数学：第3章中心对称图形(一)单元测试卷(苏科版八年级上)

中心对称的性 质
定理1：关中心对称的两个图形是全等形． 定理 ：关于中心对称的两个图形是全等形． 定理2：关于中心对称的两个图形， 定理 ：关于中心对称的两个图形，对称点连线 都经过对称中心，并且被对称中心平分． 都经过对称中心，并且被对称中心平分． 定理3：关于中心对称的两个图形，对应线段 定理 ：关于中心对称的两个图形， 平行(或在同一条直线上 且相等． 或在同一条直线上)且相等 平行 或在同一条直线上 且相等． 逆定理： 逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某 一点，并且被这一点平分， 一点，并且被这一点平分，那么这两个 图形关于这一点对称． 图形关于这一点对称．
中心对称和中 心对称图形
复习
什么叫轴对称？什么叫轴对称图形？ 什么叫轴对称？什么叫轴对称图形？ 轴对称有什么性质？ 轴对称有什么性质？ 怎样做一个三角形关于直线MN的对称形？ 的对称形？ 怎样做一个三角形关于直线 的对称形
对称点的作法 对称三角形的作法
中心对称
定义： 定义：
把一个图形绕着某一个点旋轴180°，如果它能 ° 把一个图形绕着某一个点旋轴 够与另一个图形重合 重合， 够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关 于这个点对称，这个点叫对称中心 称中心， 于这个点对称，这个点叫对称中心，两个图形 关于点对称也称中心对称 中心对称， 关于点对称也称中心对称，这两个图形的对应 点叫做关于中心的对称点 对称点． 点叫做关于中心的对称点．
作四边形ABCD关于点 的对称图形． 关于点O的对称图形 作四边形 关于点 的对称图形． 例题1 例题 已知：四边形ABCD和一点 ， 已知：四边形 和一点O， 和一点 求作：四边形ABCD关于点 的对称图形． 关于点O的对称图形 求作：四边形 关于点 的对称图形．

A·
·O
2.已知线段AB和点O,画出线段AB绕点O按逆时针方向旋转100°后的图形。
B
·O A
3.画出将ΔABC绕点O按顺时针方向旋转120°后的对应三角形。A
B C·O
BC
五、练习
P94.练习1. 2
习题1.
六、反思
叙述一节课的主要内容。
学生操作
学生可以争论结果是图形的位置改变大小，形状不变
量一量
五、举例
如图A’B’∥AB,B’C’∥BC,C’A’∥CA.图中有几个平行四边形？将它们表示出来，并说明理由。
A
C’ B’
B C
A’
解：图中共有3个平行四边形
ABCB’ C’BCA ABA’C
因为A’B’∥AB,B’C’∥BC
所以四边形ABCB’是平行四边形
理由是：2组对边分别平行的四边形是平行四边形。
所以ABCD绕点O旋转180°后，与原来的图形重合。
三、平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边平行
（2）平行四边形的对边相等
（3）平行四边形的对角相等
（4）平行四边形的对角线相互平分
性质的另一种表示法：
A D
B C
(1)因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB∥CD AD∥BC
四、练一练
P108 1、2
教学目标
学生应能懂得平行四边形的由来；会应用平行四边形的性质解决有关问题
重点
平行四边形的性质
难点
理解性质的由来
教学方法
讲练结合、探索交流
课型
新授课
教具
尺、规
教师活动
学生活动
一、情景创设
画一画：如图BO是ΔABC的边AC上的中线。画出ΔABC关于点O对称图形。

中心对称图形（复习） 教案班级 姓名 学号 学习目标在探索了平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件后，以例题的讲解进一步掌握，培养学生有条理的表达能力，规范书写格式。

学习难点平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件的灵活的运用。

教学过程一、知识结构在虚线框内填写合适的条件， 以反映图形的变化二、知识回顾与典型例题（一）图形的旋转：定义、性质、画法（二）中心对称、中心对称图形的概念以及这两个概念的联系与区别【例1】在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 （ ）（三）中心对称的性质：对称点连线都经过 ，且被 平分晴 （A ）冰雹 （B ）雷阵雨 （C ）大雪 （D ）【例2】如图，两个三角形对中心对称，请确定其对称中心。

【例3】已知四边形ABCD 和O 点，画出四边形 ABCD 关于O 点的对称图形。

（四）设计中心对称图案【例4】图案设计：图例：小明在4×3的网格上，设计了由个数相同的白色方块与黑色方块组成的一幅图案，如左下图。

请你仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案。

（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）（五）几种特殊的中心对称图形的定义、性质、判定（1）是轴对称图形， 又是中心对称图形（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形（3）是中心对称图形， 但不是轴对称图形BDCA【例5】（1）能判断一个四边形是平行四边形的为（ ）A 、一组对边平行，另一组对边相等B 、一组对边平行，一组对角相等C 、一组对边平行，一组对角互补D 、一组对边平行，两条对角线相等（2）矩形的两条对角线所成的钝角为120°，若一条对角线的长是2，那么它的周长是（ ）A 、6 B 、32 C 、2（1+3） D 、1+3（3）若菱形ABCD 的周长为20，一条对角线AC 长为6，求菱形的面积 。

（4）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE=AC ，若AE 交CD 于点F ，则∠E= °；∠AFC= °(5)图1是边长为4的正方形硬纸片ABCD ，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿图1的虚线剪开并拼成图2的“小屋”，则图中阴影部分的面积 （） （A ）2 （ B ）4 （ C ）8 （ D ）10 （6）平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AC=6cm ，BD=8cm 则边AB 长度x 的取值范围是 。

