事件的独立性教案

10.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。

发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

课程目标学科素养A.理解两个事件相互独立的概念．B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．C. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念2.教学难点：事件独立有关的概念的计算多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、探究新知前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积由知识回顾，提()A A B B AB AB()()()P A P AB P AB[]()()()(()1()P AB P A P AB P P A P B P ∴=-==-=AB根据概率的加法公式和事件独立性定义,得)AB AB)()P B P⋅++⨯0.10.2AB AB+AB P ABAB AB)()()+0.72P AB AB=：由于事件“至少有一人中靶根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶=0.020.98甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，与B 独立,进而.独立CABAB ，()1()P C P C1()()1[1()][1()]P A P B P A P B 1(10.6)(10.5)0.8三、达标检测1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16答案:B解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为23×1-34+1-23×34=23×14+13×34=212+312=512,故选B . 2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49 B.0.42C.0.7D.0.91解析:记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,且A ,B 相互独立.则恰有1人击中目标为A B 或A B ,所以只有1人击中目标的概率P=P (A B )+P (A B )=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42. 答案:B3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( ) A.1-a-b B.1-ab C.(1-a )(1-b ) D.1-(1-a )(1-b )答案:C解析:设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,且P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).4.已知A ,B 相互独立,且P (A )=14,P (B )=23,则P (A B )= . 答案:112解析:根据题意得,P (A B )=P (A )P (B )=P (A )(1-P (B ))=14×1-23=112. 5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 答案:0.98解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为1()10.50.550.60.835P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=0.8()P D >=所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.()()AB AB AB AB “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码可以用表示。

