2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）文科数学本试卷4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}2,0{=A ，}2,1,0,1,2{--=B ，则=B A （ ）A ．}2,0{B ．}2,1{C ．}0{D ．}2,1,0,1,2{-- 1．【解析】}2,0{=B A ，选A ． 2．设i 2i1i1++-=z ，则=z （ ） A ．0 B ．21C ．1D ．2 2．【解析】()()()i i 22i2i 2i 1i 1i 12=+-=+-+-=z ，则1=z，选C ．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面的结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3．【解析】经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，所以建设前与建设后在比例相同的情况下，建设后的经济收入是原来的2倍，所以建设后种植收入为37%相当于建设前的74%，故选A ．4．已知椭圆14:222=+y ax C 的一个焦点为)0,2(，则C 的离心率为（ ） 28%5% 30%37%第三产业收入其他收入养殖收入种殖收入建设后经济收入构成比例6%4% 30%60%第三产业收入其他收入养殖收入种殖收入建设前经济收入构成比例A ．31 B ．21C ．22D ．3224．【解析】844222=+=+=c b a ，所以离心率22222===a c e ，故选C ． 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为21,O O ，过直线21O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A ．π212B ．π12C ．π28D ．π105．【解析】易得圆柱的母线长与底面圆的直径均为22，所以圆柱的表面积222⨯⨯=πS 2222⨯+ππ12=，故选B ．6．设函数ax x a x x f +-+=23)1()(．若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在点)0,0(处的切线方程为（ ）A ．x y 2-=B ．x y -=C ．x y 2=D ．x y =6．【解析】R x ∈，ax x a x ax x a x x f x f +-++--+-=+-2323)1()1()()(2)1(2x a -=0=，则1=a ，则x x x f +=3)(，13)(2+='x x f ，所以1)0(='f ，在点)0,0(处的切线方程为x y =，故选D ．7．在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB （ ）A ．AC AB 4143- B ．AC AB 4341- C ．AC AB 4143+ D ．AC AB 4341+ 7．【解析】AB 4341)(4121)21(21)(21-=-+=+=+=， 则4143-=，故选A ． 8．已知函数2sin cos 2)(22+-=x x x f ，则（ ）A ．)(x f 的最小正周期为π，最大值为3B ．)(x f 的最小正周期为π，最大值为4C ．)(x f 的最小正周期为π2，最大值为3D ．)(x f 的最小正周期为π2，最大值为4 8．【解析】252cos 31cos 32)cos 1(cos 2)(222+=+=+--=x x x x x f ，最小正周期为π，最大值为4，故选B ．9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图． 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面 上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上， 从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．172B ．52C ．3D ．29．【解析】将三视图还原成直观图，并沿点A 所在的母线把圆柱侧面展开成如图所示的矩形，从点M 到点N 的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短，长度为52，故选B ．A BDE10．在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，1AC 与平面C C BB 11所成的角为30，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．26C ．28D ．3810．【解析】1AC 与平面C C BB 11所成的角的平面角为301=∠B AC ，因为2==BC AB ，所以3260tan 1== AB B C ，则221=BB ，长方体的体积282222=⨯⨯=V ，故选C ．11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点),2(),,1(b B a A ，且322cos =α，则=-b a （ ）A ．51B ．55C ．552D ．111．【解析】321cos 22cos 2=-=αα ，65cos 2=∴α，51tan ,61sin 22==∴αα．又角α终边上有两点),2(),,1(b B a A ，则)0(2tan >==ab b a α．555525551422=-=-⇒==∴b a b a ，故选B ． 12．已知函数⎩⎨⎧>≤=-0,10,2)(x x x f x ，则满足)2()1(x f x f <+的x 的取值围是（ ）A ．(]1,-∞-B ．()+∞,0C ．()0,1-D ．()0,∞- 12．【解析】方法1：函数)(x f y =的图像如图所示， 则)2()1(x f x f <+即⎩⎨⎧+<<1202x x x ，解得0<x ．故选D ．方法2：将1-=x 代入)2()1(x f x f <+得)2()0(-<f f ，显然成立，所以排除B 、D ；将21-=x 代入)2()1(x f x f <+得)1()21(-<f f ，显然成立，所以排除A ；故选D ．D 1AB C DA 1C 1 B 1M (A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数)(log )(22a x x f +=，若1)3(=f ，则=a ．