2012高中数学苏教版教学案-第七章-点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系

第二章 平面解析几何初步第二节 圆与方程第13课时 直线与圆的位置关系2．能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系；3．理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系；4．会处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题；5．灵活处理与圆相交的问题．自学评价1．直线与圆有一个交点称为 相切，有两个交点称为 ，没有交点称为 ．2.设圆心到直线的距离为d ，圆半径为r ，当 时，直线与圆相离，当 时，直线与圆相切，当 时，直线与圆相交．3.直线l 与圆C 的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆 ，若方程组仅有一组解，则直线与圆 ，若方程组有两组不同的解，则直线与圆 ．【精典范例】例1：求直线4340x y +=和圆22100x y +=的公共点坐标，并判断它们的位置关系．【解】听课随笔例2：自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ,求切线l 的方程．【解】例3：求直线0x +=被圆224x y +=截得的弦长．【解】追踪训练一1.求过圆224x y +=上一点的圆的切线方程．2. 自点(2,2)A 作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ,求切线l 的方程．3.从圆22(1)(1)1x y -+-=外一点(2,3)P 向圆引切线，求切线长．【选修延伸】一、圆、切线、截距例4: 已知圆22(2)(3)1x y -+-=，求该圆与x 轴和y 轴的截距相等的切线l 的方程.【解】例5：若直线y x b =+与24x y =-恰有一个公共点，求实数b 的取值范围.【解】思维点拔： 在解决直线与圆的位置关系的问题时，我们通常采用“几何法”．例如，求与圆相切的直线方程时，先用待定系数法设出直线方程，然后根据d r =即可求得．这种数形结合的思想贯穿了整个章节．追踪训练二听课随笔1．已知圆222x y +=，求该圆与x 轴和y 轴的截距的绝对值相等的切线l 的方程．2．若直线y x b =+与y =有两个不同的交点，求实数b 的取值范围．。

《直线与圆的位置关系》教学设计一、教学内容解析《直线与圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容，它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用坐标法进一步研究直线与圆的位置关系，体会数形结合思想，初步形成代数法解决几何问题的能力，并逐渐内化为学生的习惯和基本素质，为以后学习直线与圆锥曲线的知识打下基础．本节课内容共一个课时．教学过程中，让学生利用已有的知识，自主探索用坐标法去研究直线与圆的位置关系的方法，体验有关的数学思想，培养学生“用数学”以及合作学习的意识．二、教学目标设置由于本节课在初中已有涉及，教师准备“学案”先让学生提前思考，归纳出直线与圆的三种位置关系以及代数与几何的两种判定方法．通过学生的观察、分析、概括，促使学生把解析几何中用方程研究曲线的思想与初中已掌握的圆的几何性质相结合，从而把传授知识和培养能力融为一体，完成本节课的教学目标．三、学生学情分析在经历直线、圆的方程学习后，学生已经具备了一定的用方程研究几何对象的能力，因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐．高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯．根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识与技能目标：（1）理解直线与圆三种位置关系．（2）掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法．过程与方法目标：（1）通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式．（2）强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．情感、态度与价值观目标：通过对本节课知识的探究活动，加深学生对坐标法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神．四、教学策略分析本节课以问题为载体，学生活动为主线，让学生利用已有的知识，自主探究，培养学生主动学习的习惯．通过建立数学模型、数形结合，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生的数学素质；通过对直线与圆的位置关系判断方法的探究，进一步提高学生的思维能力和归纳能力．在教学方法的选择上，采用教师组织引导，学生自主探究、动手实践、小组合作交流的学习方式，力求体现教师的设计者、组织者、引导者、合作者的作用，突出学生的主体地位．五、课前准备：直线与圆的位置关系学案（附后）例如图，已知直线直线与圆已知过点，求直线的方程．（课件）六、教学评价设计新课程强调学习过程的评价，因此，在对学生学习结果评价的同时，更应高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、合作意识、独立思考的能力及学习的兴趣等．根据本节课的特点，我从以下几个方面进行教学评价：通过问题情境，激发学生的学习兴趣，使学生找到要学的与以学知识之间的联系；问题串的设置可让学生主动参与到学习中来；在判断方法的形成与应用的探究中，师生的相互沟通调动学生的积极性，培养团队精神；知识的生成和问题的解决，培养学生独立思考的能力，激发学生的创新思维；通过练习检测学生对知识的掌握情况；根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况，查缺补漏，以便调控教学．。