第２课时全概率公式、贝叶斯公式学习目标核心素养１．理解并掌握全概率公式．（重点）２．了解贝叶斯公式．（难点）３．会用全概率公式及贝叶斯公式解题．（易错点）１．通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养．２．借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养.有三个罐子，１号装有２红１黑球，２号装有３红１黑球，３号装有２红２黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．问题：如何求取得红球的概率？１．全概率公式（１）P（B）＝P（A）P（B|A）＋P（错误!）P（B|错误!）；（２）定理１若样本空间Ω中的事件A１，A２，…，A n满足：１任意两个事件均互斥，即A i A j＝∅，i，j＝１,２，…，n，i≠j；２A１＋A２＋…＋A n＝Ω；３P（A i）＞0，i＝１,２，…，n.则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA１＋BA２＋…＋BA n，且P（B）＝错误!＝错误!.思考：全概率公式体现了哪种数学思想？[提示] 全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可．２．贝叶斯公式（１）一般地，当0＜P（A）＜１且P（B）＞0时，有P（A|B）＝错误!＝错误!.（２）定理２若样本空间Ω中的事件A１，A２，…，A n满足：１任意两个事件均互斥，即A i A j＝∅，i，j＝１,２，…，n，i≠j；２A１＋A２＋…＋A n＝Ω；３１＞P（A i）＞0，i＝１,２，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P（A j|B）＝错误!＝错误!.拓展：贝叶斯公式充分体现了P（A|B），P（A），P（B），P（B|A），P（B|错误!），P（AB）之间的转化．即P（A|B）＝错误!，P（AB）＝P（A|B）P（B）＝P（B|A）P（A），P（B）＝P（A）P（B|A）＋P（错误!）P（B|错误!）之间的内在联系．１．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）P（A）＝P（B）P（A|B）＋P（错误!）P（A|错误!）．（）（２）P（B）＝P（A）P（B|A）＋P（A）P（错误!|A）．（）（３）P（A|B）＝错误!＝错误!. （）[答案] （１）√（２）×（３）×２．已知事件A，B，且P（A）＝错误!，P（B|A）＝错误!，P（B|错误!）＝错误!，则P（B）等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!C[P（B）＝P（A）P（B|A）＋P（错误!）P（B|错误!）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.故选Ｃ．]３．一袋中装有大小、形状均相同的５个球，其中２个黑球，３个白球，从中先后不放回地任取一球，则第二次取到的是黑球的概率为________．错误![设事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，由古典概型可知P（A）＝错误!，P（B|A）＝错误!，P（B|错误!）＝错误!.则P（B）＝P（AB）＋P（错误!B）＝P（A）P（B|A）＋P（错误!）P（B|错误!）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.]４．对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时，其合格率为５５%. 每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为9５%.则已知某日早上第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率约是________．0.97 [设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”．P（A|B）＝0．98，P（A|错误!）＝0．５５，P（B）＝0．9５，P（错误!）＝0．0５，所求的概率为P（B|A）＝错误!≈0．97．]全概率公式及其应用（１）从甲箱中任取２个产品，求这２个产品都是次品的概率；（２）若从甲箱中任取２个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．[解] （１）从甲箱中任取２个产品的事件数为C错误!＝错误!＝２8，这２个产品都是次品的事件数为C错误!＝３．∴这２个产品都是次品的概率为错误!.（２）设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B１为“从甲箱中取出２个产品都是正品”，事件B２为“从甲箱中取出１个正品１个次品”，事件B３为“从甲箱中取出２个产品都是次品”，则事件B１、事件B２、事件B３彼此互斥．P（B１）＝错误!＝错误!，P（B２）＝错误!＝错误!，P（B３）＝错误!＝错误!，P（A|B１）＝错误!，P（A|B２）＝错误!，P（A|B３）＝错误!，∴P（A）＝P（B１）P（A|B１）＋P（B２）P（A|B２）＋P（B３）P（A|B３）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.通过本例我们发现，当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把A事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.错误!１．１号箱中有２个白球和４个红球，２号箱中有５个白球和３个红球，现随机地从１号箱中取出一球放入２号箱，然后从２号箱随机取出一球，问：（１）从１号箱中取出的是红球的条件下，从２号箱取出红球的概率是多少？（２）从２号箱取出红球的概率是多少？[解] 记事件A：最后从２号箱中取出的是红球；事件B：从１号箱中取出的是红球．P（B）＝错误!＝错误!，P（错误!）＝１—错误!＝错误!.（１）P（A|B）＝错误!＝错误!.（２）∵P（A|错误!）＝错误!＝错误!，∴P（A）＝P（AB）＋P（A错误!）＝P（A|B）P（B）＋P（A|错误!）P（错误!）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.贝叶斯公式及其应用的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有１%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0．５%.若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？[解] 设A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种疾病”，则P（A）＝P（B）·P（A|B）＋P（错误!）·P （A|错误!）＝0．５%×9５%＋99．５%×１%＝１．４7%.所以P（B|A）＝错误!＝错误!＝３２．３%.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算P（A），即P（A）＝错误!P（B i）P（A|B i）；第二步：计算P（AB），可利用P（AB）＝P（B）P（A|B）求解；第三步：代入P（B|A）＝错误!求解．错误!２．某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的１５%、２0%、３0%、３５%，又这四条流水线的不合格品率依次为0．0５、0．0４、0．0３及0．0２，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？[解] 设A i＝第i条流水线生产的产品，i＝１,２,３,４；B＝抽到不合格品，∴P（A１）＝0．１５；P（A２）＝0．２0；P（A３）＝0．３0；P（A４）＝0．３５．∴P（B|A１）＝0．0５；P（B|A２）＝0．0４；P（B|A３）＝0．0３；P（B|A４）＝0．0２，（１）P（B）＝错误!P（A i）P（B|A i）＝0．0３１５．（２）P（A４|B）＝错误!≈0．２２２２．全概率公式与贝叶斯公式的综合应用贝叶斯公式的实质是什么？[提示] 贝叶斯公式实质上是条件概率公式P（B i|A）＝错误!，P（B i A）＝P（B i）·P（A|B i），全概率公式P（A）＝错误!P（B i）P（A|B i）的综合应用．【例３】假定具有症状S＝{S１，S２，S３，S４}的疾病有d１，d２，d３三种，现从２0 000份患有疾病d１，d２，d３的病历卡中统计得到下列数字：疾病人数出现S症状人数d１7 7５07 ５00d２５２５４２00d３7 000３５00试问当一个具有S据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？[解] 以A表示事件“患有出现S中的某些症状”，D i表示事件“患者患有疾病d i”（i＝１,２,３），由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知P（D１）＝错误!＝0．３87 ５，P（D２）＝错误!＝0．２6２５，P（D３）＝错误!＝0．３５，P（A|D１）＝错误!≈0．967 7，P（A|D２）＝错误!＝0．8，P（A|D３）＝错误!＝0．５．从而P（A）＝P（A|D１）P（D１）＋P（A|D２）P（D２）＋P（A|D３）P（D３）＝0．３87 ５×0．967 7＋0．２6２５×0．8＋0．３５×0．５≈0．76．由贝叶斯公式得P（D１|A）＝错误!＝错误!≈0．４9３４，P（D２|A）＝错误!＝错误!≈0．２76 ３，P（D３|A）＝错误!＝错误!≈0．２３0 ３，从而推测病人患有疾病d１较为合理．若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：１如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；２如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.错误!３．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0．9５、0．90、0．80，三家产品数所占比例为２∶３∶５，将三家产品混合在一起．（１）从中任取一件，求此产品为正品的概率；（２）现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？[解] 设事件A表示“取到的产品为正品” ，B１，B２，B３分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，由已知P（B１）＝0．２，P（B２）＝0．３，P（B３）＝0．５，P（A|B１）＝0．9５，P（A|B２）＝0．9，P（A|B３）＝0．8．（１）由全概率公式得：P（A）＝错误!P（B i）P（A|B i）＝0．２×0．9５＋0．３×0．9＋0．５×0．8＝0．86．（２）由贝叶斯公式得P（B１|A）＝错误!＝错误!≈0．２２0 9，P（B２|A）＝错误!＝错误!≈0．３１４0，P（B３|A）＝错误!＝错误!≈0．４6５１．由以上３个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．１．全概率公式P（B）＝错误!P（A i）P（B|A i）在解题中体现了化整为零的转化化归思想．２．贝叶斯概率公式反映了条件概率P（B|A）＝错误!，全概率公式P（A）＝错误!P（B i）P（A|B i）及乘法公式P（AB）＝P（B）P（A|B）之间的关系．即P（B j|A）＝错误!＝错误!＝错误!.１．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0．３，0．２,0．１,0．４，迟到的概率分别为0．２５,0．３,0．１,0．则他迟到的概率为（）Ａ．0．6５Ｂ．0．07５Ｃ．0．１４５Ｄ．0C[设A１＝他乘火车来，A２＝他乘船来，A３＝他乘汽车来，A４＝他乘飞机来，B＝他迟到．易见：A１，A２，A３，A４构成一个完备事件组，由全概率公式得P（B）＝错误!P（A i）P（B|A i）＝0．３×0．２５＋0．２×0．３＋0．１×0．１＋0．４×0＝0．１４５．]２．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0．0４，第二台的废品率为0．07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的２倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（）Ａ．0．２１Ｂ．0．06Ｃ．0．9４Ｄ．0．9５D[令B＝取到的零件为合格品，A i＝零件为第i台机床的产品，i＝１,２．由全概率公式得：P（B）＝P（A１）P（B|A１）＋P（A２）P（B|A２）＝错误!×0．96＋错误!×0．9３＝0．9５．故选Ｄ．]３．某小组有２0名射手，其中一、二、三、四级射手分别有２、6、9、３名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0．8５、0．6４、0．４５、0．３２，今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为________．0.５２7 ５[设B＝{该小组在比赛中射中目标}，A i＝{选i级射手参加比赛}，（i＝１,２,３,４）．由全概率公式，有P（B）＝错误!P（A i）P（B|A i）＝错误!×0．8５＋错误!×0．6４＋错误!×0．４５＋错误!×0．３２＝0．５２7 ５．]４．袋中有１0个黑球，５个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出３点的概率为________．0.0４8３５[设B＝{取出的球全是白球}，A i＝{掷出i点}（i＝１,２，…，6），则由贝叶斯公式，得P（A３|B）＝错误!＝错误!＝0．0４8 ３５．]５．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为错误!，错误!，错误!.现从这三个地区任抽取一个人．（１）求此人感染此病的概率；（２）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．[解] 设A i＝第i个地区，i＝１,２,３；B＝感染此病∴P（A１）＝错误!；P（A２）＝错误!；P（A３）＝错误!.∴P（B|A１）＝错误!；P（B|A２）＝错误!；P（B|A３）＝错误!.（１）P（B）＝错误!P（A i）P（B|A i）＝错误!≈0．１98，（２）P（A２|B）＝错误!＝错误!≈0．３３7．。

