高考数学必背公式与知识点过关检测

高考数学必背公式与知识点过关检测姓名 班级第一部分：集合与常用逻辑用语1．子集个数：含n 个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空子集，有 个非空真子集2．常见数集：自然数集： 正整数集： 或 整数集： 有理数集： 实数集：3．空集：φ是任何集合的 ，是任何非空集合的 .4．元素特点： 、 、 确定性5．集合的的运算： 集运算、 集运算、 集运算6．四种命题：原命题：若p ，则q ；逆命题：若 ，则 ；否命题：若 ，则 ；逆否命题：若 ，则 ； 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 ；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互 ；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为 。

互为逆否的命题7．充要条件的判断：p q ⇒，p 是q 的 条件；p q ⇒，q 是p 的 条件；p q ⇔，,p q 互为 条件；若命题p 对应集合A ，命题q 对应集合B ，则p q ⇒等价于 ，p q ⇔等价于 注意区分：“甲是乙的充分条件（甲⇒乙）”与“甲的充分条件是乙（乙⇒甲）”； 8．逻辑联结词：或命题：p q ∨，,p q 有一为真即为 ，,p q 均为假时才为 ；且命题：p q ∧，,p q 均为真时才为 ，,p q 有一为假即为 ；非命题：p ⌝和p 为一真一假两个互为对立的命题 9.全称量词与存在量词：⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用∀表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定⌝p ： ； ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用∃表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃；特称命题p 的否定⌝p ： ；第二部分：函数与导数及其应用1．函数的定义域：分母 0；偶次被开方数 0；0次幂的底数 0 ；对数函数的真数 0；指数与对数函数的底数 0且 1 2．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论； 分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的3．函数的单调性：设1x ，2[,]x a b ∈（1⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是 函数；（2）[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是 函数；（3）如果0)(>'x f ，则)(x f 为 函数；0)(<'x f ，则)(x f 为 函数； （4）复合函数的单调性：根据“同 异 ”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于 对称是函数具有奇偶性的前提条件．．．． ⑵)(x f 是 函数)()(x f x f -=-⇔；)(x f 是 函数)()(x f x f =-⇔. ⑶奇函数)(x f 在0处有定义，则⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有 的单调性，偶函数有 的单调性⑸偶函数图象关于 轴对称、奇函数图象关于坐标 对称 5．函数的周期性：周期有关的结论：(约定a ＞0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T= ； （2）)()(x f a x f -=+，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 则)(x f 的周期T=（3）)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为 6．函数的对称性：①()y f x =的图象关于直线 对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=； ②()y f x =的图象关于直线 对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=；7．对数运算规律：（1）对数式与指数式的互化：（2）对数恒等式：log 1a = ，log a a = ，log ba a = ．lg 2+lg5= ，=lne（3）对数的运算性质：①加法：log log a a M N += ②减法： log aM N= ③数乘： log ()na M n R =∈ ④恒等式：log a N a =⑤log m n a b = ⑥换底公式：log log log m a m N N a=8．二次函数：二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是 判别式ac b 42-=∆；0>∆时，图像与x 轴有 个交点；0=∆时，图像与x 轴有 个交点；0<∆时，图像与x 轴没有交点；9. 韦达定理：若x 1, x 2是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则：x 1+x 2= ，x 1x 2= .10．零点定理：若y=f(x)在[a ,b ]上满足 , 则y=f(x)在（a ,b )内至少有一个零点11．常见函数的导数公式：①'()C = ；②'(n x =） ；'(nx =） ③'(sin x =） ； ④'(cos x =） ； ⑤'(x e =） ； ⑥ '(x a =） ； ⑦'(ln x =） ； ⑧'=(logx ） . 12．导数运算法则：()()f x g x '⋅=⎡⎤⎣⎦（1） ；()()2f x g x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（） ．13．曲线的切线方程：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率为)(0x f '，相应的切线方程是 . 14．微积分基本定理：如果()f x 是[],a b 上的连续函数，并且有()()F x f x '=，则第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形1．角度制与弧度制互化：360°= rad ，180°= rad ，1°= ≈ rad ，1rad= ≈ 2．若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l = ，C = ，S= = ．3.三角函数定义式：角α终边上任一点（非原点）P ),(y x ,设r OP =|| 则sin α= ，cos α= ，tan α=4．同角三角函数的基本关系：()1平方关系：()2tan =α商数关系： ． 5.函数的诱导公式：口诀： .()()1sin 2sin k παα+=， ， ．（k ∈Z ）（2） ， ，()tan tan παα+=． (3) ， ，()tan tan αα-=-． (4) ， ,()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭， ．(6) ，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．8．几个常见三角函数的周期： ①x y sin =与x y cos =的周期为 .②)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期为 . ③2tan x y =的周期为 .④x y cos =的周期为9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：()1cos αβ-=（） ； ()2cos αβ+=（） ； ()3sin αβ-=（） ； ()4sin αβ+=（） ； ()5tan αβ-=（） ; ()6tan αβ+=（） .10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin 2α=cos2α= = =2cos α⇒=降次公式： ，2sin α= , sin cos αα=tan 2α=11．引入辅助角公式： sin cos a b αα+= . (其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,tan b aϕ= ).12. 正弦定理： . （R 是ABC ∆外接圆直径） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③C B A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=== 13. 余弦定理： ⇔ .（变式）（以A 角和其对边来表示）14. 三角形面积公式：ABC S ∆= = = ． （用边与角的正弦值来表示） 三角形面积导出公式：ABC S ∆= （r 为ABC ∆内切圆半径）= （R 外接圆半径）15. 三角形内切圆半径r = 外接圆直径2R = = =第四部分：平面向量、数列与不等式1． 平面向量的基本运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =；（0b ≠）= ；a b -= ；a b ⋅= （定义公式）= (坐标公式)．a 在b 方向上的投影为. = (坐标公式) a b ⊥⇔ （一般表示） ⇔ （坐标表示） ．a ∥b ⇔ （一般表示）⇔ （坐标表示）．cos θ=夹角公式： = (坐标公式).2.若G 为ABC ∆的重心，则 =0；且G 点坐标为 ( ， )3.三点共线的充要条件：P ，A ，B 三点共线⇔ →OP =x →OA +y →OB 且 =14.三角形的四心重心：三角形三条 交点.外心：三角形三边 相交于一点. 内心：三角形三 相交于一点.垂心：三角形三边上 的相交于一点.5. 数列{n a }中n a 与n S 的关系n a =2．n S =2．n S =性质1．,,a b c ⇒成等差数列称b 为a 与c 的等差中项 2．若m n p q +=+, 则1．,,a b c ⇒成等比数列 称b 为a 与c 的等比中项 2．若m n p q +=+, 则7.常见数列的和：①1+2+3+……+n=②12+22+32+……+n 2=③13+23+33+……+n 3=8.一元二次不等式解的讨论.0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax的解集)0(02>>++a c bx ax的解集)0(02><++a c bx ax9. 均值不等式： 若0a >，0b >，则 ⇔ ； 10. 重要不等式： 11．极值定理：已知y x ,都是正数，则有：(1)如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值 ； (2)如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值 .12.两个著名不等式：（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么（当仅当a =b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数） 特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ （2）柯西不等式： .（当且仅当ad=bc 时取等号）第五部分：立体几何与解析几何1. 三视图与直观图：原图形与直观图面积之比为 2. 常见几何体表面积公式：圆柱的表面积 S= 圆锥的表面积S=圆台的表面积 S= 球的表面积 S= 3．常见几何体体积公式：柱体的体积 V= 锥体的体积 V=台体的体积 V= 球体的体积 V= 4. 常见空间几何体的有关结论：⑴棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ． ⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则体对角线长为 ，全面积为 ，体积V= ⑶正方体的棱长为a ，则体对角线长为 ,全面积为 ，体积V= ⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径＝长方体的 长.球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的 , 正方体的棱切球的直径=正方体的 长, 正方体的外接球的直径=正方体的体 长. ⑸正四面体的性质：设棱长为a ，则正四面体的：① 高： ；②对棱间距离： ；③内切球半径： ；④外接球半径： 5. 空间向量中的夹角和距离公式：（1）空间中两点A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z 的距离d = （2）异面直线夹角：(0,]2πθ∈cosθ= （两直线方向向量为,a b ）（3）线面角：[0,]2πθ∈，且sin θ= （l ，n 为直线的方向向量与平面的法向量）（4）二面角：[0,]θπ∈，且cos θ= （两平面的法向量分别为1n 和2n ）（5）点到面的距离：平面α的法向量为n ，平面α内任一点为N ，点M 到平面α的距离d =6．直线的斜率：k = =（θ为直线的倾斜角，11(,)A x y 、22(,)B x y 为直线上的两点） 7. 直线方程的五种形式：直线的点斜式方程： (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． 直线的斜截式方程： (b 为直线l 在y 轴上的截距).直线的两点式方程： (111(,)P x y 、222(,)P x y 12x x ≠，12y y ≠).直线的截距式方程： (a 、b 分别为直线在x 轴、y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ).直线的一般式方程： (其中A 、B 不同时为0). 8．两条直线的位置关系：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,则：① 1l ∥2l ⇔ 且 ； .（2）若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,则：①1l ∥2l ⇔ 且 ；②. 12l l ⊥⇔ . 9．距离公式：（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离： （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：（3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：10.圆的方程：（1）圆的标准方程：（2）圆的一般方程： （)0422>-+F E D 11．直线与圆的位置关系：判断圆心到直线的距离d 与半径R 的大小关系 （1）当 时，直线和圆 （有两个交点）；（2）当 时，直线和圆 （有且仅有一个交点）； （3）当 时，直线和圆 （无交点）；12. 圆与圆的位置关系：判断圆心距d 与两圆半径和12R R +，半径差12R R -（12R R >）的大小关系：（1）当 时，两圆 ，有4条公切线； （2）当 时，两圆 ，有3条公切线； （3）当 时，两圆 ，有2条公切线； （4）当 时，两圆 ，有1条公切线； （5）当 时，两圆 ，没有公切线；13. 直线与圆相交所得弦长|AB|= （d 为直线的距离r 为半径） 14．椭圆的定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离和等于常数 的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（222c b a +=）（2）标准方程：焦点在x 轴上： ；焦点在y 轴上： .15．双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数： 的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（222a b c +=）（2）标准方程：焦点在x 轴上： ；焦点在y 轴上： . 16．抛物线的定义：（1）平面内与一个定点F 和一条定直线l （点F 不在l 上）的距离的 的点的轨迹叫做双曲线.这个定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线.（2）标准方程：焦点在x 轴上： ；焦点在y 轴上： .17．离心率：e = （椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ）18．双曲线的渐近线：22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线方程为 ，且与22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可设为2222x y a bλ-=. 19．过抛物线焦点的直线：倾斜角为θ的直线过抛物线22y px =的焦点F 且与抛物线交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点（10y >）：|AF|= |BF|= |AB|= = x 1x 2= y 1y 2=1|AF| +1|BF|= 20．焦点三角形的面积：（1）椭圆：S= ；（2）双曲线：S= （12F PF θ∠=） 21．几何距离：（1）椭圆双曲线特有距离：①长轴（实轴）： ； ②短轴（虚轴）： ； ③两焦点间距离： .（2）焦准距：①椭圆、双曲线： ； ②抛物线： . （3）通径长：①椭圆、双曲线： ； ②抛物线： . 22．直线被曲线所截得的弦长公式：若弦端点为A ),(),,(2211y x B y x ,则|AB|= = = 23. 中点弦问题： 椭圆：k AB k OP = 双曲线：k AB k OP =第六部分：统计与概率1. 总体特征数的估计：⑴样本平均数⎺x= = ；⑵样本方差；S 2= = ； ⑶样本标准差S= 2．