13．【解析】71)9(log )3(2-=⇒=+=a a f ．14．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤--001022y y x y x ，则y x z 23+=的最大值为 ．14．【解析】可行域为ABC ∆及其部，当直线223zx y +-=经过点)0,2(B 时，6max =z ．15．直线1+=x y 与圆03222=-++y y x 交于B A ,两点，则=AB ． 15．【解析】圆03222=-++y y x 的半径为2=r ，其圆心)1,0(-到直线1+=x y 的距离为222==d ，所以22222=-=dr AB ．16．ABC ∆的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．已知C B a B c C b sin sin 4sin sin =+，8222=-+a c b ，则ABC ∆的面积为 ．16．【解析】由正弦定理得C B A B C C B sin sin sin 4sin sin sin sin =+，即21sin =A ．由根据余弦定理可得8cos 2222==-+A bc a c b ，所以0cos >A ，得23sin 1cos 2=-=A A ，338=bc ，则ABC ∆的面积为3322133821sin 21=⨯⨯==∆A bc S ABC ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）已知数列{}n a 满足11=a ，n n a n na )1(21+=+，设na b nn =． （1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．17．【解析】（1）11=a ，4412==∴a a ；1262323=⇒=a a a ．11=∴b ，22=b ，43=b ．（2）n n a n na )1(21+=+ ，nan a n n 211=+∴+，n n b b 21=∴+，即21=+n n b b ．∴数列{}n b 是为等比数列，首项为1，公比为2．（3）由（2）知12-=n n b ，又na b n n =，所以12-⋅=n n n a ，即{}n a 的通项公式为12-⋅=n n n a ．18．（12分）如图，在平行四边形ABCM 中，3==AC AB ，90=∠ACM ．以AC 为折痕将ACM ∆折起，使点M 达到D 的位置，且DA AB ⊥．（1）证明：平面⊥ACD 平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且DA DQ BP 32==，求三棱锥ABP Q -的体积． 18．【解析】（1）证明： 平行四边形ABCM 中90=∠ACM ，90=∠∴BAC ，即AC AB ⊥．又DA AB ⊥，A DA AC =⊥，⊥∴AB 平面ACD ，⊂AB 平面ABC ，∴平面⊥ACD 平面ABC ．（2）DA DQ BP 32== ， ∴ABC ABP S S ∆∆=32且点Q 到平面ABC 的距离是点D 到平面ABC 的距离的31． 3==AC AB 且 90=∠ACD ，∴13332127231929292=⨯⨯⨯⨯=⋅⨯===∆---AB S V V V ACD ACD B ABC D ABP Q ．19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表AP BQMC D使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.353m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）19．【解析】（1）使用了节水龙头50天的日用水量数据的频数分布直方图：（2）样本中，该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.353m 的频率为0.48， 估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.353m 的概率为0.48． （3）未使用节水龙头50天的日用水量的平均值约为：频率/组距/3m频率/组距日用水量/3m48.024501]565.02655.0945.0435.0225.0315.0105.0[501=⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯； 使用了节水龙头50天的日用水量的平均值约为：35.05.17501]555.01645.01035.01325.0515.0105.0[501=⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯， ()45.4735.048.0365=-⨯ ，∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省47.453m 的水．20．（12分）设抛物线x y C 2:2=，点)0,2(A ，)0,2(-B ，过点A 的直线l 与C 交于N M ,两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABN ABM ∠=∠．20．【解析】（1）当l 与x 轴垂直时，M 为)2,2(或)2,2(-，则直线BM 的斜率为21或21-，直线BM 的方程为)2(21+=x y 或)2(21+-=x y ． （2）方法1：易知直线l 的斜率不为0，不妨设2:+=my x l 且直线BN BM ,的斜率分别为21,k k ．由⎩⎨⎧=+=xy my x 222得0422=--my y ，则4,22121-==+y y m y y ， 因为21k k +0)4)(4(88)4)(4()(4244222121212122112211=+++-=++++=+++=+++=my my mm my my y y y my my y my y x y x y ， 所以直线BN BM ,的倾斜角互补，得ABN ABM ∠=∠． 方法2：设直线BN BM ,的斜率分别为21,k k ．①当l 与x 轴垂直时，由（1）知21k k -=，即直线BN BM ,的倾斜角互补，所以ABN ABM ∠=∠； ②当l 不与x 轴垂直时，设),2(:-=x k y l ),(),,(2211y x N y x M ．