能量积分(Parseval等式)及其应用

则
F(f(t)*u(t))=F(ω)(1/(j ω)+ πδ(ω))
用卷积定理证明积分性质
所以


f ( )u (t )dt f ( )dt

=F(ω)(1/(j ω)+ πδ(ω))
=F(ω)/(j ω)+ π F(0)δ(ω)
证毕
用卷积定理同样可以证明时移特性等
（成员：洪林 李伟 杨翚 陈嘉

F ( )[


f (t )e jt dt ]d



| F( ) |2 d
所以上题的解应是1/3π。 由此可知计算信号的能量记可以在频域上求，也 可在时域上求。
用卷积定理证明积分性质
问题：
证明积分性质 方法： 用卷积定理
已知 F (u(t))=1/(jω)+πδ(ω)
令
F
(f(t))=F(ω)
苏翔）
用卷积定理已知用卷积定理证明积分性质所以用卷积定理同样可以证明时移特性等成员
Parseval’s 关系
问题：已知F(ω)= (ω +1)(μ(ω+1)μ(ω )+ (-ω +1) (μ(ω )- μ(ω -1)) 2 求： f (t ) dt ?

解：用一般方法，极其复杂，且很难得出 答案 Parseval’s relation



f (t ) dt 1 / 2
2


F ( )
2
d
Parseval’s 关系



| f(t) |2 dt




f (t ) f (t ) dt

离散时间帕塞瓦尔恒等式离散时间帕塞瓦尔恒等式（Discrete-Time Parseval's Equation）是一种在数学中被广泛应用的公式，在信号处理、数字信号处理和声学信号处理等方面都有广泛的应用。

它的由来是由埃德温·帕塞瓦尔（Erdwin Parseval）于1895年发明的。

帕塞瓦尔恒等式说明了信号的能量之间的一种特殊关系。

它描述了一个信号在时域范围内总能量与频域范围内总能量之间的关系。

帕塞瓦尔恒等式为"能量不随着时域或频域转换而改变"提供了证明。

帕塞瓦尔恒等式的数学表达形式可以用如下方式表示：∑(x[n]^2) = ∑(X[k]^2)在其中，x[n]表示时域函数的每个采样值，X[k]表示频域函数的每个采样值。

离散时间帕塞瓦尔恒等式的实际应用十分广泛，它可以用来证明离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）从时域到频域的能量不变性，还可以用来证明高斯法和傅里叶信号处理器（Gaussian and Fourier signal processors）对信号的能量转换等等。

此外，帕塞瓦尔恒等式也可以应用于傅里叶变换和频域分析，从而实现时域信号处理、声学信号处理以及数字信号处理等功能。

帕塞瓦尔恒等式的应用也可以更多的深入推广。

它可以用来优化信号处理系统，以及提高信号处理系统的性能。

帕塞瓦尔恒等式也可以帮助分析信号的特性，用于信号的分类和检测；它也可以用来检测信号的低频组件及其含量等。

由此可见，离散时间帕塞瓦尔恒等式在信号处理、数字信号处理、声学信号处理等方面都有广泛的应用，是一个十分重要的概念。

虽然它有着独特的数学概念，但它却被广泛用于表征信号特性的分析，以及有效的信号处理，展现了它的重要性和不可或缺的作用。

第七章 能量积分法在前面几章内，讨论了定解问题的几种解法，或者说就是考虑怎样把定解问题的解找出来。

至于解的本质，基本上未加讨论。

第一章已讲过，定解问题的适定性包含三个方面的内容，除了解的存在性以外，还要考察解是不是只有一个（惟一性）、解是不是连续地依赖于定解条件（稳定性）。

在这一章内，我们利用能量积分的方法来证明波动方程定解问题的解既是惟一的也是稳定的。

§7.1 一维波动方程初值问题的能量不等式在这一节内，我们将就弦振动问题导出振动弦的动能和位能的表达式，然后再证明总能量（动能与位能的和）所满足的不等式。

由物理学知，若质点的质量是m ，在时刻t 其速度是v ，则它在时刻t 的动能为212mv 。

现在考虑弦上的元素ds ，当弦作微小横向振动时ds dx ≈，它在时刻t 的速度为t u ，所以ds 在时刻t 所具有的动能近似地为212t u dx ρ，其中ρ是弦的密度（一般来说是x 的函数），整个弦在t 时刻的动能为2012lt U u dx ρ=⎰（7.1） 再看弦在t 时刻的位能（或称势能），所谓位能就是使弦变形时所做的功。

