一元二次函数归纳

一、二次函数概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的取值范围是全体实数．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式()2y a x h k=-+的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.三、二次函数图象的平移2. 平移规律“左加右减，上加下减”二次函数解析式的确定：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.。

二次函数复习目标：1、掌握二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和两根式。

2、掌握二次函数的图像和性质。

3、能灵活应用二次函数的图象和性质解决综合题。

一、知识梳理：1、二次函数的解析式：2⑴一般式：y ax bx c.(a 0)⑵顶点式：y a(x X o) y o .(a 0)a 0时，减区间是［,),增区间是(，］2a 2a评注：必须将二次函数的图象和性质与解析几何的抛物线方程相贯通。

必须将二次函数与二次不等式、二次方程相相贯通，23、掌握二次函数y ax bx c.(a二、自我检测:1 .函数y 2x2bx 4为偶函数，则(此即掌握“三个二次”o) 在闭区间［m,n］上的最值求法。

A. b 0 B2、.设函数f(x)=bx(x 0), c(x 0)，若f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 则f(x)的解析式为其顶点为：(x o,y o) ；x o b 4ac b2a，yo 4af(x)= 关于x 的方程f(x)= x 的解的个数为⑶两根式：y a(x xj(x x2) (a o)2b 4ac o,顶点横坐标x o2、二次函数的图象和性质:2二次函数f(x) ax bx c.(a o)的图象是对称轴垂直于x轴的抛物线，当a 0时开口向上，当a o时开口向下。

它的性质：(1) 定义域：(，)(2)(3)(4) 值域：当a o时为［4ac b24a)；当a o时为(4ac b24a3、( 04春)14、若关于x的不等式x2值范围是的取值范围是ax a 0的解集为( )，贝U实数a的取;若关于x的不等式x2ax a 3的解集不是空集，则实数a4、若a,b,c成等比数列，则函数y ax2 bx c.(a 0)的图象与x轴交点的个数是( )(A) 0 (B) 1(C) 2 ( D) 不能确定(B)5、若函数y V mx2~6mx m~8的定义域为R，求实数m的取值范围是_________________26. 在函数f (x) ax bx c中，若a，b，c成等比数列且f (0) = - 4，则f (x)有最_____________________值(填“大”或“小”)，且该值为__________ . ( 04北京文)2 27、设b 0，二次函数y ax bx a 1的图像为下列之一对称性：对称轴为x2a单调性：当a o时，减区间是(——］，增区间是［——，) ;当2a 2aC. a ( ,1] [2, )12.函数A.-5f(x)-1B .玄41x(1113、（陕西卷）函数f（x）=[1,2]x)341+x2A.(0,1)B.(0,1]14、函数f(x)=2x26x的最大值是（（x € R）的值域是3( 1C.［0,1）x 1）的最小值是（D.[0,1])(A) 1 (B) 1 (C)1 . 5 1 52 (D) 28、函数f(x) x22x 8单调减区间是（)A. 1, B ,1 C . 1,1 D . ,29、若函数f x x 2(a 1)x 2在区间（,4）上是减函数，则实数a的取值范围是（)(A) a 3 (B) a 2 (C) a 5 (D) a 510、.函数f (x) 2x f(2)= . 2mx 3，当当x , 1时是减函数，当x 1, 时是增函数，则（B）11、、已知函数f2x x kx 5在区间（:1 , 2）上是增函数，求f（2）的取值范围是10.函数f(x)2x 2ax 3在区间［1, 2］上存在反函数的充分必要条件是（) 15、已知二次函数f x x2 bx c，且f 1 f 3，则（）(A) f 1 C f 1 (B) c f 1 f(C) C f 1 f 1 (D) f 1 c f(B)16、函数y cosx cos2x(x R）的值域是217、函数y x 2x(x 2）的反函数是18、已知函数f（x）=- •、4 x2x €[-2 0],则（）（07朝阳文）A. f(x)=- . 4 x2x € [0,2]B.f(x)= :八,4C. f(x)=、4 x2x € [0, 2]D.f(x)= =4A.不存在C.-1D.1的反函数是19.（安徽卷）函数y1f(x)2x2x3— B.32的反函数是x€ [-2, 0]x € [-2,0]B. a [2,) 2x,x 0 x2, x 0与其反函数f f 1(x)的图象的一个交点，则(C ) a1 b 5 b(D ) 1 R 5a,b2 22 2(B)21、关于 x 的方程x 2 (a 21)x (a2) 0一根比1大，一根比1小,则有()A.a 1 B. a2或a 1C. 2 a 1D. a1 a 2(B)22.(山东卷)当x (1,2)时，不等式x 2mx 4 0恒成立，则m 的取值范围是 __________二、填空2亠 323、已知函数f(x) ax 2ax 3在［—,2］上的最大值为1,求实数a 的值。

