有限元基础作业2

有限元基础教程教学设计
一、教学目标
本教学的目标是让学生能够理解有限元分析的基本原理和方法，并能够使用有限元软件进行模拟和分析。

二、教学内容
1. 有限元分析概述
•有限元方法的基本原理
•有限元方法的优点和局限性
•有限元方法在工程中的应用
2. 有限元分析的基本问题
•有限元模型的建立
•有限元刚度矩阵和荷载向量的计算
•有限元方程的求解
3. 有限元软件的使用
•常见有限元软件的介绍
•有限元软件的基本操作
•有限元软件的应用实例
三、教学方法
•理论讲解：通过讲解有限元分析的基本原理和方法，激发学生学习的兴趣和动力。

•课堂练习：通过实例分析问题，让学生能够掌握有限元模型的建立、刚度矩阵和荷载向量的计算、有限元方程的求解等基本问题的解决方法。

•有限元软件操作实验：让学生通过实验，掌握有限元软件的基本操作和应用实例。

四、教学评估
•课堂表现：包括学生课堂参与度、听课笔记、课堂讨论、提问答题等因素。

•综合评估：包括课程作业、课程实验和期末考试等。

五、教学资源
•教材：《有限元分析入门》
•软件：Ansys、ABAQUS、COMSOL Multiphysics
六、教学进度安排
时间教学内容
第一周有限元分析概述
第二周有限元分析的基本问题
第三周有限元软件的使用
第四周有限元软件操作实验
七、总结
有限元分析是一门重要的工程分析方法，对于工程领域的研究和应用具有重要的意义。

