人教b版数学选修2-3练习：1.2.2.1 组合及组合数公式

1．2．2组合课标要求：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。

明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数m n A 与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。

教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同m n C的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ （,,m n N m n *∈≤）6阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 8.提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．． 二、讲解新课：1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同例1．判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合 2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =． （2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅． （3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 规定: 01n C =.三、讲解范例：例2．用计算器计算710C ．解：由计算器可得例3．计算：（1）47C ； （2）710C ； （1）解： 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35； （2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 例4．求证：11+⋅-+=m n m n C m n m C ． 证明：∵)!(!!m n m n C m n -= 111!(1)!(1)!m n m m n C n m n m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+--- ＝!!()!n m n m - ∴11+⋅-+=m n m n C mn m C 例5．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．∴所求值为4或7或11．例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法；第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法．所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136（种）.例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有 2101094512C ⨯==⨯（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=（条）.例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有 31001009998123C ⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）. (2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种). (3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种） .解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。

1.2.2组合第1课时组合及组合数公式学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？梳理组合的概念一般地，从n个不同的元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成______，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式从3,5,7,11中任取两个数相除，思考1可以得到多少个不同的商？思考2如何用分步乘法计数原理求商的个数？思考3你能得出C24的计算公式吗？梳理(1)组合数的概念从n个不同元素中任意取出m(m≤n)个元素的________的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号________表示．(2)组合数公式及其性质组合数公式C m n＝__________________＝__________性质①C m n＝________；＝________；②C m n＋C m－1n③C0n＝____类型一组合的有关概念例1给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？反思与感悟区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题，要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．跟踪训练1判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？(3)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(4)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？类型二组合数公式与性质的应用命题角度1有关组合数的计算与证明例2(1)计算：C410－C37·A33；＋C3n21＋n的值；(2)求C38－n3n(3)证明：m C m n＝n C m－1.n－1反思与感悟(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n＝n！m！(n－m)！计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.跟踪训练2(1)计算C98100＋C199200＝________.(2)计算C34＋C35＋C36＋…＋C32 015的值为() A．C42 015B．C52 015C．C42 016－1 D．C52 015－1命题角度2含组合数的方程或不等式例3(1)已知1C m5－1C m6＝710C m7，求Cm8＋C5－m8；(2)解不等式：C4n>C6n.反思与感悟(1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n∈N＋.(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m、n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3(1)若1C3n－1C4n<2C5n，则n的集合为______．(2)解方程C x－2x＋2＋C x－3x＋2＝110A3x＋3.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是() A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}3．若C2n＝21，则n！3！(n－3)！的值为()A．6 B．7 C．35 D．704．不等式C2n－n<5的解集为________．5．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘．(1)列出所有的取法，并分别指出乘积为偶数与奇数的取法；(2)不同的乘积结果有多少个？1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．2．巧用组合数公式解题(1)涉及具体数字的可以直接用nn－mC m n－1＝nn－m·(n－1)！m！(n－1－m)！＝n！m！(n－m)！＝C m n进行计算．(2)涉及字母的可以用C m n＝n！m！(n－m)！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n＝C n－mn简化运算．答案精析问题导学知识点一思考 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理 一组知识点二思考1 A 24＝4×3＝12.思考2 第1步，从这四个数中任取两个数，有C 24种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A 22种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为C 24A 22＝12.思考3 因为A 24＝C 24A 22，所以C 24＝A 24A 22＝6. 梳理 (1)所有组合 C m n(2)n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！n ！m ！(n －m )！C n －m n C m n ＋1 1 题型探究例1 解 (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．跟踪训练1 解 (1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．(2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．(3)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．例2 (1)解 原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ 38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5， ∵n ∈N ，∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(3)证明 m C m n ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.跟踪训练2 (1)5 150 (2)C例3 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7，∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21.∵0≤m ≤5，∴m ＝2，∴C m 8＋C 5－m 8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎨⎧ n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6， 又n ∈N ＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．跟踪训练3 (1){5,6,7,8,9,10,11}(2)解 原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3， 即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3， ∴(x ＋3)！5！(x －2)！＝110·(x ＋3)！x ！， ∴1120(x －2)！＝110·1x (x －1)(x －2)！， ∴x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3.又∵0≤x －3≤x ＋2且x ＋3≥3，x ∈N ＋，∴x ≥3且x ∈N ＋，∴x ＝4.当堂训练1．C 2.D 3.C 4.{2,3,4}5．解 (1)由于乘法满足交换律，所以本题与次序无关，是组合问题，现规定用数对(a ，b )表示每一种取法，并且(a ，b )与(b ，a )是同一种取法．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(1,9)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(3,9)，(6,9)．其中乘积为偶数的取法有(1,2)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(6,9)，乘积为奇数的取法有(1,3)，(1,9)，(3,9)．(2)1×2＝2,1×3＝3,1×6＝2×3＝6,1×9＝9,2×6＝12,2×9＝3×6＝18,3×9＝27,6×9＝54，所以不同的乘积结果有8个．。

