【设计】2016高中数学人教B版必修2三次函数的图象和性质青年教师参赛教学设计

《三角函数图像》教学设计一、学习目标：①了解正弦线、余弦线、正切线；②理解和掌握正弦、余弦、正切曲线，用“五点法”画它们的图像；③会用“五点法”作()ϕω+=x A y sin ()0,0>>ωA 在一个周期内的简图，并理解()ϕω+=x A y sin ()0,0>>ωA 的图像与x y sin =的图像的相互联系；④提高数形结合的数学方法与能力；二、学习重点：函数x y sin =与()ϕω+=x A y sin ()0,0>>ωA 的图像之间的相互变换。

三、学习难点：“五点法”中五点的确定；并且能够根据x y sin =的图像的对称轴、对称中心确定函数()ϕω+=x A y sin ()0,0>>ωA 的图像的对称轴、对称中心。

四、教学环境：多媒体教学，学生对象：高三（3）班全体学生五、教学过程： （一）知识导学：1、三角函数线——在下图中，规定了方向的线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线：2、正弦曲线、余弦曲线、正切曲线：分别是指基本三角函数)(cos ),(sin R x x y R x x y ∈=∈=),2,(tan Z k k x R x x y ∈+≠∈=ππ的图像。

3、正弦曲线的特征：关于直线)(2Z k k x ∈+=ππ对称，又关于点))(0,(Z k k ∈π对称，作其在]2,0[π的简图的五个关键点为),1,2(),0,0(π).0,2(),1,23(),0,(πππ- 4、“五点法”作)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 在一个周期内的简图时，五点的取法是：设ϕω+=x X ，由X 取ππππ2,23,,2,0来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

5、)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像可由x y sin =的图像经以下变换得到：①相位变换：)sin(||0)(0)(sin ϕϕϕϕ+=−−−−−−−−−−→−<>=x y x y 个单位长度平移或向右向左；②周期变换：)sin()(1sin x y xy ωω==纵坐标不变横坐标变为原来的；③振幅变换：x A y A xy sin )(sin ==横坐标不变倍纵坐标变为原来的。

三次函数教案范文【教学目标】知识与能力：1.掌握三次函数的定义和性质；2.理解三次函数的图像特征；3.能够应用三次函数解决相关问题。

过程与方法：培养学生观察、分析、推理和解决问题的能力。

情感态度与价值观：培养学生多角度思考问题，善于发现问题的本质和创新解决问题的能力。

【教学重点】三次函数的定义和性质。

【教学难点】三次函数的图像特征。

【教学过程及设计】一、导入（10分钟）1.导入前，教师可以准备一些花类的图片，让学生观察并思考花的生长过程是怎样的。

2.引导学生讨论，探究花的生长过程中是否存在一定的规律。

二、新课呈现（30分钟）1. 定义三次函数：三次函数是指函数的定义域为全体实数，且函数的公式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d（a ≠ 0）的函数。

2.引导学生观察三次函数的图像，并讨论函数的性质。

三、讲解三次函数的性质（30分钟）1.零点：f(x)=0的解为三次函数的零点，零点的个数最多为3个。

2.极值点：三次函数的顶点为极值点，极大值或极小值。

3.两三次函数的图像的特征：对称性、开口方向。

4.其他性质：函数的增减性、奇偶性等。

四、解决相关问题（40分钟）1.给定函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求解它的零点和极值点。

2.物质的表面积S随时间t的变化关系为S=2t^3-3t^2+2t，求此物质的变化趋势。

3.商品的价格p与其销量q的关系为p=0.02q^3-0.1q^2+100，求出销售这种商品的最佳销量。

【教学反思】通过本节课的学习，学生能够掌握三次函数的基本定义和性质，了解三次函数的图像特征，并能够应用三次函数解决实际问题。

同时，通过教学设计的合理安排，培养学生观察、分析、推理和解决问题的能力，提高学生的自主学习能力。

二次函数图像和性质教学设计（3篇）二次函数的图像和性质3教学设计篇一22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计知识与技能：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象；过程与方法：结合图象确定抛物线y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴与顶点坐标及性质；情感态度与价值观：通过比较抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系，培养学生的观察、分析、总结的能力。

学情分析学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生独立探究，个别指导，然后归纳总结。

之后把侧重点放在对实际问题的探究上，重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。

重点难点教学重点：画出形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点。

教学难点：理解函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2及其图象的相互关系。

4教学过程一、复习导入新课师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。

观察y＝－x2、y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条抛物线。

（指名学生回答）。

师：同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物线能否经过怎样的平移得到抛物线y＝－(x＋1)2－1 生：向左平移一个单位，再向下平移一个单位。

