2015-2016学年八年级下第九单元中心对称图形单元试题及答案

苏科版数学八年级下册第9章中心对称图形—平行四边形单元试卷含答案（满分：100分时间：60分钟）一、选择题（每题3分，共21分）1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )2．下列说法正确的是( )A．线段绕着它的中点旋转180°后与原线段重合，那么线段是中心对称图形B．等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转120°后与原图形重合，那么等边三角形是中心对称图形C．正方形绕着它的对角线交点旋转90°后与原图形重合，那么正方形是中心对称图形D．正五角星绕着它的中心旋转72°后与原图形重合，那么正五角星是中心对称图形3．如图，在□ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB 的长为( )A．4 B．3 C．52D．24．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF，则四边形AECF是( )A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，点E是矩形ABCD的边AD的延长线上一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是( )A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC6．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是( )A．25 B．20 C．15 D．107．如图，四边形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的面积是3，则四边形ABCD的面积是( )A．3 B．6 C．9 D．12二、填空题（每题3分，共21分）8．如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧OC、弧OA所围成的面积是_______cm2．9．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC＝14，BD＝8，AB＝x，那么x的取值范围是_______．10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是_______．11．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α(0°<α<90°)．若∠1＝110°，则∠α＝_______°．12．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点．若AC与BD的长度之和是24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝_______厘米．13．矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为_______．14．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是_______．三、解答题（共58分）15．（8分）如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形作为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分的面积为4．16．（8分）如图，在□ABCD中，BE＝DF．求证：AE＝CF．17．（10分）如图①，将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片；如图②，再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．18．（10分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH?请证明你的结论．19．（10分）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．(1)求证：△BCP≌△DCP；(2)求证：∠DPE＝∠ABC；(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝_______。

2015-2016学年第二学期八年级数学第九章检测卷(满分：100分 时间：90分)一.选择题(每题2分,共20分)1. (2015·滩坊)下列汽车标志中,不是中心对称图形的是 ( )A B C D2. 将如图所示的图形绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是 ( )第2题 A B C D3. 一个图形无论经过平移还是旋转,有下列说法:①对应线段平行;②对应线段相等;③对应角相等: ④图形的形状和大小都没有发生变化.其中,正确的有 ( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④4. 对于命题“如果a b c >>,那么“22a b >.”用反证法证明,应假没 ( )A.22a b > B.22a b < C.22a b ≥ D.22a b ≤5. 如图,在ABC ∆中,D .E 分别是边AB .AC 的中点.若2DE =,则BC 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5第5题 第6题 第7题 第8题6. (2015·河南)如图,在ABCD 中,用直尺和圆规作BAD ∠的平分线AG 交BC 于点E .若6BF =,5AB =,则AE 的长为 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 107. 如图,在矩形纸片ABCD 中,8AD =,折叠纸片使边AB 与对角线AC 重合,点B 落在点F 处,折痕为AE ,且3EF =,则AB 的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 68. ( 2015· 鄂州)在平面直角坐标系中,正方形111A B C .1122D E E B .2222A B C D .2343D E E B .3333A B C D ……按如图所示的方式放置,其中点1B 在y 轴上,点1C .1E .2E .2C .3E .4E .3C ……在x 轴上,正方形1111A B C D 的边长为1,1160B C O ∠=︒,11B C ∥22B C ∥33B C ……则正方形2015201520152015A B C D 的边长是 ()A. 20141()2B. 20151()2C. 2015(3D. 2014(39．下列命题中,真命题的个数有（ ） ①对角线相互平分的四边形是平行四边形； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形。

《第9章中心对称图形》一、选择题1．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．顺次连接下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（）A．等腰梯形B．矩形C．平行四边形D．菱形或对角线互相垂直的四边形3．如果四边形的对角线相等，那么顺次连接四边中点所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对4．把图形绕点A按逆时针方向旋转70°后所得的图形与原图作比较，保持不变的是（）A．位置与大小B．形状与大小C．位置与形状D．位置、形状及大小5．下面4个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．在平行四边形、矩形、菱形和等腰梯形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．下列说法中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．四条边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形8．如图，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连接DE、DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件不可能是（）A．BD=DC B．AB=AC C．AD=BC D．AD⊥BC9．在梯形ABCD中，AB∥CD，DC：AB=1：2，E、F分别是两腰BC、AD的中点，则EF：AB等于（）A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．3：4二、填空题10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若DE=5，则BC的长是．11．已知一个三角形的周长为10cm，则连接各边中点所得的三角形的周长为cm．12．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm，则原三角形的周长为cm．13．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．（1）如果EF=4cm，那么BC=cm；如果AB=10cm，那么DF=cm；（2）中线AD与中位线EF的关系是．14．要使一个平行四边形成为正方形，则需增加的条件是（填上一个正确的结论即可）．15．已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段（不包括AB=CD和AD=BC）．16．已知菱形的两条对角线长为6cm和8cm，菱形的周长是cm，面积是cm2．17．如图，P是边长为4的正方形ABCD的边AD上的一点，且PE⊥AC，PF⊥BD，则PE+PF=．18．斜拉桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔上的桥梁，它不需建造桥墩，如图：、、…、是斜拉桥上五条相互平行的钢索，并且、、、、被均匀地固定在桥面上．已知最长的钢索=80m，最短的钢索=20m，那么钢索、的长分别为m和m．三、解答题19．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：BD=2EF．20．如图，E、F分别是AB、AC的中点，延长EF交∠ACD的平分线于点G．AG与CG有怎样的位置关系？说明你的理由．21．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM，CD分别交于点E、F．求证：∠BEN=∠NFC．22．某居民小区搞绿化，小区的居民们把一块矩形垃圾场地清理干净后，准备建几个花坛，老张说：花坛应该有圆有方；老李说：花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案，这样比较漂亮．你能设计一个让大家都满意的方案吗？试试看（将你设计的方案画在下面的矩形方框中）．23．如图，在梯形ABCD中，点P从点A向点D运动，点Q从点C向点B运动．已知点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s，AD=4cm，BC=8cm，运动时间为t．当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？《第9章中心对称图形》参考答案与试题解析一、选择题1．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【考点】菱形的判定；三角形中位线定理；等腰梯形的性质．【分析】由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出EF，EH是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC且EF=AC，EH∥BD且EH=BD，∵AC=BD，∴EF=EH，同理可得GF=HG=EF=EH，∴四边形EFGH为菱形，故选：C．【点评】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．2．顺次连接下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（）A．等腰梯形B．矩形C．平行四边形D．菱形或对角线互相垂直的四边形【考点】矩形的判定；三角形中位线定理．【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．【解答】解：A、等腰梯形的对角线相等但不垂直，故连接等腰梯形各边中点所得的四边形为菱形．不正确．B、矩形的对角线相等且互相平分，但却不垂直．故连接矩形各边中点所得的四边形为菱形．不正确．C、平行四边形的对角线互相平分，但并不相等和互相垂直．故连接平行四边形各边中点所得的四边形为平行四边形．不正确．D、对角线互相垂直的四边形（菱形）连接各边中点所得的四边形为矩形．因为矩形是有一个角为直角的平行四边形．正确．故选D．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．3．如果四边形的对角线相等，那么顺次连接四边中点所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对【考点】中点四边形．【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF= AC，GH=AC，HE=BD，FG=BD，再根据四边形的对角线相等可可知AC=BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形即可得解．【解答】解：如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形的中位线定理，EF=AC，GH=AC，HE=BD，FG=BD，连接AC、BD，∵四边形ABCD的对角线相等，∴AC=BD，所以，EF=FG=GH=HE，所以，四边形EFGH是菱形．故选B．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，四条边都相等的四边形是菱形，熟记定理与判定方法是解题的关键，作出图形更形象直观．4．把图形绕点A按逆时针方向旋转70°后所得的图形与原图作比较，保持不变的是（）A．位置与大小B．形状与大小C．位置与形状D．位置、形状及大小【考点】旋转的性质．【分析】直接根据旋转的性质得到答案．【解答】解：∵旋转前后两图形全等，∴把图形绕点A按逆时针方向旋转70°后所得的图形与原图的形状与大小一样，但位置发生了变化．故选B．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．5．下面4个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心求解．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形．故此选项错误．故选A．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．在平行四边形、矩形、菱形和等腰梯形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：矩形、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形．故选B．【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．下列说法中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．