1 1 (n 1) (n 1)! n! n!
左边= 1 1 1 1 1 1 L 1 1
2! 2! 3! 3! 4!
(n 1)! n!
1 1 =左边，所以等式成立
n!
评注： 注意阶乘的变形形式：(n 1)! (n 1) n!
练习精选： 证明下列等式 ：
C （4） 97 99

C 98 99

C 99 100

__5_0_5_0 __
（5）求 C91 C92 L C99 的值 511
例题解读
求证： 1 2 3 L n 1 1 1
2! 3! 4!
n!
n!
证明：因为 n! (n 1)! (n 1) (n 1)!
种方法
9. 某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜 肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了 5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上 的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜 __7___种.(结果用数值表示)
【解题回顾】由于化为一元二次不等式n2－n－40≥0求
解较繁，考虑到n为正整数，故解有关排列、组合的不 等式时，常用估算法.
组合与组合数
通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义， 组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我 们将在此基础上，继续学习它们的一些应用
（一）组合数的 公式及其性质：
Cnm

n! m!(n
m)!
Cnm

Anm Amn

n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
组合数性质1：C
可得：C62C42C22
种方法．根据分步计数原理所以．
xA33

第十四页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
类型 1 组合的概念(自主研析) [典例 1] (1)判断下列问题是组合问题还是排列问 题： ①设集合 A＝{a，b，c，d，e}，则集合 A 的子集中 含有 3 个元素的有多少个？ ②某铁路线上有 5 个车站，则这条线上共需准备多 少种车票？多少种票价？
第八页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
解析：(1)对，根据组合数定义知说法正确． (2)对，根据组合数的定义知说法正确． (3)错，C25＝52××41＝10. (4)对，根据组合数的性质知等式成立． 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
第九页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
2．下列计算结果为 21 的是( )
第二十八页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
(2)由原方程及组合数性质可知 3n＋6＝4n－2 或 3n ＋6＝18－(4n－2)，所以 n＝2 或 n＝8.而当 n＝8 时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去．因此 n＝2.
答案：(1)0 (2){2}
第二十九页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
即从口袋内取出 3 个球，共有 56 种取法． (2)从口袋内取出的 3 个球中有 1 个是黑球，于是还 要从 7 个白球中再取出 2 个，取法种数是 C27＝72××61＝21. 故取出含有 1 个黑球的 3 个球，共有 21 种取法．
第三十四页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
(3)由于所取出的 3 个球中不含黑球，也就是要从 7 个白球中取出 3 个球，取法种数是 C37＝73××62××51＝35.
第三页，编辑于星期五：十五点 三十二分。
[知识提炼·梳理]
1．组合的概念 (1)组合：一般地，从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n) 个元素合成一组，叫作从 n 不同元素中取出 m 个元素的 一个组合． (2)组合数：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 的所有不同组合的个数，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cnm表示．

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
m m 1 4．对等式 Cm ＝ C ＋ C 的理解 n ＋1 n n 在确定从 n＋ 1 个不同元素中取 m 个元素的方法时，对于 某一元素， 只存在着取与不取两种可能．如果取这一元素， 则需从剩下的 n 个元素中再取出(m－ 1)个元素，所以共有 m－1 Cn 种，如果不取这一元素，则需从剩下 n 个元素中取出 m 个元素， 所以共有 Cm 由分类加法计数原理得 Cm n 种． n＋1＝ m－1 Cm ＋ C n n .
1.2.2 组 合
第1课时 组合与组合数公式
【课标要求】
理解组合与组合数的概念． 1． 会推导组合数公式，并会应用公式求值． 2． 3． 了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【核心扫描】
组合的概念及组合与组合数的区别．(易错点) 1．
组合数公式的推导．(难点) 2． 组合数公式的应用．(重点) 3．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引
1．组合 不同 元素中__________________________ 取出m(m≤n)个元素合成一组 ， 一般地，从n个_____ 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
想一想：组合与排列有什么异同点？ 提示 组合与排列问题共同点是都要“从n个不同元素中，任 取m个元素”；不同点是前者是“不管顺序合成一组”，而后者 要“按照一定顺序排成一列”．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式1】 判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列 数表示出来． (1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中

