(浙江专用)2013届高考数学 冲刺必备 第二部分 专题二 第三讲 冲刺直击高考

限时：50分钟满分：78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分）1．（2012·浙江高考)已知i是虚数单位，则错误!＝( ）A．1－2i B．2－iC．2＋i D．1＋2i解析：选D 错误!＝错误!＝1＋2i.2．(2012·武汉模拟）下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（)A．设数列{a n}的前n项和为S n.由a n＝2n－1，求出S1＝12,S2＝22，S3＝32，…，推断：S n＝n2B．由f（x)＝x cos x满足f（－x)＝－f（x)对∀x∈R都成立，推断:f(x）＝x cos x为奇函数C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b>0）的面积S＝πabD．由（1＋1)2〉21,（2＋1)2>22，(3＋1）2>23，…,推断：对一切n∈N*，（n＋1)2>2n解析：选A 注意到，选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列｛a n}是等差数列，其前n项和S n＝错误!＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．3．（2012·辽宁高考)执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是（）A．4 B。

错误! C.错误!D．－1解析：选D 第一次循环后，S＝－1,i＝2;第二次循环后，S＝错误!，i＝3；第三次循环后，S＝错误!，i＝4;第四次循环后S＝4，i＝5；第五次循环后S＝－1，i＝6，这时跳出循环，输出S＝－1.4．(2012·安徽高考）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是( ）A ．3B ．4C ．5D ．8解析：选B 当x ＝1，y ＝1时,满足x ≤4，则x ＝2，y ＝2；当x ＝2,y ＝2时，满足x ≤4，则x ＝2×2＝4，y ＝2＋1＝3;当x ＝4，y ＝3时，满足x ≤4，则x ＝2×4＝8，y ＝3＋1＝4；当x ＝8,y ＝4时，不满足x ≤4,则输出y ＝4。

限时：40分钟满分：56分1．（满分14分)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点，离心率为错误!的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0 的圆心．（1)求椭圆E的方程；（2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为错误!的直线l1,l2.当直线l1，l2都与圆C相切时,求P的坐标．解：(1)由x2＋y2－4x＋2＝0得（x－2）2＋y2＝2,故圆C的圆心为点（2,0)．从而可设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1(a>b〉0），其焦距为2c。

由题设知c＝2，e＝错误!＝错误!。

所以a＝2c＝4，b2＝a2－c2＝12。

故椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1。

（2）设点P的坐标为（x0,y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2,则l1，l2的方程分别为l1:y－y0＝k1(x－x0)，l2：y－y0＝k2（x－x0),且k1k2＝错误!，由l1与圆C：（x－2)2＋y2＝2相切得错误!＝错误!，即[（2－x0）2－2］k错误!＋2（2－x0）y0k1＋y错误!－2＝0。

同理可得[（2－x0）2－2］k错误!＋2(2－x0)y0k2＋y错误!－2＝0。

从而k1，k2是方程［(2－x0)2－2］k2＋2（2－x0)y0k＋y错误!－2＝0的两个实根，于是错误!①且k 1k 2＝错误!＝错误!。

由错误!得5x 错误!－8x 0－36＝0，解得x 0＝－2，或x 0＝错误!.由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±错误!，它们均满足①式． 故点P 的坐标为（－2,3)，或（－2，－3），或错误!，或错误!。

2．（满分14分）如图，椭圆C 0:错误!＋错误!＝1(a 〉b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 12，b〈t 1<a 。

点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程;（2）设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ,t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等,证明：t 12＋t 22为定值．解：(1）设 A (x 1，y 1），B (x 1,－y 1）,又知A 1（－a,0)，A 2（a,0),则直线A 1A 的方程为y ＝错误!（x ＋a ），①直线A 2B 的方程为y ＝错误!（x －a ）．②由①×②得y 2＝错误!(x 2－a 2）．③由点A（x1,y1）在椭圆C0上,得错误!＋错误!＝1。

限时：50分钟满分：78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分）1．已知函数f（x）的导函数为f′（x)，且满足f(x)＝2x·f′（1)＋ln x，则f′（1)＝( ）A．－e B．－1C．1 D．e解析：选B f′（x)＝2f′(1）＋错误!，令x＝1，得f′（1)＝－1。

2．已知对任意实数x,有f（－x)＝－f(x）,g(－x）＝g(x）,且x>0时，f′(x）〉0,g′（x）>0，则x〈0时( )A．f′（x）>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′（x)<0C．f′(x)〈0，g′(x）〉0 D．f′（x）<0，g′（x）<0解析:选B 依题意得,函数f′(x）、g′（x)分别是偶函数、奇函数，当x<0时,－x〉0，f′（x)＝f′（－x）>0，g′（x）＝－g′(－x）<0。