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=⑵古典概型：基本事件的总数数为N ，随机事件A 包含的基本事件个数为M ，则事件A 发生的概率为：P(A)= ⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)(3．离散型随机变量：⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：p i ≥ , i=1,2,3，…； p 1+p 2+…=均值（又称期望）：EX ＝方差：DX ＝ 注：DX a b aX D b aEX b aX E 2)(;)(=++=+；③二项分布（独立重复试验）：若X ～B （n , p ）,则EX ＝ , DX ＝注：k n k k n p p C k X P --==)1()(⑵条件概率： P （B|A ）=注：0≤P （B|A ）≤1⑶独立事件同时发生的概率：P （AB ）=第七部分：复数与计数原理1. 复数的基本概念：z a bi =+（a ，b R ∈）（1）实部： ；虚部： ； 虚数单位：i 2=（2）模：|z |= =（3）共轭复数：-z= （4）在复平面内对应的点为 （5）复数相等：a+bi=c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）⇔2. 复数的基本运算： （1）加减法：（a+bi ）＋（c+di ）= （a+bi ）－（c+di ）= （2）乘法：（a+bi ）×（c+di ）=（3）除法：（a+bi ）÷（c+di ）= 注：对虚数单位i ,有1 , ,1,4342414=-=-==+++n n n n i i i i i i.3．分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）：.（1）完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有 N= 种不同的方法．（2）完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有N= 种不同的方法. 4．排列数公式：= = ；=(m≤ n, m 、n ∈N*) 规定0!1=5．组合数公式： = （n ，m N *∈，且m n ≤）；6. 组合数性质： ；7．二项式定理：（a+b ）n = （rn C 叫做二项式系数）8．二项展开式的通项公式：T r+1= （r=0,1,2……，n ）第八部分：坐标系与参数方程1. 极坐标→直角坐标cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩直角坐标→极坐标tan (0)y x x ρθ⎧=⎪⎨=≠⎪⎩2. 圆的极坐标方程：①以极点为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 ； ②以(,0)a )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 ； ③以(,)2a π)0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 ；④以(),(0)a a π>为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 ; ⑤以3,(0)2a a π⎛⎫> ⎪⎝⎭为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 3. 常见曲线的参数方程：。

考点巩固卷12 等差等比数列（七大考点）考点01：单一变量的秒解当数列的选择填空题中只有一个条件时，可将数列看成常数列，即每一项均设为x ，（注意：如果题目中出现公差不为0或公比不为1，则慎用此法）1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为123456,6,12n S a a a a a a ++=++=，则12S =（ ）A ．18B ．36C ．54D ．602．已知等差数列{}n a 满足12318a a a ++=，则2a =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．若{}n a 是正项无穷的等差数列，且396a a +=，则{}n a 的公差d 的取值范围是（ ）A ．[)12，B ．305æöç÷èø，C ．35¥æö+ç÷èø，D ．305éö÷êëø，4．等差数列{}n a 前n 项和为7,4n S a =，则13S =（ ）A ．44B ．48C ．52D ．565．已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，记{}n a 的前n 项和为n S ，则9S =（ ）A ．18B ．24C ．27D ．456．在等差数列{}n a 中，若354a a +=，则其前7项和为（ ）A ．7B ．9C ．14D ．187．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（ ）A ．2-B ．73C ．1D ．298．在等比数列{}n a 中，25,a a 是方程2780x x --=的两个根，则16a a =（ ）A ．7B ．8C ．8-或8D ．8-9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若5414a a a +=+，则15S =（ ）A ．4B ．60C ．68D ．13610．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2410268a a a ++=，则9S =（ ）A ．272B ．270C ．157D ．153考点02：秒解等差数列的前n 项和等差数列中，有()⇒-=-n n a n S 1212奇偶有适用.()()()()nn n n an n a n a a 12212221212112-=-=-+=--⇒将12-n 换为n 11．在等差数列{}n a 中，公差3d =，n S 为其前n 项和，若89S S =，则17S =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．412．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且7287026S a a =+=，，则{}n a 的公差d =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4.13．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若12413,22a a S +==，则d =（ ）A ．7B ．3C ．1D ．1-14．等差数列 {}n a 中，n S 是其前 n 项和，53253S S -=，则公差 d 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．315．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知510S S =，51a =，则1a =（ ）A ．72B ．73C ．13-D ．711-16．已知等差数列{}n a 的前15项之和为60，则313a a +=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1017．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，221n n a a =+，若1100n n S a ++=，则n =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1118．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1236a a a ++=，7916+=a a ，则9S =（ ）A ．43B ．44C ．45D ．4619．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，525S =，则442S a a =-（ ）A ．1B ．2C ．3D ．420．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知848,16S S =-=，则56223839a a a a a ++++=（ ）A ．215B ．185C ．155D ．135考点03：数列片段和问题k k k k k S S S S S 232,,--这样的形式称之为“片段和”①当}{n a 是等差数列时：k k k k k S S S S S 232,,--也为等差数列，且公差为d k 2.②当}{n a 是等比数列时：k k k k k S S S S S 232,,--也为等比数列，且公比为kq .21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36S =，()*3164,n S n n -=³ÎN ，20n S =，则n 的值为（ ）A ．16B ．12C ．10D ．822．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若330S =，651S =，则9S =（ ）A ．54B ．63C ．72D ．13523．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且365,15S S ==，则9S =（ ）A ．35B ．30C ．20D ．1524．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4127,45S S ==.则8S =（ ）A ．28B ．26C ．24D ．2225．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42S =，812S =，则20S =（ ）A ．30B ．58C ．60D ．9026．在等差数列{}n a 中，若363,24S S ==，则12S =（ ）A ．100B ．120C ．57D ．1827．等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若10111012101310148a a a a +++=，则2024S =（ ）A ．8096B ．4048C ．4046D ．202428．若正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为（ ）A ．22B ．24C ．26D ．2829．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若23S =，346a a +=，则108S S =（ ）A ．157B ．3115C ．2D ．633130．在正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若301010303,80S S S S =+=，则20S 的值为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40考点04：秒杀和比与项比结论1：若两个等差数列}{n a 与}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若DCn B An T S n n ++=，则()()Dn C B n A T S b a n n n n +-+-==--12121212结论2：若两个等差数列}{n a 与}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若DCn B An T S n n ++=，则()()Dm C B n A b a m n +-+-=121231．已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且231n n S n T n +=+，则19119a ab b ++的值为（ ）A ．1311B ．2110C ．1322D ．212032．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且335n n S n T n +=+，则526a b b =+（ ）A ．1417B ．417C ．313D ．1533．已知数列{}{}n n a b ，均为等差数列，其前n 项和分别为n n S T ，，满足(23)(31)n n n S n T +=-，则789610a a ab b ++=+（ ）A ．2B ．3C ．5D ．634．设数列{}n a 和{}n b 都为等差数列，记它们的前n 项和分别为n S 和n T ，满足21n n n a b n =+，则55S T =（ ）A ．12B ．37C ．59D ．3535．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，若342n n S n T n +=+，则58211a a b b +=+（ ）A ．1713B ．3713C ．207D ．37736．等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别是,n n S T ，若542n n S n T n +=+，则44a b = ．37．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意正整数n 都有2343n n S n T n -=-，则839457a ab b b b +=++ ．38．已知n S ，n T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且2131n n S n T n +=-，那么44a b = ．39．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T，且523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++等于40．已知等差数列{}n a ， {}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且214n nS n T n +=，则537a b b =+ ．考点05：等差数列奇偶规律结论()*ÎNn n 2则1,+==-n n a aS S nd S S 偶奇奇偶n 2,则它的奇数项分别为135721,,,......n a a a a a -则它的偶数项分别为24682,,,......na a a a a 则奇数项之和()1212=22n nnn a a n a S na -+×==奇则偶数项之和()22+1+12=22n n n n a a n a S na +×==偶代入公式得1-S =n( )n n S a a nd +-=奇偶，11=S n n n n S na ana a ++=奇偶()*Î+Nn n 12则()()111,11,+++=+=+==-n n n na S a n S nn S S a S S 偶奇偶奇偶奇∵12-n 项，则它的奇数项为127531,,,+n a a a a a 则它的偶数项分别为na a a a 2642,, 则奇数项之和()()()1121112+++=+×+=n n an n a a S 奇则偶数项之和()1222+=×+=n n nan a a S 偶代入公式得()1111+++=-+=-n n n a na a n S S 偶奇()nn na a n S S n n 1111+=+=++偶奇说明：偶奇，S S 分别表示所有奇数项与所有偶数项的和41．已知等差数列{}n a 的项数为()21Ν,m m *+Î其中奇数项之和为140, 偶数项之和为 120,则m =( )A ．6B ．7C ．12D ．1342．一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）A ．14B ．2C ．13D ．2543．已知等差数列{}n a 的前30项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且45B A -=，2615A B =+，则n a =（ ）A ．32n -B ．31n -C ．31n +D ．32n +44．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，22a =，13++=n n a a n ，则（ ）A ．45a =B ．20300S =C ．31720S =D ．n 为奇数时，2314+=n n S 45．已知等差数列{}n a 共有21n -项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则n =．46．已知数列{}n a 满足11a =，12,3,n n na n a a n ++ì=í+î为奇数为偶数，则{}n a 的前40项和为.47．已知等差数列{}n a 的项数为21m +()*m ÎN ，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列{}n a 的项数是 .48．数列{}n a 满足：2212212121,2,2n n n na a a a a a ++-==-==，数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则23S = ．49．在等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且1359960+++×××+=a a a a ，求12399100a a a a a +++×××++的值．50．已知{}n a 是等差数列，其中222a =，610a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求24620a a a a ++++ 的值.