2017届高三数学(文)二轮复习(通用版)教师用书：题型专题(十五) 圆锥曲线的方程与性质 Word版含答案

题型专题(十五) 圆锥曲线的方程与性质[师说考点] 圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M .[典例] (1)(2016·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 [解析] 选A 由焦距为25得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)(2016·沈阳模拟)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作P A ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________.[解析] 法一：令l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233.设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43.法二：如图所示，∠AFO ＝30°， ∴∠P AF ＝30°，又|P A |＝|PF |，∴△APF 为顶角∠APF ＝120°的等腰三角形， 而|AF |＝2cos 30°＝433，∴|PF |＝|AF |3＝43. [答案] 43[类题通法]求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[演练冲关]1．已知椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上得4a 2＋3b 2＝1 ①.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， 则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|， 即2a ＝2·2c ，c a ＝12②.又∵c 2＝a 2－b 2 ③，联立①②③得a 2＝8，b 2＝6. 即椭圆方程为x 28＋y 26＝1.2．(2016·广州模拟)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．解析：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，∵，∴x A ＋1＝2(x B ＋1)，又x A x B＝1，∴x A ＝2，x B ＝12，弦AB 的中点到抛物线准线的距离为x A ＋x B 2＋1＝2＋122＋1＝94.答案：94[师说考点]1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[典例] (1)(2016·全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5. ∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴⎩⎨⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.(2)(2016·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．2[解析] 选A 法一：作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A.法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a.又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝ 2.[类题通法]用圆锥曲线性质的2个注意点(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．[演练冲关]1．(2016·湖南东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：选A 依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.故选A. 2．(2016·广州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．3x ±4y ＝0解析：选C 双曲线的右焦点到左顶点的距离等于a ＋c ，右焦点到渐近线y ＝±ba x 的距离为bc a 2＋b 2＝b ，则a ＋c ＝2b ，c ＝2b －a ，a 2＋b 2＝c 2＝(2b －a )2，所以3b ＝4a ，b a ＝43，所以所求渐近线方程为4x ±3y ＝0.3．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2，并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．答案：2[师说考点]判断直线与圆锥曲线公共点的2种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．[典例] (2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． [解](1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝pt x ， 将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．[类题通法]求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程； 若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．[演练冲关]1．(2016·重庆模拟)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交抛物线于A ，B 两点．若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点M (11，0)，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．12解析：选C 由题意可得直线AB 的方程是y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，代入抛物线方程y 2＝2px (p >0)中，化简得3x 2－5px ＋34p 2＝0，则AB 中点坐标是⎝⎛⎭⎫5p 6，3p 3，则3p 35p 6－11＝－33，解得p ＝6.2．(2016·云南模拟)已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于32，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．(1)求椭圆E 的方程； (2)若，求m 2的取值范围．