2024年华东师大版七年级下册数学教案全册一、教学内容1. 第五章：相交线与平行线第一节：平行线的判定第二节：平行线的性质第三节：相交线与平行线在实际中的应用2. 第六章：概率初步第一节：可能性第二节：概率的计算第三节：事件的独立性二、教学目标1. 理解并掌握平行线的判定方法及性质，能运用到实际问题中。

2. 掌握概率的基本概念，会进行简单的概率计算。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：平行线的判定与性质的应用；概率的计算。

2. 教学重点：平行线的判定方法；概率的基本概念。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，PPT课件，直尺，量角器。

2. 学具：练习本，铅笔，直尺，量角器。

五、教学过程1. 引入：通过PPT展示生活中常见的相交线与平行线现象，激发学生学习兴趣。

2. 新课导入：（2）平行线的性质：通过实例分析，引导学生发现平行线的性质。

（3）概率初步：通过摸球游戏等实践活动，让学生感受可能性与概率。

3. 例题讲解：针对每个知识点，讲解典型例题，引导学生掌握解题方法。

4. 随堂练习：设计有针对性的练习题，巩固所学知识。

六、板书设计1. 平行线的判定同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行2. 平行线的性质平行线之间的距离相等同位角相等，内错角相等，同旁内角互补3. 概率初步可能性概率的计算事件的独立性七、作业设计1. 作业题目：A. 同位角相等，两直线平行B. 内错角相等，两直线不平行C. 同旁内角互补，两直线垂直A. 从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是多少？B. 一袋糖果中有3个红色糖果，2个绿色糖果，5个黄色糖果，随机抽取一个，抽到黄色糖果的概率是多少？2. 答案：（1）A正确，B错误，C错误。

（2）A. 1/4；B. 5/10。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生掌握了平行线的判定与性质，了解了概率的基本概念，但在实际应用中还需加强练习。

概率的积,则事件,为相互独立事件.
2.求两个相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定两个事件是相互独立的;
（2）确定两个事件可以同时发生;
（3）求出每个事件发生的概率,再求积.
变式题（1）
（多选题）[2023·新课标Ⅱ卷] 在信道内传输0，1信号，信号
的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为 0 < < 1 ，收到0的概率为1 − ；
由相互独立事件的概率公式得，所求概率为 1 −
2 ，故B正确.
对于C，采用三次传输方案，发送1，1，1，收到的译码为1，
则收到的信号可能为 1,1,0 ， 1,0,1 ， 0,1,1 ， 1,1,1 ，
故所求概率为3ሺ1 −
2
ሻ
+ 1−
3 ，故C错误.
对于D，若采用三次传输方案，发送0，收到的译码为0，
5
1 2
别为 ， ，则该谜题被破解的概率为___.
6
2
3
[解析] 设“甲独立地破解出该谜题”为事件，“乙独立地破解出该谜题”为事件，
“该谜题被破解”为事件，且事件与相互独立，
则 = 1 − = 1 − 1 −
1
2
× 1−
2
3
=
5
.
6
3.［教材改编］
交通部门对某地上、下班时间拥堵状况统计调查，发现该地区上
4.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
◆ 知识聚焦 ◆
1.事件的相互独立性
（1）定义：对任意两个事件与,如果

