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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情]1．从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小．2．平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针引线的载体作用．3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．[导学心语]1．透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础．(1)向量的几何运算侧重于“形”，坐标运算侧重于“数”，要善于将二者有机结合和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用．2．平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用．3．复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算，属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思想方法．第一节平面向量的概念及线性运算[考纲传真] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的充要条件．( )(4)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD→＝12(AC →＋AB →)．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD→＝43AB →＋13AC → D.AD→＝43AB →－13AC → A [AD→＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC→.故选A.]3．(2017·银川质检)设点P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则PC →＋P A →＝________.0 [因为BC →＋BA →＝2BP →，由平行四边形法则知，点P 为AC 的中点，故PC →＋P A →＝0.]4．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC→＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． b －a －a －b [如图，DC→＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC→＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .] 5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.－13 [由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )，∴⎩⎨⎧λ＝－k ，3k ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13，k ＝13.]①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB→＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； ⑤λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a ，b 为非零向量，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中假命题的序号为________．①②③④⑤⑥ [①不正确．|a |＝|b |.但a ，b 的方向不确定，故a ，b 不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a ＝0时，λa ＝0.⑥不正确．对于非零向量a ，b ，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．] [规律方法] 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．若a 为非零向量，则a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量．[变式训练1] 设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是 ( )【导学号：01772141】A ．0 B.1 C.2D.3D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]AB的中点，则EB→＋FC →＝( ) A.BC → B.12AD → C.AD→ D.12BC →(2)(2016·广东广州模拟)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD→＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则m n＝( )A ．－3 B.－13 C.13D.3(1)C (2)A [(1)如图，EB→＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC→＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.(2)如图，过D 作DE ∥AB ，CD→＝mBA →＋nBC →＝CE →＋ED →＝－13BC →＋BA →， 所以n ＝－13，m ＝1，所以mn ＝－3.故选A.][规律方法] 向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[变式训练2] (1)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA→＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B.2OM → C.3OM→ D.4OM→ (2)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．(1)D (2)－2 [(1)因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得OA →＋OC→＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.故选D.(2)因为D 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →.由P A →＋BP→＋CP →＝0，得BA →＝PC →.又AP →＝λPD →，所以点P 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝AB →＋AC →＝2AD→＝－2PD →，所以λ＝－2.](1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，2分∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB→，BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.5分 (2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .9分 ∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.12分 [规律方法] 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB→＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[变式训练3] (1)已知向量AB→＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线(2)(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.(1)B (2)12 [(1)∵BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD→，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎨⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.][思想与方法]1．向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP→＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1. [易错与防范]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．3．在向量共线的条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．11。