掌握有限元分析的基本原理和方法，并能够使用有限元软件进行模拟和分析，对于学生的学习和职业发展都具有积极的影响。

2 弹性力学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。

2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。

2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。

而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。

2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。

矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。

矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。

因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。

2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。

计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。

2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。

在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。

若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。

2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。

结构有限元分析1. 简介结构有限元分析是工程领域中一种常用的数值分析方法，用于解决结构载荷下的应力、变形和振动问题。

通过将复杂的结构分成有限个简单的单元，通过求解每个单元的应力和位移，再将它们组合得到整个结构的应力和位移场。

有限元方法广泛应用于各种工程领域，如土木工程、机械工程和航空航天工程等。

2. 有限元分析的基本原理有限元分析的基本原理是建立结构的有限元模型，然后通过求解有限元模型的力学方程，得到结构的应力和位移场。

有限元模型通常由节点和单元构成。

节点是结构中的关键点，单元是连接节点的构造单元，常用的单元包括三角形单元、四边形单元和六面体单元等。

通过对单元的弯曲、伸长等变形进行逼近，可以得到结构的位移场。

然后，根据位移场和材料的力学性质，可以计算结构的应力场。

3. 有限元分析的步骤有限元分析通常包括以下步骤：步骤1：离散化将结构分成有限个单元，并为每个单元选择合适的单元类型。

步骤2：建立单元刚度矩阵根据每个单元的几何形状、材料性质和节点位移，建立单元的刚度矩阵。

步骤3：建立全局刚度矩阵将所有单元的刚度矩阵组装成全局刚度矩阵。

步骤4：应用边界条件根据结构的边界条件，将边界节点的位移固定或施加给定的载荷。

步骤5：求解线性方程组根据边界条件将全局刚度矩阵和载荷向量进行约束，然后通过求解线性方程组得到结构的位移。

步骤6：计算应力和应变根据得到的位移场和材料的力学性质，计算结构的应力和应变场。

4. 有限元分析的应用领域有限元分析是一种非常灵活和广泛应用的方法，可以用于解决各种结构工程中的力学问题，包括：•结构静力学分析：用于计算结构的应力和变形。

•结构动力学分析：用于计算结构的振动频率和模态形状。

•结构优化设计：通过调整结构的几何形状、材料和边界条件，实现结构的最佳设计。

•结构疲劳分析：用于评估结构在长期应力加载下的疲劳寿命。

有限元分析在工程实践中得到了广泛应用，可以帮助工程师在设计和优化结构时做出准确的决策。

土木工程专业有限元第二次作业姓名：班级：学号：指导教师：二〇一五年 6月12日习 题：平面应力问题的八节点等参元，已给定8个节点的坐标。

试查资料并论述：1、单元中位移函数u （ξ，η），v （ξ，η）和单元节点位移{δe}的关系式；2、[ B ]矩阵的计算步骤和计算式；3、单元刚度矩阵[ k e]的一般计算方法和计算步骤； 4、论述相邻单元间公共边界上位移的连续性；5、如果给定母单元中点A ，（ξ，η），怎样求实际单元中与A ，相对应的点A （x ，y ）；反之，如果给定实际单元中的点A （x ，y ），怎样求其在母单元中对应点A ，（ξ，η）？ 6、如果已经求解得到单元8个节点的位移值{δe }怎样求单元中某一点B （x ，y ）的应力？实际单元1267Y1243678η= 1η=﹣1母单元ξ= 1ξ=﹣1解：1、此题分两步进行：单元位移场的表达：如图1所示,在任意四边形的每边中间设一附加节点，则单元边界就变成二次曲线的了。

如果直接在整体坐标系(),x y 下，像八节点矩形元那样，构造双二次多项式的位移插值函数，则因曲边四边形单元边界是二次曲线，故边界上的位移是()x y 或的五次多项式，它不能由曲边上三个节点的位移分量唯一地决定，从而不能保证相邻两个单元在公共边上位移的协调条件，所以在整体坐标系(),x y 下构造完全协调的位移插值函数是很困难的，利用坐标变换，可将曲边四边形单元变换成基本单元，如图2所示的在自然坐标(),ξη下具有边长为2的八节点正方形单元，自然坐标系(),ξη是外节点坐标值为±1的局部坐标系。

在自然坐标系的单元上构造协调的位移插值函数，其形状函数是较普通的，取位移分量为,ξη的双二次多项式, 即：2222123456782222910111213141516u a a a a a a a a v a a a a a a a a ξηξξηηξηξηξηξξηηξηξη⎧=+++++++⎪⎨=+++++++⎪⎩（1-1） 利用8 个节点的16 个位移分量可唯一确定16 个待定常数1216,,a a a …,，若代入8个节点的局部坐标值，得：图1：在总坐标系中具有二次曲边的四边形单元图2：在自然坐标系中的曲边四边形的基本单元11523264536774881-1-1111-1-110-10010011-11-11-1-11101000011111111101001001-111-111-11-1010000u a u a a u u a a u a u a u u a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1-2）195102116123137141548161-1-1111-1-110-10010011-11-11-1-11101000011111111101001001-111-111-11-1010000v a v a v a v a v a v a a v v a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1-3）将解出的16 个待定常数1216,,a a a …,代入式（1-1）即得:811552266337744881811552266337744881i i i i ii u N u N u N u N u N u N u N u N u N u v N v N v N v N v N v N v N v N v N v==⎧=+++++++=⎪⎪⎨⎪=+++++++=⎪⎩∑∑ （1-4a ） 也即：[]{}{}128e eu N N N v δδ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭u III N （1-4b ）其中I 为二阶单元矩阵，{}eδ为等参元节点位移列阵，N 为形状函数矩阵。

Solidworks有限元分析介绍Solidworks有限元分析（Finite Element Analysis，简称FEA）是一种用于模拟和分析物体结构行为的方法。

