2
b a
b a
a 0,
b 0 。
x 1 x 2
b
,x 1 ?x 2 a
第三章 旋转
1
图形的旋转 旋转：一个图形绕某一点转动一个角度的图形变换 性质：对应点到旋转中心的
距离相等； 对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角 旋转前后的图形全等。
中心对称：一个图形绕一个点旋转 180 度，和另一个图形重合，则两个图形关 于这个点中心
对称；
中心对称图形：一个图形绕某一点旋转 180 度后得到的图形能够和原来的图形
初三数学知识点 第一章 二次根式 二次根式：形如
a (a 0) 的式子为二次根式；
性质： a
是一个非负数；
二次根式的乘除：
aa
aa 0；
0。
a ? b
ab a 0,b 0 ；
二次根式的加减： 3
数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式，再将被开方
4 海伦-秦九韶公式： S p(p )(p b)(p c) ，S 是三角形的面积，p 为
abc p 。
第二章
1 程。 2
元二次方程
元二次方程：等号两边都是整式，且只有一个未知数，未知数的最高次是
2的方
一元二次方程的解法
配方法：将方程的一边配成完全平方式，然后两边开方；
公式法： x
b b 2 4ac
2a
左边是两个因式的乘积，右边为零。 因式分解法： 一元二次方程在实际问题中的应用 韦达定理：设 x 1 , x 2是方程
2 ax 2
bx c 0 的两个根，那么有
重合，则说这个图形是中心对称图形；
3 关于原点对称的点的坐标
第四章圆
1 圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义
2 垂直于弦的直径
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；垂直于弦的直径平分弦，并
且平方弦所对的两条弧；平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。
3 弧、弦、圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4 圆周角
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 度的圆周角所对的弦是直径。
5 点和圆的位置关系
点在圆外d r
点在圆上d=r 点在圆内d 三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，外接圆的圆心是三角形的三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 6 直线和圆的位置关系 相交d 相切d=r 相离d>r 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；切线的判定定理：经过圆的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线；切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆为它的内切圆，圆心是三角形的三条角平分线的交点，为三角形的内心。 7 圆和圆的位置关系 外离d>R+r 外切d=R+r 相交R-r 内切d=R-r 内含d 8 正多边形和圆 正多边形的中心：外接圆的圆心 正多边形的半径：外接圆的半径 正多边形的中心角：没边所对的圆心角正多边形的边心距：中心到一边的距离9 弧长和扇形面积 10 圆锥的侧面积和全面积 侧面积： 全面积 11 （附加）相交弦定理、切割线定理 第五章 概率初步 1 概率意义：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率 m 稳定在某个常数 p 附近， n 则常数 p 叫做事件 A 的概率。 2 用列举法求概率 一般的，在一次试验中，有 n 中可能的结果，并且它们发生的概率相等，事件 A 3 用频率去估计概率 下册 第六章 二次函数 a>0, 开口向上； a<0，开口向下； 图像的平移可以参照顶点的平移。 2 用函数观点看一元二次方程 3 二次函数与实际问题 第七章 相似 1 图形的相似 相似多边形的对应边的比值相等，对应角相等； 两个多边形的对应角相等，对应边的比值也相等，那么这两个多边形相似； 相似比：相似多边形对应边的比值。 2 相似三角形 判定： 平行于三角形一边的直线和其它两边相交， 所构成的三角形和原三角形相似； 如果两个三 角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么两个三 角形相似； 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等， 形相似。 3 相似三角形的周长和面积 相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形（多边形）的面积的比等于相似比的平方。 4 位似 位似图形：两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行， 这样的两个图 顶点坐标： b ,4a c b 2 ； 2a , 4a 对称轴： x 2a 弧长 nr l 180 扇形面积： S 2 nr 360 包含其中的 m 中结果，那么事件 A 发生的概率就是 p （A ）= m n 二次函数 ax 2 bx c =a x 2 b 2a 2 4ac b 4a 那么两个三角 形叫位似图形，相交的点叫位似中心。第八章锐角三角函数 1 锐角三角函数：正弦、余弦、正切； 2 解直角三角形 第九章投影和视图 1 投影：平行投影、中心投影、正投影 2 三视图：俯视图、主视图、左视图。 3 三视图的画法 初三数学知识点 x 2 ax +bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2+bx+c= a x b b 2 4a c 2a b b 2 4a c 2a 一、《一元二次方程》 1. 