有限元作业答卷
一、问题解答
1、解：令2
21()()2()2dy p x q x y f x y dx ????=+-?? ???????
π
则可以得到()()y q x y f x π=-，
()y dy p x dx 'π=，()y d d dy p x dx dx dx '??
π= ???
又有其Euler 方程公式为：0u u d dx
'
ππ-
= 综上得到原泛函问题的Euler 方程及其边界条件为：
()()(),
[,]
(1().1.1),()a b d dy p x q x y f x x a b dx dx y a y y b y ?????-+=∈ ??
?==??
2、（1）解：引入Sobolev 空间0V H (
)∞=Ω,任取V v ∈乘以方程两端积分： (((,))(,))(,)k x y u q x y u vdxdy f x y vdxdy Ω
Ω
-???+=????
再利用格林公式得到：
((,)(,))(,)
(,)u
k x y u v q x y uv dxdy k x y vds f x y vdxdy n Ω
Γ
Ω
????+-=?????? 由边界条件得到：
(,)
((,)(,))(,)(,)
g x y k x y u v q x y uv dxdy f x y vdxdy k x y vds n
Ω
Ω
Γ
????+=+?????? 令 A(,)((,)(,))(,)
F()(,)(,)u v k x y u v q x y uv dxdy g x y v f x y vdxdy k x y vds
n Ω
ΩΓ
?=???+?????=+???????? 得变分方程
A(,)F(),
(1.2.1)u v v v V
=∈
其解0u H ()∞∈Ω便为椭圆型方程第一边值问题的Galerkin 意义广义解。
（2）证：下面用Lax-Milgram 定理证明广义解的存在唯一性。
首先，由Hilbert 空间的Schwarz 不等式得到
1
(,)V f v f v f v v ≤≤?∈
又有1(,)
()(,)
g x y f v k x y v d s n Γ
?=??有界 于是11F(v)(,)(,)f v f f v f =+≤+，即F(v)在V 上是有界的。 其次，A (,)((,)(,))u v k x y u v q x y u v d x d y Ω
=???+??中，A(
,)
u v 对称是显然的。 并且有：
1
2((,)(,))(,)(,)K (,)Q (,)M ,
V
(),A ,k x y u v q x y uv dxdy
k x y u vdxdy q x y uvdxdy u v u v u
v u u v v Ω
Ω
Ω
??+??+≤??=
+≤≤∈??????
说明
A (,)
u v 在V 上是有界的。再证
A (,)u v 正定，因为对于
u V H ()∞
∈=Ω， ()()()(
)
2
22
22
22
2
2
2
2
1
((,)(,))(,)(,)(,)(,)(,)(,)A(,)x y x y
k x y u q x y u dxdy
k x y u dxdy q x y u dxdy k x y u u dxdy q x y u
k x y u u q x y u
u u u Ω
Ω
Ω
Ω
?+=?+=++=++≤α=????????
根据Lax-Milgram 定理可知变分方程存在唯一解0u H ()∞∈Ω。它是边值问题的Galerkin 广义解。
3、解：将第一边值条件齐次化，令b a u v x b a
b a
β-αα-β=++--得
,(,)
(1.3.1)
()()0d dv b a p q v x f x a b dx dx b a b a v a v b ?β-αα-β???
?-+++=∈? ? ?--?????
?==?
取广义解空间}
{
120V H [,],,()()0T a b v v v L v a v b ==∈==，再进行变分求广义解。
任取V v ∈，用它乘以式（1.3.1）中第一式的两边，并在区间I=[a,b]上积分：
V b
b a a d du b a p q u x vdx fvdx v dx dx b a b a ?β-αα-β????
?-+++=?∈ ? ???--????????
对左端分部积分，
b
b b a a a du du dv b a p v p q u x v dx fvdx dx dx dx
b a b a ?β-αα-β???-++++= ???--??????， 利用
()()0v a v b ==，左端第一项为
0，带入上式得
()()()()V
(1.3.2)b
b a a b a pu x v x q u x x v x dx fvdx v b a b a ?β-αα-β??
?''+++=?∈ ???--????
??
如前所述，满足（3.2）式的解V u ∈称为原两点边值问题
Galerkin
意义的广义解。
引入空间V 上的双线性泛函
A(,)()()()()(1.3.3)b
a b a u v pu x v x q u x x v x dx b a b a ?β-αα-β??
?''=+++ ???--????
?
和线性泛函()()()(1.3.
b
a
F v f x v x d x
=
?
于是原问题的Galerkin 广义解
V u ∈可以表示为：
A(,)(),
V
(1.3.5)u v F v v =?∈
下面用等距节点线性元推导有限元方程。
从（1.3.3）式可以得出，A(,)u v 不对称，下面采用Galerkin 法建立有限元方程。可以知道变分方程为（1.3.5）式，求V u ∈使得（1.3.5）式成立。
下面构造
V 的有限维子空间V h
12V {(),(),...,()}h n span x x x =???
使得子空间
V h 的形成按以下步骤进行：
1）剖分区间I =[a ,b ] 011......i i n a x x x x x b
-=<<<<<<= 由于是等距节点剖分，则有单元长度1()/i i h x x b a n -=-=-，于是
()/i x a i b a n =+-，称小区间1e [,]i i i x x -=为单元。
2）线性函数的构造 取
1
,()0,
e 1,2,...,i i i x i x x x h
n
--?∈?
?=?=??其它
可以得到12V {(),(),...,()}V h n span x x x =????。
假设在
i x 处()u x 的值i u （未知），则在V h 中V u ∈的近似解为：
n
h i i i 1u (x)u (x)
(1.3.6)==?∑
从而得到近似变分方程：求
()V h h u x ∈使得
A(,)(),
V (1.3.7)h h u v F v v =?∈
将（1.3.6）带入（1.3.7）并取(x ),1,2,...,j v j n
=?=得到： ()()()()()()()()()()()()
()n i i j j i 1i j j 11j 12j 2j j 112111222212A u ,F(),j 1,2,...,n A ,F(),
j 1,2,...,n
A ,A ,...A ,F(),j 1,2,...,n
A ,A ,...A ,A ,A ,...A ,............
A ,A ,...A ,n
i i n n n n n n n n u u u u ==??
??=?= ??????=?=???+??++??=?=????????
??????????
???????∑∑1122F()F()......F()n n u u u ??????
???????????=??????????
?????
?
(1.3.8)Ku F
?=
要求解此方程组，首先需要计算出系数矩阵K 和常数向量F ，而根据
12(),(),...,()n x x x ???的结构可知，()i j (),()0,x x i j ??≡≠。这时方程组（1.3.8）
的系数矩阵：
()()()1122A ,0...
00A ,...
............
00...A ,n n K ?????
????
?=???
?
???
?
作仿射变换 1,
i i x x x e h --ξ=∈
可将
11,,...,n e e e 变成标准单元[0,1]e =。引入函数
011,
[0,1],
[0,1]()()0,
0,
N x N x -ξξ∈ξξ∈??==?
?
??其它
其它
1
11e (0),
,(),
i i i i x x x x x N h
h
x ---?∈?
?-ξξ=
==???其它
由
1i x x h -=+ξ得，
()1
11111120A ,1()()()1,2,()()()()...,i i x i i i i i i x i i i dx x h x h N x h N d h b a p x q x x b a b a b a b b a n
p a i q ----?β-αα-β??
?+++ ???--???
??β-αα-β??
?+++ ???--????
''??=????=+ξ+ξξ+ξξξ=??111
()()(())b
i i a
i F f x x h N h f d dx
-+?ξξ==ξ
???
带入（1.3.8）式得到相应方程组K u F
= 则 ()(),u =A 1,2,...,(1.3.9,/)i i i i F i n
?=??
这就是我们需要求的线性代数方程组——有限元方程。
4、解：取广义解空间}
{
120
V H [0,1],,(0)0T v v v L v ==∈=，再进行变分求广义解。
任取V v ∈，用它乘以式4题中第一式的两边，并在区间I=[0,1]上积分：
21
1200V d u u vdx vdx v dx ??
-+=?∈??????
对左端分部积分，
1
11000du du dv v uv dx vdx dx dx dx ??-++=????
??
利用(0)0v =以及边界条件(0)0u '=，再加之4题中第一式可以推出，左端第一项为0，带入上式得：
[]1
1
()()()()()(1.4.1)u x v x u x v x dx v x dx
''+=?