— 1 —第三章 中心对称图形（二）一．选择题1．在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 是CD 上一点，且AE ＝AB ，则∠CBE ＝ （ ）A ．30°B ．22.5°C ．15°D ．以上都不对 2．菱形的周长为20㎝，两邻角的比为1∶3㎝ A ．25B ．16C ．D ．3．下列命题不正确的是（ ）A ．任何一个成中心对称的四边形是平行四边形B ．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形C ．线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形D ．等边三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形4．四边形的四边长顺次为a 、b 、c 、d ，且a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝ab ＋bc ＋cd ＋ad ，则此四边形一定是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形5．以线段a ＝16，b ＝13，c ＝6为边作梯形，其中a ，c 为梯形的两底，这样的梯形（ ） A ．有一个B ．有两个C ．有三个D ．以上都不对6．梯形ABCD 的面积是6cm 2，P 是腰BC 的中点，则S △APD 等于（ ）A ．1cm 2B ．1.5cm 2C ．2cm 2D ．3cm 27．三角形三条中位线的长为3、4、5，则此三角形的面积为（ ）A ．12B ．24C ．36D ．488和（ ）A ．12BC ．D ．9．已知等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（ ）A ．15°B ．30°C ． 45°D ．60°10．直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝30°，AB ＋CD ＝m ，BC ＋AD ＝n ，则梯形ABCD— 2 —《同步课程》试卷 八年级数学(上)ABCDEGH的面积为 （ ）A ．1mn 4B ．1mn 5C ．1mn 6D ．1mn 8二．填空题11．梯形的上底长为3cm ，中位线长为5cm ，底边上的高为5cm ，则梯形面积为______ cm 2,下底长为__________cm ．12．已知等腰梯形一底角为60°，两底的和为30cm ，且对角线平分60°的底角，则此等腰梯形的周长为__________cm ．13．如图：正方形ABCD 的边长为a ，E 为AD 的中点，BM ⊥BC 于M ，则BM 的长为___________．14．如图：DE 是△ABC 的中位线，且DE=5cm ，GH 是梯形DECB 的中位线，则GH=___________．15．如图：延长正方形ABCD 的边BC 至E ，使CE=AC ，连接AE 交CD 于F ，则∠AFC=___________．16. 梯形的高为5cm ，中位线为14cm ，则此梯形的面积为____________． 17．等腰梯形两对角线互相垂直，中位线长为a ，则此梯形的面积为___________． 18．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于G 、H ，以下结论：① BE=DF ；② AG=GH=HC ；③ EG=21BG ；F— 3 —《同步课程》试卷 八年级数学(上)A BCDM NBACD ④ S △ABE =3S △AGE其中，正确的有________________． 三．解答题19．矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，E 为矩形ABCD 外一点，若AE ⊥CE ，求证BE ⊥DE ．20．在梯形ABCD 中，∠B=45°，∠C=60°，CD=4cm ， AD=2cm ，求梯形ABCD 的周长及面积．21．在△ABC 中， AB=2AC ，AF=41AB ，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，EF 与CA 的延长线交于点G ，求证：AF=AG ．22．如图：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ADC ：S △ABC =2：3，而对角线中点M 、N 的连线段为10cm ，ABCEDF G— 4 —《同步课程》试卷 八年级数学(上)EABCDE 求梯形两底的长．23．△ABC 中E 是AB 的中点，CD 平分∠ACD ，AD ⊥CD与点D ，求证：DE=21（BC-AC ）．24．如图：AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O ，求证：OF=21CE ．第三章 中心对称图形（二）1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．D 7．B 8．A 9．D 10．C 11．25、7；12．50、 13；14．7.5； 15．112.5° 16．70㎝217．2a ； 18．①、②、③、④；19．提示：连结OE ，证OE ＝OA ，又OA ＝OB ＝OC ＝OD ，则OE ＝OB ＝OD 即得；《同步课程》试卷八年级数学(上)20．周长为10+、面积为6+；21．提示：取AC的中点M，连结EM；22．AD＝40，BC＝60；23．提示：延长AD交BC于F，说明AC＝CF，DE是△ABF的中位线；24．提示：过O点作OP∥BC交AE于P，则OP＝12CE，再证OP＝OF.— 5 —。

中心对称与中心对称图形连云港市新海实验中学乔乃英义务教育课程标准实验教科书数学（苏科版）八年级上册第三章第2节第1课时一、教学目标：1．了解中心对称图形及其基本性质2．在探索的过程中培养学生有条理地表达，及与人交流合作的能力。

3．经历观察、操作、发现、探究中心对称图形的有关概念和基本性质的过程，培养学生观察能力和动手操作能力，感受对称、匀称、均衡的美感，积累一定的审美体验。

二、学情分析：学生刚学习了图形的旋转，知道图形旋转的性质。

中心对称是一种特殊的旋转，所以学生能理解它的概念和性质。

在日常生活中，也可以找到中心对称的实例。

学生对此有感性认识，因此中心对称的概念无论从知识储备还是从认知水平较能为学生所接受。

所以但学生在今后的学习中容易和轴对称概念混淆。

所以有必要在本节课把两种概念进行比较，加深学生对中心对称的理解。

也渗透类比思想方法。

三、教学重、难点：理解中心对称的概念及其基本性质。

四、教学准备：多媒体教学设备。

学生课前准备较透明的白纸、图钉。

五、教学过程：（一）创设问题情境1．利用课件展示几幅图片，（1）几幅轴对称的图片。

（2）几幅中心对称的图片师：（1）中的两个图形有什么特点? 生：都成轴对称。

师：什么样的两个图形成轴对称？生：……师：（2）中的两个图形是不是成轴对称？生：不是。

师：（2）中的两个图形有什么特点? 他们怎么才能重合呢？生：把其中一个图形绕着一个点旋转180°能和另一个图形重合。

（利用几组对称图片的播放，引导学生对轴对称进行复习，通过学生对轴对称概念、性质的回答来了解学生对该问题的掌握程度，也为下一步中心对称与轴对称概念的区别的教学作铺垫。

同时让学生自己发现，有几组图片也是对称，但却不是轴对称，这是一种新的对称，从而引出课题）2实践操作师：让我们一起来操作。

拿出课前准备的较透明的白纸，图钉，按书上的要求进行操作。

（通过实际操作活动，激发学生的好奇心，和主动学习的欲望，为学生能概括出中心对称的概念，作铺垫。

苏科版八年级数学（上册）第三章《中心对称图形（一）》试题一．选择题（共14小题）1．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有B CD3．如图，矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接BD 、DF ，则图中全等的直角三角形共有（）5．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若AC=4，则四边形CODE 的周长（ ）6．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′OB ′，若∠AOB=15°，则∠AOB ′的度数是（ ）7．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）cm B28．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）B C10．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条11．如图，直角三角形纸片ABC的∠C为90°，将三角形纸片沿着图示的中位线DE剪开，然后把剪开的两部分重新拼接成不重叠的图形，下列选项中不能拼出的图形是（）12．如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE 的长度为何？（）13．如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）14．如图，在△ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上．若BD=CD，∠B=∠CDE，DE=2，则AB 的长度是（）二．填空题（共12小题）15．已知梯形的中位线长是4cm，下底长是5cm，则它的上底长是_________cm．16．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°．先将△ADE沿DE折叠，点A 落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为_________．17．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是_________．（填上你认为正确的一个答案即可）18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于_________cm．19．如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=_________°．20．如图，DE是△ABC的中位线，M、N分别是BD、CE的中点，MN=6，则BC=_________．21．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为_________．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= _________cm．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点0．若AC=6，则线段AO的长度等于_________．24．等腰梯形的腰长为5cm，它的周长是22cm，则它的中位线长为_________cm．25．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α（0°＜α＜180°），则∠α=_________．26．如图，DE是△ABC的中位线，DE=2cm，AB+AC=12cm，则BC=_________cm，梯形DBCE 的周长为_________cm．三．解答题（共4小题）27．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE 是菱形．28．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．29．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．30．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．苏科版八年级数学（上册）第三章《中心对称图形（一）》试题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有B C D3．如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD、DF，则图中全等的直角三角形共有（）BDFG=5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE 的周长（）OD=OC=6．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）7．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）cm B2AO=BO=AO=BO=8．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）B C的边长为的边长为．10．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条11．如图，直角三角形纸片ABC的∠C为90°，将三角形纸片沿着图示的中位线DE剪开，然后把剪开的两部分重新拼接成不重叠的图形，下列选项中不能拼出的图形是（）12．如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE 的长度为何？（）BO=DO=AO==15==2013．如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）14．如图，在△ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上．若BD=CD，∠B=∠CDE，DE=2，则AB 的长度是（）二．填空题（共12小题）15．已知梯形的中位线长是4cm，下底长是5cm，则它的上底长是3cm．=16．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°．先将△ADE沿DE折叠，点A 落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为80°．17．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是∠A=90°．（填上你认为正确的一个答案即可）18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于3cm．AD=BD=CD=AB=4cmAD=BD=CD=AB=4cm=，即=，19．如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=90°．20．如图，DE是△ABC的中位线，M、N分别是BD、CE的中点，MN=6，则BC=8．BCMN=×21．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为10．AC22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= 5cm．CD=EF=×23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点0．若AC=6，则线段AO的长度等于3．AO=AC=24．等腰梯形的腰长为5cm，它的周长是22cm，则它的中位线长为6cm．EF=（EF=25．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α（0°＜α＜180°），则∠α=90°．26．如图，DE是△ABC的中位线，DE=2cm，AB+AC=12cm，则BC=4cm，梯形DBCE的周长为12cm．BD=CE=AC（=三．解答题（共4小题）27．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE 是菱形．BE=AB AB28．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．，）29．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．30．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．。