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知识拓展 (1)如果两个组合中的元素完全相同,不管它们的顺序 如何,都是相同的组合.
(2)当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)时, 就是不同的组合.例如从a,b,c三个不同的元
素中取出两个元素的所有组合有3个,它们分别是ab,ac,bc.要注意 ba,ab是相同的组合.
(3)组合问题与排列问题的共同点是:都要“从n个不同元素中,任 取m个元素”,不同点是:前者是“不管顺序并成一组”,而后者要“按照 一定顺序排成一列”.
题型一
题型二
题型三 题型四
题型二 组合数公式的应用
【例 2】 计算C33���8���-������ + C���3������+��� 21的值. 分析C������������ 的限制条件为:m∈N,n∈N+,且 m≤n,因此,在本题中便可
得到 n 的值,从而求出式子的值.
解:由题意可知
3������ ≥ 38-������, 3������ ≤ ������ + 21, 即
第一课时 组合及组 合数公式
1.理解组合的概念及组合数公式. 2.会利用组合数公式解决一些简单的组合问题.
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1.组合的有关概念 (1)一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组, 叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的 定义可知,排列与取出元素的顺序有关,而组合与取出元素的顺序 无关. (2)从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数, 叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号 C������������表示.
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【做一做1-1】 在下列问题中,是组合问题的有
,是排列问

课堂练习(五) 组合与组合数公式(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列四个问题属于组合问题的是( )A ．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B ．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C ．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式D ．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 C [A 、B 、D 项均为排列问题，只有C 项是组合问题．]2．已知平面内A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．20C ．12D ．24B [C 36＝6×5×43×2×1＝20.]3．下列等式不正确的是( ) A ．C mn ＝n ！m ！(n －m )！B ．C m n ＝C n －mn C ．C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1 D ．C mn ＝C m ＋1n ＋1D [由组合数公式逐一验证知D 不正确．] 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4D ．4A [A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，所以n (n －1)(n －2)＝12×12n (n －1)．由n ∈N *，且n ≥3，解得n ＝8.]5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种C [甲选修2门有C 24＝6种选法，乙、丙各有C 34＝4种选法．由分步乘法计数原理可知，共有6×4×4＝96种选法．]二、填空题6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)210 [从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法．]7．方程：C 2x4＋C 2x －14＝C 56－C 66的解集为________．{x |x ＝2} [由组合数公式的性质可知⎩⎪⎨⎪⎧2x ≤4，2x －1≤4，2x ∈N ，2x －1∈N ，解得x ＝1或x ＝2，代入方程检验得x ＝2满足方程，所以原方程的解为{x |x ＝2}．]8．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有________种．9 [父母应为A 或B 或O ，共有C 13·C 13＝9种情况．] 三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？[解] 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C 36＝6×5×43×2×1＝20个．10．求式子1C x 5－1C x 6＝710C x 7中的x .[解] 原式可化为：x ！(5－x )！5！－x ！(6－x )！6！＝7·x ！(7－x )！10·7！，∵0≤x ≤5，∴x 2－23x＋42＝0，∴x ＝21(舍去)或x ＝2，即x ＝2为原方程的解．[能力提升练]1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有( )A ．36个B ．72个C ．63个D ．126个D [此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C 49＝126个．]2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种C [可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C 14·C 25＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C 24·C 15＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]3．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3人去参观展览．若恰有1名女同学入选的不同选法有20种，则该科技小组中男同学的人数为________．5 [由题意得C 12C 2x ＝20，解得x ＝5(负值舍去)．所以该科技小组有5名男同学．] 4．已知C m －1n 2＝C mn 3＝C m ＋1n 4，则m 与n 的值分别为________．14,34 [可得：⎩⎪⎨⎪⎧n ！2(m －1)！(n －m ＋1)！＝n ！3m ！(n －m )！，n ！3m ！(n －m )！＝n ！4(m ＋1)！(n －m －1)！，∴⎩⎪⎨⎪⎧5m ＝2n ＋2，7m ＝3n －4，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34.]5．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？[解] (1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有C 3100＝100×99×981×2×3＝161 700(种)．(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C 12·C 298＝9 506(种)．(3)法一：抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12·C 298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C 22·C 198＋C 12·C 298＝9 604(种)．法二：抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C 3100－C 398＝161 700－152 096＝9 604(种)．。