一元二次方程根的分布情况归纳总结一元二次方程ax+bx+c=0的根的分布情况可以通过二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标来确定。

设方程的不等两根为x1和x2，且x1<x2.下面分别讨论根的分布情况。

表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0)分布情况两个负根即x1<x2<0 两个正根即0<x1<x2 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象结论Δ>0，b0，b>0 f(x)>0 x1和x2都是正数f(0)>0 x1<0<x2表二：两根与k的大小比较(a>0)分布情况两根都小于k即x1x2>k 一个根小于k，一个大于k即x1<k<x2大致图象结论Δ>0，b0 x1<k<x2Δ>0，b>k f(k)>0 x1>x2>kf(k)>0 x1<k<x2表三：根在区间上的分布(a>0)分布情况两根都在(m,n)内一根在(m,n)内，另一根在(p,q)内两根有且仅有一根在(m,n)内，m<n<p<q（图象有两种情况，只画了一种）大致图象结论Δ>0，f(m)>0，f(n)>0 m<n<x1<x2<p<qΔ>0，f(m)>0，f(n)0 x1<m<n<x2<p<qΔ>0，f(m)0，f(p)>0，f(q)<0 m<n<x1<p<q<x2 或x1<m<n<q<p<x2函数与方程思想：1) 方程f(x)=0有根⇔y=f(x)与x轴有交点x⇔函数y=f(x)有零点x2) 若y=f(x)与y=g(x)有交点(x,y)⇔f(x)=g(x)有解x根的分布练题例1、已知二次方程(2m+1)x^2-2mx+(m-1)=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。

一元二次函数知识点高一一、定义与图像特征一元二次函数是指形式为y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。

一元二次函数的图像通常呈现抛物线的形状，开口方向由a的正负值决定。

1. 当a>0时，抛物线开口向上；2. 当a<0时，抛物线开口向下；3. 抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h为对称轴的横坐标，k为抛物线的最小值或最大值。

二、零点与根的求解一元二次函数的零点又称为根。

根的求解可通过下列方法进行：1. 因式分解：将一元二次函数表示为两个一次因子的乘积，然后令每个因子等于零，解方程得到根；2. 完全平方式：如果一元二次函数可以表示为(x±a)²形式，则可通过解方程(x±a)²=0来求得根；3. 利用一元二次函数求根公式：一元二次函数的根可通过求解一元二次方程ax²+bx+c=0来得到，其中，x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。

