习题解答9定积分的概念与性质---定积分的换元法和分部积分法

定积分知识点汇总定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

下面就来对定积分的相关知识点进行一个全面的汇总。

一、定积分的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上连续，用分点＼（a ＝x_0 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜＼cdots ＜ x_n ＝ b\）将区间＼（a,b\）等分成＼（n\）个小区间，在每个小区间＼（x_{i 1}， x_i\）上取一点＼（＼xi_i\）（＼（i ＝ 1, 2, ＼cdots, n\）），作和式＼（＼sum_{i ＝ 1}＾n f(＼xi_i) ＼Delta x\）（其中＼（＼Delta x ＝＼dfrac{b a}｛n}＼））。

当＼（n\）无限趋近于正无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的定积分，记作＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）。

二、定积分的几何意义1、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为正时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示由曲线＼（y ＝ f(x)＼），直线＼（x ＝ a\），＼（x ＝ b\）和＼（x\）轴所围成的曲边梯形的面积。

2、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）的值为上述曲边梯形面积的相反数。

3、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上有正有负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴上方部分与＼（x\）轴所围成的面积减去曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴下方部分与＼（x\）轴所围成的面积。

三、定积分的性质1、＼（＼int_{a}＾｛a} f(x)dx ＝ 0\）2、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝＼int_{b}＾｛a} f(x)dx\）3、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x) ± g(x)dx ＝＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ±＼int_{a}＾｛b} g(x)dx\）4、＼（＼int_{a}＾｛b} kf(x)dx ＝ k ＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）（其中＼（k\）为常数）四、定积分的计算1、牛顿莱布尼茨公式如果函数＼（F(x)＼）是连续函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的一个原函数，那么＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝ F(b) F(a)＼）。

定积分应用知识点总结1. 定积分的概念定积分是微积分学中的一个重要概念，用于求解曲线下面积或者曲线围成图形的面积。

在实际问题中，定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积、质心、弧长、体积、工作、功等物理量。

2. 定积分的计算定积分的计算可以通过积分的定义或者牛顿-莱布尼茨公式来进行。

积分的定义是将一个曲线f(x)在区间[a,b]上分成无穷多段，每一段的面积为f(x)与x轴之间的面积的无限和，然后通过极限的方法求得。

而牛顿-莱布尼茨公式则是通过原函数的求导与积分的关系，直接求出定积分的值。

3. 定积分的性质定积分有很多重要的性质，包括线性性质、区间可加性、保号性等。

这些性质在定积分的计算和应用中起到了非常重要的作用，可以简化定积分的计算过程。

4. 定积分的应用定积分在实际问题中有着广泛的应用，例如可以用来求解曲线围成的图形的面积、计算质心、弧长、体积、工作、功等物理量。

在工程、物理、经济学等领域都有着重要的应用价值。

5. 定积分的计算技巧对于一些特定的函数，可以通过一些积分的技巧来简化定积分的计算，例如换元积分法、分部积分法等。

这些技巧可以帮助我们更快速、准确地求解定积分。

在实际问题中，我们经常会遇到需要利用定积分来计算一些物理量或者解决一些实际问题，下面我们通过一些实际例子来解释定积分的应用知识点。

1. 计算物体的质心在物理学中，质心是一个非常重要的概念，它可以帮助我们确定物体的平衡位置。

对于一个均匀密度的物体，我们可以通过定积分来计算它的质心位置。

假设物体在x轴上的密度分布函数为ρ(x)，则物体的质心位置可以通过如下公式计算得出：\[X=\frac{\int_{a}^{b}xρ(x)dx}{\int_{a}^{b}ρ(x)dx}\]其中，\(\int_{a}^{b}xρ(x)dx\)表示物体的动量矩，而\(\int_{a}^{b}ρ(x)dx\)表示物体的总质量。

通过这个公式，我们就可以求得物体的质心位置。

大学高等数学：第四章第三讲定积分的换元法和分部积分法由上节我们知道计算定积分∫f(x)dx(上限b,下限a)的简便方法是把它转化为f(x)的原函数的增量，在第三章讲不定积分时，我们知道用换元法和分部积分法可以求出一些函数的原函数，因此，在一定条件下，可以用换元积分法和分部积分法来计算定积分，下面我们就来讨论积分的这两种计算方法。

在讨论这两种积分方法前，我们补充下上节课定积分的性质中的一个知识点一.周期函数与奇偶函数的积分性质1.对称区间上奇偶函数的定积分对于对称区间上的定积分，首先要观察被积函数的奇偶性，这是因为有如下结论定理假定f(x)在[-a,a](a＞0)为可积函数或连续函数，则有如何证明，证明：证(2)设f(x)在[-a,a]为偶函数，记作F(x)=∫f(t)dt(上限x,下限0),要证F(x)在[-a,a]为奇函数，即证F(-x)=-F(x)或F(x)+F(-x)=0,(x∈[-a,a])即F(x)=∫f(t)dt(上限x,下限0)为奇函数当f(x)在[-a,a]连续且为偶函数时，也可通过求导数证F(x)+F(-x)=0(x∈[-a,a]).因[F(x)+F(-x)]'=f(x)-f(-x)=0(x∈[-a,a]),故F(x)+F(-x)在[-a,a]为常数，又[F(x)+F(-x)]=0(x=0),则有F(x)+F(-x)=0(x∈[-a,a]),即F(x)在[-a,a]为奇函数。

另一类结论类似可证证(3).∫f(x)dx=∫f(t)dt(上限x,下限0)+C，其中C为任意常数当f(x)为奇函数时，∫f(t)dt(上限x,下限0)为偶函数，任意常数C 也是偶函数→f(x)的全体原函数∫f(t)dt(上限x,下限0)+C为偶函数。

当f(x)为偶函数时，∫f(t)dt(上限x,下限0)为奇函数，任意常数C≠0时为偶函数→∫f(t)dt(上限x,下限0)+C既非奇函数也非偶函数，→f(x)只有唯一的一个原函数即∫f(t)dt是奇函数.2.周期函数的积分定理：假定函数f(x)以T为周期，即对于任意的实数x有f(x+T)=f(x),在[0,T]上f(x)可积(或连续)，那么通过列题来巩固下：设f(x)在[0,1]连续，∫f(lcosxl)dx(上限π/2，下限0)=A，则I=∫f(IcosxI)dx(上限2π，下限0)=？分析：由于f(IcosxI)在(-∞,+∞)连续，以π为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得下面看下有关定积分奇偶函数的证明列题列：n为自然数，证明在这个题目中注意两点：1.奇x奇=偶偶x偶=偶奇x偶=奇 2.当n为奇数，sin^nx周期为2π；当n为偶数，sin^nx周期为π。