2020届江苏省高考应用题模拟试题选编(三)

2020年3月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（3）数学第I 卷（必做题，共160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．全集U =R ，{|11}A x x =-≤≤，{|02}B x x =<<，则()U C A B ⋃=____________2．i 是虚数单位，复数67i 12i+=+___________.3．函数1y x -=的定义域是___________.4．阅读图中的程序框图，若输入10a =，则输出_________.5．为了解某市甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试成绩，采取分层抽样方法，从甲校的1260份试卷、乙校的720份试卷、丙校的900份试卷中进行抽样调研．如果从丙校的900份试卷中抽取了45份试卷，那么这次调研共抽查的试卷份数为___________ .6．现有5个女生和3个男生随机站成一排，则排头和排尾均为女生的概率是________（结果用分数表示）. 7．已知,x y 为非零实数，()ππ,42θ∈，且同时满足：①sin cos y x θθ=，② 22103x y xy =+，则cos θ的值等于______．8．若直线1y kx =+和圆22:1O x y +=相交于,A B 两点（其中O 为坐标原点），且60AOB ∠=o ，则实数k 的值为__________．9．已知一元二次函数22y x kx k =++-，它的图象与x 轴的两个交点为A 、B ，则线段AB 最短时，实数k 的取值为__________.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，420S =，则11n k k S ==∑___________． 11．已知O 是锐角ΔABC 的外接圆圆心, cos cos 60,2,sin sin B C A AB AC mAO C B︒∠=+=u u u v u u u v u u u v 则实数m 的值为_____.12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在双曲线C 上，若5PF a =，120PFO ∠=︒，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的离心率为 ．13．下面四个命题中，其中正确命题的序号为____________.① 函数()tan f x x =是周期为π的偶函数；② 若是第一象限的角，且，则； ③是函数的一条对称轴方程； ④ 在(,)22ππ-内方程tan sin x x =有3个解. 14．已知点P 是曲线214x y =上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线x y e =上任意一点，则｜PH ｜＋｜PQ ｜的最小值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且,2PA AC PA AD ⊥==，四边形ABCD 满足,1//,BC AD AB AD AB BC ⊥==，F 为侧棱PC 上的任意一点.（1）求证：平面AFD ⊥平面PAB .（2）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由.16．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin C c B -=.（1）求B ；（2）若3a =，7b =，D 为AC 边上一点，且sin 3BDC ?，求BD . 17．如图1，已知正方形铁片A B C D ''''边长为2a 米，四边中点分别为E ，F ，G ，H ，沿着虚线剪去大正方形的四个角，剩余为四个全等的等腰三角形和一个正方形ABCD （两个正方形中心重合且四边相互平行），沿正方形ABCD 的四边折起，使E ，F ，G ，H 四点重合，记为P 点，如图2，恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），PO ⊥底面ABCD ，O 为正四棱锥底面中心，设正方形ABCD 的边长为2x 米.（1）若正四棱锥的棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全面积S ；（2）请写出正四棱锥的体积V 关于x 的函数，并求V 的最大值.18．已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)l 过椭圆C 的上顶点和右顶点，坐标原点O 到直线l .（1）求椭圆C 的方程.（2）过点(3,0)D 且斜率不为零的直线l '交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点Q ，使得直线AQ ，BQ 的斜率之积为非零的常数?若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 19．已知函数()sin f x x x =+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程； （Ⅰ）若不等式()f x ax ≥对任意π[0,]2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 20．已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，向量(1)n x b =v ，，(1)n n y a S =-v ，，//． （1）若2n b =，求数列{}n a 通项公式；（2）若2n n b =，20a =． ①证明：数列{}n a 为等差数列；②设数列{}n c 满足32n n n a c a ++=，问是否存在正整数l ，(m l m <，且2l ≠，2)m ≠，使得l c 、2c 、m c 成等比数列，若存在，求出l 、m 的值；若不存在，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）理科附加题21．已知矩阵1211,,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦向量2y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若,A B αα=求实数,x y 的值. 22．曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为：(cos 2sin )6ρθθ-=. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最小值、并求取最小值时的P 点坐标.23．某市一批养殖专业户投资石金钱龟养殖业，行业协会为了了解市场行情，对石金钱龟幼苖销售价格进行调查。

绝密★启用前江苏省扬州市普通高中2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试数学试题(解析版)2020年5月第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>，则A B =______.【答案】{}|02x x <<【解析】【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>，所以A B ={}|02x x <<.故答案为：{}|02x x <<【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运算,属于基础题.2.已知()12i z i -=+,其中i 是虚数单位,则复数z 的模为_______.【答案】2 【解析】【分析】利用复数的乘除运算求出213122i z i i +==+-,再根据复数模的运算221322z ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解. 【详解】()()()()()212131312111222i i i i i z i z i i i i ++++-=+⇒====+--+, 所以223211022z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：102【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的求法,属于基础题.3.已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生,现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践,则在高三年级需抽取_______名学生.【答案】30【解析】【分析】首先算出高三年级学生人数在总学生人数中占的比例,然后将比例与抽取的学生人数相乘即可求解.【详解】高三年级在总学生人数中占的比例：600110008006004=++, 所以高三年级需抽取人数为：1120304⨯=. 故答案为：30【点睛】本题考查了分层抽样的特征,掌握分层抽样的概念以及特征是解题的关键,属于基础题.4.如图伪代码的输出结果为_______.【答案】15【解析】。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏模拟卷）（三）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上。

（共14题；共70分）1.复数的模为________。

2.设集合M={x|2≤x＜5}，N={xlx2-4x<0}，则集合M∩N=________。

3.函数f（x）= 的定义域为________ 。

4.从2021年起，江苏考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成。

等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%。

现采用分层抽样的方法，从参加物理等级性考试的学生中抽取500人作为样本，则该样本中获得B或C等级的学生人数为________。

5.全国新冠病毒疫情过后，医护工作者小王可以从周二到周六任意选两天调整休息，则小王选的两天不相邻的概率为________。

6.已知双曲线C：=1（a>0，b>0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则双曲线的离心率为________。

7.把一个棱长均为4的实心金属正六棱柱熔化后浇铸为n个棱长均为2 的正四棱锥，则n的值为________。

（注：不考虑损耗）8.某银行开发出一套网银验证程序，验证规则如下：（1）有两组数字，这两组数字存在一种对应关系：第一组数字a，b，c对应于第二组数字2a+b，c+2b，a+3c；（2）进行验证时程序在电脑屏幕上依次显示产生第二组数字，用户要计算出第一组数字后依次输入电脑，只有准确输入方能进入，其流程图如图，试问用户应输入a，b，c的和为________。

9.已知函数f（x）=2cos（2x+φ）（-π<φ<0）的图象经过点（0，1），若f（）= （0<α< ），则cosα=________。

1 绝密★启用前
江苏省南京市普通高中
2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试
数学试题参考答案
2020年6月
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．23
6． 3 7．2n ＋1－2 8．62 9．83
10．[2,4] 11．6 12． [－2,＋∞) 13．－94
14．38
二、解答题（本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
证明：(1)取PC 中点G ,连接DG 、FG ．
在△PBC 中,因为F ,G 分别为PB ,PC 的中点,所以GF ∥BC ,GF ＝12
BC ． 因为底面ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点,。