解：(1)根据已知设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由已知得c a ＝32，∴c ＝32a ，b 2＝a 2－c 2＝a 24. ∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45，∴4a 2＋b 2＝25a ＝45， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)根据已知得P (0，m )，设A (x 1，kx 1＋m )，B (x 2，kx 2＋m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2＋y 2－4＝0得，(k 2＋4)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0. 由已知得Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2－4)>0， 即k 2－m 2＋4>0，且x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2－4k 2＋4.由得x 1＝－3x 2.∴3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝12x 22－12x 22＝0.∴12k 2m 2（k 2＋4）2＋4（m 2－4）k 2＋4＝0，即m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0. 当m 2＝1时，m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0不成立， ∴k 2＝4－m 2m 2－1.∵k 2－m 2＋4>0，∴4－m 2m 2－1－m 2＋4>0，即（4－m 2）m 2m 2－1>0. ∴1<m 2<4.∴m 2的取值范围为(1，4)．圆锥曲线与其他知识的交汇圆锥曲线与方程是解析几何的核心部分，是高考重点考查的内容，且所占分值较大，近年高考中，圆锥曲线与圆、平面向量、解三角形、不等式、数列等知识交汇，成为命题的热点和难点．[典例] 已知过定点(2，0)的直线与抛物线x 2＝y 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．若x 1，x 2是方程x 2＋x sin α－cos α＝0的两个不相等实数根，则tan α的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 [解析] 选A 设直线方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝x 2，得x 2－kx ＋2k ＝0，∴x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝2k ，又∵x 1，x 2为x 2＋x sin α－cos α＝0的两个不同的根，∴k ＝－sin α，2k ＝－cos α，∴tan α＝12.[类题通法]本题是抛物线、直线的方程与三角函数的交汇，在求解时，利用根与系数之间的关系找出x 1，x 2与α的三角函数关系，问题即可解决．[演练冲关]1.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计)．一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )A.154 B.15C.265D.14解析：选A 如图，设上、下两个乒乓球的球心分别为O 1，O 2，椭圆与球筒边缘的交点分别为E ，F ，椭圆与两个乒乓球的切点分别为A ，B ，由题可知，|O 1O 2|＝16，|O 1A |＝2，过点E 作EM ⊥O 1O 2，则|EM |＝|O 1A |＝2，易知△EMO ≌△O 1AO ，则|EO |＝|O 1O |＝8，所以|EF |＝16，即2a ＝16，a ＝8.椭圆的短轴长为圆柱的直径，即2b ＝4，b ＝2，所以c ＝a 2－b 2＝215，故该椭圆的离心率e ＝c a ＝154，选项A 正确．2．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 2＝120°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是________．解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，因为△F 1PF 2的三边长成等差数列，∠F 1PF 2＝120°，∴F 1F 2为最大边，∴2c ＋|PF 2|＝2|PF 1|，解得|PF 1|＝2(c －a )，|PF 2|＝2(c －2a )．由余弦定理，(2c )2＝4(c －a )2＋4(c －2a )2－2×4(c －a )(c －2a )cos 120°，化简得7a 2－9ac ＋2c 2＝0，即2e 2－9e ＋7＝0.∵e ≠1，∴e ＝72.答案：72一、选择题1．(2016·全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)解析：选A 由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.2．(2016·全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.3．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x解析：选B 依题意，不妨设M (x ，y )，y >0，因为|OF |＝p 2，所以|MF |＝2p ，即x ＋p2＝2p ，解得x ＝3p 2，y ＝3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .4．设双曲线x 2a ＋y 2b ＝1的一条渐近线为y ＝－2x ，且一个焦点与抛物线y ＝14x 2的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A.54x 2－5y 2＝1 B ．5y 2－54x 2＝1 C ．5x 2－54y 2＝1 D.54y 2－5x 2＝1解析：选D 因为x 2＝4y 的焦点为(0，1)，所以双曲线的焦点在y 轴上．因为双曲线的一条渐近线为y ＝－2x ，所以设双曲线的方程为y 2－4x 2＝λ(λ>0)，即y 2λ－x 2λ4＝1，则λ＋λ4＝1，λ＝45，所以双曲线的方程为5y 24－5x 2＝1，故选D.5．(2016·福建质检)已知过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点的直线l 与C 交于A ，B 两点，且使|AB |＝4a 的直线l 恰好有3条，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：选A 不妨设直线l 过双曲线的右焦点，由题意及双曲线的对称性可得，直线l 必有一条过右焦点且与x 轴垂直，因为|AB |＝4a ，所以可取点A (c ，2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2－4a 2b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2，解得ba＝2，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.6．