?
于是原问题的Galerkin 广义解V u ∈可以表示为：
A(,)(),
V
(1.4.2)u v F v v =?∈
其中： []1
A(,)()()()()(1.4.3)
u v u x v
x u x v x dx
''=
+?
1
()()(1.4.4)F v v x dx
=?
剖分区间I =[0,1] 0110 (1)
i i n x x x x x -=<<<<<<= 单元长度
11/i i i h x x n h -=-==，称小区间1e [,]i i i x x -=为单元。 设()u x 和()u x '在节点01,,...,,...,i n x x x x 处取值分别为01,,...,,...,i n u u u u 、
1,,...,,...,i n u u u u ''''。 为了计算A (,)h u v 和()F v ，仍然采用单元分析和总体合成的方法，对每个单元
1e [,]i i i x x -=通过线性变换
1
,(1.4.5)i i
i
x x x e h --ξ=
∈
可以变为?e =[0,1]，则在
e i 上()h u x 可以表示为：
(1)
(1)101011()()()()()
(1.4.6)h i i i i u u N u N u N u N --''ξ=ξ+ξ+ξ+ξ
其中：
20(1)
2021(1)
21(1-)(21),(1),(1.4.7)
(32),(1).N N N N ?ξ=ξξ+?ξ=ξ-ξ??ξ=ξ-ξ??ξ=-ξ-ξ?（）
（）
（）（）
由于
1i i
x x h --ξ=
，及
1()i du x du d du
h dx d dx d -ξ==ξξ
所以，当
i x e ∈时，
(1)(1)11
1010(1)(1)11
11()(
)()(
)()(1.4.8)
i i i i i i i
i i i i i i i
x x x x u x u N u h N h h x x x x u N u h N h h --------=+--++
利用（2.24）的四个形状函数，可以构造有限元空间
{}
(1)(0,1),h i V v v C v e =∈在单元内是三次多项式
的基函数，对于(11)i x x i N =≤≤-，对应有两个基函数，它们通过用形状函数拼接而得到：
1110111(),
[,],
()(),
[,],(1.4.9)
0,i i i i i
i i i i i i x x N x e x x h x x x N x e x x h --+++-?∈=??
-?
?=∈=?????
当当其它点
(1)1
111(1)01111(),
[,],
()(),[,],(1.4.10)
0,i i i i i i
i i
i i i i i x x N h x e x x h x x x N h x e x x h --++++-?∈=??
-??=∈=??
???
（）
当当其它点
对于0,N
x x x x ==，它们的基函数1100(),(),(),()N N x x x x ????（）（）
也类似得到，不过它们分别只有右半支和左半支。 从Ritz 法建立有限元方程的分析
从（1.4.3）式可以得出，A(,)u v 对称，可以采用Ritz 法建立有限元方程。
令}
{
120
V H [0,1],,(0)0T v v v L v ==∈= 定义
V 上的二次泛函1()A(,)()
(1.4.5)2
J v v v F v =-，
将（1.4.3）和（1.4.4）带入（1.4.5）得到二次泛函为：
1122
0122
01()()()()21()()()(1.4.6)2J v v x v x dx v x dx
v x v x v x dx '??=+-????'??=+-??????
??? 则原两点边值问题的Ritz 广义解为：求V u ∈，使得 V
()min ()(1.4.7)v J u J v ∈=
下面构造
V 的有限维子空间V h
12V {(),(),...,()}h n span x x x =???
使得子空间
V h 的形成按以下步骤进行：
1）剖分区间I =[0,1] 0110......1i i n x x x x x -=<<<<<<= 如果是等距节点剖分，则有单元长度
11/i i i h x x n h -=-==，于是
/i x i n =，称小区间1e [,]i i i x x -=为
单元。 目标是：求()V h h
u x ∈使得 V ()min ()
(1.4.8)h
h v J u J v ∈=
2）三次Hermite 函数的构造 设
()h u x 和()h
u x '在节点01,,...,,...,i n x x x x 处取值分别为01,,...,,...,i n u u u u 、0
1,,...,,...,i n u u u u ''''则可求得i e 上的三次Hermite 型插值函数： 2112212
11211()()[(12)()(12
)()()()(1.4.9)
()()],1,2,...,i h i i i i i i
i i i
i i i i i i i x x u x H x x x u h h x x x x u h x x x x u x x x x u x e i n
-------==
+--+--'+--'+--∈=
将
h u 带入12201()()()()2
J v v x v x v x dx ??'??=+-????
??
?得到： 11
122
022
11
22
111()21()(1.4.10)21()2i i i i i i h h h h n n
h h h e e i i n n x x h
h h x x i i J u u u u dx u u dx u dx u u dx u dx --====??'??=+-??????
'=
+-'=+-?∑∑??∑∑??
其中：
211221*********(){[()2()(12)]2
[()2()(12)](1.4.11)
[()2()()][()2()()]}
i h
i i i i i i
i i i i i i
i i i i i i i i x x u x x x x x u h h h x x x x x x u h h x x x x x x u x x x x x x u ---------'=-+-+-+-
-+--'+-+--'+-+--
联立（1.4.9—1.4.11）化简即可得到()h J u 的具体表达式。
为简化计算，作仿射变换
1
,i i i
x x x e h --ξ=∈
则[0,1]e ξ∈=，且
1i i
x x
h -=-ξ 令 01()1,(),[0,1]N N ξ=-ξξ=ξξ∈ 则在
[0,1]
e =上， 2101
20122101201()[(12())()(12())()(1.4.12)
()()()()]
h i i i i i i u x N N u N N u h N N u h N N u --=+ξξ++ξξ'+ξξ'-ξξ
2001121102
1012110()[2()2()(12())]/[2()2()(12())]/(1.4.13)
[()2()()][()2()()]h
i i i i i i u x N N N u h N N N u h N N N u N N N u --'=ξ-ξ+ξ+-ξ+ξ+ξ'+ξ-ξξ'
+ξ-ξξ
这时
1i i x x h -=+ξ，带入（1.4.10）式得到：
11
22
111122
0011
1()()2(1.4.14)1()2i i i i n n x x h h h h x x i i n n h h i h i i i J u u u dx u dx u u h d u h d --===='=+-'=+ξ-ξ
∑∑??∑∑?? 联立（1.4.12—1.4.14）化简即可得到()h J u 的表达式。
可知()h J u 是关于0101,,...,,...,,,,...,,...,i n i n
u u u u u u u u ''''的二次函数。 根据极值原理，在()h J u 的极小值点处有：
得到线性方程组：
这就是我们需要求的线性代数方程组——有限元方程。
二、解：取广义解空间}
{
12
0V H [0,1],,(0)(1)0
T v v v L v v ==∈==，再进行变分求广义解。
任取V v ∈，用它乘以二题中第一式的两边，并在区间I=[0,1]上积
分：
1
100V d du p qu vdx fvdx v dx dx ??
??-+=?∈ ?????????
对左端分部积分，
1
100b a du du dv p v p quv dx fvdx dx dx dx ??
-++=????
??，
利用(0)(1)0v v ==，左端第一项为0，带入上式得
[]1
1
()()()()V
(2.1)pu x v x qu x v x dx fvdx
v ''+=?∈?
?
于是原问题的Galerkin 广义解
V u ∈可以表示为：
A(,)(),
V
(2.2)u v F v v =?∈
其中： []1
A(,)()()()()(2.3)
u v pu x v
x qu x v x dx
''=
+? 1
()()()(2.4)F v f x v x dx
=?
剖分区间I =[0,1]
0110......1i i n x x x x x -=<<<<<<=
由于是等距节点剖分，则有单元长度11/i i i h x x n h -=-==，于是
/i x i n =，称小区间1e [,]i i i x x -=为单元。
（1）用等距节点二次元推导有限元方程
V {()|I (0)(1)0}
h i v x v e v v ===在上连续，在每个单元上为二次多项式，且
然后求
()h h u x V ∈，满足
A(,)(),
V (2.4)h h
u v F v v =?∈
其中： []1
A(,)()()()()(2.5)
u v pu x v
x qu x v x dx
''=
+? 1
()()()(2.6)F v f x v x dx
=?