三、最值与对称性1. 最值：对于开口向上的抛物线，最小值等于抛物线的顶点纵坐标k；对于开口向下的抛物线，最大值等于抛物线的顶点纵坐标k。

2. 对称性：一元二次函数关于对称轴x=h对称。

因此，若点(x, y)在抛物线上，则点(2h-x, y)也在抛物线上。

四、函数的变化规律一元二次函数随着自变量的变化呈现不同的特点：1. 当a>0时，抛物线开口向上，随着x的增大，函数值上升；随着x的减小，函数值下降。

函数的增减性为先减后增。

2. 当a<0时，抛物线开口向下，随着x的增大，函数值下降；随着x的减小，函数值上升。

函数的增减性为先增后减。

3. 抛物线与y轴的交点称为纵截距，当x=0时，纵截距为c。

五、二次函数的平移与伸缩一元二次函数可通过平移和伸缩来改变其图像位置和形状：1. 平移：将函数图像沿横轴或纵轴方向移动，可通过函数式中的加减操作实现。

如y=x²+3中，加3使整体上移。

一元二次函数知识点汇总1.定义：一般地,.2.1,.23.二次函数.4.,5..,,,抛物线的开口越大,抛物线的开口越小;,特别地,6.求抛物线的顶点、对称轴的方法12,3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★7.,..故：,,,..①抛物线经过原点;. 以上三点中,当结论和条件互换时仍成立.,则8.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：图像特征如下：9.用待定系数法求二次函数的解析式1,通常选择一般式.2已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.310.直线与抛物线的交点或称二次函数与一次函数关系23是对应一元二次方程..4同3一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,.而根的存在情况仍如3一样由根的判别式判定;5,由方程组;.6由于,11．二次函数与一元二次方程的关系：1y的值为0时的情况．2,,即3,等的实数根；当二次函图象有一个交点时,则一元二次方程,则一元12.二次函数的应用：1二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大小值;一般而言,最大小值会在顶点处取得,,最大小值也就是顶点纵坐标值;2二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大小值．。