四条边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．【分析】分别根据平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定分析得出即可．【解答】解：A、只有两组对边平行的四边形是平行四边形，故此选项错误；B、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项错误；C、四条边相等的四边形是菱形，此选项正确；D、根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定，正确区分它们的判定是解题关键．8．如图，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连接DE、DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件不可能是（）A．BD=DC B．AB=AC C．AD=BC D．AD⊥BC【考点】菱形的判定．【分析】可以添加BD=CD或AB=AC或AD⊥BC，然后利用三角形中位线证明四边形ADEF 是平行四边形，再证明是菱形即可．【解答】解：添加BD=CD，∵E、F分别是边AB、AC的中点，∴DE，EF是三角形的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∵AB=AC，点E，F分别是AB，AC的中点，∴AE=AF，∴平行四边形ADEF为菱形．添加AB=AC，则三角形是等腰三角形，由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，即点D是BC的中点再证明即可；添加AD⊥BC，再由AD是△ABC的角平分线可证明△ABD≌△ACD，进而得到BD=CD，再证明四边形ADEF为菱形即可，故选：C．【点评】本题考查了菱形的判定．利用了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质．也可添加∠B=∠C或AE=AF．9．在梯形ABCD中，AB∥CD，DC：AB=1：2，E、F分别是两腰BC、AD的中点，则EF：AB等于（）A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．3：4【考点】梯形中位线定理．【分析】设DC=x，AB=2x，根据梯形的中位线等于两底和的一半表示出EF的长，然后求解即可．【解答】解：∵DC：AB=1：2，∴设DC=x，AB=2x，∵E、F分别是两腰BC、AD的中点，∴EF=（AB+CD）=（2x+x）=x，∴EF：AB=x：2x=3：4．故选D．【点评】本题考查了梯形的中位线定理，熟练掌握中位线定理是解题的关键，用x表示出DC、AB可以使运算更加简便．二、填空题10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若DE=5，则BC的长是10．【考点】三角形中位线定理．【分析】由D、E分别是边AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理求解即可．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∵DE=5，∴AB=2ED=10．故答案为：10．【点评】本题考查了三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并等于三角形第三边的一半．11．已知一个三角形的周长为10cm，则连接各边中点所得的三角形的周长为5cm．【考点】三角形中位线定理．【分析】根据三角形中位线的性质，即三角形的中位线等于第三边的一半求解即可．【解答】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，∴DE=AC，EF=AB，DF=BC，∵AB+BC+AC=10，∴DE+EF+FD=（AB+BC+AC）=5cm，故答案为：5．【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．12．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm，则原三角形的周长为16cm．【考点】三角形中位线定理．【分析】三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的一半，已知中点三角形的周长，可以求出原三角形的周长．【解答】解：由中点和中位线定义可得原三角形的各边长分别为新三角形各边长的2倍，所以原三角形的周长为新三角形的周长的2倍为16．故答案为16．【点评】解决本题的关键是利用中点定义和中位线定理得到新三角形各边长与原三角形各边长的数量关系．13．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．（1）如果EF=4cm，那么BC=8cm；如果AB=10cm，那么DF=5cm；（2）中线AD与中位线EF的关系是互相平分．【考点】三角形中位线定理．【分析】（1）根据三角形中位线定理易求BC=2EF，DF=AB；（2）根据三角形中位线定理推知四边形AEDF是平行四边形，则平行四边形的对角线互相平分．【解答】解：（1）如图，在△ABC中，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=BC，则BC=2EF=8cm．同理，DF是△ABC的中位线，∴DF=AB=5cm．故答案是：8；5；（2）如图，∵DF是△ABC的中位线，∴DF∥AB，则DF∥AE．同理，DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴对角线AD与EF互相平分．故答案是：互相平分．【点评】本题考查了三角形中位线定理．解（2）题时，根据“三角形中位线定理推知四边形AEDF是平行四边形”是解题的难点．14．要使一个平行四边形成为正方形，则需增加的条件是对角线相等且互相垂直（填上一个正确的结论即可）．【考点】正方形的判定；平行四边形的性质．【专题】开放型．【分析】根据正方形的判定和定义进行填空．【解答】解：根据正方形的判定和定义知：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形；对角线相等且相互垂直的平行四边形是正方形．故答案为：“一组邻边相等且一个角是直角”或“对角线相等且相互垂直”．【点评】本题主要考查正方形的判定和定义．15．已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段OA=OE或OB=OD或AB=ED或CD=ED或BC=BE或AD=BE （不包括AB=CD和AD=BC）．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题；开放型．【分析】折叠前后的对应边相等，结合矩形的性质可得到多组线段相等．【解答】解：由折叠的性质知，ED=CD=AB，BE=BC=AD，∴△ABD≌△EDB，∠EBD=∠ADB，由等角对等边知，OB=OD．【点评】本题答案不唯一，本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边求解．16．已知菱形的两条对角线长为6cm和8cm，菱形的周长是20cm，面积是24cm2．【考点】菱形的性质；勾股定理．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得到其面积，根据菱形的性质可求得其边长，从而可得到其周长．【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，BD，AC分别是其对角线且BD=6，AC=8，求其面积和周长．∵四边形ABCD是菱形，BD，AC分别是其对角线，∴BD⊥AC，BO=OD=3cm，AO=CO=4cm，∴AB=5cm，∴菱形的周长=5×4=20cm；S菱形=×6×8=24cm2．故本题答案为：20cm；24cm2．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．17．如图，P是边长为4的正方形ABCD的边AD上的一点，且PE⊥AC，PF⊥BD，则PE+PF=．【考点】正方形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据条件可以得到四边形PEOF是矩形，因而PF=OE，同时易证△APE是等腰直角三角形，因而AE=PE，则PE+PF=OA．根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为4，∴AD=CD=4 AC⊥BD∠DAO=45°；∴AC2=AD2+CD2=42+42=32，则AC=4，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEC=∠PFB=90°；又∵AC⊥BD，∴四边形EPFO是矩形；∴PF=OE，又∵∠DAO=∠APE=45°，∴AE=PE；∵AE+OE=OA=AC=×4=2，∴PE+PF=2．故答案为2．【点评】此题较简单，根据正方形的性质及勾股定理解答即可．18．斜拉桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔上的桥梁，它不需建造桥墩，如图：、、…、是斜拉桥上五条相互平行的钢索，并且、、、、被均匀地固定在桥面上．已知最长的钢索=80m，最短的钢索=20m，那么钢索、的长分别为40m和60m．【考点】三角形中位线定理；梯形中位线定理．【专题】应用题．【分析】需要先求出B2、B3、B4是B1到高塔底端的四等分点，由题可知A1B1、A2B2、A3B3、A4B4是互相平行的．此题只需分别根据梯形的中位线定理进行求解．【解答】解：∵B2、B3、B4是B1到高塔底端的四等分点，A1B1、A2B2、A3B3、A4B4是斜拉桥上互相平行的钢索，∴A4B4是△AA3B3的中位线，∴A3B3=2A4B4=2×20=40m，∵同理，梯形A1B1B3A3的中位线是A2B2∴A2B2===60m．故答案是：40、60．【点评】本题只要是把实际问题抽象到三角形及梯形中，利用三角形及梯形的中位线定理列出方程，通过解方程求解，体现了方程的思想．三、解答题19．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：BD=2EF．【考点】三角形中位线定理．【专题】常规题型．【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD的中点，再求证EF为△BCD的中位线．【解答】证明：在△ACD中，因为AD=AC 且AE⊥CD，所以根据等腰三角形中底边的垂线与底边的交点即中点，可以证明：E为CD的中点，又因为F是CB的中点，所以，EF∥BD，且EF为△BCD的中位线，因此EF=BD，即BD=2EF．【点评】此题主要是中位线定理在三角形中的应用，考查在三角形中位线为对应边长的的定理．20．如图，E、F分别是AB、AC的中点，延长EF交∠ACD的平分线于点G．AG与CG有怎样的位置关系？说明你的理由．【考点】三角形中位线定理．【分析】利用三角形中位线定理推知EF∥BC．所以利用平行线的性质、三角形角平分线的性质以及等腰三角形的判定证得FG=FC．又由AF=CF，则FG是△ACG中AC边上的中线，且FG=AC，则△AGC是直角三角形．【解答】解：AG⊥CG，理由：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，AF=CF，∴EF∥BC，∴∠FGC=∠GCD．∵CG平分∠ACD，∴∠FCG=∠GCD，∴∠FCG=∠FGC，∴FG=FC．又∵AF=CF，∴FG是△ACG中AC边上的中线，且FG=AC，∴△AGC是直角三角形，∴AG⊥CG．【点评】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线定理．一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．21．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM，CD分别交于点E、F．求证：∠BEN=∠NFC．【考点】三角形中位线定理．【专题】证明题．【分析】取AC中点G，连接NG，MG，根据三角形中位线定理可得到NG∥AE，MG∥CF，NG=AB，MG=CD，由平行线的性质可得∠BEN=∠FNG，∠CFN=∠NMG，从而可推出△GMN为等腰三角形，从而不难证得结论．【解答】证明：取AC中点G，连接NG，MG，∵点M，G，N分别是边AD，AC，BC的中点，∴MG、NG分别是△ADC与△ABC的中位线，∴NG∥AB，MG∥CF，NG=AB，MG=CD，∴∠BEN=∠FNG，∠CFN=∠NMG，∵NG=AB，MG=CD，AB=CD，∴NG=MG，∴∠MNG=∠GMN，∵∠MNG=∠BEN，∠GMN=∠CFN，∴∠BEN=∠CFN．【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是关键．22．某居民小区搞绿化，小区的居民们把一块矩形垃圾场地清理干净后，准备建几个花坛，老张说：花坛应该有圆有方；老李说：花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案，这样比较漂亮．你能设计一个让大家都满意的方案吗？试试看（将你设计的方案画在下面的矩形方框中）．【考点】利用旋转设计图案．【分析】根据题目要求画出图形，注意花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案．【解答】解：如图所示：【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及中心对称图形定义，利用中心对称图形的性质设计是解题关键．23．如图，在梯形ABCD中，点P从点A向点D运动，点Q从点C向点B运动．已知点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s，AD=4cm，BC=8cm，运动时间为t．当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？【考点】梯形；平行四边形的判定．【专题】动点型．【分析】首先根据题意得：AP=tcm，CQ=2tcm，又由AD∥BC，可得当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即可得方程t=8﹣2t，解此方程即可求得答案．【解答】解：根据题意得：AP=tcm，CQ=2tcm，∵AD=4cm，BC=8cm，∴DP=AD﹣AP=4﹣t（cm），BQ=BC﹣CQ=8﹣2t（cm），∵AD∥BC，∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t=8﹣2t，解得：t=，∴当t=时，四边形ABQP是平行四边形．【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．第21页共21页。