一元二次方程的一般形式 : a ≠ 0时， ax 2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，研究一元 二次方程的有 关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的 a 、 b 、 c ； 其中 a 、 b, 、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式 . 2. 一元二次方程的解法 : 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然 简单，但是适用范 围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式 分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少 . 22 3. 一元二次方程根的判别式 : 当 ax 2+bx+c=0 (a ≠ 0)时，Δ =b 2-4ac 叫一元二次方程根的判 别式 . 请注意 以下等价命题： ※ 5 ．当 ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： ( 以下等价关系要求会用公式 x 1 x 2 b ，x 1x 2 c ；Δ =b 2-4ac 分析，不要求背记 ) a a 1) 两根互为相反数 b = 0 且Δ≥ 0 a b = 0 且Δ≥ 0； 2) 两根互为倒数 c a =1 且Δ≥ 0 a = c 且Δ≥ 0； 3) 只有一个零根 c = 0 且 b ≠0 c = 0 且 b ≠0； a a 4) 有两个零根 c = 0 且 b = 0 c = 0 且 b=0； a a 5) 至少有一个零根 c =0 c=0 ； a 6) 两根异号 c <0 a a 、 c 异号； 7) 两根异号， 正根绝对值大于负根绝对值 c <0且 b >0 a 、c 异号且 a 、b 异号； a a 8) 两根异号， 负根绝对值大于正根绝对值 c <0且 b <0 a 、c 异号且 a 、b 同号； a a 9) 有两个正根 cb > 0， > 0 且Δ≥ 0 a 、 c 同号， a 、 b 异号且Δ≥ 0； a a 10)有两个负根 c > 0 ， b < 0 且Δ≥ a 、c 同号， a 、 b 同号且Δ≥ 0. aa 6．求根法因式分解二次三项式公式： 注意：当Δ< 0 时，二次三项式在实数范围内不能分 解. 7．求一元二次方程的公式： x 2 - (x 1+x 2) x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数 Δ< 0 <=> 无实根； 4. 一元二次方程的根系关系： Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等) . 2 当 ax 2+bx+c=0 (a ≠ 0) 时，如Δ≥ 0，有下列公式： (1) x 1,2 b b 2 4a c 2a (2) x 1 x 2 x 1x 2 a Δ> 0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； b c (1) 第一年为 a , 第二年为 a(1+x) , 第三年为 a(1+x) 2. ( 2)常利用以下相等关系列方程： 第三年 =第三年 或 第一年 +第二年 +第三年= 总和 . 9．分式方程的解法： 两边同乘最简 (1) 去分母法 验增根代入最简公分母 (或原方程的每个分母 ) 公分母 (2)换元法 凑元换，元设元. ， 验增根代入原方程每个 分母，值 10. 二元二次方程组的解法： 等式,公式 ) 推导出含有 x 1, x 2 的关系式 .注意隐含条件 : x 1 0, x 2 0. (6) 如题目中给出特殊的直 角三角形、三角函数、 比例式、等积式等条件 , 可把它们转化为某 些线段的比，并 且 引入“ 辅助未知元 k ”. (7) 方程个数等于未知数个 数时 ,一般可求出未知数的值 ;方程个数比未知数个数 少一个时， 般求不出未知数 的值 , 但总可求出任何两个未 知数的关系 . 、《圆》 2 两边平方为( x 1 x 2)2 4 (1)代入消元 法 方程组 中含有一个二元一次方 程; (2) 分解降次法 方程组 中含有能分解为 ( () ) 0 的方程 (3) (1 注意： )( 2) 0 应 分组为 (1 ) 0 (2 ) 0 (1 ) 0 (2) 0 (3 )( 4) 0 (3) 0 (4 ) 0 ( 4) 0 (3) 0 ※11 ． 几个常见转化： (1) x 12 x 22 (x 1 x 2)2 2x 1x 2 ； (x 1 x 2)2 (x 1 x 2)2 4x 1x 2； x 21 2 (x x x 1)2 2； x 或x 2 (x x 1)2 2； x 1 x 2 (x 1 x 2) (x 1 x 2)2 (x 1 (x 1 2 x 2 ) 4x 1x 2 2 x 2) 4x 1x 2 (x 1 (x 1 x 2) ； ； x 2) (2) x 1 x 2 2 (3) x 1 x 2 4 3 ( 或 2 x 2 19 6 ) x 1 4 x 1 4 (1) 分类为 1 和 1 x 2 3 x 2 3 (2) 两边平方一般不用 , 因为增加次数 (4) 如 x 1 sinA, x 2 sin B 且 A B 90 时, 由公式 sin 2 A cos 2 A 1, cosA 可推出 x 12 x 22 1. 注意隐含条件 : x 1 0, x 2 0. sin B (5) x 1,x 2 若为几何图形中线段长 时,可利用图形中的相等关 系( 例如几何定理，相似形 ,面积 ，值 0. 0. 几何 A 级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明） 1. 垂径定理及推论 : 如图：有五个元素， “知二可推三” ；需 记忆其中四 个定理， 即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理” C 几何表达式举例： ∵ CD 过圆心 ∵CD ⊥AB AE=BE 平分优弧 AC = BC A O E 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分劣弧 AD = BD 2. 