第1讲平面向量的概念及线性运算【2015年高考会这样考】1．考查平面向量的线性运算．2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．【复习指导】本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)叫做a 与b 的差三角形法则3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )．A ．－BC→＋12BA → B ．－BC→－12BA → C.BC→－12BA →D.BC→＋12BA → 解析 如图，CD→＝CB →＋BD →＝CB→＋12BA →＝－BC →＋12BA →. 答案 A2．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b|. 正确的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析 只有④正确． 答案 A3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )． A.EF→＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE →C.EF→＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE → 解析 EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →.答案 B4．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA→＋CD →＋EF →＝( )．A ．0 B.BE → C.AD→D.CF→ 解析 BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.答案 D5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________. 解析 由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有：⎩⎪⎨⎪⎧1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12.答案 －12考向一 平面向量的概念【例1】►下列命题中正确的是( )． A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行[审题视点] 以概念为判断依据，或通过举反例说明其正确与否．解析 由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a 与b 不都是非零向量，即a 与b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a 与b 共线，符合已知条件，所以有向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故选C. 答案 C解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：(1)模相等；(2)方向相同．【训练1】 给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a 与b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中正确命题的序号是________． 解析 ①②正确，③④错误． 答案 ①②考向二 平面向量的线性运算【例2】►如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )． A.AD→＋BE →＋CF →＝0 B.BD→－CF →＋DF →＝0 C.AD→＋CE →－CF →＝0 D.BD→－BE →－FC →＝0 [审题视点] 利用平面向量的线性运算并结合图形可求． 解析 ∵AB →＋BC →＋CA →＝0，∴2AD →＋2BE →＋2CF →＝0，即AD →＋BE →＋CF →＝0. 答案 A三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量，和用平行四边形法则，差用三角形法则．【训练2】 在△ABC 中，AB→＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( )．A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴3AD→＝2AC →＋AB → ∴AD→＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 答案 A考向三 共线向量定理及其应用【例3】►设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[审题视点] (1)先证明AB →，BD →共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k .(1)证明 ∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB→，BD →共线，又它们有公共点，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．【训练3】 (2011·兰州模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )． A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1解析 由AB→＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得：AB →＝t AC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.故选D.答案 D难点突破11——有关平面向量中新定义问题解题策略从近两年课改区高考试题可以看出高考以选择题形式考查平面向量中新定义的问题，一般难度较大．这类问题的特点是背景新颖，信息量大，通过它可考查学生获取信息、分析并解决问题的能力．解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在． 【示例1】► (2012·泰安十校联考)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )． A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0 B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2【示例2】► (2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上。
平面向量的概念及线性运算自主梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有__大小____又有__方向____的量叫做向量．平面向量是自由向量 （2）表示方法： 用 有向线段 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 用字母a ，b ，…或用AB →，BC →，…表示．(3)模：向量的__长度____叫向量的模，记作___ |a |__或__AB__．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是__任意的___． (5)单位向量：长度为_1个___单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝__±a|a|___. (6)平行向量：方向__相同___或__相反__的__非零___向量；平行向量又叫___ 共线向量_________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量_平行 __． 向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.(7)相等向量：长度___相等___且方向__相同___的向量．2．向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →=a ，BC →=b ，则向量AC →叫做a 与b 的 和 ，记作 a ＋b ，即 a ＋b =AB →+BC →= AC →，这种求向量和的方法叫做向量加法的 三角形法则 . （2）以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OA →就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则 .(3)加法运算律a ＋b ＝___ b ＋a _____ (交换律)；(a ＋b )＋c ＝__ a ＋(b ＋c )__________(结合律)． 3．向量的减法及其几何意义 (1)相反向量与a ____长度相等__、____方向相反__的向量，叫做a 的相反向量，记作__－a ____． (2)向量的减法① 定义a －b ＝a ＋__(－b ) __，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量____．