苏科版八年级下册数学第9章中心对称图形——平行四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在▱ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC 交于点F，且F恰好为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G．若DG=1，则AE的长为（）A.2B.4C.4D.82、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A. B. C. D.3、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）.A. B. C. D.4、如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm5、如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上.若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（）A.55°B.75°C.65°D.60°6、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A.对边平行且相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线相等7、如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，点M为边AD的中点，连接BD 交CM于点N，则BN的长是（）A.1B.C.D.8、如图 ,在□ABCD中, ∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F的值为 ( ).A.110°B.30°C.50°D.70°9、如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）A.6πB.5πC.4πD.3π10、如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则：的值为A.1：3B.1：5C.1：6D.1：1111、在□ABCD中，∠A：∠B=7：2，则∠C的度数是（）.A.70°B.280°C.140°D.105°12、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当AB=BC时，它是菱形B.当AC⊥BD时，它是菱形C.当∠ABC=90°时，它是矩形 D.当AC=BD时，它是正方形13、如图所示，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个14、如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于 ( )A.55°B.45°C.40°D.35°15、设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是（）A.①④B.②③C.①②④D.①③④二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在▱ABCD中，∠A=70°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1=________．17、如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为________．18、初202l届数学组的老师们为了拍摄《燃烧我的数学》的MTV，从全年级选了m人（m＞200）进行队列变换，现把m人排成一个10排的矩形队列，每排人数相等，然后把这个矩形队列平均分成A、B两个队列，如果从A队列中抽调36人到B队列，这样A、B队列都可以形成一个正方形队列，则m的值为________.19、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD= AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE =5S△OFE，其中正确的结论是________.20、如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分交OA 于点E，若，则线段OE的长为________．21、如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点.若线段FG的长为2 ，则AB的长为________.22、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=2，∠AOB=120°，则CD=________．23、如图所示，E是正方形ABCD的BC边的延长线上一点，若CE=CA，AE交CD 于F，则∠FAC=________度．24、如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD 上，EC=1，则PC+PE的最小值是________．25、如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得△DEC，若BC∥DE，求∠B的度数．27、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OB=OD．点E在线段OA上，连结BE，DE．给出下列条件：①OC=OE；②AB=AD；③BC⊥CD；④∠CBD=∠EBD．请你从中选择两个条件，使四边形BCDE是菱形，并给予证明．你选择的条件是：（只填写序号）．28、如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．29、在正方形ABCD中，∠EDF=45°，求证：EF=AE+CF ．30、阅读理解：如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E 恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出的值．图1 图2 图3参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、D3、A4、A5、B6、D7、B8、D9、A10、C11、C12、D13、C14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。

苏科版八年级下册数学第9章中心对称图形——平行四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2、如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADE，连接BD。

若AB=8，则图中阴影部分的面积为（）A.16B.16C.32D.323、下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（）A.12B.13C.14D.155、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A.y＝3 x 2B.y＝4 x 2C.y＝8x 2D.y＝9x 26、下列图形既可看成轴对称图形又可看成中心对称图形的是（）A. B. C. D.7、如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D 1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015，到BC的距离记为h2015．若h 1=1，则h2015的值为（）A. B. C.1- D.2-8、如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，当它满足以下：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠B＝∠3；④∠1＝∠3中某一条件时，平行四边形ABCD是菱形，这个条件是（）A.①或②B.②或③C.③或④D.①或④9、如图，图①是一个对角线长分别是6和8的菱形，将其沿对角线剪成四个全等的三角形，把这四个三角形无重叠地拼成如图②所示的大正方形，则图②中小正方形的面积为（）A.1B.2C.4D.610、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当AB=BC时，它是菱形B.当AC=BD时，它是正方形C.当∠ABC=90°时，它是矩形 D.当AC⊥BD时，它是菱形11、下列说法中错误的有（）个．⑴平行四边形对角线互相平分且相等；⑵对角线相等的平行四边形是矩形；⑶菱形的四条边相等，四个角也相等；⑷对角线互相垂直的矩形是正方形；⑸顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形．A.1B.2C.3D.412、如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A 点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（）A. B.（2﹣）π C. π D.π13、下列说法中正确的个数为（）①如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形；②对角线相等的平行四边形是菱形；③如果一个一元二次方程有实数根，那么；④三个角相等的四边形是矩形．A.1个B.2个C.3个D.4个14、如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，使三点共线，那么旋转角度的大小为( )A. B. C. D.15、如图（1）中，△和△都是等腰直角三角形，∠和∠都是直角，点在上，△绕着点经过逆时针旋转后能够与△重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着点经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（）A.45°，90°B.90°，45°C.60°，30°D.30°，60°二、填空题(共10题，共计30分)16、菱形ABCD的边长为5,对角线交于O点,且AO、BO的长分别是关于x的方程的两个根,则m的值为________17、如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为________。

第9章《中心对称图形》单元测试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D． 1个分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．解答：解：第一个图形，∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；第二个图形，∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；第三个图形，此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；第四个图形，∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：B．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．2．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A．30° B．45° C．90°D．135°考点：旋转的性质．专题：压轴题；网格型；数形结合．分析：△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，由图可知，∠AOC为旋转角，可利用△AOC的三边关系解答．解答：解：如图，设小方格的边长为1，得，OC==，AO==，AC=4，∵OC2+AO2=+=16，AC 2=42=16，∴△AOC是直角三角形，1。

苏科版八年级数学下册第9章《中心对称图形—平行四边形》单元测试题满分120分，时间100分钟班级___________姓名____________成绩__________一．选择题（共12小题，共36分）1．下列图形中：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）个．A．4B．3C．2D．12．下列事件中，属于旋转运动的是（）A．小明向北走了4米B．时针转动C．电梯从1楼到12楼D．一物体从高空坠下3．下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正八边形4．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交AD于点E，则ED等于（）A．2B．3C．4D．55．若平行四边形其中两个内角的度数之比为1：4，则其中较小的内角是（）A．30°B．36°C．45°D．60°6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，若DE＝2，则BC的长度是（）A．6B．5C．4D．37．平行四边形的边长为5，则它的对角线长可能是（）A．4和6B．2和12C．4和8D．4和38．下列说法不正确的是（）A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．平行四边形的对角线互相平分C．平行四边形的对角互补，邻角相等D．平行四边形的对边平行且相等9．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝0.5m，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．1.25m B．1 m C．0.75 m D．0.50 m10．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC11．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当AB＝2，∠B＝60°时，AC的长是（）A．B．C．2D．212．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形，其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题，共24分）13．矩形是中心对称图形，对矩形ABCD而言，点A的对称点是点．14．如图，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C在AB'上，点C的对应点C′在BC的延长线上，若∠BAC'＝80°，则∠B＝度．15．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，BD＝5．则AC＝．16．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，AD＝6，则AE的长为．17．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是（只需添加一个即可）18．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为．19．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s 后，四边形ABPQ成为矩形．20．如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；…以此类推，则第2020个三角形的周长是．三．解答题（共8小题，共60分）21．把三角形绕A点按顺时针方向旋转90°．画出旋转后的图形．22．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）哪两个图形成中心对称？（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．23．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且AF＝CE．求证：四边形AECF 是平行四边形．24．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝100°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．25．如图，已知▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形．26．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．