师：这个猜想是否正确呢？这节课我们一起来验证一下。

（板书课题）二、探究探究一（大屏幕出示）（自探问题部分）1.画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．x y＝－(x＋1)2－1 函数… …－4－3－2－10 1 2 ……开口方向顶点对称轴最值增减性y＝－(x＋1)2－1（学生口头展示以上问题）2．师：（结合课件）把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．所以抛物线y＝－x2 与抛物线y＝－(x＋1)2－1 形状___________，位置________________．通过刚才的演示，可以证明我们前面的猜想是正确的。

立足生本课堂培养数学素养——“三次函数的图象和性质”教学设计“人在课中央”是对人与课的辩证关系形象而又准确的描述，充分体现了新课标所倡导的“以人为本”的教育理念。

课堂是教学的主阵地，追寻课堂教学的本意和灵魂，就应该以学生为整个教学的中心，服务于学生的学习和发展。

教师需要从课堂的主宰者转变为学习资源的整合者、学习方法的指导者、学习效果的评价者，在预设的教案中及时做加减法，使教学的深度、广度适合学生的知识水平和接受能力，同时又根据学生的个性特点和个别差异，贯彻因材施教原则，为不同层次的学生搭建支架，以满足学生的需要，促进学生主动学习和深度学习。

笔者有幸参加了第12届“杏坛杯”课堂教学展评活动，并尝试在“三次函数的图象和性质”一课的教学中让学生始终置身于课堂的中央、教学的中心。

本课的学习是以导数研究函数的方法为主线,探索三次函数的图象特征和相关性质。

通过问题驱动，学生自主建构导数研究函数的方法；通过小组探究、汇报交流,学生经历知识的形成过程；通过自主命题、提出问题，学生实现知识和方法的自我反思和内化等。

这样的教学设计和安排有效地突出了教育教学活动的学生主体性，培养了学生的逻辑思维能力，自主探究、乐于探索的品质以及提出问题、解决问题的意识与能力，服务于学生的生命成长和终身发展。

本课主要的教学过程如下。

一、教学过程1.问题引入，明确作图方法。

问题1：画出函数f（x）=x2+2x-3的大致图象。

请学生上黑板作图，根据学生的回答归纳出3种作图思路：描点作图，根据性质作图和借助一次函数研究二次函数，从而得到图象。

（设计意图：在学生已经掌握二次函数的基础上通过对一个二次函数大致图象作图方法的讨论，明晰作图的常用方法，为下一步研究做了知识和方法上的铺垫，激活学生思维。

）2.引出课题，构建探究方法。

问题2：借助二次函数f（x）=x2+2x-3，可以研究哪类函数的性质呢？请画出的大致图象。

（学生上黑板作图）师：请说说作图过程。

初中数学教案三次函数的图像与性质三次函数是中学数学中的一个重要知识点，它具有独特的图像和性质。

本教案将以图像为线索，详细介绍三次函数的特点和性质，帮助学生深入理解和掌握这一概念。

一、三次函数的基本形式三次函数的一般形式为：$y = ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a,b,c,d$为实数且$a\neq0$。

二、三次函数的图像为了研究三次函数的图像，我们将从以下几个方面进行讲解。

1. 零点与轨迹在$x$轴上，三次函数的零点对应的是方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的解。

解方程的方法是通过因式分解、配方法、求根公式等来求得。

2. 极值点与拐点三次函数的极值点和拐点可以通过求导数的方法得到。

求解导函数$y' = 3ax^2+2bx+c$，令其等于零，即可求得极值点和拐点的横坐标。

然后再代入原函数中，求得对应的纵坐标。

3. 对称性三次函数具有奇函数的对称性，即$f(-x) = -f(x)$。

这意味着如果某一点$(x_0, y_0)$在图像上，那么点$(-x_0, -y_0)$也在图像上。

三、三次函数的性质除了图像特点之外，我们还需要讲解三次函数的其他性质，包括：1. 定义域和值域三次函数的定义域为全体实数。

值域则需要通过观察图像或者进行计算得到。

2. 单调性三次函数的单调性与系数$a$的正负有关。

当$a>0$时，函数单调递增；当$a<0$时，函数单调递减。

3. 凹凸性通过分析二阶导函数$y''=6ax + 2b$的正负，可以判断三次函数的凹凸性。

当$y''>0$时，函数凹；当$y''<0$时，函数凸。

4. 渐近线对于三次函数而言，它可能有水平渐近线、垂直渐近线以及斜渐近线等。

通过求解极限或观察图像，可以确定渐近线的方程。

四、教学实例与练习为了帮助学生更好地掌握三次函数的图像和性质，我们可以设计一些教学实例和练习题，如：1. 画出函数$y=2x^3-3x^2-12x+5$的图像，并求出其所有零点和拐点的坐标。