课题：直线与圆
授课人：刘志华
时间：【考纲要求】
直线的斜率和倾斜角〔Ｂ级〕，直线方程〔Ｃ级〕，直线的平行关系与垂直关系〔Ｂ级〕，两条直线的交点〔Ｂ级〕，两点间的距离，点到直线的距离〔Ｂ级〕，圆的标准方程和一般方程〔Ｃ级〕，直线与圆、圆与圆的位置关系〔Ｂ级〕．
【复习目标】
1.掌握直线与圆、圆与圆的位置关系
的几何图形及其判定方法；
2.在直线与圆位置关系，掌握有关弦
长和切线问题；
3．会求定点、定值、最值问题．
【预习自我检测】
1．〔2021江苏卷〕在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为．2．圆心在直线上的圆与轴交于两点，，那么圆的方程为．3．在平面直角坐标系中，假设圆上存在，两点关于点成中心对称，那么直线的方程为．
4．从直线上一点向圆：引切线，,，为切点,那么四边形的周长最小值为．
【典型例题精析】
高考热点一：直线与圆的方程
例1〔1〕在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，且位于轴上方，假设点到坐标原点的距离为，那么过三点的圆的方程是．
例3图
例1〔1〕图
〔2〕圆的方程为，直线过点且与圆交于两点，假设,那么直线的方程为．
例1〔2〕图
高考热点二：直线和圆、圆和圆的位置关系
例2 〔2021江苏卷〕在平面直角坐标
系中，圆的方程为，假设直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，那么的最大值是．
例2图
高考热点三：综合解答题
例3 圆的方程为，直线，且与圆相切．〔1〕求直线的方程；
〔2〕设圆与轴交于两点，是圆上异于的任意一点,过点且与轴垂直的直线为，直线交直线于点，直线交直线于点．试判断以为直径的圆是否经过定点，假设经过求出定点坐标。

初三数学总复习点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1.点与圆的位置关系:有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d＜r，直线与圆相切⇔d=r，直线与圆相离⇔d＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则①两圆外离⇔d＞R+r；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R＋r；有3条公切线；③两圆相交⇔R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R－r（R＞r）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d＜R—r（R＞r）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．（二）：【课前练习】1.△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：⑴当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____；⑵当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____；⑶当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.2.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（） A．3 B．23 C．3 D．43.已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径 cm．4.两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（） A．d＞8 B．0＜d≤2C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞85.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_____个．二：【经典考题剖析】1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心1．3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（）A．0个 B．l个 C．2个 D．3个2.已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有___个．3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5 cm，两圆的圆心距是6 cm，则这两圆的位置关系是（）A．