② 图，AB →＝a ，，AD →＝b ，则AC →＝ a ＋b ，DB →＝__ a －b ____.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作__λa ____，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝___|λ||a | ___；②当λ>0时，λa 与a 的方向__相同____；当λ<0时，λa 与a 的方向__相反______；当λ＝0时，λa ＝____. (2)运算律设λ，μ是两个实数，则① λ(μa )＝__(λμ)a ___.(结合律)② (λ＋μ)a ＝__λa ＋μa ___.(第一分配律) ③λ(a ＋b )＝__λa ＋λb ____.(第二分配律) (3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .5．重要结论PG →＝13(PA →＋PB →＋PC →)⇔G 为△ABC 的___重心__；PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的___重心___．3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得___ b =λa _. 自我检测1.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2BC =16 ，|AB AC AB AC +-＝，|则|AM →|等于 ( )A ．8B ．4C ．2D ．1 1.2．下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ；②对于实数m 和向量a ，b (m ∈R )，若m a ＝m b ，则a ＝b ；③若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n ； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ， 其中正确命题的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．C [①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m ＝0时，m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．]3.如图，正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF＝( )A ．0 B.BE C.AD D .CF４．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP，则( )A.PA PB + ＝0 B .PC ＋PA ＝0C.PB ＋PC ＝0D.PA PB + ＋PC＝0５．在平行ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →等于 ( )A ．－14a ＋14bB ．－12a ＋12bC ．a ＋12bD ．－34a ＋34bA [由AN →＝3NC →得4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )，又AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .] ６.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝m AM 成立，则m 等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 B [由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ， 则AM →＝23AD →，①因为AD 为中线，AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →，② 联立①②可得m ＝3.]７.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝______.解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.例1 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c .⑤a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .以上命题中正确的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．0 [①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行．探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈. (5)非零向量a 与a |a |的关系是：a|a |是a 方向上的单位向量.变式训练1 (1)下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①|a |＝|b |⇒a ＝b ； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③|a |＝0⇒a ＝0； ④若 a ＝b ，则|a|＝|b|；⑤若λ＝0，则λa ＝0；⑥若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →⇔四边形ABCD 是平行四边形．⑦若将所有的单位向量都平移到同一个起点，则它们的终点在同一个单位圆上． 变式训练1解析 ①模相同，方向不一定相同，故①不正确；②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确； ③ 只有零向量的模才为0，故③正确；⑥④AB →＝DC →，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故⑥正确． 故应选②③④⑤⑥⑦.(2)判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (7)任一向量与它的相反向量不相等.解 (1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)正确. 对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的. (7)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.二 向量的线性运算例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边 上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ， 设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ；AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 变式训练２ (1)在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的 中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ， 试用a ，b 表示AG →.解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝1()2AB BA AC λ++＝1()2AB AB AC λ+-+ ＝ 1(1)2a b λ-+ .又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m21－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13b .(2)如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a 、b 、c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.变式迁移2 解 BC →＝BA →＋AD →＋DC →题型三 共线向量问题例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.探究提高 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.变式训练３ (1) 设两个非零向量e 1和e 2不共线．①如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；②如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．（1）证明∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝e 1－e 2＋3e 1＋2e 2＝4e 1＋e 2＝12-（－8e 1－2e 2) ＝12-CD →．∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．