函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的性质Ⅰ．教学内容解析本节课的教学内容是函数d cx bx ax x f +++=23)(的性质．教学重点是函数d cx bx ax x f +++=23)(单调性、极值和最值的研究方法及其应用．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．在高中，其研究经历了三个阶段，一是数学1中指数函数、对数函数和幂函数的研究，二是数学4中三角函数的研究，三是选修系列中的导数及其应用．导数是研究函数的单调性、极值和最值等性质的有力工具，函数及其导数具有丰富的思想内涵和应用价值．在复习了导数的概念、导数的计算及其简单应用后，以函数d cx bx ax x f +++=23)(的性质研究为载体，设计此教学内容，具有承上启下的作用．通过对函数d cx bx ax x f +++=23)(性质的探索，一方面可以让学生感受导数在研究函数性质中的意义和价值，另一方面可以帮助学生建立并完善讨论函数性质的基本框架，掌握研究函数性质的过程和方法，知道函数性质的基本内容及其作用．更为重要的是，在此过程中，可以使学生进一步体会数形结合、分类讨论、转化与化归等思想方法，为继续学习和研究其他函数问题奠定基础．Ⅱ．教学目标设置本节课教学是为了帮助学生系统了解研究函数性质的思维过程，掌握运用导数研究函数性质的基本方法，感受导数在研究函数中的作用和价值，体会导数的思想与丰富内涵，提高学生运用所学知识分析问题解决问题的能力．具体目标是：1．从已有的研究函数的经历中建立函数d cx bx ax x f +++=23)(性质的研究思路，体会对函数从具体到一般的研究过程和数形结合的研究方法；2．能用导数研究函数d cx bx ax x f +++=23)(的单调性、极值、最值、零点个数等性质，感受导数在研究函数性质中的意义和作用；3．构建讨论函数性质的基本框架，完善数学认知结构，提高运用等价转化、分类讨论和数形结合等数学思想方法分析问题、解决问题的能力．Ⅲ．学生学情分析本节课的授课对象为无锡市辅仁高级中学高三（3）班的学生，选修物理和化学，他们思维活跃，学习数学的积极性较高，数学基础较好．1、学生已有的认知基础学生已经有了研究指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等函数模型的直接经验，具备了从图象直观获得结论和从数量关系上进行逻辑推理的能力，掌握了导数的概念和求法，了解了运用导数研究函数的单调性、极值、最值和零点等性质的过程和方法．2、达成教学目标所需具备的认知基础函数d cx bx ax x f +++=23)(的性质比较复杂，图象也不容易作出，为了实现本节课的教学目标，对学生运用分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法分析问题、解决问题的能力有较高的要求．3、“已有的基础”与“需要的基础”之间的差异一般情况下，研究函数离不开图象，要作出函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象，并利用图象解决问题，学生有一定的困难，需要教师精心设计，帮其化解；学生有运用分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法分析问题、解决问题的意识，但面对具体问题，如何正确的运用，需要教师做好示范和引领．4、教学难点及其突破策略难点：研究函数的性质，学生习惯于由形到数，由具体到一般，本节课中，需要通过对函数d cx bx ax x f +++=23)(的性质的研究，得出其图象特征，再运用图象分析思路、解决问题，这在思维上是一个逆转，成为教学的难点．突破策略：摆正教师的主导作用和学生的主体地位之间的关系，设计问题串让学生回顾已有经验，进而从整体上认识研究目标，构建研究思路，发挥信息技术的辅助功能，引导学生观察发现，归纳总结d cx bx ax x f +++=23)(的图象与系数之间的关系以及导函数的图象与原来函数之间的关系，实现数和形的灵活转换．Ⅳ．教学策略设计本节课是高三复习课，帮助学生系统地掌握知识和方法，形成良好的认知结构，培养学生的思维品质、提高学生的解题能力是主要目标．为了实现这一目标，教学中采用了以下策略：1、站在系统的高度组织复习内容．通过精心设计的“问题串”引导学生回顾研究函数性质的过程和方法，在实际问题中构建具体的函数模型，运用“数”和“形”结合的手段展开性质探究，从中归纳出以导数为工具研究函数性质的一般方法，帮助学生形成完整的认知结构，学会学习．2、站在学生的角度组织教学活动．根据学生的思维特点和认知基础，运用引导发现和讲练结合的方法，尽可能多地给学生提供课堂参与的机会，提出问题让学生分析、思考和交流，借助多媒体课件、图形计算器等工具，让学生动手操作，在尝试和探索中掌握方法，体会思想，形成技能．3、突出数学思想方法的提炼和渗透．通过典型例题及其变式的教学，由浅入深，逐层递进，不断地给学生提供比较、分析、归纳、综合的机会，保持积极有效的思维活动，帮助学生在解题总结和反思中领悟转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想方法在数学学习中的价值和作用．Ⅴ．教学过程1、问题引领师：同学们，今天我们要来研究函数f (x )=ax 3+bx 2+cx+d 的性质．老师先与大家交流几个问题．[问题1]在高一高二阶段我们主要研究过哪些函数模型？师：今天我们要研究的函数是一个多项式函数．如果0=a ，这个函数我们已经研究过．今天我们着重研究0≠a 的情形，不妨称之为三次函数．在研究之前，我们先回忆一下对已有函数的性质是怎么研究的，研究了哪些问题，以便为我们今天的研究提供参考．以指数函数为例．[问题2]你能回忆一下指数函数性质的研究过程和方法吗？[师生活动]引导学生回忆指数函数性质的研究过程和方法，得到：由具体的几个指数函数的图象概括得到一般的指数函数的性质．教师总结：具体 一般数 形（板书）[设计意图]用问题串启发，引导学生回忆研究函数性质的过程和方法，并展开积极的思考，给学生营造一个良好的探究学习的氛围．2、整体感知[问题3]我们常研究函数的哪些性质？师：我们研究一类函数的性质，实际上就是要探讨这类函数有哪些共同的特征．那么，我们常研究函数的哪些性质呢？生：定义域，值域，定点，奇偶性（对称性），单调性，极值，最值，零点，周期性等． 师：（板书学生回答）总结的很好．函数的性质就是函数的运动变化中的规律性，不变性和特殊性．[问题4]你能勾画一下函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 性质的研究过程和方法吗？[设计意图]从宏观上把握，让学生整体感知研究函数性质的思路、过程和方法，发现问题的本质，抓住要点，为研究函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 性质指明方向．3、组织探究。