考点06： 等差数列前n 项和最值规律方法一：函数法⇒利用等差数列前n 项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.bn an S n +=2模型演练()n d a n d S d n n na S n n ×÷øöçèæ-+=⇒×-+=222112121122222÷÷÷÷øöççççèæ--÷÷÷÷øöççççèæ-+=⇒d d a d d d a n d S n 2121212212÷øöçèæ--⎥⎦⎤êëé÷øöçèæ--=⇒d a d d a n d S n 由二次函数的最大值、最小值可知，当n 取最接近da 121-的正整数时，n S 取到最大值（或最小值）注意：最接近da 121-的正整数有时1个，有时2个51．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，且316=S S ，则n S 取最大值时，n =（ ）．A ．9B ．10C ．9或10D ．10或1152．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若50a <，380a a +>，则当n S 取得最小值时，n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．753．设数列{}n a 的前n 项和为11,1,321n nn S S S S n n+-=-=+，则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 是等比数列B ．36396,,S S S S S --成等差数列，公差为9-C ．当且仅当17n =时，n S 取得最大值D ．0n S ³时，n 的最大值为3354．数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-，则（ ）A ．110a =B ．32a a >C ．数列{}n S 有最小项D ．n S n ìüíýîþ是等差数列55．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（ ）A ．1a d>B ．使得0n S >成立的最大正整数18n =C ．891011a a a a +<+D ．n n S a ìüíýîþ中最小项为1100S a 56．等差数列 {}n a 的前 n 项和为 1214,0,0n S a a a >+=，则（ ）A ．80a =B ．1n na a +<C ．79S S <D ．当 0n S < 时， n 的最小值为 1657．已知无穷数列{}n a 满足：110a =-，12n n a a +=+()*N n Î．则数列{}n a 的前n 项和最小值时n 的值为 ．58．设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，且满足991,27a S =-=.(1)求d 的值；(2)当n 为何值时n S 最大，并求出此最大值.59．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，111a =-，且256,,a a a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n S 为{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值．60．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值.考点07：等比数列奇偶规律结论()*ÎNn n 2则qS S =奇偶n 2,则它的奇数项分别为135721,,,......n a a a a a -则它的偶数项分别为24682,,,......na a a a aq a a q a a q a a ×=×=×=342312,,∵()q a a a a a a a a a a q a a a a a a a a a a n n n n n n n n =++++++++=++++++++∴-------123253112325311232531222642()*Î+Nn n 12则q S a S =-偶奇112+n ,则它的奇数项分别为13572+1,,,......n a a a a a 则它的偶数项分别为24682,,,......na a a a a q a a q a a q a a ×=×=×=453423,，∵q S a S q a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n =-⇒=+++++++=++++++++∴-+--+-偶奇12226421212532226421212531 说明：偶奇，S S 分别表示所有奇数项与所有偶数项的和61．已知等比数列{}n a 有21n +项，11a =，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．562．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中10a >，则“31a a >”是“n S 无最大值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件63．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（ ）.A ．8B ．2-C ．4D ．264．已知等比数列{}n a 的公比为13-，其前n 项和为n S ，且1a ，243a +，3a 成等差数列，若对任意的*n ÎN ，均有2nnA SB S £-£恒成立，则B A -的最小值为（ ）A ．2B ．76C ．103D ．5365．已知一个项数为偶数的等比数列{}n a ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则1a =（ ）A ．1B ．4C ．12D ．3666．已知数列}{n a 的前n 项和121n n S -=+，则数列}{n a 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）A ．12B ．2C ．172341D ．34117267．等比数列{}n a 的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，则这个等比数列的公比q ＝ .68．等比数列的性质已知{}n a 为等比数列，公比为q ，n S 为其前n 项和.（1）若()0,0,1n n S Aq B A q q =+¹¹¹，则A B += ；（2）当0n S ¹时，n S ， ，32,n n S S - 为等比数列；（3）若等比数列{}n a 共2k 项，记S 奇为诸奇数项和，S 偶为诸偶数项和，则S S =奇偶 ；69．已知首项均为32的等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足32a b =-，43a b =，且{}n a 的各项均不相等，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，则n S 的最大值与最小值之差为 ．70．（1）在等比数列{}n a 中，已知248,60n n S S ==，求3n S ；（2）一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.。

课时过关检测(五十) 椭圆的定义、标准方程及简单几何性质A 级——基础达标1．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为25的椭圆方程是( ) A ．x 225＋y 220＝1 B ．x 220＋y 225＝1 C ．x 220＋y 245＝1 D ．x 280＋y 285＝1 解析：B 由9x 2＋4y 2＝36可得x 24＋y 29＝1，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，b ＝25，a 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1．2．“(log a 2)x 2＋(log b 2)y 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是( )A ．0＜a ＜bB ．1＜a ＜bC ．2＜a ＜bD ．1＜b ＜a解析：C 若(log a 2)x 2＋(log b 2)y 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则需⎩⎪⎨⎪⎧ log a 2＞0，log b 2＞0，log a 2＞log b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，b ＞1，a ＜b ，所以1＜a ＜b ，所以“(log a 2)x 2＋(log b 2)y 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是2＜a ＜b ，故选C ．3．如图，P 是椭圆x 29＋y 24＝1上的一点，F 是椭圆的左焦点且PQ ―→＝－FQ ―→，|OQ ―→|＝2，则|PF |＝( )A ．2B ． 5C ．3D ．4解析：A 由x 29＋y 24＝1可得a ＝3．因为PQ ―→＝－FQ ―→，所以点Q 是线段PF 的中点，设椭圆的右焦点为F ′，则O 是FF ′的中点，所以|PF ′|＝2|OQ |＝4，由椭圆的定义可知：|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6，所以|PF |＝2，故选A ．4．已知椭圆C ：x 225＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在椭圆C 上，当△MF 1F 2的面积最大时，△MF 1F 2内切圆半径为( )A ．3B ．2C ．53D ．43解析：D 因为椭圆为x 225＋y 29＝1，所以a ＝5，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4．当△MF 1F 2的面积最大时，点M 为椭圆C 短轴的顶点，不妨设点M 为椭圆C 的上顶点，点O 为坐标原点，△MF 1F 2内切圆半径为r ，则|MF 1|＝|MF 2|＝a ＝5，|F 1F 2|＝2c ＝8，|OM |＝b ＝3，S △MF 1F 2＝12(|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|)·r ＝12|F 1F 2|·|OM |，所以r ＝43，故选D ．5．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，55 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 C ．⎝⎛⎦⎥⎤0，22 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：A 由题设知，直线l ：x －c ＋yb＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x ＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a ．又圆与直线l 有公共点，所以2bcb 2＋c 2≤b 2a，化简得2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55．又0<e <1，所以0<e ≤55．故选A ． 6．(多选)对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，下面四个说法正确的是( )A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1<k <4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3<k <4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1<k <2．5”的充要条件解析：CD 对于A ，当1<k <4且k ≠2．5时，曲线C 是椭圆，所以A 错误；对于B ，当k ＝2．5时，4－k ＝k －1，此时曲线C 是圆，所以B 错误；对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－k >0，k －1>0，k －1>4－k ，解得2．5<k <4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3<k <4”的必要不充分条件，所以C 正确；对于D ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1>0，4－k >0，4－k >k －1，解得1<k <2．5，所以D 正确．7．(多选)如图，两个椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，下列四个说法正确的为( )A ．P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值B ．曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称 C ．曲线C 所围区域面积必小于36D ．曲线C 总长度不大于6π解析：BC 易知F 1(－4,0)，F 2(4,0)分别为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，E 1(0，－4)，E 2(0,4)分别为椭圆y 225＋x 29＝1的两个焦点．若点P 仅在椭圆x 225＋y 29＝1上，则P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A 错误；两个椭圆关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，则曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，故B 正确；曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C 正确；曲线C 所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D 错误．故选B 、C ．8．若椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为22，则该椭圆的长轴长为________．解析：由椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为22，当m ＞2时，椭圆焦点在x 轴上，c a ＝22＝m －2m，解得m ＝4，所以椭圆的长轴长为4，当0＜m ＜2时，椭圆焦点在y 轴上，ca＝22＝2－m 2，得m ＝1，所以椭圆的长轴长为22．答案：4或2 29．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)的左、右焦点，P (1,1)为C 内一点，Q为C 上任意一点．现有四个结论：①C 的焦距为2；②C 的长轴长可能为10； ③|QF 2|的最大值为a ＋1；④若|PQ |＋|QF 1|的最小值为3，则a ＝2． 其中所有正确结论的编号是________．解析：对于①：因为c 2＝a 2－(a 2－1)＝1，所以椭圆C 的焦距为2c ＝2，故①正确；对于②：若椭圆C 的长轴长为10，则a 2＝52，所以椭圆C 的方程为x 252＋y 232＝1，则152＋132＞1，从而点P 在C 的外部，这与P 在C 内矛盾，所以②不正确；对于③：因为c ＝1，Q 为C 上任意一点，由椭圆的几何性质可知，|QF 2|的最大值为a ＋c ＝a ＋1，故③正确；对于④：由椭圆定义可知，|PQ |＋|QF 1|＝|PQ |－|QF 2|＋2a ，因为||PQ |－|QF 2||≤|PF 2|＝1，所以|PQ |－|QF 2|≥－1，所以|PQ |－|QF 2|＋2a ≥2a －1＝3，此时a ＝2，故④正确．答案：①③④10．(2019·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 解：(1)连接PF 1(图略)．由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率为e ＝ca＝3－1．(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在当且仅当 12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c ＝－1，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，② x 2a 2＋y 2b 2＝1．③ 由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c2．又由①知y 2＝162c2，故b ＝4．由②③及a 2＝b 2＋c 2得x 2＝a 2c2(c 2－b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32，故a ≥42． 当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P ．所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞)．B 级——综合应用11．如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为( )A ．13B ．12C ．22D ．32解析：B 由图可得，椭圆的短轴长2b ＝22⇒b ＝11，长轴长2a ＝22sin 60°＝2232⇒a ＝223，∴e ＝ca ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2232－112223＝1－34＝12．故选B ．12．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图①、②、③中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139，5645，107，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则( )A ．e 1＞e 3＞e 2B ．e 2＞e 3＞e 1C ．