=____________成立,则称事件与
事件相互独立.
（2）判断方法：
①根据定义；

第6讲事件的独立性——教案
1. 课程目标：
（1）引导学生了解事件的独立性的概念，理解不同的事件之间的关联性和影响；
（2）培养学生分析复杂关系的能力，能够灵活运用；
2. 教学过程
（1）复习：复习课堂讨论中讨论出的相关概念。

（2）介绍：介绍事件独立性的概念，以及不同事件之间的关联性和影响，让学生了解事件独立性的重要性。

（3）活动：让学生先利用课堂中讨论过的概念来尝试解决一些事件独立性的问题，以培养学生分析复杂关系的能力。

（4）复习：做一个总结，复习课堂上讨论的概念，并对事件独立性进行综合讨论，促使学生更好地掌握。

3. 教学方式
（1）复习：由学生复述总结，锻炼学生思维能力，激发学生发表见解。

（2）介绍：教师利用PPT和课后材料，对相关内容进行讲解，以便学生有效地听取知识和概念，并深入了解。

（3）活动：教师准备事件独立性的案例以及一些桥梁游戏或拼图等活动，让学生进行实践，进而深入理解事件独立性的概念。

（4）复习：教师分享一些综合实践案例，让学生从另一种角度思考和学习事件独立性的重要性，学会如何运用和分析复杂关系。

4. 教学反思
本次课程的重点是学习了解事件的独立性。

课堂上的讨论激发了同学们发挥的热情，有效地开发学生发散思维能力，扩大学生对事件独立性的理解，提高了学生分析、理解复杂现象的能力。

(一) 复习引入问题1：三个臭皮匠能顶一个诸葛亮吗？诸葛亮一人组成的团队PK臭皮匠三人组成的团队，他们解决同一个问题的概率分别为：诸葛亮解决问题的概率为0.85；臭皮匠老大解决问题的概率为0.5,老二为0.4,老三为0.3,要求臭皮匠团队成员必须独立解决，三人中至少有一人解决问题就算团队胜出，问臭皮匠团队与诸葛亮团队谁的胜算比较大？臭皮匠团队的亲友团做了如下的解释，设事件A：臭皮匠老大能解决问题；事件B：臭皮匠老二能解决问题；事件C：臭皮匠老三能解决问题；则臭皮匠团队能胜出的概率为P=P（A）+P（B）+P（C）=0.5+0.45+0.4=1.35，所以臭皮匠团队必胜。

你认为这种计算方法合理吗？教师提问，让学生利用已有知识对臭皮匠亲友团的回答做出是否正确的判断。

将我们的俗语改编成题，激发学生学习兴趣，同时引出本节主要内容：事件的独立性。

课题2.2.2 事件的相互独立性课时 1 授课时间主备人：教学目标知识与技能了解相互独立事件的概念，初步掌握用定义判断某些事件是否相互独立，能区分互斥事件与相互独立事件。

了解相互独立事件同时发生的概率的乘法公式，会运用此公式计算一些简单的概率问题。

过程与方法：经历概念的形成及公式的探究、应用过程，培养学生观察、分析、类比、归纳的能力，培养学生自主学习的能力与探究问题的能力。

情感态度与价值观：通过设置恰当而有趣的课前引例，激发学生学习本小节知识的兴趣，通过小组合作学习让学生体会合作学习的乐趣教学准备ppt重点难点教学重点：了解相互独立事件的概念，如何求相互独立事件都发生的概率。

教学难点：公式的推导与应用。

教师活动学生活动设计意图。

高中数学课程12.2.2 事件的独立性【教学目标】①了解两个事相互独立的概念，掌握相互独立事件的概率公式，并能应用公式解决简单的问题；②通过相互独立事件及其概率的计算，进一步熟悉概率的计算方法，提高运用数学解决实际问题的能力.【教学重点】 独立事件同时发生的概率【教学难点】 有关独立事件发生的概率计算一、 课前预习1.复习回顾：①不可能事件：______________________________②必然事件：________________________________③随机事件：________________________________④互斥事件（或互不相容事件）:______________________________________ ⑤对立事件：___________________________________⑥事件A 与B 的交（或积）：______________________2.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率_________,即______________,则称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.3.当事件A ，B 相互独立时，A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.4.两个相互独立事件同时发生的概率公式为：._________)( B A P推广：____________________________________________________________二、 课上学习高中数学课程2 例1、甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率;（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？三、课后练习1.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率为___________2.加工某一零件需在流水线上经过两道工序，两道工序分别出次品的概率为0.02与0.03，则这条流水线上出来的产品是次品的概率是____________.3.甲射击命中目标的概率为21，乙命中目标的概率为31，丙命中目标的概率为41，现在三人同时射击目标，则恰有一人击中目标的概率为_________,目标被击中的概率为_____________.4.如图，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是___________。

2．2．2事件的相互独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。

过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。

教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n =8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.720.28P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅ [][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦） 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除CJ 开且A J 与B J 至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2． （1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=5)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得110.313lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴11n =∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320 ()B 15 ()C 25()D 920 2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ）()A 35192 ()B 25192 ()C 35576 ()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132 (2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅= 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。