《函数的应用（一）》教学设计一、教材的地位和作用本节课是高一新教材第三章第三节《函数的应用（一）》，前两章已经学会了一些有关初等函数的知识，本节函数的应用要引导学生对现实问题进行数学抽象，体现用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。

函数贯穿于整个高中数学学习的始终，是高中数学的重要思想和支撑高中数学的主干知识。

2021 年《普通高中课程标准》提出学生通过高中数学课程的学习，能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用。

二、课型：新授课三、学情分析学生已经学习了函数的概念、图像和性质，他们对函数有了初步的了解和认识。

同时学生对一次函数、二次函数、反比例函数、取整函数等初等函数的研究有了直接的经验。

四、教学目标知识目标：会对一些简单的实际问题建立两个变量间的函数关系式，并能确定函数的定义域；能力目标：经历从现实问题中确定变量、探寻关系、建立模型计算系数、分析结论的全过程，形成和发展数学建模素养。

情感目标：体验用数学的眼光看世界的过程，初步学会用函数的观点去观察和分析客观事物。

五、教学重难点教学重点：将实际问题转变成数学问题，结合数学模型分析案例；教学难点：分析数据预测规律，用数学的语言表达案例；六、数学核心素养数学抽象、数学建模、数据分析；七、教法分析本节课采用问题驱动式的教学方法。

在教学过程中的设问、点拨、启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究、相互交流来达到对新知识的发现和接受。

八、教学过程根据新课标的理念以及数学核心素养的要求，我把整个的教学过程分为五个阶段，即：1.情景设置，提出问题；2.学生建模，阐述方案；3.师生讨论，比较方案；4.自主探究，归纳性质；5.巩固落实，灵活运用。

函数的定义域；3能够在熟悉的情景中，发现问题并转化为数学问题，知道数学问题的价值与作用。

文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.《三次函数》教学设计一．教学内容解析三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材 . 本节课是在复习了函数（二次函数）和导数的基础上的一节高三复习探究课. 通过本节课的学习，有助于学生对导数知识的进一步理解和掌握.二．教学目标设置通过本节的学习，达到以下三个目标：1. 知识与技能（1）用函数的观点系统梳理三次函数的概念、图象等有关性质。