（2）AC →＝AB →＋BC →＝（e 1＋e 2)＋（2e 1－3e 2) ＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线， ∴AC →与CD →共线．从而存在实数λ使得AC →＝λCD → 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．由平面向量的基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk .解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43.∴k 的值为43.（2）如图所示，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长 线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值.解:∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.(3)如图所示，平行四边形ABCD 中，AD →＝b ，AB →＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线.证明 在△ABD 中BD →＝AD →－AB →.因为AB →＝a, AD →＝b ，所以BD →＝b －a .由共线向量定理知：CM →∥CN →，又∵CM →与CN →有公共点C ，∴M 、N 、C 三点共线． (4)设OA ，OB 不共线，点P 在AB 上，求证：OP ＝λOA＋μOB 且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .证明：∵P 在AB 上，∴AP 与AB共线．∴AP ＝t AB .∴OP －OA＝t (OB －OA )．∴OP ＝OA ＋t OB－t OA ＝(1－t )OA ＋t OB .设1－t ＝λ，t ＝μ，则OP＝λOA ＋μOB 且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .用方程思想解决平面向量的线性运算问题如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →， OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，设OA →＝a ， OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线.∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线.∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .变式训练4综合问题如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成 的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是 ________；当x ＝－12时，y 的取值范围是________．解析：由题意得：OP →＝a ²OM →＋b ²OB →(a ，b ∈R ＋，0<b <1)＝a ²λAB →＋b ²OB → (λ>0)＝a λ(OB →－OA →)＋b ²OB ＝－αλ²OA →＋(αλ＋b )²OB →.由－a λ<0，求得x ∈(－∞，0)．又由OP →＝xOA →＋yOB →，则有0<x ＋y <1，当x ＝－12时，有0<－12＋y <1，求得：y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.答案：(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32变式训练5如图,平面内有三个向量 其中OA OB 与的夹角为1200,OA OC与的夹角为300,且||1,|OA OB OC === |||则的值是_6__.在△ABC 中, O 是△ABC 的重心.∠A,∠B, ∠C 的对边分别为a ,b ,c,若求证△ABC 是等边三角形.,,OA OB OC ,(,R),OB μλμ∈+λμ+OC OA λ= λμ+0,aOA bOB cOC ++=平面向量的概念及线性运算练习一一、选择题1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D. EF →＝－OF →－OE →2. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A .AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD →3．如图，正六边形 ABCDEF 中，BA ＋CD＋EF ＝ ( )A ．0B ．BEC ．AD D ．CF4. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP，则( ) A ．P 、A 、B 三点共线 B ．P 、A 、C 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线D ．以上均不正确5．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( )A.k ＝1且c 与d 同向B.k ＝1且c 与d 反向C.k ＝－1且c 与d 同向 D .k ＝－1且c 与d 反向6.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于（ ）A .23 B.13 C ．－13 D ．－237. 在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点， AN ＝λAB＋μAC ，则λ＋μ的值为( ) A .12B.13C.14D ．18．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且AC ²BD＝0，则四边形ABCD 是 ( )A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形9．如图，e1，e 2为互相垂直的单位向量，则 向量a －b 可表示为 ( ) A ．3e 2－e 1 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 210．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，其中a 、b 均为非零向量，则|p |的取值范围是 ( )A ．[0，2]B ．[0,1]C ．(0,2]D ．[0,2]11．化简：(1)AB →＋BC →＋CD →＝___AD _____；(2)AB →－AD →－DC →＝___CB _____；(3)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝____0 ____.12．已知在平面上不共线的四点O 、A 、B 、C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|＝__2______.13.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______.14.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为_____－2____.15．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是____ __． 解析：∵a ＝λb ，∴a 与b 共线，λ＝±35.16．已知a ，b 是不共线的向量，若AB ＝λ1a ＋b ，AC＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为_____．解析：A 、B 、C 三点共线⇔AB ∥AC⇔λ1λ2－1³1＝0⇔λ1λ2＝1.17．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，则|a －b |＝__10______.18．已知3x ＋4y ＝a,2x －3y ＝b ，其中a ，b 为已知向量，则向量x ＝________，y ＝________.答案：317a ＋417b 217a －317b19．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB＝a ＋b ，BC＝2a ＋8b ，CD＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线． (2) 试判断A 、C 、D 三点是否共线，并说明理由． (3)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．解 (1)∵AB ＝a ＋b ，BC＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )， ∴BD ＝BC ＋CD＝2a ＋8b ＋3(a －b )，＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB. ∴AB 、BD共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．