求证：（1）BG＝DE；（2）BG⊥DE．27．在矩形ABCD中，点E在BC上．DF⊥AE，重足为F，DF＝AB．（1）求证．AE＝BC；（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，连结DE，求∠DEF的大小和AD．28．如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连结CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．参考答案一．选择题（共12小题）1．下列图形中：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）个．A．4B．3C．2D．1【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：②矩形；④菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，共2个，故选：C．2．下列事件中，属于旋转运动的是（）A．小明向北走了4米B．时针转动C．电梯从1楼到12楼D．一物体从高空坠下【分析】把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，根据旋转的定义对各个选项进行判断即可．【解答】解：A．小明向北走了4米是平移，不合题意；B．时针转动是旋转运动，符合题意；C．电梯从1楼到12楼是平移，不合题意；D．一物体从高空坠下是平移，不合题意；故选：B．3．下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正八边形【分析】求出各个选项图形的最小旋转角度，即可做出判断．【解答】解：A、正方形的最小旋转角度为90°，故本选项错误；B、正五边形的最小旋转角度为＝72°，故本选项正确；C、正六边形的最小旋转角度为＝60°，故本选项错误；D、正八边形的最小旋转角度为＝45°，故本选项错误；故选：B．4．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交AD于点E，则ED等于（）A．2B．3C．4D．5【分析】由四边形ABCD为平行四边形，得到AD与BC平行，AD＝BC，利用两直线平行得到一对内错角相等，由BE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到∠ABE＝∠AEB，利用等角对等边得到AB＝AE＝4，由AD﹣AE求出ED的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝7，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE＝4，∴ED＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝7﹣4＝3．故选：B．5．若平行四边形其中两个内角的度数之比为1：4，则其中较小的内角是（）A．30°B．36°C．45°D．60°【分析】根据平行四边形的性质即可求解．【解答】解：设平行四边形的一个内角为x°，则另一个内角为（4x）°，根据平行四边形对边平行，同旁内角互补，得x°+（4x）°＝180°，解得x＝36．故选：B．6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，若DE＝2，则BC的长度是（）A．6B．5C．4D．3【分析】直接利用三角形中位线定理与性质进而得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵DE＝2，∴BC的长度是：4．故选：C．7．平行四边形的边长为5，则它的对角线长可能是（）A．4和6B．2和12C．4和8D．4和3【分析】根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．【解答】解：A、对角线一半分别是2和3，2+3＝5，故不能构成三角形，故本选项错误；B、对角线一半分别是1和6，6﹣1＝5，故不能构成三角形，故本选项错误．C、对角线一半分别是2和4，符合三角形的三边关系，能构成三角形，故本选项正确；D、对角线一半分别是2和，2+＜5，故不能构成三角形，故本选项错误．故选：C．8．下列说法不正确的是（）A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．平行四边形的对角线互相平分C．平行四边形的对角互补，邻角相等D．平行四边形的对边平行且相等【分析】根据平行四边形的判断方法和各种性质解答即可．【解答】解：A、平行四边形的判定定理：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项正确；B、平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，故本选项正确；C、平行四边形的对角相等，邻角互补，故本选项错误；D、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，故本选项正确；故选：C．9．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝0.5m，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．1.25m B．1 m C．0.75 m D．0.50 m【分析】判断出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC＝2OD．【解答】解：∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面，∴OD是△ABC的中位线，∴AC＝2OD＝2×0.5＝1（m）．故选：B．10．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC【分析】注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．【解答】解：平行四边形的判定条件：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；即选项A；2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；即选项D；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；即选项B故选：C．11．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当AB＝2，∠B＝60°时，AC的长是（）A．B．C．2D．2【分析】由题意可证△ABC是等边三角形，即可求解．【解答】解：如图，连接AC，∵BC＝AB＝2，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，故选：D．12．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形，其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；故选：C．二．填空题（共8小题）13．矩形是中心对称图形，对矩形ABCD而言，点A的对称点是点C．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．【解答】解：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，点A的对称点是点C，故答案为：C．14．如图，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C在AB'上，点C的对应点C′在BC的延长线上，若∠BAC'＝80°，则∠B＝30度．【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴∠C′AB′＝∠CAB，AC′＝AC，∵∠BAC'＝80°，∴∠C′AB′＝∠CAB＝C′AB＝40°，∴∠ACC′＝70°，∴∠B＝∠ACC′﹣∠CAB＝30°，故答案为：30．15．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，BD＝5．则AC＝10．【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出AC＝2BD，代入求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，BD＝5，∴AC＝2BD＝2×5＝10，故答案为：10．16．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，AD＝6，则AE的长为3．【分析】AC⊥AB，点E为BC边中点，所以AE＝BE＝EC【解答】解：∵AC⊥AB，点E为BC边中点，∴AE＝BE＝EC∵四边形ABCD为平行四边形ABCD∴AD＝BC＝6∴AE＝3故答案为3．17．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是∠ABC＝90°或AC＝BD（只需添加一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，添加一个条件符合正方形的判定即可．【解答】解：条件为∠ABC＝90°或AC＝BD，理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°或AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：∠ABC＝90°或AC＝BD．18．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为6．【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB＝BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3cm与∠ABC＝60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积＝底×高计算即可．【解答】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是3，∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ABC＝60°，∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即AB2＝AB2+32，解得AB＝2，∴S四边形ABCD＝BC•AE＝2×3＝6．故答案是：6．19．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快4s 后，四边形ABPQ成为矩形．【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，构建一元一次方程，可得答案．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．20．如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；…以此类推，则第2020个三角形的周长是．【分析】由三角形的中位线定理得：B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出结论．【解答】解：∵△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7，∴△A1B1C1的周长是16，∵A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点，∴B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的，…，以此类推，则△A4B4C4的周长是×16，∴△A n B n∁n的周长是，则第2020个三角形的周长是＝．故答案为：．三．解答题（共8小题）21．把三角形绕A点按顺时针方向旋转90°．画出旋转后的图形．【分析】利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B′、C′即可．【解答】解：如图，△AB′C′为所作．22．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）哪两个图形成中心对称？（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．【分析】（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积；（3）可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．【解答】解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4，∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，所以△ABE的面积为8；（3）∵在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜8，∴1＜AD＜4．23．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且AF＝CE．求证：四边形AECF 是平行四边形．【分析】只要证明AF＝CE，AF∥CE即可；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．24．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝100°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．【分析】（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF 为菱形；（2）由三角形内角和定理求出∠ABC＝50°，由菱形的性质即可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形；（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF＝∠ABC＝50°，∠BDE＝∠EDF＝25°．25．如图，已知▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形．【分析】（1）只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题；（2）只要证明AC＝EF即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AF＝CE，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF．（2）∵∠FOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，∵四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∴AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．26．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．求证：（1）BG＝DE；（2）BG⊥DE．【分析】先证∠BCG＝∠DCE，再证明△BCG≌△DCE，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，即：∠BCG＝∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE，（2）∵△BCG≌△DCE，∴∠GBC＝∠EDC，∵∠GBC+∠BOC＝90°，∠BOC＝∠DOG，∴∠DOG+∠EDC＝90°，∴BG⊥DE．