它可以帮助工程师们更好地了解产品的性能、强度和耐久性，从而优化设计并减少开发成本。

本文将介绍Solidworks有限元分析的基本概念、步骤和应用场景，并提供一些实际案例来说明其实际应用。

有限元分析的基本概念有限元分析是一种将复杂结构离散化为多个小元素（也称为有限元）的方法，然后对每个小元素进行计算并将其整合到整个结构中的解析技术。

它基于物体受力平衡原理和材料力学行为，利用数值方法求解一系列线性或非线性方程，从而得出结构的应力、变形和振动等特性。

在Solidworks中，用户可以通过插件或内置功能进行有限元分析。

用户需要先导入或创建结构的CAD模型，然后将其转换为有限元模型。

然后，用户可以定义加载条件、约束条件和材料属性等，进行分析并获取结果。

有限元分析的步骤有限元分析通常需要以下步骤：1.导入或创建CAD模型：用户可以通过Solidworks的CAD工具导入现有模型，或使用其设计功能创建新的模型。

2.网格划分：将结构离散化为多个小元素，通常是三角形或四边形的网格。

Solidworks可以自动进行网格划分，也可以手动调整网格密度。

3.定义边界条件：用户需要定义加载条件和约束条件。

加载条件可以是力、压力、温度等，约束条件可以是固定支撑、固定位移等。

4.定义材料属性：用户需要指定每个小元素的材料属性，如杨氏模量、泊松比等。

Solidworks提供了常见材料的数据库，用户可以选择合适的材料。

5.运行分析：用户可以定义分析类型和求解器选项，然后运行有限元分析。

Solidworks会根据用户的设置计算结构的应力、变形和振动等特性。

6.结果分析：分析完成后，用户可以通过Solidworks提供的结果查看工具，如色标图、图表和动画等来分析结果。

用户可以根据结果进行优化设计或验证设计的准确性。

实验三：三角形单元的形函数性质验证
一、 实验目的
1、加深对平面三角形单元有限元分析过程的理解；
2、掌握平面三角形单元形函数矩阵的求解过程和性质。

二、 实验要求
1、明确形函数矩阵的含义和求法；
2、根据题目要求，给出具体的计算过程；
3、编制相应的matlab 计算程序并调试运行。

三、 实验内容
用有限元法求图示平面三角形单元的形函数。

已知节点i,j,m 在xoy 平面中。

用所编程序验证形函数特性：
1、在单元任一点上，三个形函数之和等于1；
2、形函数N i 在i 点的函数值为1，在j 点及m 点的函数值为零；
3、三边上任一点的形函数与第三个顶点的坐标无关。

四、 实验提示
1、()() 21,y c x b a y x N i i i i ++∆=
，其中下标i , j , m 轮换; 2、()()m i j m i j i m m j j i y x y x y x y x y x y x ++++=∆2
1 -21; 3、j m i m m i j m m j i x x c y y b y x y x a -=-=-=;;，其中下标i , j , m 轮换。

Bierenzuode,kanbudong作业1： 有一个等截面两节点二力杆，杆长为L ，截面积为A ，材料弹性模量为E 。

每个节点只考虑一个水平位移，对于图 (a)、(b) 所示的坐标系统和位移插值函数，分别求相应的[B]矩阵和单元刚度矩阵[K]。

解：（a ）、212()u x x αα=+，由边界条件确定常数1α、2α：当0x =时，1i u α=；当x l =时，212j u l αα=+，可得2222()1i j x x u x u u l l ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因每个节点只考虑一个水平位移故以矩阵形式表示的单元位移函数为：{}{}{}2211122222()1u u x x f x u N N u u ll ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭单元的几何矩阵：[]''122222x x B N N l l ⎡⎤⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎣⎦{}{}{}12x u E E B u σε⎧⎫=⨯=⎨⎬⎩⎭，即[][]D E = 对于矩形截面梁单元，积分：yzd dA =⎰⎰为单元横截面面积。

