.设比赛组织者应邀请%个队参赛，则兀满足的方程为x(x -1) =2 x5210. 有一块长20cm 、宽10cm 的长方形铁片，如果在铁 皮的四个角上裁去四个相同的小正方形，然后把 四边折起来，做成一个底面积为96cn?的无盖的 盒子,则这个盒子的容积为192 cm 3. 【解析】设裁去的小正方形的边长为咒cm,则(20 - 2x)(10-2x)二96,这个盒子的容积是96 x2二192(cm').11 •关于x的一兀二次方程kx2 + 3% + 2二0有两个不相疋＜2且等的实数根，则k的取值范围是____________ .12.若关于x的一元二次方程mx2 -2x -1二0无实数根，则一次函数y = (m + l)%-7n的图象不经过第三象限三、解答题13.解下列方程：(1)2x2一4% + 1=0；解:旺=2 ；雄,“2(2)x(2%+ 1) = -解：曲=y =3.14.（2017 鄂州）关于％的方程/ - （2k-\）x +k2 -2k+3=0有两个不相等的实数根.（1）求实数的取值范围；解:（1）•・•方程有两个不相等的实数根，・•・△ = [ 一（2吃一1）]2 一4（班2 -2k+3）=4Jl-ll >0,解得(2)设方程的两个实数根分别为叼、衍，存不存在这样的实数仁使得* I - l^2 I =6?若存在，求出这样的人值;若不存在，说明理由. ________________(2)存在,理由如下：・•• （2比一1）2 -4（氐2 —2氐+3） =5,解得直=4・W15.冬至过后,昼夜温差逐渐加大，山城的市民们已然感受到了深冬的寒意•在还未普遍使用地暖供暖设备的山城，小型电取暖器仍然深受市民的青睐. 某电器专卖店销售壁挂式电暖器和卤素/石英式取暖器（俗称“小太阳”），其中壁挂式电暖器的售价比“小太阳”售价的5倍还多100元,2017年12月份壁挂式电暖器和“小太阳”共销售500台, 壁挂式电暖器与“小太阳”销量之比是4： 1,销售总收入为58.6万元.（1）分别求出每台壁挂式电暖器和“小太阳”的售价；解:（1）设每台小太阳为兀元，则每台壁挂式电暖器的售价为（5兀+100）元,2017年12月份共销售500台，壁挂式电暖器与“小太阳”销量之比是4： 1,••・壁挂式电暖器与“小太阳”销量分别为400台和100台,根据题意,得400 (5x +100) + 100x = 586000,解得x=260,r. 5x +100 =1400(元).(2)随着元旦、春节的来临和气温的回升，销售进入淡季,2018年1月份，壁挂式电暖器的售价比2017年12月下调了4尬％ ,根据经验销售量将比2017年12月下滑6肌％，而“小太阳”的销售量和售价都维持不变，预计销售总收入将下降到16.04万元，求肌的值.(2)根据题意，得400(1 -6m%) X 1400 x (1 -4m% ) +100 x 260 = 160400, 解得皿］=10,加2孝(不合题意，舍去).答：(1 )每台壁挂式电暖器和“小太阳”的售价分别为1400元,260元;(2)加的值为10.(2)若两个不等实数/n、7i满足条件肿-二0山丄一2几一1二0 ,则m + n的值是_ 6 .分析:(1 )/1 = 16 -4a >0,解得 a <4； (2)由题意知,肌、"是关于%的方程X* 2 -2x -1 =0的两个根，贝I」2 2 2m + n = 2 , mn = 一1,「・«r+rT：=(rM+7i)〜-2mn = 6・。
《一元二次方程》小结与复习所以原方程的解为x1=－3，x2=2．16、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解之得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．17、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林先制定阶段性目标—找到明确的努力方向每个人的一生,多半都是有目标的,大的目标应该是一个十年、二十年甚至几十年为之奋斗的结果,应该定得比较远大些,这样有利于发挥自己的潜能。
但由于某些不确定因素的存在,人生目标不一定非常具体详细,只要有一个明确的方向就可以。
而对于中学生来说,你们的目标应该是进入自己理想中的学校。
因此,每个学生都会为自己制定一个学习目标,学习目标可以分为两方面内容：一是阶段性目标,如自己要知道学习到底是为了什么?为自己、为父母,或是为其他需要感激和感恩的人?为了将来的发展,为了上大学,为了证明自己的价值?这都是很不错的理由。
只要你认为,它可以给你带来源源的动力,促使你向着自己希望的方向去发展,去努力,就可以当作自己的目标确定下来。
可以说,这是人生中的阶段性目标。
二是步骤性目标,由步骤性目标最终才能实现自己学习的总目标。
比如,这一节课必须掌握哪些知识,一天的复习要包括哪些内容,一个月的学习要达到什么效果。
小到一小时,大到一月、一学期、一年,都要有目标,只有这样,才可以不懈怠,不放松,一步一个脚印地朝着自己的最终目标前进。
第二十二章《一元二次方程》小结一、本章知识结构框图*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么）应用：（2不解方程可以求某些关于的对称式的值，通常利用到：当=0且≤0，两根互为相反数；当⊿≥0且=1，两根互为倒数。
第二十二章本章小结使用教师：王生雨第＿＿＿＿＿周星期＿＿＿＿＿＿＿＿年＿＿＿月＿＿＿日课前回顾：1、方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：__________________（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．2、解一元二次方程的基本思路是______,它的方法有________________________________,将一元二次方程转化为____________。
因式分法一元一次方程一元二次方程直接开平方的解法转化为的形式配方法公式法___________________(______________)3、一元二次方程的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根；其中，合称为方程有______．4、关于的一元二次方程的两根分别为、则，小结：用一元二次方程解决实际问题的步骤______________________________________课前预习:专题一、一元二次方程及有关概念问题1、方程是关于x的一元二次方程，则（）A．m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2变式题：若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A. m≠1B.m≥0C.m≥0且m≠1D.m为任意实数专题二、用适当的方法解一元二次方程问题2、(1)（3x-1）2=9 (2) 3x2－1=6x （3) 2x2+5x－3=0 （4）x2＋7x＋12=0专题三、含有字母系数的一元二次方程的根问题3、解关于x的方程x2＋mx＋2=mx2＋3x（m≠1）专题四、一元二次方程根的判别式的应用)(2≥=+nmx=x2=++cbxax()0≠a42≥-acbx02=++cbxax()0≠a1x2x_____21=+xx21xx⋅_____=()0132=+++mxxm m()112=+-xmxm转化问题4、求证方程(m －1)x 2＋3mx ＋m ＋1＝0 (m ≠1)，必有两个不相等的实数根．