e 1＞e 2＞e 3D ．e 2＞e 1＞e 3解析：A 因为椭圆的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2a 2，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大．因为139≈1．44，5645≈1．24，107≈1．43，则139＞107＞5645，所以e 1＞e 3＞e 2．故选A ．13．(多选)数学家称5－12为黄金比，记为ω，定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”，以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆．若黄金椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与它的焦点圆在第一象限的交点为Q ，则下列结论正确的有( )A ．ω2＋ω＝1B ．黄金椭圆的离心率e ＝ωC ．设直线OQ 的倾斜角为θ，则sin θ＝ωD ．交点Q 的坐标为(b ，ωb )解析：AC 方程ω2＋ω－1＝0的根为ω＝－1±52，故A 正确；由题意可知，b a ＝5－12＝ω，则e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－ω2＝ω≠ω，故B 错误；易知QF 1⊥QF 2，且∠QF 1F 2＝θ2，则|QF 2|＝2c ·sin θ2，|QF 1|＝2c ·cos θ2，所以|QF 1|＋|QF 2|＝2c ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2＝2a ，即sin θ2＋cos θ2＝a c ＝1ω，两边平方，可得sin θ＋1＝1ω＝25－1＝5＋12，即sin θ＝5＋12－1＝5－12＝ω，故C 正确；由C 知，sin θ＝ω，所以tan θ≠ω，即D 错误．故选A 、C ．14．(2021·浙江高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．若过F 1的直线和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．解析：设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ，所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255．因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e ，得e ＝55．答案：255 5515．已知直线x －3y ＋3＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点和上顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若A ，B 为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线y ＝3－x 上存在一点P ，使得三角形PAB 为正三角形，求AB 所在直线的方程．解：(1)因为直线x －3y ＋3＝0与x 轴交于点(－3，0)，与y 轴交于点(0,1)，又直线x －3y ＋3＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点和上顶点，可得a ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)， 由题意知直线AB 的斜率存在，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，因为|AB |＝23，PO ＝3可得∠PAO ＝60°，以△PAB 为等边三角形，故得直线AB 的方程为y ＝0．当直线AB 的斜率不为0时， 设AB 的方程为y ＝kx ，代入椭圆方程消去y ，得(3k 2＋1)x 2＝3， 所以|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k 2·33k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1， 设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，设它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (x 0，y 0)，则x 0＝3k k －1，y 0＝－3k －1，所以|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为正角形，所以应有|PO |＝3|AO |， 可得9k 2＋9k －12＝3·3k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍)或k ＝－1， 故直线AB 的方程为y ＝0或x ＋y ＝0．。

考点过关检测（二十七）1．函数f (x )＝Error!的零点个数为( )A ．3 B ．2C ．1D ．0解析：选C ①若x >0，则2x ＋1＝0，无解．②若x ≤0，则x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2(舍去)．所以函数f (x )＝Error!的零点个数为1.2．函数f (x )＝2x ＋3x －7的零点所在的区间是( )A. B.(0，12)(12，1)C.D.(1，32)(32，2)解析：选C 函数f (x )＝2x ＋3x －7是连续递增函数，∵f (1)＝2＋3－7<0，f ＝2＋3×－7＝2＋4.5－7>0，(32)32322∴f (1)·f <0，故选C.(32)3．(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝Error!(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，1]解析：选A 因为函数f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上均为单调函数且在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1.故选A.4．(2019·石家庄质检)已知M 是函数f (x )＝|2x －3|－8sin πx (x ∈R )的所有零点之和，则M 的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选D 将函数f (x )＝|2x －3|－8sin πx 的零点转化为函数h (x )＝|2x －3|与g (x )＝8sin πx 图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中画出函数h (x )与g (x )的图象如图所示，因为函数h (x )与g (x )的图象都关于直线x ＝对称，两个函数的图象共有8个交点，32所以函数f (x )的所有零点之和M ＝8×＝12.325．(2019·宣城二模)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 019－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D 因为f (x )＝2 019－(x －a )(x －b )，所以f (a )＝f (b )＝2 019，又c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.6．(2019·泉州检测)设函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则函数g (x )＝f (x )－sin x 在区间[－π，π]上的零点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 要求函数g (x )＝f (x )－sinx 的零点个数，即求方程f (x )－sinx ＝0的根的个数，可转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝sin x 的图象的交点个数．在同一平面坐标系内作出y ＝f (x )与y ＝sin x 的图象如图所示，可知在区间[－π，π]上，图象有3个交点．故选B.7．已知f (x )＝Error!若关于x 的方程a ＝f (x )恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是( )A.∪[1,2)B.∪[1,2)(－∞，12)(0，12)C ．(1,2)D ．[1,2)解析：选B 关于x 的方程a ＝f (x )恰有两个不同实根等价于y ＝a ，y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，画出y ＝a ，y ＝f (x )的图象，如图，由图可知，当a ∈∪[1,2)时，(0，12)y ＝a ，y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，此时，关于x 的方程a ＝f (x )恰有两个不同实根，所以实数a 的取值范围是∪[1,2)．故选B.(0，12)8．(2019·西安二模)已知函数f (x )＝Error!又函数g (x )＝f 2(x )＋tf (x )＋1(t ∈R )有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是( )A.B.(－∞，－e2＋1e )(e2＋1e ，＋∞)C.D.(－e2＋1e ，－2)(2，e2＋1e )解析：选A 由f (x )＝(x ≥0)，得f ′(x )＝，xe x 1－x e x 当0≤x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0，所以f (x )在[0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，且f (x )max ＝.1e 设m ＝f (x )，则h (m )＝m 2＋tm ＋1，设h (m )＝m 2＋tm ＋1的零点为m 1，m 2，则g (x )＝f 2(x )＋tf (x )＋1(t ∈R )有4个不同的零点等价于m ＝f (x )的图象与直线m ＝m 1，m ＝m 2的交点有4个，函数m ＝f (x )的图象与直线m ＝m 1，m ＝m 2的位置关系如图所示，由图知，0<m 2<<m 1，1e要满足题意，则需h <0即可，解得t <－，(1e )e2＋1e 故选A.9．若函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，函数f (x )＝1在(－1,1)上没有零点，所以a ≠0.因为函数f (x )是单调函数，要满足题意，只需f (－1)f (1)<0，所以(－3a ＋1)(1－a )<0，即(a －1)·(3a －1)<0，解得<a <1，所以实数a 的取值范围是.13(13，1)答案：(13，1)10．设a ∈Z ，函数f (x )＝e x ＋x －a ，若x ∈(－1，1)时，函数f (x )有零点，则a 的取值个数为________．解析：因为函数f (x )＝e x ＋x －a ，易得函数f (x )在(－1,1)上为增函数，则－1－a <f (x )<e ＋1－a ，1e 由函数f (x )＝e x ＋x －a 有零点，得Error!解得－1<a <e ＋1.1e 又a ∈Z ，所以a ＝0或a ＝1或a ＝2或a ＝3，故a 的取值个数有4个．答案：411．已知函数f (x )＝x |x －4|＋2x ，存在x 3>x 2>x 1≥0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2·f (x 3)的取值范围是________．解析：f (x )＝x |x －4|＋2x ＝Error!作出f (x )的图象如图所示．由图象可知，x 1＋x 2＝6，且2<x 1<3，∴x 1x 2f (x 3)＝x 1(6－x 1)f (x 1)＝x 1(6－x 1)·(－x ＋6x 1)21＝(－x ＋6x 1)221＝[－(x1－3)2＋9]2，∵2<x1<3，∴－(x1－3)2＋9∈(8,9)，∴x1x2f(x3)∈(64,81)．答案：6　(64,81)12．已知在区间(0,2]上的函数f(x)＝Error!且g(x)＝f(x)－mx在区间(0,2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是________．解析：由函数g (x )＝f (x )－mx 在(0,2]内有且仅有两个不同的零点，得y ＝f (x )，y ＝mx 在(0,2]内的图象有且仅有两个不同的交点．当y ＝mx 与y ＝－3在(0,1]内相切时，1x mx 2＋3x －1＝0，Δ＝9＋4m ＝0，m ＝－，结合图象可得当－<m ≤－2或94940<m ≤时，函数g (x )＝f (x )－mx 在(0,2]内有且仅有两个不同的零点．12答案：∪(－94，－2](0，12]。

考点过关检测15 三角恒等变换(1)一、单项选择题1．[2022·广东顺德模拟]cos1875°＝( ) A.6－22 B.2＋64 C.2－64 D.6－242．若点M (－32，12)在角α的终边上,则tan2α＝( ) A.33B ．－33C.3D ．－ 33．已知cos θ＝－13(θ∈(0,π)),则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．－223B ．－13C.223D.134．[2022·江苏东海月考]计算：2sin10°－cos20°sin20°＝( )A ．－1B ．－2C ．－2D ．－ 35．[2022·辽宁实验中学月考]已知cos α＝－53,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋2α＝( ) A ．－19B.19C ．－23D.236．[2022·福建永安三中月考]已知α的终边在第四象限,若sin α＝－45,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－210B.210C ．－7210D.72107．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12,－π2<α<0,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( )A.12B ．－12 C.23D ．1 8．[2022·河北邯郸模拟]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝－45,则cos4α的值为( ) A.425B.725C.35D.31509．[2021·新高考Ⅰ卷]若tan θ＝－2,则sin θ()1＋sin2θsin θ＋cos θ＝( )A ．－65B.－25C.25D.6510．已知sin α＋cos α＝52,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2,则cos α－sin α＝( ) A.32B ．－32 C ．±32D.12二、多项选择题11．[2022·山东实验中学月考]下列式子正确的是( ) A ．sin15°＋cos15°＝62B ．cos75°＝6＋24C ．23tan15°＋tan 215°＝1D ．tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝112．已知θ∈(0,π),sin θ＋cos θ＝15,则下列结论正确的是( )A ．θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πB ．cos θ＝－35C ．tan θ＝－34D ．sin θ－cos θ＝75三、填空题13．[2022·福建福州模拟]已知tan(π－α)＝－34,则sin2α的值为________．14．[2022·湖南师大附中月考]已知sin(π＋α)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值为________．15．[2022·广东湛江月考]已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,2sin2x ＝3sin x ,则cos2x ＝________.16．[2022·浙江丽水模拟]已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (－55，255),则tan α＝________,sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.考点过关检测15 三角恒等变换(1)1．答案：D解析：cos1875°＝cos(360°×5＋75°)＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24. 2．答案：D解析：由已知tan α＝12－32＝－33,所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－331－⎝⎛⎭⎪⎫－332＝－ 3.3．答案：A解析：因为cos θ＝－13(θ∈(0,π)),所以sin θ＝1－cos 2θ＝223,故cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝－sin θ＝－223.4．答案：D 解析：2sin10°－cos20°sin20°＝2sin 30°－20°－cos20°sin20°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos20°－32sin20°－cos20°sin20°＝－3sin20°sin20°＝－ 3.5．答案：A 解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋2α＝－cos2α＝1－2cos 2α＝1－2×59＝－19.6．