综合练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合练习题注重考查学生对中心对称图形知识的综合运用能力，题目通常涉及多个知识点 ，需要学生灵活运用所学知识进行解答。通过解答这些题目，学生可以全面检验自己的学习成果，提 高解决实际问题的能力。
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中心对称图形复习
目录Biblioteka • 中心对称图形的定义和性质 • 中心对称图形的判定 • 中心对称图形的应用 • 中心对称图形与轴对称图形的联系与区别 • 练习与巩固
01
中心对称图形的定义 和性质
定义
总结词
中心对称图形是指一个图形关于某一点旋转180度后与自身重合的图形。
详细描述
中心对称图形有一个对称中心，通过该点可以将图形分为两个完全相同的部分。 如果一个图形关于某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就是中心 对称图形。
性质
总结词
中心对称图形具有一些特殊的性质，如对称中心两侧的图形完全相同、对称中心将图形分为两个完全相同的部分 等。
详细描述
中心对称图形的对称中心两侧的图形是完全相同的，这意味着如果我们将一个中心对称图形沿对称中心折叠，两 侧的图形将完全重合。此外，中心对称图形的任意一点关于对称中心的对称点都在该图形的内部或边界上。这些 性质使得中心对称图形在几何学中具有独特的地位和美感。
在解决实际问题中的应用
建筑学
在建筑设计中，中心对称 图形的应用可以增强建筑 的稳定性和美感。
物理学
在物理学中，中心对称图 形可以用来描述一些物理 现象和规律，如磁场、电 场等。
计算机图形学
在计算机图形学中，中心 对称图形可以用来实现图 像的旋转、缩放等操作， 提高图像处理的效率。
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2021-2021年八年级数学上册第三章中心对称图形( 一)综合提优苏科版一、选择题 ( 每题 3 分，共 30 分 )1．等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形和圆这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有( )．A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，是一个旋转对称图形．要使它旋转后与自己重合．最少应将它绕中心按逆时针方向旋转的度数为()． A ．450B． 900 C. 1350D． 18003．以以下图的四组细图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有()．A.1 组B.2 组C.3 组4．如图正方形 ABCD的边长是 3cm，一个边长为组1cm的笑正方形沿正方形ABCD的边 AB→ BC→ CD→ DA→ AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到初步地址时，它的方向是( ) ．5．平行四边形相邻的两个角的均分线所成的角是( )．A ．锐角 B.直角C．钝角D ．不能够确定6．矩形的一个内角均分线把矩形一条边分成3 cm 和 5 cm 两局部，那么矩形的周长为( )．A ． 16 cm B． 22 cm C． 26 cm D． 22cm和 26 cm7．如图．四边形ABCD是菱形．过点 A 作 BD 的平行线AF 交 CD 的延长线于点E，那么以下式子不成立的是( ) ．A．DA=DEB． BD=CEC．D．ABC=2 E EAC=908 ．如图．在ABCD中 , 点D、 E、 F 分别是边AB、 BC、 AC 的中点．那么△DEF 与△ ABC 的面积之比为( ) ．A．1：4B． 1：3C．1：2D． 1：29．如图．在ABCD中， F、F 分别为 AD、 CD的中点，分别连结EF、EB、 FB、AC、 AF、CE，那么图中与△ ABE 面积相等的三角形 ( 不包括△ ABE)的个数是 () ．A．2B．3C．4D． 5 10．等边三角形形的对称轴的条数是( )．A．0 B． 1C．2D． 3二、填空题 ( 每题 3 分，共 1 8 分)B=1200那么 ANM=________．11．如图．在△ ABC中， M、 N 分别是 AB、 AC的中点，且A+12．如图．在△ ABC中， EF 为ABC 的中位线． D 为 BC边上一点 ( 不与 B、 C 重合 ) ． AD与 EF 交于点 O，连结DE， DF．要使四边形． AFDF为平行四边形, 需要增加条件 _________________ ． ( 只增加一个条件)13．如图，在菱形ABCD中 ,对角线AC、 BD 订交交于点O． E 为 AB 的中点，且OE=a，那么菱形ABCD的周长为________．14．如图。

3.2 中心对称与中心对称图形（1）备课时间：10月22日上课时间：10月日主备人：蔡伟【学习目标】1、中心对称的含义和中心对称的性质；2、成中心对称的图形的画法。

【学习重、难点】成中心对称的图形的画法【学习过程】一、自主学习1、把一个图形绕着某一点旋转______，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。

这个点叫做____________，两个图形中的对应点叫做__________。

二、合作探究2、四边形ABCD与四边形A'B'C'D'关于点O对称，点O是__________,对应点A和A'、B和B'、C和C'、D和D'是关于中心O的对称D′A′B′O C′点。

分别连接点A和A'、B和B'、C和C'、D和D'。

你发现了什么？归纳总结：成中心对称的个图形，对称点连线都经过___________,并且被对称中心________.3、对轴对称与中心对称进行类比：（你会填吗？）轴对称中心对称有条对称轴——有一个——图形沿对折（翻转180度）后重合图形绕旋转180度后重合对称点的连线被对称轴对称点连线经过，且被对称中心三、达标反馈1、作点关于点的对称点：23已知A 点和O 点，画出点A 关于点O 的对称点A ′2、作线段关于点成中心对称的图形：已知线段AB 和O 点，画出线段AB 关于点O 的对称线段A ’B ’3、作三角形关于点成中心对称的图形：已知△ABC 和点O ，画出△DEF ，使△DEF 与△ABC 关于O 成中心对称。

OAOBAOCB4四、 课后学习分别画出下列各图中△ABC 关于点O 对称的△A B C '''OCBA【学习反思】 构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。