内含 B．外离 C．内切 D．相交4.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）3344A B C D....45535.如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC度数是（）A．70° B．40° C．50° D．20°三：【课后训练】1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有________.2.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_________个．3.已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切4.如图，A、B是⊙上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65○，则∠BAC等于（）A．35○B．25○C．50○D．65○5.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x 2－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切6.如图，已知两同心圆，大圆的弦AB 切小圆于M ，若环形的面积为9π，求AB 的长．7.如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，∠APB=90°，OP=4，求⊙O 的半径．8.如图，△ABO 中，OA= OB ，以O 为圆心的圆经过AB 中点C ，且分别交OA 、OB 于点E 、F ．（1）求证：AB 是⊙O 切线；（2）若△ABO 腰上的高等于底边的一半，且AB=4 3 ，求 ECF的长9.如图，CB 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、D ，CD 的延长线与⊙O 的直径BE 的延长线交于A 点，连OC ，ED ．（1）探索OC 与ED 的位置关系，并加以证明；（2）若OD ＝4，CD=6，求tan ∠ADE 的值．10.如图,⊙O 的半径为1,过点A(2,0)的直线切⊙O 于点B,交y 轴于点C (1)求线段AB 的长(2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式C O A B x y。

点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；过圆上一点的圆的切线方程，判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法；两圆位置关系的几何特征和代数特征．(二)能力训练点通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的教学，培养学生综合运用圆有关方面知识的能力．(三)学科渗透点点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析，现在是用代数方法来分析几何问题，是平面几何问题的深化．二、教材分析1．重点：(1)直线和圆的相切(圆的切线方程)、相交(弦长问题)；(2)圆系方程应用． (解决办法：(1)使学生掌握相切的几何特征和代数特征，过圆上一点的圆的代线方程，弦长计算问题；(2)给学生介绍圆与圆相交的圆系方程以及直线与圆相交的圆系方程．)2．难点：圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点(x0，y0)的切线方程的证明．(解决办法：仿照课本上圆 x2+y2=r2 上一点(x0，y0)切线方程的证明．)三、活动设计归纳讲授、学生演板、重点讲解、巩固练习．四、教学过程(一)知识准备我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”，为了更好地讲解这个课题，我们先复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识．1．点与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为 d，则有： (1)d＞r 点M 在圆外；(2)d=r 点M 在圆上；(3)d＜r 点M 在圆内． 2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l 的方程为 Ax+By+C=0，圆心(a，判别式为△，则有： (1)d＜r 直线与圆相交； (2)d=r直线与圆相切；(3)d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或(1)△＞0 直线与圆相交；(2)△=0直线与圆相切；(3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征，3.圆与圆的位置关系设圆 C1：(x-a)2+(y-b)2=r2 和圆 C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为 d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r 两圆内切；(3)d＞k+r 两圆外离；(4)d＜k+r 两圆内含；(5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4.