2024年全国教学能力比赛获奖标准教案一、教学内容本节课选自《新概念数学》第五章“概率论与数理统计”第三节“事件独立性及其应用”。

具体内容包括：事件独立性定义，条件概率，独立事件计算方法，以及在现实生活中应用案例。

二、教学目标1. 知识与技能：使学生理解并掌握事件独立性概念，能够运用条件概率和独立事件计算方法解决实际问题。

2. 过程与方法：培养学生运用数学知识解决实际问题能力，提高学生逻辑思维和分析能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学兴趣，培养学生合作意识和团队精神。

三、教学难点与重点教学难点：理解并运用条件概率和独立事件计算方法。

教学重点：事件独立性概念及其在实际问题中应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，PPT课件，黑板，粉笔。

2. 学具：教材，《新概念数学》第五章，课堂练习本，计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用PPT展示一个现实生活中案例：在一次足球比赛中，甲队队员A和B分别射门成功概率是0.6和0.8，如果A射门成功，B射门成功概率是多少？2. 例题讲解（15分钟）讲解条件概率和独立事件计算方法，通过分析案例，引导学生理解事件独立性。

3. 随堂练习（10分钟）学生独立完成课堂练习，巩固所学知识。

4. 小组讨论（10分钟）学生分组讨论，共同解决一个实际问题，培养学生合作意识和团队精神。

六、板书设计1. 条件概率定义2. 独立事件定义3. 独立事件计算方法4. 应用案例七、作业设计1. 作业题目（1）已知事件A概率为0.3，事件B概率为0.4，且A与B独立。

求：（a）事件A与B同时发生概率；（b）事件A不发生，但事件B发生概率。

（2）甲、乙两人参加乒乓球比赛，甲赢概率为0.7，乙赢概率为0.6。

假设两人比赛互不影响，求甲、乙两人各自赢一场概率。

2. 答案（1）(a) 0.12 (b) 0.28（2）0.42八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：鼓励学生利用所学知识，观察生活中事件独立性现象，尝试用数学知识解决实际问题。

6.2.1抛图钉试验（教案）
一、教学内容
本节课选自教科书第6章《概率与统计》第2节“事件的独立性”，具体内容为6.2.1抛图钉试验。教学内容主要包括以下部分：
1.抛图钉试验的原理与目的：让学生了解抛图钉试验是用来验证事件独立性的一个实验，通过实际操作，观察并分析图钉正反面朝上的概率。
2.抛图钉试验的步骤：指导学生按照以下步骤进行试验：
2.概率与统计观念：使学生理解概率的基本概念，通过抛图钉试验，让学生感悟到随机事件的发生具有不确定性和规律性，形成正确的统计观念。
3.逻辑推理：训练学生运用逻辑思维分析事件独立性，培养学生从具体实例中抽象出一般规律的能力，提高学生的逻辑推理素养。
4.问题解决：培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，通过抛图钉试验的案例分析，激发学生的探究欲望，提高学生的问题解决能力。
五、教学பைடு நூலகம்思
在今天的课堂上，我们学习了抛图钉试验，探讨了事件独立性的概念和应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。
首先，抛图钉试验这个实验操作对于学生们来说，是一个很好的实践机会，让他们亲自体验事件独立性的验证过程。我发现，在试验过程中，大部分学生都能积极参与，认真观察和记录数据。但也有部分学生对试验步骤不够熟悉，导致数据记录出现混乱。因此，在以后的实验教学中，我需要更加注重对学生实验操作步骤的讲解和指导，确保他们能够熟练掌握。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《抛图钉试验》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过一些看似无关的事件却反复发生在一起的情况？”（例如，抛硬币正面朝上时，骰子也恰好显示出较大的数字）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索事件独立性的奥秘。

事件的相互独立各位评委、各位老师，大家好。

我是张彬今天，我说课的内容是《事件的相互独立》。

下面我将从教材分析、核心素养及教学目标、教学的重难点、学情分析、教法与学法、教学过程、教学反思七个方面来说解。

一、教材分析本节选自人教版A版必修二的第十章第二节。

在已学古典概型，互斥事件和对立事件的基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，它的主要作用是简化概率计算、相互独立事件同时发生的概率是典型的概率模型。

将复杂问题分解为这种基本形式，是处理概率问题的基本方法。

同时为伯努利试验和二项分布的学习作铺垫.因此，本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材。

高考方向⼆、核心素养及教学目标根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下核心素养角度：1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念确定本节课的教学目标1.了解独立性的概念, 从对独立性的感性认识 (直观判断) 过渡到独立性的定义2. 了解并会应用独立性的判定 P (AB) =P (A)P (B)3. 会对实例进行分析，应用独立性性质对概率问题的解决和应用.三、教学的重难点1、教学重点：独立事件同时发生的概率2、教学难点：独立事件的判定及概率计算我通过“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”的概率故事，引起学生兴趣，并利用独立性概念的判定 P (AB) =P (A)P (B) ，用小组讨论发现其中存在的问题，求出独立事件发生的概率。