组 合（第一课时）学习目标导航：1理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系易混点 2会推导组合数公式，并能解决简单的排列组合应用题重点 教学过程 复习提问:1概念提问:①排列的定义 ②排列数公式 2应用提问:分析下列事件，说出完成每个事件的结果数14支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ 24支球队以单循环进行比赛每两队比赛一次，这次比赛需要进行多少场次？ 3从4个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ 4从4个人里选3个代表去开会，有多少种选法？设计目的:从概念和设计例子出发,感受排列与组合的联系与区别,引出课题知识点1组合的概念1．组合1一般地，从n 个不同元素中，任意取出mm≤n 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个组合．2如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同组合．知识点2组合数公式2．组合数从n 个不同元素中，任意取出mm≤n 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C 错误!表示[探究一]：组合数公式的推导过程设计目的：学生在例子中感受到排列是可以分步进行的，得出组合数的推导过程一般地,求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，可以分为2步： 第一步，先求从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数C 错误!，第二步，求每个组合中m 个元素的全排列数mm A根据分步乘法计数原理，得 mm m n m n A C A =由此得到组合数公式+∈∈=N n N m AA Cm mm nmn，其中,探究：计算①4737C C +,4626C C -多少种不同取法？）其中不含红球，共有（共有多少种不同取法？）其中恰有一个红球，（？）共有多少种不同取法（个球：从口袋中任取个红球，个不同白球和②一个口袋中有321517设计目的：学生在计算过程中发现组合数两个性质（易错题：忽略n ∈N 的范围而错解为-1＜n ＜12）7式子 的值的个数为（ ） A 1 B 2 D 48 =______ 9设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e}，则集合A 的子集中含有3个元素的有____个 在下列条件下，有多少种不同的选法？ 1任意选5人；2甲、乙、丙三人必需参加； 3甲、乙、丙三人不能参加； 4甲、乙、丙三人只能有1人参加．2现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．____,3____,12(2)C )1(.187712327101001057==-==-+n C C C n C A A C C n n n n n 则）已知（则解方程：若计算：练习543211)4(n n n C C C ＜解不等式：-221111342522565-++-++++++==x x x x x x x x x x C C C C C C ）解方程：（）解方程：（)(*1710210N m C C m m ∈+-+nn 13n 172n C C 3＋－＋1现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？2现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 3从中选4名去参加会议，恰好有一名男老师，有多少种选法？ 4从中选3名去参加会议，至少有一名男老师，有多少种选法？设计目的：感受特殊元素法，分类列举法，理解“至多、至少、恰好”的数学含义，选择合适的方法练习21要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ 1甲当选且乙不当选； 2至多有3男当选．2某科技小组有女同学2名、男同学名，现从中选出3人去参观展览． 若恰有1名女生入选时的不同选法有2021求该科技小组中男生的人数． )(___6,5,4,3,2,1.3用数字作答个有之和为偶数的四位数共和百位上的数字位数，其中个位、十位组成没有重复数字的四用数字 高考链接1（2021年江西高考适应性测试）学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学，现从该小组中选出3位 同学分别到A,B,C 三地进行社会调查，若选出的同学男女均有，则不同的安排方法有 （ ）种 种 种 种 种 2（2021·全国‖卷）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式 有 （ ）种种 种 种 种 3（广东省茂名市2021届高三第一次综合测试）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科 一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方式有 （ ）种 种 种 种 种 4（2021江西省南昌市十九中高二月考）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次数不同视为不同情形）共有（ ）种种 种 种 种设计目的：直击高考题，感受题型和方法本节收获小结1排列与组合的异同：24应用：直接法，间接法特殊元素，特殊位置，捆绑，插空，定序等。

