数学归纳法(二)

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法原理(六种)：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】一行骨牌，如果都充分地靠近在一起（即留有适当间隔），那么只要推倒第一个，这一行骨牌都会倒塌；竖立的梯子，已知第一级属于可到达的范围，并且任何一级都能到达次一级，那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级；一串鞭炮一经点燃，就会炸个不停，直到炸完为止；……，日常生活中这样的事例还多着呢！数学归纳法原理设P(n)是与自然数n有关的命题．若(I)命题P(1)成立；(Ⅱ)对所有的自然数k，若P(k)成立，推得P(k+1)也成立.由（I）、(Ⅱ)可知命题P(n)对一切自然数n成立．我们将在“最小数原理”一章中介绍它的证明，运用数学归纳法原理证题的方法，是中学数学中的一个重要的方法，它是一种递推的方法，它与归纳法有着本质的不同．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律，但是，仅根据一系列有限的特殊事例得出的一般结论的真假性还不能肯定，这就需要采用数学归纳法证明它的正确性．一个与自然数n有关的命题P(n)，常常可以用数学归纳法予以证明，证明的步骤为：(I)验证当n取第1个值no时，命题P(no)成立，这一步称为初始验证步．(Ⅱ)假设当n=k(k∈N，后≥no)时命题P(k)成立，由此推得命题P(k+1)成立．这一步称为归纳论证步．(Ⅲ)下结论，根据(I)、(Ⅱ)或由数学归纳法原理断定，对任何自然数(n≥no)命题 P(n)成立．这一步称为归纳断言步，为了运用好数学归纳法原理，下面从有关注意事项与技巧及运用递推思想解题等几个方面作点介绍．运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧三个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第三步是递推的过程与结论．三步缺一不可．数学归纳法的其他几种形式还有：第二数学归纳法；跳跃数学归纳法；倒推数学归纳法（反向归纳法）；分段数学归纳法二元有限数学归纳法；双向数学归纳法；跷跷板数学归纳法；同步数学归纳法等。

数学归纳法（2）教学目标：1、了解归纳法的原理，巩固对数学归纳法概念的理解；2、掌握数学归纳法证明命题过程中的注意点 ；3、能进行简单的归纳、猜想、并能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

教学重难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

复习回顾：1、数学归纳法的适用范围：2、数学归纳法证明的一般步骤：典型例题：例1. 用数归法证明()22111,11n n a a a a a a++-+++⋅⋅⋅+=≠-，在验证1n =时，左端=练习：欲用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n ，总有32n n >”则所取的第一个n 值，最小应是 。

例2设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立Ｃ．若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立练习：1）某个命题与正整数有关，如果当)(,*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当)(,1*N k k n ∈+=时该命题也成立。

现在已知2012n =时该命题不成立，可推得（ ）A 当2013n =时该命题不成立B 当2013n =时该命题成立C 当2011n =时该命题不成立D 当2011n =时该命题成立2）如果命题)(n P 对)(,*N k k n ∈=成立，则它对2+=k n 也成立，又若)(n P 对2=n 成立，则下列结论正确的是（ ）。

A )(n P 对所有的正整数n 都成立 B )(n P 对所有的正偶数n 都成立C )(n P 对所有的正奇数n 都成立D )(n P 对所有大于1的正整数n 都成立例3:用数学归纳法证明:)12(5312)()3)(2)(1(-⋯⋅⋅⋅⋅=+⋯+++n n n n n n n ,*N n ∈,从“k n =到1+=k n ”时，左边应增添的因式是（ ）A 12+kB 1)22)(12(+++k k kC 112++k k D 122++k k练习：设=)(n f nn n n 21312111+⋯⋯++++++，*N n ∈，则-+)1(n f =)(n f （ ） A 121+n B 221+n C 221121+++n n D 221121+-+n n例4：（恒等式的证明）求证：()()()12......()213521n n n n n n +++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-，*n N ∈例5：（整除性的证明）用数学归纳法证明：49161n n +-()*,n N ∈能被64整除。

第7节数学归纳法（二）学习目标：1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2.掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

3.能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。

重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。

一、预习案：“我学习，我主动，我参与，我收获！”1.数学归纳法的定义：______________________________________________ __________。