(2)解：A 、C 、D 三点不共线．∵AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ， ∴AC ＝AB ＋BC＝a ＋b ＋2a ＋8b ＝3a ＋9b .而CD＝3a －3b ，假设存在λ∈R ，使得AC＝λCD ，即3a ＋9b ＝3λa －3λb .则⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，9＝－3λ显然满足上述条件的实数λ不存在，故A 、C 、D 三点不共线．(3)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即ka ＋b ＝λa ＋λkb . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.20．设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，CD＝2e 1－ke 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．AC ＝AB＋BC ＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC 与CD共线，从而存在实数λ使得AC ＝λCD ，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－ke 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.平面向量的概念及线性运算练习二1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误命题的个数为( )A.1B.2 C .3 D.42．平面向量a ，b 共线的充要条件是 ( ) A ．a ，b 方向相同 B ．a ，b 两向量中至少有一个为0C ．存在λ∈R ，使b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0解析：a ，b 共线时，a ，b 方向相同或相反，故A 错．a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，故B 错．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 不成立，故C 错．排除A 、B 、C.3．下列命题是假命题的是 ( ) A ．对于两个非零向量a 、b ，若存在一个实数k 满足a ＝k b ，则a 、b 共线 B ．若a ＝b ，则|a |＝|b | C ．若a 、b 为两个非零向量，则|a ＋b |＞|a －b | D ．若a 、b 为两个方向相同的向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b |4．设a ，b 是任意的两个向量，λ∈R ，给出下面四个结论： ①若a 与b 共线，则b ＝λa ；②若b ＝－λa ，则a 与b 共线； ③若a ＝λb ，则a 与b 共线；④当b ≠0时，a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a ＝λ1b .其中正确的结论有 ( ) A ．①② B ．①③ C ．①③④ D ．②③④5．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA |＝|OB |＝|OC |，NA ＋NB ＋NC＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( ) A ．重心 外心B ．重心 内心C ．外心 重心D ．外心 内心解析：由|OA |＝|OB |＝|OC |知，O 为△ABC 的外心；NA ＋NB ＋NC＝0，知，N 为△ABC 的重心． 答案：C6．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB＝λAE (λ＞0)，AC ＝μAF (μ＞0)，则1λ＋4μ的最小值是( )A ．9B.72 C ．5 D.92解析：由题意得，AB ＋AC ＝2AD ＝λAE ＋μAF ⇔AD ＝λ2AE ＋μ2AF，又D 、E 、F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝(λ2＋μ2)(1λ＋4μ)＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝92，当且仅当2λ＝μ时取等号． 答案：D7.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋ PB ＋PC ＝AB，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：∵PA ＋PB ＋PC ＝AB ，∴PA ＋PB ＋PC ＝PB－PA ，∴PC ＝－2PA ＝2AP ，∴P 是AC 边的一个三等分点．8．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) A ．外心 B ．垂心 C ．内心 D ．重心9.已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A.△ABC 的内部 B .AC 边所在直线上 C. AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上10.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )A.外心B .内心 C.重心D.垂心解：由条件得＝λ，因与都是单位向量，故点P 在∠BAC 的平分线上，所以点P 的轨迹通过△ABC 的内心．选B.11．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝ ( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D .23a ＋13b 解析：∵AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .故选D.12.设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为___－1_______.13.已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是_________(将正确的序号填在横线上).①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ； ②存在相异实数λ、μ，使λ²a ＋μ²b ＝0； ③x ²a ＋y ²b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线.14.已知1OP ＝a ，OP 2→＝b ，P 1P 2→＝λPP 2→，则OP →＝_________.1λa ＋λ－1λb＝a ＋λ－1λ(b －a )＝1λa ＋λ－1λb .15.如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ， BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b ).∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .即OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ， MN →＝12a －16b .16.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →. 即－23a ＋13b ＝λt b －λa .∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上.平面向量的概念及线性运算练习三1．若△ABC 满足|CB →|＝|AB →＋AC →|，则△ABC 的形状必定为 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2.命题p ：a 与b 是方向相同的非零向量，命题q: a 与b 是两平行向量，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12 C .23 D.34 4．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13AA ＝λ12A A(λ∈R)，14A A ＝μ12A A(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R)调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解 依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有AC ＝λAB ，AD ＝μAB ，且1λ＋1μ＝2.若C 是线段AB 的中点，则有AC ＝12AB，此时λ＝12.又1μ＋1λ＝2，∴1μ＝0，不可能成立．因此选项A 不正确，同理B 也不正确．若C ，D 同时在线段AB 上，由AC＝λAB ，AD＝μAB 知0＜λ＜1,0＜μ＜1，此时1λ＋1μ＞2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，因此选项C 不正确． 