（2）利用三次函数的导数 ( 二次函数 ) 进一步研究三次函数的图象特征, 并准确记忆三次函数的图象及性质 .（3）掌握与三次函数有关的常见问题及解决办法，以及在此过程中所渗透的转化,分类讨论,数形结合等数学思想.2.过程与方法利用导数及二次函数的知识去研究三次函数的图象，进一步利用导函数与原函数图象间的关系来解决函数单调性、极值、最值、方程根的个数（图象的交点个数）、和恒成立问题.3. 情感态度价值观让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程，体会事物之间的内在联系.三．学生学情分析本节课是在学生学习了二次函数以及导数的基础上进行的扩展探究，是对导数知识的拔高训练，虽有一定的知识储备，但是仍有一定的理解难度.四．教学策略分析利用学生已有的知识去探究其未了解的知识，一切以学生的认知结构为出发点，去设置问题和选题 . 层层递进，由浅入深，引导并鼓励学生自己发现并解决问题.五．教学过程1.知识梳理定义 :形如 f ( x)ax 3bx 2cx d( a0) 的函数叫做三次函数.定义域R,值域 R.f '( x)3ax22bx c ,其中4(b23ac)a 000y y导函数图x1 Ox2 x O x0x yO x0x1原函 数图 象单调( , x 1 ),( x 2 ,) 单增区间(, )单增( x 1 , x 2 )单减极大值 f ( x 1 )极值无极值极小值 f ( x 2 )问题 1: 三次函数的导数与原函数图象特征的对应关系是什么 ?预设结果 :① 在 (a,b) 上 , f '( x)0 , 则 f ( x) 在 ( a, b) 上单调递增 ;f '( x) 0, 则 f ( x) 在 (a,b) 上单调递减 ;②当0 时 , 原函数都是单调的且无极值点 , 而 0 时 , 原函数都是有三个单调区间且有两个极值点 . 设计意图 : 是让学生更深刻的理解记忆二次导函数图象与原函数图象的关系.2. 基本应用例 1. 设函数 f ( x)x 3 2x 2 x 1, x R .（ 1）求函数 f ( x) 的单调区间和极值 ;（ 2）求函数 f ( x) 在 0,3 上的最大值 .解: f '( x) 3x 2 4x 1 ( x 1)(3x 1) 由导数图知 , x( , 1(1,) , f '(x) 0 , f ( x) 单增 ,) 或 x(13x ,1) , f '( x)0 , f ( x) 单减 ,3f ( x) 的单调递增区间为 (,1) , (1,) , 单调递减区间为 ( 1,1) .3 3又 f (1) 31 , f (1) 1.327131f ( x) 的极大值为f (f (1) 1 .), 极小值为3 27(2) 当 x(0, 1) , f '( x) 0 , f (x) 单增 ,3当 x(1,1) , f '( x) 0 , f ( x) 单减 ,3当 x(1,3) , f '( x)0 , f (x) 单增 ,f ( 1) 31 , f (3) 13 , f ( x)max f (3) 13.3 27设计意图 : 利用基本问题 , 巩固基本方法 .变式(1) 题干条件不变，分别讨论a 的取值范围 , 使得关于 x 的方程 f ( x) a有一个 , 两个，三个实根？(2) 若关于 x 的不等式 f ( x) a 在 0,3 上恒成立 , 求 a 的取值范围 .解:(1) 当 a 311 时 , 方程 f ( x)a 有一个根 ;或 a27当 a 31或 a 1 时 , 方程 f ( x) a 有两个根 ;27 31当 1 a方程 f ( x) a 有三个根 ;时 ,27(2)a f ( x)af ( x)max , 即 a 13 .问题 2:（1）请同学们总结求函数单调区间，极值，最大（小）值的一般处理方法 .①求单调区间a. 求 f '( x) ( 定义域 )b. 解不等式 f '( x)0, f '( x)c. 对应的解集为单调增减区间.②求极值a. 求 f '(x) ( 定义域 )b. 解方程 f '( x) 0c. 判断根两侧导数值符号 ③求函数最大 ( 小 ) 值 a. 求 f '(x) ( 定义域 )b.研究 f '( x) 在给定区间上图象情况,进而还原原函数图象c.找到最大 (小 ) 值（2）总结求方程根的个数问题的一般处理方法. 转化为直线与图象的交点问题 .（3）总结恒成立问题的一般处理方法.转化为求最值问题.设计意图 : 通过变式进一步巩固基本方法, 学生自己解决, 获得成就感 .3.拓展升华例 2. 已知函数 f ( x) x3ax2x 1,a R .（ 1）讨论函数 f ( x) 的单调区间；(2)设函数 f ( x) 在区间 2 ,1内是减函数，求 a 的取值范围.33问题 3: 该题目与例 1 有什么不同之处 ?如何转化求解 ?预设结果 : 例 2 系数中不含参数 , 本题含参 , 导致含参 , 使得f( x) 图象与 x 轴位置不确定 , 要通过讨论使之确定. 而第 (2) 问则要去限制二次导函数的图象, 用到一元二次方程根的分布 .设计意图 : 鼓励学生对含参问题进行研究, 深化学生的知识结构 .分析 : (1) f ( x)x 3ax 2x 1 ,则 f( x)3x 22ax 1 ,= 4a212中含参,则f(x) 图象与 x 轴位置不确定,则要对来分类讨论 .（ 2）需要限制二次导函数的图象 .解:①当0 ，3a 3 , f ' (x)0, f ( x) 单调增函数,单调增区间为 (,)②当0 令f ( x)0 ,此时x1a a 23x2a a 23显然 x2x1，由33导函数图象知，得出三次函数单调性.所以函数 f ( x) 的单调递增区间为(,aa23) 和(a a23 ,)单33调递减区间为 (a a 23,a a2 3 )33 (2)法一 :Q f ( x) 在区间 ( 2 ,1) 内是减函数,33文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .f '( x)0 在 ( 2 ,1) 恒成立 .3 3由导函数图象知 ,f '( 2 ) 0a734 a2,1f '( 0a2)3a 2 .法二 : f '( x) 3x22ax 10 在 ( 2 ,1) 上恒成立 ,33即 a3x 21 1(3 x 1 )令 g( x) 3x1 , 由对勾函数图象2x2xx得 ,g ( 2)7 , g( 1)4 , g(3)23,4 g( x) 2 3 ,323331g( x) 2 ,a 22例 3已知函数 f ( x)ax 33 x 21, x R . a0 , 若在区间11 上,22, 2f ( x) 0 恒成立 , 求 a 的取值范围 .问题 4: 函数 f ( x) 在区间1 1 上单调性如何 ?讨论的标准是什么 ?2, 2预设结果 : 同样都是含参的问题, 而此函数的导函数图象随着a 的确定基本可以确定 ,有两个不等实根 , 我们只需讨论区间端点与极值点的大小关系. 亦或者使参数分离转而求函数的最值 .设计意图 : 更深层的考查学生对知识的掌握情况 , 提高学生的转化问题应变能力 .解:法一:f ( x) ax 33x 21,x R , f ' ( x) 3ax 23x ,2a0. f '( x) 3ax( x1), 如图.11aⅰ ),即0 a 2 ,a2x1,0 , f ' ( x) 0, f ( x)单增 ,2x0, 1, f ' ( x) 0, f ( x)单减 .2f ( 1 ) 025 a 5,0 a 2 .f ( 1)2ⅱ )1 1,即 a 2 ,a 2x1,0 , f ' ( x)0, f ( x)单增 ,2x0,1, f ' ( x)0, f ( x)单减 ,ax1 , 1, f ' ( x) 0, f ( x)单增 ,a 2f ( 1 ) 021 2a5 ,2 a5 .2) 0f (a综上 , 0 a 5 .法二 :ax33 x 2 1 0 对于任意的 x [ 1,1]恒成立 .2 2 2当 x 0 时 , a R ;当 x (0, 1 ] 时 , a 3 1 ;2 2x x 3当 x [ 1 时 , a 3 1,0) 2x x 3 ;1 23t令 t , t ( , 2] U [2, ) , g(t )t 3 ,x3 , 2g '(t)3t 22当 t [2, ) 时 , g '( t) 0, g(t ) 单调递减 ,g (t )max g(2) 5, a 5 ;当 t (, 2] 时, g '( t) 0, g(t) 单调递减 ,g(t )ming( 2) 5, a5 ;5 a 5 . 又 Q a 0, 0 a 54. 梳理总结问题 5: 本节课你的收获有哪些？请你从知识、经验、问题、方法等方面进行总结.1、利用导数研究三次函数的图象和性质；2、利用图象与性质解决三次函数的几类问题:①单调性、极值、最值问题；②讨论三次方程根的问题；③恒成立问题.3、思想方法：数形结合 , 函数与方程，分类讨论，转化思想。