2.数学归纳法的基本步骤：(1) ______________________________________________(2) ______________________________________________3.证明中应注意的几个问题：①在用数学归纳法证明中，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可；②数学归纳法第一步中的“第一个数”不一定就是“1”，也可能是“2”或其它数，要根据题意准确选择；③注意n与k的不同，理解和书写时不要弄混；④数学归纳法的关键在第二步，要能真正地证明结论正确才行，切记证不出而直接说结论成立，并在证明n=k+1命题成立时，必须使用归纳假设，否则就不是数学归纳法。

4.预习自测：1.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n x y +能被x+y 整除”，第二步归纳假设应写成（ ）A. 假设n=2k+1(k ∈N *)正确，再推n=2k+3正确B. 假设n=2k-1(k ∈N *)正确，再推n=2k+1正确C. 假设n=k(k ∈N *)正确，再推n=k+1正确D. 假设n=k(k ∈N *)正确，再推n=k+2正确2. 用数学归纳法证明：()11n na α+≥+(其中1α>-，n 是正整数).我的疑惑___________________________________________________二、探究案：“我探究，我分析，我思考，我提高！”探究一：用数学归纳法证明：2212++ (2)(1)(21)6n n nn +++=（n 是正整数）.探究二：用数学归纳法证明：21()n n n n N*+<+∈.合作探究后谈谈你的解题思路：规律方法总结：_________________________________________三、训练案：“我实践， 我练习， 我开窍， 我聪慧！”1.观察下列不等式：112>，111123++>，11123+++…1372+>，11123+++…1215+>，11123+++…15312+>，…，由此猜测第n 个不等式为___________________________2.用数学归纳法证明不等式11124+++…11127()264n n N *-+>∈成立，其初始值至少应取（ ）A. 7B. 8C. 9D. 103. 利用数学归纳法证明不等式11123+++…1()(2,)21n f n n n N *+<≥∈-的过程，由n=k 到n=k+1时，左边增加了( )A.1项B.k 项C. 12k -项 D . 2k 项 4. 用数学归纳法证明不等式1112n n ++++…11324n n +>+的过程中，由n=k 推导n=k+1时，不等式左边增加的式子是___________________________.我的收获-----反思静悟 体验成功-----请写出本堂课学习中，你认为感悟最深的一至两条收获。

第9讲 数学归纳法与第二数学归纳法一．知识解读：数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．1．数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立；②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立．（2）第二数学归纳法设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立；②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立．2．数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法①当l n ,,3,2,1 =时，)(,),3(),2(),1(l P P P P 成立，②假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立．（2）反向数学归纳法设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①)(n P 对无限多个正整数n 成立；②假设k n =时，命题)(k P 成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立．3．应用数学归纳法的技巧（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n 都成立，但命题本身对0=n 也成立，而且验证起来比验证1=n 时容易，因此用验证0=n 成立代替验证1=n ，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．（2）起点增多：有些命题在由k n =向1+=k n 跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设k n =时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．5．归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法． 二．解题指导：1．用数学归纳法证明：313)2311()711)(411)(11(+>-++++n n （1,*≥∈n N n ）证明:（1）当1n =时，左边＝1＋1＝2，右边＝34，不等式显然成立．（2）假设n k =时，不等式成立，即()311111131432k k ⎛⎫⎛⎫+++>+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭那么，当1n k =+时，()331111321111131131432313131k k k k k k k ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅+>+⋅+=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∵()()()333323294313403131k k k k k k ⎡+⎤+⎛⎫+⋅-+=> ⎪⎢⎥+⎝⎭+⎣⎦∴()33332313431131k k k k k +⎛⎫+⋅>+=++⎪+⎝⎭∴ 当1n k =+时，不等式亦成立．由（1）、（2）证明知，不等式对一切*n N ∈都成立．2．已知对任意*N n ∈，1≥n ，0>n a 且22133231)(n n a a a a a a +++=+++ ，求证：n a n =．证明:（1）当1n =时，左边311== ，右边211== ，等式成立.（2）假设n k =时，等式成立，即()23331+2++12k k =+++那么，当1n k =+时， ()()()()3233331+2++1121k k k k ++=+++++()()()()()()2223232111111244k k k kk k k k k +⎛⎫⎡⎤=++=+⋅++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()()22224421142k k k k k ⎛⎫+++⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()()()22211212k k k k +⋅+⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭=()()23121k k +++++∴ 当1n k =+时，不等式亦成立．由（1）、（2）证明知，等式对一切*n N ∈都成立．3．如果正整数n 不是6的倍数，则11986-n不是7的倍数．证明提示：1986除以7余5，所以我们只需要看5的n 次方是不是7的倍数即可。