由⎩⎨⎧=-=xy x k y 2)2(2得04)24(2222=++-k x k x k ，则0≠k 且4,24212221=+=+x x k k x x ． 因为21k k +0)2)(2()82(2)2(2)2(22212122112211=++-=+-++-=+++=x x x x k x x k x x k x y x y ， 所以直线BN BM ,的倾斜角互补，得ABN ABM ∠=∠． 综合①②所述，得ABN ABM ∠=∠．21．（12分）已知函数1ln )(--=x ae x f x．（1）设2=x 是)(x f 的极值点，求a ，并求)(x f 的单调区间； （2）证明：当ea 1≥时，0)(≥x f ． 21．【解析】（1）)0(1)(>-='x x ae x f x，2221021)2(ea ae f =⇒=-='∴， 又221e a =时，xe e xf x 121)(2-='．由x e e y 221=与xy 1=的图像只有一个交点)21,2(可知0)(='x f 在),0(+∞只有一个解2=x ， )2,0(∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数；),2(+∞∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数，即2=x 是)(x f 的极小值点， 则221ea =，)(x f 的减区间为)2,0(，)(x f 的增区间为),2(+∞． （2）方法1：证明：当ea 1≥时，1-≥x x e ae ． 令1ln )(1--=-x ex g x ，则xe x g x 1)(1-='-， 令x ex g x h x 1)()(1-='=-，则01)(21>+='-xe x h x ，)(x g y '=为),0(+∞上的增函数． 又01)1()1(0=-='=e g h ，所以)1,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 为减函数；),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 为增函数，则010)1()(0min =--==e g x g ，即01ln 1≥---x e x ．故当ea 1≥时，≥--=1ln )(x ae x f x 01ln 1≥---x e x ，得证． 方法2：证明：当ea 1≥时，1-≥x x e ae ． 令x ex g x -=-1)(，则1)(1-='-x e x g ，)1,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 为减函数；),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 为增函数，则01)1()(0min =-==e g x g ，即x e x ≥-1．又令1ln )(--=x x x h ，则xx x x h 111)(-=-='， )1,0(∈x 时，0)(<'x h ，)(x h 为减函数；),1(+∞∈x 时，0)(>'x h ，)(x h 为增函数，则0101)1()(min =--==h x h ，即1ln +≥x x ．综上所述，当ea 1≥时，1ln +≥x ae x，即0)(≥x f ． 方法3：证明：令xex x g 1ln )(+=，)0(1ln 1)1(ln )(2>+-=+-='x e x x e x e x e x g x x x x ， 令1ln 1)(+-=x x x h ，则22111)(xxx x x h +-=--='， 当0>x 时，0)(<'x h ，)(x h 为减函数．又0101)1(=--=h ，则)1,0(∈x 时，0)(>x h ；),1(+∞∈x 时，0)(<x h ．即当)1,0(∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 为增函数；当),1(+∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 为减函数， 所以ex g 1)(max =． 又ea 1≥，即max )(x g a ≥， 所以)(x g a ≥恒成立，即0)(1ln 1ln ≥⇔+≥⇔+≥x f x ae ex a xx，得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2||+=x k y ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为机轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为03cos 22=-+θρρ．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 22．【解析】（1）θρθρsin ,cos ==y x ，所以2C 的直角坐标方程为03222=-++x y x ； （2）曲线1C ：⎩⎨⎧<+-≥+=0,20,2x kx x kx y ，其图像是关于y 轴对称且以)2,0(为端点的两条射线．2C ：4)1(22=++y x ，其图像是以)0,1(-为圆心，半径为2的圆．若1C 与2C 有且仅有三个公共点，则0<k 且)0(2≥+=x kx y 与2C 相切(如图)． 由2122=++-k k 且0<k ，解得34-=k ，则1C 的方程为：||34+-=x y23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知11)(--+=ax x x f ．（1）当1=a 时，求不等式1)(>x f 的解集；（2）若)1,0(∈x 时不等式x x f >)(成立，求a 的取值围． 23．【解析】（1）当1=a 时，11)(--+=x x x f ，则1-≤x 时，2)(-=x f ，则1)(>x f 无解；11<<-x 时，x x f 2)(=，则1)(>x f 的解集为)1,21(；1≥x 时，2)(=x f ，则1)(>x f 的解集为),1[+∞．综上所述，所求解集为),21(+∞．（2）)1,0(∈x 时不等式x x f >)(成立，即x ax x >--+11，则11<-ax 成立． 所以xa ax 20111<<⇒<-<-． 因为10<<x 时，有),2(2+∞∈x，所以20≤<a ．。
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