的条件吗？
追问：（1）函数 f (x) 恰有一个零点时，其图象有什么特点？函数解析式上又有什么特
征呢？用导数加以推证，你能得出各系数具有怎样的等量关系吗？
（2）类似的，你能写出函数 f (x) 恰有两个零点、三个零点的条件吗？
（3）你还发现什么？你是否尝试过将函数的解析式因式分解，对不同的零点情形，请
4 教学支持条件分析
函数图象的形状特征是研究函数性质的直观基础，而图形计算器在函数图象上具有卓越 的表现力．
本课借助 TI-Nspire CX-C CAS 图形计算器与 TI-NspireTM NavigatorTM 无线导航系统尝试 个性化的探究学习，引导学生探索函数图象的形状特征，在归纳推理中认识分类的标准、方 法及原则；同时，在对三次函数的单调性、极值、零点个数等问题的研究中，指导学生用图 形计算器进行观察、猜想、验证，培养学生的合情推理能力；从直观感知到严格论证的过程 中，训练思维的严谨性和深刻性，体会利用图形计算器研究数学问题的方法．
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) 具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，
其研究的过程和方法具有普适性、一般性和有效性，可以迁移到其他函数的研究中． 本课学习是以三次函数的图象的形状特征为主线，探索三次函数的单调性、极值、零点
个数等问题．其中需要学生自己确定研究的问题，构建研究的思路，设计研究的方法，获得 三次函数的图象与性质，在此过程中，体会数形结合、分类与整合、化归与转化等思想方法．因 此，本课的教学重点是在研究三次函数性质的过程中，进一步理解导数思想，巩固用导数研 究函数性质的方法．
5 教学过程设计
5.1 即时调查，引入课程
问题 1 已知 a ， b ， c R ，函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示，试写