文案大全一元二次方程1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .acx x abx x )2(a 2ac 4b b x )1(212122,1=-=+-±-=，； ※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式 ac x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记)（1）两根互为相反数 ⇔ a b-= 0且Δ≥0 ⇔ b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数 ⇔ a c=1且Δ≥0 ⇔ a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根 ⇔ ac = 0且a b-≠0 ⇔ c = 0且b ≠0；（4）有两个零根 ⇔ a c = 0且a b-= 0 ⇔ c = 0且b=0；（5）至少有一个零根 ⇔ ac=0 ⇔ c=0；（6）两根异号 ⇔ ac＜0 ⇔ a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值⇔ ac ＜0且a b-＞0⇔ a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值⇔ ac ＜0且a b-＜0⇔ a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根 ⇔ ac ＞0，a b-＞0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根 ⇔ a c ＞0，a b-＜0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.文案大全ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2+bx+c=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22. 7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法： .0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧===------分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x1x 2)x 1x (x1x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-⇒=-4x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为 ； ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒==.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或 ；.0x ,0x :.1x x B sin A cos ,1A cos A sin ,90B A B sin x ,A sin x )4(2122212221>>=+==+︒=∠+∠==注意隐含条件可推出由公式时且如文案大全AB C cba.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121>>注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个解三角形1.三角函数的定义：在Rt ΔABC 中,如∠C=90°，那么sinA=c a =斜对； cosA=c b =斜对；tanA=ba=邻对； cotA=a b =对邻.2．余角三角函数关系 ------ “正余互化公式” 如∠A+∠B=90°, 那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB ； cotA=tanB. 3. 同角三角函数关系：sin 2A+cos 2A =1； tanA ·cotA =1. ※ tanA=A cos A sin ※ cotA=Asin Acos 4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小.5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直角三角函数 值，要熟练记忆它们.K3 KKKK2 K230°45°60°ABC ABC文案大全※ 6. 函数值的取值范围： 在0° 90°时.正弦函数值范围：0 1； 余弦函数值范围: 1 0； 正切函数值范围：0 无穷大； 余切函数值范围：无穷大 0.7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边.※ 8. 关于直角三角形的两个公式： Rt △ABC 中: 若∠C=90°, .:m :R :r .m 2cR 2c b a r c c 斜边上中线外接圆半径，内切圆半径，；==-+=9．坡度： i = 1:m = h/l = tan α； 坡角: α.10. 方位角：11．仰角与俯角：12．解斜三角形：已知“SAS ” “SSS ” “ASA ” “AAS ” 条件的任意三角形都可以经过“斜化直”求出其余的边和角.※ 13．解符合“SSA ”条件的三角形：若三角形存在且符合“SSA ”条件，则可分三种情况：（1）∠A ≥90°，图形唯一可解； （2） ∠A ＜90°，∠A 的对边大于或等于它的已知邻边，图形唯一可解；（3）∠A ＜90°，∠A 的对边小于它的已知邻边，图形分两类可解. 14．解三角形的基本思路：（1）“斜化直，一般化特殊” ------- 加辅助线的依据；（2）合理设“辅助元k ”，并利用k 进一步转化是分析三角形问题的常用方法-------转化思想； （3）三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利用其列方程（或方程组）是解决数学问题的常用方法---------方程思想.北东北偏西30南偏东70仰角俯角水平线铅垂线lha i=1:m文案大全函数及其图象一 函数基本概念1.函数定义：设在某个变化过程中，有两个变量x,、y, 如对x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量.※ 2.相同函数三个条件：（1）自变量范围相同；（2）函数值范围相同；（3）相同的自变量值所对应的函数值也相同.※3. 函数的确定：对于 y=kx 2(k ≠0), 如x 是自变量，这个函数是二次函数；如x 2是自变量，这个函数是一次函数中的正比例函数. 4.