2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为．7．若函数是偶函数，则实数a的值为．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为．14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=（﹣1，0] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），∴C u B=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩∁U B=（﹣1，0]，故答案为：（﹣1，0]．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为||=|z|====．故答案为：．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=，=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=，又a2+b2=c2，解得a=2，b=，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为﹣2．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．【解答】解：由，可得0≤x≤4，由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，y=﹣在[0，4]递增，可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．7．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为20．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为：tan54°，h=，则此正五棱锥体积为：×=20．故答案为：20．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，3）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，即有f（x）递增；故f（x）在R上单调递增．由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解得或，即为1＜x≤或＜x＜3，即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[，1）．【考点】余弦定理．【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．∵⊥，∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是：[，1）．故答案为：[，1）．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，且当0＜a＜1时，一定成立；故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，故答案为：a≤﹣4或a≥0．故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为（2，4）．【考点】全称命题；特称命题．【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知函数，根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．由f（x）≥0，求得x≤﹣1，即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），故答案为：（2，4）14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为64或65．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，∴2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，故max{}≤A＜min{}，由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=2时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=3时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＞2t，适合题意．此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴≤A＜．当t=4时，24≤A＜，∴无解．当t=5时，25≤A＜，∴无解．当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．当t=7时，27≤A＜，∴无解．则26≤A＜．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：A=64或65．故答案为：64或65．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，可得sin（）=，cos（）=，sin（2）=2sin（）cos（）==，cos（2）=2×=．=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sin cos（2）==．（2）∵，∴tan（2α+2β）===．sin（2）=，cos（2）=．tan（2）=．tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]==，解得=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC ⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．理由如下：∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，∴CD与AB有交点P，∴P∈l，∴直线l∩平面ABCD=P，∴直线l不能与平面ABCD平行．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，即有•=﹣，化为+=1；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1=my1+，x2=my2+，由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，解得M（﹣，），N（，﹣），可得k AM+k BN=+，通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，∴r=，∴圆锥的高h===．∴V==．（2）V==≤=2．当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．∴当α=时，体积V取得最大值．（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．由△AOD∽△ACE得，∴，解得R=3≈0.8．∵0.8＞0.5，∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比关系的确定．=1作差可知a n+1=3a n（n≥2），进而可知数列{a n}【分析】（1）通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知a n=3n﹣1、S n=（3n﹣1），假设存在满足题意的项a k，则3k﹣1=S r+t﹣S t，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；（3）通过（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．【解答】（1）证明：∵S n+1﹣3S n=1，=1，∴当n≥2时，S n﹣3S n﹣1两式相减得：a n+1=3a n，又∵S n+1﹣3S n=1，a1=1，∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）解：结论：不存在满足题意的项a k；理由如下：由（1）可知a n=3n﹣1，S n==（3n﹣1），假设数列{a n}中存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，则3k﹣1=S r+t﹣S t=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），整理得：3r﹣x﹣=2，显然r无解，故假设不成立，于是不存在满足题意的项a k；（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；理由如下：由（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，则2b p=b1+b q，即2=+，整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，∴当p≥3时不满足题意，当p=2时，2=+即为：=+，整理得：=，解得：q=3，综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，则a＞，在x＞0时恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．即a＞．（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由得，即5≤x≤7，由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，∵5≤x≤7，∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，即2≤y2≤4，则≤y≤2，即函数的最大值为2．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=AB=AD=2BC=2，则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线PC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，2，2），设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴θ=135°，∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？【考点】归纳推理．【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，则第十一层十一个数共有=144种不同取法．2020年8月12日。

2020届江苏高考应用题模拟试题选编（三）1、（江苏省南京师大附中2020届高三年级模拟考试数学试题）某人利用一根原木制作一件手工作品，该作品由一个球体和一个正四棱柱组成. 假定原木为圆柱体（如图1）,底面半径为r ，高为h ，制作要求如下：首先需将原木切割为两部分（分别为第Ⅰ圆柱和第Ⅱ圆柱），要求切面与原木的上下底面平行（不考虑损耗）.然后将第Ⅰ圆柱切割为一个球体，要求体积最大，将第Ⅱ圆柱切割为一个正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分别为第Ⅱ圆柱上下底面圆的内接正方形.（1）当8,2==h r 时，若第Ⅰ圆柱和第Ⅱ圆柱的体积相等，求该手工作品的体积； （2）对于给定的r 和h （h ＞r 2），求手工作品体积的最大值.（第1题） （第3题）2、（江苏省南通市通州区2020届高三第二次调研抽测数学试题）中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.己知某条高铁线路通车后， 发车时间间隔t （单位：分钟）满足525,t t N *≤≤∈.经测算，高铁的载客量与发车时间间隔r 相关：当2025t ≤≤时高铁为满载状态，载客量为1000人；当520t ≤≤时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与()220t -成正比，且发车时间为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔时间为t 分钟时，高铁载客量为()P t . （1） 求()P t 的表达式；（2） 若该线路发车时间间隔t 分钟时的净收入()2()4065020004tQ t P t t t =-+-（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益()Q t t最大.3、（江苏省无锡市普通高中2019-2020学年上学期高三期中调研考试）为了丰富学生活动,在体育课上,体育教师设计了一个游戏,让甲、乙、丙三人各抓住橡皮带的一端，甲站在直角ABC∆斜边AC的中点F处，乙站在B处，丙站在C处游戏开始，甲不动，乙、丙分别以v(m/s)和v2(m/s)的速度同时出发，匀速跑向终点A和B.运动过程中绷紧的橡皮带围成一个如图所示的.(规定:只要有一人跑到终点游戏就结束，且(m/s))。