3、思想方法： 数形结合 分类讨论 转化与化归 函数与方程
五、布置作业
1、已知函数 f (x) x3 bx2 cx d （ b,c, d 为常数），当 k (,0) (5, ) 时， f (x) k 0 只 有一个实数根；当 k (0,5) 时， f (x) k 0有 3 个相异实根，现给出下列 4 个命题：
a0
a0
0
图象 =0
0
三次函数的单调性、极值、最值
函
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0；a,b, c, d是常数)
数
b2 3ac 0
b2 3ac 0
f (x)
f (x)
图
象
x1
x2
极 值
极大值f (x1)，极小值f (x2 )
单 调
增区间：, x1 和 x2, +
人民教育出版社高中数学选修1-1第三章导数及其应用
三次函数的图象和性质
高二 文数 专题课
一、问题情景、引入课题
问题：请你画出下列函数的大致图像
1、f (x) x3 3x 2、f (x) 2x3 5 x2 x 1
2 3、f (x) 2x3 5 x2 x 3
2 4、f (x) x3 3x2 3x 1
二、自主探索，总结规律
1.类比二次函数，三次函数一般式是怎样？
形如：y ax3 bx2 cx d (a 0)
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
f (x) 3ax2 2bx c 4b2 12ac 4(b2 3ac)
二、自主探索，总结规律
函数
二次函数 y ax2 bx c(a 0；a,b,c是常数)
【变 1】已知函数 f x x3 3x ⑴求函数 f x 的单调区间及极值；⑵求 f x 在0,3 上的最值.

“三次函数的图象和性质”教学设计1、设计意图与学情分析三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材。

本节课是在复习“二次函数”基础上的一节高三复习探究课，学生已初步搭建起研究函数的基本平台，借助导数的工具来研究三次函数的图象和性质，符合学生的认知规律。

通过本节内容的教学，既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、函数极限、导数等相关知识，完善学生的知识结构，体会其中蕴涵的数学思想方法，同时也有利于扩展学生的数学视野，体验再发现和再创造的过程，发展学生独立获取数学知识的能力，提高学生应用所学知识解决问题的能力。

另外，作为高三复习教学，力求想走出简单重复与承袭过去的怪圈，三次函数在近几年全国各地高考及模拟试题中频繁出现，但教材和各种资料中往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。

2、教学目标与重点难点通过这节课的教学想达到下列三个目标：1）知识目标：让学生了解三次函数的概念、定义域、值域；能利用导数和二次函数等知识讨论三次函数的单调性，发现三次函数图象的对称性，进一步理解函数的单调性、对称性、极值，能利用图象来讨论三次方程实根的个数，体会分类讨论、数形结合、函数方程的数学思想方法。

2）能力目标：培养学生识图能力、探究能力和创新意识，提高运用所学知识解决问题的能力。

3）情感目标：让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程，鼓励学生勇于探索、设法寻到解决问题的方案，体验“再创造”的乐趣。

这节课的教学重点是讨论三次函数的单调性和相应三次方程实根的个数，发现三次函数图象的对称性，其中发现并验证三次函数图象的对称性是本节课的教学难点。

3、设计思想与教学方法这节课的设计强调学生主动探究式的学习方式，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验，注重培养学生的终生学习能力。

按建构主义观点，知识需要经过学习者自身体验，才能被有效地同化和顺应。

人教版b高中数学必修二教案教案主题：二次函数教学目标：学生能够理解二次函数的基本概念，掌握二次函数的图像、性质及相关公式的应用。

能够运用二次函数解决实际问题。

教学重点：二次函数的基本概念、图像、性质及相关公式的应用。

教学难点：二次函数的应用题目解决。

教学准备：教材、教学课件、板书、练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾一元二次方程的知识，让学生思考一下二次函数与一元二次方程之间的联系。

二、讲解二次函数的基本概念（15分钟）1. 教师介绍二次函数的定义，并让学生理解二次函数的概念。

2. 通过示例讲解二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，并解释a、b、c的含义。

三、讲解二次函数的图像和性质（20分钟）1. 教师利用教学课件展示二次函数的图像，并让学生观察二次函数的凹凸性和对称性。

2. 介绍二次函数的顶点、轴、零点等性质。

3. 教师通过实例演示如何求二次函数的顶点、轴、零点等相关信息。

四、讲解二次函数的相关公式的应用（20分钟）1. 介绍二次函数的平移、缩放等变换，以及相关的公式。

2. 教师通过实例演示如何应用这些公式解决问题。

五、解决应用题目（20分钟）1. 教师设计一些实际问题，让学生运用所学知识解决问题。

2. 学生进行个人或小组讨论，尝试解决问题。

六、总结与作业布置（5分钟）1. 教师总结本节课的教学内容，并强调重点和难点。

2. 布置作业：完成课后练习题，并准备下节课的复习材料。

教学反思：本节课通过讲解二次函数的基本概念、图像、性质及相关公式的应用，帮助学生全面理解二次函数的知识点，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。