为了计算A (,)h u v 和()F v ，仍然采用单元分析和总体合成的方法，对每个单元1e [,]i i i x x -=通过线性变换
1
,(2.7)i i
i
x x x e h --ξ=
∈
可以变为
?e =[0,1]，则在e i 上()h u x 可以表示为：
101/21/21()()()()
(2.8)h i i i u u N u N u N --ξ=ξ+ξ+ξ
其中：
011/2()(21)(1),()(21),()4(1)
(2.9)N N N ξ=ξ-ξ-ξ=ξξ-ξ=ξ-ξ
如果记三维列向量
()()11/211/2[,,],[,,](2.10)i T i T
i i i i i i u u u u v v v v ----==
01/21()[(),(),()](2.11)T
N N N N ξ=ξξξ
那么
()()()()
(2.12)T
i h u u N ξ=ξ
类似的()
()()(
)
()()()(2.13)
T
T
i i v v N N v ξ=ξ=ξ 于是在单元
e i 上的积分化为在?e =[0,1]上的积分
()()()()()()()()()()()()()()()()()()
()()()()
12
1
1011
110
1dN dN [u v u N N v ]u [N'N'N N ]v (2.14)
i
i i x h h x T
i T i i i T i i
i i T
i T i i T
i
i i i du dv p x q x u x v x dx dx dx d p x h d d dx dx q x h d d h p x h q x h h d ------???+????
ξξ??ξ??=+ξ? ? ?ξξ????++ξξξξ
ξ=+ξξξ++ξξξξ???
记三阶方阵
()()()()
()()()1
110
1[N'N'N N ],
2.15i T
i
i i T
i i i A h p x h q x h h d ---=+ξξξ++ξξξξ?（）
则()()()()
()1
A ,u A v 2.16i T N
i i h
i u v ==∑
类似的，记三维列向量
()()()()1
10
f N ,
2.17i
i i i h f x h d -=+ξξξ?
则 ()()()
()1
F f v 2.18i T
N i i v ==∑
所以上述单元分析的过程与线性元的情形相仿。为了进行总体合成，只需把三阶方阵
()()()()()()
()()()
()()
111
112
1
11112222
11
2
A 2.19i i i i i i i i i i i i i
i i i i i i i i
i i i i i i i a a a a a
a a a a -----
---
----
????
????=??????
???
?
其中：
1()121
11001()1
2110101()12311101
()1100
()2
11[()()()][()()()()][()()()]()()()()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a p x h h q x h N h d a p x h h q x h N N h d a p x h h q x h N h d b f x h N h d b f x h N -----------=+ξ++ξξξ
=-+ξ++ξξξξ=+ξ++ξξξ=+ξξξ
=+ξξ????10i h d ??????????
?ξ
??? 扩充为2N+1阶方阵，
()f i 扩充为
2N+1维向量，并且引入2N+1维向量
011112
2
011112
2
u [,,,......,,,,......,],
v [,,,......,,,,......,],
T i i N i T i i N i u u u u u u u v v v v v v v --
--==
则方程(2.4)化为
()
()1
1
u
A v f v
(2.20)T
N
N
i i T i i ===∑∑
或者 T T u Kv=f v 其中总体合成
()
()()1
1
K A ,f f ,
2.21N
N
i i i i ====∑∑
过程与前面一题第三个类似。再利用000,0N N u u v v ====，经过处理本质边界条件，最终得2N-1阶有限元方程
(2.22)Ku f
=
其中
u 是
2N-1维向量
1/2111/21/2[,,...,,,,...,](2.23)T
i i i N u u u u u u u ---=
这就是我们需要求的线性代数方程组——有限元方程。 （2）用等距节点三次hermite 型差值推导有限元方程
设()u x 和()u x '在节点01,,...,,...,i n x x x x 处取值分别为01,,...,,...,i n u u u u 、
1,,...,,...,i n u u u u ''''。 然后同第（1）问解答类似，在
e i 上()h u x 可以表示为：
(1)
(1)101011()()()()()
(2.23)h i i i i u u N u N u N u N --''ξ=ξ+ξ+ξ+ξ
其中：
20(1)
2021(1)
21(1-)(21),(1),(2.24)
(32),(1).N N N N ?ξ=ξξ+?ξ=ξ-ξ??ξ=ξ-ξ??ξ=-ξ-ξ?（）
（）
（）（）
由于1i i
x x h --ξ=
，1()i
du x du d du h dx d dx d -ξ==ξξ
所以，当i x e ∈时，
(1)(1)11
1010(1)(1)11
11()(
)()(
)()(2.25)
i i i i i i i
i i i i i i i
x x x x u x u N u h N h h x x x x u N u h N h h --------=+--++
利用（2.24）的四个形状函数，可以构造有限元空间
{}
(1)(,),h i V v v C a b v e =∈在单元内是三次多项式
的基函数，对于(11)i x x i N =≤≤-，对应有两个基函数，它们通过用形状函数拼接而得到：
1110111(),
[,],()(),
[,],(2.26)
0,i i i i i
i i i i i i x x N x e x x h x x x N x e x x h --+++-?∈=??
-?
?=∈=?????
当当其它点
(1)1
111(1)01111(),
[,],()(),[,],(2.27)
0,i i i i i i
i i
i i i i i x x N h x e x x h x x x N h x e x x h --++++-?∈=??
-??=∈=??
???
（）
当当其它点
对于0,N
x x x x ==，它们的基函数1100(),(),(),()N N x x x x ????（）（）
也类似得到，不过它们分别只有右半支和左半支。
2
112212
11211()()[(12)()(12
)()()()(2.10(1))
()()],1,2,...,i h i i i i i i
i i i
i i i i i i i x x u x H x x x u h h x x x x u h x x x x u x x x x u x e i n
-------==
+--+--'+--'+--∈=
将
h u 带入12201()()()()()()()2
J v p x v x q x v x f x v x dx ??'??=+-????
??
?得到： 11
122
022
11
22
111()21()(2.10(2))
21()2i i
i i i i h h h h n n h h h e e i i n n x x h
h h x x i i J u pu qu fu dx pu qu dx fu dx pu qu dx fu dx --====??'??=+-??????'=+-'=+-?∑∑??∑∑?? 其中：
2
11221121121112(){[()2()(12)]2
[()2()(12)](2.10(3))
[()2()()][()2()()]}
i h
i i i i i i
i i i i i i
i i i i i i i i x x u x x x x x u h h h x x x x x x u h h x x x x x x u x x x x x x u ---------'=-+-+-+-
-+--'+-+--'+-+--
联立（2.10(1)—2.10(3)）化简即可得到()h J u 的具体表达式。
为简化计算，作仿射变换
1
,i i i
x x x e h --ξ=∈
则[0,1]e ξ∈=，且1i i
x x h -=-ξ
令 01()1,(),[0,1]N N ξ=-ξξ=ξξ∈ 则在[0,1]e =上，
2101
20122
10
1201()[(12())()(12())()(2.10(4))
()()()()]
h i i i i i i u x N N u N N u h N N u h N N u --=+ξξ++ξξ'+ξξ'-ξξ
20011211020
1012110()[2()2()(12())]/[2()2()(12())]/(2.10(5))
[()2()()][()2()()]h
i i i i i i u x N N N u h N N N u h N N N u N N N u --'=ξ-ξ+ξ+-ξ+ξ+ξ'+ξ-ξξ'
+ξ-ξξ
这时1i i x x h -=+ξ，带入（2.10(2)）式得到：
11
22
11122
110
11
10
1
1()(()())()21(()())(2.10(6))
2()i i i i n n x x h h
h h x x i i n i i h i i h i i n
i i h i i J u p x u q x u dx f x u dx p x h u q x h u h d f x h u h d --==--=-='=+-'=+ξ++ξξ-+ξξ
∑∑??∑?∑?
联立（2.10(4)—2.10(6)）化简即可得到()h J u 的表达式。
可知
()h J u 是关于0101,,...,,...,,,,...,,...,i n i n
u u u u u u u u ''''的二次函数。 根据极值原理，在()h J u 的极小值点处有：
得到线性方程组：
这就是我们需要求的线性代数方程组——有限元方程。
三、解：引入Soboler 空间1()H Ω的子空间{}
1()(3.1)
V v H =∈Ω， 以及定义在V 上的双线性泛函
A(,)(3.2)u v u v
u v p p quv dxdy uvds
x x y y ΩΓ
??????=+++σ???????????
