2020届广东省文科数学模拟题参考答案

广东省2020年高考文科数学模拟试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则A ∪B ＝( )A ．{2}B ．{6}C ．{1，3，4，5，6}D ．{1，2，3，4，5} 2．设p ：log 2x 2>2，q ：x >2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ） A. 3y x =B. y x 1=-C. y x 1=-D. xy 2=4. 已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（ ） A. 6B. 6-C. 2-D. 45. 根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年425名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误．．的是A. 前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B. 前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C. 整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D. 整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数6. 已知函数，且，则以下结论正确的是 A.B.C.D.7. 1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为A. 是奇数？；B. 是偶数？；C. 是奇数？；D. 是偶数？；8. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=，当01x ≤≤，()2f x x =，若直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（ ）A. 0B. 0或12-C.14-或12-D. 0或14- 9. 据中国古代数学名著《九章算术》中记载，公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），其体积为12.6立方寸.若取圆周率3π=，则图中x 值为（ ）A. 1.5B. 2C. 3D. 3.110. 若tan()34πα+=-，则2sin 2cos αα-=（ ）A.35 B. 25-C. -1D. 311.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 作垂直于实轴的弦PQ ,若12PF Q π∠=,则C 的离心率e 为( )112 12. 已知()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,+∞单调递增,设21log 3m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()0.17n f -=, ()4log 25p f =,则,,m n p 的大小关系为( )A.m p n >>B.p n m >>C.p m n >>D.n p m >> 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年广东省高考数学一模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A，B均为全集U={1,2,3,4,5,6,7}的子集，集合A={1,2,3,4}，则满足A∩∁U B={1,2}的集合B可以是()A. {1,2,3,4}B. {1,2,7}C. {3,4,5,6}D. {1,2,3}2.复数z=4+3i3−4i(i为虚数单位)的虚部为()A. −1B. 2C. 5D. 13.已知向量a⃗=(12,−1)向量b⃗ 满足2a⃗+b⃗ =(−1,m)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=()A. −3B. 3C. 1D. 24.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为()A. x24+y22=1 B. x22+y2=1 C. x23+y22=1 D. x24+y23=15.如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t(0<t≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则y=f(t)的大致图象为()A.B.C.D.6.若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为()A. −19B. −59C. 19D. 597.甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为()A. 14B. 13C. 16D. 1368.某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为()A. 1920003cm3 B. 1600003cm3 C. 160003cm3 D. 640003cm39.执行如图的程序框图，若输出A的值为70169，则输入i的值为()A. 4B. 5C. 6D. 710.已知O是坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为()A. √5+12B. √5−12C. √5−1D. √5+111.在△ABC中，已知A=60°，D是边BC上一点，且BD=2DC，AD=2，则△ABC面积的最大值为()A. √3B. 32√3 C. 2√3 D. 52√312.已知f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，f(1)=0，且当x∈(0,π2)时，f(x)+f′(x)tanx>0，则不等式f(x)<0的解集为()A. (−1,0)∪(1,π2) B. (−1,0)∪(0,1)C. (−π2,−1)∪(1,π2) D. (−π2,−1)∪(0,1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f(x)=mx2lnx，若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex+y+2020=0平行，则m=______．14. 若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z =2x +y 的最大值为______．15. 如图，已知三棱锥P −ABC 满足PA =PB =PC =AB =2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为______．16. 函数f(x)=sinπx +acosπx 满足f(x)=f(13−x)，x ∈[0,32]，方程f(x)−m =0恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }为单调递增的等差数列，设其前n 项和为S n ，S 5=−20，且a 3，a 5+1，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值及取得最小值时n 的值．18. 某城市2018年抽样100户居民的月均用电量(单位：千瓦时)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组，得到如表频率分布表： 分组频数频率[160,180) n 1 0.04 [180,200) 19 f 1 [200,220) n 2 0.22 [220,240) 25 0.25 [240,260) 15 0.15 [260,280) 10 f 2 [280,300]50.05(1)求表中n 1，n 2，f 1，f 2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m ； (2)该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u(单位：千瓦时)作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u 与年份t 的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x =t −2014，y =u −195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u 关于t 的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数． 附：回归直线y ^=b ^x +a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．19. 如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1，D 是AB 的中点，E 是C 1C 的中点，且AB =1，AA 1=2． (1)证明：CD//平面A 1EB ； (2)求点A 1到平面BDE 的距离．20.动圆C与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1，x2是方程x2+2mx−4=0的两根．(1)若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；(2)证明：当动圆C过点M(0,1)时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．21.已知函数f(x)=e x+(m−e)x−mx2．(1)当m=0时，求函数f(x)的极值；(2)当m<0时，证明：在(0,1)上f(x)存在唯一零点．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1.若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q的轨迹为C2．(1)求C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．|x+3|−2(k∈R)．23.已知函数f(x)=|x−k|+12(1)当k=1时，解不等式f(x)≤1；(2)若f(x)≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A，B均为全集U={1,2,3,4,5,6,7}的子集，集合A={1,2,3,4}，要满足A∩∁U B={1,2}；则1，2∉B，故符合条件的选项为C．故选：C．根据题意得出1，2∉B，即可判断结论．本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵z=4+3i3−4i =(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i，∴复数z=4+3i3−4i的虚部是1，故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：向量a⃗=(12,−1)，向量b⃗ 满足2a⃗+b⃗ =(−1,m)，设b⃗ =(x,y)，则(1+x,−2+y)=(−1,m)，∴1+x=−1，且−2+y=m，求得x=−2，m=y−2．若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =x2−y=−1−y=0，故y=−1，∴m=y−2=−3，故选：A．由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得m的值．本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由AF2BF1是正方形可得b=c，再由AF2BF1的面积为4可得12⋅2c⋅2b=4，即bc=2，又a2=b2+c2，解得：a2=4，b2=2，所以椭圆的方程为：x24+y22=1；故选：A．由四边形AF2BF1是正方形且面积为4可得b，c的值，再由a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的面积．本题考查椭圆的性质，及正方形的面积与对角线的关系，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：当0<x<1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD，不合适，当1≤x≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A，故选：B．根据面积的变换趋势与t的关系进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与t的关系是解决本题的关键．难度不大．6.【答案】B【解析】解：∵sin(π+α)=√23，∴可得sinα=−√23，∴sin(2α−π2)=−cos2α=2sin2α−1=2×(−√23)2−1=−59．故选：B．由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，基本事件总数n=C42=6，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率p=16．故选：C．基本事件总数n=C42=6，由此能求出甲、乙两人选的2本恰好相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，正方体AC1的棱长为40cm，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm3．又正方体的体积为V=40×40×40=64000cm3，∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm3，故选：B．由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解．本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题．9.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得A=12，k=1满足条件1≤i，执行循环体，A=25，k=2满足条件2≤i，执行循环体，A=512，k=3满足条件3≤i，执行循环体，A=1229，k=4满足条件4≤i，执行循环体，A=2970，k=5满足条件5≤i，执行循环体，A=70169，k=6由题意，此时不满足条件6≤i，退出循环，输出A的值为70169，可得输入i的值为5．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】A【解析】解：由题意可知：|AF|=b2a，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，可得c=b2a =c2−a2a，e=e2−1，e>1解得e=√5+12．故选：A．由双曲线的性质，结合通径以及半焦距，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：因为在△ABC 中，已知A =60°，D 是边BC 上一点，且BD =2DC ，AD =2， ；∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2×13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2； 即：4=19c 2+49bc ⋅cos60°+49b 2⇒36=c 2+2bc +4b 2≥2√c 2⋅4b 2+2bc =6bc ； ∴bc ≤6，(当且仅当2b =c 时等号成立)； ∵S △ABC =12bcsinA ≤12×6×√32=3√32． 即△ABC 面积的最大值为：3√32． 故选：B ．先根据向量的三角形法则得到AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；对其两边平方，求出bc 的取值范围即可求得结论．本题考查△ABC 的面积的求法以及向量知识的综合应用，涉及到基本不等式，属于中档题目．12.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法，等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令g(x)=f(x)sinx ，g′(x)=[f(x)+f′(x)tanx]⋅cosx ，当x ∈(0,π2)时，根据f(x)+f′(x)tanx >0，可得函数g(x)单调递增．又g(1)=0，判断g(x)在(0,π2)上的正负情况，根据f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，可得g(x)是定义在(−π2,π2)上的偶函数．进而得出不等式f(x)<0的解集． 【解答】解：令g(x)=f(x)sinx ，g′(x)=f(x)cosx +f′(x)sinx =[f(x)+f′(x)tanx]⋅cosx ，当x ∈(0,π2)时，f(x)+f′(x)tanx >0，∴g′(x)>0，即函数g(x)单调递增． 又g(1)=0，∴x ∈(0,1)时，g(x)=f(x)sinx <0，又sinx >0，所以f(x)<0． x ∈(1,π2)时，g(x)=f(x)sinx >0，又sinx >0，所以f(x)>0． x =0时，f(0)=0，舍去． ∵f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数， ∴g(x)是定义在(−π2,π2)上的偶函数． 则g(x)在(−π2,0)上单调递减，且g(−1)=0，故x ∈(−π2,−1)时，g(x)=f(x)sinx >0，又sinx <0，所以f(x)<0． x ∈(−1,0)时，g(x)=f(x)sinx <0，又sinx <0，所以f(x)>0． ∴不等式f(x)<0的解集为(−π2,−1)∪(0,1)． 故选：D ．13.【答案】−13【解析】解：f′(x)=m(2xlnx +x)，又曲线y =f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex +y +2020=0平行， ∴f′(e)=3em =−e ，解得m =−13． 故答案为：−13．求出f(x)的导数，然后根据切线与直线ex +y +2020=0平行，得f′(e)=−e ，列出关于m 的方程，解出m 的值．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和运算能力．14.【答案】7【解析】解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分 由{x =2x −y =−1，得A(2,3)目标函数z=2x+y可看做斜率为−2的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=2×2+3=7．故答案为：7．先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．15.【答案】3227√3π【解析】解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA=PB=PC=AB=2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP=OA=R，在△OAD中，R2=r2+(PD−R)2，即R2=1+(√3−R)2，解得：R=2√3=2√33，所以外接球的体积V=4π3R3=32√327π，故答案为：32√327π.因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA=PB=PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中由勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．16.【答案】√3≤m<2或−2<m≤−1【解析】解：函数f(x)=sinπx+acosπx满足f(x)=f(13−x)，则函数的对称轴为x=16，当x=16时，函数f(x)取得最值，即±√1+a 2=sin π6+acos π6，整理得a 2−2√3a +3=0，解得a =√3， 所以f(x)=sinπx +√3cosπx =2sin(πx +π3). 由于x ∈[0,32]，所以π3≤πx +π3≤3π2+π3=11π6，根据函数的图象，当√3≤m <2或−2<m ≤−1时，函数的f(x)的图象与y =m 有两个交点，即方程f(x)−m =0恰有两个不等的实根， 故答案为：√3≤m <2或−2<m ≤−1．首先利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的图象求出函数f(x)的图象和函数y =m 的交点，进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的应用，函数的零点和函数的图象的交点的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．17.【答案】解：(1){a n }为单调递增的等差数列，设公差为d ，d >0，由S 5=−20，可得5a 1+10d =−20，即a 1+2d =−4，①由a 3，a 5+1，a 9成等比数列，可得a 3a 9=(a 5+1)2，即(a 1+2d)(a 1+8d)=(a 1+4d +1)2，化为2a 1d =2a 1+1+8d ，② 由①②解得d =12，a 1=−5， 则a n =−5+12(n −1)=12(n −11)； (2)S n =12n(−5+n−112)=14(n 2−21n)=14[(n −212)2−4414]，由于n 为正整数，可得n =10或11时，S n 取得最小值−552．