数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－qq －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是( )A ．1B ．1＋qC ．1＋q ＋q 2D ．1＋q ＋q 2＋q 3[答案] C[解析] 左边＝1＋q ＋q 1＋1＝1＋q ＋q 2.故选C.2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边的式子之比是( )A.12k ＋1B ．122k ＋1C.2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1[答案] B [解析] k ＋1k ＋2k ＋3…k ＋k k ＋1＋1k ＋1＋2…k ＋1＋k ＋1＝k ＋1k ＋2k ＋3…2k k ＋2k ＋3…2k 2k ＋12k ＋2＝122k ＋1.故选B.3．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12k ＋1B ．增加了两项12k ＋1＋12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 [答案] C[解析] n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2∴增加了12k ＋1＋12k ＋2，减少了一项1k ＋1. 故选C.4．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.5．某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，则可推得n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝4时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题不成立C ．当n ＝4时该命题成立D ．当n ＝6时该命题成立 [答案] A[解析] 由命题及其逆否命题的等价性知选A. 6．等式12＋22＋32＋…＋n 2＝12(5n 2－7n ＋4)( ) A ．n 为任何正整数都成立 B ．仅当n ＝1,2,3时成立C ．当n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ．仅当n ＝4时不成立 [答案] B[解析] 经验证，n ＝1,2,3时成立，n ＝4,5，…不成立．故选B.7．用数学归纳法证明某命题时，左式为12＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N*)，在验证n＝1时，左边所得的代数式为()A.1 2B.12＋cosαC.12＋cosα＋cos3αD.12＋cosα＋cos3α＋cos5α[答案] B[解析]令n＝1，左式＝12＋cosα.故选B.8．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案] A[解析]因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．二、填空题9．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．[答案]1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－110．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为__________，从k→k＋1时需增添的项是________．[答案]1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋411．使不等式2n＞n2＋1对任意n≥k的自然数都成立的最小k值为________．[答案] 5[解析]25＝32,52＋1＝26，对n≥5的所有自然数n,2n＞n2＋1都成立，自己用数学归纳法证明之．三、解答题12．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．[证明](1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假设n＝k (k∈N*)时等式成立．即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)成立．那么当n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)[2·(k＋1)－1]即n＝k＋1时等式成立．由(1)、(2)可知，对任何n∈N*等式均成立.一、选择题1．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)(n∈N＋)”，则“从k到k＋1”左端需乘的代数式为()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D．2k＋3k＋1[答案] B[解析]n＝k时左式＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)n＝k＋1时左式＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)故“从k到k＋1”左端需乘2k＋12k＋2k＋1＝2(2k＋1)．故选B.2．已知数列{a n}，a1＝1，a2＝2，a n＋1＝2a n＋a n－1(k∈N*)，用数学归纳法证明a4n能被4整除时，假设a4k能被4整除，应证()A．a4k＋1能被4整除B．a4k＋2能被4整除C．a4k＋3能被4整除D．a4k＋4能被4整除[答案] D[解析]在数列{a4n}中，相邻两项下标差为4，所以a4k后一项为a4k＋4.故选D.3．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数f(n＋1)为() A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]由凸n边形变为凸n＋1边形后，应加一项，这个顶点与不相邻的(n －2)个顶点连成(n－2)条对角线，同时，原来的凸n边形的那条边也变为对角线，故有f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1.故选C.4．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n ＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D．2k＋3k＋1[答案] B[解析]n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k＋1·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.二、填空题5．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，待证表达式应为________．[答案]1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)26．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，不等式成立；②假设n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式成立．由此可知对任意正整数n，等式都成立．以上证明错在何处？____________. [答案] 没有用上归纳假设[解析] 由数学归纳法证明步骤易知其错误所在．7．设S 1＝12，S 2＝12＋22＋12，…，S n ＝12＋22＋32＋…＋n 2＋…＋22＋12.用数学归纳法证明S n ＝n 2n ＋12时，第二步从k 到k ＋1应添加的项为________．[答案]k ＋2·2k ＋12[解析] S k ＋1－S k ＝k ＋12k ＋1＋12－k 2k ＋12＝k ＋2·2k ＋12.三、解答题8．在数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，当n ∈N *时，满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，且设b n ＝a 4n ，求证：{b n }的各项均为3的倍数．[证明] (1)∵a 1＝a 2＝1， 故a 3＝a 1＋a 2＝2，a 4＝a 3＋a 2＝3.∴b 1＝a 4＝3，当n ＝1时，b 1能被3整除． (2)假设n ＝k 时，即b k ＝a 4k 是3的倍数． 则n ＝k ＋1时，b k ＋1＝a 4(k ＋1)＝a (4k ＋4)＝a 4k ＋3＋a 4k ＋2 ＝a 4k ＋2＋a 4k ＋1＋a 4k ＋1＋a 4k ＝3a 4k ＋1＋2a 4k .由归纳假设，a 4k 是3的倍数，故可知b k ＋1是3的倍数． ∴n ＝k ＋1时命题正确．综合(1)、(2)可知，对于任意正整数n ，数列{b n }的各项都是3的倍数． 9．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1、a 2、a 3，并猜想a n 的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74. 由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立， ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立， 即a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2k ＋1－12k ＝2k ＋1－12k ＋1－1，∴当n ＝k ＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n ∈N *，a n ＝2n －12n －1成立．。