答案：A解析：α的终边在第四象限,sin α＝－45,所以cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35, 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22()sin α＋cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝－210. 7．答案：B解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12可得cos α＝12,因为－π2<α<0,所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝12×12－32×32＝－12.8．答案：B解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝－45,得cos2α＝－45,则cos4α＝2cos 22α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－452－1＝725. 9．答案：C解析：将式子进行齐次化处理得：sin θ()1＋sin2θsin θ＋cos θ＝sin θ()sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θsin θ＋cos θ＝sin θ()sin θ＋cos θ＝sin θ()sin θ＋cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25.故选C. 10．答案：B解析：∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝54,∴2sin αcos α＝14,∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－14＝34,∴cos α－sin α＝±32,又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2,∴0<cos α<sin α,即cos α－sin α＝－32.故选B. 11．答案：ACD解析：因为sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝6－24, cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6＋24, 所以sin15°＋cos15°＝62,所以A 正确, 因为cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝6－24,所以B 错误,因为tan15°＝tan(45°－30°)＝1－tan30°1＋tan30°＝1－331＋33＝2－3,所以23tan15°＋tan 215°＝23×(2－3)＋(2－3)2＝1,所以C 正确； 因为tan45°＝tan(33°＋12°)＝tan33°＋tan12°1－tan33°tan12°＝1,所以tan33°＋tan12°＝1－tan33°tan12°,所以tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1,所以D 正确． 12．答案：ABD解析：∵sin θ＋cos θ＝15 ①,∴(sin θ＋cos θ)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152,即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125,∴2sin θcos θ＝－2425.∵θ∈(0,π),∴sin θ>0,cos θ<0,∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,故A 正确．(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925,∴sin θ－cos θ＝75 ②,故D 正确．①＋②得sin θ＝45,①－②得cos θ＝－35,故B 正确．tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43,故C 错误．13．答案：2425解析：因tan(π－α)＝－34,则tan α＝34,sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2·34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝2425. 14．答案：335解析：由题意知,－sin α＝23cos α,则tan α＝－23,所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝tan α－31＋3tan α＝－331－6＝335. 15．答案：18解析：因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以sin x ≠0,因此由2sin2x ＝3sin x ⇒4sin x cos x ＝3sin x ⇒cos x ＝34,所以cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.16．答案：－21010解析：由三角函数定义知：tan α＝255－55＝－2；|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝1,则sin α＝255,cos α＝－55, sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝255·22－55·22＝1010.。

课时过关检测(二十九) 数列的概念与表示A 级——基础达标1．已知数列{a n }的前4项依次为2,6,12,20，则数列{a n }的通项公式可能是( ) A ．a n ＝4n －2 B ．a n ＝2n＋2(n －1) C ．a n ＝n 2＋nD ．a n ＝3n －1＋2n －1解析：C 对于A ，a 3＝10≠12，故A 错误；对于B ，a 4＝16＋6＝22≠20，故B 错误；对于C ，a 1＝12＋1＝2，a 2＝22＋2＝6，a 3＝32＋3＝12，a 4＝42＋4＝20，故C 正确；对于D ，a 3＝9＋5＝14≠12，故D 错误．故选C ．2．(2022·潍坊一模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝n 2＋4n ＋1，则a 1＋a 3＋a 5＝( )A ．27B ．28C ．29D ．30解析：B 因为S n ＝n 2＋4n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n＋3．经检验，当n ＝1时不符合，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2n ＋3，n ≥2，所以a 1＋a 3＋a 5＝28．故选B ．3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( ) A ．31 B ．42 C ．37D ．47解析：D 由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，又S 1＋1＝3，故数列{S n ＋1}是首项为3，公比为2的等比数列，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47．4．已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：C 因为数列{a n }是递增数列，又t 2－a 2n －3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n >0，所以t ≤a n ＋3恒成立，即t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，所以t max ＝3．5．(多选)(2022·泰安模拟)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则下列说法正确的是( )A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为a 2n ＝2n 2D ．此数列的前n 项和为S n ＝n (n －1)解析：AC 观察此数列，偶数项通项公式为a 2n ＝2n 2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a 2n －1＝a 2n －2n ，由此可得a 20＝2×102＝200，A 、C 正确；a 19＝a 20－20＝180，B 错误；S n ＝n (n －1)＝n 2－n 是一个等差数列的前n 项和，而题中数列不是等差数列，不可能有S n ＝n (n －1)，D 错误．故选A 、C ．6．(多选)(2022·潍坊一模)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2－2n ，n 为偶数，则( )A ．a 6＝19B ．a 7>a 6C ．S 5＝22D ．S 6>S 5解析：BC 因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2－2n ，n 为偶数，所以a 1＝4，a 2＝－2，a 3＝10，a 4＝－6，a 5＝16，a 6＝－10，a 7＝22，所以A 错误，B 正确；S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝4＋(－2)＋10＋(－6)＋16＝22，故C 正确；因为a 6＝－10，所以S 6－S 5＝a 6<0，所以S 6<S 5，故D 错误．故选B 、C ．7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．解析：a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5．答案：58．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)，则a 4＝________，a n ＝________． 解析：由题意可得a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ，则当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝1＋n n －12＝n 2－n ＋22，又a 1＝1也适合上式，故a n ＝n 2－n ＋22，则a 4＝42－4＋22＝7．答案：7n 2－n ＋229．(2022·北京质检)已知数列{a n }满足21·a 1＋22·a 2＋23.a 3＋ (2)·a n ＝(n －1)·2n ＋1＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：∵2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n －1a n －1＋2n a n ＝(n －1)·2n ＋1＋2，∴2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n －1a n －1＝(n －2)·2n ＋2(n ≥2)，两式相减，得2n a n ＝n ·2n ，即a n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1，适合a n ＝n ，故a n ＝n (n ∈N *)．答案：n10．如果连续自然数数列a 1，a 2，…，a n ，…满足lg 2＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 1＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2＋…＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a n ＝lg n ，那么这个数列最多有几项？并求数列的前n 项和S n ． 解：由已知得：2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 1·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ＝n ，即2·a 1＋1a 1·a 2＋1a 2·a 3＋1a 3·…·a n ＋1a n＝n ． ∵a 1，a 2，…，a n ，…为连续自然数， ∴上式可化简为2·a n ＋1a 1＝n ，即2·a 1＋na 1＝n ， ∴2n ＋2a 1＝na 1，即(n －2)(a 1－2)＝4．若要n 最大，且n ∈N *，则只能有⎩⎪⎨⎪⎧n －2＝4，a 1－2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，a 1＝3，∴该数列最多有6项，首项为3， ∴S 6＝3＋4＋5＋6＋7＋8＝33．B 级——综合应用11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)na n ＋12n ，则S 1＋S 3＋S 5＝( )A ．0B ．1764C ．564D ．2164解析：D 数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)na n ＋12n ，当n 为偶数时，S n ＝S n －S n －1＋12n ，即有S n －1＝12n ，所以S 1＋S 3＋S 5＝14＋116＋164＝2164．故选D ．12．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋n ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．1＋n ＋ln n D ．2n ＋n ln n解析：D 由题意得，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln n ＋1n ，则a n n ＝a n －1n －1＋ln n n －1，a n －1n －1＝a n －2n －2＋ln n －1n －2，…，a 22＝a 11＋ln 21，由累加法得，a n n ＝a 11＋ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21，即a nn＝a 1＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21，则a n n ＝2＋ln n ，所以a n ＝2n ＋n ln n ，故选D ．13．请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．解析：因为函数a n ＝2－1n 的定义域为N *，且a n ＝2－1n 在N *上单调递增，0<2－1n<2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是a n ＝2－1n．答案：a n ＝2－1n(答案不唯一)14．(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值． 解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n－1＝n2a n ， 两式相减得na n ＝n ＋12a n ＋1－n 2a n ，即n ＋1a n ＋1na n＝3(n ≥2)， ∵a 1＝1，∴1＝1＋12a 2，即a 2＝1，∴2·a 21·a 1＝2≠3．∴数列{na n }是从第二项开始的等比数列， ∴当n ≥2时，有na n ＝2×3n －2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n×3n －2，n ≥2.(2)存在n ∈N *使得a n ≤(n ＋1)λ成立⇔λ≥a nn ＋1有解，①当n ＝1时，a 12＝12，则λ≥12，即λmin ＝12；②当n ≥2时，a nn ＋1＝2×3n －2n n ＋1，设f (n )＝2×3n －2n n ＋1，∴f n ＋1f n ＝3nn ＋2>1，∴f (n )单调递增，∴f (n )min ＝f (2)＝13，∴实数λ的最小值是13．由①②可知实数λ的最小值是13．C 级——迁移创新15．(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n(n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( ) A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项解析：BCD 当k ＝12时，a 1＝a 2＝12，知A 错误；当k ＝45时，a n ＋1a n ＝45·n ＋1n，当n <4时，a n ＋1a n >1，当n >4时，a n ＋1a n <1，所以可判断{a n }一定有最大项，B 正确；当0<k <12时，a n ＋1a n ＝k n ＋1n<n ＋12n ≤1，所以数列{a n }为递减数列，C 正确；当k 1－k 为正整数时，1>k ≥12，当k ＝12时，a 1＝a 2>a 3>a 4>…，当1>k >12时，令k 1－k ＝m ∈N *，解得k ＝m m ＋1，则a n ＋1a n ＝m n ＋1n m ＋1，当n ＝m时，a n ＋1＝a n ，结合B ，数列{a n }必有两项相等的最大项，故D 正确．故选B 、C 、D ．16．(2022·益阳一模)设曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，求x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 020的值．解：由f (x )＝xn ＋1得f ′(x )＝(n ＋1)x n，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得x n ＝n n ＋1 ，故x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 020＝12 ×23 ×…×2 0202 021 ＝12 021．。