2020届江苏省新高考原创精准模拟考试（三）数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知i为虚数单位，若复数z满足，则复数z＝_______．【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法运算即可得到结果.【详解】z＝＝1－+2＝故答案为：3-i【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，属于基础题.2.函数的定义域为_______．【答案】【解析】【分析】由二次根式有意义，得：,然后利用指数函数的单调性即可得到结果.【详解】由二次根式有意义，得：，即，因为在R上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及指数不等式的解法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．3.已知x，y R，直线与直线垂直，则实数a的值为_______．【答案】【解析】【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【详解】∵x，y∈R，直线（a﹣1）x+y﹣1=0与直线x+ay+2=0垂直，∴（a﹣1）×1+1×a=0，解得a=，∴实数a的值为．故答案为：．【点睛】两直线位置关系的判断：和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直：；平行：，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验.4.已知函数为偶函数，且x＞0时，，则＝_______．【答案】2【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（1）的值，结合函数为偶函数可得f（﹣1）=f（1），即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足x＞0时，f（x）=x3+x2，则f（1）=1+1=2，又由函数f（x）为偶函数，则f（﹣1）=f（1）=2；故答案为：2．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．5.已知向量(1，a)，(，)，若∥，则实数a＝_______．【答案】1【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】∵∥，∴﹣（3a+1）=0，解得a=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，cosB＝，那么角A的大小为_______．【答案】【解析】【分析】由题意可得sinB=,再结合正弦定理即可得到结果.【详解】cosB=﹣，∴B为钝角，可得sinB=．由正弦定理可得：=，可得sinA=．A为锐角，可得：A=．故答案为：．【点睛】本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.设实数，满足则的最大值为．【答案】3【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，则直线过点C时取最大值3考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8.在平面直角坐标系中，若抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为__________．【答案】6.【解析】分析：抛物线的准线方程为，根据定义可求得，即为焦点到准线的距离．详解：由题意得抛物线的准线方程为，∵抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为4，∴，解得．∴该抛物线的焦点到准线的距离为6．点睛：本题考查抛物线定义的应用及方程中参数的几何意义，解题的关键是正确理解抛物线的定义，属容易题．9.已知条件p：x＞a，条件q：．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】利用不等式的解法化简q，根据必要不充分条件即可得出范围．【详解】条件q：，化为：（x+2）（x﹣1）＜0，解得﹣2＜x＜1．∵p是q的必要不充分条件，∴a≤﹣2．则实数a的取值范围是．故答案为：．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为_______．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的一个焦点为（3，0），即可求出m的值，然后求解渐近线方程．【详解】∵双曲线的一个焦点为（3，0），∴m+m+1=9，∴m=4，双曲线方程化为：，可得渐近线方程：y=±x．故答案为：y=±x．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，是基本知识的考查．11.若函数(A＞0，＞0，)的部分图像如图所示，则函数在[，0]上的单调增区间为_______．【答案】(区间开闭皆可)【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数f（x）在[﹣π，0]上的单调增区间．【详解】由图象，知A＝2，T＝＝8，所以，＝8，，函数过点（5，－2），所以，，即因为，所以，，得：，函数为：，由：，得：，令k＝0，得函数在[，0]上的单调增区间为故答案为：(区间开闭皆可)【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.12.在△ABC中，AH是边BC上的高，点G是△ABC的重心，若△ABC的面积为，AC＝，tanC＝2，则＝_______．【答案】1【解析】【分析】由题意画出图形，结合图形求出AH、HC和BC、BH的值，以BC为x轴，AH为y轴建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，计算数量积的值．【详解】如图所示，△ABC中，AH是高，AC=，tan∠ACB==2，∴AH=2，HC=1；又△ABC的面积为S=BC•AH=BC•2=+1，∴BC=+1；∴BH=，以BC为x轴，AH为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，2），B（﹣，0），C（1，0），重心G（，），则+=（0，﹣2）+（1+，0）=（1+，﹣2），+=（，﹣）+（，﹣）=（，﹣），∴（+）•（+）=（1+）×+（﹣2）×（﹣）=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的边角关系以及平面向量的数量积计算问题，建立平面直角坐标系是解题的关键，是中档题．13.已知正实数a，b满足，则的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】由=2a++，代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数a，b满足2a+b=3，∴2a+b+2=5，则=2a++=2a+b+2+﹣4=1+=1+（）[2a+（b+2）]=1+（4+）=，当且仅当且2a+b=3即a=，b=时取等号，即的最小值是．故答案为：【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误14.已知函数，（e为自然对数的底数，e≈2.718）．对于任意的(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的，，使得＝＝，则整数a的取值集合是_______．【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性求出f（x）的值域，求出g（x）的单调性，问题转化为关于a的不等式组，求出a的范围即可．【详解】f′（x）=2（﹣x），令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜e，故f（x）在（0，）递增，在（，e）递减，而f（0）=0，f（）=2，f（e）=e（2﹣e），故f（x）在（0，e）的值域是（0，2），对于g（x）=lnx﹣ax+5，x∈（0，e），a=0时，g（x）=lnx+5，g（x）递增，在区间（0，e）上不存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），不合题意，a≠0时，g′（x）=﹣a，令g′（x）=0，解得：x=，若在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），则只需0＜＜e，故a＞，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x＜e，故g（x）在（0，）递增，在（，e）递减，而x→0时，g（x）→﹣∞，g（）=﹣lna+4，g（e）=6﹣ae，若对于任意的x0∈（0，e），在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），只需，解得：2.2≈≤a≤e2≈7.29，故满足条件的a的整数为：3，4，5，6，7，故答案为：{3，4，5，6，7}．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在△ABC中，已知，设∠BAC＝．（1）求tan的值；（2）若，(0，)，求cos(﹣)的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义，求出cosα的值，再利用同角的三角函数关系求出tanα的值；（2）利用三角恒等变换公式计算即可．【详解】（1）由，得，所以，又因为，所以．∴（2）∵，∴由（1）知：，∴．【点睛】本题考查了平面向量的数量积与三角函数求值计算问题，是基础题．16.已知，函数．（1）若对(0，2)恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＝1时，解不等式．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分离参数a，构造函数利用均值不等式求最值即可；（2）分类讨论去绝对值，最后取并集即可．【详解】（1）∵f（x）≤2x对x∈（0，2）恒成立，∴a≤+2x对x∈（0，2）恒成立，∵+2x≥2，当且仅当=2x，即x=时等号成立，∴a（2）当a=1时，f（x）=1﹣，∵f（x）≥2x，∴1﹣≥2x，①若x＞0，则1﹣≥2x可化为：2x2﹣x+1≤0，所以x∈∅；②若x＜0，则1﹣≥2x可化为：2x2﹣x﹣1≥0，解得：x≥1或x≤﹣，∵x＜0，∴x≤﹣，由①②可得1﹣≥2x的解集为：（﹣∞，﹣]【点睛】本题考查了不等式恒成立及分类讨论思想，属中档题．17.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆O：相切．（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为，求直线l的方程；（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP 与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）或；（2）见解析.【解析】【分析】（1）记圆心到直线l的距离为d，利用垂径定理求得d．当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），利用圆心到直线的距离列式求得k，则直线方程可求；（2）设P（x1，y1），由直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），分别求出直线PA、PB的方程，进一步得到M，N的坐标，由P在圆上，整体运算可得为定值．【详解】∵直线x﹣3y﹣10=0与圆O：x2+y2=r2（r＞0）相切，∴圆心O到直线x﹣3y﹣10=0的距离为r=．（1）记圆心到直线l的距离为d，∴d=．当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+（1﹣2k）=0．∴，解得k=﹣，此时直线l的方程为3x+4y﹣10=0．综上，直线l的方程为x=2或3x+4y﹣10=0；（2）点M、N的纵坐标之积为定值10．设P（x1，y1），∵直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），∴直线PA、PB的方程分别为y﹣3=，y﹣3=．令x=0，得M（0，），N（0，），则（*）．∵点P（x1，y1）在圆C上，∴，即，代入（*）式，得为定值．【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．18.江苏省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为km，km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为km．规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图(1)、(2)）．已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为2．设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF为（(0，)），铺设三段鹅卵石路的总费用为y（万元）．（1）求南京园到柏油路的最短距离关于的表达式；（2）求y的最小值及此时tan的值．【答案】（1）；（2）铺设三条鹅卵石路的总费用为()万元，此时的值为.【解析】【分析】（1）由∠COF=θ，南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为，求出∠AOE=，由此能求出南京园到柏油路的最短距离d1关于θ的表达式．（2）分别设点B，C到直线EF的距离为d2，d3，则，求出y=2[（）2+（2）2+（）2]=20﹣10sin（2），θ∈（0，），由此能求出铺设三条鹅卵石路的总费用y的最小值及此时tanθ的值．【详解】（1）∵∠COF=θ，南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为∴∠AOE=，∴南京园到柏油路的最短距离d1关于θ的表达式为d1=sin（﹣θ）．（2）分别设点B，C到直线EF的距离为d2，d3．由（1）知：，∴y=2[（）2+（2）2+（）2]=20[+]=20﹣10（sin2θ+cos2θ）=20﹣10sin（2），θ∈（0，），∵∴，∴当2=时，y min=20﹣10（万元）此时2，∴tan2θ==1，解得：tan，∴铺设三条鹅卵石路的总费用为（20﹣10）万元，此时tanθ的值为．【点睛】题考查函数表达式的求法，考查费用的最小值及对应的正切函数值的求法，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB 中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2；（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域．【详解】（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，又由右准线方程为，得到，解得，所以所以，椭圆的方程为（2）①设，而，则，∵ ，∴因为点都在椭圆上，所以，将下式两边同时乘以再减去上式，解得，所以②由原点到直线的距离为，得，化简得：联立直线的方程与椭圆的方程：，得设，则，且，所以的面积，因为在为单调减函数，并且当时，，当时，，所以的面积的范围为．【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.已知函数，．（1）求在点P(1，)处的切线方程；（2）若关于x的不等式有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；（3）若存在两个正实数，满足，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）求出P（1，0），x＞0，，f′（1）=1，利用导数的几何意义能求出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．（2）求出，x＞0，则f′（x）=0，得x=e，列表讨论能求出实数t的取值范围．（3）h（x）=x2﹣2x+4lnx，从而（x1+x2）2﹣2（x1+x2）﹣4lnx1x2，令t=x1x2，=t2+2t﹣4lnt，（t＞0），…（11分）则=2t+2﹣=，由此利用导数性质能证明x1+x2≥3．【详解】（1），，所以点坐标为；又，，则切线方程为，所以函数在点处的切线方程为．（2）由，得；时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；时，，得且，满足条件的整数解有无数个，舍；时，或，当时，无整数解；当时，不等式有且仅有三个整数解，又，，因为在递增，在递减；所以，即，即；所以实数的取值范围为．（3），因为，所以，即，令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数，满足，所以，即，所以或．因为为正实数，所以．【点睛】本题考查函数的切线方程的求法，考查实数取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数的几何意义、导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是难题．（附加题）21.在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换下得到的直线过点P（3，2），求实数的值.【答案】.【解析】【分析】设直线y=kx+1上任意点M（x，y）在矩阵对应的变换下得到的点M′（x′，y′），列出方程代入P坐标求解k即可【详解】设直线上任意点在矩阵对应的变换下得到的点，则，即，∴代入直线方程得：，将代入上式，解得：．【点睛】本题考查矩阵与简单的变换，基本知识的考查．22.假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.（1）求连续命中2次的概率；（2）设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设A i（i=1，2，3）表示第i次投篮命中，表示第i次投篮不中，设投篮连续命中2次为事件A，则连续命中2次的概率：P（A）=P（+），由此能求出结果．（2）命中的次数X可取0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【详解】（1）设表示第次投篮命中，表示第次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件，则=．（2）命中的次数可取0，1，2，3；，，,所以答：的数学期望为2．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．23.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为轴，直线AC为轴，直线DA1为轴建立空间直角坐标系，解决以下问题:（1）求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与A1C所成角的余弦值．（2）求出平面A1BC的法向量，利用向量法能求出直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．【详解】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，根据题中空间直角坐标系可知：A（0，﹣1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A1（0，0，），∴=（2，2，0），=（0，1，﹣），∴cos＜＞===，设异面直线AB与A1C的所成角为α，则，∴异面直线AB与A1C所成角的余弦值为．（2）由（1）得：=（2，1，﹣），=（﹣2，0，0），设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），∴，取z=1，则=（0，），∴cos＜，＞===．设直线AB与平面A1BC所成角为β，β∈（0，]，则sinβ=|cos＜，＞|=．故直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．24.已知正项数列满足.（1）求证:，且当时，；（2）求证:.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由a1﹣a12=a2＞0，解得0＜a1＜1．用数学归纳法证明即可，（2）记f（x）=ln（1+x）﹣，x＞0，求导，利用导数判定单调性，再利用放缩法即可证明．【详解】证明：（1）由，解得．下用数学归纳法证明：当时，①当时，．所以不等式成立；②假设当时，不等式成立，即则当时，有,.则当时，不等式也成立．综合①②，当时，都有．（2）记当时，所以在上是增函数，则，即令，则，从而有．【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