1.2.2组合第一课时组合A组1.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为()A.4B.8C.28D.64解析:由于“村村通”公路的修建,是组合问题.故共需要建=28条公路.答案:C2.若=6,则n的值是()A.6B.7C.8D.9解析:原方程即为n(n-1)(n-2)=6×=6×,整理得=1.n=7.经检验知n=7是原方程的解.答案:B3.已知,则n等于()A.14B.12C.13D.15解析:∵,∴7+8=n+1,∴n=14.答案:A4.某施工小组有男工7人,女工3人,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组,不同的选法有()A.种B.种C.种D.种解析:每个被选的人都无顺序差别,是组合问题.分两步完成:第一步,选女工,有种选法;第二步,选男工,有种选法.故共有种不同的选法.答案:D5.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有()A.30种B.35种C.42种D.48种解析:分两类,A类选修课选1门,B类选修课选2门,或A类选修课选2门,B类选修课选1门,因此,共有=30种不同的选法.答案:A6.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议,甲需2人参加,乙、丙各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的安排方法有种.解析:从10人中选派4人有种方法,对选出的4人具体安排会议有种方法,由分步乘法计数原理知,不同的选派方法有=2 520(种).答案:2 5207.某科技小组有女同学2名、男同学x名,现从中选出3人去参观展览.若恰有1名女同学入选的不同选法有20种,则该科技小组中男同学的人数为.解析:由题意得=20,解得x=5.所以该科技小组有5名男同学.答案:58.在6名内科医生和4名外科医生中,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故有=120种选派方法.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,有=246种选派方法.若从反面考虑,则有=246种选派方法.9.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,求共有多少种不同的赠送方法?解:依题意,就所剩余的1本进行分类:第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有=6种.因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种).B组1.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有()A.72种B.84种C.120种D.168种解析:需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中,所以关灯方案共有=120(种).答案:C2.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有()A.252种B.112种C.20种D.56种解析:每个宿舍至少安排2名学生,故甲宿舍安排的人数可以为2,3,4,5,甲宿舍安排好后,乙宿舍随之确定,所以共有=112种互不相同的分配方案.答案:B3.从0,1,,2这六个数字中,任取两个数字作为直线y=x tan α+b的倾斜角和截距,可组成条平行于x轴的直线.解析:要使得直线与x轴平行,则倾斜角为0,截距在0以外的五个数字均可.故有=5条满足条件.答案:54.若对任意的x∈A,则x∈,就称A是“具有伙伴关系”的集合.在集合M=的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为.解析:具有伙伴关系的元素组有-1;1;,2;,3,共4组,所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组.又集合中的元素是无序的,因此,所求集合的个数为=15.答案:155.(1)计算:;(2)求证:+2.(1)解:原式=×1==56+4 950=5 006.(2)证明:由组合数的性质可知,右边=()+()==左边.所以原等式成立.6.要从6名男生、4名女生中选出5人参加一项活动,按下列要求,各有多少种不同的选法?(1)甲当选且乙不当选;(2)至少有1名女生且至多有3名男生当选.解:(1)甲当选且乙不当选,只需从余下的8人中任选4人,有=70种不同的选法.(2)至少有1名女生且至多有3名男生时,应分三类:第1类是3名男生2名女生,有种不同的选法;第2类是2名男生3名女生,有种不同的选法;第3类是1名男生4名女生,有种不同的选法.由分类加法计数原理知,共有=186种不同的选法.7.某地区有7条南北向街道,5条东西向街道.(如图)(1)图中有多少个矩形?(2)从点A走向点B最短的走法有多少种?解:(1)在7条南北向街道中任选2条,5条东西向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成的矩形有=210(个).(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从点A到点B最短的走法,无论怎样走,一定至少包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即是从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的),共有=210种走法.。

人教版高中数学选修2-3知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习组合【学习目标】1．理解组合的概念．2．能利用计数原理推导组合数公式．3．能解决简单的实际问题．4．理解组合与排列之间的联系与区别．【要点梳理】要点一：组合1.定义：≤）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元一般地，从n个不同元素中取出m（m n素的一个组合．要点诠释：①从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．②如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.要点二：组合数及其公式1.组合数的定义：m≤）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元从n个不同元素中取出m（nC．素的组合数．记作mn要点诠释：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中取出2个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫做一个组合，而数字3就是组合数．2．组合数的公式及推导A，可以按以下两步来考虑：求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mn第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ； 第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数mm A ．根据分步计数原理，得到m m mn n m A C A =⋅．因此2)(!n m m -+ 这里n ，m ∈N +，且m ≤n ，这个公式叫做组合数公式．因为!()!mn n A n m =-，所以组合数公式还可表示为：!!()!mn n C m n m =-．要点诠释：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题。