其他(1)过圆上一点的切线方程：①圆 x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为 x0x+y0y=r2(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．(3)圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1 为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．(二)应用举例和切点坐标．分析：求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：(1)从代数特征分析；(2)从几何特征分析．一般来说，从几何特征分析计算量要小些．该例题由学生演板完成．∵圆心 O(0，0)到切线的距离为 4，把这两个切线方程写成注意到过圆 x2+y2=r2 上的一点 P(x0，y0)的切线的方程为 x0x+y0y=r2，例2 已知实数A、B、C 满足A2+B2=2C2≠0，求证直线Ax+By+C=0 与圆x2+y2=1 交于不同的两点P、Q，并求弦PQ 的长．分析：证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△＞0，又可以用几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径，由教师完成．证：设圆心 O(0，0)到直线 Ax+By+C=0 的距离为 d，则 d=∴直线 Ax+By+C=0 与圆 x2+y1=1 相交于两个不同点 P、Q．例3 求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0 和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0 的公共弦为直径的圆的方程．解法一：相减得公共弦所在直线方程为 4x+3y-2=0．∵所求圆以 AB 为直径，于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25．解法二：设所求圆的方程为：x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)∵圆心 C 应在公共弦 AB 所在直线上，∴ 所求圆的方程为 x2+y2-4x+4y-17=0．小结：解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法；解法二采取了圆系方程求待定系数，解法比较简练．(三)巩固练习1．已知圆的方程是 x2+y2=1，求：(1)斜率为 1 的切线方程；2．(1)圆(x-1)2+(y+2)2=4 上的点到直线 2x-y+1=0 的最短距离是(2)两圆C1∶x2+y2-4x+2y+4=0 与C2∶x2+y2+2x-6y-26=0 的位置关系是．(内切)由学生口答．3．未经过原点，且过圆 x2+y2+8x-6y+21=0 和直线 x-y+5=0 的两个交点的圆的方程．分析：若要先求出直线和圆的交点，根据圆的一般方程，由三点可求得圆的方程；若没过交点的圆系方程，由此圆系过原点可确定参数λ，从而求得圆的方程．由两个同学演板给出两种解法：解法一：设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0．∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，解法二：设过交点的圆系方程为：x2+y2+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0．五、布置作业2．求证：两圆 x2+y2-4x-6y+9=0 和 x2+y2+12x+6y-19=0 相外切．3.求经过两圆 x2+y2+6x-4=0 和x2+y2+6y-28=0 的交点，并且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程．4.由圆外一点 Q(a，b)向圆 x2+y2=r2 作割线交圆于 A、 B 两点，向圆 x2+y2=r2 作切线QC、QD，求：(1)切线长；(2)AB 中点P 的轨迹方程．作业答案：2．证明两圆连心线的长等于两圆半径之和3．x2+y2-x+7y-32=0六、板书设计。

2.2.2直线与圆的位置关系教案2⾼中数学必修⼆苏教版Word版2.2.2 直线与圆的位置关系从容说课本节课的主要内容是研究直线与圆的位置关系.在教学过程中，先联⽴直线与圆的⽅程组，再由⽅程组的解的个数问题来表⽰直线和圆的位置关系.另外，还可以通过点到直线的距离来研究圆⼼距，通过圆的半径与圆⼼间距离的⼤⼩关系，来确定直线与圆的位置关系.教学重点判断直线与圆的位置关系.教学难点判断直线与圆的位置关系时设⽅程要注重斜率的讨论. 教具准备多媒体、三⾓板、圆规. 课时安排1课时三维⽬标⼀、知识与技能1.掌握通过联⽴⽅程组解的个数的讨论来研究直线与圆的位置关系.2.掌握利⽤圆⼼距与圆的半径的关系来判断直线与圆的位置关系.3.会求圆的切线⽅程. ⼆、过程与⽅法 1.注意类⽐的⽅法. 2.师⽣共同探究.三、情感态度与价值观培养数形结合的能⼒及从不同⽅向思考问题的习惯. 教学过程导⼊新课师在解析⼏何中我们研究了两条直线间的位置关系，⼤家回忆⼀下两条直线可能有哪些关系？