27．在矩形ABCD中，点E在BC上．DF⊥AE，重足为F，DF＝AB．（1）求证．AE＝BC；（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，连结DE，求∠DEF的大小和AD．【分析】（1）证明△ABE≌△DF A（AAS），得出AE＝AD，进而得出结论；（2）证明Rt△DEF≌Rt△DCE（HL），得出∠FDE＝∠CDE，由直角三角形的性质进而得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DA∥BC，∠B＝∠ADC，∴∠DAE＝∠AEB，∴在△ABE与△DF A中，∴△ABE≌△DF A（AAS），∴AE＝AD，∵AD＝BC，∴AE＝BC；（2）解：∵DF⊥AE，∠C＝90°，∴∠DFE∥∠DCE，∵AB＝DF，且AB＝DC，∴DF＝DC，∴在Rt△DEF与Rt△DCE中，∴Rt△DEF≌Rt△DCE（HL），∴∠FDE＝∠CDE，∵∠FDC＝30°，∴∠FDE＝∠CDE＝30°÷2＝15°，∴∠DEF＝180°﹣90°﹣15°＝75°，∵△ABE≌△DF A，AB＝4，∴DF＝4，∵∠FDC＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠DAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠DF＝4，∴AD＝4×2＝8，∴∠DEF＝75°，AD＝8．28．如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连结CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出四边形DCFE是平行四边形，进而得出DE ＝FC；（2）△ABC的面积＝四边形BDEF的面积，由三角形中位线定理可得△ADE的面积＝△ECF的面积，问题得证．【解答】解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝FC，∵DE∥FC，∴四边形DCFE是平行四边形，∴CD＝EF；（2）猜想：△ABC的面积＝四边形BDEF的面积，理由如下：∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC∴△ADE的面积＝△DEC的面积，∴四边形DCFE是平行四边形，∴△DEC的面积＝△ECF的面积，∴△ADE的面积＝△ECF的面积，∴△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．。

第9章中心对称图形—平行四边形单元测试卷（满分：100分时间：60分钟）一、选择题（每题3分，共21分）1．下列图案中，不是中心对称图形的是( )2．如图，将Rt△ABC(其中∠B＝35°，∠C＝90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角的度数为( )A．55°B．70°C．125°D．145°3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直4．如图，在□ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm5．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A．14 B．15 C．16 D．176．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A．125B．65C．245D．无法确定7．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN＝EF．你认为( )A．小明对B．小亮对C．两人都对D．两人都不对二、填空题（每题3分，共21分）8．如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C'恰好落在斜边AB 上，连接BB'，则∠BB'C'＝_______．9．若菱形的两条对角线长分别为2和3，则此菱形的面积是_______．10．如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为_______．11．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD、CD．若∠B＝65°，则∠ADC的度数为_______．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为_______cm．13．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_______．14．如图在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AF＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是_______．三、解答题（共58分）15．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，3)、B(－3，1)、C(－1，3)．(1)请按下面的要求画图：①将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2；(2)在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M 点的坐标．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD＝BF．17．如图，在正方形ABCD中，点G是边BC上的任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F．在线段AG上取一点H，使得AG＝DE＋HG，连接BH．求证：∠ABH＝∠CDE．18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在BC边上，且四边形AEFD是平行四边形．(1)AD与BC有何等量关系？请说明理由；(2)当AB＝DC时，求证：□AEFD是矩形．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；(2)当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．20．分别以□ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB、CD、DA为斜边作等腰直角三角形，分别是△ABE、△CDG、△ADF．(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF、EF．请判断GF 与EF的关系（只写结论，不需证明）；(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF、EF，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．参考答案一、1.B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.A 7.B二、8. 20°9.3 10. 25°11. 65°12.9 13. 11 14. 10三、15．(1)如图(2)如图，对称中心M点的坐标为(2，1)16．略17．略18. (1)3AD＝BC (2)略19．略20. (1) GF⊥EF，GF＝EF (2) (1)中的结论仍成立。

第9章《中心对称图形—平行四边形》例题精选知识梳理重难点分类解析考点1 中心对称与中心对称图形【考点解读】中心对称是特殊的旋转，即一图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么两图形成中心对称;把一图形旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.此考点可以直观判断或将图形进行旋转，中考中常以选择题的形式出现，比较简单.例1 (2018·无锡二模)下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )分析:本题考查了轴对称图形和中心对称图形.选项A ，是轴对称图形，不是中心对称图形;选项B ，是轴对称图形，也是中心对称图形;选项C ，是中心对称图形，不是轴对称图形;选项D ，是轴对称图形，不是中心对称图形.答案:B【规律·技法】判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合;判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180°后与原图形重合.【反馈练习】1.下列图形中，是中心对称图形的是( )点拨:紧抓中心对称图形定义中的关键180°，如选项C 旋转72°、选项D 旋转120°后的图形与原图形重合，但不满足180°这一点，要注意区分.2.如图所示，,2AB BC AB BC ⊥==cm ，曲线OA 与曲线OC 关于点OC 成中心对称，则 ,AB BC ，曲线CO 和曲线OA 所围成的图形的面积是 cm 2 .点拨:利用中心对称的性质转化图形.考点2 平行四边形的性质与判定【考点解读】平行四边形的性质与判定是学习矩形、菱形、正方形性质与判定的基础，主要从边、角、对角线三个角度来学习.此考点在中考中占有重要地位，选择题、填空题和解答题中均可能出现.例2 如图，在ABCD Y 中，点,E F 分别在,AD BC 上，且,,AE CF EF BD =相交于点O ，求证: OE OF =.分析:连接,BE DF .证明四边形BFDE 是平行四边形即可.解答:连接,BE DF ，如图所示.因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//AD BC ,AD BC =.因为AE CF =，所以DE BF =.所以四边形BEDF 是平行四边形.所以OE OF =.【规律·技法】在平行四边形中，可以通过证明三角形全等或特殊三角形或特殊四边形来证明线段相等，作辅助线是解决平行四边形问题的常用方法.【反馈练习】3. (2018·东营)如图，在四边形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，连接DE 并延长， 交AB 的延长线于点,F AB BF =，添加一个条件使四边形ABCD 是平行四边形， 你认为下面四个条件中可选择的是( )A. AD BC =B. CD BF =C. A C ∠=∠D. F CDF ∠=∠点拨:利用平行四边形的判定方法可得.4. (2018·孝感)如图，点,,,B E C F 在一条直线上,已知//,//,AB DE AC DF BE CF =，连 接AD .求证:四边形ABED 是平行四边形.点拨:利用全等三角形的性质得出AB DE =，再利用平行四边形的判定可得结论.5.如图，在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，点,E F 分别是,OB OD 的中点. 判断四边形AECF 的形状并说明理由.点拨:由平行四边形ABCD 的对角线互相平分可得OB OD =，再由,E F 分别为,OB OD 的中点得到OE OF =，最后用对角线互相平分可判定四边形AECF 的形状.考点3 特殊平行四边形的性质与判定【考点解读】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质与判定方法有其特殊性.矩形主要体现在矩形的角与对角线上，菱形主要体现在菱形的边与对角线上，正方形无论在边、角和对角线上都具有特殊性质.它们是中考的热点图形，多以选择题、填空题与解答题的形式出现.例3 如图，在菱形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，作DF BC ⊥于点F ，连接EF .求证:(1) ADE CDF ∆≅∆;(2) BEF BFE ∠=∠.分析:(1)由菱形的性质，得,AD CD A C =∠=∠，进而利用AAS 证明两三角形全等;(2)由(1)，得AE CF =，结合菱形四边相等得BE BF =，进而得到BEF BFE ∠=∠. 解答:(1)因为四边形ABCD 是菱形，所以,AD CD A C =∠=∠.因为,DE BA DF CB ⊥⊥，所以90AED CFD ∠=∠=︒.在ADE ∆和CDF ∆中,90A C AED CFD AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，所以ADE CDF ∆≅∆.(2)因为四边形ABCD 是菱形，所以AB CB =.因为ADE CDF ∆≅∆，所以AE CF =.所以BE BF =.所以BEF BFE ∠=∠.【规律·技法】菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，它的特性主要为四条边都相等、对角线互相垂直且平分每一组对角，证明三角形全等要结合菱形的性质与全等三角形的证明方法.例4 如图，以ABC ∆的边,AB AC 为边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，四边形ADFE 是平行四边形.(1)当BAC ∠满足什么条件时，四边形ADFE 是矩形;(2)当BAC ∠满足什么条件时，平行四边形ADFE 不存在;(3)当ABC ∆分别满足什么条件时，平行四边形ADFE 是菱形、正方形?分析:(1)根据矩形的四角相等且都为90°求解;(2)根据点,,D A E 在同一条直线上时不能构成四边形求解;(3)分别根据菱形的四边相等和正方形的四边相等、四角相等的特性解题.解答:(1)当150BAC ∠=︒时，四边形ADFE 是矩形.理由如下:因为150BAC ∠=︒,60BAD CAE ∠=∠=︒，所以36026015090DAE ∠=︒-⨯︒-︒=︒.因为四边形ADFE 是平行四边形，所以四边形ADFE 是矩形.(2)当60BAC ∠=︒时，平行四边形ADFE 不存在.理由如下:因为360606060180DAE ∠=︒-︒-︒-︒=︒，所以,,D A E 三点共线.所以四边形ADFE 不存在.(3)当AB AC =时，平行四边形ADFE 是菱形.综上可知:当AB AC =,150BAC ∠=︒时，平行四边形ADFE 是正方形.【规律·技法】本题综合考查了特殊平行四边形的判定，解答时须在充分理解特殊平行四边形的判定的基础上分析图形作出判定.【反馈练习】6. (2018·扬州一模)如图，四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且O 是AC 的中点，AE CF = ,//DF BE .(1)求证: BOE DOF ∆≅∆;(2)若12OD AC =，则四边形ABCD 是什么特殊四边形?请证明你的结论. 点拨:(1)由DF 与BE 平行，得到两对内错角相等，再由O 为AC 的中点，得到OA OC =.又AE CF =,得到OE OF =，利用AAS 即可得证;(2)若12OD AC =，则四边形ABCD 为矩形，理由如下:由12OD AC =，得到12OB AC =，即OD OA OC OB ===，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证.7. (2018·盐城)在正方形ABCD 中，对角线BD 所在的直线上有两点,E F 满足BE DF =， 连接,,,AE AF CE CF ，如图所示.(1)求证: ABE ADF ∆≅∆;(2)试判断四边形AECF 的形状，并说明理由.点拨:(1)根据正方形的性质，可得AB AD =，进而得到ABE ADF ∠=∠，结合已知BE DF =，利用“SAS ”即可证明三角形全等;(2)结论:四边形AECF 是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断.8.