【解析】(1)设等差数列的公差为d ，d >0，由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；(2)由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，注意n 为正整数，可得所求最值． 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比中项的性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)n 1=100×0.04=4；n 2=100×0.22=22；f 1=19100=0.19；f 2=10100=0.1．设样本频率分布表的中位数为a ，则0.04+0.19+0.22+0.25×120×(a −20)=0.5，解得a =224，由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数m 为224千瓦时． (2)①数据预处理如下表：②由①可知，x −=0,y −=−21−11+0+19+295=3.2，∴b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2=(−4)×(−21)+(−2)×(−11)+2×19+4×29(−4)2+(−2)2+22+42=26040=6.5，a ̂=y −−b ̂x −=3.2−6.5×0=3.2，∴y 关于x 的线性回归方程为y ̂=6.5x +3.2，∵x =t −2014，y =u −195，∴u −195=6.5(t −2014)+3.2， 故u 关于t 的线性回归方程为u =6.5t −12892.8，当t =2020时，u =6.5×2020−12892.8=237.2(千瓦时)． 故预测2020年该市居民月均用电量的中位数为237.2千瓦时．【解析】(1)根据频数、频率和样本容量的关系可分别求出n 1，n 2，f 1，f 2的值；设样本的中位数为a ，根据中位数的性质可列出关于a 的方程，解之即可得解；(2)①根据折线图中的数据和x =t −2014，y =u −195，算出每组数据对应的x 和y 值即可；②由①中的数据，可求出x −,y −，再根据a ̂,b ̂的参考公式，求出这两个系数后可得y 关于x 的线性回归方程，再把t 和u 代入化简即可得u 关于t 的线性回归方程；令t =2020，算出u 的值就是所求．本题考查对频数、频率分布表的认识、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.【答案】(1)证明：取A 1B 的中点F ，连接EF ，DF ，∵D ，F 分别是AB ，A 1B 的中点，∴DF//A 1A ，DF =12A 1A ， ∵A 1A//C 1C ，A 1A =C 1C ，E 是C 1C 的中点，∴DF//EC ，DF =EC ，可得四边形CDEF 为平行四边形，则CD//EF ． ∵CD ⊄平面A 1EB ，EF ⊂平面A 1EB ， ∴CD//平面A 1EB ；(2)解：∵△ABC 是正三角形，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ， ∵ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴A 1A ⊥平面ABC ，则A 1A ⊥CD ． ∵A 1A ∩AB =A ，∴CD ⊥平面A 1ABB 1， 又由(1)知，CD//EF ，∴EF ⊥平面A 1ABB 1，∵AB =1，AA 1=2，∴CD =√32，则S △A 1BD =12×2×12=12．∴V E−A 1BD =13S △A 1BD ⋅EF =13×12×√32=√312．在Rt △CDE 中，DE =√CD 2+CE 2=√72． ∵AB ⊥CD ，AB ⊥CE ，CD ∩CE =C ， ∴AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ． ∴S △BDE =12×12×√72=√78． 设点A 1到平面BDE 的距离为d ，由V A 1−BDE =V E−A 1BD ，得13S △BDE ⋅d =√312，即13×√78=√312，则d =2√217．【解析】(1)取A 1B 的中点F ，连接EF ，DF ，由三角形中位线定理可得DF//A 1A ，DF =12A 1A ，再由已知得到DF//EC ，DF =EC ，得四边形CDEF 为平行四边形，则CD//EF.由直线与平面平行的判定可得CD//平面A 1EB ；(2)证明CD ⊥平面A 1ABB 1，又由(1)知，CD//EF ，得到EF ⊥平面A 1ABB 1，再证明AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ，分别求出平面BDE 与平面A 1BD 的体积，然后利用等体积法求点A1到平面BDE的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．20.【答案】解：(1)∵x1，x2是方程x2+2mx−4=0的两根，∴x1+x2=−2m，x1x2=−4．∵动圆C与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且线段AB是动圆C的直径，∴动圆C的圆心C的坐标为(−m,0)，半径为|AB|2=|x2−x1|2=√(x1+x2)2−4x1x22=√m2+4．∴动圆C的方程为(x+m)2+y2=m2+4；(2)证明：设动圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵动圆C与y轴交于M(0,1)，N(0,y1)，令y=0则x2+Dx+F=0，由题意可知D=2m，F=−4，又动圆C过点M(0,1)，∴1+E−4=0，解得E=3．令x=0，则y2+3y−4=0，解得y=1或y=−4，∴y1=−4.∴动圆C在y轴上截得弦长为|y1−1|=5．故动圆C在y轴上截得弦长为定值．【解析】(1)由韦达定理可得到x1+x2=−2m，x1x2=−4，从而求得圆心与半径，进而求得动圆C的方程；(2)先设出动圆C的方程，再由题设条件解决D、E、F的值，进而求出动圆C在y轴上截得弦长．本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于基础题．21.【答案】解：(1)当m=0时，f(x)=e x−ex，f′(x)=e x−e，又f′(x)是增函数，且f′(1)=0，∴当x>1时，f′(x)>0，当x<1时，f′(x)<0，∴f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=0，无极大值；(2)证明：f′(x)=e x−2mx+m−e，令g(x)=f′(x)=e x−2mx+m−e，则g′(x)=e x−2m，当m<0时，则g′(x)>0，故g(x)=f′(x)在(0,1)上单调递增，又g(0)=f′(0)=1+m−e<0，g(1)=f′(1)=−m>0，∴存在x0∈(0,1)，使得g(x0)=f′(x0)=0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，当x ∈(x 0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数， 又∵f(0)=1，f(1)=0， ∴f(x)在(0,1)上存在唯一零点．【解析】(1)将m =0带入，求导得f′(x)=e x −e ，再求出函数f(x)的单调性，进而求得极值；(2)求导得f′(x)=e x −2mx +m −e ，令g(x)=f′(x)，对函数g(x)求导后，可知g(x)=f′(x)在(0,1)上单调递增，而g(0)<0，g(1)>0，进而函数f(x)在(0,1)上的单调性，再运用零点存在性定理可得证．本题主要考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1．若P 为曲线C 1上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q 的轨迹为C 2．设P(ρ1,θ)，Q(ρ,θ)，则：ρ1cosθ−2ρ1sinθ=1，即ρ1=1cosθ−2sinθ， 由于|OP|⋅|OQ|=2，所以ρ=2cosθ−4sinθ，整理得ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：(x −1)2+(y +2)2=5(原点除外)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1转换为直角坐标方程为：x −2y −1=0． 曲线C 2的圆心为(1,−2)，半径为√5， 所以圆心到直线C 1的距离d =√1+(−2)2=√5．所以|MN|=2√(√5)2−(√5)2=√5．由于点O 到C 1的距离d 2=√12+(−2)2=√5 所以S △OMN =12×|MN|×d 2=12√5√5=35．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)当k =1时，不等式f(x)≤1即为|x −1|+12|x +3|≤3，等价为{x ≥1x −1+12x +32≤3或{−3<x <11−x +12x +32≤3或{x ≤−31−x −12x −32≤3，解得1≤x ≤53或−1≤x <1或x ∈⌀， 则原不等式的解集为[−1,53]；(2)f(x)≥x 对于任意的实数x 恒成立，即为|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立． 当x ≤−2时，|x −k|+12|x +3|≥0≥x +2恒成立； 当x >−2时，|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立等价为|x −k|+x+32≥x +2，即|x −k|≥x+12恒成立，当−2<x ≤−1时，|x −k|≥x+12恒成立；当x >−1时，|x −k|≥x+12恒成立等价为x −k ≥x+12或x −k ≤−x+12恒成立．即x ≥2k +1或x ≤23(k −12)恒成立， 则2k +1≤−1解得k ≤−1， 所以k 的取值范围是(−∞,−1]．【解析】(1)由题意可得|x −1|+12|x +3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立．讨论x ≤−2恒成立，x >−2时，可得|x −k|≥x+12恒成立，讨论−2<x ≤−1，x >−1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年高考模拟高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知复数z＝i（1+i），则|z|＝（）A．B．C．1 D．2．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，P＝A∩B，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个3．设向量＝（m，1），＝（2，﹣1），且⊥，则m＝（）A．﹣2 B．﹣C．D．24．已知{a n}是等差数列，a3＝5，a2﹣a4+a6＝7，则数列{a n}的公差为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0；命题q：∃x∈R，x2＞x3，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q6．已知偶函数f（x）满足f（x）＝x﹣（x＞0），则{x|f（x+2）＞1}＝（）A．{x|x＜﹣4或x＞0} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜﹣2或x＞2} D．{x|x＜﹣2或x＞4}7．如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P'，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|﹣|表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]上的图象大致为（）A．B．C．D．8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A．（7+2）πB．（10+2）πC．（10+4）πD．（11+4）π9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（）A．r+R B．r+RC．r+R D．r+R10．已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1存在极值点，且f（x）≤0恰好有唯一整数解，则实数a的取值围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（0，）D．（，+∞）11．已知F1，F2是双曲线C：﹣y2＝1（a＞0）的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C 相交于A，B两点，若|AB|＝，则△ABF2的切圆的半径为（）A．B．C．D．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是棱AD，CC1，C1D1的中点，给出下列四个命题：①EF⊥B1C；②直线FG与直线A1D所成角为60°；③过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④三棱锥B﹣EFG的体积为．其中，正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．已知函数y＝f（x）的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（4）＝．14．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为．15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生A1，A2，A3和3名女生B1，B2，B3中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为．16．记S n为数列{a n}的前n项和，若2S n﹣a n＝，则a3+a4＝，数列{a n+2﹣a n}的前n 项和T n＝．三、解答题17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；（2）已知尺寸在[63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．18．已知a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2A+sin2C﹣sin A sin C＝sin2B．（1）求sin B的值；（2）若b＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC，AB＝BC，∠APC＝120°，∠ABC＝90°，AC＝PB＝2．（1）求证：AC⊥PB；（2）求点C到平面PAB的距离．20．已知点P是抛物线C：y＝﹣3的顶点，A，B是C上的两个动点，且•＝﹣4．（1）判断点D（0，﹣1）是否在直线AB上？说明理由；（2）设点M是△PAB的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程．21．已知函数f（x）＝alnx﹣，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y ﹣2﹣e＝0．（1）求a，b的值；（2）证明函数f（x）存在唯一的极大值点x0，且f（x0）＜2ln2﹣2．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求C1与C2的普通方程；（2）若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，求sinα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．（1）求+的最小值；（2）证明：＜．参考答案一、选择题1．已知复数z＝i（1+i），则|z|＝（）A．B．C．1 D．解：∵z＝i（1+i）＝﹣1+i，∴|z|＝．故选：D．2．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，P＝A∩B，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个解：∵集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，∴P＝A∩B＝{0，1}，∴P的子集共有22＝4．故选：B．3．设向量＝（m，1），＝（2，﹣1），且⊥，则m＝（）A．﹣2 B．﹣C．D．2解：∵向量＝（m，1），＝（2，﹣1），且，∴＝2m﹣1＝0，解得m＝，∴实数m＝．故选：C．4．已知{a n}是等差数列，a3＝5，a2﹣a4+a6＝7，则数列{a n}的公差为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2解：∵{a n}是等差数列，a3＝5，a2﹣a4+a6＝7，∴，解得a1＝1，d＝2．∴数列{a n}的公差为2．故选：D．5．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0；命题q：∃x∈R，x2＞x3，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q解：x2﹣x+1＝（x﹣）2+＞0恒成立，故命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0为假命题，当x＝﹣1时，x2＞x3，成立，即命题q：∃x∈R，x2＞x3，为真命题，则￢p∧q为真，其余为假命题，故选：B．6．已知偶函数f（x）满足f（x）＝x﹣（x＞0），则{x|f（x+2）＞1}＝（）A．{x|x＜﹣4或x＞0} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜﹣2或x＞2} D．{x|x＜﹣2或x＞4}【分析】偶函数f（x）满足f（x）＝x﹣（x＞0），在（0，+∞）递增，根据单调性判断即可．解：偶函数f（x）满足f（x）＝x﹣（x＞0），在（0，+∞）递增，且f（2）＝1，故f（x+2）＞1，即|x+2|＞2，解得{x|x＞0或者x＜﹣4}，故选：A．7．如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P'，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|﹣|表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]上的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】设PP'的中点为M，则|﹣|＝，当x∈[0，]时，在Rt△OMP中，利用三角函数可知，|PM|＝cos x，所以f（x）＝2cos x，从而得解．解：设PP'的中点为M，则|﹣|＝，当x∈[0，]时，在Rt△OMP中，|OP|＝1，∠OPM＝∠POA＝x，所以cos x＝，所以|PM|＝cos x，|﹣|＝2cos x，即f（x）＝2cos x，x∈[0，]．从四个选项可知，只有选项A正确，故选：A．8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A．（7+2）πB．（10+2）πC．（10+4）πD．（11+4）π【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥，几何体的表面积为：＝（10+4）π．故选：C．9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（）A．r+R B．r+RC．r+R D．r+R【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴a，半焦距c，即可确定该卫星远地点离地面的距离．解：椭圆的离心率：e＝∈（0，1），（c为半焦距；a为长半轴）只要求出椭圆的c和a，设卫星近地点，远地点离地面距离分别为m，n，由题意，结合图形可知，a﹣c＝r+R，远地点离地面的距离为：n＝a+c﹣R，m＝a﹣c﹣R，a＝，c＝，所以远地点离地面的距离为：n＝a+c﹣R＝＝．故选：A．10．已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1存在极值点，且f（x）≤0恰好有唯一整数解，则实数a的取值围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（0，）D．（，+∞）【分析】利用导数可知函数f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，再分0＜a≤1及a＞1讨论即可得出结果．解：函数的定义域为（0，+∞），且，又函数f（x）存在极值点，即y＝f′（x）有变号零点，故a＞0，故函数f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，注意到f（1）＝0，x→0时，f（x）＞0，①当0＜a≤1时，显然f（x）≤0恰好有唯一整数解x＝1，满足题意；②当a＞1时，只需满足f（2）＞0，即1﹣aln2＞0，解得；综上，实数a的取值围为．故选：C．11．已知F1，F2是双曲线C：﹣y2＝1（a＞0）的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C 相交于A，B两点，若|AB|＝，则△ABF2的切圆的半径为（）A．B．C．D．【分析】设左焦点F1的坐标，由过F1垂直于x轴的直线与椭圆联立可得弦长AB，再由椭圆可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得切圆的半径．