梁单元刚度矩阵[]0leT EA K B B dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⎰222202222l x x x l EA x ll l dx ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-=-⎰44334433EAEA l l EAEA ll --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=（b ）、212()u x x x αα=+，由边界条件确定常数1α、2α：当2l x =-时，21224i a l a l u =-+；当2l x =时，21224j a l a l u =+可得222222()i j x lx x lxu x u u l l -+=+ 因每个节点只考虑一个水平位移故以矩阵形式表示的单元位移函数为：{}{}{}221112222222()u u x lxx lx f x u N N u u ll ⎧⎫⎧⎫⎧⎫-+===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭单元的几何矩阵：[]''122244x l x l B N N l l -+⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎣⎦{}{}{}12x u E E B u σε⎧⎫=⨯=⎨⎬⎩⎭，即[][]D E =对于矩形截面梁单元，积分：yzd dA =⎰⎰为单元横截面面积。

有限元法基础习题答案有限元法是一种常用的工程分析方法，广泛应用于结构力学、热传导、流体力学等领域。

它通过将复杂的物理问题离散化为一系列简单的子问题，并利用数值方法求解这些子问题，从而得到整体问题的近似解。

在学习有限元法的过程中，习题是必不可少的一环。

本文将给出一些有限元法基础习题的答案，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一方法。

习题一：一维线性弹性力学问题考虑一根长度为L的弹性杆，杆的截面积为A，杨氏模量为E。

在杆的一端施加一个沿杆轴向的拉力F，另一端固定。

假设杆轴向变形u(x)满足以下方程：EAu''(x) = -F，0 < x < Lu(0) = 0, u(L) = 0其中，u''(x)表示u(x)对x的二阶导数。

解答：根据上述方程，我们可以得到杆的位移函数u(x)的表达式。

首先，对方程两边进行积分，得到：EAu'(x) = -Fx + C1其中，C1为积分常数。

再次对方程两边进行积分，得到：EAu(x) = -F/2*x^2 + C1*x + C2其中，C2为积分常数。

根据边界条件u(0) = 0，可得C2 = 0。

代入边界条件u(L) = 0，可得：EAu(L) = -F/2*L^2 + C1*L = 0由此可得C1 = F/2*L。

将C1代入上式，可得：EAu(x) = -F/2*x^2 + F/2*L*x最终得到杆的位移函数u(x)的表达式为：u(x) = (-F/2*E)*(x^2 - L*x)，0 < x < L习题二：二维平面弹性力学问题考虑一个正方形薄板，边长为L，板的厚度为h。

假设薄板的杨氏模量为E，泊松比为ν。

在薄板的一侧施加一个沿法向的均匀表面压力P，另一侧固定。

求薄板的位移和应力分布。

解答：根据平面弹性力学理论，我们可以得到薄板的位移和应力分布。

首先，根据杨氏模量E、泊松比ν和薄板的厚度h，可以计算出薄板的弹性模量D：D = E*h^3 / (12*(1-ν^2))接下来，根据薄板的边界条件和平衡方程，可以得到薄板的位移和应力分布。

实验三：三角形单元的形函数性质验证
一、 实验目的
1、加深对平面三角形单元有限元分析过程的理解；
2、掌握平面三角形单元形函数矩阵的求解过程和性质。

二、 实验要求
1、明确形函数矩阵的含义和求法；
2、根据题目要求，给出具体的计算过程；
3、编制相应的matlab 计算程序并调试运行。

三、 实验内容
用有限元法求图示平面三角形单元的形函数。

已知节点i,j,m 在xoy 平面中。

用所编程序验证形函数特性：
1、在单元任一点上，三个形函数之和等于1；
2、形函数N i 在i 点的函数值为1，在j 点及m 点的函数值为零；
3、三边上任一点的形函数与第三个顶点的坐标无关。

四、 实验提示
1、()() 21,y c x b a y x N i i i i ++∆=
，其中下标i , j , m 轮换; 2、()()m i j m i j i m m j j i y x y x y x y x y x y x ++++=∆2
1 -21; 3、j m i m m i j m m j i x x c y y b y x y x a -=-=-=;;，其中下标i , j , m 轮换。