如图，正方形ABCD 中，动点E 在AC 上，AF AC ⊥，垂足为,A AF AE =，连接 ,,BF BE DE .(1)求证: BF DE =;(2)当点E 运动到AC 的中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE 是什么特殊四边 形?请说明理由.点拨:(1)由正方形的性质，得,90AB AD BAD =∠=︒.又AF AC ⊥，则BAF DAE ∠=∠.结合AF AE =利用“SAS ”证明三角形全等，得BF DE =; (2)结论:四边形AFBE 是正方形，由邻边相等且一个角是90°的平行四边形是正方形即可判断.考点4 三角形的中位线【考点解读】三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，在解决有关线段中点问题时，其可用于证明线段相等与角相等，中考中常以基础题型出现.例5 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,,D E F 分别是,,AB BC CA 的中点.若CD = 2，则线段EF 的长是 .分析:因为在Rt ABC ∆中，90,ACB D ∠=︒是AB 的中点，所以CD 是直角三角形斜边上的中线.所以2224AB CD ==⨯=.又,E F 分别是,BC CA 的中点，所以EF 是ABC ∆的中位线.所以114222EF AB ==⨯=. 答案:2【规律·技法】直角三角形抖边上的中线等于料边的一半;三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.【反馈练习】9. (2018·苏州期末)如图，在菱形ABCD 中，60,8A AD ∠=︒=.若P 是边P 上的一点，,E F 分别是,DP BP 的中点，则线段EF 的长为( )A. 8B. 25C.4D. 22点拨:连接BD .证明ADB ∆是等边三角形，再根据三角形的中位线定理即可解决问题.10.顺次连接矩形ABCD 各边中点，所得四边形必定是( )A.邻边不等的平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形点拨:利用矩形的性质，对角线相等以及多个中点构成中位线，利用中位线定理得四边形的边都等于矩形对角线的一半，从而得到特殊的四边形形状.11.如图，在ABC ∆中，2,A B CD AB ∠=∠⊥，垂足为,D E 为AB 的中点.若AC =8 cm ， 求DE 的长.点拨:利用已知E 为AB 的中点，CD AB ⊥，取AC 的中点，可利用中位线定理与直角三角形料边上的中线等于斜边的一半进行角度与线段长度的转换，从而求出DE .本题关键是抓住中点条件适当添加辅助线.易错题辨析易错点1 思考不严密、语言叙述不准确导致错误例1 分析下图的旋转现象.错误解答:本题是由图案的14绕图案中心分别旋转四次，每次旋转90°形成的. 错因分析:错解没有找出具体的基本图案，旋转的角度也没有交代清楚.正确解答:本题是由一个梯形绕图案中心依次旋转90°,180°,270°而形成的，也可以看作是由两个相邻的梯形绕图案的中心旋转180°而形成的.易错辨析:从3个方面分析旋转:(1)找准旋转的基本图案;(2)找出旋转中心;(3)算准旋转角度. 易错点2 对中心对称、成中心对称图形及轴对称图形的定义理解不清例2 在线段、等腰三角形、等边三角形、长方形、圆这几个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有多少个?错误解答:线段、等边三角形、长方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，因此答案为4个.错因分析:本题错误地认为等边三角形是中心对称图形，其实等边三角形是轴对称图形，也是旋转对称图形，旋转角度为120°,240°,…，但旋转180°后不能与自身重合，因此它不是中心对称图形.错误原因是认为旋转对称图形是中心对称图形.旋转对称图形只要旋转角度中有一个是180°，它就是中心对称图形，否则不是.正确解答:在这些图形中，等腰三角形、等边三角形只是轴对称图形，其余的既是轴对称图形又是中心对称图形，因此答案为3个.易错辨析:易混淆中心对称图形与轴对称图形.中心对称图形是将一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形;轴时称图形是将一个图形经过折叠后，折痕两旁的部分能够完全重合的图形.易错点3 混淆或臆造平行四边形的判定方法例3 下列条件中能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A. //,AB CD AD BC =B. ,A B C D ∠=∠∠=∠C. ,AB CD AD BC ==D. ,AB AD CB CD ==错误解答:A 或B 或D错因分析:错误原因主要是对平行四边形的判定方法没有理解一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A 错误;两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以B 错误;两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以C 正确，D 错误.正确解答:C易错辨析:平行四边形的判定方法都可以用平行四边形的定义推导出来，因此定义是判定的基础.应用平行四边形的判定定理时要仔细体会它们之间的区别与联系;同时，要根据已知条件合理、灵活地选择判定方法，不能凭主观印象判定一个四边形是平行四边形.易错点4 混淆特殊平行四边形的判定方法或漏掉某些条件而致错例4 如图所示，,M N 分别是平行四边形ABCD 的对边,AD BC 的中点，AN 与BM 交于点,P CM 与DN 交于点,2Q AD AB =.试说明:四边形PMQN 是矩形.错误解答:由四边形ABCD 是平行四边形，得//AD BC .因为,M N 分别是,AD BC 的中点，所以//AM BN .所以MAN ANB ∠=∠.因为2AD AB =，所以AB BN =.所以ANB BAN ∠=∠.所以MAN BAN ∠=∠.所以在等腰三角形ABM 中. AP 平分BAM ∠.根据等腰三角形的性质，得AP BM ⊥，即90MPN ∠=︒.同理可得90MQN ∠=︒.所以四边形PMQN 为矩形.错因分析:错在由90MPN MQN ∠=∠=︒，就得四边形PMQN 是矩形这一点上，所需条件不够，还需求另一个角是直角才能说明四边形PMQN 是矩形.正确解答:由题意，得//,//AM NC MD BN ，故四边形AMCN 和四边形MDNB 都是平行四边形.所以//,//PN MQ PM QN .所以四边形PMQN 是平行四边形.再用上面的方法证90MPN ∠=︒ (略)，就可得到四边形PMQN 为矩形.易错辨析:在判定矩形时，可先判定它是平行四边形，再添加一个角是直角或对角线相等的条件，方可作出判定;若它是四边形，则应添加3个角是直角或对角线互相平分且相等的条件，方可作出判定.在解题时不能混淆这两种判定方法.例5 判断下列说法是否正确:(1)四条边相等的四边形是正方形;(2)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;(3)两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形;(4)两条对角线互相垂直的矩形是正方形.错误解答:(1)正确;(2)正确;(3)正确;(4)错误.错因分析:(1)一个四边形的四条边相等只能判定它是菱形，要判定它是正方形，还缺少条件，这个条件可以是有一个角是直角，也可以是其他判定四边形是矩形的条件;(2)此说法的错误是识别方法不清楚，对角线相等且互相垂直，但对角线并不一定互相平分，只有再加上对角线互相平分或四边形是平行四边形的条件，四边形才是正方形;(3)片面应用了正方形的性质，虽然正方形的每一条对角线都平分一组对角，但反过来只能判定四边形是菱形，还缺少判定它也是满巨形的条件;(4)矩形对角线相等且互相平分，再加上互相垂直可判定为正方形. 正确解答:(1)错误;(2)错误;(3)错误;(4)正确.易错辨析:识别一个四边形是正方形时，易忽略某个条件;在应用正方形的特征解题时，有时又忽略某些条件，致使有些题目解不出或判断失误，要避免这两种错误的产生，就必须做到认真熟记正方形的特征和识别方法，不要忽略隐含条件，尽量避免错误产生.易错点5 对中点四边形的错误认识例6 顺次连接四边形ABCD 四边中点得到的四边形是矩形，则四边形ABCD 是( )A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线垂直的四边形错误解答:B错因分析:错误解答仅考虑到特殊情形，失去一般性.正确解答:D易错辨析:顺次连接菱形四边中点得到的中点四边形是矩形，同样凡是对角线垂直的四边形，四边中点顺次连接得到的四边形都是矩形.【反馈练习】1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )点拨:根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断.2.如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应增加 的条件是( )A. AB CD =B. BAD DCB ∠=∠C. AC BD =D. 180ABC BAD ∠+∠=︒点拨:掌握平行四边形的判定方法，3.下列判断:①对角线相等的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③对角线相 等的菱形是正方形.其中，正确的有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 点拨:掌握特殊四边形的判定方法.4.如图，已知111A B C ∆和直线,,MN PQ PQ MN ⊥，垂足为O .(1)作222A B C ∆，使之与111A B C ∆关于直线PQ 对称;(2)作333A B C ∆，使之与222A B C ∆关于直线MN 对称;(3)111A B C ∆与333A B C ∆关于点O 成中心对称吗?为什么?点拨:要判断111A B C ∆与333A B C ∆是否关于点O 成中心对称，只需根据成中心对称的图形的识别方法来解题，即要看这两个三角形每对对应点的连线是否都经过点O ，并且被点O 平分.5.如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒,,,AC AD M N =分别为,AC CD 的中点，连 接,,BM MN BN .(1)求证: BM MN =;(2)若60,BAD AC ∠=︒平分BAD ∠ , AC = 2，求BN 的长.点拨:(1)根据三角形中位线定理得12MN AD =，根据直角三角形料边中线定理得12BM AC =,由此即可证明.(2)首先证明90BMN ∠=︒，根据222BN BM MN =+即可解决问题. 探究与应用探究1 图形变换问题例 1 如图，在六边形ABCDEF 中，//,//,//AB DE BC FE CD AF ，对边之差0BC FE DE AB AF CD -=-=->，求证:该六边形的各角都相等.点拨:设法将复杂的条件0BC FE DE AB AF CD -=-=->用一个基本图形表示，因题设有平行条件，可考虑用平移变换进行解决.解答:如图，分别过点,,B D F 作//,//,//BN AF DM BC FP DE ，三线两两相交于点,,P M N.因为//,//,//AF CD AB DE BC FE，所以////,////AF CD BN AB DE FP ,////BC FE DM .所以四边形BCDM 、四边形EFPD 和四边形ABNF均为平行四边形.所以,,PM MD PD BC FE PN PF NF DE AB NM BN BM AF CD =-=-=-=-=-=-.所以PM MN PN ==.所以PMN ∆是等边三角形.所以60PMN PNM MPN ∠=∠=∠=︒.所以120A ABC C CDE E EFA ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒,即该六边形的各角都相等.【规律·提示】平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一个三角形(或平行四边形)中要证的两条线段或两角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形(或平行四边形)中，再利用图形的性质与题设条件，找到求解的途径.平移法能把分散的条件集中起来，收到事半功倍的效果. 【举一反三】1.如图，已知90ABC ∠=︒, D 是直线D 上的点，AD BC =.(1)如图①，过点A 作AF AB ⊥，并截取AF BD =，连接,,DC DF CF ，试判断CDF ∆的形状并证明;(2)如图②, E 是直线BC 上的一点，且CE BD =，直线,AE DC 相交于点,P APD ∠的 度数是一个固定的值吗?若是，请求出它的度数;若不是，请说明理由.例2 (1)在矩形纸片ABCD 中，AB =8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的点E 处，折痕的一端点G 在边BC 上，BG =10.①当折痕的另一端点F 在边AB 上时，如图①，求EFG ∆的面积;②当折痕的另一端点F 在边AD 上时，如图②，证明四边形BGEF 为菱形，并求出折痕GF 的长.(2)在矩形纸片ABCD 中，AB =5, AD =13.如图③所示，折叠纸片，使点A 落在边BC 上的点A '处，折痕为PQ .当点A '在边BC 上移动时，折痕的端点,P Q 也随之移动.若限定点,P Q 分别在边,AB AD 上移动，求点A '在边BC 上可移动的最大距离.点拨:(1)①首先利用翻折变换的性质以及匀股定理求出AE 的长，进而利用勾股定理求出AF 和EF 的长，即可得出EFG ∆的面积;②首先证明四边形BGEF 是平行四边形，再利用BG EG =，得出四边形BGEF 是菱形，再利用菱形性质求出FG 的长.(2)分别利用当点P 与点B 重合时，以及当点D 与点Q 重合时，求出A B '的极值进而得出答案.解答:(1)①如题图①，过点G 作GH AD ⊥交AD 于点H .在Rt GHE ∆中，10,8GE BG GH AB ====，所以22221086EH EG GH -=-=.则1064AE =-=.设AF x =，则8EF BF x ==-.由222AF AE EF -=，得2224(8)x x +=-.解得3x =.所以3,5AF EF BF ===.故EFG ∆的面积为1510252⨯⨯=.②如题图②，过点F 作FK BG ⊥交BC 于点K .因为四边形ABCD 是矩形，所以//,//AD BC BH EG .所以四边形BGEF 是平行四边形.由对称性知，BG EG =，所以平行四边形BGEF 是菱形，所以10,8BF BG AB ===，则6AF =.所以224,8445KG GF ==+=.(2)如图④，当点P 与点B 重合时，根据翻折对称性可得5BA AB '==;如图⑤，当点D 与点Q 重合时，根据翻折对称性可得13A D AD '==.此时在Rt A CD '∆中，222A D A C CD ''=+，即22213(13)5A B '=-+，解得1A B '=.所以点A '在BC 上可移动的最大距离为5－1=4.【规律·提示】解决此类问题的关键是设出待求线段(或间接设出)的长，并用其表示出所在直角三角形的另两边(或一边)的长，然后根据匀股定理列出方程求解. 【举一反三】2.如图，在矩形ABCD 中，4,2,AB BC E ==是AB 的中点，直线l 平行于直线EC ,且直 线l 与直线EC 之间的距离为2，点F 在矩形ABCD 的边上，将矩形ABCD 沿直线EF 折 叠，使点EF 恰好落在直线l 上，则DF 的长为 .