解：由双曲线的方程可设左焦点F1（﹣c，0），由题意可得AB＝＝，再由b＝1，可得a ＝，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1，所以F1（﹣，0），F2（，0），所以S＝•F1F2＝＝，三角形ABF2的周长为C＝AB+AF2+BF2＝AB+（2a+AF1）+（2a+BF1）＝4a+2AB＝4+2＝6，设切圆的半径为r，所以三角形的面积S＝＝＝3，所以3＝，解得：r＝，故选：B．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是棱AD，CC1，C1D1的中点，给出下列四个命题：①EF⊥B1C；②直线FG与直线A1D所成角为60°；③过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④三棱锥B﹣EFG的体积为．其中，正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可．解：如图；连接相关点的线段，O为BC的中点，连接EFO，因为F是中点，可知B1C⊥OF，EO⊥B1C，可知B1C⊥平面EFO，即可证明B1C⊥EF，所以①正确；直线FG与直线A1D所成角就是直线A1B与直线A1D所成角为60°；正确；过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形ENFGI．所以③不正确；三棱锥B﹣EFG的体积为：V G﹣EBM＝＝．V F﹣EBM＝＝．所以三棱锥B﹣EFG的体积为．④正确；故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数y＝f（x）的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（4）＝ 2 ．【分析】先利用反函数的定义求出函数f（x）的解析式，即可求出f（4）的值．解：由题意可知，函数y＝f（x）与函数y＝2x互为反函数，∴f（x）＝log2x，∴f（4）＝log24＝2，故答案为：2．14．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为﹣1 ．【分析】先根据条件画出可行域，设z＝x﹣2y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z＝x﹣2y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．解：由约束条件得到如图可行域，由目标函数z＝x﹣2y得到y＝x﹣z；当直线经过A时，直线在y轴的截距最大，使得z最小，由得到A（1，1），所以z的最小值为1﹣2×1＝﹣1；故答案为：﹣1．15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生A1，A2，A3和3名女生B1，B2，B3中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为．【分析】先设分为甲乙两队，求出基本事件的总数，再根据A1和B1两人组成一队，求出符合条件的个数，相比即可求解．解：设分为甲乙两队；则甲队的人任选的话有：＝9种情况，乙队去选时有：＝4种情况；故共有9×4＝36种情况；若A1和B1两人组成一队，在甲队时，乙队有＝4种情况；在乙队时，甲队有＝4种情况；故共有4+4＝8种情况；所以：A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为：＝．故答案为：．16．记S n为数列{a n}的前n项和，若2S n﹣a n＝，则a3+a4＝﹣，数列{a n+2﹣a n}的前n项和T n＝．【分析】（1）直接利用递推关系式的应用求出结果．（2）利用数列的递推关系式的应用和分组求和的应用求出结果．解：（1）由于数列{a n}满足2S n﹣a n＝，①当n≥2时，②，①﹣②得：，整理得，所以．（2）由于，故③，所以④，③﹣④得：，所以…+，＝﹣2×（）+，＝（）﹣+（），＝．故答案为：（1），（2）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；（2）已知尺寸在[63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．【分析】（1）由频率分布直方图中中位数两边频率相等，即可求出中位数的大小；（2）计算尺寸在[63.0，64.5）外的频率，用频率估计概率，即可得出结论．解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.075+0.225）×0.5＝0.15，0.15+0.75×0.5＝0.525，所以中位数在[63.0，63.5），设为a，则0.15+（a﹣63.0）×0.75＝0.5，解得a≈63.47，所以估计中位数为63.47；（2）尺寸在[63.0，64.5）上的频率为（0.750+0.650+0.200）×0.5＝0.8，且1﹣0.8＝0.2，所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2．18．已知a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2A+sin2C﹣sin A sin C＝sin2B．（1）求sin B的值；（2）若b＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B，然后结合同角平方关系可求sin B；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac，然后结合余弦定理即可求解a+c，进而可求三角形的周长．解：（1）因为sin2A+sin2C﹣sin A sin C＝sin2B．由正弦定理可得，，由余弦定理可得，cos B＝，故sin B＝；（2）∵S△ABC＝＝＝，所以ac＝3，因为，所以＝4+8＝12，所以a+c+b＝2+2．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC，AB＝BC，∠APC＝120°，∠ABC＝90°，AC＝PB＝2．（1）求证：AC⊥PB；（2）求点C到平面PAB的距离．【分析】（1）取AC的中点为O，连接BO，PO，证明PO⊥AC，BO⊥AC，推出AC⊥平面OPB，即可证明AC⊥BP；（2）在直角三角形ABC中，由AC＝2，O为AC的中点，得BO＝1，求解PO＝，结合PB ＝，可得PO⊥BO，又PO⊥AC，得到PO⊥平面ABC，然后利用等体积法求点C到平面PAB 的距离．【解答】（1）证明：取AC的中点为O，连接BO，PO．在△PAC中，∵PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，在△BAC中，∵BA＝BC，O为AC的中点，∴BO⊥AC，∵OP∩OB＝O，OP，OB⊂平面OPB，∴AC⊥平面OPB，∵PB⊂平面POB，∴AC⊥BP；（2）解：在直角三角形ABC中，由AC＝2，O为AC的中点，得BO＝1，在等腰三角形APC中，由∠APC＝120°，得PO＝，又∵PB＝，∴PO2+BO2＝PB2，即PO⊥BO，又PO⊥AC，AC∩OB＝O，∴PO⊥平面ABC，求解三角形可得PA＝，又AB＝，得＝．设点C到平面PAB的距离为h，由V P﹣ABC＝V C﹣PAB，得，解得h＝，故点C到平面PAB的距离为．20．已知点P是抛物线C：y＝﹣3的顶点，A，B是C上的两个动点，且•＝﹣4．（1）判断点D（0，﹣1）是否在直线AB上？说明理由；（2）设点M是△PAB的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程．【分析】（1）由抛物线的方程可得顶点P的坐标，设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积•，再由题意•＝﹣4可得直线AB恒过（0，﹣1），即得D在直线AB上；（2）设A，B的坐标，可得直线PA，PB的斜率及线段PA，PB的中点坐标，进而求出线段PA，PB的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心M的坐标，由（1）可得M 的横纵坐标关于参数k的表达式，消参数可得M的轨迹方程．解：（1）由抛物线的方程可得顶点P（0，﹣3），由题意可得直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y＝kx+4，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与抛物线的方程：，整理可得：x2﹣4kx﹣4（b+3）＝0，△＝16k2+16（3+b）＞0，即k2+3+b＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4（b+3），y1y2＝k2x1x2+kb（x1+x2）+b2＝﹣4k2（b+3）+4k2b+b2＝b2﹣12k2，y1+y2＝k（x1+x2）+2b＝4k2+2b，因为＝（x1，y1+3）（x2，y2+3）＝x1x2+y1y2+3（y1+y2）+9＝﹣4（b+3）+b2﹣12k2+3（4k2+2b）+9＝b2+2b﹣3，而•＝﹣4，所以b2+2b﹣3＝﹣4，解得b＝﹣1，m满足判别式大于0，即直线方程为y＝kx﹣1，所以恒过（0，﹣1）可得点D（0，﹣1）是否在直线AB上．（2）因为点M是△PAB的外接圆的圆心，所以点M是三角形PAB三条边的中垂线的交点，设线段PA的中点为F，线段PB的中点为为E，因为P（0，﹣3），设A（x1，y1），B（x2，y2）所以F（，），E（，），k PA＝，k PB＝，所以线段PA的中垂线的方程为：y﹣＝﹣（x﹣），因为A在抛物线上，所以y1+3＝，PA的中垂线的方程为：y﹣+3＝﹣（x﹣），即y＝﹣x+﹣1，同理可得线段PB的中垂线的方程为：y＝﹣x+﹣1，联立两个方程，解得，由（1）可得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4（b+3）＝﹣8，所以x M＝﹣＝k，y M＝＝＝2k2，即点M（k，2k2），所以x M2＝，即点M的轨迹方程为：x2＝y．21．已知函数f（x）＝alnx﹣，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y ﹣2﹣e＝0．（1）求a，b的值；（2）证明函数f（x）存在唯一的极大值点x0，且f（x0）＜2ln2﹣2．【分析】（1）求导，可得f′（1）＝a，f（1）＝﹣be，结合已知切线方程即可求得a，b的值；（2）利用导数可得，x0∈（1，2），再构造新函数，利用导数求其最值即可得证．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，则f′（1）＝a，f（1）＝﹣be，故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ax﹣y﹣a﹣be＝0，又曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2﹣e＝0，∴a＝2，b＝1；（2）证明：由（1）知，，则，令g（x）＝2x﹣xe x+e x，则g′（x）＝2﹣xe x，易知g′（x）在（0，+∞）单调递减，又g′（0）＝2＞0，g′（1）＝2﹣e＜0，故存在x1∈（0，1），使得g′（x1）＝0，且当x∈（0，x1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（x1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，由于g（0）＝1＞0，g（1）＝2＞0，g（2）＝4﹣e2＜0，故存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故函数存在唯一的极大值点x0，且，即，则，令，则，故h（x）在（1，2）上单调递增，由于x0∈（1，2），故h（x0）＜h（2）＝2ln2﹣2，即，∴f（x0）＜2ln2﹣2．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）求C1与C2的普通方程；（2）若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，求sinα的值．【分析】（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；（2）把直线的参数方程代入C2的普通方程，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解．解：（1）由曲线C1的参数方程为（t为参数），消去参数t，可得y＝x tanα+1；由曲线C2的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，可得，即（y≥0）．（2）把（t为参数）代入，得（1+cos2α）t2+2t sinα﹣1＝0．∴，．∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝．解得：cos2α＝1，即cosα＝±1，满足△＞0．∴sinα＝0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．（1）求+的最小值；（2）证明：＜．【分析】（1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．解：（1），当且仅当“”时取等号，故+的最小值为；（2）证明：，当且仅当时取等号，此时a+b≠1．故＜．。

2020年广东省高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (2)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N+|x2−3x−4<0}，则集合A的真子集有()A. 7个B. 8个C. 15个D. 16个2.若复数z1,z2在复平面内对应点的坐标分别为(2,1)，(0,−1)，则z1⋅z2=()A. 2+iB. 1−2iC. −1−2iD. −i3.已知a⃗=(2,−1)，b⃗ =(x,2)，且a⃗||b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 4B. 3C. √5D. √104.f(x)=a+12x+1是奇函数，则a=()A. −12B. 12C. −1D. 15.如图是国家统计局今年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比)，根据该折线图，下列结论错误的是()A. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C. 2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D. 2019年3月全国居民消费价格环比变化最快6.若抛物线C：y2=2px的准线经过双曲线x212−y24=1的左焦点，则抛物线C的焦点坐标为()A. (4,0)B. (−4,0)C. (0,−4)D. (0,4)7.已知函数f(x)=|x|−1x，则函数y=f(x)的大致图象为()A. B. C. D.8.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为()A. 4√3B. 4√33C. 8√3D. 8√339.设，b=315，c=(15)0.4，则有()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a10.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=√2,c=√3,C=π3，则角A=()．A. π6B. π4C. π4或3π4D. π6或5π611.有一长方体木块，其顶点为ABCD−A1B1C1D1，AB=3，BC=2，AA1=1，一小虫从长方体木块的一顶点A绕其表面爬行到另一顶点C1，则小虫爬行的最短距离为()A. √14B. 3√2C. 2√5D. √2612.双曲线x2−y2=1的焦距为()A. √2B. 2√2C. 1D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}满足对任意的n∈N∗，都有a n+12=a n⋅a n+2，a1=1，a4=8，则a3=________．14.曲线y=f(x)=(x+1)e x在点(0,1)处的切线方程为________．15.函数f(x)=√3sinx+cosx在x=π3处有极______ 值．16.设函数f(x)=|2x−3|，则不等式f(x)<5的解集为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或骑单车方式通勤．分析显示：当S中x%(0<x<100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)={30,0<x⩽302x+1800x−90,30<x<100(单位：分钟)，而骑单车群体的人均通勤时间为g(x)={310x+31,0<x⩽7052,70<x<100(单位：分钟).试根据上述分析结果回答下列问题：(1)试确定x的取值范围，使得自驾群体的人均通勤时间少于骑单车群体的人均通勤时间；(2)求该地上班族S的人均通勤时间p(x)的表达式，讨论p(x)的单调性，并说明其实际意义．18.已知数列{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=13，a n b n+1+b n+1=nb n，(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求{a n b n}的前n项和．19.已知椭圆x216+y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆一点．若F1，F2，P为直角三角形的三个顶点，求点P到x轴的距离．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，△ABD 是边长为2√3的正三角形，∠CBD =∠CDB =30°，E 为棱PA 的中点．(Ⅰ)求证：DE//平面PBC ；(Ⅱ)若平面PAB ⊥平面ABCD ，PA =PB =2，求点E 到平面PBC 的距离．21. 已知函数f(x)=ax −ln(−x)，x ∈[−e,0)，其中e 为自然对数的底数．(1)当a =−1时，证明：f(x)+ln(−x)x >12． (2)是否存在实数a ，使f(x)的最小值为3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =t y =t +1(t 为参数)，曲线C 的参数方程是为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知射线OP：θ1=α(其中0<α<π2)与曲线C交于O，P两点，射线OQ：θ2=α+π2与直线l交于Q点，若△OPQ的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23.已知函数f(x)=|x|+|x−6|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤10的解集；(Ⅱ)记f(x)的最小值为m，若正实数a，b，c满足a+b+c=m，求证：√a+√2b+√3c≤m．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查集合的真子集的个数的求法，考查真子集定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出集合A={1,2，3}，由此求出集合A的真子集个数即可．解：∵集合A={x|x2−3x−4<0,x∈N+}={x|−1<x<4,x∈N+}={1,2，3}，∴集合A的真子集有：23−1=7．故选：A．2.答案：B解析：解：由已知：复数z1=2+i，z2=−i，所以z1⋅z2=(2+i)(−i)=1−2i．故选：B．由已知求出复数z1=2+i，z2=−i，相乘即可．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：本题考查向量共线的坐标运算，以及求向量的模，难度一般．由共线求出x，再求出a⃗+b⃗ =(−2,1)，计算出模即可．解：a⃗=(2,−1)，b⃗ =(x,2)，且a⃗||b⃗ ，所以4+x=0，则x=−4，则a⃗+b⃗ =(2+x,1)=(−2,1)，则|a⃗+b⃗ |=√4+1=√5．故选C．4.答案：A解析：解：∵f(x)=a+12x+1是奇函数，∴f(0)=a+12=0，解得a=−12．经过验证a=−12满足条件．故选：A．利用奇函数的性质f(0)=0即可得出．本题考查了奇函数的性质，属于基础题．5.答案：C解析：本题考查频率分布折线图，根据图中的数据逐一判断可得结果．解：由图中的数据可知：A，B，D三项判断都正确；对C.2019年全国居民消费价格同比涨幅最大是9月和10月，错误．故选C．6.答案：A解析：解：抛物线C：y2=2px的准线x=−p2经过双曲线x212−y24=1的左焦点(−4,0)，可得−p2=−4，即p=8，可得抛物线的焦点坐标为(4,0)，故选：A．求得抛物线的准线方程和双曲线的左焦点坐标，可得p，进而得到所求抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.答案：D解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，属于较易题．根据函数值的符号以及函数零点个数进行排除即可．解析：解：当x <0时，f(x)>0，排除A ，C ，由f(x)=0，得|x|−1x =0，得|x|=1x ，当x >0时，x =1x ，得x =1，即函数f(x)存在一个零点x =1，排除B ， 故选：D ． 8.答案：B解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，结合三棱锥的体积公式即可求解．【详解】解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥，所以三棱锥的体积为：13×12×2×2√3×2=4√33． 故选：B ．本题主要考查由几何体的三视图求几何体的体积，需要先判断几何体的形状，再由体积公式即可求解，属于基础题型．9.答案：B解析：解：，b =315>30=1，0<c =(15)0.4<(15)0=1，∴a <c <b ．