平面直角坐标系：（1）平面上点的坐标是一对有序实数，表示为: M （x,y ），x 叫横坐标，y 叫纵坐标； （2）一点，两轴，（四半轴），四象限，象限中点的坐标符号规律如右图：（3） x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0; 即“x 轴上的点纵为0，y 轴上的点横为0”；反之也 成立；（4）象限角平分线上点M(x,y) 的坐标特征:x=y <=> M 在一三象限角平分线上； x=-y <=> M在二四象限角平分线上. （5）对称两点M(x 1,y 1), N(x 2,y 2) 的坐标特征：关于y 轴对称的两点 <=> 横相反，纵相同； 关于x 轴对称的两点 <=> 纵相反，横相同； 关于原点对称的两点 <=> 横、纵都相反. 5.坐标系中常用的距离几个公式 -------“点求距”（1）如图，轴上两点M 、N 之间的距离：MN=|x 1-x 2|=x 大-x 小 , PQ=|y 1-y 2|=y 大-y 小 . （2）如图， 象限上的点M （x,y ）:到y 轴距离：d y =|x|； 到x 轴距离: d x =|y|；22y x r +=到原点的距离：.（3）如图，轴上的点M （0,y ）、N （x,0）到原点的距离： MO=|y|； NO=|x|.※（4）如图，平面上任意两点M （x 2,y 2）、N （x 2,y 2）之间的距离： .)y y ()x x (d 221221-+-=xyo + +_ _-- ++ -xyoM(x,y )r xyo M(x,y )N(x,y )C文案大全※ 6. 几个直线方程 :y 轴 <=> 直线 x=0 ； x 轴 <=> 直线 y=0 ； 与y 轴平行，距离为∣a ∣的直线 <=> 直线 x=a ； 与x 轴平行，距离为∣b ∣的直线 <=> 直线 y=b. 7. 函数的图象：(1) 把自变量x 的一个值作为点的横坐标，把与它对应的函数值y 作为点的纵坐标，组成一对有序实数对，在平面坐标系中找出点的位置，这样取得的所有的点组成的图形叫函数的图象；(2) 图象上的点都适合函数解析式，适合函数解析式的点都在函数图象上；由此可得“图象上的点就能代入”-------重要代入！(3) 坐标平面上，横轴叫自变量轴，纵轴叫函数轴；利用已知的图象，可由自变量值查出函数值，也可由函数值查出自变量值；可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围，也可由函数值取值范围查出对应自变量取值范围；(4) 函数的图象由左至右如果是上坡，那么y 随x 增大而增大（叫递增函数）；函数的图象由左至右如果是下坡，那么y 随x 增大而减小（叫递减函数）. 8. 自变量取值范围与函数取值范围：一次函数1. 一次函数的一般形式：y=kx+b . (k ≠0)2. 关于一次函数的几个概念：y=kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，所以也叫直线y=kx+b,图象必过y 轴上的点( 0,b )和x 轴上的点( -b/k,0 )；注意：如图，这两个点也是画直线图象时应取的两个点. b 叫直线y=kx+b (k ≠0)在y 轴上的截距，b 的本质是直线与y轴交点的纵坐标，知道截距即知道解析式中b 的值.x y (x,y)00(0,b)(-b/k, 0)b -b/k, 即取点对角 03.y=kx+b (k≠0) 中，k，b符号与图象位置的关系：yxok>0, b>0k>0, b<0图象过一二三象限，图象上坡.图象过一三四象限，图象上坡.图象过一二四象限，图象下坡.图象过二三四象限，图象下坡.4. 两直线平行：两直线平行 <=> k1=k2※两直线垂直<=> k1k2=-1.5. 直线的平移：若m＞0,n＞0, 那么一次函数y=kx+b图象向上平移m个单位长度得y=kx+b+m；向下平移n 个单位长度得y=kx+b-n （直线平移时，k值不变）.6.函数习题的四个基本功：(1) 式求点：已知某直线的具体解析式，设y=0，可求出直线与x轴的交点坐标（x0 ,0）；设x=0，可求出直线与y轴的交点坐标(0,y0)；已知两条直线的具体解析式，可通过列二元一次方程组求出两直线的交点坐标(x0 ,y0)；交点坐标的本质是一个方程组的公共解；(2) 点求式：已知一次函数图象上的两个点，可设这个函数为y=kx+b，然后代入这两个点的坐标，得到关于k、b的两个方程，通过解方程组求出k、b，从而求出解析式 ------ 待定系数法；(3) 距求点：已知点M(x0 ,y0)到x轴,y轴的距离和所在象限，可求出点M的坐标；已知坐标轴上的点P到原点的距离和所在半轴，可求出点P的坐标；(4) 点求距：函数题经常和几何相结合，利用点的坐标与它所在的象限或半轴特征可求有关线段的长，从而使得函数问题几何化.正比例函数1.正比例函数的一般形式：y=kx (k≠0)；属于一次函数的特殊情况；（即b=0的一次函数）它的图象是一条过原点的直线；也叫直线y=kx.2．画正比例函数的图象：正比例函数y=kx (k≠0)的图象必过(0,0)点和（1，k）点，注意：如图，这两个点也是画正比例函数图象时应取的两个点，即列表如右：xy(x, y)1K(0,0)(1,K)文案大全文案大全3.y=kx (k ≠0)中，k 的符号与图象位置的关系：k>0k<0.象限，图象下坡.4. 求正比例函数解析式：已知正比例函数图象上的一点，可设这个正比例函数为y=kx,把已知点的坐标代入后, 可求k, 从而求出具体的函数解析式------ 待定系数法.二次函数1. 二次函数的一般形式：y=ax 2+bx+c.(a ≠0)2. 关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax 2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点.3. y=ax 2(a ≠0)的特性：当y=ax 2+bx+c (a ≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax 2 (a ≠0);这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：（1）图象关于y 轴对称；（2）顶点（0，0）；（3）y=ax 2(a ≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即： y=ax 2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0). 4. 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象及几个重要点的公式：5. 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)中，a 、b 、c 与Δ的符号与图象的关系： (1) a ＞0 <=> 抛物线开口向上； a ＜0 <=> 抛物线开口向下； (2) c ＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过；文案大全c ＜0 <=> 抛物线从原点下方通过；(3) a, b 异号 <=> 对称轴在y 轴的右侧； a, b 同号 <=> 对称轴在y 轴的左侧；b=0 <=> 对称轴是y 轴；(4) Δ＞0 <=> 抛物线与x 轴有两个交点；Δ=0 <=> 抛物线与x 轴有一个交点（即相切）； Δ＜0 <=> 抛物线与x 轴无交点.6．