⽣垂直、平⾏、相交.师通常我们分为重合、相交、平⾏.到⽬前为⽌在直⾓坐标系下我们研究了直线⽅程和圆的⽅程，那么如何在坐标系下研究直线⽅程和圆的位置关系呢？⼤家先回忆⼀下，平⾯⼏何中我们是如何研究的？⽣看圆⼼到直线的距离. 师对！共有⼏种情况？⽣三种：相交、相切、相离. 师(同时板书)如下图.推进新课在平⾯直⾓坐标系中，怎样根据⽅程来判断直线与圆的位置关系呢？设直线l 、圆C 的⽅程分别为Ax +By +C =0,x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.如果直线l 与圆C 有公共点，由于公共点同时在l 和C 上，所以公共点的坐标⼀定是这两个⽅程的公共解，反之，如果这两个⽅程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是l 与圆C 的公共点.由l 与圆C 的⽅程联⽴得⽅程组??=++++=++.0,022F Ey Dx y x C By Ax下⾯我们仿照研究两条直线的位置关系的情形来研究直线与圆的位置关系.我们知道两条直线的位置关系(相交、重合、平⾏)可以转化为联⽴两条直线⽅程所得⽅程组??=++=++,0,0222111C y B x A C y B x A 的解的个数问题，⽅程组=++=++0222111C y B x A C y B x A 的解仅有⼀组时，两条直线l 1、l 2的公共点仅有⼀个，两直线相交，⽆解时意味着两条直线平⾏,⽆数解时意味着两条直线重合.这样考察⽅程组?=++++=++,0,022F Ey Dx y x C By Ax 我们有如下结论：⽅程组⽆解时直线l 与圆C 相离;⽅程组仅有⼀解时直线l 与圆C 相切;⽅程组有两组不同的解时直线l 与圆C 相交.【例1】求直线4x +2y =40与圆x 2+y 2=100的公共点坐标，并判断它们的位置关系. 解:直线4x +2y =40和圆x 2+y 2=100的公共点坐标就是⽅程组??=+=+100,402422y x y x 的解.解这个⽅程组得====.548;514;0,102221y x x x 所以公共点坐标为(10，0)、(548,514). 因为直线4x +2y =40和圆x 2+y 2=100有两个公共点，所以直线和圆相交.【例2】(课本第109页练习第5题)从圆(x -1)2+(y -1)2=1外⼀点P (2,3)向圆引切线，求切线长.分析：切线PQ 与半径O Q 和圆⼼O 与P 点的连线段O P 构成直⾓三⾓形，由勾股定理可求得切线长.解:设圆⼼为O ，则O(1,1)，切点为Q ，则|O P |=.5)13()12(22=-+-由O Q ⊥PQ 知切线长|PQ |=222=-OQ OP .【例3】⾃点A(-1,4)作圆(x -2)2+(y -3)2=1的切线l ，求切线l 的⽅程.解法⼀:易知，当直线l 垂直于x 轴时，不满⾜条件;当直线l 不垂直x 轴时，可设直线l 的⽅程为y -4=k(x +1)，即k x -y +(k+4)=0. 如右图，由直线与圆相切，得圆⼼(2，3)到直线l 的距离等于圆的半径，故1)4(322+++-k k k =1，解得k=0或k=-43. 因此，所求直线l 的⽅程是y =4或3x +4y -13=0.师设直线l 的⽅程为y -4=k(x +1)时要考虑斜率不存在时的情形.解法⼆:易知，当直线l 垂直于x 轴时，不满⾜条件;当直线l 不垂直x 轴时，可设直线l 的⽅程为y -4=k(x +1).由于直线l 与圆相切，所以⽅程组=-+-+=-1)3()2(),1(422y x x k y 仅有⼀组解，由⽅程组消去y ，得关于x 的⼀元⼆次⽅程(1+k 2)x 2+(2k 2+2k-4)x +k 2+2k+4=0.由其判别式Δ=(2k 2+2k-4)2-4(1+k 2)(k 2+2k+4)=0,解得k=0或k=-43.因此，所求直线l 的⽅程是y =4或3x +4y -13=0.【例4】据⽓象台预报,在A 市正东⽅向300km 的B 处有⼀台风中⼼形成，并以40km/h 的速度向西北⽅向移动，在距台风中⼼250km 以内的地区将受其影响，从现在起经过多长时间，台风将影响A 市？持续时间多长？(精确0.1h)解:以A 为圆⼼、250km 为半径作⊙A,当台风中⼼移动经过的直线l 与⊙A 相交或相切时，A 市将受到台风影响.建⽴如图所⽰的直⾓坐标系，那么点A 、B 的坐标分别为(0，0)、(300，0)，⊙A 的⽅程为x 2+y 2=2502，直线l 的⽅程为y ＝－(x －300)，即x ＋y －300＝0.因为点O 到直线l 的距离OM=2150113000022=+-+＜250,所以直线l 与圆相交,设交点为C 、D,则|CD|＝2|DM|＝27100)2(15025022=-.⼜|BM|=|OM|，故|BD|=|BM|-|DM|＝1502－507＝50(32-7).因此，经过40)7-2(350≈2.0(h)后，A 市将受台风影响，持续影响时间为407100≈6.6(h)【例5】若直线l ：y =x +b 与曲线y =24x -有两个不同的交点，求实数b 的取值范围.分析：曲线y =24x -可化为x 2+y 2=4(y ≥0)，表⽰如图所⽰的⼀个半圆，直线与该半圆有两个交点，则直线l 必须在l 1的上⽅(包括l 1)，并且在直线l 2(l 2与半圆相切)的下⽅.解:由图可知，直线l 1⽅程为y =x +2，设直线l 2⽅程为y =x +m ，∵直线l 2与半圆相切，∴2m =2.∴m=22或-22(舍). ∴直线l 2⽅程为x -y +22=0.