同时，通过实际问题的解决，激发学生的学习兴趣，并提高他们的应用能力。

在今后的教学中，应注重练习题的设计，让学生通过大量练习巩固所学内容。

“三次函数的图象与性质”教学设计一、教学内容解析：三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。

三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，有着重要的地位，圉绕三次函数命制的试题，近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现，已成为高考数学的一人亮点，特别是文科数学。

因此学习和学握三次函数的基本性质很有必要。

但教材也没提及三次函数的这一概念，题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题，各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述°本节课是高三复习探究课，具体内容是：借助信息技术、通过儿何画板的操作生成关于三次函数的动态效果，从而以三次函数的图像的形状特征为主线，探究三次函数的单调性和极值问题，加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考，形成经验。

同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。

基于对教材的认识和分析，本节课的教学重点和难点分别确定为：重点：（1）探究系数a, b, c, d的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律；（2）根据图像探究三次函数的性质：单调性和极值。

难点：根据图像分析出三次函数的性质：单调性和极值。

二、教学目标设置：根据本节课的内容和地位，让学生通过这节课的教学达到下列三个目标：1、知识与能力：①加深对三次函数图像和性质的认识，学会利用三次函数解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。

②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。

③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。

2、过程与方法：通过对函数/（x） = ax' +Z7X2 +cx+d,（QHO）性质的研究，引导学生建立讨论函数性质的基本框架，知道函数性质的基本内容及其作用，常握研究函数性质的基本过程和方法。

3、情感态度与价值观：通过直观的图形和抽彖的函数性质的统一，培养学生的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养合作精神。

2014年全国高中数学 青年教师展评课 函数的单调性教学设计（新疆奎屯三中）一、 教学内容解析函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都要经历直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.二、教学目标按照教学大纲的要求，根据教材和学情，确定如下教学目标：1.从实际问题出发，使学生通过观察、思考，直观感知函数的单调性.通过探究，讨论函数图像的变化趋势与y 值随自变量x 的变化情况之间的关系.让学生体验“任意”二字的含义，将图形语言与自然语言建立联系.在此过程中培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯.2.从具体的二次函数2x y =在区间),0(+∞上为增函数入手，通过学生对“y 值随x 的增大而增大”的逐层深入认识，将自然语言转化为数学符号语言，教师再加以合理引导，顺利突破本课第一个难点。

使学生从形与数两方面理解增、减函数的概念，掌握运用函数图像和单调性的定义判断函数单调性的方法.在此，让学生领会数形结合的数学思想方法，经历从具体到抽象，从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.3．通过对增、减函数概念的深入挖掘，初步掌握证明函数单调性的方法与步骤，培养学生归纳、概括、抽象的能力和语言表达能力，提高学生的推理论证能力.三、学生学情分析学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，已具备了一定的观察事物能力和抽象思维能力，但对于感性思维向理性思维的过渡仍有一定的障碍，对于自然语言向符号语言的转化，学生会觉得比较困难.另外，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.四、重、难点分析重点：增、减函数概念的形成及单调性的初步应用.难点：增、减函数的概念形成以及根据定义证明函数的单调性.五、教学策略分析本节课是函数单调性的起始课，根据新课改的教学理念，结合本节课的教学内容和学生的认知水平，主要采用让学生自主探究、独立思考、合作交流、探究成果展示及教师启发引导的教学方式进行教学.同时使用多媒体辅助教学，增强直观性，提高教学效果和教学质量.在学生的学法上我重视让学生利用图形直观启迪思维，完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．六、教学过程（一）创设情境引例某品牌电热水壶，烧开一壶水需要6分钟，水开后自动断电，50分钟后冷却至室温.（1）你能描述一下，水温随时间的变化时如何变化的吗？（2）你能用图像表示出这种变化关系吗？（3）你能将“图像的变化趋势”与“水温随着时间的增加而变化”相结合起来吗？ 这是一个实际问题，在描述上述变化关系时，把定义域分成了两个区间去研究.函数图像上升、下降的趋势反应的是函数的一个基本性质------函数的单调性.（通过朴素的实际问题，让学生把增、减函数的图形语言与自然语言对应起来，同时为理解函数的单调性是函数的局部性质打下伏笔.）（二）自主探究1. 个人独立完成或学习小组合作完成.任意写出一个函数的解析式及定义域，画出草图，任意列出一些自变量和相应的函数值，将“图像的上升、下降趋势”与“y 值随x 的变化”结合起来.2.展示探究成果.探究成果预设：)(2R x x y ∈= }0{1≠=x x xyX<0 x>0。