(2016·江西两市联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ∈[2，2]，则一条渐近线与x 轴所成角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π4B.⎣⎡⎦⎤π6，π3C.⎣⎡⎦⎤π4，π3D.⎣⎡⎦⎤π3，π2 解析：选C ∵e ∈[2，2]，∴2≤c 2a 2≤4，又c 2＝a 2＋b 2，∴2≤a 2＋b 2a 2≤4，∴1≤b 2a 2≤3，∴1≤b a ≤3，设所求角为θ，则tan θ＝ba ，∴1≤tan θ≤3，∴π4≤θ≤π3.二、填空题7．(2016·唐山模拟)焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝18．(2016·江西景德镇二模)已知抛物线Γ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 是Γ的准线上一点，Q 是直线PF 与Γ的一个交点．若，则直线PF 的方程为________．解析：由抛物线y 2＝4x 可得焦点坐标为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，设P (－1，y P )，Q (x Q ，y Q )，由，得⎩⎪⎨⎪⎧y Q －y P ＝2（0－y Q ），x Q ＋1＝2（1－x Q），又因为y 2Q ＝4x Q ，则易知y P ＝±23，即P (－1，23)或P (－1，－23)．当P 点坐标为(－1，23)时，直线PF 的方程为3x ＋y －3＝0，当P 点坐标为(－1，－23)时，直线PF 的方程为3x －y －3＝0，所以直线PF 的方程为3x ＋y －3＝0或3x －y －3＝0. 答案：3x ＋y －3＝0或3x －y －3＝09．(2016·兰州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是________．解析：设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，则2c ＝|PF 2|＝2a －10，2m ＝10－2c ，所以a ＝c ＋5，m ＝5－c ，所以e 1e 2＝c c ＋5×c 5－c ＝c 225－c 2＝125c 2－1，又由三角形的性质知2c ＋2c >10，由已知2c <10，c <5，所以52<c <5，1<25c 2<4，0<25c 2－1<3，所以e 1e 2＝125c 2－1>13. 答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞三、解答题10．(2016·郑州质检)已知曲线C 的方程是mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，且曲线过A ⎝⎛⎭⎫24，22，B ⎝⎛⎭⎫66，33两点，O 为坐标原点． (1)求曲线C 的方程；(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是曲线C 上两点，向量p ＝(mx 1，ny 1)，q ＝(mx 2，ny 2)，且p ·q ＝0，若直线MN 过点⎝⎛⎭⎫0，32，求直线MN 的斜率． 解：(1)由题可得⎩⎨⎧18m ＋12n ＝1，16m ＋13n ＝1，解得m ＝4，n ＝1. ∴曲线C 的方程为y 2＋4x 2＝1. (2)设直线MN 的方程为y ＝kx ＋32，代入椭圆方程y 2＋4x 2＝1得：(k 2＋4)x 2＋3kx －14＝0，∴x 1＋x 2＝－3k k 2＋4，x 1x 2＝－14k 2＋4， ∴p ·q ＝(2x 1，y 1)·(2x 2，y 2)＝4x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴－1k 2＋4＋－14k 2k 2＋4＋32k ·（－3k ）k 2＋4＋34＝0， 即k 2－2＝0，k ＝±2，故直线MN 的斜率为±2.11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B ，D 两点，已知A (1，0)，若＝1，证明：过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．解：(1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32， ∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1得2x 2－2mx －m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32， 又∵＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0，∴AD ⊥AB ， ∴过A ，B ，D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径，∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥x 轴，∴过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．12．如图，圆C 与y 轴相切于点T (0，2)，与x 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆Γ：x 24＋y 28＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .解：(1)设圆C 的半径为r (r >0)，依题意得，圆心坐标为(r ，2)．∵|MN |＝3，∴r 2＝⎝⎛⎭⎫322＋22，∴r ＝52， ∴圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)证明：把y ＝0代入方程⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254，解得x ＝1或x ＝4，即点M (1，0)，N (4，0)．①当AB ⊥x 轴时，由椭圆对称性可知∠ANM ＝∠BNM .②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），2x 2＋y 2＝8，消去y 得(k 2＋2)x 2－2k 2x ＋k 2－8＝0. 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2k 2＋2，x 1·x 2＝k 2－8k 2＋2. ∵y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，∴k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝k （x 1－1）x 1－4＋k （x 2－1）x 2－4＝k （x 1－1）（x 2－4）＋k （x 2－1）（x 1－4）（x 1－4）（x 2－4）. ∵(x 1－1)(x 2－4)＋(x 2－1)(x 1－4)＝2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝2（k 2－8）k 2＋2－10k 2k 2＋2＋8＝0， ∴k AN ＋k BN ＝0，∴∠ANM ＝∠BNM .综上所述，∠ANM ＝∠BNM .。