若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则AC＝λAB 时，λ＞1，AD ＝μAB 时，μ＞1，此时1λ＋1μ＜2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上．5.设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝__±4______. 解析：因为8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )，即(8－λk )a＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.6．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若OP ＝a 1OP ＋b 2OP，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a ________0，b ________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．解析：由于点P 落在第Ⅲ部分，且OP ＝a 1OP ＋b 2OP，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a ＞0，b ＜0. 答案：＞ ＜7．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为_(－4，－2)_______．解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB ＝a 1OA＋a 200OC ，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S200＝_100_____9.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为____311_____.10.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交 直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为____.解析 方法一 若M 与B 重合，N 与C 重合， 则m ＋n ＝2.方法二 ∵2＝＋＝m ＋n ，＝m 2＝m 2.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2. 11. 已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为___±2_____.12．如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝______，y ＝__________.作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，设AB ＝AC ＝1⇒BC ＝DE ＝2，∵∠DEB ＝60°，∴BD ＝62. 由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62³22＝32，所以BF →＝32AB →⋅FD →＝32AC →，所以AD →＝AB →＋BF →＋FD →＝（12+）AB →＋32AC →.14．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.解析：如图所示，连接BO ，并延长交圆O 于点D ，连接CH ，CD ，AD ，则∠BCD ＝∠BAD ＝90°，∴CD ⊥BC ，AD ⊥AB .又H 为△ABC的垂心，∴AH ⊥BC ，CH ⊥AB . ∴CD ∥AH ，AD ∥HC .∴四边形AHCD 为平行四边形． ∴AH →＝DC →＝OC →－OD →.∵O 为BD 的中点，∴OB →＝－OD →.∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋OC →－OD →＝OA →＋OB →＋OC →. ∴m ＝1.故填1.15．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为___12_____．三、解答题16．如图，在△ABC 中，AMAN 11AB 3AC 4==，，，BN 与CM 交于P 点，且AB →＝a ，AC →＝b .用a ，b 表示AP →.解析：由题意知：AM →＝13AB →＝13a ，AN →＝14AC →＝14b ，BN →＝AN →－AB →＝14b －a ，CM →＝AM →－AC →＝13a －b .设PN →＝λBN →，PM →＝μCM →，则PN →＝λ4b －λa ，PM →＝μ3a －μb ，∴AP →＝AN →－PN →＝14b －(λ4b －λa )＝λa ＋1－λ4b ，AP →＝AM →－PM →＝13a －(μ3a －μb )＝1－μ3a ＋μb 而AP →＝AP →，∴λa ＋1－λ4b ＝1－μ3a ＋μb而a ，b 不共线．∴λ＝1－μ3且1－λ4＝μ.∴λ＝311.因此AP →＝311a ＋211b .17已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点. (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ， 求证：1m ＋1n＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b ).因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b ).由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →， 所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －13b .又因为a 、b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.。
第01节平面向量的概念及线性运算【考纲解读】【知识清单】1．向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．对点练习：给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③0aλ＝ (λ为实数)，则λ必为零． 其中错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0【答案】B故选B .2．平面向量的线性运算 一．向量的线性运算平行四边形法则二．向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①()()a a λμλμ＝；②() a a a λμλμ＋＝＋；③()a b a b λλλ ＋＝＋.对点练习：【2015高考新课标1】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）A.1433AD AB AC =-+ B.1433AD AB AC =- C.4133AD AB AC =+ D.4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A. 3．共线向量共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 对点练习：设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向． 【答案】（1）证明见解析；（2）k ＝1.又∵λ>0，∴k ＝1.【考点深度剖析】平面向量的概念及线性运算，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，以工具的形式出现．【重点难点突破】考点1 向量的有关概念 【1-1】给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C【解析】 ①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线． ②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC . 又∵A B C D ，，，是不共线的四点， ∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD ∥且AB 与DC 方向相同，因此AB ＝DC . ③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当0λμ＝＝时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 选C . 