2019-2020学年八年级数学上册 3.2 中心对称与中心对称图形测试题（1） 苏科版练习反馈1.下列图形中不是轴对称图形而是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形2．等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形和圆这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形种数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．如图1将三角形绕直线l 旋转一周，可以得到图（E ）所示的立体图形的是（ ）A ．图（A ）B ．图（B ）C ．图（C ）D ．图（D ）4．下列图形中，不是轴对称图形，但是中心对称图形的是（ ）（A ） 等边三角形 （B ）菱形（C ）长方形 （D ）邻边不等或邻角不等的平行四边形5．下列各组图形中,由左边变成右边的图形,分别进行了平移、旋转、轴对称、中心对称等变换,其中进行了中心对称变换的是( )组,进行轴对称变换的是 ( )A.B. C.D.6．在等腰三角形ABC 中，∠C=90°，BC=20㎝，如果以AC 的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B 落在B ′处，那么点B ′与点B 原来位置相距____________．7．如图（1），以左边图案的中心为旋转中心，将图案按 方向旋转 即可得到左边图案。

8．图（2）绕着中心最小旋转 能与自身重合。

9．△ABC 和△DCE 是等边三角形，则在此图中，△ACE绕着 点 旋转 度可得到△ 。

拓展提高10．如图，△DEF 是由△ABC 旋转得到的，请作出它的旋转中心（1） （2） A C D EB11．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，点D 是AB 的中点，试作出△ABC 绕点D 顺时针旋转90°所得的图形。

并指出图形中有多少个等腰直角三角形。

12.如图将几根火柴棒移动x 根变成一个中心对称图形,怎样移动?x 的最小值是多少?13.如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，DF=CF ，连结AF 并延长交BC 延长线于点E.（1）图中哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？（2）四边形ABCD 的面积与图中哪个三角形的面积相等？ （3）若AB=AD ＋BC ，∠B =70°，试求∠DAF 的度数.•Ａ Ｃ ＢＤ。