第13讲数学归纳法本节主要内容有数学归纳法的原理，第二数学归纳法；数学归纳法的应用.通常那些直接或间接与自然数n有关的命题，可考虑运用数学归纳法来证明．一.数学归纳法的基本形式第一数学归纳法：设P(n)是关于正整数n的命题，若1°P(1)成立(奠基)；2°假设P(k)成立，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切正整数n都成立．如果P(n)定义在集合N－{ 0,1,2,…,r－1}，则1°中“P(1)成立”应由“P(r)成立”取代.第一数学归纳法有如下“变着”；跳跃数学归纳法：设P(n)是关于正整数n的命题，若1°P(1)，P(2)，…，P(l)成立；2°假设P(k)成立，可以推出P(k+l)成立，则P(n)对一切正整数n都成立．第二数学归纳法：设P(n)是关于正整数一的命题，若l°P(1)成立；2°假设n≤k(k为任意正整数)时P(n)(1≤n≤k)成立，可以推出P(k+1))成立，则P(n)对一切自然数n都成立．以上每种形式的数学归纳法都由两步组成：“奠基”和“归纳”，两步缺一不可．在“归纳”的过程中必须用到“归纳假设”这一不可缺少的前提．二.数学归纳法证明技巧1.“起点前移”或“起点后移”：有些关于自然数n的命题P(n),验证P(1)比较困难，或者P(1)，P(2)，…，P(p－1)不能统一到“归纳”的过程中去，这时可考虑到将起点前移至P(0)(如果有意义)，或将起点后移至P(r)(这时P(1)，P(2)，…，P(r－1)应另行证明)．2.加大“跨度”：对于定义在M={n0，n0+r，n0+2r，…，n0+mr，…}( n0，r，m∈N*)上的命题P(n)，在采用数学归纳法时应考虑加大“跨度”的方法，即第一步验证P(n0)，第二步假设P(k)(k∈M)成立，推出P(k+r)成立．3.加强命题：有些不易直接用数学归纳法证明的命题，通过加强命题后反而可能用数学归纳法证明比较方便．加强命题通常有两种方法：一是将命题一般化，二是加强结论．一个命题的结论“加强”到何种程度为宜，只有抓住命题的特点，细心探索，大胆猜测，才可能找到适宜的解决方案．本节主要内容有数学归纳法的原理，第二数学归纳法；数学归纳法的应用A 类例题例1 n 个半圆的圆心在同一直线上，这n 个半圆每两个都相交，且都在l 的同侧,问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?解 设这些半圆最多互相分成f (n)=段圆弧，则f (1)=1，f (2)=4=22, f (3)=9=33, 猜想：f (n)=n 2, 用数学归纳法证明如下： 1°当n=1时，猜想显然成立2°假设n=k 时，猜想正确，即f (k)=k 2,则当n=k+1时，我们作出第k+l 圆，它与前k 个半圆均相交,最多新增k 个交点, 第k+1个半圆自身被分成了k+1段弧，同时前k 个半圆又各多分出l 段弧,故有 f (k+1)= f (k)+k+k+1 =k 2+2k+1=(k+1)2, 即n=k+1时，猜想也正确． 所以对一切正整数n ，f (n)=n 2.例2已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 0111,(4),.2n n n a a a a n N +==-∈ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+（2）求数列}{n a 的通项公式a n .情景再现1．求证对任何正整数n,方程x 2+y 2=z n 都有整数解.2. 已知{ a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1=0,a 2=3,a n+1· a n =(a n +2)(a n －2 +2) (1)求a 3；(2)证明a n =a n －2+2,n=3，4，5，…；(3)求{ a n }的通项公式及其前n 项和S n ．B 类例题例3.试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何n(n ＞7，n ∈N)分的邮资． 证明 1°当n=8时，结论显然成立． 2°假设当n=k(k ＞7，k ∈N)时命题成立．若这k 分邮资全用3分票支付，则至少有3张，将3张3分票换成2张5分票就可支付k+1分邮资； 若这k 分邮资中至少有一张5分票，只要将一张5分票换成2张3分票就仍可支付k+1分邮资． 故当n=k+1时命题也成立．综上，对n ＞7的任何自然数命题都成立．说明 上述证明的关键是如何从归纳假设过渡到P(k+1)，这里采用了分类讨论的方法．本例也可以运用跳跃数学归纳法来证明．另证1 °当n=8，9，10时，由8=3+5，9=3+3+3，10=5+5知命题成立．2° 假设当n=k(k ＞7，k ∈N)时命题成立．则当n=k+3时，由1。