【领悟技法】(1)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点． (2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．． (3)几个重要结论①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； ②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 【触类旁通】【变式一】给出下列命题：①a b ＝的充要条件是||a b |＝|且a b //；②若向量a 与b 同向，且||a b |>|，则a b >；③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； ④若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； ⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等． 其中真命题的序号是________． 【答案】⑤考点2 平面向量的线性运算【2-1】如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF 等于（）A 1123AB AD - B 142AB AD+ C 11AB DA + D 12AB AD -【答案】D 【解析】1112AB AD AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫+-+=- ⎪ ⎪,故选D.【领悟技法】1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 【触类旁通】【变式一】平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.【答案】OM =16a ＋56b, ON =23a ＋23b ，MN ＝12a －16b . 【解析】BA ＝a －b ，BM ＝16BA ＝16a －16b ，OM OB BM =+＝16a ＋56b ，OD ＝a ＋b ，ON OC CN =+＝12OD ＋16OD＝23OD ＝23a ＋23b ， MN ON OM =-＝12a －16b .考点3 共线向量【3-1】在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ等于( ) A.23B.13 C ．－13D ．－23【答案】A【解析】∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .【领悟技法】共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 【触类旁通】【变式一】已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB PA PB λ=+，其中λ∈R，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上 【答案】B【解析】由CB PA PB λ=+得CB PB PA λ-=，∴CP PA λ=.则,CP PA 为共线向量，又,CP PA 有一个公共点P C P A ∴，、、三点共线，即点P 在直线AC 上．故选B . 【易错试题常警惕】易错典例： 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则a 与b 同向或反向；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题的序号为________．易错分析：概念理解不清致误．答案：④温馨提醒：(1)易忽略 0与0的区别，把零向量 0误写成0而致误． (2)易将向量与数量混淆而致误，如|a |＝|b |误推出a ＝±b 等． (3)忽视向量为零向量的特殊情况而致误．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
C DAB6.1平面向量的概念及线性运算【考纲要求】1、平面向量的实际背景及基本概念 ①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. ③理解向量的几何表示. 2、向量的线性运算① 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.② 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义. 【基础知识】1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
一般用a r 或AB u u u r表示。
2、有向线段的定义：带有方向的线段叫有向线段。
有向线段包括起点、方向、长度。
所以向量可以用有向线段来表示。
3、模的定义：向量AB u u u r的长度叫向量的模，记作AB u u u r .4、几个特殊的向量（1）零向量：长度为零的向量。
零向量的方向是任意的。
零向量和任意一个向量的方向平行。
（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量。
5、向量的关系（1）平行向量（共线向量）：方向相等或相反的向量，叫平行向量。
由于平行向量可以自由平移到一条直线上，所以平行向量又叫共线向量。
共线向量不一定在一条直线上。
（2）相等向量的定义：长度相等方向相同的向量叫做相等向量。
（3）相反向量的定义：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
6、向量的加法和减法运算向量的运算几何表示 代数表示向量的加法AB BC AC +=u u u r u u u r u u u rAB AD AC +=u u u r u u u r u u u rAB CA BC向量的减法AC AB BC -=u u u r u u u r u u u r向量加法的三角形法则可推广到多个向量相加：=++⋅⋅⋅+++ 7、向量的数乘（1）定义：求实数λ与向量a r 的乘积的运算叫向量的数乘，记作a λr。
（2）向量的数乘结果还是一个向量。
当0λ>时，a λr 与a r 的方向相同，且a a λλ=r r； 当0λ<时，a λr 与a r 的方向相反，且a a λλ=-r r。
C DAB6.1平面向量的概念及线性运算【考纲要求】1、平面向量的实际背景及基本概念 ①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. ③理解向量的几何表示. 2、向量的线性运算① 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.② 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义. 【基础知识】1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
一般用a 或AB表示。
2、有向线段的定义：带有方向的线段叫有向线段。
有向线段包括起点、方向、长度。
所以向量可以用有向线段来表示。
3、模的定义：向量AB的长度叫向量的模，记作AB .4、几个特殊的向量（1）零向量：长度为零的向量。
零向量的方向是任意的。
零向量和任意一个向量的方向平行。
（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量。
5、向量的关系（1）平行向量（共线向量）：方向相等或相反的向量，叫平行向量。
由于平行向量可以自由平移到一条直线上，所以平行向量又叫共线向量。
共线向量不一定在一条直线上。
（2）相等向量的定义：长度相等方向相同的向量叫做相等向量。
（3）相反向量的定义：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
6、向量的加法和减法运算向量的运算几何表示 代数表示向量的加法AB BC AC +=AB AD AC +=AB CA BC向量的减法AC AB BC -=向量加法的三角形法则可推广到多个向量相加：=++⋅⋅⋅+++ 7、向量的数乘（1）定义：求实数λ与向量a 的乘积的运算叫向量的数乘，记作a λ。
（2）向量的数乘结果还是一个向量。
当0λ>时，a λ 与a的方向相同，且a a λλ= ； 当0λ<时，a λ 与a的方向相反，且a a λλ=- 。
（3）结论①向量共线定理:如果向量a 为非零的向量，那么向量b 与向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b a λ=；②,,A B C 三点共线⇔AB BC λ=③向量ABAB表示与向量AB 方向相同的单位向量。
8、温馨提示（1）向量手写体必须在字母的上方加一个“→”。
（2）注意零向量这个特殊的向量。
它的方向是任意的，长度是零。
（3）注意向量它既有方向，又有长度。
（4）解向量题时，由于向量属于几何范畴，所以要注意画图分析，注意平面几何知识（相似、比例等）的运用，利用数形结合的思想分析解答。
(5)||,λ=⇔只有≠才是正确的。
而当=时，||是λ=的必要非充分条件。
（6）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。
（7）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。