考点过关检测3 一元二次不等式一、单项选择题1．[2022·湖北九师联盟]不等式x 2－2x －8≤0的解集为( ) A ．{x |－4≤x ≤2} B ．{x |－2≤x ≤4} C ．{x |x ≥4或x ≤－2} D ．{x |x ≥2或x ≤－4}2．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ,不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ,不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ,则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－33．[2022·广东普师高级中学月考]函数y ＝log 0.54x 2－3x 的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 4．[2022·山东新泰一中月考]若不等式ax2－x －c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12,则函数y ＝cx 2－x －a 的图象可以为( )5．[2022·广东深圳月考]若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－2<x <1},则二次函数y ＝2bx 2＋4x ＋a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为( )A ．－1,－7B ．0,－8C ．1,－1D ．1,－76．在R 上定义运算⊗：M ⊗N ＝(1＋M )(1－N ),若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 均成立,则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 7．[2022·浙江五校联考]已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a ＜0在(0,2]上有解,则实数a 的取值范围是( )A ．－∞,33B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，47C.33,＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫47，＋∞8．设函数f (x )＝mx 2－mx －1,若对于任意的x ∈{x |1≤x ≤3},f (x )<－m ＋4恒成立,则实数m 的取值范围为( )A ．m <57B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m ≤0二、多项选择题9．已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k ＜0(k ≠0),则下列说法正确的是( ) A ．若不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2},则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ,则k ＝66C ．若不等式的解集为R ,则k ＜－66D ．若不等式的解集为∅,则k ≥6610．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－∞,－2)∪(3,＋∞),则( ) A ．a >0B ．不等式bx ＋c >0的解集是{x |x <－6}C ．a ＋b ＋c >0D ．不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为(－∞,－13)∪(12,＋∞)11．[2022·福建龙岩模拟]已知函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋a ,若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x 1,x 2都有f (x 1)≠f (x 2),则实数a 的取值范围可以是( )A ．(－∞,0]B ．[0,3]C ．[－1,2]D ．[3,＋∞)12．[2022·湖南长郡中学月考]已知不等式x 2＋ax ＋b >0(a >0)的解集是{}x |x ≠d ,则下列四个结论中正确的是( )A ．a 2＝4b B ．a 2＋1b≥4C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1,x 2),则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1,x 2),且|x 1－x 2|＝4,则c ＝4 三、填空题13．[2022·福建福清西山学校月考]x 2＋2(m －1)x ＋m 2－2≥0对x ∈R 恒成立,则m 的取值范围为________．14．[2022·江苏苏州十中月考]已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(2,4),则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为________．15．[2022·北京101中学模拟]若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为{x |x 1<x <x 2},且x 2－x 1＝15,则a 的值为________．16．[2022·河北石家庄二中月考]若一个集合是另一个集合的子集,则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集,则称两个集合构成“偏食”．已知集合A ＝{x |－t <x <t ,t >0}和集合B ＝{x |x 2－x －2<0},若集合A ,B 构成“偏食”,则实数t 的取值范围为________．考点过关检测3 一元二次不等式1．答案：B解析：由x 2－2x －8≤0,得(x －4)(x ＋2)≤0,所以－2≤x ≤4. 2．答案：D解析：由题意得,不等式x 2－2x －3＜0的解集A ＝(－1,3),不等式x 2＋x －6＜0的解集B ＝(－3,2),所以A ∩B ＝(－1,2),即不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为(－1,2),所以a ＝－1,b ＝－2,所以a ＋b ＝－3.3．答案：A解析：由题可知,log 0.5(4x 2－3x )≥0,由对数函数的单调性,可得0<4x 2－3x ≤1,解得：－14≤x <0或34<x ≤1,所以y ＝log 0.54x 2－3x 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 4．答案：C解析：由题可得－1和12是方程ax 2－x －c ＝0的两个根,且a <0,∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋12＝1a －1×12＝－ca,解得a ＝－2,c ＝－1,则y ＝cx 2－x －a ＝－x 2－x ＋2＝－(x ＋2)(x －1),则函数图象开口向下,与x 轴交于(－2,0),(1,0)．5．答案：D解析：ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－2<x <1},∴－2,1是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根,且a <0,∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋1＝－ba－2×1＝2a,∴a ＝－1,b ＝－1,则二次函数y ＝2bx 2＋4x ＋a ＝－2x 2＋4x －1开口向下,对称轴x ＝1,在区间[0,3]上,当x ＝1时,函数取得最大值1,当x ＝3时,函数取得最小值－7.6．答案：B解析：因为(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 均成立,所以(1＋x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 恒成立,即(1－a )2－x 2<1恒成立,所以(1－a )2<1＋x 2恒成立,所以只需(1－a )2<(1＋x 2)min ,又因为(1＋x 2)min ＝1,所以(1－a )2<1,解得0<a <2.7．答案：A解析：因为x ∈(0,2],所以不等式可化为ax ＋3ax＜2.当a ＝0时,不等式为0＜2,满足题意；当a ＞0时,不等式化为x ＋3x <2a ,则x ＋3x≥2x ·3x＝23,当且仅当x ＝3时取等号,所以2a ＞23,即0＜a ＜33；当a ＜0时,x ＋3x ＞2a 在x ∈(0,2]时恒成立．综上所述,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，33. 8．答案：A解析：若对于任意的x ∈{x |1≤x ≤3},f (x )<－m ＋4恒成立,即可知：mx 2－mx ＋m －5<0在x ∈{x |1≤x ≤3}上恒成立,令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5,对称轴为x ＝12.当m ＝0时,－5<0恒成立,当m <0时,有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减,∴在[1,3]上g (x )max ＝g (1)＝m －5<0,得m <5,故有m <0.当m >0时,有g (x )开口向上且在[1,3]上单调递增,∴在[1,3]上g (x )max ＝g (3)＝7m －5<0,∴0<m <57.综上,m 的取值范围为m <57.9．答案：ACD解析：对于A,∵不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2},∴k ＜0,且－3与－2是方程kx2－2x ＋6k ＝0的两根,∴(－3)＋(－2)＝2k ,解得k ＝－25.故A 正确；对于B,∵不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ,∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66,故B 错误；对于C,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k ＜－66,故C 正确；对于D,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66,故D 正确． 10．答案：ABD解析：关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－∞,－2)∪(3,＋∞),∴a >0,A 选项正确；且－2和3是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根,由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－ba －2×3＝c a,则b ＝－a ,c ＝－6a ,则a ＋b ＋c ＝－6a <0,C 选项错误；不等式bx ＋c >0即为－ax －6a >0,解得x <－6,B 选项正确；不等式cx 2－bx ＋a <0即为－6ax 2＋ax ＋a <0,即6x 2－x －1>0,解得x <－13或x >12,D 选项正确．11．答案：AD解析：二次函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝a －1,∵任意x 1,x 2∈[－1,2]且x 1≠x 2,都有f (x 1)≠f (x 2),即f (x )在区间[－1,2]上是单调函数,∴a －1≤－1或a －1≥2,∴a ≤0或a ≥3,即实数a 的取值范围为(－∞,0]∪[3,＋∞)．12．答案：ABD解析：对于A,由题意,Δ＝a 2－4b ＝0,∴b ＝a 24,所以A 正确；对于B,a 2＋1b ＝a 2＋4a2≥2a 2·4a 2＝4当且仅当a 2＝4a2,即a ＝2时等号成立,所以B 正确；对于C,由韦达定理,知x 1x 2＝－b ＝－a 24<0,所以C 错误；对于D,由韦达定理,知x 1＋x 2＝－a ,x 1x 2＝b －c ＝a 24－c ,则|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－c ＝2c ＝4,解得c ＝4,所以D 正确．13．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析：由題意可知Δ＝4(m －1)2－4(m 2－2)≤0,即－8m ＋12≤0,得m ≥32,故m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 14．答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ x >12或⎭⎬⎫x <14解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(2,4),所以a <0且2和4是ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋4＝－ba2×4＝ca可得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6ac ＝8a,所以cx 2＋bx ＋a <0可化为：8ax 2－6ax＋a <0,因为a <0,所以8ax 2－6ax ＋a <0可化为8x 2－6x ＋1>0,即(2x －1)(4x －1)>0,解得：x >12或x <14,所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ x >12或⎭⎬⎫x <14.15．答案：52解析：关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为{x |x 1<x <x 2},所以x 1,x 2是一元二次方程x 2－2ax －8a 2＝0(a >0)的实数根,所以Δ＝4a 2＋32a 2＝36a 2>0,且x 1＋x 2＝2a ,x 1x 2＝－8a 2.又因为x 2－x 1＝15,所以152＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2,又a >0,解得a ＝52.16．答案：{t |1<t <2}解析：由题意,可知集合A ＝{x |－t <x <t ,t >0},集合B ＝{x |－1<x <2},因为集合A ,B 构成“偏食”,所以⎩⎪⎨⎪⎧ －t <－1<t 2>t 或⎩⎪⎨⎪⎧－t <2<t －1<－t,解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－t <－1<t2>t,得1<t <2；解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－t <2<t－1<－t ,得⎩⎪⎨⎪⎧t >2t <1,此时无解．所以实数t 的取值范围为1<t <2.。

高中学业水平考试复习必背数学公式过关检测班级 姓名 评价必修一1.★元素与集合的关系如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作：； 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作：. 2. ★集合的运算：A B = ；A B = ；补集：U C A =.3.子集的个数问题：若集合A 有n 个元素，则集合A 有个子集，有个真子集.4.★函数定义域：①；②；③.5.★奇偶性（1）奇函数的定义:一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有，那么函数()f x 叫奇函数.（2）偶函数的定义:一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有，那么函数()f x 叫偶函数.（3）奇（偶）函数图像的特点：奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y 对称. 6.★函数的单调性（1） 增函数：设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的 值12,x x ，当12x x <时，都有，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数， 区间D 称为函数()f x 的单调区间.（2）减函数：设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的 值12,x x ，当12x x <时，都有，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数， 区间D 称为函数()f x 的单调区间. （3）一次函数()0y kx b k =+≠，当0k >时，y 随x 的增大而，当0k <时，y 随x 的增大而； （4）反比例函数()0ky k x=≠， 当0k >时，在每个区间内y 随x 的增大而，当0k <时，在每个区间内y 随x 的增大而； （5）二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而. 当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而.（6）指数函数(0,1)x y a a a =>≠当1a >时，y 随x 的增大而，当01a <<时，y 随x 的增大而. （7）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠当1a >时，y 随x 的增大而，当01a <<时，y 随x 的增大而. 7. 指数及指数函数 （1）根式与指数幂互化=nm a （)1,,,0*>∈>n N n m a ； =-p a （)0,0>>p a （2） 指数幂的运算性质（),,0,0R s r b a ∈>>=s r a a ；=s r a )(； =r ab )(.（3） 函数 叫做指数函数，其中x 是自变量.