问题5、 如 果 关 于x 的 方 程 mx 2-2（m+2）x+m+5=0 没有实数根， 那么关于x 的方程（m-5）x 2-2（m+2）x+m=0的实根有几个？问题6、已知a 、b 、c 是三角形的三边，求证：方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0没有实数根． 证明：专题五、一元二次方程根与系数的关系应用问题7、解某一元二次方程，甲抄错一次项，得根为-2和-3，乙抄错常数项，得根为6和-1，那么正确的方程应是____．专题六、一元二次方程的应用问题1、一个两位数,十位数与个位数字之和是5，把这个数的个位数与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．问题2、一个长方形，它的长比宽的2倍还多1厘米，它的宽与另一正方形的边长相同，且这个长方形的面积比正方形的面积多72平方厘米，求此长方形与正方形的面积各是多少？问题3、某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.(1) 鸡场的面积能达到180m 2吗? (2) 鸡场的面积能达到200m 2吗? (3) 鸡场的面积能达到250m 2吗? 如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.问题4、华润商场销售某种电视机，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要使这种电视机的销售利润每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元？ 解题过程： 当堂检测： 1、填空：（1）当m 的值为_____时，方程是关于x 的一元二次方程。
精选初三上册数学第22章知识点复习：一元二次方程学好知识就需要平时的积累。
知识积累越多，掌握越熟练，查字典数学网编辑了精选初三上册数学第22章知识点复习：一元二次方程，欢迎参考!1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c; 其中a 、b，、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ=有两个不等的实根;Δ=0有两个相等的实根;Δ=无实根; 4.平均增长率问题--------应用题的类型题之一(设增长率为x)：(1)第一年为a ，第二年为a(1+x) ，第三年为a(1+x)2.(2)常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和。
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
只要这样踏踏实实完成每天的计划和小目标，就可以自如地应对新学习，达到长远目标。
由查字典数学网为您提供的精选初三上册数学第22章知识点复习：一元二次方程，祝您学习愉快!教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
《一元二次方程》小结与复习学 习 目 标1、一元二次方程的相关概念；2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；学习重点 运用知识、技能解决问题。
学习难点解题分析能力的提高．教 学 互 动 设 计一、知识梳理1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0(a ≠0)，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数，bx是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。
3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法4、一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式是△= b 2-4ac ，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。
5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）当⊿=b 2-4ac ≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式为x =242b b ac a-±-；若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2=ab -，x 1•x 2=a c 。
若一元二次方程2x +px +q =0的两根为1x 、2x ，则：x 1＋x 2== -p ， x 1•x 2= q 。
6、一元二次方程的应用。
二、基本知识训练1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是【 C 】 A ．2210x x+= B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+= D ．223250x xy y --= 2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x 米，则可列方程为x (x ＋10)＝200，化为一般形式为x 2+10x -200=0。
《一元二次方程》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2（2）一元二次方程的一般形式：ax +bx+c=0(a ≠ 0) ，，并且未知数的最高次其中 ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项。
（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程* （ 4）有理方程高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是 : ①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为 1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（ mx+n）2=p 的形式；⑤如果 p≥ 0 就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。
（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式2－ 4ac≥ 0时， ? ax2+bx+c=0 ，当⊿＝ b将 a、 b、 c 代入求根公式x=bb2 4ac2≥ 0）就得到方程的根．2a（ b -4ac（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0, 从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。
3、一元二次方程根的判别式22（1）⊿＝ b －4ac 叫一元二次方程ax +bx+c=0(a ≠ 0) 的根的判别式。