和线性泛函
()(3.3)
F v fvdxdy
Ω
=??
那么椭圆型方程的边值问题（P ）的Ritz 意义的广义解为：u V ∈满足
V
()min ()(3.4)v J u J v ∈=
其中二次泛函
1
()A(,)()
(3.5)2
J v v v F v =-，
边值问题（P ）的Galerkin 意义的广义解为：
V u ∈满足
A(,)(),V (3.6)u v F v v =?∈
我们从Galerkin 方法出发求出变分问题（3.6）的近似解。为此，构造V 的有限维子空间
V h ，然后求()V h h u x ∈使得
A(,)(),
V (3.7)h h
u v F v v =?∈
第一步就需要构造出有限元空间
V h 。
设
Ω的边界Γ分片光滑。如果Γ不是由折线组成的，那么就用裁弯
取直的办法，以某条适当的折线h Γ逼近它。设h Γ所围的区域是h Ω。也
就是说，用
h Γ近似Γ，用h Ω近似Ω。
将
Ω剖分为一系列矩形的并集。矩形的顶点称为结点，记为i P ，其
坐标为：()(,)1
i i p x y i N ≤≤；每一个矩形称为单元，记为()1k e e k N ≤≤。于是： 1(3.8)e
N h k
k e =Ω=
按照要求做完区域h Ω的矩形剖分后，再通过分片插值的办法构造有限
元空间V h 。
（1）用矩形单元Lagrange 双线性插值推导出有限元方程
在矩形的四个顶点上给出函数值，要作一个多项式，使它在各顶点取已知值。由于二元一次多项式有三个待定系数，二元二次多项式有六个待定系数，现在给出四个点上的函数值，故所求的多项式必定是不完全的二元二次多项式。再考虑到两个相邻单元交界上应保持分片插值多项式的连续性，应该采取以下形式的插值多项式
1234(,)(3.9)u x y a a x a y a xy
=+++
这种多项式沿每一个坐标轴的方向都是变量的一次（线性）函数，故称这种类型的插值为矩形的Lagrange 双线性插值。
和线性函数推导有限元的过程相同，它有四个待定系数。现在构造
{}h h V v =∈Ω（v 在每个单元上为Lagrange 双线性）（3.10）
那么，为了确定(,)h u x y V ∈在某个单元上的值，需要在该单元的四个点处给出(,)u x y 的值，通常就取单元的四个顶点为插值点。因此，只要给出函数
u 在结点i P 上的值()(,)1i
i i p u
u x y i N =≤≤，这个函数就完全确定了。
在{}1
e
N
k k e =中任意取出一个单元，不妨记为e 。设它的顶点为
,,,i j k m P P P P ，即i j k m e P
P P P =?。为确定，不妨设这四个点的顺序是逆时针的。
这时，每个函数
h u V ∈在单元e 上的限制是Lagrange 双线性函数，
必具有（3.9）的形式，式中的系数1234,,,a a a a 应该满足以下方程：
1234123412341234,
,(3.11),.
i i i i i j j j j j k k k k k m m
m m m a a x a y a x y u a a x a y a x y u a a x a y a x y u a a x a y a x y u +++=??+++=??
+++=??+++=?
记1
1(3.12)11
i i i i j j j j e k k k k m
m
m m
x y x y x y x y x y x y x y x y ?=
（因为假定,,,i j k m P P P P 按逆时针排列，故0,e e ?>?恰好表示单元e 的面
积），则可以解出：
11[]j
j j j i i
i i
k
k k k i k k k k j e
m
m m m m m m m
i i i i i
i i i
j
j j j k j j j j m m
m
m m k k k k
x y x y x y x y a x y x y u x y x y u x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y u x y x y u x y x y x y x y =-?+-，
2111[1
11
11111]1
1
j j j i i i
k k k i k k k j e
m m m m m m
i i i i i i
j j j k j j j m m m m k
k k
y x y y x y a y x y u y x y u y x y y x y y x y y x y y x y u y x y u y x y y x y =-+?-+
3111[11111111]11j j j i i i
k
k k i k k k j e
m
m m m m m
i i i i i i
j j j k j j j m m
m m k k k x x y x x y a x x y u x x y u x x y x x y x x y x x y x x y u x x y u x x y x x y =-?+-
4111[11111111]11j
j i i
k
k i k k j e
m
m m m
i i i i i
j j j k j j m m
m m k
k
x y x y a x y u x y u x y x y x x y x y x x y u x y u x x y x y =-+?-+
把它们带入（3.9）式就得到
(,)
u x y 在e 上的表达式
(,)(,)(,)(,)(,)
(3.13)i i j j k k m m u x y u N x y u N x y u N x y u N x y =+++
其中
11
(,)[111111]11j j j j j j j
i k k k k k k k e
m m m m m m m
j j j j j
k k k k k m m m m m
x y x y y x y N x y x y x y y x y x
x y x y y x y x x y x y x x y y x y xy x x y x y =-?+-
简记为： 1(,)()
1,1(3.14)
1111,111i i i i i
e j j j j j j j i k k k k i k k k m m m m m m m j j j j j i k k k i k k m m m m m N x y A B x C y D xy x y x y y x y A x y x y B y x y x y x y y x y x x y x y C x x y D x y x x y x y ??
?=+++???
?
?
==-?????
==-???
任取一个单元{}1212(,),e x y x x x y y y =≤≤≤≤。其中00(,)x y 为单元的中心：02102111(),()2
2
x x x y y y =+=+。在坐标轴方向的一半为：12122111(),()22
h x x h y y =-=-
先在标准单元
?e
上作出单元的形状函数，通过变换：
00
12
,(3.15)x x y y h h ξη--=
=
就得到e 上的形状函数。我们给出以下信息：
1）单元()
{}
?,11,11e
ξηξη=-≤≤-≤≤；
2）
?e 上的四个结点12
34????(1,1),(1,1),(1,1)
,(1,1)P P P P =--=-==-； 3）在每个节点上，插值多项式取给定的函数值，即每个结点的自由度是1。
我们的目的是，对每个结点?(14)i
P i ≤≤构造相应的形状函数?()i N P
，使得： 1）(,)i N ξη在?e
上是,ξη的不完全二次多项式1234
a a a a ξηξη+++； 2）
?()i N P
满足 1,,?()(1,4)0,
.
i j
i j N P i j i j =?=≤≤?≠?
不难得到这些形状函数为：
123411(,)(1)(1);(,)(1)(1);44(3.16)11(,)(1)(1);(,)(1)(1).44
N N N N ξηξηξηξηξηξηξηξη?
=--=+-???
?=++=-+??
容易看出，这四个形状函数实际上是在区间
?[1,1]I
=-上的一维线性插值的基函数的乘积。于是，在
?e
上的双线性函数 11223344(,)(,)(,)(,)(,)
(3.17)u u N u N u N u N ξηξηξηξηξη=+++
其中，?()(14)i i
u u P i =≤≤。
这样构造的分片双线性函数在区域Ω上是连续的。
单元分析与总体合成：
我们从Galerkin 法出发，对变分方程（3.6）做离散，就是求()V h h
u x ∈使得
A(,)(),V (3.18)h h
u v F v v =?∈
也就是求()V h h
u x ∈使得 (,)(,)(,)(,)(3.19)
h h h
h h h h u u v v
p x y p x y q x y u v dxdy u vds x x y y f x y vdxdy
σΩΓΩ??????+++????????=????? 我们将在
h Ω上的积分化为在单元上的积分再求和，于是式（3.19）可
改写为：
111(,)(,)(,)(3.20)
e
e
n n e
n
N N h h h h n n e N n e u u v v
p x y p x y q x y u v dxdy u vds x x y y fvdxdy
γσ===??????+++??
??????=∑∑???∑?? 其中n n h e γ=??Γ表示单元n e 的边界n e ?与h Γ的交集。若n e ?与h Γ不相交，则认为线积分取零值。
式（3.20）中的积分都是只在某一单元上求积的，我们要将每个单元上的积分计算出来。
任取一个单元?????i j k m
e PP P P =?，函数(,)h u x y 和(,)v x y 在结点
(,,,s P s i j k m =
上的值记为s u 和(,,,)s v s i j k m =。利用（3.17）式与（3.15）
式可以得到：
00000000
12121212
(,)(
,)(,)(,)(,)(3.21)i i j j k k m m x x y y x x y y x x y y x x y y u x y u N u N u N u N h h h h h h h h --------=+++
其中
0000121212000034121211(,)(1)(1);(,)(1)(1);44(3.22)11(,)(1)(1);(,)(1)(1).44x x y y x x y y N x y N x y h h h h x x y y x x y y N x y N x y h h h h ----?