2020年江苏省高考数学模拟试卷（3）一．填空题（共14小题，满分70分，每小题5分）1．（5分）若集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩B ＝ ． 2．（5分）复数1+i 3+4i的共轭复数为 ．3．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为 ．4．（5分）甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图．已知甲、乙二人得分的平均数相同，则m ＝ ；s 2甲 s 2乙．（填＞，＜，＝）5．（5分）如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有 种．6．（5分）已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 分别与两条渐近线交于A ，B 两点，若F 1B →•F 2B →=0，F 1A →=λAB →，则λ＝ ．7．（5分）若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为 ． 8．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 ．9．（5分）若f （x ）＝2sin （2x +φ）（φ＞0）的图象关于直线x =π12对称，且当φ取最小值时，∃x 0∈(0，π2)，使得f （x 0）＝a ，则a 的取值范围是 ．10．（5分）在正项等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5=3π，sin （log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7）的值为 ．11．（5分）如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，AB →⋅AD →=2AC →⋅AE →，则cos B 的最小值为 ．12．（5分）已知P （x 0，y 0）为直线y ＝k （x +2）上的一个动点，若在圆O ：x 2+y 2＝1上存在点Q ，使得∠OPQ =π4，则实数k 的取值范围为 ．13．（5分）钝角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，c ＝1，B =π3，则a 的取值范围是 ．14．（5分）设函数f(x)={3x −a+2x +1，x ＞0x 3+x 2−2x ，x ≤0的图象上存在两点P 、Q ，其中点P 在y 轴右侧，且线段PQ 与y 轴的交点恰好是线段PQ 靠近点P 的一个三等分点．若OP 和OQ 斜率之和等于﹣3，则实数a 的取值范围是 ． 二．解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AB ＝2，AA 1=√2，点N 为A 1B 1中点，点M 在边AB 上（1）当点M 为AB 中点时，求证：C 1N ∥平面A 1CM ； （2）试确定点M 的位置，使得AB 1⊥平面A 1CM ．16．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin A sin B +b cos 2A ＝2a ，（Ⅰ）求ab 的值；（Ⅱ）若c =√2b ，求sin(2C −π3)的值．17．（14分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元．（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ （2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？ 18．（16分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b 3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点M （0，m ），（﹣b ＜m ＜b ），过点M 的任一直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，y 轴上是否存在点N （0，n ）使∠ANM ＝∠BNM 恒成立？若存在，判断m 、n 应满足关系；若不存在，说明理由．（3）在（2）条件下m ＝1时，求△ABN 面积的最大值． 19．（16分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax ．（a ∈R ） （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若a ＝3，f （x ）的图象与y 轴交于点A ，求y ＝f （x ）在点A 处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当x ＞0时，f （x ）＞x 2﹣3x +1恒成立． 20．（16分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2+kn +k ． （1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 三．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．（10分）已知矩阵A =[2132]，列向量X →=[x y ]，B →=[47]，且A X →=B →．（1）求矩阵A 的逆矩阵A ﹣1；（2）求x ，y 的值．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23．（10分）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下： 质量指标值 [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45] 等级次品二等品一等品二等品三等品次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中a ＞0）． 质量指标值 频数 [15，20） 2 [20，25） 18 [25，30） 48 [30，35） 14 [35，40）16[40，45] 2 合计100（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元．一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X 元，用频率估计概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．24．（10分）如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P （1，12）到抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的准线的距离为54．点M （t ，1）是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q （m ，n ）在直线OM 上． （1）求曲线C 的方程及点M 的坐标； （2）记d （m ）=√1+4m ，求弦长AB （用m 表示）；并求d 的最大值．2020年江苏省高考数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．填空题（共14小题，满分70分，每小题5分）1．（5分）若集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝{x|0＜x＜1}．【解答】解：∵集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．（5分）复数1+i3+4i 的共轭复数为725+125i．【解答】解：∵1+i3+4i =(1+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=725−125i，∴z=725+125i．故答案为：725+125i．3．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为17．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+1+3+5+7的值，所以S＝1+1+3+5+7＝17．故答案为：17．4．（5分）甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图．已知甲、乙二人得分的平均数相同，则m＝6；s2甲＜s2乙．（填＞，＜，＝）【解答】解：甲得分：76，78，80，82，84．平均数是80， 乙得分：77，70+m ，82，82，83；平均分为15×（77+70+m +82+82+83）＝80，解得m ＝6；甲的方差为15×[（76﹣80）2+（78﹣80）2+（80﹣80）2+（82﹣80）2+（84﹣80）2]＝8；乙得分的方差为15×[（77﹣80）2+（76﹣80）2+（82﹣80）2+（82﹣80）2+（83﹣80）2]＝8.4． ∴s 2甲＜s 2乙． 故答案为：6，＜．5．（5分）如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有 14 种．【解答】解：设事件A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”， ①若甲模仿“扶”，则A 包含1×A 33=6个基本事件；②若甲模仿“捡”或“顶”则A 包含2×2×A 22=8个基本事件， 综上A 包含6+8＝14个基本事件， 故答案为：146．（5分）已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 分别与两条渐近线交于A ，B 两点，若F 1B →•F 2B →=0，F 1A →=λAB →，则λ＝ 1 ．【解答】解：双曲线C ：x 2−y 2=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，BO ＝c ＝OF 2，双曲线C ：x 2−y 23=1的渐近线y =±√3x ，∴∠BOF 2＝60°，∴△BF 2O 为等边三角形，故∠BF 2O ＝60°，所以F 2B ∥OA ，∴A 为F 1B 的中点，即λ＝1． 故答案为：1．7．（5分）若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为 2 ． 【解答】解：∵圆锥的底面积为π，∴圆锥的底面半径为r ，满足πr 2＝π，解得r ＝1 又∵圆锥的侧面积为2π，∴设圆锥的母线长为l ，可得πrl ＝2π，π•1•l ＝2π，解之得l ＝2 故答案为：28．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 9 ．【解答】解：∵函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，∴f （18）＝f （3×5+3）＝f （3）＝32＝9． 故答案为：9．9．（5分）若f （x ）＝2sin （2x +φ）（φ＞0）的图象关于直线x =π12对称，且当φ取最小值时，∃x 0∈(0，π2)，使得f （x 0）＝a ，则a 的取值范围是 （−√3，2] ． 【解答】解：f （x ）＝2sin （2x +φ）（φ＞0）的图象关于直线x =π12对称， 所以2×π12+φ=kπ+π2（k ∈Z ），解得φ=kπ+π3， 当k ＝0时，φ=π3． 所以f （x ）＝2sin （2x +π3）． 由于∃x 0∈(0，π2)， 所以π3＜2x 0+π3＜4π3，所以−√3＜f （x 0）≤2， 即a 的范围为（−√3，2]． 故答案为：（−√3，2]．10．（5分）在正项等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5=3π，sin （log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7）的值为√32． 【解答】解：在正项等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5=3π=a 43，∴a 4=3π3．∴sin （log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7）＝sin （log 3a 1a 2…a 7）＝sin （log 3a 47）＝sin （log 337π3）＝sin7π3=sinπ3=√32， 故答案为：√32． 11．（5分）如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，AB →⋅AD →=2AC →⋅AE →，则cos B 的最小值为4√39．【解答】解：∵AB →⋅AD →=2AC →⋅AE →， ∴AB →⋅(AB →+BD →)=2AC →⋅(AC →+CE →)， ∴AB →⋅(AB →+13AC →)=2AC →⋅(AC →−13BC →)，∴AB →⋅[AB →+13(AC →−AB →)]=2AC →[AC →−13(AC →−AB →)]，∴AB →⋅(13AC →+23AB →)=2AC →⋅(23AC →+13AB →)，∴13AB →⋅AC →+23AB →2=43AC →2+23AC →⋅AB →，∴23AB →2=43AC →2+13AC →⋅AB →，∴2AB →2=4AC →2+AC →⋅AB →，∴在△ABC 中，2c 2＝4b 2+bc cos ∠BAC ， ∴2c 2＝4b 2+bcb 2+c 2−a 22bc，∴b 2=19a 2+13c 2，∴cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+c 2−(19a 2+13c 2)2ac =89a 2+23c 22ac =49a c +13c a ≥2√49a c ×13c a =4√39（当且仅当49a c=13c a时，取“＝”），故cos B 的最小值是：4√39． 故答案为：4√39． 12．（5分）已知P （x 0，y 0）为直线y ＝k （x +2）上的一个动点，若在圆O ：x 2+y 2＝1上存在点Q ，使得∠OPQ =π4，则实数k 的取值范围为 [﹣1，1] ． 【解答】解：设点O 到直线PQ 的距离为d ，则要存在满足条件的点Q ， 必须有d ≤1，∴OP ≤√2，即O 到直线y ＝k （x +2）的最小值小于等于√2． 则√k 2+1≤√2，解得k ∈[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．13．（5分）钝角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，c ＝1，B =π3，则a 的取值范围是 (0，12)∪(2，+∞) ．【解答】解：由正弦定理，有a =csinA sinC =sin(2π3−C)sinC =√32tanC +12．∵△ABC 为钝角三角形，B =π3，∴当A 为钝角时，A =2π3−C∈(π2，2π3)，∴C ∈(0，π6)； 当C 为钝角时，C ∈(π2，2π3)，∴△ABC 为钝角三角形，C ∈(0，π6)∪(π2，2π3)． ∴tan C ∈(0，√33)∪(−√3，0)， ∴√32tanC +12∈(0，12)∪(2，+∞)，故答案为：(0，12)∪(2，+∞)．14．（5分）设函数f(x)={3x−a+2x+1，x＞0x3+x2−2x，x≤0的图象上存在两点P、Q，其中点P在y轴右侧，且线段PQ与y轴的交点恰好是线段PQ靠近点P的一个三等分点．若OP和OQ 斜率之和等于﹣3，则实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．【解答】解：设Q（m，m3+m2﹣2m）（m＜0），由题意，点P的横坐标为−m2，故P(−m2，2−3m 2+2(a+2)m)，∵OP和OQ斜率之和等于﹣3，∴m2+m−2+2−3m2+2(a+2)m−m2=−3，化简得，m4+m3+4m2﹣2m＝4（a+2），设g（m）＝m4+m3+4m2﹣2m（m＜0），则g′（m）＝4m3+3m2+8m﹣2，g''（m）＝12m2+6m+8＝2（6m2+3m+4）＞0，∴g′（m）在（﹣∞，0）上为增函数，则g′（m）＜g′（0）＝﹣2＜0，∴g（m）在（﹣∞，0）上为减函数，作草图如下，由题意及图象可知，4（a+2）＞0，解得a＞﹣2．故答案为：（﹣2，+∞）．二．解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AB＝2，AA1=√2，点N为A1B1中点，点M在边AB上（1）当点M为AB中点时，求证：C1N∥平面A1CM；（2）试确定点M的位置，使得AB1⊥平面A1CM．