故选：B ．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．10.答案：B解析：本题考查用正弦定理解三角形，是基础题.根据条件利用正弦定理可求sin A，再根据a与c的大小关系，确定A的范围，可求角A．解：由正弦定理可得：，所以sinA=√2，2又因为a<c，所以A<C，，所以A=π4故选B．11.答案：B解析：本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离，考查空间想象能力，运算求解能力，属于中档题．分三种情况，将两个平面展成一个平面后，对角线长最短，比较谁更小，即可．解：两点之间直线最短，可分三种情况：①当小虫沿表面经过棱BB1时，将平面A1ABB1和平面B1BCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为√25+1=√26；②当小虫沿着表面经过棱A1B1时，将平面A1ABB1和平面A1B1C1D1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为3√2；③当小虫沿着表面经过棱BC时，将平面ABCD和平面B1BCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为2√5；比较√26，3√2，2√5的大小可知，3√2最小．故选：B．12.答案：B解析：解：双曲线x2−y2=1的a=b=1，c=√1+1=√2，可得双曲线的焦距为2√2．故选：B．求得双曲线的a，b，c，可得焦距2c．本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．13.答案：4解析：本题考查了等比数列的通项公式，由题意得，数列{a n}为等比数列，设公比为q，由a4=a1q3=q3=8，得q的值，从而得出结果．2=a n⋅a n+2，解：∵数列{a n}满足对任意的n∈N∗，都有a n+1∴数列{a n}为等比数列，设公比为q，∴a4=a1q3=q3=8，得q=2，∴a3=a1q2=1×22=4，故答案为为4．14.答案：y=2x+1解析：本题考查利用导数求曲线的切线问题，属基础题．求出f(0)，f′，0)，利用点斜式可得切线方程．解：因为f(x)=(x+1)e x,得f′′(x)=(x+2)e x，f(0)=1，所以f′′(0)=2，所以切线方程为y−1=2x，即y=2x+1．15.答案：大解析：解：∵函数f(x)=√3sinx+cosx=2(√32sinx+12cosx)=2sin(x+π6)，∴f(π3)=2sin(π3+π6)=2，取得极大值．∴函数f(x)在x=π3处有极大值．故答案为：大．利用两角和差的正弦公式和正弦函数的单调性即可得出．本题考查了两角和差的正弦公式和正弦函数的单调性，属于基础题．16.答案：(−1,4)解析：解：∵f(x)=|2x−3|，∴f(x)<5，即|2x−3|<5，∴−5<2x−3<5，解得：−1<x<4，故答案为：(−1,4)．问题转化为|2x−3|<5，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题．17.答案：解：(1)当0<x≤30时，30<310x+31恒成立，所以0<x≤30，当30<x≤70时，由2x+1800x −90<310x+31，得17x 2−1210x+18000<0，解得36017<x<50，所以30<x<50，当70<x<100时，2x+1800x−90<52，即x 2−71x+900<0，又不等式在70<x<100无解，所以不存在这样的x，综上所述，0<x <50，故当x ∈(0,50)时，自驾群体的人均通勤时间少于骑单车群体的人均通勤时间；(2)依题意可得p(x)=f(x)·x%+g(x)·(1−x%)，= { −31000x 2+29100x +31,0<x ≤30171000x 2−91100x +49,30<x ≤70150x 2−7150x +70,70<x ≤100， 所以p(x)在区间(0,30)上单调递增，在[30,70]上单调递增，在[70,100)上单调递增，即函数p(x)在(0,100)上为增函数，实际意义：该地上班族S 人均通勤时间随自驾成员占比的增加而增加．解析：本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．(1)分段求出x 的范围，即可求出自驾群体的人均通勤时间少于骑单车群体的人均通勤时间．(2)分段求出p(x)的解析式，判断p(x)的单调性，再说明其实际意义．18.答案：解：(I)b 1=1，b 2=13，a n b n+1+b n+1=nb n ，可得a 1b 2+b 2=b 1，即a 1=2， 所以数列数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n =2+3(n −1)=3n −1；(II)由(I)和a n b n+1+b n+1=nb n ，可得b n+1=13b n ，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列，所以b n =(13)n−1，所以a n b n =(3n −1)⋅(13)n−1，前n 项和S n =2⋅(13)0+5⋅(13)1+⋯+(3n −1)⋅(13)n−1，13S n=2⋅(13)1+5⋅(13)2+⋯+(3n −1)⋅(13)n ， 相减可得23S n =2+3[(13)+(13)2+⋯+(13)n−1]−(3n −1)⋅(13)n=2+3⋅13(1−13n−1)1−13−(3n −1)⋅(13)n ， 化简可得前n 项和S n =214−6n+74⋅(13)n−1．解析：(I)由等差数列的通项公式可得所求；(II)由等比数列的通项公式可得b n =(13)n−1，即有a n b n =(3n −1)⋅(13)n−1，由数列的错位相减法求和可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简整理的运算能力，属于中档题．19.答案：解：由题意，得a=4，b=3，则c=√a2−b2=√7．)，又由题意，可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为(±√7,±94；则点P到x轴的距离为94>3，舍去．当以点P为三角形的直角顶点时，点P的纵坐标为9√77解析：本题主要考查了椭圆的性质，由椭圆的标准方程求出c，分别以F1，F2，P为直角顶点进行求．20.答案：(Ⅰ)证明：取AB中点F，连接EF、DF，∴EF//PB，DF⊥AB．∵∠CBD=∠FDB=30°，∴∠ABC=90°，即CB⊥AB，∴DF//BC，∵EF、DF⊂平面DEF，PB、BC⊂平面PBC，∴平面DEF//平面PBC，∵DE⊂平面DEF，∴DE//平面PBC．(Ⅱ)解：∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC．∴在△PAB中，过E作EG⊥PB交BP的延长线于G点，则EG的长为点E到平面PBC的距离，设点A到PB的距离为h，则12×PB ×ℎ=12×AB ×PF ⇒12×2×ℎ=12×2√3×1，即ℎ=√3，∴EG =12ℎ=√32，即点E 到平面PBC 的距离为√32．解析：(Ⅰ)取AB 中点F ，连接EF 、DF ，利用三角形中位线定理、等边三角形的性质可得：EF//PB ，DF ⊥AB.进而得到DF//BC.于是平面DEF//平面PBC ，即可证明DE//平面PBC ．(Ⅱ)由平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，可得BC ⊥平面PAB ，平面PAB ⊥平面PBC.在△PAB 中，过E 作EG ⊥PB 交BP 延长线于G 点，则EG 的长为点E 到平面PBC 的距离，设点A 到PB 的距离为h ，利用S △PAB =12PF ⋅AB =12ℎ⋅PB ，即可得出．本题考查了空间位置关系、线面面面判平行与垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理、平行线的判定方法、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21.答案：(1)证明：由题意可知：所证不等式为f(x)>12−ln(−x)x ，(x ∈[−e,0))， ∵f′(x)=−1−1x −x+1x ，故−e ≤x <−1时，f′(x)<0，此时f(x)递减，当−1<x <0时，f′(x)>0，f(x)递增，故f(x)在[−e,0)上有唯一极小值f(−1)=1，即f(x)在[−e,0)上的最小值是1，令ℎ(x)=12−ln(−x)x ，x ∈[−e,0)， 则ℎ′(x)=ln(−x)−1x 2，当−e ≤x <0时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在[−e,0)递减，故ℎ(x)max =ℎ(−e)=1e +12<12+12=1=f(x)min ，故a =−1时，f(x)+ln(−x)x >12； (2)解：假设存在实数a ，使得f(x)=ax −ln(−x)的最小值是3，f′(x)=a −1x ，x ∈[−e,0)，①若a ≥−1e ，由于x ∈[−e,0)，则f′(x)=a −1x ≥0，故函数f(x)=ax −ln(−x)在[−e,0)上递增，故f(x)min =f(−e)=−ae −1=3，解得：a =−4e <−1e 与a ≥−1e 矛盾，舍，②若a <−1e ，则当−e ≤x <1a 时，f′(x)=a −1x <0，此时f(x)=ax −ln(−x)递减，当1a <x <0时，f′(x)=a −1x >0，此时f(x)递增，故f(x)min =f(1a )=1−ln(−1a )=3，解得：a =−e 2，综上，由①②知：存在实数a =−e 2，使得f(x)的最小值是3．解析：(1)求出f(x)的最小值，令ℎ(x)=12−ln(−x)x ，x ∈[−e,0)，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最大值，从而证明结论；(2)通过讨论a 的范围，求出f(x)的最小值，求出a 的值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 22.答案：解：(Ⅰ)直线l 的参数方程是{x =ty =t +1(t 为参数)，转换为直角坐标方程为：x −y +1=0．转换为极坐标方程为：ρcosθ−ρsinθ+1=0．曲线C 的参数方程是为参数)， 转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．(Ⅱ)由于0<α<π2，所以|OP|=4cosα，，|OQ|=1sinα+cosα，所以S △OPQ =12|OP||OQ|=2cosαcosα+sinα=1，所以tanα=1，由于0<α<π2，故α=π4，=2√2．所以|OP|=4cosπ4解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)当x⩽0时，由−2x+6⩽10，解得−2⩽x⩽0；当0<x⩽6时，因为6<10，所以0<x⩽6；当x>6时，由2x−6⩽10，解得6<x⩽8，综上可知，不等式f(x)⩽10的解集为[−2,8]．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)的最小值为6，即m=6，所以a+b+c=6，由柯西不等式可得(a+b+c)(1+2+3)=((√a)2+(√b)2+(√c)2)((√1)2+(√2)2+(√3)2)⩾(√a+√2b+√3c)2，因此√a+√2b+√3c⩽6=m．解析：本题考查了绝对值不等式的解法及柯西不等式的应用，属于中档题．(Ⅰ)利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f(x)⩽10的解集；(Ⅱ)利用绝对值不等式，求出m，再利用柯西不等式进行证明．。

2020年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，则满足A∩∁U B＝{1，2}的集合B可以是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，7}C．{3，4，5，6}D．{1，2，3}2．复数z=4+3i3−4i（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1B．2C．5D．13．已知向量a→=(12，−1)向量b→满足2a→+b→=（﹣1，m），若a→⊥b→，则m＝（）A．﹣3B．3C．1D．24．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为（）A．x24+y22=1B．x22+y2=1C．x23+y22=1D．x24+y23=15．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则y＝f（t）的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．6．若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为（ ）A ．−19B ．−59C ．19D ．597．甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（ ）A ．14B ．13C ．16D ．1368．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ）A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 39．执行如图的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x 轴垂直，且交双曲线C 于A ，B 两点，若△ABO 是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√5+12B ．√5−12C ．√5−1D ．√5+111．在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．32√3C ．2√3D ．52√312．已知f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f （1）＝0，且当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣1，0）∪（1，π2）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（−π2，﹣1）∪（1，π2） D ．（−π2，﹣1）∪（0，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ ．14．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为 ．15．如图，已知三棱锥P ﹣ABC 满足PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为 ．16．函数f（x）＝sinπx+a cosπx满足f（x）＝f（13−x），x∈[0，32]，方程f（x）﹣m＝0恰有两个不等的实根，则实数m的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}为单调递增的等差数列，设其前n项和为S n，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及取得最小值时n的值．18．某城市2018年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[160，180）n10.04[180，200）19f1[200，220）n20.22[220，240）250.25[240，260）150.15[260，280）10f2[280，300]50.05（1）求表中n1，n2，f1，f2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u（单位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u与年份t的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x＝t﹣2014，y＝u﹣195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u关于t的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy ∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．19．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB＝1，AA1＝2．（1）证明：CD∥平面A1EB；（2）求点A1到平面BDE的距离．20．动圆C与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1，x2是方程x2+2mx﹣4＝0的两根．（1）若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；（2）证明：当动圆C过点M（0，1）时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．21．已知函数f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）当m＜0时，证明：在（0，1）上f（x）存在唯一零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，则满足A∩∁U B＝{1，2}的集合B可以是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，7}C．{3，4，5，6}D．{1，2，3}【分析】根据题意得出1，2∉B，即可判断结论．解：∵集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A＝{1，2，3，4}，要满足A∩∁U B＝{1，2}；则1，2∉B，故符合条件的选项为C．故选：C．【点评】本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题．2．复数z=4+3i3−4i（i为虚数单位）的虚部为（）A．﹣1B．2C．5D．1【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵z=4+3i3−4i=(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i，∴复数z=4+3i3−4i的虚部是1，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．已知向量a→=(12，−1)向量b→满足2a→+b→=（﹣1，m），若a→⊥b→，则m＝（）A ．﹣3B ．3C ．1D ．2【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得m 的值．解：向量a →=(12，−1)，向量b →满足2a →+b →=（﹣1，m ），设b →=（ x ，y ），则（1+x ，﹣2+y ）＝（﹣1，m ），∴1+x ＝﹣1，且﹣2+y ＝m ， 求得x ＝﹣2，m ＝y ﹣2．若a →⊥b →，则a →⋅b →=x 2−y ＝﹣1﹣y ＝0，故y ＝﹣1，∴m ＝y ﹣2＝﹣3， 故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．4．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A ，B ，若四边形AF 2BF 1是正方形且面积为4，则椭圆C 的方程为（ ） A ．x 24+y 22=1B ．x 22+y 2=1C ．x 23+y 22=1D ．x 24+y 23=1【分析】由四边形AF 2BF 1是正方形且面积为4可得b ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出a 的值，进而求出椭圆的面积． 解：由AF 2BF 1是正方形可得b ＝c ，再由AF 2BF 1的面积为4可得12•2c •2b ＝4，即bc ＝2，又a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程为：x 24+y 22=1；故选：A ．【点评】本题考查椭圆的性质，及正方形的面积与对角线的关系，属于中档题． 5．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t （0＜t ≤2）左侧的图形的面积为f （t ），则y ＝f （t ）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据面积的变换趋势与t 的关系进行判断即可．解：当0＜x ＜1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD ，不合适， 当1≤x ≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A ， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与t 的关系是解决本题的关键．难度不大．6．若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为（ ）A．−19B．−59C．19D．59【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解．解：∵sin(π+α)=√23，∴可得sinα=−√23，∴sin(2α−π2)=−cos2α＝2sin2α﹣1＝2×（−√23）2﹣1=−59．故选：B．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（）A．14B．13C．16D．136【分析】基本事件总数n=C42=6，由此能求出甲、乙两人选的2本恰好相同的概率．