探究2 面积问题例3 如图，矩形ABCD 的面积为20 cm 2，对角线交于点O ;以,AB AO 为邻边作平行四边形1AOC B ，对角线交于点1O ;以1,AB AO 为邻边作平行四边形12AO C B ，对角线交于点2O ,…，依此类推，则平行四边形45AO C B 的面积为( )A.54cm 2 B. 58 cm 2 C. 515 cm 2 D. 532cm 2 点拨:设短形ABCD 的面积为S .因为O 为矩形ABCD 的对角线的交点，所以平行四边形1AOC B 的底边AB 上的高等于BC 的12，所以平行四边形1AOC B 的面积为12S .因为平行四边形1AOC B 的对角线交于点1O ，所以平行四边形12AO C B 的底边AB 上的高等于平行四边形1AOC B 底边AB 上的高的12，所以平行四边形12AO C B 的面积为211222S S ⨯=.….依此类推，平行四边形45AO C B 的面积为55205228S ==(cm 2).答案:B【规律·提示】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，解答此题的关健是确定平行四边形边AB 上高的关系. 【举一反三】3.正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上， 正方形BEFG 的边长为4，则DEK ∆的面积为 .探究3 最值问题例4 如图，在周长为12的菱形ABCD 中，1,2AE AF ==，若P 为对角线BD 上一动点，则EP FP +的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4点拨:作点F 关于直线BD 的对称点F '，则PF PF '=.连接EF '交BD 于点P ，所以EP FP EP F P '+=+.由“两点之间线段最短”，可知当,,E P F '三点在同一条直线上时，EP FP +的值最小，此时EP FP EP F P EF ''+=+=.因为四边形ABCD 为菱形，且周长为12,所以3,//AB BC CD DA AB CD ====.因为2,1AF AE ==，所以1DF DF AE '===,所以四边形AEF D '是平行四边形，所以3EF AD '==.所以EP FP +的最小值为3.答案:C【规律·提示】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件下变动时，求其几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.解题的理论依据主要是“两点之间线段最短”“垂线段最短”，其他情形通过平移、轴对称、旋转等几何变换转化为上述情形求之. 【举一反三】4.菱形ABCD 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示，顶点(2,0)B ,60,DOB P ∠=︒是 对角线OC 上一个动点，点(0,1)E -，那么当EP BP +最短时，点P 的坐标为 .5.如图，ABCD 是一张矩形纸片，1,5AD BC AB CD ====.在矩形ABCD 的边AB 上 取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 相交于点K ，得到 MNK ∆.(1)若170∠=︒，求KMA ∠的度数; (2)MNK ∆的面积能否小于12?若能，求出此时1∠的度数;若不能，请说明理由; (3)如何折叠能够使MNK ∆的面积最大?请你利用备用图探究可能出现的情况，并求出最 大值.参考答案知识梳理矩形 菱形 正方形 重难点分类解析 【反馈练习】 1. B 2. 2 3. D4.点拨：证明ABC DEF ∆≅∆，得AB DE =，即可.5. 四边形AECF 是平行四边形.（点拨：,OA OC OE OF ==）6. (1)点拨：FDO EBO DFO BEO OE OF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(2) 若12OD AC =，则四边形ABCD 是矩形. 点拨：因为BOE DOF ∆≅∆，所以OB OD =.因为12OD AC =，所以OA OB OC OD ===.7. (1)点拨：AB AD ABE ADF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(2)点拨：连接AC 交BD 于点O ，证,OA OC OE OF ==，可得四边形AECF 是平行四边形.已知AC EF ⊥，即可得证. 8. (1)点拨：证明ABF ADE ∆≅∆.(2)当点E 运动到AC 的中点时，四边形AFBE 是正方形. 9. C 10. D 11. 4DE = cm 易错题辨析 【反馈练习】1. C2. B3. B4. (1) (2) 如图所示(3)111A B C ∆与333A B C ∆关于点O 成中心对称. 5. (1) 点拨：12MN AD =，12BM AC =(2)BN =探究与应用【举一反三】1. (1) CDF ∆是等腰直角三角形. 点拨：证明FAD DBC ∆≅∆(2) APD ∠的度数是一个固定的值. 45APD ∠=︒2. 4-3. 164. 3,2-5. (1) 40KMA ∠=︒ (2) 不能(3)分两种情况:情况一:将矩形纸片对折，使点B 与点D 重合，如图②，此时点K 也与点D 重合.设MK MD x ==，则5AM x =-.由勾股定理，得2221(5)x x +-=，解得 2.6x =.所以由(1)知 2.6ND MD ==，所以11 2.6 1.32MNK DMN S S ∆∆==⨯⨯=. 情况二:将矩形纸片沿对角线AC 对折,此时折痕为AC ，如图③.设MK AK CK x ===，则5DK x =-，所以同理可得 2.6MK NK ==.所以11 2.6 1.32MNK ACK S S ∆∆==⨯⨯=.所以MNK ∆的面积的最大值为1.3.。

八年级数学下册《第九章中心对称图形-平行四边形》练习题与答案(苏科版)一、选择题1.下列交通标志中，是中心对称图形的是( )2.在下列几何图形中：(1)两条互相平分的线段；(2)两条互相垂直的直线；(3)两个有公共顶点的角；(4)两个有一条公共边的正方形.其中是中心对称图形的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列四个图案是小明家在瓷砖厂选购的四种地砖图案，其中既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是（）4.如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交边CD于点E，∠A＝130°，则∠BEC的度数是( )A.20°B.25°C.30°D.50°5.如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长是( )A.10B.12C.14D.166.下列三个命题中，是真命题的有( )①对角线相等的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形.A.3个B.2个C.1个D.0个7.用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是( )A. B. C. D.8.如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE：EC＝2:1,则线段CH的长是( )A.3B.4C.5D.69.如图，将一正方形纸片沿图(1)、(2)的虚线对折，得到图(3)，然后沿图(3)中虚线的剪去一个角，展开得平面图形(4)，则图(3)的虚线是( )A. B. C. D.10.如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝( )A.45°B.30°C.60°D.55°11.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB 边上一动点，以PA，PC为边作▱PAQC，则对角线PQ长度的最小值为( )A.6B.8C.2 2D.4 212.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB 的最小值是( )A.2B.4C. 2D.2 2二、填空题13.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB=3，则△DOC中CD边上的高是______.14.在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD＝∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是(只需写出一种情况).15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝120°，则∠AOE＝.16.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，使BF＝BE，连接EC并延长至点G，连接FG，点H为FG 的中点，AF.若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°.17.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为____.18.如图，点P的坐标为(2，2)，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且∠APB＝90°.下列结论：①PA＝PB；②当OA＝OB时四边形OAPB是正方形；③四边形OAPB的面积和周长都是定值；④连接OP，AB，则AB＞OP.其中正确的结论是.(把你认为正确结论的序号都填上)三、作图题19.如图所示，△ABC在边长为1cm的小正方形组成的网格中.(1)将△ABC沿y轴正方向向上平移5个单位长度后，得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1，并求出A1B1的长度；(2)再将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针旋转180°，得到△A2B2C2请作出△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标.四、解答题20.如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点．(1)求证：四边形EFPQ是平行四边形；(2)请直接写出BG与GE的数量关系：．(不要求证明)21.如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．22.如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF.求证：(1)△ABF≌△DEA；(2)DF是∠EDC的平分线.23.如图，在正方形ABCD中，BC＝2，E是对角线BD上的一点，且BE＝AB.求△EBC的面积．24.如图，在▱ABCD中，BD是对角线，∠ADB＝90°，E、F分别为边AB、CD的中点.(1)求证：四边形DEBF是菱形；(2)若BE＝4，∠DEB＝120°，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，则PF＋PM的最小值为，并在图上标出此时点P的位置.25.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝12 cm，AD＝20 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动；①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；②若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.图1 图2参考答案1.D2.C3.C4.B.5.A6.B.7.D.8.B9.D.10.A11.D12.D.13.答案为：4.14.答案为：AB＝CD或AD∥BC15.答案为：60°.16.答案为：50°.17.答案为：12.18.答案为：①②.19.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，A1B1＝32(cm).(2)如图，△A2B2C2即为所求，B2(4，﹣4).20.证明：(1)∵BE，CF是△ABC的中线∴EF是△ABC的中位线∴EF∥BC且EF＝0.5BC．∵P，Q分别是BG，CG的中点∴PQ是△BCG的中位线∴PQ∥BC且PQ＝0.5BC，∴EF∥PQ且EF＝PQ．∴四边形EFPQ是平行四边形．(2)BG＝2GE．21.证明：∵BE∥AC，CE∥DB∴四边形OBEC是平行四边形又∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD∴∠AOB＝90°∴平行四边形OBEC是矩形．22.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC∴∠DAE＝∠AFB∵DE⊥AF∴∠DEA＝∠B＝90°∵AF＝BC∴AF＝AD在△DEA和△ABF中∵∴△DEA≌△ABF(AAS)；(2)证明：∵由(1)知△ABF≌△DEA ∴DE＝AB∵四边形ABCD是矩形∴∠C＝90°，DC＝AB∴DC＝DE.∵∠C＝∠DEF＝90°∴在Rt△DEF和Rt△DCF中∴Rt △DEF ≌Rt △DCF(HL)∴∠EDF ＝∠CDF∴DF 是∠EDC 的平分线.23.解：作EF ⊥BC 于F ，如图所示：则∠EFB ＝90°∵四边形ABCD 是正方形∴AB ＝BC ＝2，∠DAB ＝∠ABC ＝90°∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝45°∴△BEF 是等腰直角三角形∴EF ＝BF∵BE ＝AB∴BE ＝BC ＝2∴EF ＝BF ＝22BE ＝ 2∴△EBC 的面积＝12BC •EF ＝12×2×2＝2．24.证明：(1)∵平行四边形ABCD 中，AD ∥BC∴∠DBC ＝∠ADB ＝90°.∵△ABD 中，∠ADB ＝90°，E 时AB 的中点∴DE ＝12AB ＝AE ＝BE.同理，BF ＝DF∵平行四边形ABCD 中，AB ＝CD∴DE ＝BE ＝BF ＝DF∴四边形DEBF 是菱形；(2)解：连接BF∵菱形DEBF 中，∠DEB ＝120°∴∠EF ＝60°∴△BEF 是等边三角形∵M 是BF 的中点∴EM ⊥BF.则EM ＝2 3. 即PF ＋PM 的最小值是2 3.25. (1)证明：∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ∴点B 与点E 关于PQ 对称∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF.又∵EF ∥AB∴∠BPF ＝∠EFP ，∴∠EPF ＝∠EFP∴EP ＝EF ，∴BP ＝BF ＝EF ＝EP∴四边形BFEP 为菱形.(2)解：①∵四边形ABCD 是矩形∴BC ＝AD ＝20，CD ＝AB ＝12，∠A ＝∠D ＝90°.∵点B 与点E 关于PQ 对称∴CE ＝BC ＝20.在Rt △CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝16∴AE ＝AD －DE ＝20－16＝4.在Rt △APE 中，AE ＝4，AP ＝12－PB ＝12－PE∴EP 2＝42＋(12－EP)2.解得EP ＝203∴菱形BFEP 的边长为203cm. ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝4. 当点P 与点A 重合时，如图点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝12 ∴点E 在边AD 上移动的最大距离为8 cm.。