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， 点N 为A 1B 1中点，M 为AB 中点， ∴C 1N ∥CM ，∵C 1N ⊄平面A 1CM ，CM 平面A 1CM ， ∴C 1N ∥平面A 1CM ．解：（2）当点M 是AB 中点时，使得AB 1⊥平面A 1CM ． 证明如下：∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AB ＝2，AA 1=√2， 点N 为A 1B 1中点，点M 是AB 中点， ∴AA 1⊥CM ，AB ⊥CM ，∵AA 1∩AB ＝A ，∴CM ⊥平面AA 1B 1B ， ∵A 1M ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1M ⊥CM ，∵A 1M =√12+(√2)2=√3，AB 1=√22+(√2)2=√6， ∴A 1M AB 1=AA 1AB，∴△AA 1M ∽△BAB 1，∴∠AA 1M ＝∠BAB 1，∠AMA 1＝∠AB 1B ， ∴AB 1⊥A 1M ，∵A 1M ∩CM ＝M ，∴AB 1⊥平面A 1CM ．16．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin A sin B +b cos 2A ＝2a ，（Ⅰ）求ab 的值；（Ⅱ）若c =√2b ，求sin(2C −π3)的值． 【解答】（本小题满分13分）解：（I ）由正弦定理得：sin A sin A sin B +sin B cos 2A ＝2sin A ，………………（1分）得：sin B （sin 2A +cos 2A ）＝2sin A ，………………（2分） ∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，即ab=12．………………（4分）（II ）∵c =√2b ，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab=(12b)2+b 2−2b2b2=−34，………………（5分）∵C ∈（0，π），∴sinC =√1−916=√74，………………（7分） ∴sin2C =2sinCcosC =−3√78，………………（9分） cos2C =2cos 2C −1=18，………………（11分） ∴sin(2C −π3)=sin2Ccos π3−cos2Csin π3=−3√7−√316．………………（13分） 17．（14分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元．（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ （2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？ 【解答】解：（1）设船捕捞n 年后的总盈利为y 万元，则 y ＝50n ﹣98﹣[12×n +n(n−1)2×4]＝﹣2（n ﹣10）2+102．（5分） 所以，当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．（6分） （2）年平均利润为yn =−2（n +49n ）+40≤﹣28+40＝12．（10分）当且仅当n =49n，即n ＝7时，上式取等号．（11分） 所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．（12分） 18．（16分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b 3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点M （0，m ），（﹣b ＜m ＜b ），过点M 的任一直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，y轴上是否存在点N （0，n ）使∠ANM ＝∠BNM 恒成立？若存在，判断m 、n 应满足关系；若不存在，说明理由．（3）在（2）条件下m ＝1时，求△ABN 面积的最大值．【解答】解：（1）由内切圆的性质，得12×2c ×b =12×（2a +2c ）×b3，得ca=12．将x ＝c 代入x 2a 2+y 2b 2=1，得y ＝±b 2a，所以2b 2a=3．又a 2＝b 2+c 2，所以a ＝2，b =√3，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．（2）①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0，②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx +m ．联立方程{y =kx +m x 24+y 23=1消去y 得，（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0．（−√3＜m ＜√3，）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km 3+4k2，x 1x 2=4m 2−123+4k2．假设存在N （0，n ） 则k AN +k BN =y 1−n x 1+y 2−n x 2=kx 1+m−n x 1+kx 2+m−n x 2=2kx 1x 2+(m−n)(x 1+x 2)x 1x 2=1x 1x 2(2k(4m 2−12)3+4k2−8km(m−n)3+4k2)=1x 1x 2(8km 2−24k−8km 2+8kmn3+4k2)=1x 1x 28k(mn−3)3+4k 2=0．（*），对任意k ∈R 恒成立． 所以mn ＝3且m ≠0．m ＝0时由（*）式知不存在点N 符合题意，综上：m ＝0时不存在，−√3＜m ＜√3．m ≠0时存在点N （0，n ）．mn ＝3． （3）由（2）得n ＝3M （0，1）、N （0，3）设直线AB 的方程为y ＝kx +1． 由{y =kx +1x 24+y 23=1⇒（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8＝0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8k 3+4k2，x 1x 2=−83+4k2．S △ABN =12|MN|⋅|x 1−x 2|=|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(8k 3+4k 2)2+323+4k2=√962k 2+1(3+4k 2)2，令t＝2k2+1，则t≥1，S△ABN=4√6√t4t2+4t+1=4√6√14t+1t+4≤4√63，当且仅当t＝1，k＝0时取的最大值．所以△ABN面积的最大值为4√6 3．19．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣ax．（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝3，f（x）的图象与y轴交于点A，求y＝f（x）在点A处的切线方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当x＞0时，f（x）＞x2﹣3x+1恒成立．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f'（x）≥0恒成立，所以f（x）在R上单调递增，当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝lna．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：x（﹣∞，lna）lna（lna，+∞）f'（x）﹣0+f（x）减极小值增所以a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（Ⅱ）令x＝0，得y＝1，则A（0，1），因为f'（x）＝e x﹣3，所以f'（0）＝1﹣3＝﹣2，所以在A点处的切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣0），即y＝﹣2x+1．（Ⅲ）证明：令g（x）＝f（x）﹣（x2﹣3x+1）＝e x﹣x2﹣1，则g'（x）＝e x﹣2x．令h（x）＝e x﹣2x，则h'（x）＝e x﹣2，当0＜x＜ln2时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞ln2时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；所以h（x）≥h（ln2）＝e ln2﹣2ln2＝2﹣2ln2＞0，即g'（x）＞0恒成立．所以g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（0）＝1﹣0﹣1＝0，所以e x﹣x2﹣1＞0，即当x＞0时，f（x）＞x2﹣3x+1恒成立．20．（16分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2+kn+k．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（1）由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n =d2n 2+（a 1−d2）n ＝2n 2+kn +k ． 故{ d2=2a 1−d 2=k k =0，解得{a 1=2d =4k =0． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2+4（n ﹣1）＝4n ﹣2． （2）由（1）知，b n =1a n a n+1=1(4n−2)(4n+2)=18•（12n−1−12n+1）．故T n ＝b 1+b 2+…+b n=18•（1−13）+18•（13−15）+⋯+18•（12n−1−12n+1）=18•（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1） =18•（1−12n+1） =n4(2n+1)．三．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．（10分）已知矩阵A =[2132]，列向量X →=[x y ]，B →=[47]，且A X →=B →．（1）求矩阵A 的逆矩阵A ﹣1；（2）求x ，y 的值．【解答】解：（1）由A =[2132]，det （A ）＝2×2﹣3×1＝1≠0，所以A 可逆，设A ﹣1=[a bcd ]，则[2132]•[a bc d]=[1001]，则2a +c ＝1，2b +d ＝0，3a +2c ＝0，3b +2d ＝1， 解得a ＝2，b ＝﹣1，c ＝﹣3，d ＝2， ∴A −1=[2−1−32]．（2）由AX ＝B 得到X ＝A ﹣1B =[2−1−32][47]=[12]，∴{x =1y =2．，（也可由AX ＝B 得到[2132][x y ]=[47]，即{2x +y =43x +2y =7， 解得{x =1y =2）．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①． 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =√3cosθ+sinθ−6|√2=|2sin(θ+π3)−6|√2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =√2=4√2． 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23．（10分）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下： 质量指标值 [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45]等级 次品 二等品 一等品 二等品 三等品 次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中a ＞0）． 质量指标值 频数 [15，20） 2 [20，25） 18 [25，30） 48 [30，35） 14 [35，40） 16 [40，45] 2 合计100（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元．一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X 元，用频率估计概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．【解答】解：（Ⅰ）由（a +0.020+0.022+0.028+0.042+0.080）×5＝1， 解得a ＝0.008，所以甲企业的样本中次品的频率为（a +0.020）×5＝0.14，即从甲企业生产的产品中任取一件，该件产品为次品的概率是0.14； （Ⅱ）由图表知，乙企业在100件样本中合格品有96件，则一等品的概率为4896=12，二等品的概率为18+1496=13，三等品的概率为1696=16，由题意知，随机变量X 的可能取值为：120，150，180，210，240；且P （X ＝120）=16×16=136，P （X ＝150）=C 21×13×16=19，P （X ＝180）=C 21×12×16+13×13=518， P （X ＝210）=C 21×12×13=13，P （X ＝240）=12×12=14，∴随机变量X 的分布列为：X 120150180210240P136195181314所以X 的数学期望为E （X ）＝120×136+150×19+180×518+210×13+240×14=200； （Ⅲ）答案不唯一，只要言之有理便可得分，参考如下；①以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较， 由图表可知，甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率， 所以认为乙企业的食品生产质量更高．②以产品次品率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较也可得出结论． ③以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4，乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即一企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高．④根据第（Ⅱ）问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，从而比较甲、乙两个企业产品的优劣．24．（10分）如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P （1，12）到抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的准线的距离为54．点M （t ，1）是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q （m ，n ）在直线OM 上． （1）求曲线C 的方程及点M 的坐标； （2）记d （m ）=|AB|√1+4m ，求弦长AB （用m 表示）；并求d 的最大值．【解答】解：（1）∵y 2＝2px （p ＞0）的准线为x =−p 2， ∴1﹣（−p 2）=54，∴p =12， ∴抛物线C 的方程为y 2＝x ．又点M （t ，1）在曲线C 上，∴t ＝1． 故M （1，1）．（2）由（1）知，点M （1，1）， 从而m ＝n ，即点Q （n ，m ），依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为k （k ≠0），且A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．， 由{y 12=x 1y 22=x 2，得（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝x 1﹣x 2．，故k •2m ＝1， 所以直线AB 的方程为y ﹣m =12m (x −m)， 即x ﹣2my +2m 2﹣m ＝0．由{x −2my +2m 2−m =0y 2=x ，消去x ， 整理得y 2﹣2my +2m 2﹣m ＝0，所以△＝4m ﹣4m 2，y 1+y 2=2m ，y 1y 2=2m 2−m ． 从而AB =√1+1k2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+4m 2⋅√4m −4m 2=2√(1+4m 2)(m −m 2)． ∴d =AB√1+4M=2√m(1−m)≤m +1﹣m ＝1，当且仅当m ＝1﹣m ，即m =12时，上式等号成立， 又m =12满足△＝4m ﹣4m 2＞0．∴d 的最大值为1．。