解：甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，基本事件总数n=C42=6，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率p=1 6．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．8．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为（）A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 3【分析】由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解． 解：如图，正方体AC 1 的棱长为40cm ，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm 3．又正方体的体积为V ＝40×40×40＝64000cm 3，∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm 3， 故选：B ．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题．9．执行如图的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得A=12，k＝1满足条件1≤i，执行循环体，A=25，k＝2满足条件2≤i，执行循环体，A=512，k＝3满足条件3≤i，执行循环体，A=1229，k＝4满足条件4≤i，执行循环体，A=2970，k＝5满足条件5≤i，执行循环体，A=70 169，k＝6由题意，此时不满足条件6≤i，退出循环，输出A的值为70 169，可得输入i的值为5．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．已知O是坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．√5+12B．√5−12C．√5−1D．√5+1【分析】由双曲线的性质，结合通径以及半焦距，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．解：由题意可知：|AF |=b 2a，双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x 轴垂直，且交双曲线C 于A ，B 两点，若△ABO 是等腰直角三角形，可得c =b 2a =c 2−a 2a，e ＝e 2﹣1，e ＞1解得e =√5+12．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．11．在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．32√3 C ．2√3D ．52√3【分析】先根据向量的三角形法则得到AD →=13AB →+23AC →；对其两边平方，求出bc 的取值范围即可求得结论．解：因为在△ABC 中，已知A ＝60°，D 是边BC 上一点，且BD ＝2DC ，AD ＝2，；∴AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23（AC →−AB →）=13AB →+23AC →；∴AD →2=19AB →2+2×13AB →×23AC →+49AC →2；即：4=19c 2+49bc •cos60°+49b 2⇒36＝c 2+2bc +4b 2≥2√c 2⋅4b 2+2bc ＝6bc ；∴bc ≤6，（当且仅当2b ＝c 时等号成立）；∵S △ABC =12bc sin A ≤12×6×√32=3√32． 即△ABC 面积的最大值为：3√32．故选：B ．【点评】本题考查△ABC 的面积的求法以及向量知识的综合应用，涉及到基本不等式，属于中档题目．12．已知f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f （1）＝0，且当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣1，0）∪（1，π2）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（−π2，﹣1）∪（1，π2） D ．（−π2，﹣1）∪（0，1）【分析】令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，根据f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，可得函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，可得x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0．x ＝0时，f （0）＝0，舍去．根据f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，可得g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．进而得出不等式f （x ）＜0的解集．解：令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝f （x ）cos x +f ′（x ）sin x ＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，∴g ′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，∴x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0． x ＝0时，f （0）＝0，舍去．∵f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，∴g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．∴不等式f （x ）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）． 故选：B ．【点评】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ −13．【分析】求出f （x ）的导数，然后根据切线与直线ex +y +2020＝0平行，得f ′（e ）＝﹣e ，列出关于m 的方程，解出m 的值． 解：f ′（x ）＝m （2xlnx +x ），又曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，∴f ′（e ）＝3em ＝﹣e ，解得m =−13．故答案为：−13．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和运算能力．14．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为 7 ．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分由{x =2x −y =−1，得A （2，3） 目标函数z ＝2x +y 可看做斜率为﹣2的动直线，其纵截距越大z 越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大＝2×2+3＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．15．如图，已知三棱锥P﹣ABC满足PA＝PB＝PC＝AB＝2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为3227√3π．【分析】因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA＝PB ＝PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中由勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA＝PB＝PC＝AB＝2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP＝OA＝R，在△OAD 中，R 2＝r 2+（PD ﹣R ）2， 即R 2＝1+（√3−R ）2，解得：R =2√3=2√33， 所以外接球的体积V =4π3R 3=32√327π， 故答案为：32√327π．【点评】本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．16．函数f （x ）＝sin πx +a cos πx 满足f （x ）＝f （13−x ），x ∈[0，32]，方程f （x ）﹣m ＝0恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为 √3≤m ＜2或﹣2＜m ≤﹣1 ． 【分析】首先利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的图象求出函数f （x ）的图象和函数y ＝m 的交点，进一步求出结果．解：函数f （x ）＝sin πx +a cos πx 满足f （x ）＝f （13−x ），则函数的对称轴为x =16，当x =16时，函数f （x ）取得最值，即±√1+a 2=sin π6+acos π6，整理得a 2−2√3a +3=0，解得a =√3， 所以f （x ）＝sin πx +√3cosπx =2sin （πx +π3）． 由于x ∈[0，32]，所以π3≤πx +π3≤3π2+π3=11π6，根据函数的图象，当√3≤m＜2或﹣2＜m≤﹣1时，函数的f（x）的图象与y＝m有两个交点，即方程f （x）﹣m＝0恰有两个不等的实根，故答案为：√3≤m＜2或﹣2＜m≤﹣1．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的应用，函数的零点和函数的图象的交点的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知{a n}为单调递增的等差数列，设其前n项和为S n，S5＝﹣20，且a3，a5+1，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及取得最小值时n的值．【分析】（1）设等差数列的公差为d，d＞0，由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，注意n为正整数，可得所求最值．解：（1）{a n}为单调递增的等差数列，设公差为d，d＞0，由S5＝﹣20，可得5a1+10d＝﹣20，即a1+2d＝﹣4，①由a3，a5+1，a9成等比数列，可得a3a9＝（a5+1）2，即（a1+2d）（a1+8d）＝（a1+4d+1）2，化为2a1d＝2a1+1+8d，②由①②解得d=12，a1＝﹣5，则a n＝﹣5+12（n﹣1）=12（n﹣11）；（2）S n=12n（﹣5+n−112）=14（n2﹣21n）=14[（n−212）2−4414]，由于n为正整数，可得n＝10或11时，S n取得最小值−55 2．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比中项的性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．18．某城市2018年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[160，180）n10.04[180，200）19f1[200，220）n20.22[220，240）250.25[240，260）150.15[260，280）10f2[280，300]50.05（1）求表中n1，n2，f1，f2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u（单位：千瓦时）作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u与年份t的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x＝t﹣2014，y＝u﹣195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u关于t的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy ∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【分析】（1）根据频数、频率和样本容量的关系可分别求出n1，n2，f1，f2的值；设样本的中位数为a，根据中位数的性质可列出关于a的方程，解之即可得解；（2）①根据折线图中的数据和x＝t﹣2014，y＝u﹣195，算出每组数据对应的x和y值即可；②由①中的数据，可求出x，y，再根据a，b的参考公式，求出这两个系数后可得y关于x的线性回归方程，再把t和u代入化简即可得u关于t的线性回归方程；令t＝2020，算出u的值就是所求．解：（1）n1＝100×0.04＝4；n2＝100×0.22＝22；f1=19100=0.19；f2=10100=0.1．设样本频率分布表的中位数为a，则0.04+0.19+0.22+0.25×120×(a−20)=0.5，解得a＝224，由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数m为224千瓦时．（2）①数据预处理如下表：x＝t﹣2014﹣4﹣2024 y＝u﹣195﹣21﹣1101929②由①可知，x=0，y=−21−11+0+19+295=3.2，∴b=∑n i=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2=(−4)×(−21)+(−2)×(−11)+2×19+4×29(−4)2+(−2)2+22+42=26040=6.5，a=y−b x=3.2−6.5×0=3.2，∴y关于x的线性回归方程为y=6.5x+3.2，∵x＝t﹣2014，y＝u﹣195，∴u﹣195＝6.5（t﹣2014）+3.2，故u关于t的线性回归方程为u＝6.5t﹣12892.8，当t＝2020时，u＝6.5×2020﹣12892.8＝237.2（千瓦时）．故预测2020年该市居民月均用电量的中位数为237.2千瓦时．【点评】本题考查对频数、频率分布表的认识、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB＝1，AA1＝2．（1）证明：CD∥平面A1EB；（2）求点A1到平面BDE的距离．【分析】（1）取A1B的中点F，连接EF，DF，由三角形中位线定理可得DF∥A1A，DF=12A1A，再由已知得到DF∥EC，DF＝EC，得四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF．由直线与平面平行的判定可得CD∥平面A1EB；（2）证明CD⊥平面A1ABB1，又由（1）知，CD∥EF，得到EF⊥平面A1ABB1，再证明AB⊥平面CDE，得AB⊥DE，则BD⊥DE，分别求出平面BDE与平面A1BD的体积，然后利用等体积法求点A1到平面BDE的距离．【解答】（1）证明：取A1B的中点F，连接EF，DF，∵D，F分别是AB，A1B的中点，∴DF∥A1A，DF=12A1A，∵A1A∥C1C，A1A＝C1C，E是C1C的中点，∴DF∥EC，DF＝EC，可得四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF．∵CD⊄平面A1EB，EF⊂平面A1EB，∴CD∥平面A1EB；（2）解：∵△ABC是正三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，则A1A⊥CD．∵A1A∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1，又由（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面A1ABB1，∵AB ＝1，AA 1＝2，∴CD =√32，则S △A 1BD =12×2×12=12．∴V E−A1BD=13S △A 1BD ⋅EF =13×12×√32=√312． 在Rt △CDE 中，DE =√CD 2+CE 2=√72．∵AB ⊥CD ，AB ⊥CE ，CD ∩CE ＝C ， ∴AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ．∴S △BDE =12×12×√72=√78．设点A 1到平面BDE 的距离为d ，由V A 1−BDE =V E−A 1BD ，得13S △BDE ⋅d =√312，即13×√78=√312，则d =2√217．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．20．动圆C 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1，x 2是方程x 2+2mx ﹣4＝0的两根．（1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点M （0，1）时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值． 【分析】（1）由韦达定理可得到x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝﹣4，从而求得圆心与半径，进而求得动圆C 的方程；（2）先设出动圆C 的方程，再由题设条件解决D 、E 、F 的值，进而求出动圆C 在y 轴上截得弦长．解：（1）∵x 1，x 2是方程x 2+2mx ﹣4＝0的两根，∴x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝﹣4． ∵动圆C 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且线段AB 是动圆C 的直径， ∴动圆C 的圆心C 的坐标为（﹣m ，0），半径为|AB|2=|x 2−x 1|2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 22=√m +4．∴动圆C 的方程为（x +m ）2+y 2＝m 2+4；（2）证明：设动圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，∵动圆C 与y 轴交于M （0，1），N （0，y 1），令y ＝0则x 2+Dx +F ＝0，由题意可知D ＝2m ，F ＝﹣4，又动圆C 过点M （0，1），∴1+E ﹣4＝0，解得E ＝3．令x ＝0，则y 2+3y ﹣4＝0，解得y ＝1或y ＝﹣4，∴y 1＝﹣4．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为|y 1﹣1|＝5．故动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点评】本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于基础题． 21．已知函数f （x ）＝e x +（m ﹣e ）x ﹣mx 2． （1）当m ＝0时，求函数f （x ）的极值；（2）当m ＜0时，证明：在（0，1）上f （x ）存在唯一零点．【分析】（1）将m ＝0带入，求导得f ′（x ）＝e x ﹣e ，再求出函数f （x ）的单调性，进而求得极值；（2）求导得f ′（x ）＝e x ﹣2mx +m ﹣e ，令g （x ）＝f ′（x ），对函数g （x ）求导后，可知g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，而g（0）＜0，g（1）＞0，进而函数f （x）在（0，1）上的单调性，再运用零点存在性定理可得证．解：（1）当m＝0时，f（x）＝e x﹣ex，f′（x）＝e x﹣e，又f′（x）是增函数，且f′（1）＝0，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝0，无极大值；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，则g′（x）＝e x﹣2m，当m＜0时，则g′（x）＞0，故g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，又g（0）＝f′（0）＝1+m﹣e＜0，g（1）＝f′（1）＝﹣m＞0，∴存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x∈（x0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，又∵f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）在（0，1）上存在唯一零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q 的轨迹为C2．设P（ρ1，θ），Q（ρ，θ），则：ρ1cosθ﹣2ρ1sinθ＝1，即ρ1=1cosθ−2sinθ，由于|OP|•|OQ|＝2，所以ρ＝2cosθ﹣4sinθ，整理得ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝5（原点除外）．（2）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣1＝0．曲线C2的圆心为（1，﹣2），半径为√5，所以圆心到直线C1的距离d=√1+(−2)=5．所以|MN|=2√(√5)2−(4√5)2=6√5．由于点O到C1的距离d2=|−1|√1+(−2)=1√5所以S△OMN=12×|MN|×d2=12×6√51√5=35．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得|x﹣1|+12|x+3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．