=--=+-???
----?=++=-+??
于是，据式（3.21）：
(,)(,)(,)(,)(,)h i i j j k k m m u x y u N u N u N u N ξηξηξηξη=+++
(,)(,)(,)(,)(,)i i j j k k m m v x y v N v N v N v N ξηξηξηξη=+++
??????? ????? ???グ?? ? ??? ????φ??? ????φ??? ????φ??? ??? 1 Corresponding author: zzq_890709@https://www.doczj.com/doc/3417965491.html,
?? Contents 0 ????????????? (2) 0.1 ?????? (2) 0.2 ????????? (2) 0.3 ?????? (3) 1????????仈 (4) 1.1 ???? (4) 1.2 ?????????????? (5) 1.3 ???? (7) 1.4 ???????ウ (13) 2 ???????????仈 (14) 2.1 ???? (14) 2.2 ???? (15) 2.3 ???? (16) 3 й???????????仈 (19) 3.1 ??????? (19) 3.2 ?????????????? (19) 3.3 ???? (20) 3.4 ???????ウ (22) 4 ??????????仈 (23) 4.1 ???? (23) 4.2 ???? (24) 4.3 ???? (25) 5 ??????????????仈 (32) 5.1 ???? (32) 5.2 ???? (33) 6 ???仈 (39) 6.1 ???? (39) 6.2 ??傼? (41) 6.3 ???? (44) 6.4 ???? (45) 7 ?? (48)
0 ????????????? 0.1 ?????? ????????????????лй??僔? 1????——?????????????Gambit. 2??????——????Matlab??????? 3????——??Matlab??.dat?????Tecplot??? 0.2 ????????? ?0 Matlab????????? ?????bandwidth.m ????????? elem_B_plane.m ????????B elem_D_plane.m ??????D elem_MK_plane.m ????????K elem_stressIntp.m ??儈??????? input.m ?????? input_readload.m ???? integrate_gauss_1.m 1?儈??? integrate_gauss_2.m 2?儈??? integrate_hammer.m й??Hammer?? main_AssemSolve.m ???????????Ka = P main_CalStress.m ?????????? output2tec.m ??.dat???Tecplot?? plot_mesh.m ?Matlab????? plot_stress.m ?Matlab??????? shape_cubic_820.m 3?8?20??Serendipity??????shape_lagrange.m 1?Lagrange???? shape_quadrangle_9.m ???9???????? shape_quadrangle_48.m ???4?8??Serendipity??????shape_triangle_36.m й??3?6????????
受均匀内压作用的厚壁圆筒： 问题描述： 受均匀内压p=12.5N/mm 2作用的厚壁圆筒。其几何参数为：内径R i =100mm ， 外径R e =200mm ，桶壁后h=100mm ，材料参数为：E=8666.67Mpa ，v=0.3， s σ=17.32Mpa ，材料符合Mise 屈服条件。 (a)求理想塑性材料的解，给出应力r σ和θσ沿径向r 的分布曲线，并求完全卸载 后圆筒内的残余应力分布。 (b)求线性强化材料(E 1=0.6E 或E 1=0.6E)的解，即应力r σ和θσ沿径向r 的分布 曲线。 (c)求幂硬化材料的解并绘出当弹塑性比例系数为m=0,1/4,1/2,2/3和m=1.0时， 即应力r σ和θσ沿径向r 的分布曲线。 求解分析： 由于该厚壁筒模型是轴对称模型，所以在求解过程中，我们选取了1/4模型进行了进行建模分析，具体如下图： 建模时取了柱坐标系下厚壁筒从0。~90。范围内的部分，高度取为100mm ，模型完成后进行网格的划分，这里利用了Patran 的Mesh Seed 功能，通过在径向、周向，高度方向撒种生成Mesh 网格，网格划分如上图。 考虑到实体的变形情况，关于模型的边界条件，定义如下： (1)模型的上、下表面为两个平面，在该两平面上限制z 方向的位移为0； (2)对于模型的内外两圆弧面，为了方便定义边界条件，建立了柱坐标，该两平
是延径向变形的，所以ρ坐标是放开的，为了限制模型的刚体移动，这里限制角坐标θ为0。 (3)对于模型两个侧平面，是属于模型的对称面，所以该两平面的单元在垂直于平面的方向上位移为零，这里利用柱坐标，即沿周向的位移为零，所以同样要限制角坐标θ为0。 由于厚壁筒受到均匀内压，所以在施加载荷时选择均布载荷Pressure，大小为p=12.5N/mm2，作用在内圆弧表面上。 对于材料塑性的定义，首先定义样式模量和泊松比，然后在弹塑性对话框里定义屈服载荷和硬化系数或通过在Stress/Strain Curve栏中添加事先定义的材料属性场来表征弹塑性比例系数m。 对于求解分析，求解器选择Nastran进行计算分析，单元属性选择3D Solid 属性，分析类型定义为非线性并设置大变形和跟随力及载荷增量步等，以此来进行弹塑性的非线性求解。 结果分析： (a)对于理性塑性材料，即硬化系数为0，求解结果如下： 该图为100%载荷作用下模型的应力云图及变形情况。观察可知，筒内壁应力较高且首先达到屈服应力发生塑性变形，沿径向方向向外，各层应力逐渐递减，且外层部分属于弹性变形的范畴，模型某一层为弹塑性变形的分界面。
CATIA有限元分析计算实例 CATIA有限元分析计算实例 11.1例题1 受扭矩作用的圆筒 11.1－1划分四面体网格的计算 （1）进入【零部件设计】工作台 启动CATIA软件。单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项，如图11－1所示，进入【零部件设计】工作台。 图11－1单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项 单击后弹出【新建零部件】对话框，如图11-2所示。在对话框内输入新的零件名称，在本例题中，使用默认的零件名称【Part1】。点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，进入【零部件设计】工作台。 （2）进入【草图绘制器】工作台 在左边的模型树中单击选中【xy平面】, 如图11-3所示。单击【草图编辑器】工具栏内的【草图】按钮，如图11-4所示。这时进入【草图绘制器】工作台。 图11－2【新建零部件】对话框
图11－3单击选中【xy平面】 （3）绘制两个同心圆草图 点击【轮廓】工具栏内的【圆】按钮，如图11-5所示。在原点点击一点，作为圆草图的圆心位置，然后移动鼠标，绘制一个圆。用同样分方法再绘制一个同心圆，如图11-6所示。 图11－4【草图编辑器】工具栏 图11－5【轮廓】工具栏 下面标注圆的尺寸。点击【约束】工具栏内的【约束】按钮，如图11-7所示。点击选择圆，就标注出圆的直径尺寸。用同样分方法标注另外一个圆的直径，如图11-8所示。 图11－6两个同心圆草图 图11－7【约束】工具栏 双击一个尺寸线，弹出【约束定义】对话框，如图11－9所示。在【直径】数值栏内输入100mm，点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，同时圆的直径尺寸被修改为100mm。用同样的方法修改第二个圆的直径尺寸为50mm。修改尺寸后的圆如图11-10所示。
有限元分析大作业报告 试题1： 一、问题描述及数学建模 图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较： （1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算； （2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； （3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。 该问题属于平面应变问题，大坝所受的载荷为面载荷，分布情况及方向如图所示。 二、采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算 1、有限元建模 （1）设置计算类型：两者因几何条件和载荷条件均满足平面应变问题，故均取Preferences 为Structural （2）选择单元类型：三节点常应变单元选择的类型是Solid Quad 4 node182；六节点三角形单元选择的类型是Solid Quad 8 node183。因研究的问题为平面应变问题，故对Element behavior（K3）设置为plane strain。 （3）定义材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3 （4）建几何模型：生成特征点；生成坝体截面 （5）网格化分：划分网格时，拾取lineAB和lineBC，设定input NDIV 为15；拾取lineAC，设定input NDIV 为20，选择网格划分方式为Tri+Mapped，最后得到600个单元。