组合及组合数公式1.理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系.(易混点)2.会推导组合数公式，并会应用公式进行计算.(重点)[基础·初探]教材整理1 组合与组合数的概念阅读教材P15～P16第二行，完成下列问题.1.组合的概念一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.2.组合数的概念从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号C m n表示.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.( )(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题.( )(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法.( )(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题.( )【解析】(1)√因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合.(2)√由组合数的定义可知正确.(3)×因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题.(4)√因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法.(5)× 因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 教材整理2 组合数公式及性质阅读教材P 16～P 18例3以上部分，完成下列问题. 组合数公式及其性质(1)公式：C m n＝A mn A m m ＝n ！m ！n －m ！.(2)性质：C m n ＝C n －m n ，C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1. (3)规定：C 0n ＝1.1.甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________.【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C 23＝3×22＝3. 【答案】 32.C 26＝________，C 1718＝________. 【解析】 C 26＝6×52＝15， C 1718＝C 118＝18. 【答案】 15 183.方程C x14＝C 2x －414的解为________.【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－2x －4，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6. 【答案】 4或64.从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________.【导学号：62980016】【解析】 从四个数中任取两个数的取法为C 24＝6. 【答案】 6[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]组合的概念判断下列各事件是排列问题还是组合问题.(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关.【自主解答】(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别.(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别.(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别.1.根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合.2.区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.[再练一题]1.从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合.【解】要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de .组合数公式的应用(1)式子n n ＋1n ＋2…n ＋100100！可表示为( )A.A 100n ＋100 B.C 100n ＋100 C.101C 100n ＋100D.101C 101n ＋100(2)求值：C 5－nn ＋C 9－nn ＋1.【精彩点拨】 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明.【自主解答】 (1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n ，故n n ＋1n ＋2…n ＋100100！＝101·n n ＋1n ＋2…n ＋100101！＝101C 101n ＋100. 【答案】 D (2)由组合数定义知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1，所以4≤n ≤5，又因为n ∈N ＋， 所以n ＝4或5.当n ＝4时，C 5－nn ＋C 9－nn ＋1＝C 14＋C 55＝5； 当n ＝5时，C 5－nn ＋C 9－nn ＋1＝C 05＋C 46＝16.关于组合数计算公式的选取1.涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！计算.2.涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！n －m ！计算.3.计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算.[再练一题]2.求等式C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝195中的n 值. 【解】 原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，C 5n －1＝145C 3n －3，即n －1n －2n －3n －4n －55！＝145·n －3n －4n －53！，化简整理，得n 2－3n －54＝0.解此二次方程，得n＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9为所求.[探究共研型]组合的性质探究1 试用两种方法求：从a ，b ，c ，d ，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？【提示】 法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C 35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法.法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C 25＝5×42＝10(种)不同选法.经求解发现C 35＝C 25.推广到一般结论有C m n ＝C n －mn .探究2 从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？ 【提示】 共有C 610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法.探究3 在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？【提示】 若队长必须参加，共C 59＝126(种)选法.若队长不能参加，共C 69＝84(种)选法. 由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C 610＝C 59＋C 69.一般地：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .(1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 016的值为( ) A.C 42 017 B.C 52 017 C.C 42 017－1D.C 52 017－1(2)解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4； (3)解不等式C 4n ＞C 6n .【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式.【自主解答】 (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 016 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 32 016－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 016－1＝… ＝C 42 016＋C 32 016－1＝C 42 017－1. 【答案】 C(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·x －3！x －7！4！＝5·x －4！x －6！，则3x －34！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40. ∴x 2－9x －22＝0， 解得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根. ∴方程的根为x ＝11. (3)由C 4n ＞C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！n －4！＞n ！6！n －6！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10＜0，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜n ＜10，n ≥6.又n ∈N ＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}.1.性质“C mn ＝C n －mn ”的意义及作用意义—→映的是组合数的对称性，即从n 个不同的元素中取m 个元素的一个组合与剩下的n －m 个元素的组合相对应↓作用—→当m >n2时，计算C mn 通常转化为计算C n －m n2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C mn 中的m ∈N ＋，n ∈N ＋，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意.[再练一题]3.(1)化简：C 9m －C 9m ＋1＋C 8m ＝________； (2)已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，求n 的值.【解析】 (1)原式＝(C 9m ＋C 8m )－C 9m ＋1＝C 9m ＋1－C 9m ＋1＝0. 【答案】 0(2)根据题意，C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ， 变形可得C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ， 由组合数的性质，可得 C 7n ＋1＝C 8n ＋1，故8＋7＝n ＋1， 解得n ＝14.[构建·体系]1.下列四个问题属于组合问题的是( )A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C.从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【解析】 A 、B 、D 项均为排列问题，只有C 项是组合问题. 【答案】 C2.若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A.8 B.5或6 C.3或4D.4【解析】 A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，所以n (n －1)(n －2)＝12×12n (n －1).由n ∈N ＋，且n ≥3，解得n ＝8. 【答案】 A3.C 58＋C 68的值为________.【解析】 C 58＋C 68＝C 69＝9！6！×3！＝9×8×73×2×1＝84.【答案】 844.6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次.【导学号：62980017】【解析】 每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C 26＝15次. 【答案】 155.已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值. 【解】 由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， 所以2·n ！5！n －5！＝n ！4！n －4！＋n ！6！n －6！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14， 于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.以下四个命题，属于组合问题的是( ) A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【解析】从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.【答案】 C2.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )A.4B.8C.28D.64【解析】由于“村村通”公路的修建，是组合问题.故共需要建C28＝28条公路.【答案】 C3.组合数C r n(n>r≥1，n，r∈N)恒等于( )A.r＋1n＋1C r－1n－1 B.(n＋1)(r＋1)Cr－1n－1C.nr C r－1n－1D.nrC r－1n－1【解析】nrC r－1n－1＝nr·n－1！r－1！n－r！＝n！r！n－r！＝C r n.【答案】 D4.满足方程C x2－x16＝C5x－516的x值为( )A.1,3,5，－7B.1,3C.1,3,5D.3,5【解析】依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或x＝5；x＝－7或x＝3，经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意.【答案】 B5.异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )A.20B.9C.C39D.C24C15＋C25C14【解析】分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C14个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C15个平面.故可确定C14＋C15＝9个不同的平面.【答案】 B二、填空题6.C03＋C14＋C25＋…＋C1821的值等于________.【解析】原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1821＝C15＋C25＋…＋C1821＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝7 315.【答案】7 3157.设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个.【解析】从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C35＝10个子集.【答案】 108.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________.(用数字作答)【解析】 从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法.【答案】 210 三、解答题9.从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【解】 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C 36＝6×5×43×2×1＝20个.10.(1)求式子1C x 5－1C x 6＝710C x 7中的x ；(2)解不等式C m －18>3C m8. 【解】(1)原式可化为：x ！5－x ！5！－x ！6－x ！6！＝7·x ！7－x ！10·7！.∵0≤x ≤5，∴x 2－23x ＋42＝0，∴x ＝21(舍去)或x ＝2，即x ＝2为原方程的解. (2)由8！m －1！9－m ！>3×8！m ！8－m ！，得19－m >3m，∴m >27－3m ， ∴m >274＝7－14.又∵0≤m －1≤8，且0≤m ≤8，m ∈N ， 即7≤m ≤8，∴m ＝7或8.[能力提升]1.已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有( )A.36个B.72个C.63个D.126个【解析】 此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C 49＝126个.【答案】 D2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种【解析】可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C14·C25＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C24·C15＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法.【答案】 C3.对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为________.【解析】∵1≤m<n≤5，所以C m n可以是C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25，C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，∴方程x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个.【答案】 64.证明：C m n ＝nn －mC m n－1.【导学号：62980018】【证明】nn－mC m n－1＝nn－m·n－1！m！n－1－m！＝n！m！n－m！＝C m n.11。