假设弦的不受外力作用，则使弦变形的力只有张力，反抗张力所做的功就是弦的位能的增量。

由第一章§1.1中第一个例子可知，当弦的振幅很小时，它的张力可以看作是一个常向量，其大小记作T ，张力在位移方向的分量是近似于x Tu 。

在这个力的作用下，弦变形了，其位移的增量是x u du u dx ∆≈=。

所以弦上元素ds 在t 时刻的位能近似为212x Tu dx ，整个弦在t 时刻的位能为 212l x V Tu dx =⎰ （7.2）当然，如果除了张力T 以外，在t 时刻在弦位移方向还受到密度为(,)f x t 的外力作用，这时位能应为201()2lx V Tu fu dx =+⎰ （7.3） 将（7.1）和（7.2）（或（7.3））相加，即得弦在t 时刻的总能量2201()()2l t x E t u Tu dx ρ=+⎰ （7.4） 或 22011()()22l t x E t u Tu fu dx ρ=++⎰ （7.5）如果ρ是常数，并不计常数因子，（7.4）可以表示为2220()((,)(,))lt x E t u x t a u x t dx =+⎰ （7.6）其中2Ta ρ=。

f (t ) 的谱密度和 f (t ) 的自相关组成一个傅里叶变换对（对于功率谱密度和能量谱密度来说，使用着不同的自相关函数定义）。

通常使用傅里叶变换技术估计谱密度，但是也可以使用如Welch 法（Welch's method ）和最大熵这样的技术。

傅里叶分析的结果之一就是Parseval 定理（Parseval's theorem ），这个定理表明能量谱密度曲线下的面积等于信号幅度平方下的面积，总的能量是：()()2f t dt d ωω+∞+∞-∞-∞=Φ⎰⎰ ：上面的定理在离散情况下也是成立的。

另外的一个结论是功率谱密度下总的功率与对应的总的平均信号功率相等，它是逐渐趋近于零的自相关函数。

相关概念大多数“频率”图实际上仅仅表示了谱密度。

有时完整的频率要用两部分来表示，一部分是对应于频率的“幅度”（它就是谱密度），另外一部分是对应于频率的“相位”（它包含了频谱中剩余的其它信息）。

信号 f(t) 可以从一个完整的频谱进行恢复。

需要注意的是 f(t) 不能仅仅从谱密度这一部分进行恢复——它丢失了“临时信息”。

信号的 谱矩心（spectral centroid ） 是谱密度函数的中点，也就是说将整个分布切分成两个相等部分的点。

谱密度是频率的函数，而不是时间的函数。

但是，也可以计算一个较长信号上一小段“窗口”的谱密度，并且根据与事件相关的窗口进行绘图，这应用——电子工程信号功率谱的概念和应用是电子工程的基础，尤其是在电子通信系统中，例如无线电和微波通信、雷达以及相关系统。

人们已经花费了很大的精力和大量的金钱投入到开发、生产“频谱分析仪”这种电子设备，用来帮助电子工程师、技术人员、技工观察、测量电子信号的功率谱。

频谱分析仪的价格根据带宽和精度的不同而不同，质量最好的仪器的价格超过 100，000 美元。

帕塞瓦尔定理Parseval's theorem表明了信号的能量在时域和频域相等。

在数学中，帕塞瓦尔定理经常指“傅里叶转换是幺正算符”这一结论;简而言之，就是说函数平方的和(或积分）等于其傅里叶转换式平方之和(或者积分)。

这个定理产生于Marc-Antoine Parseval在1799年所得到的一个有关级数的定理，该定理随后被应用于傅里叶级数。

它也被称为瑞利能量定理或瑞利恒等式，以物理学家约翰·斯特拉特，第三代瑞利男爵命名。

物理意义：
一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。

几何意义：函数可以看作向量，如果一个函数可以用另一组正交完备函数集表示，那么这些完备函数集的每一个分量就是一个基矢量。

显然，一个向量的模等于该向量在各个基矢量上投影的平方和。

数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。