3．（2012·乌鲁木齐模拟)直线y＝错误!x＋b与曲线y＝－错误!x ＋ln x相切,则b的值为( ）A．－2 B．－1C．－错误!D．1解析：选B 设切点的坐标为错误!,依题意,对于曲线y＝－错误!x ＋ln x，有y′＝－错误!＋错误!，所以－错误!＋错误!＝错误!，所以a＝1。

又切点错误!在直线y＝错误!x＋b上，所以－错误!＝错误!＋b,所以b＝－1.4．函数f(x)的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f′（x）>2，则f（x）>2x＋4的解集为( )A．（－1,1) B．（－1，＋∞）C．(－∞，－1）D．（－∞，＋∞)解析：选B 记g（x)＝f(x)－（2x＋4）,则有g（－1）＝f（－1）－(－2＋4)＝0。

∵g′（x)＝f′(x)－2>0，∴g(x）在R上是增函数．不等式f（x)〉2x＋4，即g(x)>0＝g(－1），于是由g(x）在R上是增函数得，x〉－1，即不等式f(x）〉2x＋4的解集是(－1,＋∞）．5．函数f（x）＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是（)A．0 B．1C．2 D．无数个解析:选A 函数定义域为（0,＋∞），且f′(x）＝6x＋错误!－2＝错误!,由于x〉0，g(x)＝6x2－2x＋1中Δ＝－20〈0,所以g（x）>0恒成立，故f′(x）〉0恒成立，即f(x）在定义域上单调递增，无极值点．6．若f(x)＝－错误!(x－2)2＋b ln x在(1，＋∞)上是减函数,则b的取值范围是( ）A．[－1，＋∞）B．（－1，＋∞）C．（－∞，－1] D．(－∞，－1)解析：选C 由题意可知f′(x)＝－（x－2）＋错误!≤0在(1，＋∞）上恒成立，即b≤x（x－2）在x∈（1,＋∞）上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x(x∈(1，＋∞）)的值域是（－1,＋∞），故只要b≤－1即可．7．(2012·泉州模拟)已知函数f（x）＝sin x－错误!x(x∈［0，π])，那么下列结论正确的是( ）A．f(x）在错误!上是增函数B．f(x)在错误!上是减函数C．∃x∈［0，π］，f(x）〉f错误!D．∀x∈[0，π]，f（x）≤f错误!解析：选D 注意到f′（x）＝cos x－错误!，当x∈错误!时，f′(x)>0；当x∈错误!时，f′（x）〈0，因此函数f（x)在错误!上是增函数，在错误!上是减函数，f(x）在［0,π]内的最大值是f错误!，即∀x∈［0，π］，都有f(x)≤f错误!，因此D正确．8．函数f（x)＝x cos x的导函数f′（x）在区间［－π,π]上的图像大致是( ）解析：选A f′（x)＝cos x－x sin x．取特殊值检验，当x＝0时,f′(x）＝cos x－x sin x＝1，排除C，D；当x＝错误!时，f′(x）＝cos x－x sin x＝0－错误!〈0，即在[0，π]的中间处,f′（x)〈0,显然B不符合要求．9．已知函数f（x)＝错误!，则下列选项正确的是( ）A．函数f(x)有极小值f（－2）＝－12，极大值f（1）＝1 B．函数f(x）有极大值f（－2)＝－错误!,极小值f(1)＝1C．函数f(x）有极小值f（－2）＝－错误!，无极大值D．函数f(x)有极大值f(1）＝1，无极小值解析：选A 由f′(x)＝错误!′＝错误!＝0,得x＝－2或x＝1，当x<－2时,f′（x)<0,当－2〈x〈1时，f′（x)〉0，当x〉1时，f′（x)〈0，故x＝－2是函数f(x）的极小值点，且f（－2)＝－错误!，x＝1是函数f(x)的极大值点,且f(1)＝1.10．(2012·唐山模拟）已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′（x)，且f′（0)〉0。