3 )，椭圆 C 上三点 A，M，B 与原点 O 构成一个平行四边形 AMBO． 2
（1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 B 是椭圆 C 左顶点，求点 M 的坐标； （3）若 A，M，B，O 四点共圆，求直线 AB 的斜率．
3
19．（本题满分 16 分）
已知函数
f
(x)
=
x2
ex − ax + a
的离心率为
．
9．若正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，则三棱锥 A—B1CD1 的体积为
．
1
10．已知函数
f
(x)
=
x
f
+ 2, x (−x),
0 x
0
，
g
(
x)
=
f
(x − 2) ，若 g(x −1) 1 ，则实数 x
的取值
范围为
．
11．在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 O：x2＋y2＝2 上两个动点，且 OA ⊥ OB ，若 A，
(a R)，其中
e
为自然对数的底数．
（1）若 a＝1，求函数 f (x) 的单调减区间；
（2）若函数 f (x) 的定义域为 R，且 f (2) f (a) ，求 a 的取值范围；
（3）证明：对任意 a (2，4)，曲线 y = f (x) 上有且仅有三个不同的点，在这三点处
的切线经过坐标原点．
20．（本题满分 16 分）
)部分图象如图所示，则
f(
)
2
2
2
的值为
．Leabharlann 7．已知数列an 为等比数列，若 a1 = 2 ，且 a1 ，a2 ，a3 − 2 成等差数列，则an 的前 n 项