讨论x≤﹣2恒成立，x＞﹣2时，可得|x﹣k|≥x+12恒成立，讨论﹣2＜x≤﹣1，x＞﹣1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．解：（1）当k＝1时，不等式f（x）≤1即为|x﹣1|+12|x+3|≤3，等价为{x≥1x−1+12x+32≤3或{−3＜x＜11−x+12x+32≤3或{x≤−31−x−12x−32≤3，解得1≤x≤53或﹣1≤x＜1或x∈∅，则原不等式的解集为[﹣1，53 ]；（2）f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，即为|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．当x≤﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥0≥x+2恒成立；当x＞﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立等价为|x﹣k|+x+32≥x+2，即|x﹣k|≥x+12恒成立，当﹣2＜x≤﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立；当x＞﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立等价为x﹣k≥x+12或x﹣k≤−x+12恒成立．即x≥2k+1或x≤23（k−12）恒成立，则2k+1≤﹣1解得k≤﹣1，所以k的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年广东省高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年广东省高考数学（文科）模拟试卷（7）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．（5分）已知复数z 满足z =2−i1+i ，则z ＝（ ） A ．1+3i 2B ．1−3i 2C ．3+i 2D ．3−i 23．（5分）已知a =312，b =log 2√3，c =log 3√2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a4．（5分）在区间[−π2，π2]上机取一个实数x ，则sin x 的值在区间[−12，√32]上的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1+√345．（5分）若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，且a 1+a 3＝﹣10与a 7+a 8＝12，则S 10＝（ ） A ．16B ．18C ．20D ．246．（5分）设函数f （x ）={x +1，x ≥0−x 2−1，x ＜0，a ＝f （0.7﹣0.5），b ＝f （log 0.77），c ＝f （log 0.75），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c7．（5分）已知|a →|=2，(2a →−b →)⊥a →，则b →在a →方向上的投影为（ ） A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣48．（5分）设m 、n 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，则“α∥β”是“m ∥β且n ∥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（5分）设函数f （x ）＝lg （x 2+1），则使得f （3x ﹣2）＞f （x ﹣4）成立的x 的取值范围为（ ） A ．(13，1) B ．（﹣1，32）C ．（﹣∞，32)D ．(−∞，−1)∪(32，+∞)10．（5分）在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，AB ＝BD ＝2，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC ＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．411．（5分）已知双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝120°，∠F 1PF 2的平分线交x 轴于点A ，则|P A |＝（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．√512．（5分）若将函数f(x)=2sin(3x +π4)的图象向右平移a （a ＞0）个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为（ ） A ．π4B ．5π4C ．π12D ．5π12二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为 分钟．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1y ≥2(x −2)，若z ＝x +ty （t ＞0）的最大值为11，则实数t ＝ ．15．（5分）已知数列{a n }（n ∈N *）满足a 1＝1，且a n+1=nn+1a n，则通项公式a n ＝ ． 16．（5分）已知抛物线C ：y =18x 2的焦点为F ，点P 在C 上，且|PF |＝10，则△POF （其中O 坐标原点）的面积为 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分） 17．（12分）已知函数f(x)=cosx(√3sinx −cosx)+12 （1）求f （x ）的周期，对称轴方程，单调增区间 （2）若f （A ）＝1，若a =2√3，△ABC 的面积为5√34，求△ABC 的周长． 18．（12分）如图，ABCD 是平行四边形，AP ⊥平面ABCD ，BE ∥AP ，AB ＝AP ＝2，BE ＝BC ＝1，∠CBA ＝60°． （Ⅰ）求证：EC ∥平面P AD ； （Ⅱ）求四面体B ﹣ACE 的体积．19．（12分）我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施．国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图）为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到如表：年龄区间[24，26][27，29][30，32][33，35][36，38][39，41][42，44][45，47][48，50]有意愿数808187888483837066（1）设每个年龄区间的中间值为x，有意愿数为y，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数r（结果保留两位小数（2）从[24，26]，[33，35]，[39，41]，[45，47]，[48，50]这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻．设其中不愿意生育二孩的夫妻数为X，求X的分布列和数学期望．（参考数据和公式：r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i −x)2∑i=1i−y)2，b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x，∑9i=1（x i−x）（y i−y）=∑9i=1x iy i−x∑9i=1y i，∑9i=1x i y i＝26340，√224640≈473.96．）20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)，左焦点F （﹣2，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线x ＝﹣4上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标x 0是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）＝mx 3+nx 2（m ，n ∈R ，m ＞n 且m ≠0）的图象在（2，f （2））处的切线与x 轴平行． （1）试确定m 、n 的符号；（2）若函数y ＝f （x ）在区间[n ，m ]上有最大值为m ﹣n 2，试求m 的值． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)． （1）求：①曲线C 1的普通方程； ②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；（2）设点M 的极坐标为(6，π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |． （1）求不等式f （x ）≤2的解集；（2）若f （x ）的最大值为m ，正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝m ，求证：a 2+b 2+c 2≥3．2020年广东省高考数学（文科）模拟试卷（7）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x ∈N |1＜x ＜5}＝{2，3，4}． 故选：C ．2．（5分）已知复数z 满足z =2−i1+i ，则z ＝（ ） A ．1+3i 2B ．1−3i 2C ．3+i 2D ．3−i 2【解答】解：z =2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=12−32i ， 故选：B ． 3．（5分）已知a =312，b=log 2√3，c =log 3√2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a【解答】解：∵312＞30=1，12=log 2√2＜log 2√3＜log 22=1，log 3√2＜log 3√3=12，∴a ＞b ＞c ． 故选：A ．4．（5分）在区间[−π2，π2]上机取一个实数x ，则sin x 的值在区间[−12，√32]上的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1+√34【解答】解：∵−12≤sin x ≤√32，当x ∈[−π2，π2]时，x ∈[−π6，π3]．∴所求概率P =π3−(−π6)π2−(−π2)=12，故选：B ．5．（5分）若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，且a 1+a 3＝﹣10与a 7+a 8＝12，则S 10＝（ ） A ．16B ．18C ．20D ．24【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 3＝﹣10，a 7+a 8＝12， ∴2a 1+2d ＝﹣10，6d +5d ＝22， 联立解得a 1＝﹣7，d ＝2． 则S 10＝﹣7×10+10×92×2=20． 故选：C ．6．（5分）设函数f （x ）={x +1，x ≥0−x 2−1，x ＜0，a ＝f （0.7﹣0.5），b ＝f （log 0.77），c ＝f （log 0.75），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c【解答】解：根据f （x ）的解析式可看出：x ≥0时，f （x ）＞0；x ＜0时，f （x ）＜0，且f （x ）在（﹣∞，0）上是增函数， 又log 0.77＜log 0.75＜0，且0.7﹣0.5＞0，∴f(log 0.77)＜f(log 0.75)＜0＜f(0．7−0.5)， ∴a ＞c ＞b ． 故选：B ．7．（5分）已知|a →|=2，(2a →−b →)⊥a →，则b →在a →方向上的投影为（ ） A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣4【解答】解：|a →|=2，(2a →−b →)⊥a →，所以（2a →−b →）•a →=2a →2−a →⋅b →=2×4−a →⋅b →=0， 解得a →⋅b →=8；所以b →在a →方向上的投影为 |b →|cos θ=a →⋅b →|a →|=82=4． 故选：C ．8．（5分）设m 、n 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，则“α∥β”是“m ∥β且n ∥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：m 、n 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β， 则“α∥β”⇒“m ∥β且n ∥α”，反之不成立． ∴“α∥β”是“m ∥β且n ∥α”的充分不必要条件． 故选：A ．9．（5分）设函数f （x ）＝lg （x 2+1），则使得f （3x ﹣2）＞f （x ﹣4）成立的x 的取值范围为（ ） A ．(13，1) B ．（﹣1，32）C ．（﹣∞，32)D ．(−∞，−1)∪(32，+∞)【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝lg （x 2+1），其定义域为R ，有f （﹣x ）＝lg （x 2+1）＝f （x ），即函数f （x ）为偶函数， 设t ＝x 2+1，则y ＝lgt ，在区间[0，+∞）上，t ＝x 2+1为增函数且t ≥1，y ＝lgt 在区间[1，+∞）上为增函数， 则f （x ）＝lg （x 2+1）在[0，+∞）上为增函数，f （3x ﹣2）＞f （x ﹣4）⇒f （|3x ﹣2|）＞f （|x ﹣4|）⇒|3x ﹣2|＞|x ﹣4|， 解可得：x ＜﹣1或x ＞32，即x 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（32，+∞）；故选：D ．10．（5分）在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，AB ＝BD ＝2，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC ＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4【解答】解：如图所示，取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，则EF ∥AC ． 则∠BEF 为异面直线AC 与BE 所成的角． ∴∠BEF ＝60°． 设BC ＝x ，则BE ＝EF =√x 2+42，BF =√2．∴△BEF 为等边三角形， 则√x 2+42=√2，解得x ＝2．故选：B ．11．（5分）已知双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝120°，∠F 1PF 2的平分线交x 轴于点A ，则|P A |＝（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．√5【解答】解：由题意可得a 2＝1，b 2＝3，在三角形PF 1F 2中，设P 在右支上，由余弦定理可得F 1F 22＝PF 12+PF 22﹣2PF 1•PF 2•cos120°＝（PF 1﹣PF 2）2+2PF 1•PF 2+PF 1PF 2，即4c 2＝4a 2+3PF 1PF 2，所以可得PF 1PF 2=4(c 2−a 2)3=4b 23=4×33=4，PF 1﹣PF 2＝2a ＝2，可得PF 1=√5+1，PF 2=√5−1， 所以S△PF 1F 2=12PF 1⋅PF 2•sin120°=12×4⋅√32=√3，因为P A 为角平分线，所以∠F 1P A ＝∠F 2P A ＝60°， 而S △PF 1F 2=S△PF 1A+S△PF 2A=12（PF 1•P A sin60°+PF 2•P A •sin60°）=12P A •（PF 1+PF 2）⋅√32=√34P A （√5+1+√5−1）=√3⋅√52P A ，所以√3=√3⋅√52P A ，所以P A =2√55， 故选：B ．12．（5分）若将函数f(x)=2sin(3x +π4)的图象向右平移a （a ＞0）个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为（ ） A ．π4B ．5π4C ．π12D ．5π12【解答】解：将函数f(x)=2sin(3x +π4)的图象向右平移a （a ＞0）个单位长度， 可得y ＝2sin （3x ﹣3a +π4）的图象， 根据所得图象关于坐标原点对称， 可得﹣3a +π4=k π，k ∈Z ， 则a 的最小值为π12，故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为 7.5 分钟．【解答】解：因为：有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟； 所以：平均用时：7×6+14×7+15×8+4×107+14+15+4=7.5，故答案为：7.5．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1y ≥2(x −2)，若z ＝x +ty （t ＞0）的最大值为11，则实数t ＝ 4 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z ＝x +ty 得y =−1t x +zt ， 平移直线y =−1tx +z t ，由图象知当直线y =−1t x +zt 经过点A 时，直线的截距最大此时z 最大为11， 由{y =2y =2(x −2)得A （3，2）， 则3+2t ＝11，得2t ＝8，t ＝4， 故答案为：4．15．（5分）已知数列{a n }（n ∈N *）满足a 1＝1，且a n+1=nn+1a n ，则通项公式a n ＝ 1n．【解答】解：数列{a n }（n ∈N *）满足a 1＝1，且a n+1=nn+1a n ， 则：a n+1a n =n n+1，a n a n−1=n−1n，…，a 3a 2=23，a 2a 1=12，所以a na n−1⋅⋯⋅a 3a 2⋅a 2a 1=n−1n ⋅⋯⋅23⋅12， 所以a n a 1=1n ，故：a n =1n （首项符合通项）， 所以a n =1n． 故答案为：1n ．16．（5分）已知抛物线C ：y =18x 2的焦点为F ，点P 在C 上，且|PF |＝10，则△POF （其中O 坐标原点）的面积为 8 ．【解答】解：由抛物线的方程可得焦点F 坐标为：（0，2），准线方程为：y ＝﹣2， |PF |＝10，可得y P +2＝10，所以y P ＝8，代入抛物线的方程可得|x P |＝8， 所以S △POF =12|OF|⋅|x P |=12×2×8=8， 故答案为：8．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分） 17．（12分）已知函数f(x)=cosx(√3sinx −cosx)+12（1）求f （x ）的周期，对称轴方程，单调增区间 （2）若f （A ）＝1，若a =2√3，△ABC 的面积为5√34，求△ABC 的周长． 【解答】解：（1）∵f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +12=√32sin2x −12cos2x =sin(2x −π6)， ∴ω＝2，f （x ）的周期T =2π2=π； 令2x −π6=k π+π2（k ∈Z ），解得：x ＝k π+π3（k ∈Z ），即函数的对称轴方程为x ＝k π+π3，（k ∈Z ）； 令2k π−π2≤2x −π6≤2k π+π2（k ∈Z ），解得：k π−π6≤x ≤k π+π3，（k ∈Z ）， 则f （x ）的单调增区间为[k π−π6，k π+π3]（k ∈Z ）； （2）∵f （A ）＝sin （2A −π6）＝1，又A ∈（0，π），2A −π6∈（−π6，11π6），∴2A −π6=π2，可得A =π3， 又∵a =2√3，△ABC 的面积为5√34， ∴12bcsinA =√34bc =5√34， ∴bc ＝5，∴由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即12＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣15，解得：b +c =3√3，∴△ABC 的周长为a +b +c =2√3+3√3=5√3．18．（12分）如图，ABCD 是平行四边形，AP ⊥平面ABCD ，BE ∥AP ，AB ＝AP ＝2，BE ＝BC ＝1，∠CBA ＝60°． （Ⅰ）求证：EC ∥平面P AD ； （Ⅱ）求四面体B ﹣ACE 的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵BE ∥AP ，BE ⊄平面P AD ，AP ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD ．同理可证BC ∥平面P AD ， ∵BC ∩BE ＝B ，∴平面BCE ∥平面P AD ． ∵EC ⊂平面BCE ，∴EC ∥平面P AD ．（Ⅱ）解：∵P A ⊥平面ABCD ，BE ∥AP ，∴BE ⊥平面ABCD ， 即BE ⊥平面ABC ，∴V B ﹣ACE ＝V E ﹣ABC ， 在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， ∴S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin∠ABC =12×2×1×√32=√32， V E−ABC =13S △ABC ⋅BE =13×√32×1=√36，故四面体B ﹣ACE 的体积为√36． 19．（12分）我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施．