一、选择题1．如图，在△ABD 中，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BD 、AD 于点C 、E ．若AE=5cm ，△ABC 的周长=15cm ，则△ABD 的周长是（ ）A ．35cmB ．30cmC ．25cmD ．20cm2．下列命题中，假命题是（ ）A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形C ．相等的两个角是对顶角D ．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形3．如图，ABC 中，45ABC ︒∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，DH BC ⊥于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD CD =；②AE BG =；③2CE BF =；④AD CF BD +=．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．如图，已知60AOB ∠=︒， 点P 在OA 边上，8OP cm =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =，若2MN cm =，则OM 为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．1cm5．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（ ）A ．(2020,13)-+B ．(2020,13)---C ．(2019,13)-+D ．(2019,13)--- 6．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，且点E 在ABC 内部，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①EBD DAE ∠=∠；②ADE BCE ≌△△；③BD AF =；④BDE ACE S S =△△，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,D E 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（ ）A ．16︒B ．28︒C ．31︒D ．62︒9．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100︒∠+∠=，则3∠的度数为（ ）A ．80︒B ．70︒C ．45︒D ．30︒10．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（ ）A ．5B ．4C ．4或5D ．10311．以下说法正确的是（ ）A ．三角形中 30°的对边等于最长边的一半B ．若a + b = 3，ab = 2，则a - b = 1C ．到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个D ．等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线 12．下列图案是轴对称图形的是有（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③二、填空题13．如图，已知60AOB ︒∠=，点P 在边OA 上， 10OP =，点,M N 在边OB 上， PM PN =，若3,MN =则OM 的长是__________．14．如图，ABC 中，AB BC =，点D 在线段BC 上（不与点,B C 重合）． 作法如下：①连接AD ，作AD 的垂直平分线分别交直线,AB AC 于点,P Q ，连接,DP DQ ，则APQ DPQ △≌△；②过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，在线段AC 上截取AQ ，使AQ DP =，连接,PQ DQ ，则APQ DQP △≌△；③过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，连接PQ ，则APQ DQP △≌△；④过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，在直线AB 上取一点P ，连接DP ，使DP AQ =，连接PQ ，则APQ DPQ △≌△．以上说法一定成立的是__________．（填写正确的序号）15．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．16．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____17．如图，等腰ABC 底边BC 的长为4cm ，面积是12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则BDM 的周长最小值为_____cm ．18．等腰三角形的周长为24，其中一边为6，则另两边的长分别为__________． 19．如图，在ABC 中，AB AC =，36ABC ∠=︒，DE 是线段AC 的垂直平分线，连接AE ，若BE a =，EC b =，则用含有a ，b 的代数式表示ABC 的周长是______．20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=36°，AD 、CE 是△ABC 的两条角平分线，BD=5，P 是AD 上的一个动点，则线段BP ＋EP 最小值的是____________．三、解答题21．如图，△ABC 是边长为12cm 的等边三角形，动点M 、N 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动．（1）若点M 的运动速度是2cm/s ，点N 的运动速度是4cm/s ，当N 到达点C 时，M 、N 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），当t=2时，判断△BMN 的形状，并说明理由； （2）当它们的速度都是2cm/s ，当点M 到达点B 时，M 、N 两点停止运动，设点M 的运动时间为t （s ），则当t 为何值时，△MBN 是直角三角形？22．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别是AB AC 、边上的点，BE 与CD 相交于点F ，且 BD CE =．（1）在下列给出的条件中，只需添加一个条件即可证明ABC ∆是等腰三角形，这个条件可以是 （多选）；A ．DF EF =B ． BF CF =C ．ABE ACD ∠=∠D ．BCD CBE ∠=∠E ． ADC AEB ∠=∠（2）利用你选的其中一个条件，证明ABC ∆是等腰三角形．23．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A B C ，，的坐标分别为()()()4,5,2,1,1,3--- （1）作出ABC ∆关于y 轴对称的A B C ∆'''，并写出点'B 的坐标（2）点P 是x 轴上的动点，当A BP ∆'周长最小时，找出点P ，并直接写出点P 的坐标24．如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD 是高，E 是AB 上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交AC 于点F ，连接EF ，交AD 于点G ．（1）若6AB =，2AE =，求线段AF 的长；（2）求证：AGF AED ∠=∠．25．小明遇到这样一个问题：如图①，在ABC 中，12AB =，8AC =，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：过点B 作//BE AC 交AD 的延长线于点E ，证明BED CAD △≌△，经过推理和计算就可以使问题得到解决．按照上面的思路，请回答：（1）小红证明BED CAD △≌△的判定定理是：______；（2）AD 的取值范围是______；方法运用：（3）如图②，AD 是ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，使AE EF =，求证：BF AC =．26．如图，在ABC ∆中，,36,AB AC BAC BD =∠=︒平分ABC ∠交AC 于点,D 过点A 作//,AE BC 交BD 的延长线于点E ．()1求ADB ∠的度数﹔()2求证：ADE ∆是等腰三角形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【详解】解：∵MN 垂直平分线段AD ，∴AC=DC ，AE+ED=AD=10cm ，∵AB+BC+AC=15cm ，∴AB+BC+DC=15cm ，∴△ABD 的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．2．C解析：C【分析】利用全等三角形的判定和等腰三角形的性质判断A、B，根据对顶角的定义判断C，根据等边三角形的判定判断D．【详解】解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是真命题；B．已知等腰三角形的两腰相等，且顶角的平分线即为底边上的高，则可根据为HL可以得出两个三角形全等，故本选项是真命题；C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题；故选C．【点睛】本题考查了命题和定理，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题的真假，对于假命题能举出反例或者说明理由．3．B解析：B【分析】根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF＝AD，BF＝AC．则CD＝CF+AD，即AD+CF＝BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE＝AE＝12AC，又因为BF＝AC所以CE＝12AC＝12BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD＝CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG＝CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．【详解】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD．故①正确；连接CG．∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．∵CE＝AE，∴AE＜BG．故②错误．在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE＝AE＝12AC．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC．∴BF＝AC，∴CE＝12AC＝12BF，∴2CE＝BF；故③正确；由③可得△DFB≌△DAC．∴BF＝AC；DF＝AD．∵CD＝CF+DF，∴AD+CF＝BD；故④正确；故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．4．B解析：B【分析】过P作PC垂直于MN，由等腰三角形三线合一性质得到MC=CN，求出MC的长，在直角三角形OPC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，由OC-MC求出OM的长即可．【详解】解：过P作PC⊥MN，∵PM=PN，∴C为MN中点，即MC=NC= 1MN=1，2在Rt△OPC中，∠AOB=60°，∴∠OPC=30°，∴OC= 1OP=4，2则OM=OC-MC=4-1=3cm，故选：B．【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．5．D解析：D【分析】先求出点C坐标，第一次变换，根据轴对称判断出点C变换后在x轴下方然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点C变换后的横坐标，最后写出第一次变换后点C坐标，同理可以求出第二次变换后点C坐标，以此类推可求出第n次变化后点C坐标．