(精品)第二数学归纳法数学归纳法在高中阶段就学过了，我在抽象代数系列课程安排这个主题是因为在证明数论定理时会经常用到数学归纳法。

数学归纳法的作用是能够证明一个命题序列，而不只是单独的命题。

数学归纳法有两个，叫第一数学归纳法和第二数学归纳法。

第一数学归纳法：给定一组关于自然数n>=1的命题S（n），假设(i)基础步骤：S(1)成立；(ii)归纳步骤：若S(k)成立，则S(k+1)也成立。

那么对一切整数n>=1,S(n)都成立。

第二数学归纳法：给定一组关于自然数n>=1的命题S（n），假设基础步骤：S(1)成立；(i)基础步骤：S(1)成立；(ii)归纳步骤：若对n的所有前导k有S(k)成立，则S(n)也成立。

那么对一切整数n>=1,S(n)都成立。

现在来证明第一数学归纳法和第二数学归纳法等价。

咋一看，好像第二归纳法有一个更强的归纳假设，也就是说如果一个命题能够被第一归纳法证明，那么它一定能被第二归纳法证明。

现在设集合A包含所有能被第一归纳法证明的命题，集合B包含所有能被第二归纳法证明的命题。

任意命题x属于A，那么显然它一定属于B，这样A就是B的子集，如果第二归纳法是正确的，说明B中的所有命题都是真命题，由于A是B的子集，则A中的所有命题也是真命题，所以第一归纳法也正确，这说明第二归纳法能推出第一归纳法。

实际上两种归纳法是等价的，要证明等价性，就还需要证明第一归纳法能推出第二归纳法，即证明B是A的子集。

现在任取B中的一个命题序列p，由第二归纳法可知，p(1)成立，p(1)且p(2)且...且p(k-1)可以推出p(k),现在构造新的命题q(n)=p(1)且p(2)且...且p(n)，则q(k-1)可以推出q(k)，并且q(1)=p(1)成立，这说明命题q能被第一归纳法证明，而命题q成立，p肯定成立，所以p能被第一归纳法证明，则p属于A，说明B是A的子集，则第一归纳法也能推出第二归纳法。