2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．6 参考公式：锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若集合A ＝{x|x ≤m}，B ＝{x|x ≥－1}，且A ∩B ＝{m}，则实数m 的值为________．2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z(3＋i)＝10，则|z|的值为________．3. 从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为________．4. 如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250]．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为________天．5. 执行如图所示的流程图，输出k 的值为________．6. 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y ＝±2x ，则其离心率的值为________．7. 若三棱柱ABCA 1B 1C 1的体积为12，点P 为棱AA 1上一点，则四棱锥PBCC 1B 1的体积为________．8. “ω＝2”是“函数f(x)＝sin (ωx ＋π6)的图象关于点(5π12，0)对称”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)9. 在△ABC 中，C ＝B ＋π4，AB ＝324AC ，则tan B 的值为________．10. 若数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝2n －1＋(－1)n (2n －1)，则2a 100－S 100的值为________． 11. 若集合P ＝{(x ，y)|x 2＋y 2－4x ＝0}，Q ＝{(x ，y)||x ＋2|y≥15}，则P ∩Q 表示的曲线的长度为________．12. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋e x ，x>0，e 2x －1，x ≤0的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是________．13. 在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝15，∠A 的平分线与边BC 的交点为D ，点E 为边BC 的中点．若AB →·AD →＝90，则 AB →·AE →的值是________．14. 若实数x ，y 满足4x 2＋4xy ＋7y 2＝1，则7x 2－4xy ＋4y 2的最小值是________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)若函数f(x)＝Msin (ωx ＋φ)(M>0，ω>0，0<φ<π)的最小值是－2，最小正周期是2π，且图象经过点N(π3，1)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 在△ABC中，若f(A)＝85，f(B)＝1013，求cos C的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD.求证：(1) PA∥平面BDE；(2) 平面PAC⊥平面BDE.17. (本小题满分14分)如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN(M，N为切点)，同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB(A，B分别在l1，l2上)．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．(所有道路宽度忽略不计)如图，在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为2，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的动直线与椭圆交于点P ，Q ，过点F 2与PQ 垂直的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．当直线AB 过原点时，PF 1＝3PF 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若点H(3，0)，记直线PH ，QH ，AH ，BH 的斜率依次为k 1，k 2，k 3，k 4.① 若k 1＋k 2＝215，求直线PQ 的斜率；② 求(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)的最小值．如果存在常数k使得无穷数列{a n}满足a mn＝ka m a n恒成立，则称{a n}为P(k)数列．(1) 若数列{a n}是P(1)数列，a6＝1，a12＝3，求a3；(2) 若等差数列{b n}是P(2)数列，求{b n}的通项公式；(3) 是否存在P(k)数列{c n}，使得c2 020，c2 021，C2 022，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{c n}；若不存在，请说明理由．设函数f(x)＝－3ln x＋x3＋ax2－2ax.(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2) 若函数f(x)在x＝1时取极大值，求实数a的取值范围；(3) 设函数f(x)的零点个数为m，试求m的最大值．2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 1.若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知直线l ：ρcos θ＋2ρsin θ＝m(m 为实数)，曲线C ：ρ＝2cos θ＋4sin θ，当直线l 被曲线C 截得的弦长取最大值时，求实数m 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋2z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点P(2，0)作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时AB 的长为4 2.(1) 求抛物线的方程；(2) 若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线l 的方程．23. 若有穷数列{a n }共有k 项(k ≥2)，且a 1＝1，a r ＋1a r ＝2（r －k ）r ＋1，当1≤r ≤k －1时恒成立．设T k ＝a 1＋a 2＋…＋a k .(1) 求T 2，T 3； (2) 求T k .2020届高三模拟考试试卷(盐城) 数学参考答案及评分标准1. －12. 103. 34 4. 12 5. 4 6.5 7. 8 8. 充分不必要 9. 2 10. 299 11.2π312. 1＋e 2 13.1752 14. 3815. 解：(1) 因为f(x)的最小值是－2，所以M ＝2.(2分)因为f(x)的最小正周期是2π，所以ω＝1.(4分)又由f(x)的图象经过点N(π3，1)，可得f(π3)＝1，sin(π3＋φ)＝12，所以φ＋π3＝2k π＋π6或φ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z .又0<φ<π，所以φ＝π2，故f(x)＝2sin(x ＋π2)，即f(x)＝2cos x ．(6分)(2) 由(1)知f(x)＝2cos x. 又f(A)＝85，f(B)＝1013，故2cos A ＝85，2cos B ＝1013，即cos A ＝45，cos B ＝513.因为在△ABC 中，A ，B ∈(0，π)， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－（45）2＝35，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（513）2＝1213，(10分)所以cos C ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝－(cos Acos B －sin Asin B)＝－(45×513－35×1213)＝1665.(14分)16. 证明：(1) 设AC ∩BD ＝O ，连结OE ， 因为底面ABCD 是菱形，故O 为BD 中点． 因为点E 是PC 的中点，所以AP ∥OE. (2分)因为OE ⊂平面BDE ，AP ⊄平面BDE ，所以AP ∥平面BDE.(6分)(2) 因为平面PBC ⊥平面ABCD ，PC ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，PC ⊂平面PBC ，所以PC ⊥平面ABCD.(9分)又BD ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥BD.因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD.又PC ⊥BD ，AC ∩PC ＝C ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC. (12分)又BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE.(14分)17. 解：连结CM ，设∠PCM ＝θ，则PC ＝1cos θ，PM ＝PN ＝tan θ，OP ＝OC －PC ＝10－1cos θ，AB ＝2OP ＝20－2cos θ.设新建的道路长度之和为f(θ)，则f(θ)＝PM ＋PN ＋AB ＋OP ＝2tan θ－3cos θ＋30.(6分)由1<PC ≤10得110≤cos θ<1.设cos θ0＝110，θ0∈(0，π2)，则θ∈(0，θ0]，sin θ0＝31110，f ′(θ)＝2－3sin θcos 2θ.令f′(θ)＝0得sin θ＝23.(10分)设sin θ1＝23，θ1∈(0，θ0]，则θ，f ′(θ)，f (θ)的情况如下表：由表可知当θ＝θ1时f(θ)有最大值，此时sin θ＝23，cos θ＝53，tan θ＝25，f (θ)＝30－ 5.(13分)答：新建道路长度之和的最大值为30－5千米．(14分) 注：定义域扩展为(0，π2)，求出最值后验证也可．18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的短轴长为2，所以b ＝1.当直线AB 过原点时，PQ ⊥x 轴，所以△PF 1F 2为直角三角形． 由定义知PF 1＋PF 2＝2a ，而PF 1＝3PF 2，故PF 1＝32a ，PF 2＝12a.由PF 21＝PF 22＋F 1F 22得94a 2＝14a 2＋4c 2＝14a 2＋4(a 2－1)，化简得a 2＝2， 故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (4分)(2) ① 设直线PQ ：y ＝k(x －1)，代入到椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋(2k 2－2)＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， (6分)所以k 1＋k 2＝y 1x 1－3＋y 2x 2－3＝k[（x 1－1）（x 2－3）＋（x 2－1）（x 1－3）]（x 1－3）（x 2－3），化简可得k 1＋k 2＝2k 8k 2＋7＝215，(10分) 解得k ＝1或k ＝78，即为直线PQ 的斜率．(12分)② 当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)＝0. 