【例题精讲】例1 若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R，若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，tb ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？解：设a －tb ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫23m －1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3－t b ， ∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23m －1＝0m 3－t ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，tb ，13(a ＋b )的终点在一条直线上．例2 设a 、b 是不共线的两个非零向量,(1)若2,3,OA a b OB a b OC =-=+=a-3b,求证:A 、B 、C 三点共线;(2)若8a+kb 与ka+2b 共线,求实数k 的值.解:(1)证明:∵AB =(3a+b)-(2a-b)=a+2b.而BC =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2,AB ∴AB 与BC共线,且有公共端点B,∴A、B 、C 三点共线.[.Com] (2)∵8a+kb 与ka+2b 共线,存在实数λ使得8a+kb=λ(ka+2b) (8-λk)a+(k-2λ)b=0, ∵a 与b 是不共线的两个非零向量,∴⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k ＝2λ＝±4.6.1平面向量的概念及线性运算强化训练 【基础精练】1.已知λ∈R，则下列命题正确的是 （ ）A. |λa |＝λ|a |B.|λa |＝|λ|aC.|λa |＝|λ||a |D.|λa |＞02.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD＝A.12CD BA -+B.12BC BA -+C.12BC BA - D 12BC BA +3.如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )A.0AD BE CF ++=B.0BD CE DF ++=C.0AD CE CF ++=D.0BD BE FC ++=4.(2018²苏州模拟)若a ＋b ＋c ＝0，则a 、b 、 c( )A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B.一定不可能构成三角形C.都是非零向量时能构成三角形D.一定可构成三角形5.已知O 为△ABC 内一点，且20,OA OC OB ++=则△AOC 与△ABC 的面积之比是( )A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.1∶16.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足,PA PB PC AB ++=则点P 与△ABC 的关系为 ( ) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部C.P 在AB 边所在直线上D.P 是AC 边的一个三等分点7.在△ABC 中，BD ＝2DC ，AD ＝m AB ＋n AC ，则mn＝ .8.在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN＝ (用a ，b 表示).9.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝m AM ，＝n AN，则m ＋n 的值为 .10.设i 、j 分别是平面直角坐示系Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且OA ＝－2i ＋mj ，OB＝ni ＋j ，OC＝5i －j ，若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m 、n 的值.11.已知P 为△ABC 内一点，且3450.AP BP CP ++= 延长AP 交BC 于点D ，若AB＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD.【拓展提高】1.如图所示,△ABC 中,点M 是BC 的中点,点N 在AC 边上,且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,求AP PM 的值.2.设a 、b 是不共线的两个非零向量，(1)若OA ＝2a －b ，OB ＝3a ＋b ，OC＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线；(2)若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，求实数k 的值；(3)设OM ＝ma ，ON ＝nb ，OP＝α a ＋β b ，其中m 、n 、α、β均为实数，m ≠0，n ≠0，若M 、P 、N 三点共线，求证：αm ＋βn＝1.【基础精练参考答案】1.C 解析：当λ＜0时，|λa |＝λ|a |不成立，A 错误；|λa |应该是一个非负实数，而非向量，所以B 不正确；当λ＝0或a ＝0时，|λa |＝0，D 错误.2.A 解析：1.2BD CB BD BC BA =+=-+3.A 解析：111222AD BE CF AB BC CA ++=++1()0.2AB BC CA =++=4.A 解析：若a 、b 、c 均为共线向量时也可以使a ＋b ＋c ＝0，但是无法构成三角形或者若a 、b 、c 为两两夹角都为120°，且模相等时a ＋b ＋c ＝0，但也无法构成三角形.5.A 解析：设AC 的中心点为D则2,OA OC OD += ∴2220,OA OC OB OD OB ++=+=∴OD OB =-即点O 为AC 边上的中线BD 的中点， ∴S △AOC S △ABC ＝12. 6.D 解析：∵,PA PB PC AB ++=∴,PA PB PC PB PA ++=- ∴22,PC PA AP =-=∴P 是AC 边的一个三等分点. 7. 12解：法一： 2,3212().333AD AB BD AB BC AB AC AB AB BC =+=+=+-=+∴m ＝13，n ＝23，m n ＝12法二：∵2,BD DC = ，∴,AD AB -＝2(AC AD - ) ∴AD ＝13AB ＋23AC ，得m ＝13，n ＝23.∴m n ＝12.8. －14a ＋14b 解析：由3,43AN NG AN AN ==得 ＝3(a ＋b )，即AN ＝34(a ＋b )，又∵AM ＝a ＋12b ，∴MN AN AM =- ＝34(a ＋b )－(a ＋12b )＝－14a ＋14b .9.2解析：AO ＝12(AB AC +)＝m 2AM ＋n 2AN， ∵M 、O 、N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.10.解：AB OB OA =-＝(n ＋2)i ＋(1－m )j ， BC OC OB =-＝(5－n )i ＋(－2)j .∵点A 、B 、C 在同一条直线上，∴AB ∥BC，即AB＝λBC ，∴(n ＋2)i ＋(1－m )j ＝λ[(5－n )i ＋(－2)j ]，2(5)3612,33.22n n m m m n n m n λλ+=-⎧=⎧=⎧⎪⎪-=-⎨⎨⎨==⎩⎪⎪=⎩⎩解得或11.解：∵,,BP AP AB AP a CP AP AP b =-=-=--又345AP BP CP ++ ＝0，∴34()5()AP AP a AP b +-+-＝0，化简，得AP ＝13a ＋512b .设AD ＝t AP(t ∈R)， 则AD ＝13ta ＋512tb .①又设BD ＝k BC (k ∈R)，由BC ＝AC －AB＝b －a ，得 BD ＝k (b －a ).而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ， ∴AD＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .②由①②，得11,43.35.12t k t t k ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得 代入①，有AD ＝49a ＋59b .【拓展提高参考答案】2.解：(1)证明：∵AB＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ，而BC ＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB ，∴AB 与BC共线，且有公共端点B ，∴A 、B 、C 三点共线.(2)∵8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，∴存在实数λ，使得(8a ＋kb )＝λ(ka ＋2b )⇒(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0， ∵a 与b 不共线，8082220k k λλλ-=⎧⇒==±⎨-=⎩∴2 4.k λ==± (3)证明：∵M 、P 、N 三点共线，∴存在实数λ，使得MP PN λ=，∴1OM ON OP λλ+=+ ＝m 1＋λa ＋λn 1＋λb .∵a 、b 不共线，∴,11m n αλλβλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩∴αm ＋βn ＝11＋λ＋λ1＋λ＝1.。