【详解】∵△ABC是等边三角形AB=3-1=2∴点C到x轴的距离为1+3=+2213+∴C(2，13-，由题意可得:第1次变换后点C的坐标变为(2-1，31)，即(1，13+第2次变换后点C的坐标变为(2-231)，即(0，13--第3次变换后点C的坐标变为(2-3，31)，即(-1，13+为偶数)，第n次变换后点C的坐标变为(2-n，31)(n为奇数)或(2-n，13-，∴连续经过2021次变换后，等边ABC的顶点C的坐标为(-2019，13故选：D．【点睛】本题考查了利用轴对称变换（即翻折）和平移的特点求解点的坐标，在求解过程中找到规律是关键．6．D解析：D【分析】由AD 为△ABC 的高线，可得∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，Rt △ABE 是等腰直角三角形， 可得90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，从而可判断①；由等腰Rt ABE △可得AE BE =，结合AD BC =，∠DAE=∠CBE ，可判断②；由△ADE ≌△BCE ，可得,ADE BCE ∠=∠ 再证明∠BDE=∠AFE ，结合EBD DAE ∠=∠，AE BE =， 证明△AEF ≌△BED ，可判断③；由△ADE ≌△BCE ，可得,DE CE = 由△AEF ≌△BED ，,EF DE = 证明,EF CE =从而可判断④．【详解】解：∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，∴∠DAE=∠CBE ，即EBD DAE ∠=∠，故①正确；∵Rt △ABE 是以AB 为底等腰直角三角形，∴AE=BE ，在△ADE 和△BCE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）； 故②正确；△ADE ≌△BCE ，,ADE BCE ∴∠=∠∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，90ADB ADC ∠=∠=︒，∴∠BDE=∠AFE ，在△AEF 和△BED 中，FAE DBE AFE BDE AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴AF BD =； 故③正确；∵△ADE ≌△BCE ，∴,DE CE =△AEF ≌△BED ，,,AEF BED EF DE S S ∴==,EF CE ∴=∴,AEF ACE SS = ∴ ,BDE ACES S =故④正确； 综上：正确的有①②③④．故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的中线与高的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．7．C解析：C【分析】分三种情况：当AB=AC 时，当BA=BC 时，当AC=AB 时，根据等腰三角形两边相等的性质分别作图即可得解．【详解】当AB=AC 时，点C 与点O 重合；当BA=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有两个交点；当AC=AB 时，作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有一个交点，共有4个点C ，故选：C ．．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键．8．C解析：C【分析】根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，进而得到DBC C ∠=∠，根据三角形内角和定理列式计算即可．【详解】∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ⊥，E 是BC 中点，∴DB=DC ，∴DBC C ∠=∠，∴ABD CBD C ∠=∠=∠，∴18087ABD CBD C ∠+∠+∠=︒-︒，解得：31C ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9．A解析：A【分析】由平角的性质可得∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°，将∠1＋∠2＝100°代入可求解．【详解】∵∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°=360°，∵∠4＋∠5＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3=360°-180°=180°，∴∠3＝180°−（∠1＋∠2）＝80°，故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平角的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．10．B解析：B【分析】根据等腰ABC 的两边长为5，7，得到ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；之后根据全等分2x-3=5，2x-3=7，3x-5=5，3x-5=7四种情况分类讨论，舍去不合题意的即可求解．【详解】解：∵等腰ABC 的两边长为5，7，∴ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；由题意得另一个等腰三角形的两边为23x -，35x -，且与等腰ABC 全等（1）当2x-3=5时，解得x=4，则3x-5=7，符合题意；（2）当2x-3=7时，解得x=5，则3x-5=10，不合题意；（3）当3x-5=5时，解得103x=，则2x-3=113，不合题意；（4）当3x-5=7时，解得x=4，则2x-3=5，符合题意；综上所述：x的值为4．故答案为：B【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质，根据题意分类讨论是解题关键．11．D解析：D【分析】对每个选项一一分析即可得到正确答案．【详解】解：A、错误，正确的说法是：含30°的直角三角形中 30°的对边等于最长边的一半；B、错误，例如a =1，b=2，满足a +b = 3 ，ab = 2，但不满足a -b = 1；C、错误，到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，在三角形内部的有一个，是三个内角角平分线的交点，在三角形的外部还有三个，是三角形的外角角平分线的交点；D、正确，等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线，都在等腰三角形的底边的垂直平分线上，故选：D．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．12．C解析：C【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．二、填空题13．5【分析】作PH⊥MN于H如图根据等腰三角形的性质得MH=NH=MN=15在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°则根据在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=OP=解析：5【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH=NH=12MN=1.5，在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=12OP=5，然后计算OH-MH即可．【详解】作PH⊥MN于H，如图，∵PM=PN，∴MH=NH=12MN=1.5，在Rt△POH中，∵∠POH=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=12OP=12×10=5，∴OM=OH-MH=5-1.5=3.5．故答案为：3.5．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了等腰三角形的性质．14．①②③【分析】根据题意画出图形再根据垂直平分线的性质平行线的性质和三角形全等的判定可以得证【详解】解：①如图∵PQ为AD的垂直平分线∴PA=PDQA=QD∴在△APQ和△DPQ中∴△APQ≌△DPQ解析：①②③【分析】根据题意画出图形，再根据垂直平分线的性质，平行线的性质和三角形全等的判定可以得证．【详解】解：①如图，∵PQ 为AD 的垂直平分线，∴PA=PD ，QA=QD ，∴ 在△APQ 和△DPQ 中，PA PD PQ PQ QA QD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△APQ ≌△DPQ （SSS ），①正确；②如图，∵PD ∥AC ，∴∠DPQ=∠AQP ，∴在△APQ 和△DQP 中，AQ DP AQP DPQ QP PQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APQ ≌△DQP （SAS ），②正确 ；③如图，∵PD ∥AC ，∴∠DPQ=∠AQP ，同理∠DQP=∠APQ ，∴在△APQ 和△DQP 中，DPQ AQP PQ PQDQP APQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△APQ ≌△DQP （ASA ），③正确 ；④如图，△APQ ≌△DPQ 不成立，④错误；故答案为①②③．【点睛】本题考查三角形与平行线的综合应用，熟练掌握垂直平分线的性质，平行线的性质和三角形全等的判定是解题关键．15．【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵垂直平分∴∴∵∴∴∵BD 平分∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键解析：87︒【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵DE 垂直平分BC ，∴DB DC =，∴∠=∠DBC C ，∵31C ∠=︒，∴31DBC ∠=︒，∴62ADB C DBC ∠=∠+∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴31ABD DBC ∠=∠=︒，∴180623187A ∠=︒-︒-︒=︒．故答案是87︒．【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质，结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键．16．90°【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论【详解】解：连接DAEA如图∵∠BAC=135°∴∠B+∠C=180°-135°=45°∵DF是AB 的垂直平分线EG是AC的垂直平解析：90°【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．【详解】解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．故答案为：90°．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．17．8【分析】连接AD由题意易得AD⊥BC则有三角形BDM的周长为BM+MD+BD若使△BDM的周长为最小值则需满足BM+MD为最小值根据两点之间线段最短可得AD为BM+MD的最小值故问题可解【详解】解解析：8【分析】连接AD，由题意易得AD⊥BC，则有三角形BDM的周长为BM+MD+BD，若使△BDM的周长为最小值，则需满足BM+MD为最小值，根据两点之间线段最短可得AD为BM+MD的最小值，故问题可解．【详解】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝12，解得AD＝6cm，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为BM+MD 的最小值，∴△BDM 的周长最短＝（BM+MD ）+BD ＝AD+12BC ＝6+12×4＝6+2＝8cm ． 故答案为：8．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质得到最短路径长，进而可求解．18．