直方图作业

课时作业(五十六) 用频率分布直方图估计总体分布 百分位数[练基础]1．已知一组数据为4，5，6，7，8，8，第40百分位数是( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．52．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：(单位：分)78、70、72、86、88、79、80、81、94、84、56、98、83、90、91，则这15人成绩的第80百分位数是( )A ．90B ．91.5C ．91D ．90.53．对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在第95百分位数上，则以下说法正确的是( )A ．小明得了95分B ．小明答对了95%的试题C ．95%的参加考试者得到了和小明一样的考分或还要低的分数D ．小明排名在第95名4．已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列)： 甲组：27、28、39、40、m 、50； 乙组：24、n 、34、43、48、52.若这两组数据的30百分位数、80百分位数分别相等，则mn等于( ) A ．127 B ．107C ．43D ．745．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，50百分位数为b，则有( )A．a＝13.7，b＝15.5 B．a＝14，b＝15C．a＝12，b＝15.5 D．a＝14.7，b＝156．(多选)已知100个数据的75百分位数是9.3，则下列说法不正确的是( )A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数7．某组数据的中位数是2 019，那么它的第50百分位数是________．8．已知30个数据的60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________.9．下表为12位毕业生的起始月薪根据表中所给的数据计算第85百分位数．10．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2020年11月11日的网购金额，所得数据如下表：已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图).(2)估计网购金额的25%分位数(结果保留3位有效数字).[提能力]11．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，估计棉花纤维的长度的样本数据的第80百分位数是( )A．29 mm B．29.5 mmC．30 mm D．30.5 mm12．(多选)某校高三年级共有800名学生参加了数学测验(满分150分)，已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组并得到频率分布直方图(如图所示)，则下列说法中正确的是( )A．a＝0.045B．这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160人C．这800名学生数学成绩的众数可近似认为是125D．这800名学生数学成绩的第75百分位数约为128.613．某中学有初中学生1 800人，高中学生1 200人．为了解学生本学期课外阅读情况，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们的课外阅读时间，然后按初1，10，中学生和高中学生分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：h)分为5组：[) [)30，40，[]40，50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布20，30，[)10，20，[)直方图，试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30 h的学生人数为________.14．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25，30)年龄组对应小矩形的高度为________．(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁．15．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解．某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛．现把50名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：(1)求a的值；(2)这50名党员成绩的众数、中位数及平均成绩；(3)试估计此样本数据的第90百分位数．[培优生]16．从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7．9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.(1)分别求出这组数据的第25，75，95百分位数．(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．(3)若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．课时作业(五十六) 用频率分布直方图估计总体分布 百分位数1．解析：因为有6位数， 所以6×40%＝2.4，所以第40百分位数是第三个数6. 故选C. 答案：C2．解析：将这15人成绩由小到大依次排列为56、70、72、78、79、80、81、83、84、86、88、90、91、94、98，15×80%＝12，因此，这15人成绩的第80百分位数是90＋912＝90.5.故选D.答案：D3．解析：第95百分位数是指把数据从小到大排序，至少有95%的数据小于或等于这个值，至少有5%的数据大于或等于这个值．故选C.答案：C4．