（6)模型施加约束：约束采用的是对底面BC 全约束。大坝所受载荷形式为Pressure ，作用在AB 面上，分析时施加在L AB 上，方向水平向右，载荷大小沿L AB 由小到大均匀分布。以B 为坐标原点，BA 方向为纵轴y ，则沿着y 方向的受力大小可表示为： }{*980098000)10(Y y g gh P -=-==ρρ 2、 计算结果及结果分析 （1） 三节点常应变单元 三节点常应变单元的位移分布图 三节点常应变单元的应力分布图
姓名：学号：班级：
有限元分析及应用作业报告 一、问题描述 图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较： 1)分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算； 2)分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； 3)当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。
二、几何建模与分析 图1-2力学模型 由于大坝长度>>横截面尺寸，且横截面沿长度方向保持不变，因此可将大坝看作无限长的实体模型，满足平面应变问题的几何条件；对截面进行受力分析，作用于大坝上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力，满足平面应变问题的载荷条件。因此该问题属于平面应变问题，大坝所受的载荷为面载荷，分布情况及方向如图1-2所示，建立几何模型，进行求解。 假设大坝的材料为钢，则其材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3 三、第1问的有限元建模 本题将分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算。 1）设置计算类型：两者因几何条件和载荷条件均满足平面应变问题，故均取Preferences为Structural 2）选择单元类型：三节点常应变单元选择的类型是PLANE42（Quad 4node42），该单元属于是四节点单元类型，在网格划分时可以对节点数目控制使其蜕化为三节点单元；六节点三角形单元选择的类型是PLANE183（Quad 8node183），该单元属于是八节点单元类型，在网格划分时可以对节点数目控制使其蜕化为六节点单元。因研究的问题为平面应变问题，故对Element behavior（K3）设置为plane strain。 3）定义材料参数 4）生成几何模 a. 生成特征点 b.生成坝体截面 5）网格化分：划分网格时，拾取所有线段设定input NDIV 为10，选择网格划分方式为Tri+Mapped，最后得到200个单元。 6)模型施加约束： 约束采用的是对底面BC全约束。 大坝所受载荷形式为Pressure，作用在AB面上，分析时施加在L AB上，方向水平向右，载荷大小沿L AB由小到大均匀分布（见图1-2）。以B为坐标原点，BA方向为纵轴y，则沿着y方向的受力大小可表示为： ρ（1） = gh P- =ρ g = - 10 {* } 98000 98000 (Y ) y
有限元法的基本思想及计算步骤 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量F x，F y。三个结点共六个结点位移分量可用列
有限元分析》大作业基本要求： 1.以小组为单位完成有限元分析计算，并将计算结果上交； 2.以小组为单位撰写计算分析报告； 3.按下列模板格式完成分析报告； 4.计算结果要求提交电子版，一个算例对应一个文件夹，报告要求提交电子版和纸质版。 有限元分析》大作业 小组成 员： 储成峰李凡张晓东朱臻极高彬月 Job name ：banshou 完成日 期： 2016-11-22 一、问题描述 （要求：应结合图对问题进行详细描述，同时应清楚阐述所研究问题的受力状况 和约束情况。图应清楚、明晰，且有必要的尺寸数据。）如图所示，为一内六角螺栓扳手，其轴线形状和尺寸如图，横截面为一外 接圆半径为0.01m的正六边形，拧紧力F为600N，计算扳手拧紧时的应力分布 图1 扳手的几何结构 数学模型
要求：针对问题描述给出相应的数学模型，应包含示意图，示意图中应有必要的尺寸数据；
图 2 数学模型 如图二所示，扳手结构简单，直接按其结构进行有限元分析。 三、有限元建模 3.1 单元选择 要求：给出单元类型， 并结合图对单元类型进行必要阐述， 包括节点、自由度、 实常数等。） 图 3 单元类型 如进行了简化等处理，此处还应给出文字说
扳手截面为六边形，采用4 节点182单元，182 单元可用来对固体结构进行
二维建模。182单元可以当作一个平面单元，或者一个轴对称单元。它由4 个结点组成，每个结点有2 个自由度，分别在x,y 方向。 扳手为规则三维实体，选择8 节点185单元，它由8 个节点组成，每个节点有3 个自由度，分别在x，y，z 方向。 3.2 实常数 （要求：给出实常数的具体数值，如无需定义实常数，需明确指出对于本问题选择的单元类型，无需定义实常数。） 因为该单元类型无实常数，所以无需定义实常数 3.3材料模型 （要求：指出选择的材料模型，包括必要的参数数据。） 对于三维结构静力学，应力主要满足广义虎克定律，因此对应ANSYS中的线性，弹性，各项同性，弹性模量EX：2e11 Pa, 泊松比PRXY=0.3 3.4几何建模由于扳手结构比较简单，所以可以直接在ANSYS软件上直接建模，在ANSYS建 立正六 边形，再创立直线，面沿线挤出体，得到扳手几何模型 图4 几何建模
《有限元分析与应用》详细例题 试题1：图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比 较： 1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算； 2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； 3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。 一．问题描述及数学建模 无限长的刚性地基上的三角形大坝受齐顶的水压作用可看作一个平面问题，简化为平面三角形受力问题，把无限长的地基看着平面三角形的底边受固定支座约束的作用，受力面的受力简化为受均布载荷的作用。 二．建模及计算过程 1. 分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算 下面简述三节点常应变单元有限元建模过程（其他类型的建模过程类似）： 1.1进入ANSYS 【开始】→【程序】→ANSYS 10.0→ANSYS Product Launcher →change the working directory →Job Name: shiti1→Run 1.2设置计算类型 ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK 1.3选择单元类型 单元是三节点常应变单元，可以用4节点退化表示。 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4 node 42 →OK (back to Element Types window)→Options… →select K3: Plane Strain→OK→Close (the Element Type window) 1.4定义材料参数
有限元分析习题及大作业试题 要求：1）个人按上机指南步骤至少选择习题中3个习题独立完成，并将计算结果上交； 2）以小组为单位完成有限元分析计算； 3）以小组为单位编写计算分析报告； 4）计算分析报告应包括以下部分： A、问题描述及数学建模； B、有限元建模（单元选择、结点布置及规模、网格划分方 案、载荷及边界条件处理、求解控制） C、计算结果及结果分析（位移分析、应力分析、正确性分 析评判） D、多方案计算比较（结点规模增减对精度的影响分析、单 元改变对精度的影响分析、不同网格划分方案对结果的 影响分析等） E、建议与体会 4）11月1日前必须完成，并递交计算分析报告（报告要求打印）。
习题及上机指南：（试题见上机指南） 例题1 坝体的有限元建模与受力分析 例题2 平板的有限元建模与变形分析 例题1：平板的有限元建模与变形分析 计算分析模型如图1-1 所示, 习题文件名: plane 0.5 m 0.5 m 0.5 m 0.5 m 板承受均布载荷：1.0e 5 P a 图1－1 受均布载荷作用的平板计算分析模型 1.1 进入ANSYS 程序 →ANSYSED 6.1 →Interactive →change the working directory into yours →input Initial jobname: plane →Run 1.2设置计算类型 ANSYS Main Menu : Preferences →select Structural → OK 1.3选择单元类型 ANSYS Main Menu : Preprocessor →Element T ype →Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 42 →OK (back to Element T ypes window) → Options… →select K3: Plane stress w/thk →OK →Close (the Element T ype window) 1.4定义材料参数 ANSYS Main Menu : Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX:2.1e11, PRXY :0.3 → OK 1.5定义实常数 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Real Constant s… →Add … →select T ype 1→ OK →input THK:1 →OK →Close (the Real Constants Window)
有限元大作业程序设计 学校：天津大学 院系：建筑工程与力学学院 专业：01级工程力学 姓名：刘秀 学号：\\\\\\\\\\\ 指导老师：