【分析】题中没有指明长为的边长是腰还是底则分两种情况进行分析还应验证是否满足三角形的三边关系【详解】当腰长是时底边长不能构成三角形；当底长是时三角形的腰能构成三角形其他两边长为故答案为：【点睛】本题 解析：9，9【分析】题中没有指明长为6的边长是腰还是底，则分两种情况进行分析，还应验证是否满足三角形的三边关系．【详解】当腰长是6时，底边长246612=--=，6、6、12不能构成三角形；当底长是6时，三角形的腰()24629=-÷=，6、9、9能构成三角形，其他两边长为9、9．故答案为：9，9．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目—定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．19．【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC ＝108°由线段垂直平分线的性质可得AE=CE ∠EAD=∠ECD=36°进而根据角的和差可得∠BAE ＝∠BEA 进而可得BA ＝BE ＝AC 然后问题可求解【详解】∵AB解析：3a b +【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC ＝108°，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE ，∠EAD=∠ECD=36°，进而根据角的和差可得∠BAE ＝∠BEA ，进而可得BA ＝BE ＝AC然后问题可求解．【详解】∵AB=AC，∠ABC=36°，∴∠C=∠ABC=36°，∠BAC＝108°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴∠EAD=∠ECD=36°，∴∠AEC=108°=∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝108°－36°＝72°∵∠BEA＝180°－∠AEC＝180°－108°＝72°即∠BAE＝∠BEA∴BA＝BE∵BE a=，EC b=，∴BA＝BE＝AC＝a∴△ABC的周长＝AB＋BE＋EC＋AC＝3a＋b故答案为：3a+b．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．20．10【分析】连结CP利用等腰三角形顶角平分线所在直线为对称轴得BP=CPBD=CD=5当点CPE在一直线是BP＋EP最小值最小值为BP＋EP=EC由∠BAC=36°AB=AC求出∠ABC=∠ACB=解析：10【分析】连结CP，利用等腰三角形顶角平分线所在直线为对称轴得 BP=CP，BD=CD=5，当点C、P、E在一直线是BP＋EP最小值，最小值为BP＋EP= EC，由∠BAC=36°，AB=AC，求出∠ABC=∠ACB=72°，又CE是△ABC的角平分线有∠BCE=36°，求出∠BEC=72º，得CE=BC =10即可．【详解】连结CP，点P在AD上运动，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD所在直线为对称轴，∴BP=CP，BD=CD=5，当点C 、P 、E 在一直线是BP ＋EP 最小值,∴BP ＋EP=PC+EP=EC ，∵∠BAC=36°，AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=()1180-36=722︒︒︒， ∵CE 是△ABC 的角平分线， ∴∠BCE=1ACB=362∠︒， ∴∠BEC=180º-∠EBC-∠BCE =180º-72º-36º=72º，∴∠BEC=∠EBC ，∴CE=BC=BD+CD=10．故答案为：10．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，轴对称性质，掌握等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，线段和最短问题经常利用轴对称性质作出对称线段，三点在一线时最短作出图形是解题关键．三、解答题21．（1）△BMN 是等边三角形，见解析；（2）当t=2或t=4时，△BMN 是直角三角形．【分析】（1）先由等边三角形的性质解得，当t=2时，AM =4，BN=8，继而证明BM=BN ，再根据等边三角形的判定解题即可；（2）若△MBN 是直角三角形，则∠BNM=90°或∠BMN=90°，根据直角三角形含30°角的性质列方程解题即可．【详解】解：（1）△BMN 是等边三角形当t=2时，AM =4，BN=8，∵△ABC 是等边三角形且边长是12∴BM=12-4=8，∠B=60°∴BM=BN∴△BMN 是等边三角形；（2）△BMN 中，BM=12-2t ，BN=2t①当∠BNM=90°时，∠B=60°∴∠BMN=30° ∴12BN BM = ∴12(122)2t t =-∴t=2②当∠BMN=90°时，∠B=60°∴∠BNM=30° ∴12BM BN = ∴112222t t -=⨯ ∴t=4综上：当t=2或t=4时，△BMN 是直角三角形．【点睛】本题考查直角三角形的判定、等边三角形的判定与性质、几何动点与一元一次方程等知识，涉及含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．22．（1）,C E ；（2）见解析【分析】（1）选C 的话，可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解；选E 的话，可以求得∠BDF=∠CEF ，然后可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解；（2）选C 的话，可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解；选E 的话，可以求得∠BDF=∠CEF ，然后可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解．【详解】解：（1）①选择C 选项中的ABE ACD ∠=∠在ABE ∆与CEF ∆中，ABE ACD BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△CEF∴BF CF =FBC FCB ∴∠=∠ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠即A ABC CB =∠∠AB AC ∴=ABC ∆∴是等腰三角形②选择E 选项中的ADC AEB ∠=∠，∴∠BDC=∠CEB ：在ABE ∆与CEF ∆中，BDF CEF BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDF CEF AAS ∴∆≅∆BF CF ∴=FBC FCB ∴∠=∠ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠即A ABC CB =∠∠AB AC ∴=ABC ∆∴是等腰三角形而其余选项均无法证明△ABC 为等腰三角形故答案为：C ；E（2）①选择C 选项中的ABE ACD ∠=∠在ABE ∆与CEF ∆中，ABE ACD BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△CEF∴BF CF =FBC FCB ∴∠=∠ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠即A ABC CB =∠∠AB AC ∴=ABC ∆∴是等腰三角形②选择E 选项中的ADC AEB ∠=∠，∴∠BDC=∠CEB ：在ABE ∆与CEF ∆中，BDF CEF BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDF CEF AAS ∴∆≅∆BF CF ∴=FBC FCB ∴∠=∠ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠即A ABC CB =∠∠AB AC ∴=ABC ∆∴是等腰三角形【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质和判定，掌握AAS 定理证明三角形全等是解题关键．23．（1）见解析，()'2,1B ；（2）见解析，()1,0P -【分析】（1）分别作出A ，B ，C 关于y 轴对称的对应点A′，B′，C′，即可得到答案． （2）作点B 关于x 轴的对称点B″，连接A′B″交x 轴于P ，点P 即为所求．【详解】解：()1如图'''A B C ∆即为所求，由图可知，()'2,1B ；()2如图所示，点()1,0P -即为所求点．【点睛】本题考查作图——轴对称变换，轴对称——最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（1）4；（2）见解析【分析】（1）证△ADE ≌△CDF （ASA ），得AE=CF=2，即可得出答案；（2）由全等三角形的性质得DE=DF ，则△DEF 是等腰直角三角形，得∠DEF=∠DFE=45°，再由三角形的外角性质即可得出结论．【详解】（1）解：∵△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是高，∴BD=CD=AD=12BC ，∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°， ∵DF ⊥DE ，∴∠EDF=∠ADC=90°，∴∠ADE=∠CDF ，在△ADE 和△CDF 中，ADE CDF AD CDBAD C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△CDF （ASA ），∴AE=CF=2，∵AC=AB=6，∴AF=AC-CF=6-2=4；（2）证明：由（1）得：△ADE ≌△CDF ，∴DE=DF ，又∵∠EDF=90°，∴△DEF 是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DFE=45°，∵∠AGF=∠DAE+∠AEG=45°+∠AEG ，∠AED=∠DEF+∠AEG=45°+∠AEG ，∴∠AGF=∠AED ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．25．（1）角角边或者角边角（AAS 或ASA ）；（2）210AD <<；（3）见解析【分析】（1）由“ASA”或“AAS”可证△BED ≌△CAD ；（2）由全等三角形的性质可得AC=BE=8，由三角形的三边关系可求解；（3）延长AD 至H ，使AD=DH ，连接BH ，由“SAS”可证△BHD ≌△CAD ，可得AC=BH ，∠CAD=∠H ，由等腰三角形的性质可得∠H=∠BFH ，可得BF=BH=AC ；【详解】解：（1）∵AD 是中线，∴BD=CD ，又∵∠ADC=∠BDE ，∵//BE AC ，∴EBD C ∠=∠，E CAD ∠=∠，∴△BED ≌△CAD （ASA ），或△BED ≌△CAD （AAS ），故答案为：SAS 或AAS ；（2）∵△BED ≌△CAD ，∴AC=BE=8，在△ABE 中，AB-BE ＜AE ＜AB+BE ，∴4＜2AD ＜20，∴2＜AD ＜10，故答案为：2＜AD ＜10；（3）过点B 作//BG AC 交AD 的延长线于点G ，则CAD BGD ∠=∠∵AD 是中线，∴BD CD =在ADC 和GDB △中∵CAD BGD ∠=∠，ADC GDB ∠=∠，BD CD =，∴ADC GDB ≌△△∴BG CA =∵AE EF =∴EAF AFE ∠=∠又∵CAD BGD ∠=∠，AFE BFG ∠=∠∴BGD BFG ∠=∠∴BG BF =，又∵BG CA =，∴BF AC =；【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．26．（1）108ADB ∠=︒；（2）证明见解析【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的外角性质求解；（2）根据平行线的性质和三角形的内角和定理求解 ．【详解】()1解：,36AB AC BAC =∠=︒，()1180722ABC C BAC ∴∠=∠=︒-∠=． BD 平分,ABC ∠136,2DBC ABC ∴∠=∠=︒ 7236108ADB C DBC ∴∠=∠+∠=︒+︒=()2证明：//,AE BC72,EAC C ∴∠=∠=︒72,36C DBC ∠=︒∠=︒，180723672,ADE CDB ∴∠=∠=︒-︒-︒=︒,EAD ADE ∴∠=∠,AE DE ∴=ADE ∴∆是等腰三角形．【点睛】本题考查等腰三角形的综合运用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的内角和定理和外角性质是解题关键．。