平行线夹弧定理： 圆的两条平行弦所夹的弧相等 几何表达式举例 AB ∥CD AC = BD 3. “角、弦、弧、 “等角对等弦” ； “等角对等弧” ； “等弧对等弦” ； “等弦对等弦心距 距”定理： （同圆或等圆中） “等弦对等角” ； “等弧对等角” ； “等弦对等 （ 优，劣 ）弧 ” ；“等弦心距对等弦” 圆周角定理及推论 : 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 （ 如图 ） 等弧对等角” “等角对等弧” ； 直径对直 角” “直角对直径” ；（ 如图） 如三角形一边上的中线等于这边的一半， 三角形是直角 三角形 .（ 如图 ） 1） 2） 3） 4） 5） 那么这个 4 ） 几何表达式举例： (1) ∵∠ AOB=∠ COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠ AOB=∠ COD 几何表达式举例 1） 2） 3） 4） ∠ ACB= ∠ AOB 2 AB 是直径 ∠ACB=90° ∠ACB=90° AB 是直径 CD=AD=BD Δ ABC 是 Rt Δ 5．圆内接四边形性质定理 : 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角 . 6．切线的判定与性质定理 : 如图：有三个元素， “知二可推一 需记忆其中四个定理 . （1）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线； 几何表达式举例： ∵ ABCD 是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 几何表达式举例： （1） ∵ OC 是半径 ∵ OC ⊥ AB ∴ AB 是切线 （2） ∵ OC 是半径 DE 是半径 B 垂直 C 是切线 （1） （2） 线 ∴ O 1 、A 、O 2 三点一 12．正多边形的有关计算 : 公式举例： （1）中心角 n ，半径 R N ， 边心距 r n ， O (1) 360 边长 a n ，内角 n ， 边数 n ； D n E n =； n （2）有关计算在 Rt Δ AOC 中进行 . Rn r n (2) n 180 n 2 n ACB a n 几何 B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一 基本概念： 圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、 弓形高 三角形的外接圆、 三角形的外心、 三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、 圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的 内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角 二 定理： 1．不在一直线上的三个点确定一个圆 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 . 3．正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分为 2n 个全等的直角三角形 . 三 公式： 1. 有关的计算： （ 1）圆的周长 C=2πR ；（2）弧长 L= n R ；（3）圆的面积 180 2 S=π R 2. （4）扇形面积 S 扇形 =n R 1LR ；（5）弓形面积 S 弓形 =扇形面积 S AOB ±Δ AOB 的面 360 2 积. （如图） 2. 圆柱与圆锥的侧面展开图： （ 1）圆柱的侧面积： S 圆柱侧 =2πrh ； （r: 底面半径； h:圆柱高 ） 1 （ 2）圆锥的侧面积： S 圆锥侧 = 1 LR . （L=2πr ， R 是圆锥母线长； r 是底面半径） 2 四 常识： 1． 圆是轴对称和中心对称图形 . 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数 . 3． 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心； 三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心 4． 直线与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到直线的距离；其中 r 表示圆的半径） 直线与圆相交 d 与圆相切 d=r ； 直线与圆相离 d >r. 5． 圆与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到圆心的距离，其中 R 、r 表示两个圆的半径且 R ≥r ） 两圆外离 d >R+r ； 两圆外切 d=R+r ； 两圆相交 R-r 6．证直线与圆相切， 常利用：“已知交点连半径证垂直” 和“不知交点作垂直证半径” 的 O A B 方法加辅助线. 7．关于圆的常见辅助线： 两圆内切，构造外公 切线与垂直 两圆内切，构造外公切 线与平行. 两圆外切，构造内公切 线与垂直两圆外切， 构造内公切线与平 行. 两圆同心，作弦心距， 可证得AC=DB. 两圆相交构造公共弦， 连结圆心构造中垂线 PA、PB 是切线，构造 双垂图形和全等. 已知弦构造弦心距 已知弦构造Rt Δ . A B 已知直径构造直角 垂直. 圆外角转化为圆周角. M A O2 01 D A P 圆内角转化为圆周角 A B 01 E O2 D N D B 构造垂径定理 P 构造相似形. M N O102 M B 一切一割出相似, 并 且构造弦切角 两割出相似, 并且构造圆 周角. 双垂出相似, 并且构造 直角. 规则图形折叠出一 对全等，一对相似 B 相交弦出相似 1. 分类为x1 x 2 2 和x1 x2 2 圆的外切四边形对边 和相等.若AD ∥ BC都是切线，连 结OA 、OB 可证∠ AOB=180°，即A、O、B 三点一线. 等腰三角形底边上的的 高必过内切圆的圆心和 切点, 并构造相似形. 补全半圆 AB= O1O22 (R r) Rt Δ ABC 的内切圆 半径：r= abc 2 AB= O1O22 (R r)2 PC过圆心，PA是切线，构造 双垂、Rt Δ. O是圆心，等弧出平行和相似作AN⊥ BC，可证 出 GF AM BC AN
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