再通过课堂练习和课后练习，加深对独立事件公式的理解和应用四、学情分析1学习状况：学生已经学习和了解了古典概型，互斥事件，对立事件2学生情况：学生对独立性有了感性认识学习，对独立性的定义这样抽象的理论难免会存在无法完全接受的现象，但是总体还是乐观学习3解决对策：通过实际例子直观理解、激发兴趣、分层兼顾五、教法与学法1、教法：在教学过程中，不仅仅要使学⽣“知其然”，还要使学⽣“知其所以然”。

第五节 事件的独立性内容分布图示★ 引例★ 两个事件的独立性★ 例1★ 关于事件独立性的判断 ★ 有限个事件的独立性 ★ 相互独立性的性质★ 例2★ 例3★ 例4★ 例5★ 伯努利概型★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 例10 ★ 例11★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-5内容要点：一、 两个事件的独立性定义 若两事件A ,B 满足)()()(B P A P AB P = (1)则称A ,B 独立, 或称A ,B 相互独立.注: 当0)(>A P ,0)(>B P 时, A ,B 相互独立与A ,B 互不相容不能同时成立. 但∅与S 既相互独立又互不相容(自证).定理1 设A ,B 是两事件, 且0)(>A P ,若A ,B 相互独立, 则)()|(A P B A P =. 反之亦然.定理2 设事件A ,B 相互独立,则下列各对事件也相互独立:A 与B ,A 与B ,A 与B .二、有限个事件的独立性定义 设C B A ,,为三个事件, 若满足等式),()()()(),()()(),()()(),()()(C P B P A P ABC P C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ====则称事件C B A ,,相互独立.对n 个事件的独立性, 可类似写出其定义:定义 设n A A A ,,,21 是n 个事件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称n A A A ,,,21 两两独立.三、 相互独立性的性质性质1 若事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则其中任意)1(n k k ≤<个事件也相互独由独立性定义可直接推出.性质2 若n 个事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则将n A A A ,,,21 中任意)1(n m m ≤≤个事件换成它们的对立事件, 所得的n 个事件仍相互独立;对2=n 时，定理2已作证明, 一般情况可利用数学归纳法证之，此处略. 性质3设n A A A ,,,21 是n )2(≥n 个随机事件，则 n A A A ,,,21 相互独立←/→ n A A A ,,,21 两两独立.即相互独立性是比两两独立性更强的性质,四、伯努利概型设随机试验只有两种可能的结果: 事件A 发生(记为A ) 或 事件A 不发生(记为A ), 则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验. 设),10(,1)(,)(<<-==p p A P p A P将伯努利试验独立地重复进行n 次, 称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验, 或简称为伯努利概型.注: n 重伯努利试验是一种很重要的数学模型, 在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:事件A 在每次试验中发生的概率均为p ,且不受其他各次试验中A 是否发生的影响.定理3（伯努利定理） 设在一次试验中,事件A 发生的概率为),10(<<p p 则在n 重贝努里试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为).,,1,0(,)1(}{n k p p C k X P k n kk n =-==-推论 设在一次试验中,事件A 发生的概率为),10(<<p p 则在n 重贝努里试验中, 事件A 在第k 次试验中的才首次发生的概率为).,,1,0(,)1(1n k p p k =--注意到“事件A 第k 次试验才首次发生”等价于在前k 次试验组成的k 重伯努利试验中“事件A 在前1-k 次试验中均不发生而第k 次试验中事件A 发生”,再由伯努利定理即推得.例题选讲：两个事件的独立性例1 (讲义例1)从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记=A {抽到K }, =B {抽到的 牌是黑色的}, 问事件A 、B 是否独立?注：从例1可见, 判断事件的独立性, 可利用定义或通过计算条件概率来判断. 但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.解一利用定义判断. 由,131524)(==A P ,215226)(==B P ,261522)(==AB P。

高二数学《事件的独立性》教学案一、教学目标（1）正确理解相互独立事件的概念，初步掌握用定义判断某些事件是否相互独立，能区分互斥事件与相互独立事件。

（2）掌握相互独立事件都发生的概率的乘法公式，会运用此公式计算一些简单的概率问题。

二、教学重点与难点重点：相互独立事件的概念及都发生的概率公式。

难点：对相互独立事件的理解。

用概率公式解决实际问题。

三、教学过程（一）、温故知新（大约5分钟）1、什么是条件改率；2、事件A与B交或积的定义；3、条件概率公式。

4、在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮鸡蛋，两个白皮鸡蛋，每次取一个，有放回地取两次:(1)求在第一次取到红鸡蛋的前提下，第二次取到红皮鸡蛋的概率;(2)求在第一次没有取到红鸡蛋的前提下，第二次取到红皮鸡蛋的概率。

（前三问同位互查，第四问学生在学案上写出，对照课本校正。

引出课题）（二）、概念的形成与深化（大约10分钟）1、定义：相互独立与相互独立事件一般地，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)=P(B)，我们称事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.思考:(1) 独立事件与互斥事件的区别?(2)当P(A|B)=P(A)时，能否称事件A，B相互独立？(3)如何求两个相互独立事件都发生的概率?（引导学习小组讨论交流，学生口答，补充。

）练习：判断下列事件哪些是相互独立的?①袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.③篮球比赛的“罚球两次”中。