(3)证明：mCm n ＝m·
n！ n· n－1 ＝n· ＝nCm － n 1. m－1！n－m！
m 1．涉及具体组合数的计算时，一般用乘积式Cn ＝
nn－1n－2„n－m＋1 计算． m！ 2．凡涉及字母的证明、解方程(或不等式)时，常用阶乘式
【自主解答】
(1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个
元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C3 7个． (2)因为发件人与收件人有顺序区别，与顺序有关是排列问 题，共写了A2 8个电子邮件． (3)同时通电话，无顺序，是组合问题，共通了C2 8次电话． (4)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排 列问题，有A
m Cn ＝
n！ 计算． m！n－m！
化简
－2 3 2 (1)Cn ＋ C ＋ C n n n＋1；
m＋1！ m＋2！ m＋n！ (2)m！＋ ＋ ＋„＋ . 1！ 2！ n！
【解】
3n≥38－n≥0， 21＋n≥3n≥0，
① ②
38 21 38 21 由①得 4 ≤n≤38，由②得0≤n≤ 2 ，∴ 4 ≤n≤ 2 ， 又∵n∈N＋，∴n＝10，
28 ∴原式＝C30 ＋C30 31＝
30！ 31！ ＋ ＝466. 28！30－28！ 30！31－30
●重点、难点 重点：组合数公式的应用． 难点：组合数公式的推导． 组合数公式的推导过程体现了众多数学思想方法的应用， 教学的关键是引导学生研究组合与排列的关系，发现排列可以
m m 分为“先取元素，再作全排列”两个步骤，即A n ＝C m n A m ，从而
化解难点．
1.理解组合与组合数的概念．(重 课标 点) 解读 2．会推导组合数公式并会应用公 式求值．(难点)