（4） 指数函数的图像及其性质（1）对数与指数之间的互化：=⇔=x N a x(01)a a >≠且. （2）对数log a N (01)a a >≠且的简单性质：=1log a ；=a a log ； （3） 以10为底的对数叫做 ；记作 ； 以e 为底的对数叫做 ；记作 ；（4）对数的运算性质：0,0,1,0>>≠>N M a a=⋅)(log N M a ；=NMalog ；=n a M log . （5）函数 叫做对数函数，其中x 是自变量.（6） 对数函数的图像及其性质9．幂函数：函数叫做幂函数（只考虑21,1,3,2,1-=α的图象）. 10.★函数的零点（1） 对于函数)(x f y =，把使叫做函数)(x f y =的零点.（2）方程0)(=x f 的⇔函数)(x f y =的⇔函数)(x f y =的零点.（3）零点存在性定理：若连续函数()f x 在区间(,)a b 上满足，则函数()f x 在(,)a b 上至少有一个 零点.必修二1. =柱V ；=椎体V ；=球V ；=球表S ；2.★★线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一．条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号语言：.3.★★线面垂直的判定定理：一条直线与平面内的两．条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直. 符号语言：.4. 两点的直线的斜率公式：；5. ★★两直线平行与垂直的判定6.★直线方程的形式（1）一般式: (A 、B 不同时为0),； （2）点斜式:； （3）斜截式:； 7.★距离公式：（1）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，则AB =.（2）点到直线距离公式： ()00,y x P 到直线0:1=++CBy Ax l 的距离=d . 8. ★圆的方程：标准方程，圆心()b a ,，半径为r ；一般方程220x y Dx Ey F ++++=，半径为 ，圆心坐标.9. ★线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离=d ，⇔相离与C l ； ⇔相切与C l ； ⇔相交与C l .必修三1.★★分层抽样：一般地，若从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则抽样比为λ=，若第i 层含有a的个体数为i N 个，则第i 层抽取的入样个体数为i i i nn N N Nλ==⋅． 2.★★频率分布直方图： =频率小矩形面积（注意：不是小矩形的高度） 计算公式： =频数频率样本容量；=⨯频数样本容量频率；==⨯频率频率小矩形面积组距组距；各组频数之和=样本容量；各组频率之和=1 3.茎叶图：茎表示高位，叶表示低位. 4.★古典概型的概率公式：()A m P A n==事件包含的基本事件个数实验中基本事件的总数5.★几何概型的概率公式：()A P A =事件构成的区域的长度（面积或体积）实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）必修四1.弧度：=α，l 为α所对的弧长，r 为半径，正负号的确定：逆时针为，顺时针为.2.弧度制与角度制的互化：=π，=rad 1，=01.3. 三角函数的定义：设角α是一个任意角，(),P x y 是终边上的任意一点，点P 与原点的距离r =， 那么sin α=；cos α=；tan α=；4. 三角函数诱导公式：()2kk z απ+∈与α之间函数值的关系，主要有：公式一：sin(2)k απ+⋅=()k z ∈；公式二：sin()πα+=()k z ∈； cos(2)k απ+⋅=()k z ∈； cos()πα+=()k z ∈； tan(2)k απ+⋅=()k z ∈.tan()πα+=()k z ∈. 公式三：sin()α-=；公式四：sin()πα-=； cos()α-=；cos()πα-=； tan()α-=.tan()πα-=.公式五：sin()2πα-=；公式六：sin()2πα+=；cos()2πα-=.cos()2πα+=.其规律（口诀）是“ ”.5.★同角三角函数的基本关系：平方关系：；商数关系：.6.★三角和差公式：()=±βαsin ；()=±βαcos ；()=±βαtan .7.★三角二倍角公式：=α2sin ；=α2cos ==；tan 2α=.8.★ 三角降幂公式：=α2sin ；=α2cos .9. 正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质10.★★()(0;0)y Asin x A ωϕω=+>>的最大值为，最小值为，最小正周期为； 由(0,0)y Asin x A ωω=>>向左平移个单位可得到()(0;0)y Asin x A ωϕω=+>>.11. 向量的模：线段AB 的长度叫向量AB 的长度，记为|AB|或|a |； （1）若 (,)a x y =，则 |a |= .（2）若1122(,),(,)A x y B x y ，则AB = ，|AB|=.12. ★向量的线性运算：（平行四边形法则） （三角形法则）13. ★★向量的平行与垂直的判定 (1) 向量共线定理①a ∥b （a ≠0）⇔存在惟一的实数λ使得；②若),,(),,(2211y x b y x a ==则a ∥b ⇔（a 可以为0 ）.（2）两个向量垂直的充要条件①a b ⊥⇔；②设1122(,),(,)a x y b x y ==，则a b ⊥ ⇔ .必修五1.★正弦定理：在ABC ∆中，在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为角,,A B C 的对边， 则有:．（其中R 为的半径）2.★余弦定理：在ABC ∆中，若a ,b ,c 分别为角,,A B C 的对边，则有①=2a ．=2b ．=2c ．②=A cos ．=B cos ．=C cos ．3.三角形面积公式：=∆ABC S ==．4.★等差数列{}n a (1) 定义：（d 为常数）； (2)通项公式：；(3)等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=A ；(4)性质：若()*,,,m n p q m n p q N +=+∈，则；(5)求和公式： n S =或n S =. 5.★等比数列 (1) 定义：（q 为常数）； (2)通项公式：；(3)等比中项：若,,a G b 成等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项，且=G ；(4)性质：若()*,,,m n p q m n p q N +=+∈，则；(5)求和公式：=n S .6.★数列{}n a 的前n 项和n S 与项n a 之间的关系：=n a .7.★y kx b <+表示直线y kx b =+的区域；表示直线y kx b =+上方区域. 8.★基本不等式： 若0a >，0b >，则，当且仅当a b =时取到等号.。

考点过关检测9 函数的应用一、单项选择题1．[2022·湖北襄阳五中月考]下列函数在(0，＋∞)上单调递增且存在零点的是( ) A ．y ＝x 2－x －3B ．y ＝－0.2xC ．y ＝sin2xD ．y ＝x －1x2．函数f (x )＝ex －1－2的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．[2022·山东临沂一中月考]方程log 4x ＝2－1x的解所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34 4．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)5．[2022·辽宁朝阳模拟]某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第x (1≤x ≤7，x ∈N )天进店消费的人数为y ，且y 与⎣⎢⎡⎦⎥⎤5xx 2([t ]表示不大于t 的最大整数)成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为( )A ．74B ．76C ．78D ．806．[2022·江苏省镇江中学月考]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，均有f (x ＋2)＝f (x )且f (1)＝0，当x ∈[0,1)时，f (x )＝2x－1，则方程f (x )－lg|x |＝0的实根个数为( )A ．6B ．8C ．10D ．127．[2022·北京丰台模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋m |，x ≤m x 2，x >m，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－2,0)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)8．[2022·福建福州月考]根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m 3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为 6.25mg/m 3，3周后室内甲醛浓度为1mg/m 3，且室内甲醛浓度ρ(t )(单位：mg/m 3)与竣工后保持良好通风的时间t (t ∈N *)(单位：周)近似满足函数关系式ρ(t )＝eat ＋b，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为( )A ．5周B ．6周C ．7周D ．8周 二、多项选择题9．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且f (－3)·f (6)<0，那么下列结论中正确的是( )A ．f (x )可能有三个零点B ．f (3)·f (－4)≥0C ．f (－4)<f (6)D ．f (0)<f (－6)10．[2022·广东揭阳一中月考]函数f (x )＝a x －cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤a ≤1的零点个数可能为( )A ．1B ．3C ．4D ．511．[2022·河北衡水中学月考]地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为M ＝lgA maxA 0(其中常数A 0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，A max 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅)．地震的能量E (单位：焦耳)是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知E ＝104.8×101.5M，其中M 为地震震级．下列说法正确的是( )A ．若地震震级M 增加1级，则最大振幅A max 增加到原来的10倍B ．若地震震级M 增加1级，则放出的能量E 增加到原来的10倍C ．若最大振幅A max 增加到原来的100倍，则放出的能量E 也增加到原来的100倍D ．若最大振幅A max 增加到原来的100倍，则放出的能量E 增加到原来的1000倍 12．[2022·海南昌茂花园学校月考]已知函数f (x )＝{ kx ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，下列是关于函数y ＝f [f (x )＋1]的零点个数的判断，其中不正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点B ．当k <0时，有2个零点C ．当k >0时，有4个零点D ．当k <0时，有1个零点 三、填空题13．设函数f (x )＝a x＋b ，其中a >0，a ≠1，b ∈R .若f (x )无零点，则b 的取值范围是________．14．[2022·广东肇庆一中月考]若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是________．15．有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定，大桥上的车距d (m)与车速v (km/h)和车长l (m)的关系满足：d ＝kv 2l ＋12l (k 为正的常数)，假定车身长为4m ，当车速为60(km/h)时，车距为2.66个车身长．应规定车速为________km/h 时，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？16．[2022·湖南师大附中模拟]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－3x ＋1，x <0，2－|2－x |，x ≥0，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则①m 的取值范围是__________；②x 1x 2x 3的取值范围是________．四、解答题17．[2022·河北张家口模拟]已知函数f (x )＝ln x －m .(1)若函数g (x )＝f (x )＋e x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内存在零点，求实数m 的取值范围；(2)若关于x 的方程f ()e x＋1＝x2有实数根，求实数m 的取值范围．18.[2022·北京四中月考]已知每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧248－x－1，0≤x ≤47－12x ，4<x ≤14.某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于3克/升时，它能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次1个单位的洗衣液，求三分钟后水中洗衣液的浓度； (2)若只投放一次1个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时(从第一次投放算起)，洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．考点过关检测9 函数的应用1．答案：D解析：y ＝x 2－x －3在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，不合题意，A 错误；令－0.2x＝0，方程无解，不合题意，B 错误；y ＝sin2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减，不合题意，C 错误；y ＝x 与y ＝－1x 在(0，＋∞)上均单调递增，∴y ＝x －1x 在(0，＋∞)上单调递增；令x －1x＝0，解得：x ＝±1，则y ＝x －1x在(0，＋∞)上存在零点x ＝1，D 正确．2．答案：B解析：因为函数f (x )为单调递增函数，且f (2)＝e －2>0，f (1)＝－1<0，所以零点所在的区间是(1,2)．3．答案：B解析：令f (x )＝log 4x ＋1x －2，则f (x )为连续函数，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 413＋3－2＝log 413＋1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 412＋2－2＝log 412<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，所以方程的解所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.4．答案：C解析：由题得f (1)f (2)＝(0－a )(3－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3，故选C. 5．答案：C解析：由题可设y ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x x 2(k ≠0)，当x ＝1时，y ＝10代入可得10＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5112＝5k ，解得k＝2，所以y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5xx 2，令x ＝4，则y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5442＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤62516＝2×39＝78.6．答案：D解析：函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，均有f (x ＋2)＝f (x )，可得f (x )为周期为2的奇函数，可得f (－x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，又f (1)＝0，∴f (2k －1)＝0(k ∈N )， 画出函数y ＝f (x )与y ＝lg|x |的图象，如图所示，当x >0时，y ＝f (x )与y ＝lg|x |有5个交点， 当x <0时，y ＝f (x )与y ＝lg|x |有7个交点， 故方程f (x )－lg|x |＝0有12个实数根，故D 正确． 7．答案：B解析：分情况讨论，当m >0时，要使f (x )＝b 有三个不同的根，则⎩⎪⎨⎪⎧|2m |>m2m >0⇒0<m <2；当m <0时，要使f (x )＝b 有三个不同的根，同理可知，需要⎩⎪⎨⎪⎧m 2>|2m |m <0⇒m <－2.当m ＝0时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去． ∴m 的取值范围是(－∞，－2)∪(0,2)． 8．答案：B解析：由题意可知，ρ(1)＝ea ＋b＝6.25，ρ(3)＝e3a ＋b＝1，ρ3ρ1＝e 2a ＝425，解得ea＝25.