连续体平面问题的有限元程序分析 [题目]： 如图所示的正方形薄板四周受均匀载荷的作用，该结构在边界 上受正向分布压力， m kN p 1=，同时在沿对角线y 轴上受一对集中压 力，载荷为2KN ，若取板厚1=t ，泊松比0=v 。 [分析过程]： 由于连续平板的对称性，只需要取其在第一象限的四分之一部分参加分析，然后人为作出一些辅助线将平板“分割”成若干部分，再为每个部分选择分析单元。采用将此模型化分为4个全等的直角三角型单元。利用其对称性，四分之一部分的边界约束，载荷可等效如图所示。
[程序原理及实现]： 用FORTRAN程序的实现。由节点信息文件NODE.IN和单元信息文件ELEMENT.IN，经过计算分析后输出一个一般性的文件DATA.OUT。模型基本信息由文件为BASIC.IN生成。 该程序的特点如下： 问题类型：可用于计算弹性力学平面问题和平面应变问题 单元类型：采用常应变三角形单元 位移模式：用用线性位移模式 载荷类型：节点载荷，非节点载荷应先换算为等效节点载荷 材料性质：弹性体由单一的均匀材料组成 约束方式：为“0”位移固定约束，为保证无刚体位移，弹性体至少应有对三个自由度的独立约束 方程求解：针对半带宽刚度方程的Gauss消元法
输入文件：由手工生成节点信息文件NODE.IN，和单元信息文件ELEMENT.IN 结果文件：输出一般的结果文件DATA.OUT 程序的原理如框图：
有限元分析软件 有限元分析是对于结构力学分析迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50 年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元分析软件目前最流行的有：ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC 四个比较知名比较大的公司，其中ADINA、ABAQUS 在非线性分析方面有较强的能力目前是业内最认可的两款有限元分析软件，ANSYS、MSC 进入中国比较早所以在国内知名度高应用广泛。目前在多物理场耦合方面几大公司都可以做到结构、流体、热的耦合分析，但是除ADINA 以外其它三个必须与别的软件搭配进行迭代分析，唯一能做到真正流固耦合的软件只有ADINA。ANSYS是商业化比较早的一个软件，目前公司收购了很多其他软件在旗下。ABAQUS专注结构分析目前没有流体模块。MSC是比较老的一款软件目前更新速度比较慢。ADINA是在同一体系下开发有结构、流体、热分析的一款软件，功能强大但进入中国时间比较晚市场还没有完全铺开。 结构分析能力排名：ABAQUS、ADINA、MSC、ANSYS 流体分析能力排名：ANSYS、ADINA、MSC、ABAQUS 耦合分析能力排名：ADINA、ANSYS、MSC、ABAQUS 性价比排名：最好的是ADINA，其次ABAQUS、再次ANSYS、最后MSC ABAQUS 软件与ANSYS 软件的对比分析： 1．在世界范围内的知名度：两种软件同为国际知名的有限元分析软件，在世界范围内具有各自广泛的用户群。ANSYS 软件在致力于线性分析的用户中具有很好的声誉，它在计算机资源的利用，用户界面开发等方面也做出了较大的贡献。ABAQUS软件则致力于更复杂和深入的工程问题，其强大的非线性分析功能在设计和研究的高端用户群中得到了广泛的认可。由于ANSYS 产品进入中国市场早于ABAQUS，并且在五年前ANSYS 的界面是当时最好的界面之一，所以在中国，ANSYS 软件在用户数量和市场推广度方面要高于ABAQUS。但随着ABAQUS北京办事处的成立，ABAQUS软件的用户数目和市场占有率正在大幅度和稳步提高，并可望在今后的几年内赶上和超过ANSYS。 2．应用领域：ANSYS 软件注重应用领域的拓展，目前已覆盖流体、电磁场和多物理场耦合等十分广泛的研究领域。ABAQUS 则集中于结构力学和相关领域研究，致力于解决该领域的深层次实际问题。 3．性价比：ANSYS 软件由于价格政策灵活，具有多种销售方案，在解决常规的
ansys有限元分析大作业
有限元大作业 设计题目: 单车的设计及ansys有限元分析 专业班级: 姓名: 学号: 指导老师: 完成日期: 2016.11.23
单车的设计及ansys模拟分析 一、单车实体设计与建模 1、总体设计 单车的总体设计三维图如下，采用pro-e进行实体建模。 在建模时修改proe默认单位为国际主单位(米千克秒 mks) Proe》文件》属性》修改
2、车架 车架是构成单车的基体，联接着单车的其余各个部件并承受骑者的体重及单车在行驶时经受各种震动和冲击力量，因此除了强度以外还应有足够的刚度，这是为了在各种行驶条件下，使固定在车架上的各机构的相对位置应保持不变，充分发挥各部位的功能。车架分为前部和后部，前部为转向部分，后部为驱动部分，由于受力较大，所有要对后半部分进行加固。
二、单车有限元模型 1、材料的选择 单车的车身选用铝合金（6061-T6）T6标志表示经过热处理、时效。 其属性如下： 弹性模量：） .6+ 90E （2 N/m 10 泊松比：0.33 质量密度：） 3 2.70E+ N/m （2 抗剪模量：） 60E .2+ N/m （2 10 屈服强度：） .2+ （2 75E 8 N/m 2、单车模型的简化 为了方便单车的模拟分析，提高电脑的运算
效率，可对单车进行初步的简化；单车受到的力的主要由车架承受，因此必须保证车架能够有足够的强度、刚度，抗振的能力，故分析的时候主要对车架进行分析。简化后的车架如下图所示。 3、单元体的选择 单车车架为实体故定义车架的单元类型为实体单元（solid）。查资料可以知道3D实体常用结构实体单元有下表。 单元名称说明 Solid45 三维结构实体单元，单元由8个节点定义，具有塑性、蠕变、应力刚化、 大变形、大应变功能，其高阶单元是 solid95
ansys有限元分析工程实例大作业
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辽宁工程技术大学 有限元软件工程实例分析 题目基于ANSYS钢桁架桥的静力分析专业班级建工研16-1班（结构工程）学号 471620445 姓名 日期 2017年4月15日
基于ANSYS钢桁架桥的静力分析 摘要：本文采用ANSYS分析程序，对下承式钢桁架桥进行了有限元建模;对桁架桥进行了静力分析，作出了桁架桥在静载下的结构变形图、位移云图、以及各个节点处的结构内力图（轴力图、弯矩图、剪切力图），找出了结构的危险截面。 关键词：ANSYS；钢桁架桥；静力分析；结构分析。 引言：随着现代交通运输的快速发展，桥梁兴建的规模在不断的扩大，尤其是现代铁路行业的快速发展更加促进了铁路桥梁的建设，一些新建的高速铁路桥梁可以达到四线甚至是六线，由于桥面和桥身的材料不同导致其受力情况变得复杂，这就需要桥梁需要有足够的承载力，足够的竖向侧向和扭转刚度，同时还应具有良好的稳定性以及较高的减震降噪性，因此对其应用计算机和求解软件快速进行力学分析了解其受力特性具有重要的意义。 1、工程简介 某一下承式简支钢桁架桥由型钢组成，顶梁及侧梁，桥身弦杆，底梁分别采用3种不同型号的型钢，结构参数见表1，材料属性见表2。桥长32米，桥高5.5米，桥身由8段桁架组成，每个节段4米。该桥梁可以通行卡车，若只考虑卡车位于桥梁中间位置，假设卡车的质量为4000kg，若取一半的模型，可以将卡车对桥梁的作用力简化为P1，P2，和P3，其中P1=P3=5000N，P2=10000N,见图2,钢桥的形式见图1，其结构简图见图3。
有限元分析软件的比较（购买必看）－转贴 随着现代科学技术的发展，人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，需要对结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响，看看是否会发生破坏性事故；分析计算核反应堆的温度场，确定传热和冷却系统是否合理；分析涡轮机叶片内的流体动力学参数，以提高其运转效率。这些都可归结为求解物理问题的控制偏微分方程式，这些问题的解析计算往往是不现实的。近年来在计算机技术和数值分析方法支持下发展起来的有限元分析（FEA，Finite Element A nalysis）方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。在工程实践中，有限元分析软件与CAD系统的集成应用使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面： 增加设计功能，减少设计成本； 缩短设计和分析的循环周期； 增加产品和工程的可靠性； 采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 进行机械事故分析，查找事故原因。 在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。国际上早20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。从那时到现在，世界各地的研究机构和大学也发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的PA FEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。 以下对一些常用的软件进行一些比较分析： 1. LSTC公司的LS-DYNA系列软件
重庆大学研究生有限 元大作业
课程研究报告 科目：有限元分析技术教师：阎春平姓名：色学号： 2 专业：机械工程类别：学术 上课时间： 2015 年 11 月至 2016 年 1 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师 (签名)