由图可知,当直线l 介于直线l 1和l 2之间时，直线l 与半圆有两个交点，∴b 的取值范围为2≤b ＜22.课堂⼩结今天我们⼀起研究了直线与圆的位置关系，有两个途径: (1)通过联⽴⽅程组;(2)通过圆⼼到直线的距离与半径的⼤⼩⽐较来处理. 有时还可结合图形来考虑. 布置作业P 106练习1、2. 板书设计2.2.2 直线与圆的位置关系l 与C 的⽅程联⽴⽅程组=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax 课堂⼩结解与交点的关系：…… 布置作业例题：活动与探究学习直线和圆相切三注意(知识梳理)直线和圆相切是圆这⼀章的重点内容，必须认真学好，并注意以下三点：⼀、注意掌握⼏何判定法学习直线和圆相切的⽅法，除掌握常⽤的代数⽅法外，还要注意掌握⼏何⽅法——直线与圆相切的充要条件是圆⼼到直线的距离等于此圆的半径.【例1】求证：如果b 2=r 2(1+k 2),那么直线y =k x +b 与圆x 2+y 2=r 2相切.证明:∵圆x 2+y 2=r 2的圆⼼(0，0)到直线y =k x +b ,即k x －y －b =0的距离d=110022+=++-?k b k b k ,两边平⽅，并注意到b 2=r 2(1+k 2)，得d 2=1)1(122222++=+k k r k b =r 2, ∴d=r.故直线y =k x +b 与圆相切.⼆、注意求切线⽅程防⽌丢解【例2】求过点M(2，4)向圆(x －1)2+(y +3)2=1所引的切线⽅程. 解:易判定点M 在此圆外. 当过点M 的直线的倾⾓α≠2π时，可设直线⽅程为y －4=k(x －2).(1) 把①代⼊圆的⽅程并化简整理，得(1+k 2)x 2－(4k 2－14k+2)x +4k 2－28k=0, 该⽅程的判别式Δ=56k －192. ∵直线①与圆相切，∴Δ=56k －192=0. 解得k=724, 代⼊①得y －4=724(x －2). 当过M 的直线的倾斜⾓α=2π时，这条直线的⽅程是x =2. ∵圆⼼(1，－3)到该直线距离d=1，∴x =2是所求的另⼀条切线.∴所求的两条切线⽅程是24x －7y －20=0和x =2. 评注:对于α=2π时的情况不可遗漏，否则可能丢掉⼀条切线(如题中的x =2). 三、求圆的⽅程注意⽤判定⽅法中的⼏何性质【例3】⼀个圆经过点P (2，－1)且和x －y =1相切，其圆⼼在直线y =－2x 上，求此圆的⽅程.解:当圆与直线相切时，圆⼼到直线的距离等于半径.设所求圆的⽅程是(x －a )2+(y －b )2=r 2，由题设条件可得-==--=--+-,2,21,)1()2(222a b r b a r b a解之，得=-==2,2,1r b a 或=-==.213,18,9c b a∴所求圆的⽅程是(x －1)2+(y +2)2=2或(x －9)2+(y +18)2=338.备课资料⼀、动直线与定圆之间关系的讨论【例题】求实数m ，使直线x -m y +3=0和圆x 2+y 2-6x +5=0分别满⾜下列条件：(1)相交；(2)相切；(3)相离.分析：可根据“⼏何法”进⾏求解.解:将已知圆整理得(x -3)2+y 2=4，∴圆⼼为(3,0)，半径为2.圆⼼到直线x -m y +3=0的距离d=22161303mmm +=++?-，(1)当d216m+<2，也即当m>22或m<-22时，直线与圆相交；(2)当d=r ，即216m+=2，也即当m=22或m=-22时，直线与圆相切；(3)当d>r ，即216m+>2，也即当-22注：x -m y +3=0恒过定点(－3，0). ⼆、圆截直线所得弦长的计算⽅法如图，⊙O 与直线l 相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，由垂径定理知OM ⊥AB ，则OM 即为圆⼼O 到直线l 的距离(即弦⼼距)，设OM=d ，∴弦长AB=2AM=222d r -.。

直线与圆的位置关系：：【学习目标】1．依据直线和圆的方程，能熟练求出他们的交点坐标.2．能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系.3．理解直线和圆的三种位置关系（相离、相切、相交）与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解（无解、有唯一解、有两组解）的对应关系.4．能利用直线和圆的方程研究与圆有关的问题，提高学生的思维能力.【要点梳理】要点一：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l与圆C有公共点.有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相离.(2)几何法：由圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系判断：<时，直线l与圆C相交；当d r=时，直线l与圆C相切；当d r>时，直线l与圆C相离.当d r要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点二：圆的切线方程的求法 1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1O M l k k ⋅=-．法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点三：求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12|l x x =-．