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax 2+bx+c ，并把这三点的坐标代入，解关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出a 、b 、c 的值, 从而求出解析式-------待定系数法. 8．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a ≠0)； 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k ），对称轴方程 x=h 和函数的最值 y 最值= k.9．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（x 0,y 0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x-x 0)2+ y 0，再代入另一点的坐标求a ，从而求出解析式.（注意：习题无特殊说明，最后结果要求化为一般式）10. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h, k 的值, a 值不变，具体规律如下： k 值增大 <=> 图象向上平移； k 值减小 <=> 图象向下平移； （x-h ）值增大 <=> 图象向左平移； (x-h)值减小 <=> 图象向右平移.11. 二次函数的双根式：(即交点式) y=a(x-x 1)(x-x 2) (a ≠0)；由双根式直接可得二次函数图象与x 轴的交点（x 1,0）,（x 2,0）.12. 求二次函数的解析式：已知二次函数图象与x 轴的交点坐标（x 1,0），（x 2,0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y= a(x-x 1)(x-x 2)，再代入另一点的坐标求a ，从而求出解析式. （注意：习题最后结果要求化为一般式）13．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.反比例函数1. 反比例函数的一般形式：);0k (kx y xk y 1≠==-或图象叫双曲线.※ 2. 关于反比例函数图象的性质： 反比例函数y=kx -1中自变量x 不能取0, 故函数图象与y 轴无交点; 函数值y 也不会是0, 故图象与x 轴也不相交.3. 反比例函数中K的符号与图象所在象限的关系：图象过二四象限，图象上坡.图象过一三象限，图象下坡.k>0k<04. 求反比例函数的解析式：已知反比例函数图象上的一点，即可设解析式y=kx-1, 代入这一点可求k 值，从而求出解析式.函数综合题1．数学思想在函数问题中的应用：数学思想经常在函数问题中得到体现，例如：分析函数习题常常需要先估画符合题意的图象,利用数形结合降低难度；而点求式、式求点、点求距、距求点等基本操作则是转化思想在函数中应用；当函数问题与几何问题相结合时，方程思想则成为解决问题的基本思路；函数习题中，当图象与图形不唯一、点位置不唯一、可知条件不唯一时，往往造成函数问题的分类.2．数学方法在函数问题中的应用：建立坐标系、建立新函数、函数问题几何化、挖掘隐含条件、分类讨论、相等关系找方程、不等关系找不等式、等量代换、配方、换元、待定系数法、等各种数学方法在函数中经常得到应用，了解这些数学方法是十分必要的.3．函数与方程的关系：正比例函数y=kx (k≠0)、一次函数y=kx+b (k≠0)都可以看作二元一次方程，而二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)可以看作二元二次方程，反比例函数)0k(xky≠-=可以看作分式方程，这些函数图象之间的交点，就是把它们联立为方程组时的公共解.4．二次函数与一元二次方程的关系：（1）如二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交，函数值y=0，此时, 二次函数转化为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，这个方程的两个根x1 、x2是二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交两点的横坐标，交点坐标为（x1 ,0）（x2 ,0）；（2）当研究二次函数的图象与x轴相交时的有关问题时，应立即把函数转化为它所对应的一元二次方程，此时，一元二次方程的求根公式，Δ值，根系关系等都可用于这个二次函数.（3）如二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交于两点A（x1 ,0）,B（x2 ,0）有重要关系式: OA=|x1|, OB=|x2|,若需要去掉绝对值符号,则必须据题意做进一步判断；同样,图象与y轴交点C(0,c),也有关系式: OC=|c|.5．二元二次方程组解的判断：一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，若消去一个未知数，则转化为一元二次方程，此时的Δ值将决定原方程组解的情况，即：Δ＞0 <=> 方程组有两个解；Δ=0 <=>方程组有一个解；Δ＜0 <=>方程组无实解.文案大全初三数学应知应会的知识点 ( 圆 )几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）文案大全文案大全几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高文案大全文案大全三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2. （4）扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四 常识：1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3． 三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心.4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 ⇔ d ＜r ； 直线与圆相切 ⇔ d=r ； 直线与圆相离 ⇔ d ＞r.5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 ⇔ d ＞R+r ； 两圆外切 ⇔ d=R+r ； 两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 ⇔ d=R-r ； 两圆内含 ⇔ d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：文案大全文案大全文案大全。