有限元分析技术作业 姓名: 色序号: 是学号: 2 一、题目描述及要求 钢结构的主梁为高160宽100厚14的方钢管，次梁为直径60厚10的圆钢管（单位为毫米），材料均为碳素结构钢Q235；该结构固定支撑点位于左右两端主梁和最中间。主梁和次梁之间是固接。试对在垂直于玻璃平面方向的2kPa 的面载荷（包括玻璃自重、钢结构自重、活载荷（人员与演出器械载荷）、风载荷等）作用下的舞台进行有限元分析。 二、题目分析 根据序号为069，换算得钢结构框架为11列13行。由于每个格子的大小为1×1（单位米），因此框架的外边框应为11000×13000（单位毫米）。 三、具体操作及分析求解 1、准备工作 执行Utility Menu：File → Clear＆start new 清除当前数据库并开始新的分析，更改文件名和文件标题，如图1.1。选择GUI filter，执行 Main Menu: Preferences → Structural → OK，如图1.2所示
图1.1清除当前数据库并开始新的分析 图1.2 设置GUI filter 2、选择单元类型。 执行Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete →Add→ select→ BEAM188，如图2.1。之后点击OK(回到Element Types window) →Close
有限元作业
有限元分析大作业 学院： 班级： 姓名： 学号： 日期：
试题一（对应第二章） 如图所示，有一受轴向拉伸载荷2000P N =作用的变截面杆件，在0x =处，杆件截面积为2020A mm =，在180x L mm ==处，杆件截面积为201102 A mm =，杆件弹性模量为200GPa ，泊松比为0.3，试建立该杆件的有限元模型，并计算端部位移。（在划分网格时，沿长度方向取三个等长度杆单元） x P 0A 012A L 解：计算分析 000()(1)2(1)2(1)2x x x x A P x A A x A L P x A L P x E EA L σσσε===-=-==-
[ ]00 000022()[ln(2)]ln 2ln(2)12x x x x P dx PL PL u x dx L x L L x x EA EA EA L ε===--=--??- ??? ?? 0() 1.3860.1242mm PL u L EA == 数学建模：将其用二维模型进行降维处理，分为四个节点，三个等长度单元。 后处理
读出最大应力：1.750*10^2mpa 则计算得到右端部位移u（L）=0.12683 轴向位移随杆长变化图如下：
试题二（对应第三章） 一正方形平板,尺寸为40 mm×40 mm,厚度为2 mm,板中央有直径为d的圆孔如下图所示,板材弹性模量为200GPa,泊松比为0.3,在板的左端和右端分别施加20 MPa的拉力载荷.试建立该平板的有限元模型，并分别计算圆孔直 d=5,10,15,20和25mm时，平板开孔应力集中系数。
有 限 元 大 作 业 程 序 设 计 学校：天津大学 院系：建筑工程与力学学院 专业：01级工程力学 姓名：刘秀 学号：\\\\\\\\\\\ 指导老师： 连续体平面问题的有限元程序分析 [题目]： 如图所示的正方形薄板四周受均匀载荷的作用，该结构在边界 上受正向分布压力， m kN p 1=，同时在沿对角线y 轴上受一对集中压 力，载荷为2KN ，若取板厚1=t ，泊松比0=v 。 [分析过程]： 由于连续平板的对称性， 只需要取其在第一象限的四分之一部分
参加分析，然后人为作出一些辅助线将平板“分割”成若干部分，再为每个部分选择分析单元。采用将此模型化分为4个全等的直角三角型单元。利用其对称性，四分之一部分的边界约束，载荷可等效如图所示。 [ 用和单元信息文件DATA.OUT。 位移模式：用用线性位移模式 载荷类型：节点载荷，非节点载荷应先换算为等效节点载荷 材料性质：弹性体由单一的均匀材料组成 约束方式：为“0”位移固定约束，为保证无刚体位移，弹性体至少应有对三个自由度的独立约束 方程求解：针对半带宽刚度方程的Gauss消元法 输入文件：由手工生成节点信息文件NODE.IN，和单元信息文件ELEMENT.IN 结果文件：输出一般的结果文件DATA.OUT 程序的原理如框图：
（1） ID ： ID=2时为平面应变问题 （平面问题） ，LJK_ELE(I,1)，LJK_ELE(I,2)， X(I),Y(I)分别存放节点I 的x ，y 表示第I 个作用有节点载荷的节点x,y 方向的节点载荷数值 存放节点载荷向量，解方程后该矩 （2 READ_IN ： 读入数据 BAND_K ： 形成半带宽的整体刚度矩阵 FORM_KE ： 计算单元刚度矩阵 FORM_P ： 计算节点载荷 CAL_AREA ：计算单元面积 DO_BC ： 处理边界条件 CLA_DD ： 计算单元弹性矩阵 SOLVE ： 计算节点位移 CLA_BB ： 计算单元位移……应变关系矩阵 CAL_STS ：计算单元和节点应力 （3）文件管理： 源程序文件： chengxu.for 程序需读入的数据文件：
有限元分析及应用大作业 作业要求： 1）个人按上机指南步骤至少选择习题中3个习题独立完成，并将计算结果上交； 也可根据自己科研工作给出计算实例。 2）以小组为单位完成有限元分析计算； 3）以小组为单位编写计算分析报告； 4）计算分析报告应包括以下部分： A、问题描述及数学建模； B、有限元建模（单元选择、结点布置及规模、网格划分方案、载荷及边界 条件处理、求解控制） C、计算结果及结果分析（位移分析、应力分析、正确性分析评判） D、多方案计算比较（结点规模增减对精度的影响分析、单元改变对精度的 影响分析、不同网格划分方案对结果的影响分析等） 题一：图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较： 1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；（注意ANSYS中用四边形单元退化为三节点三角形单元） 2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； 3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。 解：1.建模： 由于大坝长度>>横截面尺寸，且横截面沿长度方向保持不变，因此可将大坝看作无限长的实体模型，满足平面应变问题的几何条件；对截面进行受力分析，作
用于大坝上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力，满足平面应变问题的载荷条件。因此该问题属于平面应变问题，大坝所受的载荷为面载荷，分布情况P=98000-9800*Y；建立几何模型，进行求解；假设大坝的材料为钢，则其材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3； 2：有限元建模过程： 2.1 进入ANSYS : 程序→ANSYS APDL 15.0 2.2设置计算类型: ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK 2.3选择单元类型: ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 182(三节点常应变单元选择Solid Quad 4node 182，六节点三角形单元选择Solid Quad 8node 183)→OK (back to Element Types window) →Option →select K3: Plane Strain →OK→Close (the Element Type window) 2.4定义材料参数： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX:2.1e11, PRXY:0.3 →OK 2.5生成几何模型： 生成特征点： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints→In Active CS →依次输入四个点的坐标：input:1(0,0),2(10,0),3(1,5),4(0.45,5) →OK 生成坝体截面： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Arbitrary →Through KPS →依次连接四个特征点，1(0,0),2(6,0),3(0,10) →OK 2.6 网格划分： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool→(Size Controls) lines: Set →依次拾取两条直角边:OK→input NDIV: 15 →Apply→依次拾取斜边:OK →input NDIV: 20 →OK →(back to the mesh tool window)Mesh:Areas, Shape: tri, Mapped →Mesh →Pick All (in Picking Menu) →Close( the Mesh Tool window) 2.7 模型施加约束： 给底边施加x和y方向的约束： ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Displacement →On lines →pick the lines →OK →select Lab2:UX, UY →OK 给竖直边施加y方向的分布载荷： ANSYS 命令菜单栏: Parameters →Functions →Define/Edit →1) 在下方的下拉列表框内选择x ,作为设置的变量；2) 在Result窗口中出现{X},写入所施加的载荷函数： 98000-9800*{Y}；3) File>Save(文件扩展名：func) →返回：Parameters →Functions →Read from file：将需要的.func文件打开，参数名取meng，它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure →On Lines →拾取竖直边；OK →在下拉列表框中，选择：Existing table →OK →选择需要的载荷为meng参数名→OK 2.8 分析计算： ANSYS Main Menu: Solution →Solve →Current LS →OK(to close the solve Current Load