思考：（1）判断相互独立事件的方法？（2）若事件A与B相互独立，那，，是否相互独立？（引导学习小组讨论交流，学生口答，补充。

）2、n个事件相互独立与相互独立事件）定义： n个事件相互独立一般地，对于n个事件A１， A２，…， An, 如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A１，A２，…， An相互独立．n个相互独立事件都发生的概率：（引导学生阅读课本。

事件的独立性教案教案标题：培养学生独立思考能力——事件的独立性教案教学目标：1. 帮助学生理解事件的独立性概念。

2. 培养学生独立思考和解决问题的能力。

3. 提升学生的批判性思维和分析能力。

教学内容：1. 介绍事件的独立性概念。

2. 探讨事件的独立性对个人和社会的重要性。

3. 引导学生学会独立思考和解决问题的方法。

教学步骤：引入活动：1. 创设情境，例如：让学生回忆一次他们独自完成的重要任务或解决的问题，并分享经验。

导入概念：2. 介绍事件的独立性概念，并提供简单的定义和例子。

- 事件的独立性是指能够独立思考、做出决策和解决问题的能力。

- 例如，一个学生独自完成一项作业，不依赖他人的帮助和指导。

探讨事件的独立性的重要性：3. 引导学生讨论事件的独立性对个人和社会的重要性。

- 个人层面：独立思考和解决问题能够培养学生的自信心和自主性，提高个人学习和生活的能力。

- 社会层面：独立思考和解决问题能够培养社会的创新力和发展潜力，推动社会进步。

培养学生独立思考和解决问题的能力：4. 提供学生独立思考和解决问题的方法和技巧。

- 鼓励学生提出问题，并自己寻找答案。

- 引导学生进行逻辑思考和分析，帮助他们找到解决问题的最佳途径。

- 培养学生的批判性思维，让他们能够评估信息的可靠性和真实性。

练习与巩固：5. 提供一些与事件的独立性相关的案例，让学生进行讨论和分析。

- 例如，让学生分析一个学生独自完成的科学实验，探讨他们在实验设计和结果分析中的独立性。

- 鼓励学生提出自己的观点和解决问题的方法，并与同学进行讨论和交流。

作业：6. 布置作业，要求学生选择一个与他们生活相关的问题，并独立思考和解决该问题，并在下节课上分享经验和成果。

扩展活动：7. 鼓励学生参与实践活动，例如学生社团、志愿者活动等，培养他们的团队合作和独立思考能力。

评估：8. 观察学生在讨论和分析中的参与度和表现。

9. 评估学生在作业中独立思考和解决问题的能力。

事件独立性教案标题：培养学生的事件独立性教案教案目标：1. 帮助学生理解事件独立性的概念和重要性。

2. 培养学生在面对不同事件时独立思考、决策和行动的能力。

3. 提供学生实践和应用事件独立性的机会，以加强他们的自信心和自主性。

教学准备：1. PowerPoint演示文稿或白板和标记工具。

2. 学生练习活动的工作表。

3. 与事件独立性相关的案例研究或故事。

教学过程：引入（5分钟）：1. 使用一个真实的案例或故事来引起学生对事件独立性的兴趣。

例如，讲述一个年轻人如何独立决定参加一次志愿者活动，并从中学到了很多。

2. 提出问题引导学生思考：“你认为什么是事件独立性？为什么它对我们的生活和成长很重要？”概念讲解（10分钟）：1. 使用PPT演示或白板，解释事件独立性的概念：独立思考、决策和行动的能力，不依赖他人的指导或干预。