当两条直线与坐标轴都不垂直时，由①知k 1＋k 2＝2k8k 2＋7，同理可得k 3＋k 4＝－2k 8＋7k 2，(14分)故(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)＝－4k 256k 4＋56＋113k 2＝－456（k 2＋1k2）＋113≥－456×2k 2×1k2＋113＝－4225， 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时取等号．综上，(k 1＋k 2)(k 3＋k 4)的最小值为－4225.(16分)19. 解：(1) 由数列{a n }是P(1)数列得a 6＝a 2a 3＝1，a 12＝a 2a 6＝3，可得a 3＝13.(2分)(2) 由{b n }是P(2)数列知b mn ＝2b m b n 恒成立，取m ＝1得b n ＝2b 1b n 恒成立． 当b 1＝0，b n ＝0时满足题意，此时b n ＝0.当b 1≠0时，由b 1＝2b 21，可得b 1＝12，取m ＝n ＝2得b 4＝2b 22. 设公差为d ，则12＋3d ＝2(12＋d)2，解得d ＝0或d ＝12.综上，b n ＝0或b n ＝12或b n ＝n2，经检验均合题意．(8分)(3) (解法1)假设存在满足条件的P(k)数列{c n }，不妨设该等比数列c 2 020，c 2 021，c 2 022，…的公比为q ，则有c 2 020×2 020＝kc 2 020·c 2 020⇒c 2 020·q 2 020×2 020－2 020＝kc 2 020·c 2 020，可得q 2 020×2 020－2 020＝kc 2 020 ①，c 2 020×2 021＝kc 2 020·c 2 021⇒c 2 020·q 2 020×2 021－2 020＝kc 2 020·c 2 020·q ，可得q 2 020×2 021－2 021＝kc 2 020 ②.综合①②可得q ＝1，(10分)故c 2 020×2 020＝c 2 020，代入c 2 020×2 020＝kc 2 020·c 2 020得c 2 020＝1k ，则当n ≥2 020时c n ＝1k .(12分)又c 2 020＝kc 1·c 2 020⇒c 1＝1k.当1<n<2 020时，不妨设n i ≥2 020，i ∈N *且i 为奇数，由c ni ＝c n ×ni －1＝kc n ×c ni －1＝kc n ×c n ×ni －2＝k 2(c n )2×c ni －2＝…＝k i －1(c n )i . 而c ni ＝1k ，所以1k ＝k i －1(c n )i ，(c n )i ＝(1k )i ，c n ＝1k.综上，满足条件的P(k)数列{c n }有无穷多个，其通项公式为c n ＝1k .(16分)(解法2)同解法1得，当n ≥2 020时c n ＝1k.当1<n<2 020时，c n ×2 020＝kc n c 2 020，而c n ×2 020＝1k ，c 2 020＝1k ，故c n ＝1k ，以下同解法1.(解法3)假设存在满足条件的P(k)数列{c n }，显然{c n }的所有项及k 均不为零，c 1＝1k ，不妨设该等比数列c 2 020，c 2 021，c 2 022，…的公比为q ，当1≤n ≤2 018时，c n ×2 020＝kc n c 2 020，c (n ＋1)×2 020＝kc n ＋1c 2 020， 两式相除可得c n ＋1c n ＝c （n ＋1）×2 020c n ×2 020＝q 2 020，故当1≤n ≤2 019时，{c n }也为等比数列，(10分) 故c n ＝c 1×q 2 020(n－1)＝1k ×q 2 020(n －1)，则c 2＝1k ×q 2 020，c 4＝1k×q 6 060. 由c 4＝k(c 2)2得q 2 020＝1，且当1≤n ≤2 019时c n ＝1k，(12分)则c 2 020＝kc 2c 1 010＝k ×1k ×1k ＝1k ，c 2 025＝kc 5c 405＝k ×1k ×1k ＝1k ，所以c 2 025c 2 020＝1＝q 5，所以q＝1，故当n ≥2 020时c n ＝1k.综上，满足条件的P(k)数列{c n }有无穷多个，其通项公式为c n ＝1k.(16分)20. 解：(1) 当a ＝0时，f(x)＝－3ln x ＋x 3，所以f′(x)＝－3x ＋3x 2＝3(x 3－1x)，(1分)由f′(x)＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)．(3分) (2) 由题意得f′(x)＝－3x ＋3x 2＋2ax －2a ＝3（x －1）x [x 2＋(2a 3＋1)x ＋1]． 令g(x)＝x 2＋(2a3＋1)x ＋1(x>0)，则f′(x)＝3（x －1）xg(x)．当2a 3＋1≥0，即a ≥－32时，g(x)>0恒成立，得f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；当Δ＝(2a 3＋1)2－4<0，即－92<a<32时，此时g(x)>0恒成立，f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；当Δ＝(2a 3＋1)2－4＝0，即a ＝－92或a ＝32时，易得f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以x ＝1是函数f(x)的极小值点；(6分)当Δ＝(2a 3＋1)2－4>0时，解得a<－92或a>32(舍去)，当a<－92时，设g(x)的两个零点为x 1，x 2，所以x 1x 2＝1，不妨设0<x 1<x 2.又g(1)＝2a 3＋3<0，所以0<x 1<1<x 2，故f′(x)＝3x(x －x 1)(x －1)(x －x 2)．当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 1，1)时，f ′(x)>0；当x ∈(1，x 2)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)>0；所以f(x)在(0，x 1)上递减，在(x 1，1)上递增，在(1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增； 所以x ＝1是函数f(x)极大值点． 综上所述a<－92.(10分)(3) ① 由(2)知当a ≥－92时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)至多有两个零点，欲使f(x)有两个零点，需f(1)＝1－a<0，得a>1，此时f(x)＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax>－3ln x －2ax ，f(1a )>3ln a －2，当a>e 时，f(1a )>0，此时函数f(x)在(0，1)上恰有1个零点；(12分)又当x>2时，f(x)＝－3ln x ＋x 3＋ax(x －2)>－3ln x ＋x 3. 由(1)知φ(x)＝－3ln x ＋x 3在(1，＋∞)上单调递增，所以f(e)>－3＋e 3>0，故此时函数f(x)在(1，＋∞)上恰有1个零点； 由此可知当a>e 时，函数f(x)有两个零点．(14分)② 当a<－92时，由(2)知f(x)在(0，x 1)上递减，在(x 1，1)上递增，在(1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增；而0<x1<1，所以f(x1)＝－3ln x1＋x31＋ax1(x1－2)>0，此时函数f(x)也至多有两个零点．综上①②所述，函数f(x)的零点个数m的最大值为2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(盐城) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由题意知Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝3，b ＋1＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，(4分) 所以矩阵A 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2 －2λ－1＝(λ－1)2－4.由f(λ)＝0，解得λ＝3或λ＝－1.(8分)当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵A 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)B. 解：由题意知直线l 的直角坐标方程为x ＋2y －m ＝0.(2分)又曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －4y ＝0， 所以曲线C 是圆心为(1，2)的圆，(8分)当直线l 被曲线C 截得的弦长最大时，得1＋2×2－m ＝0，解得m ＝5.(10分) C. 解：由柯西不等式有(12＋12＋22)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋2z)2＝1，(6分) 所以x 2＋y 2＋z 2≥16(当且仅当x 1＝y 1＝z 2，即x ＝y ＝16，z ＝13时取等号)，(8分)所以x 2＋y 2＋z 2的最小值是16.(10分)22. 解：(1) 当直线l 与x 轴垂直时AB 的长为42，又P(2，0)，取A(2，22)，(1分) 所以(22)2＝2p·2，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x.(2分) (2) 由题意知S △APF ＝12·FP ·|y A |＝12|y A |，S △BPO ＝12·OP ·|y B |＝|y B |.因为S △APF ＝S △BPO ，所以|y A |＝2|y B |.(4分)当k AB ＝0时，直线AB 与抛物线不存在两个交点，所以k AB ≠0，故设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，代入抛物线方程得y 2－4my －8＝0, 所以y A ＋y B ＝4m ，y A y B ＝－8.(6分) 当y A >0，y B <0时，y A ＝－2y B ，－2y 2B ＝－8，所以y B ＝－2，x B ＝y 2B4＝1，所以k PB ＝2，直线AB 的方程为2x －y －4＝0.(8分)当y A <0，y B >0时，同理可得直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0. 综上所述，直线AB 的方程为2x±y －4＝0.(10分)23. 解：(1) 当k ＝2时，r ＝1，由a 2a 1＝2（1－2）1＋1＝－1，得a 2＝－1，T 2＝0.(1分)当k ＝3时，r ＝1或2，由a 2a 1＝2（1－3）1＋1＝－2，得a 2＝－2.由a 3a 2＝2（2－3）2＋1＝－23，得a 3＝43，T 3＝13.(3分) (2) 因为a r ＋1a r ＝2（r －k ）r ＋1，由累乘法得a 2a 1·a 3a 2·…·a r ＋1a r ＝2（1－k ）2·2（2－k ）3·…·2（r －k ）r ＋1， 所以a r ＋1＝(－2)r （k －1）2·（k －2）3·…·（k －r ）r ＋1＝(－2)r k ！k （r ＋1）！（k －r －1）！，(5分)所以a r ＋1＝1－2kC r ＋1k (－2)r ＋1.(6分) 当r ＝0时，a 1＝1也适合a r ＋1＝1－2kC r ＋1k (－2)r ＋1， 所以T k ＝1－2k [C 1k (－2)1＋C 2k (－2)2＋…＋C k k (－2)k ]，(8分) 即T k ＝1－2k [C 0k (－2)0＋C 1k (－2)1＋C 2k (－2)2＋…＋C k k (－2)k－1]， 所以T k ＝1－2k [(1－2)k －1]＝12k [1－(－1)k ]．(10分)。