苏科版八年级下册数学第9章中心对称图形——平行四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿QC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（）A. B.2 C. D.32、如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF：( )A.1：4B.1：3C.1：2D.2:13、剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A.OE= DCB.OA=OCC.∠BOE=∠OBAD.∠OBE=∠OCE5、在▱ABCD中，∠A＝50°，则∠C＝（）A.130°B.50°C.40°D.25°6、正方形具有而菱形不具有的性质是( )A.四边相等B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线互相平分7、下列说法中不正确的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B.每组邻边都相等的四边形是菱形C.四个角都相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形8、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.9、如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有（）A.4个B.6个C.8个D.10个10、下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.11、如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点F是AB的中点，过点F作FE⊥AD，垂足为E，将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A'E'F'，设点P、P'分别是EF、E'F'的中点，当点A'与点B重合时，四边形PP'CD的面积为（）A.7B.6C.8D.8 ﹣412、如图，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，则旋转角是（）A.∠AOCB.∠AODC.∠AOBD.∠BOC13、下列图案中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.14、已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC的方向平移到△A'B 'C '的位置，使B '和C重合，连结AC '交A'C于D，则△C'DC的面积为（）A.6B.9C.12D.1815、菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A.两组对边分别平行B.两组对角分别相等C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知反比例函数y= （x＞0）与正比例函数y=x（x≥0）的图象，点A（1，5）、点A′（5，b）与点B′均在反比例函数的图象上，点B在直线y=x上，四边形AA′B′B是平行四边形，则B点的坐标为________．17、如图，在平面直角坐标系中，，，，，…，以为对角线作第一个正方形，以为对角线作第二个正方形，以为对角线作第三个正方形，…，如果所作正方形的对角线都在轴上，且的长度依次增加1个单位长度，顶点都在第一象限内（，且为整数）那么的纵坐标为________；用的代数式表示的纵坐标________.18、已知菱形 ABCD的边长是4cm，对角线 AC＝4cm，则菱形的面积是________cm2.19、如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2 m和4m，上部是圆心为0的劣弧CD，圆心角∠COD=120°．现欲以B点为支点将拱门放倒；放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为________m。

苏科版数学八年级下册第9章中心对称图形—平行四边形测试题含答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．（2015年汕尾）下列命题中正确的是（ ）A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形2．如图1，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DCE ，连接AD ，下列条件能够判定四边形ACED 为菱形的是（ ）A ．AB ＝BC B ．AC ＝BC C ．∠B ＝60°D ．∠ACB ＝60°3．如图2，DE 是△ABC 的中位线，若AD ＝4，AE ＝5，BC ＝12，则△ADE 的周长是（ ） A ．7.5 B ．30 C ．15 D ．24 4．如图3，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 的度数为（ ） A. 50° B ．60° C ．70° D ．80°5．如图4，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AECF 是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．无法确定 6．如图5，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，连接DE ，BF ，CE ，AF ，正方形ABCD 的面积为1，则阴影部分的面积为（ ）A ．21 B ．31 C ．41D ．517. 用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形.一定能拼成的图形是（ ） A. ①④⑤ B. ②⑤⑥ C. ①②③ D. ①②⑤8．如图6，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，折痕为BE ，若沿EF 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ） A ．邻边相等的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．两个全等的直角三角形构成正方形 D ．轴对称图形是正方形9．如图7，把一个矩形纸片对折两次，然后沿虚线剪下一个角，为了得到一个内角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°10．如图8，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE＝1，DE＝3，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（）A．3 B．6 C．33D．43二、填空题（每小题4分，共32分）11．在□ABCD中，若添加一个条件：＿＿＿＿，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件：＿＿＿＿，则四边形ABCD是菱形．12．如图9，矩形ABCD内有一点E，连接AE，DE，CE，若AD＝ED＝EC，∠ADE ＝20°，则∠AEC的度数为＿＿＿＿．13．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若菱形ABCD的面积为48 cm2，且AE=6 cm，则AB的长为_________．14. 如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为_________．15. （2015年赤峰）如图11，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，请你只添加一个条件：____________，使得四边形BDFC 为平行四边形．16. 如图12，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形E FGH的面积为_________.17. 如图13，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，则OB的长为_________cm.18．如图14，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________．三、解答题（共58分）19．（8分）如图15，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，P是AC的中点．求证：∠BDP＝∠DBP．20．（8分）如图16，在直线MN上和直线MN外分别取点A，B，过线段AB的中点O作CD∥MN，分别与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C，D．求证：四边形ACBD是矩形．21．（10分）如图17，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：（1）△AE D≌△CFD；（2）四边形ABCD是菱形．22. （10分）如图18，在□ABCD中，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，E在AD上，BE＝12，CE＝5．求□ABCD的周长和面积．23．（10分）如图19，在△ACD中，∠ADC＝90°，∠ADC的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．24．（12分）如图20，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于点Q．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．（2）若AB＝3 cm，AD＝4 cm，P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动，设点P的运动时间为t s，问：四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．附加题（15分，不计入总分）以四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E ，F ，G ，H ，顺次连接这四个点，得到四边形EFGH ．（1）如图①，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 也是正方形；如图②，当四边形ABCD 为矩形时，请判断四边形EFGH 的形状（不要求证明）．（2）如图③，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC ＝α（0°＜α＜90°）． ①试用含α的代数式表示∠HAE ； ②求证：HE=HG .③四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．参考答案一、1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7. D 8．A 9．D 10．D二、11．答案不唯一，如∠ADC ＝90° AB ＝BC 12．120° 13．8 cm 14．4.8 15. 答案不唯一，如BD ∥FC ，或BC=DF ，或DE=CE 16. 12 17.73 18．35三、19．证明：因为∠ABC ＝∠ADC ＝90°，点P 是AC 的中点，所以BP ＝21AC ，DP ＝21AC ．所以BP ＝DP ．所以∠BDP ＝∠DBP ． 20．证明：因为AD 平分∠BA Ｎ，所以∠DA Ｎ＝∠BAD ．因为CD ∥ＭＮ，所以∠CDA ＝∠DA Ｎ．所以∠BAD ＝∠CDA ．所以DO ＝AO ．同理，CO ＝AO ．所以CO ＝DO ．又AO ＝BO ，所以四边形ACBD 是平行四边形．因为AC ，AD 均为角平分线，所以∠CAD ＝90°，所以平行四边形ACBD 是矩形． 21．证明：（1）因为DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，所以∠AED ＝∠CFD ＝90°．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠A ＝∠C ．又DE ＝DF ，所以△AED ≌△CFD ．（2）因为△AED ≌△CFD ，所以AD ＝CD ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以四边形ABCD 是菱形．22．解：因为BE ，CE 分别平分∠AB C ，∠BCD ，所以∠EBC=21∠ABC ，∠ECB=21∠DCB. 因为AB ∥CD ，所以∠ABC+∠DCB=180°.所以∠EBC+∠ECB=21（∠ABC+∠DCB ）=90°. 所以△EBC 是直角三角形.因为BE ＝12，CE ＝5，由勾股定理，得BC=13. 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC. 所以∠DE C=∠ECB.因为∠ECD=∠ECB ，所以∠DEC=∠ECD. 所以DE=CD. 同理，AB=A E.所以AB+CD=AE+DE=AD=BC=13.所以□ABCD 的周长为AB+BC+CD+DA=13+13+13=39． 过点E 作BC 所以S △EBC =21BC·EH=21BE·CE=21×12×5=30. 所以□ABCD 的面积为BC·EH=2×30=60.23．解：因为∠ADC ＝90°，EF ⊥AD ，EG ⊥CD ，所以四边形EFDG 是矩形． 又DE 平分∠ADC ，所以EF ＝EG ．所以四边形EFDG 是正方形.24．（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以A D ∥BC ，OD ＝OB ．所以∠PDO ＝∠QBO ．又∠POD ＝∠QOB ，所以△POD ≌△QOB ．所以OP ＝OQ ．所以四边形PBQD 为平行四边形．（2）解：能．由题意，知AP ＝t cm ，PD ＝（4－t ） cm ．当PB ＝PD ＝（4－t ） cm 时，四边形PBQD 是菱形．因为四边形ABCD 是矩形，所以∠BAP ＝90°．在Ｒt △ABP 中，AP 2＋AB 2＝PB 2，即t 2＋32＝（4－t ）2．解得t ＝87．所以当点P 的运动时间为87s 时，四边形PBQD 是菱形．附加题（1）解：四边形EFGH 是正方形． （2）①解：在□ABCD 中，AB ∥CD ，所以∠BAD ＝180°-∠ADC ＝180°－α．因为△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形，所以∠HAD ＝∠EAB ＝45°． 所以∠HAE ＝360°－∠HAD －∠EAB －∠BAD ＝360°－45°－45°－（180°－α）＝90°＋α．②证明：因为△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形，所以AE ＝22AB ，DG ＝22CD ．在□ABCD 中，AB ＝CD ，所以AE ＝DG ．因为△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形，所以∠HDA ＝∠CDG ＝45°．所以∠HDG ＝∠HDA ＋∠ADC ＋∠CDG ＝45°＋α＋45°＝90°＋α＝∠HAE ．又HA ＝HD ，所以△HAE ≌△HDG ，所以HE ＝HG ． ③解：四边形EFGH 是正方形．理由：同②，得GH ＝GF ，FG ＝FE ．因为HE ＝HG ，所以GH ＝GF ＝EF ＝HE ．所以四边形EFGH 是菱形．因为△HAE ≌△HDG ，所以∠DHG ＝∠AHE ．因为∠AHD ＝∠AHG ＋∠DHG ＝90°，所以∠EHG ＝∠AHG ＋∠AHE ＝90°．所以四边形EFGH 是正方形．。