一元二次方程、二次函数、一元二次不等式。

知识归纳高2017级（文科）数学一轮复《一元二次方程、二次函数、一元二次不等式》知识归纳一、一元二次方程一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0（a≠0），其中ax^2、bx、c分别称为二次项、一次项、常数项。

a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项。

解法：1.直接开平方法：形如（x+m）^2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解。

2.“十字相乘”因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，求解。

3.公式法：一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式为x=（-b±√(b^2-4ac)）/2a（b^2-4ac≥0）。

4.配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法。

根的判别式：1.当Δ=b^2-4ac>0时，原方程有两个不相等的实数根。

2.当Δ=b^2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根。

3.当Δ=b^2-4ac<0时，原方程没有实数根。

根与系数的关系：若关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2，则x1+x2=-b/a；x1x2=c/a。

二、二次函数一般式：f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)三顶点式：f(x)=a(x-h)^2+k(a≠0)(其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a)两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(仅限于二次函数图形与x 轴有两个交点时)对称轴x=-b/2a，顶点坐标(-b/2a。

(4ac-b^2)/(4a))单调性：函数在(-∞,-b/2a]上递减，函数在(-∞,-b/2a]上递增，在[-b/2a,+∞)上递增，在[-b/2a,+∞)上递减。

三、二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值问题探讨设f(x)=ax^2+bx+c（a>0），则二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值有如下的分布情况：m<n<-b/2a：f(x)单调递增，最小值为f(n)；m<-b/2a<n：顶点在区间内，最大值为f(-b/2a)，最小值为f(n)或f(m)；b/2a<m<n：顶点在区间内，最大值为f(-b/2a)，最小值为f(m)；m=n<-b/2a：f(x)取常数值f(m)=f(n)；m=n>-b/2a：f(x)单调递减，最小值为f(n)。

高2017级（文科）数学一轮复习
《一元二次方程、二次函数、一元二次不等式》 知识归纳
制卷：王小凤 学生姓名：
一．一元二次方程
二．二次函数
三．二次函数在闭区间[]
n m ,上的最大、最小值问题探讨
设()()02
>++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：
a
2a
2a
2
五．一元二次方程根的分布
设方程()2
00ax bx c a ++=>的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为
()2f x ax bx c =++，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
表二：（两根与k 的大小比较）
表三：（根在区间上的分布）
k
k
k。

一元二次函数知识点一元二次函数是数学中的重要概念，能够描述很多实际问题，并被广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将介绍一元二次函数的基本定义、图像特征、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

首先，我们来看一元二次函数的定义。

一元二次函数是指形如y =ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a不为0。

其中，x为自变量，y为因变量，a、b、c是函数的系数。

一元二次函数的图像呈现出抛物线的形状，称为抛物线函数。

接下来，我们来探讨一元二次函数的图像特征。

对于一元二次函数y = ax^2 + bx + c而言，首先我们可以根据a的正负来确定抛物线的开口方向。

当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。

此外，通过对x的取值范围的分析，可以确定抛物线的轴对称线在y轴左（右）侧，进而确定抛物线的对称中心。

对称中心的横坐标为-x轴系数b/2a。

图像的顶点就是抛物线的最高（最低）点，其纵坐标为函数的值，在对称中心对应的自变量下代入函数表达式即可求得。

一元二次函数还有一些重要的性质。

首先是零点的性质。

一元二次函数的零点是指函数的值为0的自变量取值。

对于一元二次函数y =ax^2 + bx + c，可以使用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/2a来求解。