国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图）为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到如表：年龄区间 [24，26] [27，29] [30，32] [33，35] [36，38] [39，41] [42，44] [45，47] [48，50] 有意愿数80 81 87 88 84 83 83 70 66（1）设每个年龄区间的中间值为x ，有意愿数为y ，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数r （结果保留两位小数（2）从[24，26]，[33，35]，[39，41]，[45，47]，[48，50]这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻．设其中不愿意生育二孩的夫妻数为X ，求X 的分布列和数学期望． （参考数据和公式：r =∑n i=1i −x)(y i −y)√∑i=1i −x)2∑i=1i −y)2，b =∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2，a =y −b x ，∑ 9i=1（x i −x ）（y i −y ）=∑ 9i=1x i y i −x ∑ 9i=1y i ，∑ 9i=1x i y i ＝26340，√224640≈473.96．）【解答】解：（1）根据题意可得，x =25+28+31+34+37+40+43+46+497=37，∑ 9i=1y i =720，y =80，∑ 9i=1x i y i ＝26340，∑ 9i=1（x i −x ）（y i −y ）=∑ 9i=1x i y i −x ∑ 9i=1y i ＝26340﹣37×720＝﹣300， 又∑ 9i=1(x i −x)2=540，∑ 9i=1(y i −y)2=416，所以∑ 9i=1（x i −x ）2 ⋅∑ 9i=1（y i −y ）2＝540×416＝224640，所以b =∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2=−300540=−59， a =y −b x =80+59×37≈100.56， 故线性回归方程为：y =−59x +100.56， 相关系数r =∑n i=1i −x)(y i −y)√∑i=1i −x)2∑i=1i −y)2=224640≈−300473.96≈−0.63；（2）根据题意，在[24，26]，[33，35]，[39，41]这三个年龄段中，超过半数的夫妻由生育二孩的意愿，在[45，47]，[48，50]这两个年龄段中，超过半数的夫妻没有生育二孩的意愿， 所以从5对夫妻中任选2对，其中不愿意生育二孩的夫妻数X ＝0，1，2， 其中P(X =0)=C 20C 32C 52=0.3，P(X =1)=C 21C 31C 52=0.6，P(X =2)=C 22C 52=0.1，X 的分布列如下：X 0 1 2 P0.30.60.1EX ＝0×0.3+1×0.6+2×0.1＝0.8． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)，左焦点F （﹣2，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线x ＝﹣4上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标x 0是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)，左焦点F （﹣2，0），可得c ＝2，2a =√42+(√2)2+√0+(√2)2=4√2，即a ＝2√2，b =√a 2−c 2=2， 可得椭圆的方程为x 28+y 24=1；（Ⅱ）D 点的横坐标为定值﹣3．理由如下：直线l 的斜率不为0，设AB ：x ＝my ﹣2，联立椭圆方程x 2+2y 2＝8，可得（2+m 2）y 2﹣4my ﹣4＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1，y 2≠0，y 1+y 2=4m 2+m 2，y 1y 2=−42+m 2，两式相除可得y 1+y 2y 1y 2=−m ，由N （﹣4，y 1），可设BN 的方程为y ﹣y 1=y 2−y 1x 2+4（x +4）， 令y ＝0，可得x 0=−y 1x 2−4y 1y 2−y 1−4=−y 1x 2−4y 2y 2−y 1=−y 1(my 2−2)−4y 2y 2−y 1=−my 1y 2+2y 1−4y 2y 2−y 1=y 1+y 2+2y 1−4y 2y 2−y 1=3y 1−3y 2y 2−y 1=−3．则D 点的横坐标为定值﹣3．21．（12分）已知函数f （x ）＝mx 3+nx 2（m ，n ∈R ，m ＞n 且m ≠0）的图象在（2，f （2））处的切线与x 轴平行． （1）试确定m 、n 的符号；（2）若函数y ＝f （x ）在区间[n ，m ]上有最大值为m ﹣n 2，试求m 的值． 【解答】解：（I ）由图象在（2，f （2））处的切线与x 轴平行， 知f '（2）＝0，∴n ＝﹣3m ① 又n ＜m ，故n ＜0，m ＞0．（II ）令f ′（x ）＝3mx 2+2nx ＝3mx 2﹣6mx ＝0， 得x ＝0或x ＝2易证x ＝0是f （x ）的极大值点，x ＝2是极小值点（如图）． 令f （x ）＝f （0）＝0，得x ＝0或x ＝3．分类：（I ）当0＜m ≤3时，f （x ）max ＝f （0）＝0，∴m ﹣n 2＝0．② 由①，②解得m =19，符合前提0＜m ≤3． （II ）当m ＞3时，f （x ）max ＝f （m ）＝m 4+m 2n ， ∴m 4+m 2n ＝m ﹣n 2．③由①，③得m 3﹣3m 2+9m ﹣1＝0． 记g （m ）＝m 3﹣3m 2+9m ﹣1，∵g ′（m ）＝3m 2﹣6m +9＝3（m ﹣1）2+6＞0，∴g （m ）在R 上是增函数，又m ＞3，∴g （m ）＞g （3）＝26＞0， ∴g （m ）＝0在（3，+∞）上无实数根．综上，m 的值为m =19． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)． （1）求：①曲线C 1的普通方程； ②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；（2）设点M 的极坐标为(6，π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值． 【解答】解：（1）①因为{x =1+cosαy =sinα，又sin 2α+cos 2α＝1，所以（x ﹣1）2+y 2＝1，即曲线C 1的的普通方程为（x ﹣1）2+y 2＝1；②由ρ2＝x 2+y 2得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝1，又直线l 的直角坐标方程为x ﹣y ＝0，所以{x 2+y 2=1x −y =0⇒{x 1=√22y 1=√22或{x 2=−√22y 2=−√22， 所以曲线C 2与直线l 的交点的直角坐标为(√22，√22)和(−√22，−√22)．（2）设N （ρ，θ），又由曲线C 1的普通方程为（x ﹣1）2+y 2＝1得其极坐标方程ρ＝2cos θ．∴△MON 的面积S =12|OM|⋅|ON|⋅sin∠MON =12|6ρsin(π3−θ)|=|6cosθsin(π3−θ)|=|3sin(π3−2θ)+3√32|=|3cos(2θ+π6)+3√32|． 所以当θ=23π12或θ=11π12时，(S △MON )max =3+3√32． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |． （1）求不等式f （x ）≤2的解集；（2）若f （x ）的最大值为m ，正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝m ，求证：a 2+b 2+c 2≥3． 【解答】解：（1）∵f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |，f （x ）≤2， ∴当x ≤0时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（3﹣x ）+2x ＝x +3， 由f （x ）≥2，得x +3≥2，解得x ≥﹣1，此时﹣1≤x ≤0 当0＜x ＜3时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（3﹣x ）﹣2x ＝3﹣3x ， 由f （x ）≥2，得3﹣3x ≥2，解得x ≤13，此时0＜x ≤13； 当x ≥3时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（x ﹣3）﹣2x ＝﹣x ﹣3≤﹣6， 此时不等式f （x ）≥2无解，综上，不等式f （x ）≥2的解集为[−1，13]．（2）由（1）可知，f(x)={x +3，x ≤03−3x ，0＜x ＜3−x −3，x ≥3．当x ≤0时，f （x ）＝x +3≤3；当0＜x ＜3时，f （x ）＝3﹣3x ∈（﹣6，3）； 当x ≥3时，f （x ）＝﹣x ﹣3≤﹣6．∴函数y ＝f （x ）的最大值为m ＝3，则a +b +c ＝3． 由柯西不等式可得（1+1+1）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +c ）2， 即3（a 2+b 2+c 2）≥32，即a 2+b 2+c 2≥3， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 因此a 2+b 2+c 2≥3．。

2020年广东省高考数学一模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩(C U B)=()A. {0}B. {0,1,2,3,4}C. {0,1}D. {1}2.设i是虚数单位，复数7+4i1+2i=()A. 3+2iB. 3−2iC. 2+3iD. 2−3i3.设向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(m+1,−m)，a⃗⊥b⃗ ，则实数m的值为()A. −1B. 1C. −13D. −234.如图，F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为√3的正三角形，则b2的值为()A. √6B. 2√3C. 12D. 15.若a>1，b<0，则函数y=a x+b的图象有可能是()A.B.C.D.6.已知sin(α+π3)=13，则sin(2α−5π6)的值是()A. −13B. 13C. −79D. 797.甲、乙两人掷骰子，若甲掷出的点数记为a，乙掷出的点数记为b，则|a−b|≤1的概率为()A. 49B. 718C. 29D. 198.如果一个正四面体的体积为163√2dm3，则其表面积S的值为()A. 16dm2B. 18 dm2C. 18√3dm2D. 16√3dm29.执行如图所示的程序，则输入的i的值为()A. −1B. 0C. −1或2D. 210. 双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a,b >0)的上焦点为F ，存在直线x =t 与双曲线C 交于A ，B 两点，使得△ABF 为等腰直角三角形，则该双曲线离心率e =( )A. √2B. 2C. √2+1D. √5+111. 在△ABC 中，点D 为边AB 上一点，若BC ⊥CD ，AC =3√2，AD =√3，sin∠ABC =√33，则△ABC 的面积是( )A. 6√2B. 15√22 C. 9√22D. 12√212. 已知函数f(x)=x −sinx ，则不等式f(x +1)+f(2−2x)>0的解集是( )．A. (−∞,13)B. (−13,+∞)C. (−∞,3)D. (3,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设曲线y =lnx −12x 2在点(1,−12)处的切线与直线ax +y +1=0平行，则a = ______ ． 14. 设x ，y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y ≥−1x −y ≤0，则z =3x −2y 的最小值为________． 15. 已知三棱锥S −ABC 中，SA ⊥BC ，AB =BC =SA =√22BS =√22AC =2，则三棱锥S −ABC 外接球的体积为______．16. 已知x ∈(0,π]，关于x 的方程2sin(x +π3)=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，a 1+a 2=4，a 3−a 2=6．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若ka n ，S n ，−1成等差数列对于n ∈N +都成立，求实数k 的值．18. 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份2002 2004 2006 2008 2010需求量(万吨) 236 246 257 276 286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂;(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.(附：线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b̂=i=1∑n (x i −x)(y i −y)n ∑i=1(x i −x)2，a ̂=y −b̂x)19. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =2，D ，E 分别为AA 1、B 1C 的中点． (1)证明：DE//平面ABC ；(2)若AE ⊥平面BDC ，求C 1到平面BCD 的距离．20.已知点A(1,1)，B(−1,3)．(1)求以AB为直径的圆C的方程；(2)若直线x−my+1=0被圆C截得的弦长为√6，求m值．21.已知函数f(x)=(x2−2x−5)e2x−1，求函数f(x)的极值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)，在以坐标原点为)+√2=0，P为直线极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(φ+π4l上的任意一点(1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；。

2020年广东省高考数学（文科）模拟试卷（6）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，4，6}，B ＝{1，4，7，8}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{4}B ．{2，3，6}C ．{2，3，7}D ．{2，3，4，7}2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足z⋅i 3+2i=1−i ，则z =（ ） A ．1+5iB ．﹣1﹣5iC ．1﹣5iD ．﹣1+5i3．（5分）从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．454．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．1655．（5分）某商场在售的三类食品共200种的分布情况如图所示，质检部门要从中抽取一个容量为40的样本进行质量检测，则抽取的植物油类食品的种数是（ ）A ．8B ．12C ．24D ．306．（5分）已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长PF 2交椭圆于点Q ．若△PF 1Q 是等腰直角三角形且PF 1为斜边，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√6−√3B ．√2−1C ．√3−√2D ．2−√27．（5分）已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)的最小正周期为2π，则f （x ）的单调递增区间是（ ）A ．[2kπ−π6，2kπ+π6](k ∈Z) B ．[2kπ−π3，2kπ+2π3](k ∈Z) C ．[2kπ−2π3，2kπ+π3](k ∈Z)D ．[2kπ−π6，2kπ+5π6](k ∈Z)8．（5分）斐波那契数列（Fibonaccisequence ）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契（Leonardodafibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，现从数列的前2024项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（ ） A ．14B ．13C ．23D ．129．（5分）已知菱形ABCD 边长为1，∠BAD ＝60°，则BD →⋅CD →=（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√3210．（5分）已知函数f （x ）＝x 3﹣x 和点P （1，﹣1），则过点P 与该函数图象相切的直线条数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．（5分）一个空间几何体的正视图是长为4，宽为√3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4√33B ．4√3C ．2√33D ．2√312．（5分）已知函数f （x ）＝（x 2﹣a ）e﹣x的图象过点（√3，0），若函数f （x ）在（m ，m +1）上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，2] B ．[2，+∞）C ．[0，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）已知函数f （x ）=xe x +x+2e x +1+sin x ，则f （﹣5）+f （﹣4）+f （﹣3）+f （﹣2）+f （﹣1）+f （0）+f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）的值是14．（5分）已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1=12，S 2＝a 3，则S 7＝ ． 15．（5分）已知已知a 、b 为正实数，直线x +y +1＝0截圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝4所得的弦长为2√2，则a+1ab的最小值为16．（5分）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P 在棱AA 1上，四棱锥P ﹣BDD 1B 1的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积取值范围是 ． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a−c b−c=sinB sinA+sinC．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，求b +c 的取值范围．18．（12分）如图（1）所示，在四棱锥S ﹣ABCD 中，∠BAD ＝∠CDA ＝∠CBD ＝2∠ABD ＝90°，平面SBD ⊥平面ABCD ，且△SBD 为边长为√2的等边三角形．（1）求证：CB ⊥DS ；（2）过S 作ST ∥BD ，使得四边形STDB 为菱形，连接TA ，TD ，TC ，得到的图形如图（2）所示，若平面BMN ∥平面ADT ，且直线DC ∩平面BMN ＝M ，直线TC ∩平面BMN ＝N ，求三棱锥D ﹣MNB 的体积．19．（12分）随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：支付宝用户非支付宝用户合计 中老年 90 青年 120 合计300（1）完成列联表，并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系？ （2）把频率作为概率，从所有无现金支付用户中（人数很多）随机抽取3人，用X 表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求X 的分布列与数学期望． 附： P （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax ． （1）讨论f （x ）在其定义域内的单调性；（2）若a ＝1，且f （x 1）＝f （x 2），其中0＜x 1＜x 2，求证：x 1+x 2+x 1x 2＞3．21．（12分）已知抛物线C ：y =x 24的焦点为F ，直线l ：x ﹣2y ﹣4＝0，点P （1，2），M 是抛物线C 上的动点．（1）求|MP |+|MF |的最小值及相应点M 的坐标； （2）点M 到直线l 距离的最小值及相应点M 的坐标；（3）直线l '过点P 与抛物线C 交于A 、B 两点，交直线l 于Q 点，若QA →=aAP →，QB →=bBP →，求a +b 的值．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）＝|x+2|+|2x﹣3|．（1）求不等式f（x）＞6的解集；（2）若函数f（x）的最小值为m，正实数a，b满足a2+b29=m，证明：1a+3b≥4√77．2020年广东省高考数学（文科）模拟试卷（6）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，4，6}，B ＝{1，4，7，8}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{4}B ．