设该文化娱乐场所竣工后放置t 0周后甲醛浓度达到安全开放标准，则ρ(t 0)＝e at 0＋b ＝ea ＋b·e a (t 0－1)＝6.25×⎝ ⎛⎭⎪⎫25t 0－1≤0.1，整理得62.5≤⎝ ⎛⎭⎪⎫52t 0－1，设62.5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52m －1，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫524<62.5<⎝ ⎛⎭⎪⎫525，所以4<m －1<5，即5<m <6，则t 0－1≥m －1，即t 0≥m .故至少需要放置的时间为6周．9．答案：AC解析：因为f (x )是定义域为R 的偶函数，又f (－3)·f (6)<0，所以f (3)·f (6)<0.又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，且f (3)<0，f (6)>0，所以函数f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f (0)的值没有确定，所以函数f (x )可能有三个零点，故A 正确；又f (－4)＝f (4)，4∈(3,6)，所以f (－4)的符号不确定，故B 不正确；C 项显然正确；由于f (0)的值没有确定，所以f (0)与f (－6)的大小关系不确定，所以D 不正确．10．答案：AB解析：因为f (x )＝a x －cos x 的零点个数即函数y ＝a x ，y ＝cos x 图象交点的个数， 由图可知，当a ＝1时，交点只有1个；当a ＝13时，交点有3个．正数a 越大，交点个数越少．故零点个数可能为1，或2，或3. 11．答案：AD解析：因为M ′＝M ＋1＝lg A max A 0＋1＝lg 10A max A 0＝lg A ′maxA 0，所以A ′max ＝10A max ，故A 正确；因为E ′＝104.8×101.5(M ＋1)＝104.8×101.5M ＋1.5＝104.8×101.5M×101.5＝101.5E ，所以B 错误；因为M ′＝lg 100A max A 0＝2＋lg A max A 0＝2＋M ，E ′＝104.8×101.5(M ＋2)＝104.8×101.5M ＋3＝103E ，所以C 错误，D正确．12．答案：AB解析：函数y ＝f [f (x )＋1]的零点个数，即方程f [f (x )＋1]＝0的解的个数，x ≤0时， 由kx ＋1＝0得x ＝－1k ，k ≠0，若k >0，则x ＝－1k是f (x )＝0的一个解，k <0时，x ＝－1k不是f (x )＝0的解，x >0时，由f (x )＝log 2x ＝0，得x ＝1是f (x )＝0的一个解．所以若k <0，则由f [f (x )＋1]＝0得f (x )＋1＝1得f (x )＝0，x ＝1，D 正确； 若k >0，则由f [f (x )＋1]＝0得f (x )＋1＝1，或f (x )＋1＝－1k，f (x )＋1＝1即f (x )＝0⇒x ＝1或x ＝－1k，f (x )＋1＝－1k 即f (x )＝－1k －1，－1k －1<0，log 2x ＝－1k －1有一解x ＝2－1k －1，kx ＋1＝－1k －1，x ＝－1k 2－2k是一解， 综上方程f [f (x )＋1]＝0共4个解．C 正确． 13．答案：[0，＋∞)解析：因为指数函数y ＝a x的值域为(0，＋∞)，故函数f (x )＝a x＋b 的值域为(b ，＋∞)， 因为函数f (x )无零点，则0∉(b ，＋∞)，所以，b ≥0.14．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103解析：由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解．设t ＝x＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.15．答案：50解析：由题设，2.66×4＝4×602k ＋12×4，解得k ＝6×10－4，∴d ＝2.4×10－3v 2＋2，要使大桥上每小时通过的车辆最多，则使y ＝1000v d ＋l 最大，∴由题意，y ＝1000v0.0024v 2＋6＝10000.0024v ＋6v ≤100020.0024v ·6v＝10000.24，当且仅当0.0024v ＝6v ，即v ＝50km/h 时等号成立．16．答案：①0<m <2 ②2(3－21)<x 1x 2x 3<0解析：当x <0时，由复合函数的单调性知：y ＝log 2(x 2－3x ＋1)单调递减，作出函数f (x )的图象，如图所示：由图可知，当0<m <2时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×2＝4≥2x 2x 3，∴0<x 2x 3<4.令log 2(x 2－3x ＋1)＝2，解得x ＝3＋212(舍去)或x ＝3－212.∴3－212<x 1<0，∴2(3－21)<x 1x 2x 3<0.17．解析：(1)因为函数f (x )＝ln x －m 与y ＝e x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1都是增函数，所以函数g (x )＝f (x )＋e x ＝ln x ＋e x －m 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1也是增函数， 因为函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内存在零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln 1e＋1－m <0，ln1＋e －m >0，解得0<m <e.所以实数m 的取值范围为(0，e)．(2)关于x 的方程f ()e x＋1＝x2有实数根等价于关于x 的方程2m ＝2ln(e x＋1)－x 有实数根，所以存在实数x 使2m ＝ln(e x＋1)2－lne x＝ln e x ＋12ex＝ln(e x＋1ex ＋2)成立．因为e x＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x＝1ex ，x ＝0时取等号)，所以ln(e x＋1e x ＋2)≥ln ⎝⎛⎭⎪⎫2＋2e x·1e x ＝2ln2，所以实数m 的取值范围是[ln2，＋∞)．18．解析：(1)因为每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧248－x －1，0≤x ≤47－12x ，4<x ≤14.所以若只投放1个单位的洗衣液，则三分钟后水中洗衣液的浓度f (3)＝248－3－1＝3.8(克/升)；(2)若只投放一次1个单位的洗衣液，且当水中洗衣液的浓度不低于3(克/升)时，它能起到去污的作用．当0≤x ≤4时，248－x －1≥3，解得2≤x ≤4，当4≤x ≤14,7－12x ≥3，解得4<x ≤8，综上所述，有效去污时间为6分钟；(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12×12＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫248－2－1＝5>3，所以在第12分钟起(从第一次投放算起)，洗衣液能起到有效去污的作用．。

课时过关检测（二十三） 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式A 级——夯基保分练1．下列式子的运算结果为3的是( ) ①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°； ②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)； ③1＋tan 15°1－tan 15°；④tan π61－tan 2π6. A ．①②④ B ．③④ C ．①②③D ．②③④解析：选C 对于①，tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3－3tan 25°tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝3；对于②，2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝3；对于③，1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan 60°＝3；对于④，tan π61－tan 2π6＝12×2tanπ61－tan 2π6＝12×tan π3＝32.综上，式子的运算结果为3的是①②③.故选C. 2．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－23，则cos α＝( ) A.5＋23 B.15－26 C.5－23D.15＋26解析：选B 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，5π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝ 1－49＝53，所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π3＝－23×12＋53×32＝15－26. 3．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B ． 2 C.22D ．33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 4．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B ．118 C ．－1718D ．1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.5．已知sin 2θ＝23，则tan 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.15 B ．56C ．5D ．6解析：选A ∵sin 2θ＝cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π2＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝23，∴2cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4－1＝23，即cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝56， sin 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝16， ∴tan 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin 2⎝⎛⎭⎫θ－π4cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝15.6．设α，β为锐角，且2α－β＝π2，tan αcos βx ＋sin β＝1，则x ＝( )A ．1B ．2 C. 3D ． 2解析：选A ∵2α－β＝π2，∴β＝2α－π2，∴tan αcos ⎝⎛⎭⎫2α－π2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2α－π2＝1，即tan αsin 2αx －cos 2α＝1，∴x ＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin 2α＝1，故选A. 7.3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝________.解析：3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°·cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝ 2.答案： 28．sin 10°sin 50°sin 70°＝________.解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20° ＝sin 10°cos 10°cos 20°cos 40°cos 10°＝18sin 80°cos 10°＝18.答案：189．已知sin 10°－m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝________. 解析：由题意得m ＝sin 10°－2cos 140°cos 10°＝sin 10°＋2cos 40°cos 10°＝sin 10°＋2cos (30°＋10°)cos 10°＝sin 10°＋2×32cos 10°－2×12sin 10°cos 10°＝ 3. 答案： 310．已知sin β＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝__________.解析：因为sin β＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos β＝－45. 由sin(α＋β)＝cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)， 得25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2. 答案：－2 11．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值． 解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 12．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α ＝43，tan α ＝sin α cos α ，所以sin α ＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α ＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α ＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β )＝－55， 所以sin(α＋β )＝1－cos 2(α＋β )＝255， 所以tan(α＋β )＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β )＝tan [2α－(α＋β) ] ＝tan 2α－tan (α＋β )1＋tan 2αtan (α＋β )＝－211.B 级——提能综合练13．若α为第一象限角，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos(π＋α)，则 2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值为( ) A ．－75B ．75C.13D ．－73解析：选B 由sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos(π＋α)， 得2sin αcos α＝cos 2 α.∵α为第一象限角，∴cos α≠0，∴tan α＝12，∴2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝2⎝⎛⎭⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4 ＝cos 2α＋sin 2α＝cos 2α－sin 2α＋2sin αcos α ＝1－tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝1－14＋2×121＋14＝75.故选B.14．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1， 得sin(α－β)＝1， 又α，β∈[0，π]，∴－π<α－β<π，∴α－β＝π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. ∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1,1]． 答案：[－1,1]15．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2， ∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴ sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3 ＝－12×12－⎝⎛⎭⎫－32×32＝12.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.C 级——拔高创新练16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于点M ，已知S △OAM ＝55，点B 的纵坐标是210，则cos(α－β)＝________，2α－β＝________.解析：由题意，OA ＝OM ＝1， 因为S △OAM ＝55和α为锐角，所以sin α＝255，cos α＝55. 又点B 的纵坐标是210，所以sin β＝210，cos β＝－7210， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×⎝⎛⎭⎫－7210＋255×210＝－1010. 因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35， sin 2α＝2sin αcos α＝2×255×55＝45，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 因为sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝－22， 所以2α－β＝－π4.答案：－1010 －π4。