其中，b^2-4ac被称为判别式，根据判别式的值可以判断一元二次函数的零点情况。

当判别式大于0时，函数有两个不相等的实数零点；当判别式等于0时，函数有一个重根零点；当判别式小于0时，函数没有实数零点。

除了零点，一元二次函数还有极值的性质。

当抛物线开口朝上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当抛物线开口朝下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

通过求导数，可以求得函数的导函数，进而求得函数的最值点和最值。

最后，我们来了解一元二次函数的应用。

一元二次函数广泛应用于许多实际问题的建模过程中。

例如，在物理领域中，一元二次函数可以用来描述自由落体运动的轨迹、飞行物体的抛体运动等；在经济领域中，一元二次函数可以用来分析成本、利润、收益等与输出量的关系；在工程领域中，一元二次函数可以用来研究材料的强度、力学结构等。

1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

1、 一元二次方程的解法（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法）①2(0)x a a =≥ 解为：x =②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a +=③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b +=④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-= 3(21)5(21)0(35)(2x x x x x ---=⇔--= 22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-= 24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+= （3） 配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+= 示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+= ②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220 (0)()0 ()()022b b b ax bx c a a x x c a x a c a a a ++=≠++=⇒-⇒++=222224()()2424b b b b ac a x c x a a a a -⇒+=-⇒+= 示例： 22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-= （4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a-+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=- ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

一元二次函数知识点1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数cbx axy ++=2用配方法可化成：()kh x a y +-=2的形式，其中abac k ab h 4422-=-=，.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab时,对称轴在y轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.(2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。

一元二次方程重要知识点1. 一元二次方程的定义及一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法（1）配方法：将方程整理成(x+p)2=q ，方程的根是x=-p ±q注：x 2系数是1和不是1时配方注意事项；x 2系数是负数时配方注意事项。

（2）公式法：2b x a -=（240b ac -≥）（3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x 0))((=++⇒q x p x 3.一元二次方程根的判别（24b ac ∆=-） （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根 （2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根（3）△＜0，方程没有实数根，方程无解4.韦达定理（根与系数关系）一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a-； 1x .2x ＝c a 5.一元二次方程的应用①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式④“解”就是求出说列方程的解；⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程二次函数重要知识点1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

注意 ：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零． 2. 平移规律：（1）将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；（2）左加右减（h ）：x 值的变化，上加下减(k)：y 值的变化3.二次函数2y ax bx c =++图象的画法绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向(a)、对称轴(h)及顶点坐标(k)，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，4.二次函数2y ax bx c =++的性质(1)当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-． (2) 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-． 5.二次函数解析式求法(1)一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；需要三个坐标点(2) 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；顶点坐标和其他任一坐标6.二次函数的图象与各项系数之间的关系(1)a ：抛物线开口的方向（a 的正负）与大小（|a|）(2)b:在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴(2b x a=-)的位置(正负).对称轴在y 轴右侧，a 、b 符号相反；对称轴在y 轴左侧，a,b 符号相同。

一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式是高中数学中的重要内容，掌握了这些知识可以帮助我们解决实际问题和推导数学关系。

本文将对一元二次方程、二次函数和一元二次不等式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。

一、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0）的方程，其中x 表示未知数。

解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。

1. 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因子相乘时，我们可以通过将方程两边置零，将每个因子等于零来求解。

例如，对于方程x^2 -5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2和x = 3两个解。

2. 配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法将方程转化为完全平方式，然后再进行求解。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以通过将常数项进行拆分，得到x^2 - 2x - 3x + 6 = 0，进而变为(x(x - 2) - 3(x - 2) = 0，再经过合并同类项和提取公因式的步骤得到(x -2)(x - 3) = 0，进而求得x = 2和x = 3两个解。

3. 求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。

其中，±表示两个相反的解，而√表示平方根。

这种方法适用于所有一元二次方程的求解，包括没有实数解的情况。

二、二次函数二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。

掌握了二次函数的性质和图像特点可以帮助我们分析函数的变化趋势和解决实际问题。