解析：因为30100×6＝1.8，80100×6＝4.8，所以，乙组的30百分位数为n ＝28，甲组的80百分位数为m ＝48，因此，m n ＝4828＝127.故选A. 答案：A5．解析：把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a ＝110×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，因为50×10100＝5，所以这10名工人一小时内生产零件的50百分位数为b ＝15＋152＝15.故选D. 答案：D6．解析：因为75×100100＝75为整数，所以第75个数据和76个数据的平均数为75百分位数，是9.3，则C 正确，其他选项均不对，故选ABD.答案：ABD7．解析：某组数据的中位数是2 019，第50百分位数就是中位数，它的第50百分位数是2 019.答案：2 0198．解析：由于60×30100＝18，设第19个数据为x ，则7.8＋x 2＝8.2，解得x ＝8.6，即第19个数据是8.6.答案：8.69．解析：把这组数据按从小到大排序：2 710，2 755，2 850，2 880，2 880，2 890，2 920，2 940，2 950，3 050，3 130，3 325，所以i ＝n ×p %＝12×85%＝10.2， 即第85百分位数是3 130. 答案：3 13010．解析：(1)根据题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50.所以p ＝0.4，q ＝0.25.补全频率分布直方图如图所示．(2)由(1)可知，网购金额不高于2千元的频率为0.08＋0.12＝0.2， 网购金额不高于3千元的频率为0.2＋0.4＝0.6， 所以网购金额的25%分位数在(2，3]内，故网购金额的25%分位数为2＋0.25－0.20.6－0.2×1＝2.125千元．11．解析：棉花纤维的长度在30 mm 以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，在25 mm 以下的比例为85%－25%＝60%， 因此，第80百分位数一定位于[25，30)内，由25＋5×0.80－0.600.85－0.60＝29，可以估计棉花纤维的长度的样本数据的第80百分位数是29 mm.故选A. 答案：A12．解析：对选项A ，(0.01＋0.01＋0.025＋a ＋0.015＋0.005)×10＝1，解得a ＝0.035，故A 错误；对选项B ，成绩在110分以下的人数为()0.01＋0.01×10×800＝160，故B 正确；对选项C ，由频率分布直方图可知众数可近似认为是125，故C 正确；对选项D ，成绩的第75百分位数约为120＋0.30.35×10≈128.6，故D 正确．故选BCD. 答案：BCD13．解析：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名．因为初中学生中阅读时间不小于30 h 的频率为()0.02＋0.005×10＝0.25，所以该校所有的初中学生中，阅读时间不小于30 h 的学生人数约为0.25×1 800＝450，同理，高中学生中阅读时间不小于30 h 的频率为()0.03＋0.005×10＝0.35，故该校所有的高中学生中，阅读时间不小于30 h 的学生人数约为0.35×1 200＝420.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30 h 的学生人数约为450＋420＝870.答案：87014．解析：(1)设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为h ，则5×(0.01＋h ＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h ＝0.04.(2)由题图可知年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9，且所有志愿者的年龄都小于45岁，所以志愿者年龄的95%分位数在[40，45]内，因此志愿者年龄的95%分位数为40＋0.95－0.91－0.9×5＝42.5岁．答案：(1)0.04 (2)42.515．解析：(1)根据频率分布直方图得：(0.004＋0.006＋a ＋0.030＋0.024＋0.016)×10＝1，解得a ＝0.020.(2)由众数概念可知，众数是出现次数最多的数，所以众数为70＋802＝75，∵0.004×10＋0.006×10＋0.020×10＝0.3，∴前三个小矩形的面积的和为0.3，而第四个小矩形的面积为：0.030×10＝0.3，0.3＋0.3＝0.6>0.5，∴中位数应位于[)70，80内，中位数＝70＋0.5－0.30.3×10＝2303≈76.7，平均成绩为：45×()0.004×10＋55×()0.006×10＋65×()0.020×10＋75×()0.030×10＋85×()0.024×10＋95×()0.016×10＝76.2.(3)前5个小组的频率之和是(0.004＋0.006＋0.020＋0.030＋0.024)×10＝0.84, 所以第90百分位数在第五小组[]90，100内，为90＋0.90－0.841－0.84×10＝3754＝93.75.16．解析：(1)将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4， 则第25百分位数是8.0＋8.32＝8.15，第75百分位数是8.6＋8.92＝8.75，第95百分位数是第12个数据为9.9.(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9. 即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9. (3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g ，第50百分位数为8.5 g ， 第95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g 的珍珠为次品， 质量大于8.15 g 且小于或等于8.5 g 的珍珠为合格品，质量大于8.5 g 且小于等于9.9 g 的珍珠为优等品，质量大于9.9 g 的珍珠为特优品．。