第一课时组合与组合数公式及组合数的两个性质[对应学生用书P11][例1](1) 10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？[思路点拨]要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．[精解详析](1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．[一点通]要区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．1．求从2,3,4,5四个数中任取2个数作为对数式log a b的底数与真数，得到的对数的个数有多少，是________问题；若把两个数相乘得到的积有几种，则是________问题．(用“排列”“组合”填空)解析：从2,3,4,5四个数中任取2个数作为对数式log a b的底数与真数，交换a，b的位置后所得对数值不同，应为排列问题；取两个数相乘，如2×3与3×2的积是相等的，没有顺序，故为组合问题．答案：排列组合2．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.[例2] (1)1073(2)证明：m C m n ＝n C m －1n －1；(3)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m 8. [思路点拨] (1)(2)运用公式进行化简即可，(3)先求出m 的值，再进行计算．[精解详析] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)证明：m C m n ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！ ＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.(3)∵1C m 5－1C m 6＝m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！， 710C m 7＝7×(7－m )！m ！10×7！， ∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. 而0≤m ≤5，∴m ＝2.∴C m 8＋C 5－m8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.[一点通] 1．组合数公式C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．2．组合数公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！的主要作用：一是计算m ，n 较大时的组合数；二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．另外，当m >n 2时，计算C m n 可用性质C m n ＝C n －mn转化，减少运算量．3．C410－C37·A33＝________.解析：原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.答案：04．若A3n＝12C2n，则n＝________.解析：∵A3n＝n(n－1)·(n－2)，C2n＝12n(n－1)，∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)．又n∈N＋，且n≥3，∴n＝8. 答案：85．解不等式1C3n－1C4n＜2C5n.解：n的取值范围是{n|n≥5，n∈N＋}．∵1C3n－1C4n＜2C5n，∴6n(n－1)(n－2)－24n(n－1)(n－2)(n－3)＜240n(n－1)(n－2)(n－3)(n－4).又∵n(n－1)(n－2)＞0.∴原不等式化简得n2－11n－12＜0，解得－1＜n＜12.结合n的取值范围，得n＝5,6,7,8,9,10,11，∴原不等式的解集为{5,6,7,8,9,10,11}.[例3](10分)5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．[思路点拨]本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断．[精解详析](1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．[一点通]解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．6．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A的含有3个元素的子集共有________个．解析：从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的含有3个元素的子集，则共有C35＝10个．答案：107．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选出2名去参加会议的选法数就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45种．(2)从6名男教师中选2名，有C26种选法，从4名女教师中选2名，有C24种选法．根据分步乘法计数原理可知，共有不同的选法C26C24＝90种．1．排列与组合的异同：[对应课时跟踪训练(五)] 1．从7人中选出3人参加座谈会，则不同的选法有()A．210种B．42种C．35种D．6种解析：参加座谈会与顺序无关，是组合问题，共有C37＝35种不同的选法．答案：C2．若A3m＝6C4m，则m的值为()A．6 B．7C．8 D．9解析：由A3m＝6×C4m得m！(m－3)！＝6·m！4！(m－4)！，即1m－3＝14，解得m＝7.答案：B3．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是()A．C310C35B．C410C25C．C515D．A410A25解析：按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C410C25种抽法．答案：B4．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是() A．20 B．9C．C39D．C24C15＋C25C14解析：分两类：第一类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C14个平面；第二类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C15个平面．故可确定C14＋C15＝9个不同的平面．答案：B5．若C13n＝C7n，则C18n＝________.解析：∵C13n＝C7n，∴13＝n－7，∴n＝20.∴C1820＝C220＝190.答案：1906．10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：先给甲组选4人，有C410种选法，余下的6人为乙组，故共有C410＝210种选法．答案：2107．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3人去参观展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，求该科技小组中男生的人数．解：由题意得C12·C2x＝20.解得x＝5.故该科技小组有5名男生．8．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)甲当选且乙不当选；(2)至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有C48＝70种选法．(2)至多有3男当选时，应分三类：第一类是3男2女，有C36C24种选法；第二类是2男3女，有C26C34种选法；第三类是1男4女，有C16C44种选法．由分类加法计数原理知，共有C36C24＋C26C34＋C16C44＝186种选法．。