限时：50分钟满分：78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分)1．（2012·福建高考）设f(x）＝错误!g（x)＝错误!则f（g（π)）的值为（）A．1 B．0C．－1 D．π解析：选B ∵g（π)＝0,f（0）＝0，∴f（g(π)）＝0.2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ）A．y＝x3B．y＝|x｜＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－｜x|解析:选B y＝x3为奇函数，y＝－x2＋1在（0，＋∞）上为减函数，y＝2－｜x|在（0，＋∞)上为减函数．3．（2012·潍坊模拟）定义一种运算：a⊗b＝错误!已知函数f(x)＝2x⊗(3－x）,那么函数y＝f(x＋1）的大致图像是（)解析：选B 由题意得函数f（x)＝错误!所以函数f(x）的大致图像如右图所示，函数f(x＋1)的图像可由函数f （x)的图像向左平移1个单位得到，故选B.4．已知定义在R上的函数f(x)，对任意两个不等实数a，b，f a－f ba－b>0恒成立，则( )A．函数f(x)是奇函数B．函数f（x)是偶函数C．f（x）在R上是增函数D．f（x)在R上是减函数解析:选C 依题意,不妨设a>b，则有f（a）－f(b）〉0,即f（a)〉f（b)，所以函数f（x)在R上是增函数．5．（2012·东北三校联考）已知函数f(x)＝log12｜x－1｜，则下列结论正确的是（)［中教网]A．f错误!<f（0）〈f(3）B．f（0)<f错误!<f（3）C．f（3)〈f错误!〈f(0)D．f（3）〈f(0)〈f错误!解析：选C 依题意得f(3)＝log122＝－1〈0，log122<f错误!＝log12错误!〈log121,即－1<f错误!〈0，又f(0)＝log121＝0，因此有f（3）<f错误!〈f（0）．6．(2012·唐山模拟)若函数y＝a x＋b的图像如图,则函数y＝b ＋错误!的图像为（)解析：选C 由函数y＝a x＋b的图像可知,函数y＝a x＋b在R上单调递减，故0<a<1。

限时:40分钟满分：56分1．(满分14分）(2012·新课标全国卷)设抛物线C：x2＝2py(p〉0)的焦点为F，准线为l,A为C上一点，已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B，D两点．（1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F 的方程;（2)若A，B，F三点在同一直线m上,直线n与m平行，且n 与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解：（1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，｜BD｜＝2p，圆F的半径|FA｜＝错误!p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝｜FA｜＝错误!p.因为△ABD的面积为4错误!，所以错误!|BD｜·d＝4错误!，即错误!×2p×错误!p＝4错误!,解得p＝－2（舍去）或p＝2.所以F（0，1），圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8。

(2）因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，即∠ADB＝90°.由抛物线定义知｜AD|＝｜FA｜＝错误!｜AB｜，所以∠ABD＝30°,m的斜率为错误!或－错误!.当m的斜率为错误!时，由已知可设n:y＝错误!x＋b，代入x2＝2py得x2－错误!px－2pb＝0。

由于n与C只有一个公共点，故Δ＝43p2＋8pb＝0，解得b＝－错误!.因为m的纵截距b1＝错误!，错误!＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－错误!时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n 距离的比值为3。

综上,坐标原点到m，n距离的比值为3.2．(满分14分）（2012·潍坊模拟）已知直线l:y＝x＋错误!，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：错误!＋错误!＝1（a>b>0）的离心率e＝错误!.直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1）求椭圆E的方程；(2）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率，求证这两条切线互相垂直．解：(1）设椭圆E的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d＝错误!＝错误!，则直线l被圆O截得的弦长为2错误!＝2错误!，故b＝错误!。

1 2013届高考数学（浙江专用）冲刺必备：第二部分 专题四 第
一讲 冲刺直击高考
限时：50分钟 满分：78分
一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)
1．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(
)
解析：选D 从俯视图看，B 和D 符合，再从正视图看D 符合．
2．(2012·太原模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(
)
解析：选C 由正视图和侧视图可得该几何体可以是以下三个棱锥，它们的三视图中俯视图分别为选项中的A ，B ，D ，由此可知俯视图不可能为
C.
3．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )。

限时:50分钟满分:78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分）1．（2012·温州质检）已知双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b〉0）的右焦点为F,若过F点且斜率为错误!的直线与双曲线的渐近线平行，则此双曲线的离心率为( )A。

错误!B。

错误!C．2 D．2错误!解析：选A 由题知，双曲线的一条渐近线的斜率为错误!，即错误!＝错误!，所以e＝错误!＝错误!＝错误!。

2．已知椭圆错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的两顶点为A（a，0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( ）A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!解析:选B 由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c）2,即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝错误!，又因为e>0，故所求的椭圆的离心率为错误!。

3．（2012·沈阳模拟）已知椭圆错误!＋y2＝1的两焦点为F1、F 2，点M 在椭圆上，1MF ·2MF ＝0，则M 到y 轴的距离为（ ) A.错误! B 。

错误!C.错误!D.错误!解析：选B 由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3,即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得错误!＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，则｜x |＝错误!，此即点M 到y 轴的距离． 4．已知抛物线y 2＝2px (p 〉0)上一点M (1，m )(m >0）到其焦点的距离为5，双曲线错误!－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于( )A 。

错误!B 。

错误!C.错误! D 。

错误!解析：选A ∵点M （1,m ）在抛物线上，∴m 2＝2p ，而M 到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义点M 到准线x ＝－错误!的距离也为5，∴1＋错误!＝5,∴p ＝8，由此可以求得m ＝4，双曲线的左顶点为A （－错误!，0)，∴k AM ＝错误!，而双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!，根据题意，错误!＝错误!,∴a ＝错误!。