{2，3，6}C ．{2，3，7}D ．{2，3，4，7}【解答】解：∵U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{2，3，4，6}，B ＝{1，4，7，8}， ∴∁U B ＝{2，3，5，6}，A ∩（∁U B ）＝{2，3，6}． 故选：B ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足z⋅i 3+2i=1−i ，则z =（ ） A ．1+5iB ．﹣1﹣5iC ．1﹣5iD ．﹣1+5i【解答】解：因为z⋅i3+2i=1−i ，所以z •i ＝（1﹣i ）•（3+2i ）＝5﹣i ，所以z =−1−5i ，z −1+5i ， 故选：D ．3．（5分）从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【解答】解：从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，基本事件总数n =C 52=10，选中的2人是1名男同学1名女同学包含的基本事件个数m =C 21C 31=6，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是p =m n =610=35． 故选：C ．4．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方． 取得最小值：(4+1)2=165．故选：D ．5．（5分）某商场在售的三类食品共200种的分布情况如图所示，质检部门要从中抽取一个容量为40的样本进行质量检测，则抽取的植物油类食品的种数是（ ）A ．8B ．12C ．24D ．30【解答】解：由题意知，利用分层抽样方法从中抽取容量为40的样本， 需要抽取的植物油类食品种数是40×30%＝12（种）． 故选：B ．6．（5分）已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长PF 2交椭圆于点Q ．若△PF 1Q 是等腰直角三角形且PF 1为斜边，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√6−√3B ．√2−1C ．√3−√2D ．2−√2【解答】解：根据条件可得PQ ⊥F 1Q 且PQ ＝F 1Q ，设PF 1＝t ，则PQ ＝F 1Q =√22t ，根据椭圆的定义可知PF 2＝2a ﹣t ，则QF 2＝PQ ﹣PF 2=√22t ﹣（2a ﹣t ）＝（√22+1）t ﹣2a ，则t +√2t ＝4a ，解得t ＝4（√2−1）a ， 所以F 2Q ＝（√22+1）t ﹣2a ＝（√22+1）⋅4(√2−1)a ﹣2a ＝2（√2−1）a ， F 1Q =√22t =√22×4(√2−1)a =2√2(√2−1)a ，在RT △F 1QF 2中，F 1Q 2+F 2Q 2＝F 1F 22， 即[2（√2−1）a ]2+[2√2(√2−1)a ]2＝4c 2，整理得e 2=c 2a2=3（3﹣2√2），则e =√3（√2−1）=√6−√3，故选：A ．7．（5分）已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)的最小正周期为2π，则f （x ）的单调递增区间是（ ）A ．[2kπ−π6，2kπ+π6](k ∈Z) B ．[2kπ−π3，2kπ+2π3](k ∈Z) C ．[2kπ−2π3，2kπ+π3](k ∈Z)D ．[2kπ−π6，2kπ+5π6](k ∈Z)【解答】解：∵f(x)=√3sinωx −cosωx =2sin(ωx −π6)，它的最小正周期T =2πω=2π，∴ω=1，故f(x)=2sin(x −π6)．由2kπ−π2≤x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，得2kπ−π3≤x ≤2kπ+2π3，k ∈Z ． 所以，f （x ）的单调递增区间是[2kπ−π3，2kπ+2π3](k ∈Z)， 故选：B ．8．（5分）斐波那契数列（Fibonaccisequence ）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契（Leonardodafibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，现从数列的前2024项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（ ） A ．14B ．13C ．23D ．12【解答】解：根据题意，“兔子数列”满足：a 1＝a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1， 其数列的项依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……则第一项被3整除的余数为1，第二项被3整除的余数为1，则第三项被3整除的余数为2，故其第四项可以被3整除，同理：第五项被3整除的余数为1，第六项被3整除的余数为1，则第七项被3整除的余数为2，故其第八项可以被3整除，依此类推，分析可得数列中第4n 项（n ≥1且n ∈Z ）可以被3整除， 数列的前2024项中，有506项可以被3整数，故现从数列的前2024项中随机抽取1项，能被3整除的概率P =5062024=14； 故选：A ．9．（5分）已知菱形ABCD 边长为1，∠BAD ＝60°，则BD →⋅CD →=（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32【解答】解：菱形ABCD 边长为1，∠BAD ＝60°，则BD →⋅CD →=|BD →||CD →|cos60°=1×1×12=12． 故选：A ．10．（5分）已知函数f （x ）＝x 3﹣x 和点P （1，﹣1），则过点P 与该函数图象相切的直线条数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：∵f （1）＝13﹣1＝0，∴点P （1，﹣1）不在函数的图象上， 设切点坐标为（x 0，y 0），则y 0=x 03−x 0，则f '（x ）＝3x 2﹣1， 由导数的几何意义可知，过切点的斜率为k =3x 02−1， 过P （1，﹣1）的切线的斜率k =y 0+1x 0−1，∴{y 0=x 03−x 0y 0+1x 0−1=3x 02−1，∴x 0＝0或x 0=32， ∴切点有两个，∴有两条切线方程． 故选：B ．11．（5分）一个空间几何体的正视图是长为4，宽为√3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4√33B ．4√3C ．2√33D ．2√3【解答】解：由题意可知，三视图复原的几何体是放倒的正三棱柱，如图所示：，正三角形的边长为2，高为√3，正三棱柱的高为4， 所以正三棱柱的体积为：12×2×√3×4=4√3，故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）＝（x 2﹣a ）e﹣x的图象过点（√3，0），若函数f （x ）在（m ，m +1）上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，2] B ．[2，+∞）C ．[0，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【解答】解：∵f （x ）＝（x 2﹣a ）e ﹣x的图象过点（√3，0），∴a ＝3；∴f(x)=x 2−3e x ，∴f ′(x)=−(x−3)(x+1)e x；令f ′（x ）≥0，则﹣1≤x ≤3； ∴f （x ）的单调递增区间为[﹣1，3]， ∴{m ≥−1m +1≤3； ∴﹣1≤m ≤2 故选：A ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知函数f （x ）=xe x +x+2e x +1+sin x ，则f （﹣5）+f （﹣4）+f （﹣3）+f （﹣2）+f（﹣1）+f （0）+f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）的值是 11【解答】解：∵f （x ）=xe x +x+2e x +1+sin x =2e x +1+x +sinx ，∴f （﹣x ）+f （x ）=2e x +1+x +sinx +2e −x +1−x −sinx ， =2e x +1+2e x1+e x =2，则f （﹣5）+f （﹣4）+f （﹣3）+f （﹣2）+f （﹣1）+f （0）+f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）， ＝5×2+1＝11． 故答案为：11．14．（5分）已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1=12，S 2＝a 3，则S 7＝ 14 ． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1=12，S 2＝a 3， ∴2×12+d =12+2d ，解得d =12． 则S 7＝7×12+7×62×12=14． 故答案为：14．15．（5分）已知已知a 、b 为正实数，直线x +y +1＝0截圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝4所得的弦长为2√2，则a+1ab的最小值为 3+2√2【解答】解：圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝4的圆心坐标为（a ，b ），半径为2， 圆心到直线x +y +1＝0距离为d =|a+b+1|√2， 又直线x +y +1＝0截圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝4所得的弦长为2√2，∴4=(a+b+1)22+2，即a +b ＝1（a ＞0，b ＞0）．∴a+1ab=2a+b ab =2b+1a =（2b +1a）（a +b ）=2a b +b a +3≥3+2√2a b ⋅ba =3+2√2． 当且仅当2a b=ba，即a =√2−1，b ＝2−√2时上式取等号．故答案为3+2√2．16．（5分）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P 在棱AA 1上，四棱锥P ﹣BDD 1B 1的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积取值范围是 [2π，17π8] ．【解答】解取矩形BB 1D 1D 的外心即对角线的交点E ，过E 做垂直于面BB 1D 1D 垂线交AA 1于M ，则M 为AA 1的中点，ME =√22，在ME 上取O 使OP ＝OB ＝OA 为外接球的半径R ，当P 在AA 1的中点时，R 最小，当P 在A 或A 1时，R 最大．当P 在AA 1的中点时，连接OB ，则OB 2＝BE 2+OE 2＝BE 2+（ME ﹣OM ）2，即R 2＝（√22）2+（√22−R ）2，解得R =1√2，所以R 2=12；当P 在A 或A 1时，连接OA ，在三角形AMO 中，R 2＝AO 2＝（AA 12）2+MO 2＝（12）2+MO 2，①在三角形OBE 中，R 2＝OB 2＝BE 2+（ME ﹣MO ）2＝（√22）2+（√22−MO ）2，② ①②联立可得MO =34√2，即球心为AA 1的中点时外接球的半径中点，且为R 2=14+932=1732， 所以球的表面积S ＝4πR 2∈[2π，178π]， 故答案为：[2π，17π8]．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a−c b−c=sinB sinA+sinC．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，求b +c 的取值范围． 【解答】解：（1）△ABC 中，由a−c b−c=sinB sinA+sinC，利用正弦定理可得：a−c b−c=b a+c，化为：b 2+c 2﹣a 2＝bc ；由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc =12，A ∈（0，π）；∴A =π3；（2）在△ABC 中，由正弦定理得asinπ3=b sinB=c sinC，又a ＝2，所以b =4√33sinB ， c =4√33sinC =4√33sin(2π3−B)， 所以b +c =4√33sinB +4√33sin(2π3−B)=4√33(32sinB +√32cosB)=4sin(B +π6)； 因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B +π6＜5π6， 所以12＜sin(B +π6)≤1， 所以b +c ∈（2，4]，即b +c 的取值范围是（2，4]．18．（12分）如图（1）所示，在四棱锥S ﹣ABCD 中，∠BAD ＝∠CDA ＝∠CBD ＝2∠ABD ＝90°，平面SBD ⊥平面ABCD ，且△SBD 为边长为√2的等边三角形．（1）求证：CB ⊥DS ；（2）过S 作ST ∥BD ，使得四边形STDB 为菱形，连接TA ，TD ，TC ，得到的图形如图（2）所示，若平面BMN ∥平面ADT ，且直线DC ∩平面BMN ＝M ，直线TC ∩平面BMN ＝N ，求三棱锥D ﹣MNB 的体积．【解答】（1）证明：∵∠CBD ＝90°，∴CB ⊥BD ， 又平面SBD ∩平面ABCD ＝BD ，平面SBD ⊥平面ABCD ， 故CB ⊥平面SBD ；又SD ⊂平面SBD ，故CB ⊥DS ； （2）解：∵平面BMN ∥平面ADT ， 故AD ∥BM ，DT ∥MN ，又AB∥DM，故DM＝AB＝1，∴点M是DC的中点，又△CDT中，MN∥DT，M是DC的中点，∴N是TC的中点，故V D−MNB=V N−DMB=12V T−DMB=12V S−DMB，设BD的中点为O，∵DS＝DB＝BS，∴SO⊥DB，又∵平面SBD⊥平面ABCD，∴SO⊥平面ABCD，故V D−MNB=12V S−DMB=12×13×SO×S△BDM=16×√62×12=√624．19．（12分）随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：支付宝用户非支付宝用户合计中老年90青年120合计300（1）完成列联表，并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系？（2）把频率作为概率，从所有无现金支付用户中（人数很多）随机抽取3人，用X表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求X的分布列与数学期望．附：P （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．【解答】解：（1）列联表补充如下支付宝用户非支付宝用户合计 中老年 60 90 150 青年 120 30 150 合计180120300K 2=300(60×30−120×90)2150×150×180×120=50＞6.635，故有99%的把握认为支付宝用户与年龄有关系．（2）把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以X 的取值依次为0，1，2，3，且X 服从二项分布B(3，35)P(X =0)=C 30(1−35)3=8125；P(X =1)=C 31⋅35(1−35)2=36125 P(X =2)=C 32⋅(35)2(1−35)1=54125；P(X =3)=C 33(35)3=27125所以X 的分布列为X 0123P8125361255412527125EX =0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=9520．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax ． （1）讨论f （x ）在其定义域内的单调性；（2）若a ＝1，且f （x 1）＝f （x 2），其中0＜x 1＜x 2，求证：x 1+x 2+x 1x 2＞3． 【解答】解：（1）f ′(x)=1x −a =1−axx①当a ≤0时，f '（x ）＞0，则f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增； ②当a ＞0时，x ∈(0，1a )，f′(x)＞0，f(x)在区间(0，1a)上单调递增； x ∈(1a ，+∞)，f′(x)＜0，f(x)在区间(1a ，+∞)上单调递减，（2）由（1）得：当a ＝1时，f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴0＜x 1＜1＜x 2，将要证的不等式转化为x 2＞3−x11+x 1，考虑到此时，x 2＞1，3−x 11+x 1＞1，又当x ∈（1，+∞）时，﹣f （x ）递增， 故只需证明﹣f （x 2）＞﹣f （3−x 11+x 1），即证−f(x 1)＞−f(3−x11+x 1)，设Q （x ）=x −lnx −3−x 1+x +ln(3−x 1+x )， 则Q ′(x)=1−1x +4(x+1)2+4(x+1)(x−3)，=x−1x +4(x+1)[1x+1+1x−3]，=x−1x +4(x+1)⋅2(x−1)(x+1)(x−3)=(x−1)2(x 2+3)x(x−3)(x+1)2当x ∈（0，1）时，Q '（x ）＜0，Q （x ）递减．所以，当x ∈（0，1）时，Q （x ）＞Q （1）＝0．所以f(x 1)＞f(3−x11+x 1)，从而命题得证．21．（12分）已知抛物线C ：y =x 24的焦点为F ，直线l ：x ﹣2y ﹣4＝0，点P （1，2），M 是抛物线C 上的动点．（1）求|MP |+|MF |的最小值及相应点M 的坐标； （2）点M 到直线l 距离的最小值及相应点M 的坐标；（3）直线l '过点P 与抛物线C 交于A 、B 两点，交直线l 于Q 点，若QA →=aAP →，QB →=bBP →，求a +b 的值．【解答】解：（1）抛物线的方程整理可得x 2＝4y ，所以焦点F （0，1），准线方程为y ＝﹣1，设MN 垂直于准线于N ，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以求|MP |+|MF |＝|MP |+|MN |≥|PN |，当P ，M ，N 三点共线时取得最小值，而|PN |＝2﹣（﹣1）＝3， 所以|MP |+|MF |的最小值为3，这时M （1，14）；（2）设与直线l 平行的直线为：x ﹣2y +c ＝0，与抛物线的方程联立{x −2y +c =0y =x 24整理可得4y 2﹣4（c +1）y +c 2＝0，△＝16（c +1）2﹣16c 2＝0，解得c =−12，将c =−12代入方程4y 2﹣4（c +1）y +c 2＝0可得y =14，代入x ﹣2y −12=0，可得x ＝1，即M （1，14），所以点M 到直线l 距离的最小值即为两条平行线间的距离d =|−12+4|√5=7√510，M （1，14）；（3）显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为：y ﹣2＝k （x ﹣1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），Q （x 0，y 0），联立直线l '与抛物线的方程{y −2=k(x −1)y =x 24，整理可得：x 2﹣4kx +4k ﹣8＝0，x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝4k ﹣8，联立l '，l 的直线的方程{x −2y −4=0y =k(x −1)+2，解得x 0=2k−82k−1，QA →=aAP →，x 1﹣x 0＝a （1﹣x 1），可得a =x 1−x 01−x 1， QB →=bBP →，x 2﹣x 0＝b （1﹣x 2），所以b =x 2−x 01−x 2， 所以a +b=x 1−x01−x 1+x 2−x 01−x2(x 1−x 0)(1−x 2)+(x 2−x 0)(1−x 1)(1−x 1)(1−x 2)=(x 1+x 2−2)x 0+x 1+x 2−2x 1x 2(1−x 1)(1−x 2)，又（x 1+x 2﹣2）x 0+x 1+x 2﹣2x 1x 2＝（4k ﹣2）⋅2k−82k−1+4k ﹣2（4k ﹣8）＝2（2k ﹣8）+4k ﹣2（4k ﹣8）＝0， 所以a +b ＝0．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①． 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =√3cosθ+sinθ−6|2=|2sin(θ+π3)−6|2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =2=4√2． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +2|+|2x ﹣3|． （1）求不等式f （x ）＞6的解集；（2）若函数f （x ）的最小值为m ，正实数a ，b 满足a 2+b29=m ，证明：1a +3b ≥4√77．【解答】解：（1）f （x ）＝|x +2|+|2x ﹣3|={3x −1，x ＞325−x ，−2≤x ≤32−3x +1，x ＜−2．即{3x −1＞6x ＞32，或{5−x ＞6−2≤x ≤32，或{−3x +1＞6，x ＜−2， 解得x ＞73或x ＜﹣1，所以原不等式的解集为{x|x ＞73或x ＜−1}．（2）证明：由（1）知当x =32时，f （x ）有最小值72，所以m =72，a 2+b 29=72．因为(1a +3b)2=1a 2+9b 2+6ab ， 所以1a +9b +6ab=27(a 2+b 29)(1a +9b +6ab)=27(2+b 29a +6a b+2b 3a+9a 2b )，因为9a 2b +b 29a ≥2，6a b+2b 3a≥4，当且仅当b ＝3a 时取等号，所以(1a +3b )2≥167，当且仅当b ＝3a 时取等号， 所以1a +3b≥4√77，当且仅当a =√72，b =3√72时取等号．。