【典型例题】类型一：直线与圆的位置关系例1.已知直线y=2x+1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.【思路点拨】解决本题的方法主要有两个，其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系；其二是引入一元二次方程，利用方程根来解决. 【答案】相交 【解析】解法一：∵x 2+y 2=4， ∴圆心为(0，0)，半径r=2.又∵y=2x+1，∴圆心到直线的距离为2d r ==<=.∴直线与圆相交. 解法二：∵⎩⎨⎧=++=,4,1222y x x y ∴(2x+1)2+x 2=4， 即5x 2+4x-3=0.判别式Δ=42-4×5×(-3)=76＞0. ∴直线与圆相交.【总结升华】判断直线与圆的位置关系可以从代数方法和几何意义两个方面加以考虑.例2．已知直线方程mx ―y ―m ―1=0，圆的方程x 2+y 2―4x ―2y+1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点；（2）只有一个公共点； （3）没有公共点． 【答案】（1）m ＞0或43m <-（2）m=0或43m =-（3）403m -<< 【解析】 解法一：将直线mx ―y ―m ―1=0代入圆的方程化简整理得， (1+m 2)x 2―2(m 2+2m+2)x+m 2+4m+4=0． ∵Δ=4m(3m+4)，∴当Δ＞0时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ=0时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二：已知圆的方程可化为(x ―2)2+(y ―1)2=4， 即圆心为C （2，1），半径r=2．圆心C （2，1）到直线mx ―y ―m ―1=0的距离d ==．当d ＜2时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d=2时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d ＞2时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 【总结升华】解决此类问题是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程．举一反三：【变式】求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离．【答案】（1）m <-m >2）m =±3）m -<<【解析】圆的方程化为标准为22(3)4x y -+=，故圆心(3，0)到直线30x my -+=的距离d =，圆的半径2r =．(1)若相交，则d r <2<，所以m <-m >(2)若相切，则d r =2=，所以m =±(3)若相离，则d r >2>，所以m -<<【总结升华】一般来讲，选择此方法要比选择计算判别式的方法在运算上简单． 类型二：圆的切线问题【与圆有关的位置关系370892 典型例题1】例3．过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.【思路点拨】先判断点在圆上或圆外，如果点在圆上则有一条切线．如果点在圆外，则有两条切线．本例中很明显点在圆外．【答案】43250x y --=或34250x y +-= 【解析】因为22715025+=>，所以点在圆外。

4.2.2 圆与圆的位置关系教案一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．2、过程与方法设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．三、教学过程1.直线与圆的位置关系:(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点；问题：如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？2.直线与圆的位置关系的判定方法：直线l ：Ax+By+C=0圆C ：(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0)(1)利用圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系判断：22B A C bB aA d +++=d > r 直线与圆相离 d = r 直线与圆相切 d < r 直线与圆相交 (2) 利用直线与圆的公共点的个数进行判断： △<0 n =0 直线与圆相离△=0 n =1 直线与圆相切△>0 n =2 直线与圆相交例1 如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。

练习1、求以c(1、3）为圆心，并和直线3x-4y-6=0相切的圆的方程.2、判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位置关系. +n r b y a x C By Ax 的解的个数为设方程组 )()(0222⎩⎨⎧=-+-=++)().0,2(),3,1(.0,3,2,163510513|61103|)1,0(,5),1,0(,5)1(21212222请同学写出法二：所以交点坐标为从而代入圆的方程，解得：将点。