第三章 中心对称图形(一)检测题【本试卷满分100分，测试时间90分钟】 一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 2.如图，△绕点旋转一定角度后得到△，若，，则下列说法正确的是（ ） A.B.C.∠是旋转角 D.∠是旋转角3.如图，已知□ABCD 的周长是28 cm ，△ABC 的周长是22 cm ，则AC 的长为（ ） A.6 cm B.12 cm C.4 cm D.8 cm4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，点E 是AB 的中点，且EC ∥AD ，则∠ABC 等于（ ）A.75°B.70°C.60°D.30° 5.已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、DA 、CD 、BC 的中点.若，，则图中阴影部分的面积为（ ）A.3B.4C.6D.8 6.如图所示，将一圆形纸片对折后再对折，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ）7.下列命题中，正确的是（ ）A.两条对角线相等的四边形是平行四边形B.两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形C.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D.两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形8.若正方形的对角线长为2 cm ，则这个正方形的面积为（ ）第3题图A B C D E A DB C第9题图第6题图 A B C DA.4B.2C. D.9.如图，梯形中，∥，∠∠90°，分别是的中点，若cm ，cm ，那么（ ）cm.A.4B.5C.6.5D.910.直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离（ ） A.相等 B.不相等 C.可能相等也可能不相等 D.无法比较 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图，在□ABCD 中，已知∠，cm ，cm ，那么_____cm ，______cm.12.如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、DC 的中点，则图中共有 个平行四边形. 13.如图，已知△ABC 和△DCE 是等边三角形，则△ACE 绕着 点按逆时针方向旋转 度可得到△ ．14.已知菱形的边长为5 cm ，一条对角线的长为5 cm ，则菱形的最大内角是_______. 15.顺次连接任意一个四边形四边的中点，得到的四边形是 . 16.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”型图案，则∠________，∠________.17.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且 cm ，则BD 的长为________cm ，BC 的长为_______cm.(精确到0.1 cm)18.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，，∠，DE ⊥AB 于点E ，且，那么梯形ABCD 的周长为_______，面积为________.三、解答题（共46分） 19．（6分）如图，在平行四边形中，，E 为的中点，求∠的度数.A B CDO 第17题图 ABCD E第18题图A BCD O 第11题图 D EF G第16题图20.（6分）如图，在□ABCD中，E、F分别是DC、AB 上的点，且，求证：（1）；（2）四边形AFCE是平行四边形．21.（6分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并说明它和图中已有的某一条线段相等（只须说明一组线段相等即可）：（1）连接____________ ；（2）猜想：______________＝_______________；（3）说明：22.（6分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出图中和BE相等的线段，并说明你的结论.23.（6分）辨析纠错已知：如图，△中，是∠的平分线，∥，∥.求证：四边形是菱形.对于这道题，小明是这样证明的：证明：∵平分∠，∴∠1＝∠2（角平分线的定义）.∵∥，∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）.∴∠1＝∠3（等量代换）.∴（等角对等边）.同理可证，FA DB CE MAB CD∴四边形是菱形（菱形定义）.老师说小明的证明过程有错误，你能看出来吗？（1）请你帮小明指出他的错误是什么？（先在解答过程中划出来，再说明他错误的原因）（2）请你帮小明做出正确的解答.24.（9分）如图，在△中，∠0°，BC 的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且．⑴求证：四边形是平行四边形.⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形?并说明理由．25. （7分）四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗？试试看.已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点（如图①）；求证：.证明：（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明;若不能，请说明理由.第三章 中心对称图形(一)检测题参考答案一、选择题1.C 解析：其中第一、三、四既是轴对称图形又是中心对称图形，第二个图形只是轴对称图形，故选C.2.D 解析：∵ △绕点旋转一定角度后得到△，且，， ∴ 是旋转角，故选D ．3.D 解析：∵ □的周长是28 cm ，∴ （cm ）.∵ △的周长是22 cm ， ∴ （cm ）.4.C 解析：∵ AB ∥CD ，EC ∥AD ，∴ 四边形是平行四边形，∴.又四边形ABCD 是等腰梯形，∴ ，∴ .∵ ⊥，点是的中点， ∴ ，即△是等边三角形，∴ ∠等于60°.5.B 解析：∵ 矩形ABCD 的面积为，∴ 阴影部分的面积为，故选B ． 6.C7.C 解析：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，A 错; 两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，B 错;两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，D 错，故选C. 8.B 解析：如图，正方形ABCD 中，，则，即，所以，所以正方形的面积为 2 ，故选B.9.A 解析：如图，作EG ∥AB ，EH ∥DC ，因为∠，所以∠.因为四边形和四边形都是平行四边形，所以.又因为cm ， cm ，所以cm ，.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得(cm).10.A 解析：如图，直角梯形中，是的中点，设是的中点，连接，则E是梯形的中位线，所以∥，即⊥.又，所以是的垂直平分线，所以. 二、填空题 11. 12 解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以，，所以（cm ）.又因为∠，所以，所以（cm ）.12.4 解析：∵ 在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、DC 的中点，∴ .又AB ∥CD ，∴ 四边形AEFD ，CFEB ，DFBE 都是平行四边形，再加上□ABCD 本身，共有4个平行四边形，故答案为4．E A D B 第9题答图 BA CDEF 第10题答图A B 第8题答图13.，60， 解析：因为△和△是等边三角形，故∠，则∠．要由△通过旋转得到△，只需要将△绕着点按逆时针方向旋转60°即可得到.14.120° 解析：已知菱形的边长为5 cm ，一条对角线的长为5 cm ，则菱形的两条边与它的一条对角线构成的三角形是等边三角形，即长为5 cm 的对角线所对的角是60°，根据菱形的性质得到菱形的另一个内角是120°，即菱形的最大内角是120°． 15.平行四边形16.90°，45° 解析:通过证明△FGA ≌△ABC 可得. 17.4，3.5 解析：因为 cm ，所以 cm.又因为，所以 cm.，所以（cm ）.18.， 解析：如图，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为点F . ∵ DE ⊥AB ，∴ DE ∥CF .又AB ∥CD ，∴ 四边形DEFC 是矩形， ∴ .又∵ ，∴ Rt△ADE ≌Rt△BCF ， ∴ .在Rt△ADE 中，∠，∴ ， ∴，∴ 梯形ABCD 的周长，．三、解答题 19. 解法1：∵ 为的中点，∴21BC . ∵ ，∴ ∴ ∠，∠. ∵ 四边形是平行四边形，∴ .又，∴ ， ∴ ∴.解法2：如图，设F 为AD 的中点，连接EF . 因为，所以又因为∥，所以四边形是菱形. 所以∠同理，∠所以∠20.分析：（1）根据平行四边形的对边相等得，已知，再作线段的差可得；（2）利用CE 与AF 平行且相等，可证四边形AFCE 是平行四边形． 证明：（1）∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴ ． 又∵ ，∴ ，即． （2）∵ ，AF ∥CE ，∴ 四边形AFCE 是平行四边形．21.分析：观察图形可知应连接AF ，通过证△ABF 和△ADE 全等来实现．FABCDE A BF解：（1）连接AF ； （2）；（3）如图，∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ ，∠，∴ ∠.在△ABF 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE BF ADE ABF AD AB ∴ △ABF ≌△ADE ，∴ ．22.解：和BE 相等的线段是AF.理由如下： 因为ABCD 是正方形，所以，∠.因为CE ⊥BF ，所以∠.又因为∠，所以∠. 在△AFB 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠=,,,ECB ABF A ABC BC AB 所以△≌△，所以.23. 解：⑴最后一步错误，小明错用了菱形的定义. ⑵改正：∵ ∥，∥， ∴ 四边形是平行四边形. ∵平分∠，∴ ∠1＝∠2. 又∵ ∠3＝∠2，∴ ∠1＝∠3. ∴，∴ 平行四边形是菱形. 24.（1）证明：由题意知， ∴∥，∴ . ∵ ，∴ . 又∵ ，∴ △≌△，∴， ∴ 四边形ACEF 是平行四边形 ． （2）解：当∠时，四边形是菱形 ．理由如下： ∵ ∴AB 21. ∵ 垂直平分，∴ 又∵∴∴，∴ 四边形是菱形．25.分析：（1）根据三角形的面积公式，应分别过点A 、C 作AE ⊥DB ，交DB 的延长线于点E ，CF ⊥BD 于点F ．然后根据三角形的面积公式分别计算要证明的等式的左边和右边即可； （2）根据（1）中的思路，显然可以归纳出：从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．证明思路类似．（1）证明：如图①，分别过点A 、C ，作AE ⊥DB ，交DB 的延长线于点E ，CF ⊥BD 于点F ，则有：，，，，∴，，∴．（2）解:能．从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等，或.已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，求证：．证明：如图②，分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，作CF⊥BD于点F，则有：，，，，∴，，∴．。