2. 强调事件独立性对学生的重要性，如培养自信心、创造力和解决问题的能力。

案例分析（15分钟）：1. 分发案例研究或讲述一个与学生生活相关的故事，其中包含需要做出独立决策的情境。

2. 要求学生小组合作，讨论并提出解决方案。

鼓励他们思考可能的后果和利弊。

3. 邀请每个小组分享他们的解决方案，并引导讨论不同的观点和方法。

个人练习（15分钟）：1. 分发学生练习活动的工作表，其中包含一些需要学生独立思考和行动的情境。

2. 学生独立完成活动，并在完成后与同伴交流他们的答案和思考过程。

3. 教师巡视并提供必要的指导和反馈。

总结（5分钟）：1. 强调学生在培养事件独立性方面的进展和重要性。

2. 鼓励学生在日常生活中寻找更多的机会来展示和发展他们的事件独立性。

3. 提供额外资源或阅读材料，以帮助学生进一步了解和发展他们的事件独立性。

扩展活动：1. 邀请学生参与一个小组项目，要求他们在团队合作的同时也展示他们的事件独立性。

2. 组织一个模拟情境活动，让学生在一个虚拟环境中面对不同的决策和行动选择。

评估：1. 观察学生在小组讨论中的积极参与和对案例的分析能力。

事件的相互独立性整体设计教材分析概率论是研究和揭示随机现象规律性的数学分支．它的理论和方法渗透到现实世界的各个领域，应用极为广泛．而在概率论中，独立性是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算．相互独立事件同时发生的概率与前面学习的等可能性事件、互斥事件有一个发生的概率，是三类典型的概率模型．将复杂问题分解为这三种基本形式，是处理概率问题的基本方法．因此，本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材．在本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景，为下一节起铺垫作用．课时分配1课时教学目标知识与技能理解两个事件相互独立的概念，能进行与事件独立性有关的概率的计算．过程与方法通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，提高解决实际问题的能力．情感、态度与价值观通过对实例的分析，问题的探究，学会合作，提高学习数学的兴趣．重点难点教学重点：独立事件同时发生的概率．教学难点：有关独立事件发生的概率计算．教学过程引入新课我们知道求事件的概率有加法公式：若事件A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．那么怎么求A与B的积事件AB呢？回顾旧知：1．事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的和事件，记为A∪B(或A＋B)；2．事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件，记为A∩B(或AB)；如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．提出问题：甲果盘里有3个苹果，2个橙子，乙果盘里有2个苹果，2个橙子，从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果的概率是多少？活动结果：不妨设事件A：“从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果”；事件B：“从乙果盘里摸出1个水果，得到苹果”．“从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作AB.(简称积事件)从甲果盘里摸出1个水果，有5种等可能的结果；从乙果盘里摸出1个水果，有4种等可能的结果．于是从这两个果盘里分别摸出1个水果，共有5×4种等可能的结果．同时摸出苹果的结果有3×2种．所以从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果的概率P(AB)＝3×25×4＝310. 探究新知提出问题：大家观察P(AB)与P(A)、P(B)有怎样的关系？活动结果：从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果的概率P(A)＝35，从乙果盘里摸出1个水果，得到苹果的概率P(B)＝24.显然P(AB)＝P(A)P(B)． 继续探究：事件A 、B 是否互斥？(不互斥)可以同时发生吗？(可以)事件A 是否发生对事件B 发生的概率有无影响？(无影响)探究结果：显然，事件A“从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果”对事件B“从乙果盘里摸出1个球水果，得到苹果”没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是：P(B|A)＝P(B)，又P(B|A)＝P(AB)P(A)，易得：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)． 将上述问题一般化，得出如下定义：1．相互独立事件的定义：设A ，B 为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立(mutually independent)．理解新知事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫做相互独立事件．若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．简证：若A 与B 是相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B)．所以P(A B )＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P(B )；P(A B)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝(1－P(A))P(B)＝P(A )P(B)；P(A B )＝P(A )－P(A B)＝P(A )－P(A )P(B)＝P(A )(1－P(B))＝P(A )P(B )； 即A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．教师指出：定义表明如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立，反之亦然．2．相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B)．即两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．类比：若事件A 与B 互斥，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)．提出问题：该结论能否推广到一般情形？P(A 1＋A 2＋…＋A n )＝P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．活动结果：一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．运用新知例1已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？设计意图：题目富有趣味性，激发学生兴趣，使其创造力得到进一步发挥．解：设“臭皮匠老大解出问题”为事件A，“老二解出问题”为事件B，“老三解出问题”为事件C，“诸葛亮解出问题”为事件D，则三个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率为1－P(A B C)＝1－0.5×0.55×0.6＝0.835>0.8＝P(D)．所以，合三个臭皮匠之力解出问题的把握就大过诸葛亮．例2甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件，(1)2人都射中的概率为：P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72，∴2人都射中目标的概率是0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A B发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A B发生)．根据题意，事件A B与A B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26，∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.(3)(法1)：“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人不中”两种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(A B)＋P(A B)]＝0.72＋0.26＝0.98.(法2)：“2人至少有一个射中”与“2人都未射中”为对立事件，2人都未射中目标的概率是P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.8)(1－0.9)＝0.02，∴2人至少有1人射中目标的概率为P＝1－P(A B)＝1－0.02＝0.98.(4)(法1)：“至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”，故所求概率为：P＝P(A B)＋P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.(法2)：“至多有1人射中目标”的对立事件是“2人都射中目标”，故所求概率为P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.72＝0.28.【变练演编】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．解：分别记这段时间内开关J A，J B，J C能够闭合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P(A B C)＝1－0.027＝0.973.答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.变式1：如图添加第四个开关J D与其他三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．([1－P(A B C)]·P(D)＝0.973×0.7＝0.681 1)变式2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．方法一：P(A B C)＋P(A BC)＋P(A B C)＋P(ABC)＋P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.847.方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除J C开且J A与J B至少有1个开的情况．则1－P(C )[1－P(AB)]＝1－0.3×(1－0.72)＝0.847.【达标检测】已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析：因为敌机被击中就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率．解：(1)设“敌机被第k 门高炮击中”为事件为A k (k ＝1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 .∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，∴敌机未被击中的概率为P(A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 )＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)P(A 5)＝(1－0.2)5＝(45)5. ∴敌机未被击中的概率为(45)5. (2)设至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机，仿照(1)可得：敌机被击中的概率为1－(45)n ，∴令1－(45)n ≥0.9.∴(45)n ≤110. 两边取常用对数，得n≥11－3lg2≈10.3. ∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．点评：逆向思考方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便．课堂小结1．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)。

事件的相互独立性事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主 探究式学习 合作学习教学工具：多媒体 课件 相关资料教学过程一、 情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究事件A 与B 相互独立对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A 与B 是相互独立的，那么A 与B̅， A 与B ， A 与B ̅也是否相互独立. （2）相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B ).四、典例分析、举一反三题型一 相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】 因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126， 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】 设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516．【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业教学后记两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。