第四章图像增强1.简述直方图均衡化处理的原理和目的。

拍摄一幅较暗的图像，用直方图均衡化方法处理，分析结果。

原理：直方图均衡化处理的“中心思想”是把原始图像的灰度直方图从比较集中的某个灰度区间变成在全部灰度范围内的均匀分布。

也就是对图像进行非线性拉伸，重新分配图像像素值，使一定灰度范围内的像素数量大致相同。

把给定图像的直方图分布改变成“均匀”分布直方图分布目的：直方图均衡化是图像处理领域中利用图像直方图对对比度进行调整的方法。

它通常用来增加许多图像的局部对比度，尤其是当图像的有用数据的对比度相当接近的时候。

通过直方图均衡化，亮度可以更好地在直方图上分布。

这样就可以用于增强局部的对比度而不影响整体的对比度，直方图均衡化通过有效地扩展常用的亮度来实现这种功能。

Matlab程序如下：clc;RGB=imread('wxf.jpg'); %输入彩色图像，得到三维数组R=RGB(:,:,1); %分别取三维数组的一维，得到红绿蓝三个分量G=RGB(:,:,2); %为R G B。

B=RGB(:,:,3);figure(1)imshow(RGB); %绘制各分量的图像及其直方图title('原始真彩色图像');figure(2)subplot(3,2,1),imshow(R);title('真彩色图像的红色分量');subplot(3,2,2), imhist(R);title('真彩色图像的红色分量直方图');subplot(3,2,3),imshow(G);title('真彩色图像的绿色分量');subplot(3,2,4), imhist(G);title(' 的绿色分量直方图');subplot(3,2,5),imshow(B);title('真彩色图像的蓝色分量');subplot(3,2,6), imhist(B);title('真彩色图像的蓝色分量直方图');r=histeq(R); %对个分量直方图均衡化，得到个分量均衡化图像g=histeq(G);b=histeq(B);figure(3),subplot(3,2,1),imshow(r);title('红色分量均衡化后图像');subplot(3,2,2), imhist(r);title('红色分量均衡化后图像直方图');subplot(3,2,3),imshow(g);title('绿色分量均衡化后图像');subplot(3,2,4), imhist(g);title('绿色分量均衡化后图像直方图');subplot(3,2,5), imshow(b);title('蓝色分量均衡化后图像');subplot(3,2,6), imhist(b);title('蓝色分量均衡化后图像直方图');figure(4), %通过均衡化后的图像还原输出原图像newimg = cat(3,r,g,b); %imshow(newimg,[]);title('均衡化后分量图像还原输出原图');程序运行结果：原始真彩色图像均衡化后分量图像还原输出原图图1.1 原始图像与均衡化后还原输出图像对比通过matlab仿真，由图1.1比较均衡化后的还原图像与输入原始真彩色图像，输出图像轮廓更清晰，亮度明显增强。

【作业1】2、一幅8灰度级图像具有如下所示的直方图，求直方图均衡后的灰度级和对应概率，并画出均衡后的直方图的示意图。

（计算中采用向上取整方法，图中的8个不同灰度级对应的归一化直方图为[0.17 0.25 0.21 0.16 0.07 0.08 0.04 0.02]）【解答】直方图均衡采用公式rS r=⌈G∑P r(w)−1⌉w=0式中，G为灰度级数，取8，p r(w)为灰度级w的概率，S r为变换后的灰度，计算过程如下表所示：则新灰度级的概率分别是：P s(0) = 0P s(1) = P r(0) = 0.17P s(2) = 0P s(3) = P r(1) = 0.25P s(4) = 0P s(5) = P r(2) = 0.21P s(6) = P r(3) + P r(4) = 0.23P s(7) = P r(5) = P r(6) = P r(7) = 0.14编写matlab程序并绘制直方图：s=0:1:7;p=[0 0.17 0 0.25 0 0.21 0.23 0.14];bar(s,p);axis([-1 8 0 0.3]);可以看出，此图较题目原图更加“均匀”。

【作业2】1、完成课本数字图像处理第二版114页，习题3.10。

【解答】由图可知p r(r)=−2r+2,(0≤r≤1)p z(z)=2z,(0≤z≤1)将两图做直方图均衡变换s1=T1(r)=∫p r(w)dwr0=∫(−2w+2)dwr=−r2+2rs2=T2(z)=∫p z(w)dwz0=∫(2w)dwz=z2令上面两式相等，则z2=−r2+2r 因为灰度级非负，所以z=√−r2+2r2、请计算如下两个向量与矩阵的卷积计算结果。

（1）[ 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ] * [ 2 0 -2 ]（2） [−101−202−101]∗[1320410323041052321431042]【解答】（1）设向量a=[ 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ]，下标从-4到4，即a(-4)=1，a(-3)=2……a(4)=1；设向量b=[ 2 0 -2 ]，下标从-1到1，即b(-1)=2，b(0)=0，b(1)=-2；设向量c=a*b，下标从-5到5。

直方图的理解与应用
意义与功能
直方图是一种将数据以简单方式呈现的工具。

它用在显示从制造程序中收集的数据，可以让分析者很快速地了解某特定时间内制程的状况。

横轴代表某个质量特
性或变量之量测值的分类，
纵轴表示每一类出现之次数。

下图示一个典型的直方图：
钟型分配：在上下界限中央有一高峰，且图形
以中心点对称，显示此数据来自一个自然、的
常态制程。

双峰分配：在数据分布范围之中央有一低谷，
而两旁个有一高峰。

此种图形是混合两个钟型
分配，可能的情形是这些数据来自两部不同之
机器、两个不同之操作员或两条不同底生产
线。

高原型分配：直方图没有显著底高峰和尾端，
此种直方图的数据可能来自数个钟型分配。

一
种可能的原因是无标准作业程序，操作员自行
其事，造成极大之变异。